एलसीएम कैसे खोजें (कम से कम सामान्य एकाधिक)

दो पूर्णांकों का उभयनिष्ठ गुणज वह पूर्णांक होता है जो बिना किसी शेषफल के दोनों दी गई संख्याओं से समान रूप से विभाज्य होता है।

दो पूर्णांकों का लघुत्तम समापवर्तक सभी पूर्णांकों में सबसे छोटा होता है जो दोनों दी गई संख्याओं से समान रूप से और बिना शेषफल के विभाज्य होता है।

विधि 1. आप एलसीएम को, बदले में, दी गई प्रत्येक संख्या के लिए, आरोही क्रम में लिख कर उन सभी संख्याओं को प्राप्त कर सकते हैं जो उन्हें 1, 2, 3, 4, और इसी तरह से गुणा करके प्राप्त की जाती हैं।

उदाहरणसंख्या 6 और 9 के लिए।
हम संख्या 6 को क्रमिक रूप से 1, 2, 3, 4, 5 से गुणा करते हैं।
हमें मिलता है: 6, 12, 18 , 24, 30
हम संख्या 9 को क्रमिक रूप से 1, 2, 3, 4, 5 से गुणा करते हैं।
हमें मिलता है: 9, 18 , 27, 36, 45
जैसा कि आप देख सकते हैं, संख्या 6 और 9 के लिए एलसीएम 18 होगा।

यह विधि तब सुविधाजनक होती है जब दोनों संख्याएँ छोटी हों और पूर्णांकों के अनुक्रम से उन्हें गुणा करना आसान हो। हालांकि, ऐसे समय होते हैं जब आपको दो अंकों या . के लिए एलसीएम खोजने की आवश्यकता होती है तीन अंकों की संख्या, और तब भी जब तीन या इससे भी अधिक प्रारंभिक संख्याएँ हों।

विधि 2. आप मूल संख्याओं को में विस्तारित करके एलसीएम ज्ञात कर सकते हैं प्रधान कारण.
अपघटन के बाद, प्रमुख कारकों की परिणामी श्रृंखला से हटाना आवश्यक है वही नंबर. पहली संख्या के शेष अंक दूसरे के लिए गुणनखंड होंगे, और दूसरी संख्या की शेष संख्याएं पहले के लिए गुणनखंड होंगी।

उदाहरण 75 और 60 की संख्या के लिए।
इन संख्याओं के गुणजों को एक पंक्ति में लिखे बिना 75 और 60 का सबसे छोटा सामान्य गुणक पाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हम 75 और 60 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते हैं:
75 = 3 * 5 * 5, और
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
जैसा कि आप देख सकते हैं, गुणनखंड 3 और 5 दोनों पंक्तियों में होते हैं। मानसिक रूप से हम उन्हें "क्रॉस आउट" करते हैं।
आइए इनमें से प्रत्येक संख्या के विस्तार में शामिल शेष कारकों को लिखें। संख्या 75 को विघटित करते समय, हमने संख्या 5 को छोड़ दिया, और संख्या 60 को विघटित करते समय, हमने 2 * 2 छोड़ दिया
इसलिए, संख्या 75 और 60 के लिए एलसीएम निर्धारित करने के लिए, हमें शेष संख्याओं को 75 के विस्तार (यह 5 है) से 60 से गुणा करना होगा, और संख्या 60 के विस्तार से शेष संख्या (यह 2 * 2 है) ) 75 से गुणा करें। यानी समझने में आसानी के लिए, हम कहते हैं कि हम "क्रॉसवाइज" को गुणा करते हैं।
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
इस तरह हमने 60 और 75 की संख्या का LCM निकाला। यह संख्या 300 है।

उदाहरण. संख्या 12, 16, 24 . के लिए एलसीएम निर्धारित करें
पर इस मामले में, हमारे कार्य कुछ अधिक जटिल होंगे। लेकिन, पहले, हमेशा की तरह, हम सभी संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते हैं
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
एलसीएम को सही ढंग से निर्धारित करने के लिए, हम सभी संख्याओं में से सबसे छोटी (यह संख्या 12 है) का चयन करते हैं और क्रमिक रूप से इसके कारकों के माध्यम से जाते हैं, यदि संख्याओं की कम से कम एक अन्य पंक्तियों में एक ही कारक है जिसे अभी तक पार नहीं किया गया है, तो उन्हें पार करते हैं। बाहर।

स्टेप 1 । हम देखते हैं कि 2*2 संख्याओं की सभी श्रंखलाओं में आता है। हम उन्हें पार करते हैं।
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

चरण 2. संख्या 12 के अभाज्य गुणनखंडों में केवल संख्या 3 बची है। लेकिन यह संख्या 24 के अभाज्य गुणनखंडों में मौजूद है। हम संख्या 3 को दोनों पंक्तियों से काटते हैं, जबकि संख्या 16 के लिए कोई कार्रवाई अपेक्षित नहीं है। .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

जैसा कि आप देख सकते हैं, संख्या 12 को विघटित करते समय, हमने सभी संख्याओं को "क्रॉस आउट" कर दिया। तो एनओसी की खोज पूरी हो गई है। यह केवल इसके मूल्य की गणना करने के लिए बनी हुई है।
संख्या 12 के लिए, हम शेष गुणनखंडों को संख्या 16 से लेते हैं (आरोही क्रम में निकटतम)
12 * 2 * 2 = 48
यह है एनओसी

जैसा कि आप देख सकते हैं, इस मामले में, एलसीएम को खोजना कुछ अधिक कठिन था, लेकिन जब आपको इसे तीन या अधिक संख्याओं के लिए खोजने की आवश्यकता होती है, इस तरहआपको इसे तेजी से करने की अनुमति देता है। हालांकि, एलसीएम खोजने के दोनों तरीके सही हैं।

कम से कम सामान्य गुणक खोजने के तीन तरीकों पर विचार करें।

फैक्टरिंग द्वारा ढूँढना

पहला तरीका यह है कि दी गई संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात किया जाए।

मान लीजिए हमें संख्याओं का एलसीएम ज्ञात करना है: 99, 30 और 28। ऐसा करने के लिए, हम इनमें से प्रत्येक संख्या को प्रमुख कारकों में विघटित करते हैं:

वांछित संख्या को 99, 30 और 28 से विभाज्य होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इसमें इन भाजक के सभी अभाज्य गुणनखंड शामिल हों। ऐसा करने के लिए, हमें इन संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखंडों को उच्चतम होने वाली घात तक ले जाना होगा और उन्हें एक साथ गुणा करना होगा:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

तो एलसीएम (99, 30, 28) = 13,860। 13,860 से कम कोई अन्य संख्या 99, 30, या 28 से समान रूप से विभाज्य नहीं है।

दी गई संख्याओं के कम से कम सामान्य गुणकों को खोजने के लिए, आपको उन्हें अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करना होगा, फिर प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड को सबसे बड़े घातांक के साथ लेना होगा, और इन कारकों को एक साथ गुणा करना होगा।

चूँकि सहअभाज्य संख्याओं का कोई उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड नहीं होता है, उनका लघुत्तम समापवर्तक इन संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, तीन संख्याएँ: 20, 49 और 33 सहअभाज्य हैं। इसलिए

एलसीएम (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340।

ऐसा ही किया जाना चाहिए जब विभिन्न के कम से कम सामान्य गुणक की तलाश की जाए अभाज्य सँख्या. उदाहरण के लिए, एलसीएम (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231।

चयन द्वारा ढूँढना

दूसरा तरीका यह है कि फिटिंग द्वारा कम से कम सामान्य गुणक का पता लगाया जाए।

उदाहरण 1. जब दी गई संख्याओं में से सबसे बड़ी संख्या अन्य दी गई संख्याओं से समान रूप से विभाज्य होती है, तो इन संख्याओं का LCM उनमें से बड़ी संख्या के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, चार संख्याएँ दी गई हैं: 60, 30, 10 और 6. उनमें से प्रत्येक 60 से विभाज्य है, इसलिए:

एनओसी (60, 30, 10, 6) = 60

अन्य मामलों में, कम से कम सामान्य गुणक खोजने के लिए, निम्नलिखित प्रक्रिया का उपयोग किया जाता है:

1. दी गई संख्याओं में से सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।
2. इसके बाद, हम ऐसी संख्याएँ पाते हैं जो सबसे बड़ी संख्या के गुणज हैं, इसे आरोही क्रम में प्राकृतिक संख्याओं से गुणा करते हैं और जाँचते हैं कि क्या शेष दी गई संख्याएँ परिणामी गुणनफल से विभाज्य हैं।

उदाहरण 2. तीन संख्याएँ 24, 3 और 18 दी गई हैं। उनमें से सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए - यह संख्या 24 है। इसके बाद, 24 के गुणज ज्ञात कीजिए, यह जाँचते हुए कि उनमें से प्रत्येक 18 और 3 से विभाज्य है या नहीं:

24 1 = 24 3 से विभाज्य है लेकिन 18 से विभाज्य नहीं है।

24 2 = 48 - 3 से विभाज्य लेकिन 18 से विभाज्य नहीं।

24 3 \u003d 72 - 3 और 18 से विभाज्य।

तो एलसीएम (24, 3, 18) = 72।

अनुक्रमिक खोज एलसीएम द्वारा ढूँढना

तीसरा तरीका एलसीएम को क्रमिक रूप से खोजकर कम से कम सामान्य गुणक खोजना है।

दो दी गई संख्याओं का LCM उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक द्वारा विभाजित इन संख्याओं के गुणनफल के बराबर है।

उदाहरण 1. दो दी गई संख्याओं का एलसीएम खोजें: 12 और 8। उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक निर्धारित करें: जीसीडी (12, 8) = 4। इन संख्याओं को गुणा करें:

हम उत्पाद को उनके GCD में विभाजित करते हैं:

अत: LCM(12, 8) = 24.

तीन या अधिक संख्याओं का LCM ज्ञात करने के लिए, निम्नलिखित प्रक्रिया का उपयोग किया जाता है:

1. सबसे पहले, दी गई संख्याओं में से किन्हीं दो का LCM ज्ञात किया जाता है।
2. फिर, कम से कम सामान्य गुणक और तीसरी दी गई संख्या का एलसीएम।
3. फिर, परिणामी कम से कम सामान्य गुणक और चौथी संख्या का एलसीएम, और इसी तरह।
4. इस प्रकार एलसीएम खोज तब तक जारी रहती है जब तक संख्याएं होती हैं।

उदाहरण 2. एलसीएम ज्ञात कीजिए तीन डेटासंख्याएँ: 12, 8 और 9। संख्याओं 12 और 8 का एलसीएम हम पिछले उदाहरण में पहले ही पा चुके हैं (यह संख्या 24 है)। यह 24 का सबसे छोटा सामान्य गुणक और तीसरी दी गई संख्या - 9 को खोजने के लिए बनी हुई है। उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक निर्धारित करें: gcd (24, 9) = 3. LCM को संख्या 9 से गुणा करें:

हम उत्पाद को उनके GCD में विभाजित करते हैं:

तो एलसीएम(12, 8, 9) = 72।

गणितीय अभिव्यक्तियों और कार्यों के लिए बहुत अधिक अतिरिक्त ज्ञान की आवश्यकता होती है। एनओसी मुख्य में से एक है, विशेष रूप से अक्सर विषय में उपयोग किया जाता है। विषय का अध्ययन हाई स्कूल में किया जाता है, जबकि सामग्री को समझना विशेष रूप से कठिन नहीं है, शक्तियों और गुणन तालिका से परिचित व्यक्ति के लिए चयन करना मुश्किल नहीं होगा आवश्यक संख्याएँ और परिणाम खोजें।

परिभाषा

एक सामान्य गुणक एक संख्या है जिसे एक ही समय (ए और बी) में दो संख्याओं में पूरी तरह से विभाजित किया जा सकता है। बहुधा यह संख्या मूल संख्याओं a और b को गुणा करके प्राप्त की जाती है। संख्या विचलन के बिना, एक ही बार में दोनों संख्याओं से विभाज्य होनी चाहिए।

एनओसी इसके लिए स्वीकृत शब्द है लघु शीर्षक, पहले अक्षरों से इकट्ठे हुए।

नंबर पाने के तरीके

एलसीएम खोजने के लिए, संख्याओं को गुणा करने की विधि हमेशा उपयुक्त नहीं होती है, यह साधारण एक-अंक या दो-अंकीय संख्याओं के लिए अधिक उपयुक्त होती है। यह कारकों में विभाजित करने के लिए प्रथागत है, जितनी बड़ी संख्या होगी, उतने अधिक कारक होंगे।

उदाहरण 1

सबसे सरल उदाहरण के लिए, स्कूल आमतौर पर साधारण, एक-अंकीय या दो-अंकीय संख्याएँ लेते हैं। उदाहरण के लिए, आपको निम्नलिखित कार्य को हल करने की आवश्यकता है, संख्या 7 और 3 में से कम से कम सामान्य गुणक खोजें, समाधान काफी सरल है, बस उन्हें गुणा करें। नतीजतन, संख्या 21 है, बस कोई छोटी संख्या नहीं है।

उदाहरण #2

दूसरा विकल्प बहुत अधिक कठिन है। संख्या 300 और 1260 दी गई है, LCM ज्ञात करना अनिवार्य है। कार्य को हल करने के लिए, निम्नलिखित क्रियाओं को माना जाता है:

पहली और दूसरी संख्याओं का सरल गुणनखंडों में अपघटन। 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. पहला चरण पूरा हो चुका है।

दूसरे चरण में पहले से प्राप्त आंकड़ों के साथ काम करना शामिल है। प्राप्त संख्याओं में से प्रत्येक को गणना में भाग लेना चाहिए अंतिम परिणाम. प्रत्येक गुणक के लिए, अधिकतम बड़ी संख्याघटनाएँ एनओसी है कुल गणना, इसलिए संख्याओं के गुणनखंडों को इसमें अंतिम तक दोहराया जाना चाहिए, यहां तक ​​कि वे भी जो एक प्रति में मौजूद हैं। दोनों प्रारंभिक संख्याओं की रचना में संख्या 2, 3 और 5, in . है बदलती डिग्री, 7 केवल एक मामले में मौजूद है।

अंतिम परिणाम की गणना करने के लिए, आपको समीकरण में प्रत्येक संख्या को उनकी सबसे बड़ी प्रतिनिधित्व शक्तियों में लेना होगा। यह केवल गुणा करने और उत्तर पाने के लिए रहता है, साथ सही भरनाकार्य स्पष्टीकरण के बिना दो चरणों में फिट बैठता है:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) नॉक = 6300।

इतना ही है पूरा टास्क, यदि आप गुणा करके मनचाही संख्या की गणना करने की कोशिश करेंगे, तो उत्तर निश्चित रूप से सही नहीं होगा, क्योंकि 300*1260=378,000.

इंतिहान:

6300/300 = 21 - सच;

6300/1260 = 5 सही है।

प्राप्त परिणाम की शुद्धता का निर्धारण - LCM को दोनों से विभाजित करके किया जाता है प्रारंभिक संख्या, यदि दोनों स्थितियों में संख्या एक पूर्णांक है, तो उत्तर सही है।

गणित में एनओसी का क्या अर्थ है

जैसा कि आप जानते हैं, गणित में एक भी बेकार कार्य नहीं है, यह कोई अपवाद नहीं है। इस संख्या का सबसे आम उपयोग भिन्नों को कम करना है आम विभाजक. आमतौर पर 5-6 . ग्रेड में क्या पढ़ा जाता है उच्च विद्यालय. यह अतिरिक्त रूप से सभी गुणकों के लिए एक सामान्य भाजक है, यदि ऐसी स्थितियाँ समस्या में हैं। समान अभिव्यक्तिन केवल दो संख्याओं का, बल्कि बहुतों का भी गुणज ज्ञात कर सकते हैं अधिक- तीन, पांच और इतने पर। जितनी अधिक संख्या - कार्य में उतनी ही अधिक क्रियाएं, लेकिन इससे जटिलता नहीं बढ़ती है।

उदाहरण के लिए, संख्या 250, 600 और 1500 को देखते हुए, आपको उनका कुल LCM ज्ञात करना होगा:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - यह उदाहरण बिना किसी कमी के गुणनखंड का विस्तार से वर्णन करता है।

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

एक व्यंजक की रचना करने के लिए सभी कारकों का उल्लेख करना आवश्यक है, इस स्थिति में 2, 5, 3 दिए गए हैं - इन सभी संख्याओं के लिए अधिकतम डिग्री निर्धारित करना आवश्यक है।

ध्यान दें: सभी गुणकों को पूर्ण सरलीकरण में लाया जाना चाहिए, यदि संभव हो तो, एकल अंकों के स्तर तक विघटित होना चाहिए।

इंतिहान:

1) 3000/250 = 12 - सत्य;

2) 3000/600 = 5 - सत्य;

3) 3000/1500 = 2 सही है।

इस पद्धति के लिए किसी तरकीब या प्रतिभा स्तर की क्षमताओं की आवश्यकता नहीं है, सब कुछ सरल और स्पष्ट है।

एक और तरीका

गणित में, बहुत कुछ जुड़ा हुआ है, दो या दो से अधिक तरीकों से बहुत कुछ हल किया जा सकता है, वही कम से कम सामान्य गुणक, एलसीएम खोजने के लिए जाता है। सरल दो अंकों के मामले में निम्नलिखित विधि का उपयोग किया जा सकता है और एकल अंक. एक तालिका संकलित की जाती है जिसमें गुणक को लंबवत, गुणक को क्षैतिज रूप से दर्ज किया जाता है, और उत्पाद को स्तंभ के प्रतिच्छेदन कक्षों में दर्शाया जाता है। आप तालिका को एक पंक्ति के माध्यम से प्रतिबिंबित कर सकते हैं, एक संख्या ली जाती है और इस संख्या को पूर्णांक से गुणा करने के परिणाम एक पंक्ति में लिखे जाते हैं, 1 से अनंत तक, कभी-कभी 3-5 अंक पर्याप्त होते हैं, दूसरी और बाद की संख्याएं अधीन होती हैं एक ही कम्प्यूटेशनल प्रक्रिया के लिए। सब कुछ तब तक होता है जब तक एक सामान्य गुणक नहीं मिल जाता।

संख्या 30, 35, 42 को देखते हुए, आपको सभी संख्याओं को जोड़ने वाला LCM ज्ञात करना होगा:

1) 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, आदि के गुणज।

2) 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245, आदि के गुणज।

3) 42 के गुणज: 84, 126, 168, 210, 252, आदि।

यह ध्यान देने योग्य है कि सभी संख्याएं काफी भिन्न हैं, उनमें से एकमात्र सामान्य संख्या 210 है, इसलिए यह एलसीएम होगा। इस गणना से जुड़ी प्रक्रियाओं में सबसे बड़ा सामान्य भाजक भी है, जिसकी गणना समान सिद्धांतों के अनुसार की जाती है और अक्सर पड़ोसी समस्याओं का सामना करना पड़ता है। अंतर छोटा है, लेकिन काफी महत्वपूर्ण है, एलसीएम में एक संख्या की गणना करना शामिल है जो सभी डेटा से विभाज्य है प्रारंभिक मान, और GCD का तात्पर्य गणना से है सबसे बड़ा मूल्यजिससे मूल संख्याएँ विभाज्य होती हैं।

एक बहु एक संख्या है जो से विभाज्य है दी गई संख्याएक ट्रेस के बिना। संख्याओं के समूह का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) वह छोटी से छोटी संख्या है जो समूह में प्रत्येक संख्या से समान रूप से विभाज्य होती है। कम से कम सामान्य गुणक खोजने के लिए, आपको दी गई संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करने होंगे। साथ ही, LCM की गणना कई अन्य विधियों का उपयोग करके की जा सकती है जो दो या अधिक संख्याओं के समूहों पर लागू होती हैं।

कदम

गुणकों की एक श्रृंखला

इन नंबरों को देखें।यहां वर्णित विधि का सबसे अच्छा उपयोग तब किया जाता है जब दो संख्याएँ दी जाती हैं, जिनमें से प्रत्येक 10 से कम होती है। यदि दिया गया हो बड़ी संख्या, दूसरी विधि का उपयोग करें।

• उदाहरण के लिए, संख्याओं 5 और 8 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए। ये छोटी संख्याएँ हैं, इसलिए इस पद्धति का उपयोग किया जा सकता है।

1. किसी संख्या का गुणज वह संख्या होती है जो किसी दी गई संख्या से बिना किसी शेषफल के विभाज्य होती है। गुणन तालिका में कई संख्याएँ पाई जा सकती हैं।

   • उदाहरण के लिए, जो संख्याएँ 5 के गुणज हैं वे हैं: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40।

2. संख्याओं की एक श्रृंखला लिखिए जो पहली संख्या के गुणज हों।संख्याओं की दो पंक्तियों की तुलना करने के लिए इसे पहली संख्या के गुणकों के अंतर्गत करें।

   • उदाहरण के लिए, जो संख्याएँ 8 के गुणज हैं वे हैं: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 और 64।

3. गुणजों की दोनों श्रृंखलाओं में दिखाई देने वाली सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए।कुल ज्ञात करने के लिए आपको गुणकों की लंबी श्रंखला लिखनी पड़ सकती है। गुणकों की दोनों श्रृंखलाओं में दिखाई देने वाली सबसे छोटी संख्या सबसे छोटी संख्या है।

   • उदाहरण के लिए, सबसे छोटी संख्या, जो 5 और 8 के गुणकों की श्रंखला में दिखाई देता है, वह संख्या 40 है। इसलिए, संख्या 5 और 8 का सबसे छोटा समापवर्तक 40 है।

   मुख्य दलाली

   1. इन नंबरों को देखें।यहां वर्णित विधि का सबसे अच्छा उपयोग तब किया जाता है जब दो संख्याएँ दी जाती हैं जो दोनों 10 से बड़ी होती हैं। यदि छोटी संख्याएँ दी गई हैं, तो एक अलग विधि का उपयोग करें।

      • उदाहरण के लिए, संख्याओं 20 और 84 का सबसे छोटा सामान्य गुणक ज्ञात कीजिए। प्रत्येक संख्या 10 से बड़ी है, इसलिए इस पद्धति का उपयोग किया जा सकता है।

   2. पहली संख्या का गुणनखंड करें।यानी आपको ऐसी अभाज्य संख्याएँ ढूंढनी होंगी, जिन्हें गुणा करने पर आपको एक दी गई संख्या मिलती है। अभाज्य गुणनखंडों को खोजने के बाद, उन्हें एक समानता के रूप में लिखिए।

      • उदाहरण के लिए, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20)और 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10. इस प्रकार, संख्या 20 के अभाज्य गुणनखंड 2, 2 और 5 हैं। उन्हें एक व्यंजक के रूप में लिखिए: .

   3. दूसरी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें।इसे वैसे ही करें जैसे आपने पहली संख्या का गुणनखंड किया था, यानी ऐसी अभाज्य संख्याएँ खोजें, जिन्हें गुणा करने पर यह संख्या मिले।

      • उदाहरण के लिए, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\बार 6=42)और 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). इस प्रकार, संख्या 84 के अभाज्य गुणनखंड 2, 7, 3 और 2 हैं। उन्हें एक व्यंजक के रूप में लिखिए: .

   4. दोनों संख्याओं के सामान्य गुणनखंड लिखिए।गुणन संक्रिया के रूप में ऐसे कारकों को लिखिए। जब आप प्रत्येक गुणनखंड को लिखते हैं, तो उसे दोनों भावों में काट दें (ऐसे भाव जो संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन का वर्णन करते हैं)।

      • उदाहरण के लिए, दोनों संख्याओं का उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 है, इसलिए लिखिए 2 × (\displaystyle 2\बार )और दोनों भावों में 2 को काट दें।
      • दोनों संख्याओं का उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 का एक अन्य गुणनखंड है, इसलिए लिखिए 2 × 2 (\displaystyle 2\बार 2)और दूसरे 2 को दोनों भावों में काट दें।

   5. गुणन संक्रिया में शेष गुणनखंडों को जोड़ें।ये ऐसे गुणनखंड हैं जिन्हें दोनों व्यंजकों में काट नहीं दिया जाता है, अर्थात ऐसे गुणनखंड जो दोनों संख्याओं के लिए उभयनिष्ठ नहीं हैं।

      • उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति में 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\बार 2\गुना 5)दोनों ड्यूस (2) को काट दिया गया है, क्योंकि वे हैं सामान्य तथ्य. गुणनखंड 5 को पार नहीं किया गया है, इसलिए गुणन संक्रिया को इस प्रकार लिखें: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\बार 2\गुना 5)
      • अभिव्यक्ति में 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\गुना 7\गुना 3\गुना 2)दोनों ड्यूस (2) को भी काट दिया जाता है। गुणनखंड 7 और 3 को काटकर नहीं निकाला जाता है, इसलिए गुणन संक्रिया को इस प्रकार लिखें: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\बार 2\गुना 5\गुना 7\गुना 3).

   6. कम से कम सामान्य गुणक की गणना करें।ऐसा करने के लिए, लिखित गुणन संक्रिया में संख्याओं को गुणा करें।

      • उदाहरण के लिए, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\बार 2\गुना 5\गुना 7\गुना 3=420). अतः 20 और 84 का लघुत्तम समापवर्त्य 420 है।

   सामान्य भाजक ढूँढना

   1. एक ग्रिड बनाएं जैसे आप टिक-टैक-टो के खेल के लिए करेंगे।इस तरह के ग्रिड में दो समानांतर रेखाएँ होती हैं जो दो अन्य समानांतर रेखाओं के साथ (समकोण पर) प्रतिच्छेद करती हैं। इसका परिणाम तीन पंक्तियों और तीन स्तंभों में होगा (ग्रिड बहुत कुछ # चिह्न जैसा दिखता है)। पहली पंक्ति और दूसरे कॉलम में पहली संख्या लिखें। पहली पंक्ति और तीसरे कॉलम में दूसरी संख्या लिखें।

      • उदाहरण के लिए, 18 और 30 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए। पहली पंक्ति और दूसरे स्तंभ में 18 लिखिए, और पहली पंक्ति और तीसरे स्तंभ में 30 लिखिए।

   2. दोनों संख्याओं का भाजक ज्ञात कीजिए।इसे पहली पंक्ति और पहले कॉलम में लिख लें। बेहतर खोज प्रधान भाजक, लेकिन यह कोई आवश्यकता नहीं है।

      • उदाहरण के लिए, 18 और 30 हैं सम संख्या, इसलिए उनका उभयनिष्ठ भाजक 2 है। इसलिए पहली पंक्ति और पहले कॉलम में 2 लिखें।

   3. प्रत्येक संख्या को पहले भाजक से विभाजित करें।प्रत्येक भागफल को संगत संख्या के नीचे लिखिए। भागफल दो संख्याओं को विभाजित करने का परिणाम है।

      • उदाहरण के लिए, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), इसलिए 9 अंडर 18 लिखें।
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), अत: 15 के अंतर्गत 30 लिखें।

   4. दोनों भागफलों के लिए एक सामान्य भाजक ज्ञात कीजिए।यदि ऐसा कोई भाजक नहीं है, तो दो को छोड़ दें अगले कदम. अन्यथा, दूसरी पंक्ति और पहले कॉलम में भाजक लिखिए।

      • उदाहरण के लिए, 9 और 15 3 से विभाज्य हैं, इसलिए दूसरी पंक्ति और पहले कॉलम में 3 लिखें।

   5. प्रत्येक भागफल को दूसरे भाजक से विभाजित करें।प्रत्येक भाग के परिणाम को संबंधित भागफल के अंतर्गत लिखें।

      • उदाहरण के लिए, 9 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), इसलिए 3 अंडर 9 लिखें।
      • 15 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), अत: 5 के अंतर्गत 15 लिखें।

   6. यदि आवश्यक हो, अतिरिक्त कोशिकाओं के साथ ग्रिड को पूरक करें।उपरोक्त चरणों को तब तक दोहराएं जब तक कि भागफल में एक सामान्य भाजक न हो।

   7. ग्रिड के पहले कॉलम और आखिरी पंक्ति में संख्याओं को सर्कल करें।फिर हाइलाइट की गई संख्याओं को गुणन संक्रिया के रूप में लिखें।

      • उदाहरण के लिए, संख्या 2 और 3 पहले कॉलम में हैं, और संख्याएँ 3 और 5 अंतिम पंक्ति में हैं, इसलिए गुणन संक्रिया को इस प्रकार लिखें: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\बार 3\गुना 3\गुना 5).

   8. संख्याओं को गुणा करने का परिणाम ज्ञात कीजिए।यह दी गई दो संख्याओं के सबसे छोटे सामान्य गुणज की गणना करेगा।

      • उदाहरण के लिए, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\बार 3\गुना 3\गुना 5=90). अतः 18 और 30 का लघुत्तम समापवर्तक 90 है।

   यूक्लिड का एल्गोरिथम

   1. डिवीजन ऑपरेशन से जुड़ी शब्दावली याद रखें।लाभांश वह संख्या है जिसे विभाजित किया जा रहा है। भाजक वह संख्या है जिससे भाग देना है। भागफल दो संख्याओं को विभाजित करने का परिणाम है। शेष वह संख्या है जो दो संख्याओं को विभाजित करने पर बची है।

      • उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति में 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2)आराम। 3:
        15 विभाज्य है
        6 भाजक है
        2 निजी है
        3 शेष है।

निम्नलिखित समस्या के समाधान पर विचार करें। लड़के का कदम 75 सेमी और लड़की का कदम 60 सेमी है। खोजने की जरूरत है सबसे छोटी दूरी, जहां वे दोनों चरणों की एक पूर्णांक संख्या लेते हैं।

फेसला।लोग जिस पूरे रास्ते से गुजरेंगे, वह बिना किसी शेषफल के 60 और 70 से विभाज्य होना चाहिए, क्योंकि उनमें से प्रत्येक को पूर्णांक संख्या में कदम उठाने होंगे। दूसरे शब्दों में, उत्तर 75 और 60 दोनों का गुणज होना चाहिए।

सबसे पहले, हम संख्या 75 के लिए सभी गुणजों को लिखेंगे। हमें प्राप्त होता है:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

अब आइए उन संख्याओं को लिखें जो 60 का गुणज हों। हमें प्राप्त होता है:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

अब हम उन संख्याओं को ज्ञात करते हैं जो दोनों पंक्तियों में हैं।

• संख्याओं का सामान्य गुणज संख्याएँ, 300, 600 आदि होंगी।

उनमें से सबसे छोटी संख्या 300 है। इस स्थिति में, इसे 75 और 60 की संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक कहा जाएगा।

समस्या की स्थिति में लौटते हुए, सबसे छोटी दूरी जिस पर लोग पूर्णांक संख्या में कदम उठाते हैं वह 300 सेमी होगा।लड़का 4 चरणों में इस तरह से जाएगा, और लड़की को 5 कदम उठाने की आवश्यकता होगी।

कम से कम सामान्य गुणक ढूँढना

• दो प्राकृत संख्याओं a और b का लघुत्तम समापवर्त्य सबसे छोटा है प्राकृतिक संख्या, जो a और b दोनों का गुणज है।

दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात करने के लिए, इन संख्याओं के सभी गुणजों को एक पंक्ति में लिखना आवश्यक नहीं है।

आप निम्न विधि का उपयोग कर सकते हैं।

कम से कम सामान्य गुणक कैसे खोजें

सबसे पहले, आपको इन संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना होगा।

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

अब हम उन सभी गुणनखंडों को लिखते हैं जो पहली संख्या (2,2,3,5) के विस्तार में हैं और दूसरी संख्या (5) के विस्तार से सभी लुप्त गुणनखंडों को इसमें जोड़ते हैं।

नतीजतन, हमें अभाज्य संख्याओं की एक श्रृंखला मिलती है: 2,2,3,5,5। इन संख्याओं का गुणनफल इन संख्याओं के लिए अल्पतम समापवर्तक होगा। 2*2*3*5*5 = 300.

अल्पतम समापवर्त्य ज्ञात करने की सामान्य योजना

• 1. संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें।
• 2. उन अभाज्य कारकों को लिखिए जो उनमें से किसी एक का भाग हैं।
• 3. इन कारकों में उन सभी को जोड़ें जो शेष के अपघटन में हैं, लेकिन चयनित में नहीं हैं।
• 4. लिखे गए सभी कारकों का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

यह विधि सार्वभौमिक है। इसका उपयोग किसी भी प्राकृतिक संख्या का सबसे छोटा सामान्य गुणक खोजने के लिए किया जा सकता है।