इस शब्द के अन्य अर्थ हैं, बिंदु देखें। एक विमान पर बिंदुओं का एक सेट

दूरसंचार विभाग - सार वस्तुअंतरिक्ष में जिसमें कोई मापने योग्य विशेषता नहीं है (शून्य-आयामी वस्तु)। बिंदु में से एक है बुनियादी सिद्धांतगणित में।

यूक्लिडियन ज्यामिति में बिंदु

यूक्लिड ने एक बिंदु को "बिना भागों वाली वस्तु" के रूप में परिभाषित किया। यूक्लिडियन ज्यामिति के आधुनिक स्वयंसिद्धों में, एक बिंदु एक प्राथमिक अवधारणा है, जिसे केवल इसके गुणों की एक सूची द्वारा दिया जाता है - स्वयंसिद्ध।

चयनित समन्वय प्रणाली में, द्वि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष के किसी भी बिंदु को एक क्रमबद्ध जोड़ी के रूप में दर्शाया जा सकता है ( एक्स; आप) वास्तविक संख्या. इसी तरह, बिंदु एन-आयामी यूक्लिडियन स्पेस (साथ ही वेक्टर या एफ़िन स्पेस) को ट्यूपल के रूप में दर्शाया जा सकता है ( ए 1 , ए 2 , … , ए एन) से एनसंख्याएं।

लिंक

• बिंदु(अंग्रेज़ी) PlanetMath वेबसाइट पर।
• वीसस्टीन, एरिक डब्ल्यू।वोल्फ्राम मैथवर्ल्ड वेबसाइट पर इंगित करें।

मुद्दा यह है:

डॉट डॉट संज्ञा, कुंआ।, उपयोग अक्सर आकृति विज्ञान: (नहीं) क्या? डॉट्स, क्या? दूरसंचार विभाग, (क्या देखूं? दूरसंचार विभाग, कैसे? दूरसंचार विभाग, किस बारे में? बिंदु के बारे में; कृपया क्या? डॉट्स, (नहीं क्या? अंक, क्या? अंक, (क्या देखूं? डॉट्स, कैसे? डॉट्स, किस बारे में? अंक के बारे में 1. दूरसंचार विभाग- यह एक छोटा गोल धब्बा है, जो किसी नुकीली चीज या किसी चीज के स्पर्श से होने वाला निशान है।

डॉट पैटर्न। | पंचर बिंदु। | मानचित्र पर शहर को एक छोटे से बिंदु और उपलब्धता द्वारा दर्शाया गया है बाईपास रोडकोई केवल अनुमान लगा सकता है।

2. दूरसंचार विभाग- यह बहुत छोटा है, दूर से या अन्य कारणों से खराब दिखाई देता है।

क्षितिज पर इंगित करें। | जैसे ही गेंद आकाश के पश्चिमी भाग में क्षितिज के पास पहुंची, यह आकार में धीरे-धीरे कम होने लगी जब तक कि यह एक बिंदु में बदल नहीं गई।

3. दूरसंचार विभाग- एक विराम चिह्न जो वाक्य के अंत में या शब्दों को संक्षिप्त करते समय लगाया जाता है।

एक बिंदु रखो। | वाक्य के अंत में बिंदी लगाना न भूलें

4. गणित, ज्यामिति और भौतिकी में दूरसंचार विभागएक इकाई है जो अंतरिक्ष में स्थित है, एक रेखा खंड की सीमा है।

गणितीय बिंदु.

5. दूरसंचार विभागबुलाया निश्चित स्थानअंतरिक्ष में, जमीन पर या किसी चीज की सतह पर।

नियुक्ति बिंदु। | दर्द का स्थान।

6. दूरसंचार विभागउस स्थान को नाम दें जहां कुछ स्थित है या किया जाता है, सिस्टम या किसी बिंदु के नेटवर्क में एक निश्चित नोड।

प्रत्येक आउटलेट का अपना संकेत होना चाहिए।

7. दूरसंचार विभागवे किसी चीज के विकास की सीमा, विकास में एक निश्चित स्तर या क्षण कहते हैं।

नई उच्चतम बिंदु. | विकास में बिंदु। | स्थिति नाजुक स्थिति में पहुंच गई है। | यह मनुष्य की आध्यात्मिक शक्ति की अभिव्यक्ति का उच्चतम बिंदु है।

8. दूरसंचार विभागउस तापमान सीमा को कहते हैं जिस पर किसी पदार्थ का एक से परिवर्तन होता है एकत्रीकरण की स्थितिदूसरे में।

क्वथनांक। | हिमांक बिन्दू। | गलनांक। | कैसे अधिक ऊंचाईपानी का क्वथनांक जितना कम होगा।

9. अर्धविराम (;)एक विराम चिह्न कहा जाता है जो आम को अलग करने के लिए प्रयोग किया जाता है, अधिक स्वतंत्र भागसंयुक्त वाक्य।

पर अंग्रेजी भाषाव्यावहारिक रूप से उसी विराम चिह्न का उपयोग रूसी में किया जाता है: डॉट, कॉमा, अर्धविराम, डैश, एपोस्ट्रोफ, ब्रैकेट, इलिप्सिस, पूछताछ और विस्मयादिबोधक चिह्न, हाइफ़न।

10. जब वे बात करते हैं दृष्टिकोण, मतलब किसी समस्या के बारे में किसी की राय, चीजों पर एक नजर।

कम लोकप्रिय अब एक और दृष्टिकोण है, जिसे पहले लगभग सार्वभौमिक मान्यता प्राप्त थी। | आज कोई भी इस दृष्टिकोण को साझा नहीं करता है।

11. अगर लोगों को कहा जाता है संपर्क के बिंदुइसलिए उनके समान हित हैं।

हम आम जमीन खोजने में सक्षम हो सकते हैं।

12. अगर कुछ कहा जाता है बिंदु से बिंदु, जिसका अर्थ बिल्कुल सटीक मिलान है।

जिस जगह पर इशारा किया गया था, वहां एक कॉफी रंग की कार थी।

13. यदि किसी व्यक्ति को कहा जाता है बिंदु पर पहुंच गया, जिसका अर्थ है कि वह कुछ नकारात्मक गुणों के प्रकटीकरण में चरम सीमा पर पहुंच गया है।

हम बिंदु पर पहुंच गए हैं! तुम अब इस तरह नहीं जी सकते! | आप उसे यह नहीं बता सकते कि उनके बुद्धिमान नेतृत्व में गुप्त सेवाएं चरम पर पहुंच गई हैं।

14. अगर कोई अंत करता हैकिसी व्यवसाय में, इसका अर्थ है कि वह इसे रोक देता है।

फिर वह उत्प्रवास से अपनी मातृभूमि रूस लौट आया, to सोवियत संघ, और इसने उसकी सभी खोजों और विचारों को समाप्त कर दिया।

15. अगर कोई डॉट "और"(या मैं के ऊपर), जिसका अर्थ है कि वह मामले को उसके तार्किक निष्कर्ष पर लाता है, कुछ भी अनकहा नहीं छोड़ता है।

आइए डॉट द आई. मुझे आपकी पहल के बारे में कुछ नहीं पता था।

16. अगर कोई एक बिंदु हिट, जिसका अर्थ है कि उसने अपनी सारी शक्ति एक लक्ष्य को प्राप्त करने पर केंद्रित कर दी।

इसलिए उनके चित्र इतने अलग हैं। वह हमेशा एक बिंदु पर हिट करता है, कभी भी माध्यमिक विवरणों से दूर नहीं होता है। | वह अच्छी तरह से समझता है कि उसके व्यवसाय का कार्य क्या है, और उद्देश्यपूर्ण ढंग से एक बिंदु पर हिट करता है।

17. अगर कोई एकदम सही, जिसका अर्थ है कि उसने ठीक वही कहा या किया जिसकी आवश्यकता थी, इसका अनुमान लगाया।

प्रतियोगिता के अगले दौर में आए पहले अक्षर ने संपादकों को सुखद आश्चर्यचकित किया - सूचीबद्ध विकल्पों में से एक में, हमारे पाठक ने तुरंत छाप छोड़ी!

बिंदु विशेषण

एक्यूप्रेशर।

रूसी भाषा दिमित्रीव का व्याख्यात्मक शब्दकोश। डी.वी. दिमित्रीव। 2003.

दूरसंचार विभाग

दूरसंचार विभागमतलब हो सकता है:

विक्षनरी में एक लेख है "डॉट"

• एक बिंदु अंतरिक्ष में एक अमूर्त वस्तु है जिसमें निर्देशांक के अलावा कोई मापन योग्य विशेषता नहीं होती है।
• डॉट - स्वरों का विशिष्ट चिह्न, जिसे अक्षर के ऊपर, नीचे या बीच में रखा जा सकता है।
• बिंदु - रूसी में दूरी माप की एक इकाई और अंग्रेजी प्रणालीपैमाने।
• डॉट दशमलव विभाजक के प्रतिनिधित्व में से एक है।
• डॉट (नेटवर्क प्रौद्योगिकियां) - वैश्विक नेटवर्क डोमेन के पदानुक्रम में रूट डोमेन का पदनाम।
• Tochka - इलेक्ट्रॉनिक्स और मनोरंजन स्टोर की श्रृंखला
• Tochka - समूह "लेनिनग्राद" का एल्बम
• प्वाइंट - 2006 की रूसी फिल्म ग्रिगोरी रियाज़्स्की द्वारा इसी नाम की कहानी पर आधारित
• डॉट रैपर स्टेन का दूसरा स्टूडियो एलबम है।
• Tochka एक डिवीजनल मिसाइल सिस्टम है।
• Tochka - क्रास्नोयार्स्क यूथ एंड सबकल्चरल जर्नल।
• Tochka मास्को में एक क्लब और संगीत कार्यक्रम स्थल है।
• डॉट मोर्स कोड में वर्णों में से एक है।
• बिंदु युद्ध कर्तव्य का स्थान है।
• बिंदु (प्रसंस्करण) - मशीनिंग, मोड़, तेज करने की प्रक्रिया।
• सूत्री - एनटीवी पर सूचना और विश्लेषणात्मक कार्यक्रम।
• Tochka 2012 में स्थापित नोरिल्स्क शहर का एक रॉक बैंड है।

शीर्षनाम

कजाखस्तान

• दूरसंचार विभाग- 1992 तक, पूर्वी कजाकिस्तान क्षेत्र के उलान जिले के बयाश उटेपोव गांव का नाम।

रूस

• तोचका वोलोग्दा क्षेत्र के शेक्सनिंस्की जिले का एक गाँव है।
• तोचका नोवगोरोड क्षेत्र के वोलोतोव्स्की जिले का एक गाँव है।
• तोचका पेन्ज़ा क्षेत्र के लोपतिंस्की जिले का एक गाँव है।

क्या आप बिंदु और रेखा जैसी अवधारणाओं की परिभाषा दे सकते हैं?

हमारे स्कूलों और विश्वविद्यालयों में ये परिभाषाएँ नहीं थीं, हालाँकि वे मेरी राय में महत्वपूर्ण हैं (मुझे नहीं पता कि यह अन्य देशों में कैसा है)। हम इन अवधारणाओं को "सफल और असफल" के रूप में परिभाषित कर सकते हैं और विचार कर सकते हैं कि क्या यह सोच के विकास के लिए उपयोगी है।

पहलवान

अजीब है, लेकिन हमें एक बिंदु की परिभाषा दी गई थी। यह अंतरिक्ष में स्थित एक अमूर्त वस्तु (सम्मेलन) है, जिसका कोई आयाम नहीं है। यह पहली चीज है जिसे स्कूल में हमारे सिर में ठोका गया था - एक बिंदु का कोई आयाम नहीं है, यह एक "शून्य-आयामी" वस्तु है। एक सशर्त अवधारणा, ज्यामिति में बाकी सब कुछ की तरह।

सीधी रेखाएँ और भी कठिन हैं। सबसे पहले, यह एक पंक्ति है। दूसरे, यह एक निश्चित तरीके से अंतरिक्ष में स्थित बिंदुओं का एक समूह है। बहुत में सरल परिभाषायह दो बिंदुओं द्वारा परिभाषित एक रेखा है जिसके माध्यम से यह गुजरती है।

मेदिवह

एक बिंदु किसी प्रकार की अमूर्त वस्तु है। एक बिंदु के निर्देशांक होते हैं लेकिन कोई द्रव्यमान या आयाम नहीं होता है। ज्यामिति में, सब कुछ ठीक एक बिंदु से शुरू होता है, यह अन्य सभी आंकड़ों की शुरुआत है (लेखन में, वैसे भी, एक बिंदु के बिना एक शब्द की शुरुआत नहीं होगी)। एक सीधी रेखा दो बिंदुओं के बीच की दूरी है।

लियोनिद कुटनी

आप कुछ भी और कुछ भी परिभाषित कर सकते हैं। लेकिन एक सवाल है: क्या यह परिभाषा किसी विशेष विज्ञान में "काम" करेगी? हमारे पास जो है उसके आधार पर एक बिंदु, एक रेखा और एक तल को परिभाषित करने का कोई मतलब नहीं है। मुझे आर्थर की टिप्पणी वास्तव में पसंद आई। मैं यह जोड़ना चाहूंगा कि एक बिंदु में कई गुण होते हैं: इसकी कोई लंबाई, चौड़ाई, ऊंचाई, कोई द्रव्यमान और वजन नहीं होता है, आदि। लेकिन एक बिंदु की मुख्य संपत्ति यह है कि यह स्पष्ट रूप से एक के स्थान को इंगित करता है वस्तु, विमान पर एक वस्तु, अंतरिक्ष में। इसलिए हमें एक बिंदु की आवश्यकता है!लेकिन, एक चतुर पाठक कहेगा कि फिर एक किताब, एक कुर्सी, एक घड़ी और अन्य चीजों को एक बिंदु के रूप में लिया जा सकता है। बिल्कुल सही! इसलिए, एक बिंदु को परिभाषित करने का कोई मतलब नहीं है। साभार, एल.ए. कुटनीयू

एक सीधी रेखा ज्यामिति की मूल अवधारणाओं में से एक है।

अवधि कई भाषाओं में लेखन में विराम चिह्न है।

साथ ही, बिंदु मोर्स कोड के प्रतीकों में से एक है

इतनी सारी परिभाषाएँ :D

एक बिंदु, एक रेखा, एक विमान की परिभाषा मेरे द्वारा 80 के दशक के अंत में और 20वीं सदी के 90 के दशक की शुरुआत में दी गई थी। मैं एक लिंक देता हूं:

https://yadi.sk/d/bn5Cr4iirZwDP

328-पृष्ठ की मात्रा में, इन अवधारणाओं के संज्ञानात्मक सार को एक पूरी तरह से नए पहलू में वर्णित किया गया है, जिसे वास्तविक भौतिक विश्वदृष्टि और मेरे अस्तित्व की भावना के आधार पर समझाया गया है, जिसका अर्थ है "मैं" मौजूद है, जैसे ब्रह्मांड मैं जिस से संबंधित हूं वह मौजूद है।

सब कुछ में लिखा है इस कामप्रकृति और उसके गुणों के बारे में मानव जाति के ज्ञान से पुष्टि होती है जो बहुत पहले खोजी गई थी और अभी भी अध्ययन किया जा रहा है इस पलसमय। गणित को समझना और उसकी अमूर्त छवियों को तकनीकी सफलताओं के अभ्यास में लागू करना इतना कठिन हो गया है। नींव का खुलासा करने के बाद, जो कि मौलिक सिद्धांत हैं, एक छात्र को भी समझाना संभव है प्राथमिक स्कूलब्रह्मांड के अस्तित्व के अंतर्निहित कारण। पढ़ें और सच्चाई के करीब आएं। हिम्मत करो, जिस दुनिया में हम मौजूद हैं, वह आपके सामने एक नई रोशनी में खुलती है।

क्या गणित, ज्यामिति में "बिंदु" की अवधारणा की परिभाषा है।

मिखाइल लेविन

"अनिश्चित अवधारणा" एक परिभाषा है?

वास्तव में, यह अवधारणाओं की अनिश्चितता है जो गणित को विभिन्न वस्तुओं पर लागू करना संभव बनाती है।

एक गणितज्ञ यह भी कह सकता है "एक बिंदु से मेरा मतलब एक यूक्लिडियन विमान से होगा, एक विमान से मेरा मतलब एक यूक्लिडियन बिंदु होगा" - सभी स्वयंसिद्धों की जांच करें और प्राप्त करें नई ज्यामितिया नए प्रमेय।

मुद्दा यह है कि शब्द ए को परिभाषित करने के लिए, आपको बी शब्द का उपयोग करने की आवश्यकता है। बी को परिभाषित करने के लिए, आपको सी शब्द की आवश्यकता है। और इसी तरह विज्ञापन infinitum पर। और इस अनंत से बचने के लिए कुछ शर्तों को बिना परिभाषा के स्वीकार करना होगा और उन पर दूसरों की परिभाषाएं बनानी होंगी। ©

ग्रिगोरी पिवेन

गणित में, पिवेन ग्रिगोरी ए बिंदु अंतरिक्ष का एक हिस्सा है जिसे अमूर्त रूप से (प्रतिबिंबित) 1 के बराबर न्यूनतम लंबाई खंड के रूप में लिया जाता है, जिसका उपयोग अंतरिक्ष के अन्य भागों को मापने के लिए किया जाता है। इसलिए, एक व्यक्ति उत्पादक माप प्रक्रिया के लिए सुविधा के लिए एक बिंदु का पैमाना चुनता है: 1 मिमी, 1 सेमी, 1 मीटर, 1 किमी, 1 ए। ई।, 1 सेंट। साल। आदि।

यह भी देखें: http://akotlin.com/index.php?sec=1&lnk=2_07

अमूर्त का उपयोग गणित में ढाई सहस्राब्दियों से किया जाता रहा है। आयामहीन बिंदु, जो न केवल विरोधाभासी है व्यावहारिक बुद्धि, बल्कि भौतिक विज्ञान, रसायन विज्ञान जैसे विज्ञानों द्वारा प्राप्त आसपास की दुनिया के बारे में भी ज्ञान, क्वांटम यांत्रिकीऔर सूचना विज्ञान।

अन्य अमूर्त के विपरीत, एक आयामहीन गणितीय बिंदु का अमूर्तन वास्तविकता को आदर्श नहीं बनाता है, इसकी अनुभूति को सरल करता है, लेकिन जानबूझकर इसे विकृत करता है, इसे विपरीत अर्थ देता है, जो विशेष रूप से, उच्च आयामों के रिक्त स्थान को समझना और अध्ययन करना मौलिक रूप से असंभव बनाता है!

गणित में एक आयामहीन बिंदु के अमूर्त के उपयोग की तुलना मूल के उपयोग से की जा सकती है मौद्रिक इकाईशून्य लागत के साथ। सौभाग्य से, अर्थव्यवस्था ने इसके बारे में नहीं सोचा।

आइए हम एक आयामहीन बिंदु के अमूर्तता की बेरुखी को साबित करें।

प्रमेय। गणितीय बिंदु बड़ा है।

प्रमाण।

चूंकि गणित में

प्वाइंट_साइज = 0,

परिमित (गैर-शून्य) लंबाई के एक खंड के लिए, हमारे पास है

सेगमेंट_साइज़ = 0 + 0 + ... + 0 = 0।

खंड का प्राप्त शून्य आकार, इसके घटक बिंदुओं के अनुक्रम के रूप में, खंड की परिमित लंबाई की स्थिति का खंडन करता है। इसके अलावा, शून्य बिंदु आकार बेतुका है कि शून्य का योग शब्दों की संख्या पर निर्भर नहीं करता है, अर्थात, खंड में "शून्य" बिंदुओं की संख्या खंड के आकार को प्रभावित नहीं करती है।

इसलिए, गणितीय बिंदु के शून्य आकार के बारे में मूल धारणा गलत है।

इस प्रकार, यह तर्क दिया जा सकता है कि गणितीय बिंदु का एक गैर-शून्य (परिमित) आकार होता है। चूंकि बिंदु न केवल खंड से संबंधित है, बल्कि उस स्थान से भी है जिसमें खंड स्थित है, इसमें अंतरिक्ष का आयाम है, अर्थात गणितीय बिंदु बड़ा है। क्यू.ई.डी.

परिणाम।

उपरोक्त प्रमाण, गणितीय उपकरण का उपयोग करके किया गया कनिष्ठ समूह बाल विहार"सभी विज्ञानों की रानी" के पुजारियों और निपुणों के असीम ज्ञान पर गर्व करता है, जो सहस्राब्दी के माध्यम से ले जाने और मानव जाति के पुरातन भ्रम को अपने मूल रूप में भावी पीढ़ी के लिए संरक्षित करने में कामयाब रहे।

समीक्षा

प्रिय सिकंदर! मैं गणित में मजबूत नहीं हूं, लेकिन शायद आप मुझे बता सकते हैं कि कहां और किसके द्वारा यह कहा गया है कि बिंदु शून्य के बराबर है? एक और बात, उसके पास अनंत है छोटी राशि, सम्मेलन तक, लेकिन शून्य बिल्कुल नहीं। इस प्रकार, किसी भी खंड को शून्य माना जा सकता है, क्योंकि एक और खंड है जिसमें शामिल है अनंत समुच्चयप्रारंभिक खंड, मोटे तौर पर बोल रहे हैं। शायद हमें गणित और भौतिकी को भ्रमित नहीं करना चाहिए। गणित अस्तित्व का विज्ञान है, भौतिकी अस्तित्व के बारे में है। ईमानदारी से।

मैंने अकिलीज़ का दो बार विस्तार से उल्लेख किया और कई बार पासिंग में:
"अकिलीज़ कछुए को क्यों नहीं पकड़ता"
"अकिलीज़ और कछुआ - एक घन में एक विरोधाभास"

शायद ज़ेनो के विरोधाभास का एक समाधान यह है कि अंतरिक्ष असतत है और समय निरंतर है। उन्होंने माना, जैसा कि आपके लिए संभव है, कि दोनों असतत हैं। शरीर कुछ समय के लिए अंतरिक्ष में किसी बिंदु पर रह सकता है। लेकिन यह एक ही समय में अलग-अलग जगहों पर नहीं हो सकता। यह सब, ज़ाहिर है, शौकियापन, हमारे पूरे संवाद की तरह। ईमानदारी से।
वैसे, यदि कोई बिंदु 3D है, तो उसके आयाम क्या हैं?

समय की विसंगति इस प्रकार है, उदाहरण के लिए, एपोरिया "एरो" से। "एक साथ अलग-अलग जगहों पर रहना" केवल भौतिकविदों के लिए एक इलेक्ट्रॉन हो सकता है, जो सिद्धांत रूप में, ईथर की संरचना या 4-आयामी अंतरिक्ष की संरचना को नहीं समझते हैं और स्वीकार नहीं करते हैं। मैं इस घटना के किसी अन्य उदाहरण के बारे में नहीं जानता। मुझे हमारी बातचीत में कोई "शौकियापन" नहीं दिखता। इसके विपरीत, सब कुछ बेहद सरल है: एक बिंदु या तो आयामहीन होता है या उसका आकार होता है; निरंतरता और अनंत या तो मौजूद हैं या नहीं। तीसरा नहीं दिया गया है - या तो TRUE या FALSE! बुनियादी बातोंगणितज्ञ, दुर्भाग्य से, 2500 साल पहले अज्ञानता से स्वीकार किए गए झूठे हठधर्मिता पर बने हैं।

बिंदु का आकार समस्या के हल होने की स्थिति और आवश्यक सटीकता पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, यदि कोई गियर के लिए डिज़ाइन किया गया है कलाई घड़ी, तो सटीकता को परमाणु के आकार, यानी आठ दशमलव स्थानों तक सीमित किया जा सकता है। यहां परमाणु ही गणितीय बिंदु का भौतिक एनालॉग होगा। आपको कहीं न कहीं 16-वर्ण सटीकता की आवश्यकता हो सकती है; तब एक बिंदु की भूमिका ईथर के एक कण द्वारा निभाई जाएगी। ध्यान दें कि व्यवहार में कथित रूप से "अनंत" सटीकता के बारे में बात करना जंगली बकवास में बदल जाता है, या, इसे हल्के ढंग से, बेतुकापन में बदल जाता है।

मुझे अभी भी समझ नहीं आया: क्या बात मौजूद है? यदि यह वस्तुनिष्ठ रूप से मौजूद है, इसलिए इसका एक निश्चित भौतिक मूल्य है, यदि यह व्यक्तिपरक रूप से, हमारे मन के अमूर्त रूप में मौजूद है, तो इसका गणितीय मूल्य है। शून्य में कुछ भी नहीं है, यह अस्तित्व में नहीं है, यह गणित में गैर-अस्तित्व या भौतिकी में शून्यता की अमूर्त परिभाषा है। रिश्ते के बाहर बिंदु अपने आप में मौजूद नहीं है। जैसे ही दूसरा बिंदु प्रकट होता है, एक खंड प्रकट होता है - कुछ, आदि। इस विषय को अंतहीन रूप से विकसित किया जा सकता है। यूवी के साथ

मुझे ऐसा लग रहा था कि मैं लाया हूँ अच्छा उदाहरण, लेकिन शायद पर्याप्त विस्तृत नहीं है। वस्तुत: एक ऐसी दुनिया है जिसे विज्ञान पहचानता है, और वर्तमान समय में मुख्य रूप से पहचानता है गणितीय तरीके. गणित निर्माण करके दुनिया को पहचानता है गणितीय मॉडल. इन मॉडलों के निर्माण के लिए, बुनियादी गणितीय सार, विशेष रूप से, जैसे: बिंदु, रेखा, निरंतरता, अनंत। ये सार तत्व बुनियादी हैं क्योंकि अब उन्हें और उप-विभाजित और सरल बनाना संभव नहीं है। प्रत्येक मूल सार या तो पर्याप्त हो सकता है वस्तुगत सच्चाई(सच) या नहीं (झूठा)। उपरोक्त सभी सार प्रारंभिक रूप से झूठे हैं, क्योंकि वे वास्तविक दुनिया के बारे में नवीनतम ज्ञान का खंडन करते हैं। तो ये अमूर्तन रोकता है सही समझ असली दुनिया. जब विज्ञान त्रि-आयामी दुनिया का अध्ययन कर रहा था, तब कोई इसे किसी भी तरह से रख सकता था। हालाँकि, एक आयामहीन बिंदु और निरंतरता के सार तत्व उच्च आयाम के सभी संसारों को सिद्धांत रूप में अज्ञेय बनाते हैं!

ब्रह्मांड की ईंट - एक बिंदु - शून्य नहीं हो सकती। सभी जानते हैं कि खालीपन से कुछ नहीं आता। भौतिकविदों ने ईथर को गैर-मौजूद घोषित करते हुए दुनिया को खालीपन से भर दिया। मेरा मानना ​​​​है कि गणित ने अपने खाली बिंदु के साथ उन्हें इस मूर्खता की ओर धकेल दिया। मैं 4D से अधिक आयाम वाले संसार के परमाणुओं-बिंदुओं की बात नहीं कर रहा हूं। तो, प्रत्येक आयाम के लिए एक अविभाज्य (सशर्त) गणितीय बिंदु की भूमिका इस दुनिया (अंतरिक्ष, पदार्थ) के (सशर्त) अविभाज्य परमाणु द्वारा निभाई जाती है। 3D के लिए - एक भौतिक परमाणु, 4D के लिए - एक ईथर कण, 5D के लिए - एक सूक्ष्म परमाणु, 6D के लिए - एक मानसिक परमाणु, और इसी तरह। ईमानदारी से,

तो, क्या ब्रह्मांड की ईंट का कोई निरपेक्ष मूल्य है? और यह आपकी राय में, ईथर या मानसिक दुनिया में क्या दर्शाता है। मैं खुद दुनिया के बारे में पूछने से डरता हूं। ब्याज के साथ...

ईथर कण (वे परमाणु नहीं हैं!) इलेक्ट्रॉन-पॉज़िट्रॉन जोड़े हैं, जिसमें कण स्वयं प्रकाश की गति से एक दूसरे के सापेक्ष घूमते हैं। यह पूरी तरह से सभी न्यूक्लियंस की संरचना, प्रसार की व्याख्या करता है विद्युत चुम्बकीय दोलनऔर तथाकथित . के सभी प्रभाव भौतिक निर्वात. विचार के परमाणु की संरचना किसी के लिए भी अज्ञात है। केवल इस बात का प्रमाण है कि सभी उच्च दुनियासामग्री, अर्थात्, उनके अपने परमाणु हैं। निरपेक्ष की बात तक। आप विडंबनापूर्ण हो रहे हैं, यद्यपि। सच में wormholesऔर बिग बैंग्सक्या आपको यह अधिक विश्वसनीय लगता है?

यहां क्या विडंबना है, सूचना के इस तरह के हिमस्खलन के बाद थोड़ा सा अचंभित कर दिया। मैं, आपके विपरीत, एक पेशेवर नहीं हूं और मुझे रिक्त स्थान की पांच या छह-आयामीता के बारे में कुछ भी कहना मुश्किल लगता है। मैं अपने लंबे समय से पीड़ित बिंदु के बारे में हूं ... जहां तक ​​​​मैं समझता हूं, आप भौतिक निरंतरता के खिलाफ हैं, और मुद्दा यह है कि आपके पास वास्तव में एक मौजूदा "लोकतांत्रिक" परमाणु है। "ब्रह्मांड की ईंट"। हो सकता है कि मैं असावधान था, लेकिन फिर भी, इसकी संरचना, भौतिक मापदंडों, आयामों आदि को दोहराने में संकोच न करें।
और यह भी उत्तर दें कि क्या इकाई अपने आप में मौजूद है, जैसे, किसी भी संबंध के बाहर? धन्यवाद।

माप और आयाम की इकाइयाँ क्या हैं, यह जानने के बाद, अब हम वास्तविक माप की ओर बढ़ सकते हैं। पर स्कूल गणितदो माप उपकरण- (1) दूरियों को मापने के लिए एक रूलर और (2) कोणों को मापने के लिए एक चांदा।

दूरसंचार विभाग

दूरी हमेशा किन्हीं दो बिंदुओं के बीच मापी जाती है। व्यावहारिक दृष्टिकोण से, एक बिंदु एक छोटा सा धब्बा है जो कागज पर तब रहता है जब आप इसे पेंसिल या पेन से दबाते हैं। एक बिंदु निर्दिष्ट करने का एक और, अधिक पसंदीदा तरीका दो पतली रेखाओं के साथ एक क्रॉस खींचना है, जो सेट करता है दूरसंचार विभागउनके चौराहे। पुस्तकों में चित्रों पर, बिंदु को अक्सर एक छोटे काले घेरे के रूप में दर्शाया जाता है। लेकिन ये सब सिर्फ अनुमान हैं। दृश्य चित्र, लेकिन सख्त गणितीय अर्थों में, दूरसंचार विभाग - यह एक काल्पनिक वस्तु है जिसका आकार सभी दिशाओं में शून्य है। गणितज्ञों के लिए पूरी दुनिया डॉट्स से बनी है। डॉट्स हर जगह हैं। जब हम कागज पर कलम चलाते हैं या एक क्रॉस खींचते हैं, तो हम नहीं बना रहे हैं नया बिंदु, लेकिन किसी का ध्यान आकर्षित करने के लिए केवल मौजूदा पर एक निशान लगाएं। जब तक अन्यथा न कहा गया हो, यह समझा जाता है कि अंक स्थिर हैं और उनमें परिवर्तन नहीं होता है तुलनात्मक स्थिति. लेकिन एक गतिमान बिंदु की कल्पना करना मुश्किल नहीं है जो एक स्थान से दूसरे स्थान पर जाता है, जैसे कि एक में विलीन हो जाता है नियत बिन्दु, फिर दूसरे पर।

सीधा

एक रूलर को दो बिंदुओं से जोड़कर, हम उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींच सकते हैं, और, इसके अलावा, एक ही रास्ता. काल्पनिक गणितीय सीधा, एक काल्पनिक आदर्श शासक के साथ खींचा गया है, जिसकी मोटाई शून्य है और दोनों दिशाओं में अनंत तक फैली हुई है। एक वास्तविक चित्र में, यह काल्पनिक डिज़ाइन रूप लेता है:

दरअसल, इस तस्वीर में सब कुछ गलत है। यहां रेखा की मोटाई स्पष्ट रूप से शून्य से अधिक है, और यह कहने का कोई तरीका नहीं है कि रेखा अनंत तक फैली हुई है। फिर भी, इस तरह के गलत चित्र कल्पना के समर्थन के रूप में बहुत उपयोगी हैं, और हम उनका लगातार उपयोग करेंगे। एक बिंदु को दूसरे से अलग करना अधिक सुविधाजनक बनाने के लिए, उन्हें आमतौर पर चिह्नित किया जाता है बड़े अक्षर लैटिन वर्णमाला. इस आकृति में, उदाहरण के लिए, बिंदुओं को अक्षरों से चिह्नित किया गया है एऔर बी. बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा एऔर बी, स्वचालित रूप से "प्रत्यक्ष" नाम प्राप्त करता है एबी". संक्षिप्तता के लिए, संकेतन ( एबी), जहां "सीधे" शब्द छोड़ा गया है और गोल कोष्ठक. लाइनों को भी लेबल किया जा सकता है निचला मामला. ऊपर की आकृति में, सीधी रेखा एबीएक पत्र के साथ चिह्नित एन.

बिंदुओं से परे एऔर बीएक सीधी रेखा पर एनबड़ी संख्या में अन्य बिंदु हैं, जिनमें से प्रत्येक को किसी अन्य रेखा के साथ प्रतिच्छेदन के रूप में दर्शाया जा सकता है। एक ही बिंदु से होकर कई रेखाएँ खींची जा सकती हैं।

यदि हम जानते हैं कि एक रेखा पर गैर-संयोग बिंदु हैं ए, बी, सीऔर डी, तो इसे न केवल के रूप में निरूपित किया जा सकता है ( अब), लेकिन यह भी कि कैसे ( एसी), (बीडी), (सीडी) आदि।

रेखा खंड। लंबाई में कटौती। बिंदुओं के बीच की दूरी

दो बिन्दुओं से घिरी रेखा के भाग को कहते हैं खंड. ये सीमित बिंदु भी खंड से संबंधित हैं और इसे कहा जाता है। समाप्त होता है. एक खंड जिसका समापन बिंदु बिंदुओं पर है एऔर बी, "सेगमेंट . के रूप में निरूपित एबी' या, कुछ हद तक छोटा, [ एबी].

प्रत्येक खंड की विशेषता है लंबा- "चरणों" की संख्या (संभवतः भिन्नात्मक) जिसे एक छोर से दूसरे छोर तक जाने के लिए खंड के साथ ले जाना चाहिए। इस मामले में, "चरण" की लंबाई ही एक कड़ाई से निश्चित मान है, जिसे माप की एक इकाई के रूप में लिया जाता है। कागज की एक शीट पर खींचे गए रेखाखंडों की लंबाई को सबसे आसानी से मापा जाता है सेंटीमीटर. यदि खंड के अंतिम बिंदु बिंदुओं पर पड़ते हैं एऔर बी, तो इसकी लंबाई को | . के रूप में दर्शाया जाता है एबी|.

नीचे दूरीदो बिंदुओं के बीच उन्हें जोड़ने वाले खंड की लंबाई है। वास्तव में, हालांकि, दूरी को मापने के लिए एक खंड खींचने की आवश्यकता नहीं है - यह एक शासक को दोनों बिंदुओं पर संलग्न करने के लिए पर्याप्त है (जिस पर "चरणों" के निशान पूर्व-चिह्नित हैं)। चूंकि गणित में एक बिंदु एक काल्पनिक वस्तु है, इसलिए हमें अपनी कल्पना में एक आदर्श शासक का उपयोग करने से कोई नहीं रोकता है जो पूर्ण सटीकता के साथ दूरी को मापता है। हालांकि, किसी को यह नहीं भूलना चाहिए कि कागज पर क्रॉस के स्पॉट या केंद्रों पर लागू एक वास्तविक शासक आपको केवल एक मिलीमीटर की सटीकता के साथ दूरी निर्धारित करने की अनुमति देता है। दूरी हमेशा गैर-ऋणात्मक होती है।

एक रेखा पर एक बिंदु की स्थिति

आइए हम कुछ सीधी रेखा दें। हम उस पर एक मनमाना बिंदु अंकित करते हैं और इसे अक्षर द्वारा निरूपित करते हैं हे. चलिए इसके आगे नंबर 0 लगाते हैं। दो में से एक संभावित दिशाएंसीधी रेखा के साथ हम "सकारात्मक" कहेंगे, और इसके विपरीत - "नकारात्मक"। आमतौर पर, सकारात्मक दिशा बाएं से दाएं या नीचे से ऊपर की ओर ली जाती है, लेकिन यह आवश्यक नहीं है। तीर के साथ सकारात्मक दिशा को चिह्नित करें, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है:

अब रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु के लिए, हम इसे निर्धारित कर सकते हैं पद. बिंदु स्थिति एएक मान द्वारा दिया जाता है जो ऋणात्मक हो सकता है, शून्यया सकारात्मक। उसकी निरपेक्ष मूल्यबिंदुओं के बीच की दूरी के बराबर हेऔर ए(अर्थात, खंड की लंबाई हेए), और संकेत बिंदु से दिशा द्वारा निर्धारित किया जाता है हेआपको बिंदु पर जाने के लिए आगे बढ़ना होगा ए. यदि आपको सकारात्मक दिशा में आगे बढ़ने की जरूरत है, तो संकेत सकारात्मक है। यदि यह ऋणात्मक है, तो संकेत ऋणात्मक है। "स्थिति" शब्द के स्थान पर "स्थिति" शब्द समन्वय».

अपरिमेय और वास्तविक (वास्तविक) संख्याएँ

जब हम एक वास्तविक ड्राइंग के साथ काम कर रहे होते हैं और एक स्कूल शासक का उपयोग करके वास्तविक छेद पर वास्तविक बिंदु की स्थिति निर्धारित करते हैं, तो हमें निकटतम मिलीमीटर के लिए एक मान प्राप्त होता है। दूसरे शब्दों में, परिणाम निम्नलिखित श्रृंखला से लिया गया मान है:

0 मिमी, 1 मिमी, −1 मिमी, 2 मिमी, −2 मिमी, 3 मिमी, −3 मिमीआदि।

परिणाम बराबर नहीं हो सकता, उदाहरण के लिए, 1/3 से। मी, क्योंकि, जैसा कि हम जानते हैं, एक सेंटीमीटर के एक तिहाई को एक अनंत आवर्त भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है

0,333333333... से। मी,

जो गोलाई के बाद 0.3 . के बराबर होना चाहिए से। मी.

जब हम अपनी कल्पना में आदर्श गणितीय वस्तुओं में हेरफेर करते हैं तो यह अलग बात है।

सबसे पहले, इस मामले में, माप की इकाइयों को आसानी से त्याग दिया जा सकता है और विशेष रूप से आयाम रहित मात्रा के साथ संचालित किया जा सकता है। फिर हम ज्यामितीय निर्माण पर आते हैं जो हमें तब मिले जब हम गए थे परिमेय संख्या, और जिसे हमने नाम दिया संख्या रेखा:

चूंकि ज्यामिति में "लाइन" शब्द पहले से ही भारी "लोडेड" है, उसी निर्माण को अक्सर कहा जाता है संख्यात्मक अक्ष या केवल एक्सिस.

दूसरे, हम भली-भांति कल्पना कर सकते हैं कि किसी बिंदु का निर्देशांक किसी आवर्त द्वारा दिया जाता है दशमलव, पसंद करना

इसके अलावा, हम एक अनंत की कल्पना कर सकते हैं गैर आवधिकअंश, जैसे

1 ,01 001 0001 00001 000001 0000001 ...

1 ,23 45 67 89 1011 1213 1415 1617 1819 2021 ...

ऐसी काल्पनिक संख्याएँ, जिन्हें अनंत गैर-दोहराव वाले दशमलव अंशों के रूप में दर्शाया जाता है, कहलाती हैं तर्कहीन. अपरिमेय संख्याएँ, हमारे लिए पहले से परिचित परिमेय संख्याओं के साथ, तथाकथित बनाती हैं वैधसंख्याएं। "वैध" शब्द के बजाय हम "वैध" शब्द का भी उपयोग करते हैं असली". एक रेखा पर किसी बिंदु की किसी भी बोधगम्य स्थिति को वास्तविक संख्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। और इसके विपरीत, अगर हमें कुछ वास्तविक संख्या दी जाती है एक्स, हम हमेशा एक बिंदु की कल्पना कर सकते हैं एक्स, जिसकी स्थिति संख्या . द्वारा दी गई है एक्स.

पक्षपात

रहने दो ए- बिंदु निर्देशांक ए, ए बी- बिंदु निर्देशांक बी. फिर मान

वी = बी − ए

एक विस्थापन, जो बिंदु का अनुवाद करता है एबिल्कुल बी. यह विशेष रूप से स्पष्ट हो जाता है यदि पिछली समानता को फिर से लिखा जाता है

बी = ए + वी.

कभी-कभी वे "विस्थापन" शब्द के स्थान पर "विस्थापन" शब्द का प्रयोग करते हैं। वेक्टर". यह देखना आसान है कि स्थिति एक्समनमाना बिंदु एक्सएक ऑफसेट से ज्यादा कुछ नहीं है जो डॉट का अनुवाद करता है हे(शून्य के बराबर निर्देशांक के साथ) एक बिंदु तक एक्स:

एक्स= 0 + एक्स.

विस्थापन को एक दूसरे में जोड़ा जा सकता है, साथ ही एक दूसरे से घटाया भी जा सकता है। तो, यदि ऑफसेट ( बी − ए) बिंदु का अनुवाद करता है एबिल्कुल बी, और ऑफ़सेट ( सी − बी) बिंदु बीबिल्कुल सी, फिर ऑफ़सेट

(बी − ए) + (सी − बी) = सी − ए

बिंदु का अनुवाद करता है एबिल्कुल सी.

टिप्पणी।चीजों के तर्क के अनुसार, यहाँ यह स्पष्ट किया जाना चाहिए कि कैसे जोड़ना और घटाना है तर्कहीन संख्या, क्योंकि पूर्वाग्रह तर्कहीन भी हो सकता है। बेशक, गणितज्ञों ने उचित औपचारिक प्रक्रियाओं को विकसित करने का ध्यान रखा, लेकिन व्यवहार में हम इसका समाधान नहीं करेंगे, क्योंकि समाधान के लिए व्यावहारिक कार्यगोल मूल्यों के साथ अनुमानित गणना हमेशा पर्याप्त होती है। अभी के लिए, हम इसे केवल इस विश्वास पर लेंगे कि "जोड़" और "घटाव" की अवधारणाएं - साथ ही साथ "गुणा" और "भाग" - किसी भी दो वास्तविक संख्याओं के लिए सही ढंग से परिभाषित हैं (चेतावनी के साथ जिसे आप विभाजित नहीं कर सकते हैं) शून्य)।

यहां, शायद, "विस्थापन" और "दूरी" की अवधारणाओं के बीच सूक्ष्म अंतर को नोट करना उचित होगा। दूरी हमेशा गैर-ऋणात्मक होती है। यह वास्तव में, से लिया गया एक ऑफसेट है निरपेक्ष मूल्य. तो अगर ऑफसेट

वी = बी − ए

बिंदु का अनुवाद करता है एबिल्कुल बी, फिर दूरी एसबिंदुओं के बीच एऔर बीबराबरी

एस = |वी| = |बी − ए|.

यह समानता सत्य बनी रहती है, भले ही दोनों में से कौन सी संख्या बड़ी हो - एया बी.

विमान

एक व्यावहारिक अर्थ में, एक विमान कागज की एक शीट है जिस पर हम अपने ज्यामितीय चित्र बनाते हैं। काल्पनिक गणितीय विमानकागज की एक शीट से भिन्न होता है जिसमें इसकी मोटाई शून्य होती है और एक अनबाउंड सतह होती है जो तक फैली होती है विभिन्न पक्षअनन्त तक। इसके अलावा, कागज की एक शीट के विपरीत, गणितीय विमान बिल्कुल कठोर है: यह कभी झुकता या झुर्रीदार नहीं होता है - भले ही इसे डेस्क से फाड़ दिया गया हो और किसी भी तरह से अंतरिक्ष में रखा गया हो।

अंतरिक्ष में विमान का स्थान विशिष्ट रूप से तीन बिंदुओं द्वारा दिया जाता है (जब तक कि वे किसी एक सीधी रेखा पर न हों)। इसे बेहतर ढंग से देखने के लिए, आइए तीन ड्रा करें मनमाना अंक, हे, एऔर बी, और उनमें से दो सीधी रेखाएँ खींचिए ओएऔर ओबी, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है:

तीन बिंदुओं पर "झुकने" की तुलना में दो प्रतिच्छेदन रेखाओं पर कल्पना में एक विमान को "खिंचाव" करना पहले से ही कुछ आसान है। लेकिन और भी अधिक स्पष्टता के लिए, हम कुछ और अतिरिक्त निर्माण करेंगे। आइए यादृच्छिक रूप से कुछ बिंदु लें: लाइन पर कहीं भी एक ओए, और अन्य - लाइन पर कहीं भी ओबी. बिंदुओं के इस युग्म से एक नई रेखा खींचिए। अगला, इसी तरह से, हम बिंदुओं की एक और जोड़ी का चयन करते हैं और उनके माध्यम से एक और रेखा खींचते हैं। इस प्रक्रिया को कई बार दोहराने से हमें वेब जैसा कुछ मिलता है:

इस तरह की संरचना पर एक विमान लगाना पहले से ही काफी सरल है - खासकर जब से इस काल्पनिक वेब को इतना मोटा बनाया जा सकता है कि यह पूरे विमान को बिना अंतराल के कवर कर ले।

ध्यान दें कि यदि हम एक समतल पर गैर-संयोग बिंदुओं का एक जोड़ा लेते हैं और उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींचते हैं, तो यह सीधी रेखा आवश्यक रूप से उसी तल में होगी।

सार

दूरसंचार विभाग (ए, बी, आदि): एक काल्पनिक वस्तु जिसका आकार सभी दिशाओं में शून्य है।

सीधा (एन, एमया ( अब)): असीम रूप से पतली रेखा; दो बिंदुओं से गुजरा ( एऔर बी) शासक के साथ एक स्पष्ट तरीके से; दोनों दिशाओं में अनंत तक फैली हुई है।

रेखा खंड ([अब]): दो बिंदुओं से घिरी रेखा का भाग ( एऔर बी) - खंड के सिरे, जिन्हें खंड से संबंधित भी माना जाता है।

लंबाई में कटौती(|अब|): (आंशिक) सेंटीमीटर की संख्या (या माप की अन्य इकाई) जो सिरों के बीच फिट होती है ( एऔर बी).

दो बिंदुओं के बीच की दूरी: इन बिंदुओं पर समाप्त होने वाले रेखाखंड की लंबाई।

एक रेखा पर एक बिंदु की स्थिति (समन्वय): एक बिंदु से कुछ पूर्व-चयनित केंद्र (एक सीधी रेखा पर भी स्थित है) की दूरी एक प्लस या माइनस चिन्ह के साथ, जो केंद्र के किस तरफ स्थित है, के आधार पर।

एक सीधी रेखा पर एक बिंदु की स्थिति दी गई है वैध(असली)संख्या, अर्थात्, एक दशमलव अंश, जो या तो (1) परिमित या अनंत आवधिक हो सकता है ( परिमेय संख्या), या (2) अनंत गैर-आवधिक ( तर्कहीन संख्या).

पक्षपात, जो बिंदु का अनुवाद करता है ए(समन्वय के साथ ए) बिल्कुल बी(समन्वय के साथ बी): वी = बी − ए.

दूरी निरपेक्ष मान में लिए गए विस्थापन के बराबर है: | अब| = |बी − ए|.

विमान: कागज की एक असीम पतली शीट जो विभिन्न दिशाओं में अनंत तक फैली हुई है; तीन बिंदुओं द्वारा विशिष्ट रूप से परिभाषित किया गया है जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं हैं।

एक महत्वपूर्ण बिंदु की अवधारणा को अलग-अलग मैपिंग के मामले में सामान्यीकृत किया जा सकता है, और मनमाने ढंग से कई गुना के अलग-अलग मैपिंग के मामले में। f: N n → M m (\displaystyle f:N^(n)\to M^(m)). इस मामले में, एक महत्वपूर्ण बिंदु की परिभाषा यह है कि मैपिंग के जैकोबियन मैट्रिक्स की रैंक एफ (\ डिस्प्लेस्टाइल एफ)इसमें अधिकतम से कम है संभावित मूल्य, के बराबर ।

महत्वपूर्ण बिंदुफ़ंक्शंस और मैपिंग प्ले महत्वपूर्ण भूमिकागणित के क्षेत्रों में जैसे कि अंतर समीकरण, विविधताओं की गणना, स्थिरता सिद्धांत, और यांत्रिकी और भौतिकी में। सहज मानचित्रण के महत्वपूर्ण बिंदुओं का अध्ययन आपदा सिद्धांत में मुख्य प्रश्नों में से एक है। एक महत्वपूर्ण बिंदु की धारणा को अनंत-आयामी फ़ंक्शन रिक्त स्थान पर परिभाषित कार्यों के मामले में भी सामान्यीकृत किया जाता है। ऐसे कार्यों के महत्वपूर्ण बिंदुओं की खोज है महत्वपूर्ण भागविविधताओं की गणना। कार्यात्मक के महत्वपूर्ण बिंदु (जो बदले में, कार्य हैं) कहलाते हैं चरमपंथी.

औपचारिक परिभाषा

गंभीर(या विशेषया अचल) लगातार अलग-अलग मैपिंग का एक बिंदु f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m))एक बिंदु कहा जाता है जिस पर इस मानचित्रण का अंतर f ∗ = ∂ f ∂ x (\displaystyle f_(*)=(\frac (\partial f)(\partial x)))एक पतित रैखिक परिवर्तनसंबंधित स्पर्शरेखा रिक्त स्थान T x 0 R n (\displaystyle T_(x_(0))\mathbb (R) ^(n))और T f (x 0) R m (\displaystyle T_(f(x_(0)))\mathbb (R) ^(m)), अर्थात्, परिवर्तन छवि का आयाम f ∗ (x 0) (\displaystyle f_(*)(x_(0)))छोटे मिनट ( n , m ) (\displaystyle \min\(n,m\)). समन्वय संकेतन में n = m (\displaystyle n=m)इसका मतलब है कि जैकोबियन मैपिंग के जैकोबी मैट्रिक्स का निर्धारक है एफ (\ डिस्प्लेस्टाइल एफ), सभी आंशिक डेरिवेटिव से बना है f j x i (\displaystyle (\frac (\partial f_(j))(\partial x_(i))))- एक बिंदु पर गायब हो जाता है। रिक्त स्थान और आर एम (\displaystyle \mathbb (आर) ^(एम))इस परिभाषा में किस्मों द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है एन एन (\displaystyle एन^(एन))और एम एम (\displaystyle एम^(एम))समान आयाम।

सार्ड की प्रमेय

क्रिटिकल पॉइंट पर डिस्प्ले वैल्यू को इसका कहा जाता है गंभीर. सार्ड के प्रमेय के अनुसार, किसी भी पर्याप्त रूप से चिकनी मैपिंग के महत्वपूर्ण मूल्यों का सेट f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m))शून्य लेबेसेग माप है (हालांकि महत्वपूर्ण बिंदुओं की संख्या हो सकती है, उदाहरण के लिए, समान मानचित्रण के लिए, कोई भी बिंदु महत्वपूर्ण है)।

लगातार रैंक मैपिंग

यदि बिंदु के आसपास x 0 R n (\displaystyle x_(0)\in \mathbb (R) ^(n))लगातार अलग-अलग मैपिंग की रैंक f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m))एक ही संख्या के बराबर है r (\displaystyle r), तो इस बिंदु के आसपास के क्षेत्र में x 0 (\displaystyle x_(0))पर केंद्रित स्थानीय निर्देशांक हैं x 0 (\displaystyle x_(0)), और उसकी छवि के पड़ोस में - अंक y 0 = f (x 0) (\displaystyle y_(0)=f(x_(0)))- स्थानीय निर्देशांक हैं (y 1 ,… , y m) (\displaystyle (y_(1),\ldots ,y_(m)))पर केन्द्रित एफ (\ डिस्प्लेस्टाइल एफ)संबंधों द्वारा दिया जाता है:

वाई 1 = x 1 , … , y r = x r , y r + 1 = 0 , … , y m = 0. (\displaystyle y_(1)=x_(1),\ \ldots ,\ y_(r)=x_(r ),\ y_(r+1)=0,\ \ldots ,\ y_(m)=0.)

विशेष रूप से, यदि r = n = m (\displaystyle r=n=m), तो स्थानीय निर्देशांक हैं (x 1 ,… , x n) (\displaystyle (x_(1),\ldots ,x_(n)))पर केन्द्रित x 0 (\displaystyle x_(0))और स्थानीय निर्देशांक (y 1 ,… , y n) (\displaystyle (y_(1),\ldots ,y_(n)))पर केन्द्रित y 0 (\displaystyle y_(0)), जैसे कि वे प्रदर्शित करते हैं एफ (\ डिस्प्लेस्टाइल एफ)समान है।

हो रहा एम = 1

कब यह परिभाषाइसका मतलब है कि ढाल f = (f x 1 , … , f x n ) (\displaystyle \nabla f=(f"_(x_(1)),\ldots ,f"_(x_(n))))इस बिंदु पर गायब हो जाता है।

आइए मान लें कि फ़ंक्शन f: R n → R (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) )कम से कम की एक चिकनाई वर्ग है सी 3 (\displaystyle सी^(3)). फ़ंक्शन का महत्वपूर्ण बिंदु एफबुलाया गैर पतित, अगर इसमें एक हेसियन शामिल है | 2 एफ ∂ एक्स 2 | (\displaystyle (\Bigl |)(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))(\Bigr |))शून्य से भिन्न। एक गैर-अपक्षयी महत्वपूर्ण बिंदु के पड़ोस में, ऐसे निर्देशांक होते हैं जिनमें फ़ंक्शन एफएक द्विघात सामान्य रूप है (मोर्स लेम्मा)।

महत्वपूर्ण बिंदुओं को खराब करने के लिए मोर्स लेम्मा का एक प्राकृतिक सामान्यीकरण है टौज्रॉन का प्रमेय:समारोह के एक पतित महत्वपूर्ण बिंदु के पड़ोस में एफ, अवकलनीय असीमित संख्याटाइम्स () परिमित बहुलता µ (\displaystyle \mu )एक समन्वय प्रणाली है जिसमें सुचारू कार्यडिग्री के बहुपद का रूप है μ + 1 (\displaystyle \mu +1)(जैसा P μ + 1 (x) (\displaystyle P_(\mu +1)(x))कोई फ़ंक्शन का टेलर बहुपद ले सकता है f (x) (\displaystyle f(x))मूल निर्देशांक में एक बिंदु पर)।

पर एम = 1 (\displaystyle एम=1)किसी फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम के बारे में पूछना समझ में आता है। प्रसिद्ध कथन के अनुसार गणितीय विश्लेषण, एक निरंतर भिन्न कार्य एफ (\ डिस्प्लेस्टाइल एफ), पूरे अंतरिक्ष में परिभाषित आर एन (\displaystyle \mathbb (आर) ^(एन))या इसके खुले उपसमुच्चय में पहुँच सकते हैं स्थानीय अधिकतम(न्यूनतम) केवल महत्वपूर्ण बिंदुओं पर, और यदि बिंदु गैर-डीजेनरेट है, तो मैट्रिक्स (∂ 2 f ∂ x 2) = (∂ 2 f ∂ x i ∂ x j) , (\displaystyle (\Bigl ()(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))( \Bigr))=(\Bigl ()(\frac (\आंशिक ^(2)f)(\आंशिक x_(i)\आंशिक x_(j)))(\Bigr)),) मैं , j = 1 ,… , n , (\displaystyle i,j=1,\ldots ,n,)इसमें नकारात्मक (सकारात्मक) निश्चित होना चाहिए। बाद वाला भी है पर्याप्त स्थितिस्थानीय अधिकतम (क्रमशः, न्यूनतम)।

हो रहा एन = एम = 2

कब एन = एम = 2हमारे पास एक मैपिंग है एफएक विमान पर विमान (या द्वि-आयामी कई गुना एक और दो-आयामी कई गुना)। मान लेते हैं कि डिस्प्ले एफअलग-अलग अनंत बार ( सी (\displaystyle सी^(\infty ))) इस मामले में, मैपिंग के विशिष्ट महत्वपूर्ण बिंदु एफवे हैं जिनमें जैकोबियन मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर है, लेकिन इसकी रैंक 1 के बराबर है, और इसलिए मानचित्रण का अंतर है एफऐसे बिंदुओं पर एक आयामी कर्नेल होता है। विशिष्टता की दूसरी शर्त यह है कि प्रतिलोम-छवि तल पर विचार किए गए बिंदु के पड़ोस में, महत्वपूर्ण बिंदुओं का सेट एक नियमित वक्र बनाता है एस, और वक्र के लगभग सभी बिंदुओं पर एससार केर एफ (\displaystyle \ker \,f_(*))कोई सरोकार नहीं एस, जबकि जिन बिंदुओं पर यह मामला नहीं है वे अलग-थलग हैं और उन पर स्पर्शरेखा पहले क्रम की है। प्रथम प्रकार के क्रांतिक बिन्दु कहलाते हैं क्रीज अंक, और दूसरा प्रकार संयोजन बिंदु. फोल्ड और फोल्ड प्लेन-टू-प्लेन मैपिंग की एकमात्र प्रकार की विलक्षणताएं हैं जो छोटे गड़बड़ी के संबंध में स्थिर हैं: एक छोटे से गड़बड़ी के लिए, फोल्ड और फोल्ड पॉइंट वक्र के विरूपण के साथ ही थोड़ा सा चलते हैं। एस, लेकिन गायब न हों, पतित न हों, और अन्य विलक्षणताओं में न पड़ें।