पर यह सबकआप दो अंकों का उपयोग करने वाली संख्याएँ पा सकते हैं। ऐसी संख्याओं को दोहरा अंक कहा जाता है। निम्नलिखित दो अंकों की संख्याओं के उदाहरण हैं, साथ ही दो अंकों की संख्याओं की तुलना भी है। फिर आप चेक आउट कर सकते हैं सामान्य नियमसंख्या तुलना।

पाठ: एकल और दो अंकों की संख्या

इस पाठ में, हम उन संख्याओं को देखेंगे जो दहाई और इकाई से मिलकर बनती हैं।

निम्नलिखित संख्याओं पर विचार करें:

16, 61, 5, 10, 8, 99, 1

इन नंबरों को किन समूहों में विभाजित किया जा सकता है?

पहला समूह - 5, 8, 1

दूसरा समूह - 16, 61, 10, 99

पहले समूह में वे संख्याएँ लिखी जाती हैं, जिनके अभिलेख में एक वर्ण एक अंक होता है। ऐसी संख्याओं को कहा जाता है स्पष्ट.

दूसरे समूह में दो अंकों वाली संख्याएँ होती हैं। ऐसी संख्याओं को कहा जाता है दो अंकों.

सबसे छोटा दो अंकों की संख्या- संख्या 10 .

दो अंकों की सबसे बड़ी संख्या है 99 .

विचार करना अधिक संख्या 10. संख्या 10 दो अंकों वाली और गोल है क्योंकि इसकी इकाई के स्थान पर संख्या 0 है।

अब संख्या 99 पर विचार करें। 99 की संख्या दो अंकों वाली और गैर-गोलाकार है, क्योंकि इस संख्या की इकाई के स्थान पर संख्या 9 है।

संख्या के विवरण का प्रयास करें, अनुमान लगाएं कि यह कौन सी संख्या है:

1. दो अंकों की एक संख्या, जब गिनते हैं, तो उसे संख्या 16 के ठीक बाद कहा जाता है।

सही उत्तर 17 है।

2. एक दो अंकों की संख्या, इसमें 1 दस और 5 इकाइयाँ हैं।

2. त्योहार शैक्षणिक विचार "सार्वजनिक सबक" ().

1. संख्या 10, 13, 55, 60, 23, 32, 30 को दो समूहों में विभाजित करें, गोल संख्याऔर गैर-गोलाकार संख्याएँ।

2. संख्याओं की तुलना करें।

वह पृष्ठ खोलें जहाँ हमारा पाठ स्थित है। हम इसे कैसे ढूंढ सकते हैं? सामग्री द्वारा। पाठ के विषय पर फिर से विचार करें।

कार्य संख्या 1. कार्य से स्वयं को परिचित करें। कार्य में किन संख्याओं की तुलना करने की आवश्यकता है? दो अंकों की सबसे बड़ी संख्या का नाम बताइए।

इसके साथ किसी भी दो अंकों की संख्या की तुलना करें। तुलना के परिणाम को > चिह्न के साथ असमानताओं के रूप में लिखें।

चिन्ह से बड़ा क्यों चुना जाता है?

टास्क नंबर 2. कार्य प्रगति पर हैपहले से ही किस नंबर के साथ? तीन अंकों की सबसे छोटी संख्या का नाम बताइए।

इन तीन अंकों की संख्याओं की तुलना इसके साथ करें। तुलना के परिणाम को ">" चिन्ह के साथ असमानताओं के रूप में लिखें।

आपकी असमानताएं क्या हैं?

टास्क नंबर 3. आप यहां किन नंबरों के साथ काम कर रहे हैं?

तीन अंकों की सबसे छोटी संख्या की तुलना दो अंकों की सबसे बड़ी संख्या से करें। तुलना के परिणाम को > चिह्न के साथ असमानता के रूप में लिखें।

यह तुलना चिन्ह हमें लेखक द्वारा क्यों दिया गया है?

क्या निष्कर्ष निकाला जा सकता है?

हमने आपके साथ किस समस्या को हल करना शुरू किया?

टास्क 2 क्या है?

पृष्ठ 9 पर नोटबुक खोलें। आइए कार्य संख्या 1 को पूरा करें। आइए अपने कौशल को लागू करें। कार्य पढ़ें।

हम यहां कौन से नंबर मिलते हैं?

हमने निष्कर्ष निकाला कि तीन अंकों की संख्या दो अंकों वाली संख्या से बड़ी होती है। दो अंकों के साथ तुलना करें और तीन अंकों की संख्याएकल अंक।

जोड़ी की जाँच।

तुम्हें क्या मिला। पढ़ना।

मैं दो नंबर दिखाता हूं। उस दिशा में कौन सी संख्या अधिक है और देखो। (22 और 90, 33 और 330, 456 और 7)

आइए याद करें कि हम किसके लिए प्रयास कर रहे हैं। प्रयोजन क्या है?

हमारा लेख भरें रोचक तथ्य. हम जोड़ियों में काम करते हैं। डेस्क पर टास्क। नोटबुक में व्यक्तिगत रूप से हल करें।

एक वयस्क भालू का द्रव्यमान 700 किलोग्राम है, 6 महीने के भालू शावक का द्रव्यमान 70 किलोग्राम है। किसका द्रव्यमान अधिक है? इसे असमानता के रूप में लिखिए।

की वृद्धि लम्बा आदमी 2 मी 46 सेमी है। छोटी ऊँचाई वाला व्यक्ति- 74 सेमी. असमानता की तुलना असमानता के रूप में लिखिए।

छोटी संख्याओं को अपने दाहिने हाथ में लें।

दाहिने हाथ में कौन-कौन से अंक होते हैं?

अपने बाएं हाथ में बड़ी संख्या लें।

बायें हाथ में कौन-कौन से अंक होते हैं?

आप क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं?

यह कहकर शुरू करें: मुझे पता है कि

आपने किस समस्या का समाधान किया?

पाठ्यपुस्तक में आउटपुट पढ़ें। पृष्ठ 21 एक नीली पृष्ठभूमि पर।

टास्क 2 क्या है? आइए इसे पढ़ें।

क्यों, संख्याओं की तुलना करते समय, आपको 2 मीटर 46 सेमी की नाममात्र संख्या वाला कार्ड नहीं मिला?

आइए इस ज्ञान को लागू करें, साथ ही एक नोटबुक में कार्य संख्या 3 को हल करते समय तीन अंकों और दो अंकों की संख्याओं की तुलना करने की क्षमता .. (बोर्ड पर)

कार्य पढ़ें। कार्य को कौन समझता है?

हम जोड़े में जांचते हैं। बोर्ड पर एक उदाहरण है।

पाठ का अगला कार्य क्या है?

इसे पूरा करने के लिए, आपको कार्य 7 के प्रश्नों के उत्तर देने होंगे।

संख्याओं की अंतर तुलना करने के लिए एक नियम तैयार करें।

तीन अंकों और दो अंकों की संख्या की अंतर तुलना कैसे करें?

हम तीन अंकों की संख्या से क्यों घटाते हैं?

पाठ्यपुस्तक में आउटपुट पढ़ें।

जब कोई व्यक्ति केवल गिनना सीख रहा था, तो उसकी उंगलियां यह निर्धारित करने के लिए पर्याप्त थीं कि गुफा से चलने वाले दो विशाल पहाड़ के पीछे उस झुंड से छोटे थे। लेकिन जैसे ही उन्होंने महसूस किया कि स्थितीय गणना क्या है (जब एक संख्या होती है विशिष्ट स्थानएक लंबी लाइन में), वह सोचने लगा: आगे क्या है, क्या सबसे बड़ी संख्या?

तब से सबसे अच्छा दिमागइस तरह की मात्राओं की गणना कैसे करें, और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि उन्हें क्या अर्थ देना है।

एक पंक्ति के अंत में बिंदु

जब छात्रों को से मिलवाया जाता है मूल अवधारणासंख्याओं की एक श्रृंखला के किनारों पर, दीर्घवृत्त लगाना और समझाना कि सबसे बड़ा और सबसे छोटी संख्याअर्थहीन श्रेणी है। किसी एक को सबसे बड़ी संख्या में जोड़ना हमेशा संभव होता है, और यह अब सबसे बड़ी संख्या नहीं होगी। लेकिन प्रगति संभव नहीं होगी यदि वे नहीं थे जो अर्थ खोजना चाहते थे जहां यह नहीं होना चाहिए।

भयावह और अनिश्चित से परे अनंत दार्शनिक महत्व, विशुद्ध रूप से तकनीकी कठिनाइयों का निर्माण किया। मुझे बहुत बड़ी संख्या के लिए अंकन की तलाश करनी थी। सबसे पहले, यह मुख्य के लिए अलग से किया गया था भाषा समूह, और वैश्वीकरण के विकास के साथ, ऐसे शब्द सामने आए हैं जो सबसे बड़ी संख्या है, जिसे आम तौर पर दुनिया भर में स्वीकार किया जाता है।

दस, एक सौ, एक हजार

हर भाषा में, उन संख्याओं के लिए जिनमें व्यावहारिक मूल्य, अपना नाम पाया।

रूसी में, सबसे पहले, यह शून्य से दस तक की एक श्रृंखला है। सौ . तक आगे की संख्यानामित या उनके आधार पर, के साथ थोड़ा परिवर्तनजड़ें - "बीस" (दो बटा दस), "तीस" (तीन बटा दस), आदि, या यौगिक हैं: "इक्कीस", "पचास"। अपवाद - "चार" के बजाय हमारे पास अधिक सुविधाजनक "चालीस" है।

दो अंकों की सबसे बड़ी संख्या - "निन्यानवे" - का एक यौगिक नाम है। आगे उनके अपने पारंपरिक नामों से - "एक सौ" और "हजार", बाकी आवश्यक संयोजनों से बनते हैं। अन्य सामान्य भाषाओं में स्थिति समान है। यह सोचना तर्कसंगत है कि स्थापित नाम संख्याओं और अंकों को दिए गए थे जिनसे अधिकांश लोग निपटते थे। आम लोग. एक साधारण किसान भी कल्पना कर सकता है कि एक हजार मवेशियों का सिर क्या होता है। एक लाख के साथ यह अधिक कठिन था, और भ्रम शुरू हुआ।

मिलियन, क्विंटिलियन, डेसीबिलियन

15 वीं शताब्दी के मध्य में, सबसे बड़ी संख्या को इंगित करने के लिए, फ्रांसीसी निकोलस चाउक्वेट ने वैज्ञानिकों के बीच आम तौर पर स्वीकृत लैटिन से अंकों के आधार पर एक नामकरण प्रणाली का प्रस्ताव रखा। रूसी में, उन्होंने उच्चारण की सुविधा के लिए कुछ संशोधन किए हैं:

• 1 - यूनुस - संयुक्त राष्ट्र।
• 2 - डुओ, बीआई (डबल) - डुओ, बाय।
• 3 - ट्रेस - तीन।
• 4 - क्वाटूर - चतुर्भुज।
• 5-क्विंक-क्विंटेस।
• 6 - सेक्स - सेक्सी।
• 7 - सितंबर - सितंबर।
• 8 - अक्टूबर - ठीक है।
• 9 - नवंबर - नोनी।
• 10 - Decem - डेसी।

नामों का आधार -मिलियन, "मिलियन" से होना था - " बड़ा हजार» - यानी 1,000,000 - 1000^2 - एक हजार वर्ग। सबसे बड़ी संख्या का उल्लेख करने के लिए इस शब्द का प्रयोग सबसे पहले प्रसिद्ध नाविक और वैज्ञानिक मार्को पोलो ने किया था। तो, एक हजार से तीसरी शक्ति एक ट्रिलियन बन गई, 1000 ^ 4 एक क्वाड्रिलियन बन गई। एक अन्य फ्रांसीसी - पेलेटियर - ने "-बिलियन" के अंत का उपयोग करने का प्रस्ताव रखा, जिसे शुक्वेट ने "हजार मिलियन" (10 ^ 9), "हजार बिलियन" (10 ^ 15), आदि कहा। यह पता चला कि 1,000,000,000 एक अरब है, 10^15 एक बिलियर्ड है, 21 शून्य वाला एक ट्रिलियन है, इत्यादि।

शब्दावली फ्रांसीसी गणितज्ञकई देशों में इस्तेमाल किया गया है। लेकिन धीरे-धीरे यह स्पष्ट हो गया कि कुछ कार्यों में 10 ^ 9 को एक अरब नहीं, बल्कि एक अरब कहा जाने लगा। और संयुक्त राज्य अमेरिका में उन्होंने एक ऐसी प्रणाली अपनाई जिसके अनुसार अंतिम-मिलियन ने फ्रेंच की तरह एक मिलियन की नहीं, बल्कि हजारों की डिग्री प्राप्त की। नतीजतन, आज दुनिया में दो पैमाने हैं: "लंबा" और "छोटा"। यह समझने के लिए कि नाम से किस संख्या का अर्थ है, उदाहरण के लिए, एक क्वाड्रिलियन, यह स्पष्ट करना बेहतर है कि संख्या 10 किस हद तक बढ़ी है। रूस सहित (हालांकि, हमारे पास 10 ^ 9 है - एक अरब नहीं, बल्कि एक अरब) , यदि 24 विश्व के अधिकांश क्षेत्रों में स्वीकृत "लॉन्ग" है।

ट्रेडीसिलियन, विगिनटिलियार्ड और मिलियन

अंतिम अंक का उपयोग करने के बाद - डेसी, और एक डेसिलियन बनता है - जटिल शब्द संरचनाओं के बिना सबसे बड़ी संख्या - 10 ^ 33 छोटे पैमाने पर, अगले अंकों के लिए आवश्यक उपसर्गों के संयोजन का उपयोग किया जाता है। यह जटिल हो जाता है यौगिक नामटाइप ट्रेडेसिलियन - 10 ^ 42, क्विंडेसिलियन - 10 ^ 48, आदि। खुद के नामरोमनों को सम्मानित किया गया: बीस - विगिन्टी, एक सौ - सेंटम और एक हजार - मिल। शुक्वेट के नियमों का पालन करते हुए, कोई भी लंबे समय तक राक्षस नाम बना सकता है। उदाहरण के लिए, संख्या 10 ^ 308760 को डिसेंटड्यूओमाइलियनॉन्गेंटनोवेमडेसिलियन कहा जाता है।

लेकिन ये निर्माण केवल सीमित संख्या में लोगों के लिए रुचिकर हैं - इनका उपयोग व्यवहार में नहीं किया जाता है, और ये मात्राएँ स्वयं से बंधी भी नहीं हैं सैद्धांतिक कार्यया प्रमेय। यह विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक निर्माण के लिए है कि विशाल संख्याओं का इरादा है, कभी-कभी बहुत ही सोनोरस नाम दिए जाते हैं या लेखक के अंतिम नाम से पुकारे जाते हैं।

अँधेरा, सेना, असांखेया

बड़ी संख्या के सवाल ने "पूर्व-कंप्यूटर" पीढ़ियों को भी चिंतित किया। स्लाव के पास कई थे, कुछ में वे महान ऊंचाइयों तक पहुंचे: सबसे बड़ी संख्या 10 ^ 50 है। हमारे समय की ऊंचाई से, संख्याओं के नाम कविता की तरह लगते हैं, और केवल इतिहासकार और भाषाविद ही जानते हैं कि क्या उन सभी का व्यावहारिक अर्थ था: 10 ^ 4 - "अंधेरा", 10 ^ 5 - "लीजन", 10 ^ 6 - "लियोडर", 10 ^7 - कौवा, रेवेन, 10^8 - "डेक"।

नाम से कोई कम सुंदर नहीं, प्राचीन चीनी और प्राचीन भारतीय सूत्रों के संग्रह में बौद्ध ग्रंथों में असाख्ये की संख्या का उल्लेख किया गया है।

शोधकर्ता आसन संख्या का मात्रात्मक मान 10^140 के रूप में देते हैं। समझने वालों के लिए यह दिव्य अर्थ से भरपूर है : बस इतना ही अंतरिक्ष चक्रके लिए संचित सभी शारीरिक से शुद्ध होने के लिए आत्मा को गुजरना होगा लंबा रास्तापुनर्जन्म, और निर्वाण की आनंदमय अवस्था तक पहुँचें।

गूगल, गूगोलप्लेक्स

1920 के दशक की शुरुआत से कोलंबिया विश्वविद्यालय (यूएसए) के एक गणितज्ञ एडवर्ड कास्नर ने इस बारे में सोचना शुरू किया बड़ी संख्या. विशेष रूप से, वह सोनोरस में रुचि रखते थे और अभिव्यंजक नामसुंदर संख्या 10^100 के लिए। एक दिन वह अपने भतीजों के साथ घूम रहा था और उन्हें इस नंबर के बारे में बताया। नौ वर्षीय मिल्टन सिरोटा ने गूगोल - गूगोल शब्द का सुझाव दिया। चाचा को अपने भतीजों से एक बोनस भी मिला - एक नया नंबर, जिसे उन्होंने इस प्रकार समझाया: एक और जितने शून्य आप तब तक लिख सकते हैं जब तक आप पूरी तरह से थक नहीं जाते। इस नंबर का नाम गूगोलप्लेक्स था। प्रतिबिंब पर, काश्नर ने फैसला किया कि यह संख्या 10 ^ गूगोल होगी।

काश्नर ने ऐसी संख्याओं में अर्थ को अधिक शैक्षणिक रूप से देखा: उस समय विज्ञान को इतनी मात्रा में कुछ भी नहीं पता था, और उन्होंने भविष्य के गणितज्ञों को उनके उदाहरण से समझाया कि सबसे बड़ी संख्या क्या है जो अंतर को अनंत से रख सकती है।

नए खोज इंजन को बढ़ावा देने के लिए कंपनी के संस्थापकों द्वारा नामकरण की छोटी प्रतिभाओं के ठाठ विचार की सराहना की गई। गूगोल डोमेन लिया गया, और अक्षर ओ बाहर हो गया, लेकिन एक ऐसा नाम दिखाई दिया जिसके लिए एक अल्पकालिक संख्या किसी दिन वास्तविक हो सकती है - यह उसके शेयरों की लागत कितनी होगी।

शैनन नंबर, स्क्यूज़ नंबर, मेज़ॉन, मेगिस्टोन

भौतिकविदों के विपरीत, जो समय-समय पर प्रकृति द्वारा लगाई गई सीमाओं पर ठोकर खाते हैं, गणितज्ञ अनंत की ओर बढ़ते रहते हैं। शतरंज प्रेमी क्लाउड शैनन (1916-2001) ने 10 ^ 118 की संख्या को अर्थ के साथ भर दिया - यानी 40 चालों के भीतर पदों के कितने प्रकार उत्पन्न हो सकते हैं।

स्टेनली स्क्यूज़ ऑफ़ दक्षिण अफ्रीका"सहस्राब्दी समस्याओं" की सूची में शामिल सात कार्यों में से एक में लगा हुआ था - यह वितरण में पैटर्न की खोज से संबंधित है अभाज्य सँख्या. अपने तर्क के क्रम में, उन्होंने पहले 10^10^10^34 नंबर का इस्तेमाल किया, जिसे उन्होंने Sk 1 नामित किया, और फिर 10^10^10^963, Skuse की दूसरी संख्या, Sk 2 का इस्तेमाल किया।

यहां तक ​​कि सामान्य अंकन प्रणाली भी ऐसे नंबरों के साथ काम करने के लिए उपयुक्त नहीं है। ह्यूगो स्टीनहॉस (1887-1972) ने प्रयोग करने का सुझाव दिया ज्यामितीय आंकड़े: n त्रिभुज में n की घात n है, n वर्ग n त्रिभुजों में n है, n एक वृत्त में n वर्ग n है। उन्होंने एक सर्कल में मेगा - 2, सर्कल में मेज़ोन - 3, सर्कल में मेगिस्टन - 10 नंबरों के उदाहरण का उपयोग करके इस प्रणाली की व्याख्या की। उदाहरण के लिए, दो अंकों की सबसे बड़ी संख्या को निर्दिष्ट करना बहुत मुश्किल है, लेकिन विशाल मूल्यों के साथ काम करना आसान हो गया है।

प्रोफेसर डोनाल्ड नुथ ने तीर संकेतन का प्रस्ताव रखा, जिसमें पुनरावृत्ति को एक तीर द्वारा निरूपित किया गया था, जो प्रोग्रामर के अभ्यास से उधार लिया गया था। इस मामले में गूगोल 10102 जैसा दिखता है, और गूगोलप्लेक्स 1010102 जैसा दिखता है।

ग्राहम नंबर

रोनाल्ड ग्राहम (बी। 1935) अमेरिकी गणितज्ञ, हाइपरक्यूब से जुड़े रैमसे सिद्धांत के अध्ययन के दौरान - बहुआयामी ज्यामितीय निकाय- विशेष संख्या जी 1 - जी 64 पेश की, जिसकी मदद से उन्होंने समाधान की सीमाओं को चिह्नित किया, जहां ऊपरी सीमा सबसे बड़ी गुणक संख्या थी जिसने अपना नाम प्राप्त किया। उन्होंने अंतिम 20 अंकों की गणना भी की, और निम्नलिखित मान प्रारंभिक डेटा के रूप में कार्य करते हैं:

जी 1 \u003d 33 \u003d 8.7 x 10 ^ 115।

जी 2 \u003d 3 ... 3 (सुपरडिग्री तीरों की संख्या \u003d जी 1)।

जी 3 \u003d 3 ... 3 (सुपरडिग्री तीरों की संख्या \u003d जी 2)।

जी 64 = 3…3 (सुपर पावर तीरों की संख्या = जी 63)

G 64, जिसे केवल G कहा जाता है, गणितीय गणनाओं में उपयोग की जाने वाली दुनिया की सबसे बड़ी संख्या है। यह अभिलेखों की पुस्तक में शामिल है।

इसके पैमाने की कल्पना करना लगभग असंभव है, यह देखते हुए कि संपूर्ण मात्रा आदमी के लिए जाना जाता हैब्रह्मांड का, आयतन की सबसे छोटी इकाई (प्लांक लंबाई (10 -35 मीटर) के चेहरे के साथ एक घन) में व्यक्त किया गया, संख्या 10 ^ 185 द्वारा व्यक्त किया गया है।