यहाँ शंकु के साथ समस्याएँ हैं, स्थिति इसके सतह क्षेत्र से संबंधित है। विशेष रूप से, कुछ समस्याओं में शंकु की ऊंचाई या उसके आधार की त्रिज्या में वृद्धि (कमी) के साथ क्षेत्र को बदलने का सवाल है। थ्योरी फॉर प्रॉब्लम सॉल्विंग इन. निम्नलिखित कार्यों पर विचार करें:

27135. शंकु के आधार की परिधि 3 है, जनक 2 है। शंकु की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

शंकु की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल है:

डेटा में प्लगिंग:

75697. शंकु की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल में कितनी बार वृद्धि होगी यदि इसके जेनरेट्रिक्स को 36 गुना बढ़ा दिया जाए, और आधार की त्रिज्या समान रहे?

शंकु की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल:

जेनरेट्रिक्स 36 गुना बढ़ जाता है। त्रिज्या वही रहती है, जिसका अर्थ है कि आधार की परिधि नहीं बदली है।

तो संशोधित शंकु की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल इस तरह दिखेगा:

इस प्रकार, यह 36 गुना बढ़ जाएगा।

*निर्भरता सीधी है, इसलिए इस समस्या को मौखिक रूप से आसानी से हल किया जा सकता है।

27137. शंकु की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल कितनी बार घटेगा यदि इसके आधार की त्रिज्या 1.5 गुना कम कर दी जाए?

शंकु की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल है:

त्रिज्या 1.5 गुना कम हो जाती है, अर्थात:

यह पाया गया कि पार्श्व सतह क्षेत्र 1.5 गुना कम हो गया।

27159. शंकु की ऊँचाई 6 है, जनक 10 है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए पूरी सतहपाई द्वारा विभाजित।

शंकु की पूरी सतह:

त्रिज्या ज्ञात कीजिए:

ऊंचाई और जेनरेटर ज्ञात हैं, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा हम त्रिज्या की गणना करते हैं:

इस प्रकार:

परिणाम को पाई से विभाजित करें और उत्तर लिखें।

76299. शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 108 है। शंकु के आधार के समानांतर एक खंड खींचा जाता है, जो ऊंचाई को आधा में विभाजित करता है। काटे गए शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

खंड आधार के समानांतर मध्य ऊंचाई से होकर गुजरता है। तो आधार की त्रिज्या और काटे गए शंकु के जनक का 2 गुना होगा त्रिज्या से कमऔर मूल शंकु का जनक। आइए नीचे लिखें कि कटे हुए शंकु का सतह क्षेत्र किसके बराबर है:

उसे 4 बार जाने दिया कम क्षेत्रमूल की सतह, यानी 108:4 = 27.

* चूंकि मूल और कटे हुए शंकु समान निकाय हैं, इसलिए समानता संपत्ति का उपयोग करना भी संभव था:

27167. शंकु के आधार की त्रिज्या 3 है, ऊंचाई 4 है। शंकु के कुल सतह क्षेत्र को पाई से विभाजित करें।

एक शंकु की कुल सतह का सूत्र है:

त्रिज्या ज्ञात है, जेनरेटर को खोजना आवश्यक है।

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

इस प्रकार:

परिणाम को पाई से विभाजित करें और उत्तर लिखें।

काम। शंकु का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल चौगुना है अधिक क्षेत्रमैदान। क्या लगता है बराबर कोसाइनशंकु के जनक और आधार के तल के बीच का कोण।

शंकु के आधार का क्षेत्रफल है:

हम जानते हैं कि शंकु क्या होता है, आइए इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का प्रयास करें। ऐसी समस्या को हल करना क्यों आवश्यक है? उदाहरण के लिए, आपको यह समझने की जरूरत है कि कितना परीक्षा जाएगीवफ़ल शंकु बनाने के लिए? या किसी महल की ईंट की छत को गिराने में कितनी ईंटें लगेंगी?

एक शंकु के पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल को मापना आसान नहीं है। लेकिन कल्पना कीजिए कि उसी सींग को कपड़े में लपेटा गया है। कपड़े के एक टुकड़े के क्षेत्र को खोजने के लिए, आपको इसे टेबल पर काटने और फैलाने की जरूरत है। यह पता चला है सपाट आकृति, हम इसका क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।

चावल। 1. जेनरेट्रिक्स के साथ शंकु का खंड

चलो शंकु के साथ भी ऐसा ही करते हैं। आइए किसी भी जेनरेटर के साथ इसकी पार्श्व सतह को "काट" दें, उदाहरण के लिए, (चित्र 1 देखें)।

अब हम एक प्लेन पर साइड सरफेस को "अनइंड" करते हैं। हमें एक सेक्टर मिलता है। इस त्रिज्यखंड का केंद्र शंकु का शीर्ष है, त्रिज्यखंड की त्रिज्या शंकु के जनक के बराबर है, और इसके चाप की लंबाई शंकु के आधार की परिधि के साथ मेल खाती है। ऐसे त्रिज्यखंड को शंकु की पार्श्व सतह का विकास कहा जाता है (चित्र 2 देखें)।

चावल। 2. पार्श्व सतह का विकास

चावल। 3. रेडियन में कोण माप

आइए उपलब्ध आंकड़ों के अनुसार क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने का प्रयास करें। पहले, आइए एक संकेतन का परिचय दें: मान लें कि त्रिज्यखंड के शीर्ष पर कोण रेडियन में है (चित्र 3 देखें)।

कार्यों में हम अक्सर स्वीप के शीर्ष पर कोण का सामना करेंगे। इस बीच, आइए प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास करें: क्या यह कोण 360 डिग्री से अधिक नहीं हो सकता है? यानी क्या यह नहीं निकलेगा कि झाडू अपने आप सुपरइम्पोज़ हो जाएगा? बिलकूल नही। आइए इसे गणितीय रूप से सिद्ध करें। स्वीप को "ओवरलैप" करने दें। इसका मतलब है कि स्वीप चाप की लंबाई त्रिज्या की परिधि से अधिक है। लेकिन, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, स्वीप आर्क की लंबाई त्रिज्या की परिधि है। और शंकु के आधार की त्रिज्या, निश्चित रूप से, जेनरेटर से कम है, उदाहरण के लिए, क्योंकि एक समकोण त्रिभुज का पैर कर्ण से कम है

फिर आइए हम योजनामिति के पाठ्यक्रम से दो सूत्र याद करें: चाप की लंबाई। सेक्टर क्षेत्र : .

हमारे मामले में, भूमिका जेनरेटर द्वारा निभाई जाती है , और चाप की लंबाई शंकु के आधार की परिधि के बराबर है, अर्थात। हमारे पास है:

अंत में हमें मिलता है:

पार्श्व सतह क्षेत्र के साथ, कुल सतह क्षेत्र भी पाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आधार क्षेत्र को पार्श्व सतह क्षेत्र में जोड़ें। लेकिन आधार त्रिज्या का एक वृत्त है, जिसका क्षेत्रफल, सूत्र के अनुसार, है।

अंत में हमारे पास है: , जहाँ बेलन के आधार की त्रिज्या है, जनक है।

आइए दिए गए फ़ार्मुलों पर कुछ समस्याओं को हल करें।

चावल। 4. वांछित कोण

उदाहरण 1. शंकु की पार्श्व सतह का विकास एक त्रिज्यखंड है जिसके शीर्ष पर एक कोण होता है। यदि शंकु की ऊँचाई 4 सेमी है और आधार की त्रिज्या 3 सेमी है, तो यह कोण ज्ञात कीजिए (देखिए आकृति 4)।

चावल। 5. सही त्रिकोणएक शंकु बनाना

पहली क्रिया से, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, हम जेनरेट्रिक्स पाते हैं: 5 सेमी (चित्र 5 देखें)। इसके अलावा, हम जानते हैं कि .

उदाहरण 2. वर्ग अक्षीय खंडशंकु है , ऊँचाई है । कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (चित्र 6 देखिए)।

एक शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल (या केवल एक शंकु की सतह) आधार के क्षेत्रफल और पार्श्व सतह के योग के बराबर होता है।

शंकु की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: S = R मैं, जहां R शंकु के आधार की त्रिज्या है, और मैं- एक शंकु का जनक।

चूँकि शंकु के आधार का क्षेत्रफल R 2 (वृत्त के क्षेत्रफल के रूप में) है, तो शंकु की पूरी सतह का क्षेत्रफल बराबर होगा : R 2 + R मैं= R (आर + मैं).

एक शंकु की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल के लिए सूत्र प्राप्त करना इस तरह के तर्क से समझाया जा सकता है। चित्र में शंकु की पार्श्व सतह के विकास को दर्शाने दें। चाप AB को संभव में विभाजित करें अधिक बराबर भागऔर सभी विभाजन बिंदुओं को चाप के केंद्र के साथ, और पड़ोसी को एक दूसरे के साथ जीवाओं से जोड़ दें।

हमें एक श्रृंखला मिलती है समान त्रिभुज. प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल है एएच / 2, जहां ए- त्रिभुज के आधार की लंबाई, a एच- उसका उच्च।

सभी त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग है: एएच / 2 एन = अन्ह / 2, जहां एनत्रिभुजों की संख्या है।

पर बड़ी संख्याविभाजनों में, त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग विकास के क्षेत्र, यानी शंकु की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल के बहुत करीब हो जाता है। त्रिभुजों के आधारों का योग, अर्थात्। एक, चाप AB की लंबाई के बहुत करीब हो जाता है, यानी शंकु के आधार की परिधि के लिए। प्रत्येक त्रिभुज की ऊँचाई चाप की त्रिज्या के बहुत करीब हो जाती है, अर्थात शंकु के जनक के बहुत करीब हो जाती है।

इन मात्राओं के आकार में मामूली अंतर की उपेक्षा करते हुए, हम शंकु (एस) की पार्श्व सतह के क्षेत्र के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं:

एस = सी मैं / 2, जहाँ C शंकु के आधार की परिधि है, मैं- एक शंकु का जनक।

यह जानते हुए कि C \u003d 2πR, जहाँ R शंकु के आधार के वृत्त की त्रिज्या है, हम प्राप्त करते हैं: S \u003d R मैं.

टिप्पणी।सूत्र में एस = सी मैं / 2, सटीक, और अनुमानित नहीं, समानता का संकेत दिया गया है, हालांकि उपरोक्त तर्क के आधार पर, हम इस समानता को अनुमानित मान सकते हैं। लेकिन हाई स्कूल में उच्च विद्यालययह साबित होता है कि समानता

एस = सी मैं / 2 सटीक है, अनुमानित नहीं।

प्रमेय। शंकु की पार्श्व सतह आधार की परिधि के गुणनफल के बराबर होती है और आधा जेनरेटरिक्स।

आइए हम एक शंकु (चित्र) में कुछ लिखें सही पिरामिडऔर अक्षरों द्वारा निरूपित करें आरऔर मैंआधार की परिधि की लंबाई और इस पिरामिड के एपोटेम को व्यक्त करने वाली संख्याएँ।

फिर इसकी पार्श्व सतह को उत्पाद 1/2 द्वारा व्यक्त किया जाएगा आर मैं .

आइए अब मान लें कि आधार में अंकित बहुभुज की भुजाओं की संख्या अनिश्चित काल के लिए बढ़ जाती है। फिर परिधि आरआधार की परिधि और एपोथेम की लंबाई सी के रूप में ली गई सीमा तक पहुंच जाएगी मैंइसकी सीमा के रूप में एक शंकु जनरेटर होगा (चूंकि ΔSAK का तात्पर्य है कि SA - SK
1 / 2 आर मैं, 1/2 C . की सीमा तक जाएगा L. यह सीमा शंकु के पार्श्व पृष्ठ के मान के रूप में ली जाती है। शंकु की पार्श्व सतह को S अक्षर से निरूपित करते हुए, हम लिख सकते हैं:

एस = 1/2 सी एल = सी 1/2 ली

परिणाम।
1) चूंकि सी \u003d 2 π आर, तो शंकु की पार्श्व सतह सूत्र द्वारा व्यक्त की जाती है:

एस = 1/2 2π आर एल = π आर एल

2) यदि हम आधार क्षेत्र में पार्श्व सतह को जोड़ते हैं तो हमें शंकु की पूरी सतह मिलती है; इसलिए, पूर्ण सतह को T से निरूपित करने पर, हमारे पास होगा:

टी = π आरएल+ π आर 2 = π आर (एल + आर)

प्रमेय। पार्श्व सतह छोटा शंकुआधारों और जेनरेट्रिक्स की परिधि के आधे योग के उत्पाद के बराबर है।

आइए एक काटे गए शंकु (चित्र) में कुछ नियमित लिखें छोटा पिरामिडऔर अक्षरों द्वारा निरूपित करें आर, आर 1 और मैंसमान रैखिक इकाइयों में व्यक्त करने वाली संख्याएँ निचले और ऊपरी आधारों की परिधि की लंबाई और इस पिरामिड के एपोथेम की लंबाई।

तब उत्कीर्ण पिरामिड की पार्श्व सतह 1/2 ( पी + पी 1) मैं

उत्कीर्ण पिरामिड के पार्श्व चेहरों की संख्या में असीमित वृद्धि के साथ, परिधि आरऔर आर 1 आधारों के वृत्तों की लंबाई C और C 1 और एपोथेम के रूप में ली गई सीमाओं की ओर रुख करते हैं मैंइसकी सीमा के रूप में काटे गए शंकु के जेनरेट्रिक्स एल है। नतीजतन, उत्कीर्ण पिरामिड की पार्श्व सतह का मान (С + 1) एल के बराबर सीमा तक जाता है। इस सीमा को काटे गए शंकु की पार्श्व सतह के मान के रूप में लिया जाता है। काटे गए शंकु की पार्श्व सतह को S अक्षर से निरूपित करते हुए, हमारे पास होगा:

एस \u003d 1/2 (सी + सी 1) एल

परिणाम।
1) यदि R और R 1 का अर्थ निचले और ऊपरी आधारों के वृत्तों की त्रिज्या है, तो काटे गए शंकु की पार्श्व सतह होगी:

एस = 1/2 (2 .) π आर+2 π आर 1) एल = π (आर+आर1)एल.

2) यदि समलम्ब चतुर्भुज OO 1 A 1 A (चित्र) में, जिसके घूर्णन से एक काटे गए शंकु प्राप्त होता है, तो हम आकर्षित करते हैं मध्य पंक्तिईसा पूर्व, हम प्राप्त करते हैं:

बीसी \u003d 1/2 (ओए + ओ 1 ए 1) \u003d 1/2 (आर + आर 1),

आर + आर 1 = 2BC।

इसलिये,

एस = 2 π बीसी एल,

अर्थात। एक काटे गए शंकु की पार्श्व सतह औसत खंड और जेनरेट्रिक्स की परिधि के उत्पाद के बराबर होती है।

3) एक काटे गए शंकु का कुल पृष्ठ T इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

टी = π (आर 2 + आर 1 2 + आरएल + आर 1 एल)

स्कूल में पढ़े गए क्रांति के पिंड एक सिलेंडर, एक शंकु और एक गेंद हैं।

यदि गणित में USE कार्य में आपको शंकु के आयतन या गोले के क्षेत्रफल की गणना करने की आवश्यकता है, तो अपने आप को भाग्यशाली समझें।

बेलन, शंकु और गोले के आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए सूत्र लागू करें। वे सभी हमारी तालिका में हैं। कंठस्थ करना। यहीं से स्टीरियोमेट्री का ज्ञान शुरू होता है।

कभी-कभी शीर्ष दृश्य बनाना अच्छा होता है। या, जैसा कि इस समस्या में है, नीचे से।

2. शंकु का आयतन कितनी बार सही के पास परिचालित होता है चतुर्भुज पिरामिड, इस पिरामिड में खुदे हुए शंकु के आयतन से अधिक है?

सब कुछ सरल है - हम नीचे से एक दृश्य बनाते हैं। हम देखते हैं कि बड़े वृत्त की त्रिज्या छोटे वृत्त की त्रिज्या से कई गुना बड़ी होती है। दोनों शंकुओं की ऊँचाई समान है। इसलिए, मात्रा बड़ा शंकुदोगुना होगा।

एक और महत्वपूर्ण बिंदु. याद रखें कि पार्ट बी के कार्यों में उपयोग विकल्पगणित में, उत्तर को पूर्णांक या परिमित के रूप में लिखा जाता है दशमलव अंश. इसलिए, आपके पास भाग बी में कोई या आपके उत्तर में नहीं होना चाहिए। संख्या के अनुमानित मूल्य को प्रतिस्थापित करना भी आवश्यक नहीं है! इसे कम किया जाना चाहिए! यह इसके लिए है कि कुछ कार्यों में कार्य तैयार किया जाता है, उदाहरण के लिए, इस प्रकार है: "सिलेंडर की पार्श्व सतह के क्षेत्र को विभाजित करके खोजें"।

और क्रांति के पिंडों के आयतन और सतह क्षेत्र के सूत्र और कहाँ उपयोग किए जाते हैं? बेशक, समस्या C2 (16) में। हम आपको इसके बारे में भी बताएंगे।