परिभाषा. भीतर आएं एन दोहराया प्रयोग (परीक्षण) कुछ घटना लेकिन आया एन ए एक बार।

संख्या एन ए घटना की आवृत्ति कहा जाता है लेकिन , और अनुपात

घटना की आपेक्षिक आवृत्ति (या आवृत्ति) कहलाती है लेकिन परीक्षणों की इस श्रृंखला में।

सापेक्ष आवृत्ति गुण

किसी घटना की सापेक्ष आवृत्ति में निम्नलिखित गुण होते हैं।

1. किसी भी घटना की बारंबारता शून्य से एक की सीमा में होती है, अर्थात।

2. आवृत्ति असंभव घटनाशून्य के बराबर है, अर्थात्।

3. आवृत्ति निश्चित घटना 1 के बराबर है, अर्थात्

4. दो . के योग की आवृत्ति असंगत घटनाएंइन घटनाओं की आवृत्तियों (आवृत्तियों) के योग के बराबर है, अर्थात। अगर =Ø, तो

आवृत्ति है संपत्ति , एक संपत्ति कहा जाता है सांख्यिकीय स्थिरता : प्रयोगों की संख्या में वृद्धि के साथ (अर्थात वृद्धि के साथ एन ) किसी घटना की आवृत्ति इस घटना की संभावना के करीब मान लेती है आर .

परिभाषा। घटना A की सांख्यिकीय प्रायिकतावह संख्या जिसके चारों ओर किसी घटना की सापेक्ष आवृत्ति में उतार-चढ़ाव होता है, कहलाती है लेकिन पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में परीक्षणों (प्रयोगों) के साथ एन .

घटना की संभावना लेकिन प्रतीक द्वारा निरूपित आर (लेकिन ) या आर (लेकिन ) "संभावना" की अवधारणा के प्रतीक के रूप में पत्र की उपस्थिति आर में प्रथम स्थान पर अपनी उपस्थिति से निर्धारित होता है अंग्रेज़ी शब्द संभावना - संभावना।

इसके अनुसार यह परिभाषा

गुण सांख्यिकीय संभावना

1. किसी भी घटना की सांख्यिकीय संभावना लेकिनशून्य और एक के बीच है, अर्थात

2. एक असंभव घटना की सांख्यिकीय संभावना ( लेकिन= ) शून्य के बराबर है, अर्थात।

3. एक निश्चित घटना की सांख्यिकीय संभावना ( लेकिन= ) एक के बराबर है, अर्थात,

4. सांख्यिकीय संभावना योग असंगत घटनाएँ इन घटनाओं की प्रायिकताओं के योग के बराबर होती हैं, अर्थात्। अगर ए बी= , तब

प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा

प्रयोग को के साथ करने दें एन परिणाम जिन्हें असंगत समान रूप से संभावित घटनाओं के समूह के रूप में दर्शाया जा सकता है। वह मामला जिसके कारण घटना घटित होती है लेकिन , अनुकूल या अनुकूल कहा जाता है, अर्थात। हो रहा वू घटना का कारण बनता है लेकिन , वा .

परिभाषा. किसी घटना की प्रायिकता लेकिन संख्या का अनुपात कहा जाता है एम इस घटना के अनुकूल मामलों की कुल संख्या एन मामले, यानी

"शास्त्रीय" संभावना के गुण

1. स्वयंसिद्ध गैर-नकारात्मकता : किसी घटना की प्रायिकता लेकिनगैर-ऋणात्मक है, अर्थात्।

आर(लेकिन) ≥ 0.

2. स्वयंसिद्ध मानकीकरण : कुछ घटना की संभावना ( लेकिन= ) एक के बराबर है:

3. स्वयंसिद्ध additivity : योग की प्रायिकता असंगत घटनाएँ (या दो असंगत घटनाओं में से एक के घटित होने की प्रायिकता) इन घटनाओं की प्रायिकताओं के योग के बराबर होती है, अर्थात्। अगर ए बी=Ø, तब

घटना की संभावना: आर() = 1 – आर(लेकिन)।

किसी घटना की प्रायिकता के लिए जो योग है कोई भी दो घटनाएं लेकिनऔर पर,सही सूत्र है:

अगर घटनाएं लेकिनऔर परएक ही समय में एक परीक्षण के परिणामस्वरूप नहीं हो सकता है, अर्थात। दूसरे शब्दों में, यदि ए बी- असंभव घटना, उन्हें कहा जाता है असंगत या असंगत , और फिर आर(ए बी) = 0 और घटनाओं के योग की संभावना का सूत्र विशेष रूप से सरल रूप लेता है:

यदि घटनाएं लेकिनऔर परएक परीक्षण के परिणामस्वरूप हो सकता है, उन्हें कहा जाता है अनुकूल .

उपयोगी एल्गोरिथम

संभावनाओं का पता लगाते समय शास्त्रीय परिभाषासंभाव्यता को निम्नलिखित एल्गोरिथम का पालन करना चाहिए।

1. यह स्पष्ट रूप से समझना आवश्यक है कि प्रयोग क्या है।

2. स्पष्ट रूप से बताएं कि घटना क्या है लेकिनजिसकी संभावना तलाशी जा रही है।

3. स्पष्ट रूप से तैयार करें कि विचाराधीन समस्या में प्राथमिक घटना क्या होगी। एक प्रारंभिक घटना को तैयार और परिभाषित करने के बाद, किसी को तीन शर्तों की जांच करनी चाहिए जो परिणामों के एक सेट से संतुष्ट होनी चाहिए, अर्थात। .

6. प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा के बाद, निर्धारित करें

समस्याओं का समाधान करते समय सबसे आम गलती एक प्राथमिक घटना के रूप में क्या लिया जाता है की एक अस्पष्ट समझ है वू , और सेट के निर्माण की शुद्धता और किसी घटना की संभावना की गणना की शुद्धता इस पर निर्भर करती है। आमतौर पर, व्यवहार में, सबसे सरल परिणाम को एक प्राथमिक घटना के रूप में लिया जाता है, जिसे सरल लोगों में "विभाजित" नहीं किया जा सकता है।

संभाव्यता के साथ-साथ सापेक्ष आवृत्ति, संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणाओं से संबंधित है।

सापेक्ष आवृत्तिघटनाओं का तात्पर्य उन परीक्षणों की संख्या के अनुपात से है जिनमें घटना घटित हुई और वास्तव में किए गए परीक्षणों की कुल संख्या। इस प्रकार, घटना की सापेक्ष आवृत्ति एसूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

वू(ए) = एम/एन,

कहाँ पे एमघटना की घटनाओं की संख्या है, एन – कुल गणनापरीक्षण।

संभाव्यता और सापेक्ष आवृत्ति की परिभाषाओं की तुलना करते हुए, हम निष्कर्ष निकालते हैं: संभाव्यता की परिभाषा के लिए यह आवश्यक नहीं है कि परीक्षण वास्तविकता में किए जाएं; हालांकि, सापेक्ष आवृत्ति का निर्धारण मानता है कि परीक्षण वास्तव में किए गए थे। दूसरे शब्दों में, संभावना की गणना अनुभव से पहले की जाती है, सापेक्ष आवृत्ति - अनुभव के बाद।

उदाहरण 1तकनीकी नियंत्रण विभाग ने 80 बेतरतीब ढंग से चयनित भागों के एक बैच में 3 गैर-मानक भागों को पाया। गैर-मानक भागों की घटना की सापेक्ष आवृत्ति

वू(ए) =3/80.

उदाहरण 2लक्ष्य पर 24 गोलियां चलाई गईं, और 19 हिट दर्ज की गईं। सापेक्ष हिट दर

वू(ए) =19/24.

लंबी अवधि के अवलोकनों से पता चला है कि यदि समान शर्तेंप्रयोगों का उत्पादन करें, जिनमें से प्रत्येक में परीक्षणों की संख्या काफी बड़ी है, तो सापेक्ष आवृत्ति स्थिरता की संपत्ति को प्रकट करती है। यह संपत्ति है क्या अंदर विभिन्न अनुभवसापेक्ष आवृत्ति में थोड़ा परिवर्तन होता है(कम, अधिक परीक्षण किए जाते हैं), कुछ स्थिर संख्या के आसपास उतार-चढ़ाव. यह पता चला कि यह स्थिर संख्याघटना घटने की संभावना है।

इस प्रकार, यदि अनुभवसापेक्ष आवृत्ति सेट की जाती है, तो परिणामी संख्या को संभाव्यता के अनुमानित मूल्य के रूप में लिया जा सकता है।

सापेक्ष आवृत्ति और संभाव्यता के बीच संबंध को और अधिक विस्तार से और अधिक सटीक रूप से नीचे वर्णित किया जाएगा। आइए अब हम स्थिरता गुण को उदाहरणों के साथ स्पष्ट करते हैं।

उदाहरण 3स्वीडिश आंकड़ों के अनुसार, 1935 में लड़कियों के जन्म की सापेक्षिक आवृत्ति। महीनों तक यह निम्नलिखित संख्याओं की विशेषता है (संख्याएं जनवरी से शुरू होने वाले महीनों के क्रम में व्यवस्थित की जाती हैं): 0.486; 0.489; 0.490; 0.471; 0.478; 0.482; 0.462; 0.484; 0.485; 0.491; 0.482; 0.473

सापेक्ष आवृत्ति संख्या 0.482 के आसपास उतार-चढ़ाव करती है, जिसे लड़कियों के होने की संभावना के अनुमानित मूल्य के रूप में लिया जा सकता है।

ध्यान दें कि आंकड़े विभिन्न देशलगभग समान सापेक्ष आवृत्ति मान दें।

उदाहरण 4एक सिक्के को उछालकर बार-बार प्रयोग किए गए, जिसमें "हथियारों के कोट" की घटनाओं की संख्या को गिना गया। कई प्रयोगों के परिणाम तालिका .1 में दिखाए गए हैं।

यहाँ, सापेक्ष आवृत्तियाँ 0.5 की संख्या से थोड़ी विचलित होती हैं, और कम, कम अधिक संख्यापरीक्षण। उदाहरण के लिए, 4040 परीक्षणों के साथ विचलन 0.0069 है, लेकिन 24000 परीक्षणों के साथ यह केवल 0.0005 है। इस बात को ध्यान में रखते हुए कि एक सिक्का उछालने पर "हथियारों का कोट" दिखने की संभावना 0.5 है, हम फिर से देखते हैं कि सापेक्ष आवृत्ति प्रायिकता के आसपास उतार-चढ़ाव करती है।

§ 7. प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा की सीमा। सांख्यिकीय संभावना

प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा मानती है कि एक परीक्षण के प्राथमिक परिणामों की संख्या सीमित है। व्यवहार में, हालांकि, बहुत बार परीक्षण होते हैं, जिनमें से संभावित परिणामों की संख्या अनंत होती है। ऐसे मामलों में, शास्त्रीय परिभाषा लागू नहीं होती है। यह परिस्थिति पहले से ही शास्त्रीय परिभाषा की सीमाओं की ओर इशारा करती है। उल्लेखनीय कमी को दूर किया जा सकता है, विशेष रूप से, ज्यामितीय संभावनाओं (§ 8 देखें) और निश्चित रूप से, स्वयंसिद्ध संभावना (§ 3, टिप्पणी देखें) का उपयोग करके दूर किया जा सकता है।

ज़्यादातर कमजोर पक्षशास्त्रीय परिभाषा यह है कि प्राथमिक घटनाओं के एक सेट के रूप में एक परीक्षण के परिणाम का प्रतिनिधित्व करना अक्सर असंभव होता है। प्रारंभिक घटनाओं को समान रूप से संभावित मानने के आधारों को इंगित करना और भी कठिन है। आमतौर पर, एक परीक्षण के प्राथमिक परिणामों की समानता को समरूपता की दृष्टि से कहा जाता है। तो, उदाहरण के लिए, यह माना जाता है कि पासारूप है नियमित बहुफलक(घन) और से बना है सजातीय सामग्री. हालाँकि, जिन समस्याओं में कोई समरूपता के विचारों से आगे बढ़ सकता है, वे व्यवहार में बहुत दुर्लभ हैं। इस कारण से, संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा के साथ, अन्य परिभाषाओं का उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से, सांख्यिकीय परिभाषा: सापेक्ष आवृत्ति या उसके निकट की संख्या को किसी घटना की सांख्यिकीय प्रायिकता के रूप में लिया जाता है।उदाहरण के लिए, यदि परिणाम पर्याप्त है एक लंबी संख्यापरीक्षणों से पता चला कि सापेक्ष आवृत्ति संख्या 0.4 के बहुत करीब है, तो इस संख्या को घटना की सांख्यिकीय संभावना के रूप में लिया जा सकता है।

यह सत्यापित करना आसान है कि संभाव्यता के गुण जो शास्त्रीय परिभाषा (§ 3 देखें) से अनुसरण करते हैं, संभाव्यता की सांख्यिकीय परिभाषा में भी संरक्षित हैं। दरअसल, अगर घटना सच है, तो एम =एनऔर सापेक्ष आवृत्ति

एम/एन = एन/एन = 1,

वे। एक निश्चित घटना की सांख्यिकीय संभावना (जैसा कि शास्त्रीय परिभाषा के मामले में) एक के बराबर है।

यदि घटना संभव नहीं है, तो एम= 0 और इसलिए सापेक्ष आवृत्ति

0/एन = 0,

वे। एक असंभव घटना की सांख्यिकीय संभावना शून्य है।

किसी भी घटना के लिए 0 एम एनऔर इसलिए सापेक्ष आवृत्ति

0 एम/एन 1,

वे। किसी भी घटना की सांख्यिकीय संभावना शून्य और एक के बीच होती है।

किसी घटना की सांख्यिकीय प्रायिकता के अस्तित्व के लिए एआवश्यक:

ए) संभावना, कम से कम सिद्धांत रूप में, असीमित संख्या में परीक्षण करने के लिए, जिनमें से प्रत्येक में घटना एहोता है या नहीं होता है;

बी) स्थिरता सापेक्ष आवृत्तियोंउपस्थिति एपर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में परीक्षणों की विभिन्न श्रृंखलाओं में।

हानि सांख्यिकीय परिभाषासांख्यिकीय संभावना की अस्पष्टता है; इसलिए, दिए गए उदाहरण में, न केवल 0.4, बल्कि 0.39 को भी किसी घटना की प्रायिकता के रूप में लिया जा सकता है; 0.41 आदि

ज्यामितीय संभावनाएं

संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा के नुकसान को दूर करने के लिए, जो कि परीक्षणों पर लागू नहीं होता है एक अनंत संख्यापरिणाम, दर्ज करें ज्यामितीय संभावनाएं- बिंदु क्षेत्र (खंड, विमान का हिस्सा, आदि) से टकराने की संभावना।

चलो खंड मैंखंड का हिस्सा बनता है ली. एक खंड के लिए लीयादृच्छिक बिंदु। इसका अर्थ है निम्नलिखित मान्यताओं की पूर्ति: सेट बिंदु खंड के किसी भी बिंदु पर हो सकता है ली, एक खंड पर गिरने वाले बिंदु की संभावना मैंइस खंड की लंबाई के लिए आनुपातिक है और खंड के सापेक्ष इसके स्थान पर निर्भर नहीं करता है ली. इन मान्यताओं के तहत, एक खंड पर एक बिंदु के गिरने की संभावना मैंसमानता द्वारा परिभाषित किया गया है

पी= लंबाई मैं/ लंबाई ली.

उदाहरण 1 ।एक खंड के लिए ओएलंबाई ली संख्यात्मक अक्ष बैलयादृच्छिक बिंदु बी(एक्स) प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि खण्डों में से छोटे ओबीऔर बी ० एएक लंबी लंबाई है ली

फेसला। आइए खंड को विभाजित करें ओएडॉट्स सीऔर डी 3 बराबर भागों में। कार्य आवश्यकता को पूरा किया जाएगा यदि बिंदु बी(एक्स) खंड पर पड़ता है सीडीलंबाई ली/ 3। वांछित संभावना

पी = (ली /3)/ली = 1/3.

चलो एक सपाट आंकड़ा जीएक सपाट आकृति का हिस्सा बनता है जी. चित्र पर जीएक बिंदु यादृच्छिक रूप से फेंका जाता है। इसका अर्थ है निम्नलिखित मान्यताओं की पूर्ति: फेंका गया बिंदु आकृति के किसी भी बिंदु पर हो सकता है जी, संभावना है कि फेंका गया बिंदु आकृति को हिट करता है जीइस आकृति के क्षेत्रफल के समानुपाती और इसके सापेक्ष स्थान पर निर्भर नहीं करता जी, न तो रूप से जी. इन मान्यताओं के तहत, किसी बिंदु के एक अंक में गिरने की प्रायिकता जीसमानता द्वारा परिभाषित किया गया है

पी= क्षेत्र जी/ वर्ग जी।

उदाहरण 2समतल पर दो संकेंद्रित वृत्त खींचे गए हैं, जिनकी त्रिज्याएँ क्रमशः 5 और 10 सेमी हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक बड़े वृत्त में यादृच्छिक रूप से फेंका गया एक बिंदु निर्मित वृत्तों द्वारा बनाए गए वलय में गिरता है। यह माना जाता है कि में एक बिंदु से टकराने की प्रायिकता सपाट आकृतिइस आकृति के क्षेत्रफल के समानुपाती होता है और बड़े वृत्त के सापेक्ष इसके स्थान पर निर्भर नहीं करता है।

फेसला। रिंग क्षेत्र (आंकड़े जी)

एसजी\u003d पी (10 2 - 5 2) \u003d 75 पी।

बड़े वृत्त का क्षेत्रफल (आंकड़े .) जी)

एस जी= पी 10 2 = 100 पी।

वांछित संभावना

पी\u003d 75 पी / (100 पी) \u003d 0.75।

उदाहरण 3सिग्नलिंग डिवाइस दो उपकरणों से सिग्नल प्राप्त करता है, और प्रत्येक सिग्नल की प्राप्ति अवधि के समय अंतराल के किसी भी क्षण में समान रूप से संभव है टी. सिग्नल आगमन के क्षण एक दूसरे से स्वतंत्र होते हैं। सिगनलिंग डिवाइस तब काम करता है जब सिग्नल प्राप्त करने के क्षणों के बीच का अंतर . से कम हो टी(टी<टी) प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि सिग्नलिंग उपकरण समय पर कार्य करेगा टी, यदि प्रत्येक उपकरण एक संकेत भेजता है।

फेसला। आइए हम क्रमशः पहले और दूसरे उपकरणों से संकेतों के आने के क्षणों को निरूपित करें एक्सऔर आप. समस्या की स्थिति के आधार पर, दोहरी असमानताओं को संतुष्ट किया जाना चाहिए: 0 एक्स टी, 0 आप टीआइए हम आयताकार समन्वय प्रणाली का परिचय दें xOy. इस प्रणाली में, वर्ग के किसी भी बिंदु के निर्देशांक द्वारा दोहरी असमानताओं को संतुष्ट किया जाता है ओटाटा(चित्र .1)।

इस प्रकार, इस वर्ग को एक आकृति के रूप में माना जा सकता है जी, जिन बिंदुओं के निर्देशांक संकेत आगमन के क्षणों के सभी संभावित मूल्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

सिगनलिंग डिवाइस तब काम करता है जब सिग्नल प्राप्त करने के क्षणों के बीच का अंतर . से कम हो टी, अर्थात। अगर आप-एक्स<टीपर आप>एक्सऔर एक्स-आप<टीपर एक्स>आप, या, जो एक ही है,

आप<एक्स+टीपर आप>एक्स, (*)

आप >एक्स-टीपर आप<एक्स. (**)

असमानता (*) आकृति के उन बिंदुओं के लिए है जी, जो रेखा के ऊपर स्थित है आप = एक्सऔर रेखा के नीचे आप = एक्स+टी;असमानता (**) रेखा के नीचे स्थित बिंदुओं के लिए होती है आप= एक्सऔर ऊपर सीधे आप = एक्स-टी.

जैसा कि चित्र 1 से देखा जा सकता है। सभी बिंदु जिनके निर्देशांक असमानताओं (*) और (**) को संतुष्ट करते हैं, छायांकित षट्भुज से संबंधित हैं। इस प्रकार, इस षट्भुज को एक आकृति के रूप में माना जा सकता है जी, जिन बिंदुओं के निर्देशांक समय के अनुकूल क्षण हैं एक्सऔर आप.

वांछित संभावना

पी= पीएल। जी/ पीएल। जी = (टी 2 - (टी - टी) 2)/टी 2 = (टी(2टी - टी))/टी 2 .

टिप्पणी 1. उपरोक्त परिभाषाएँ ज्यामितीय संभाव्यता की सामान्य परिभाषा के विशेष मामले हैं। यदि हम क्षेत्र के माप (लंबाई, क्षेत्रफल, आयतन) को मेस के माध्यम से निरूपित करते हैं, तो क्षेत्र में यादृच्छिक (उपरोक्त अर्थ में) फेंके गए बिंदु से टकराने की प्रायिकता जी- क्षेत्र का हिस्सा जी, के बराबर है

पी=मेस जी/ मेस जी.

टिप्पणी 2. शास्त्रीय परिभाषा के मामले में, एक निश्चित (असंभव) घटना की संभावना एक (शून्य) के बराबर है; विलोम अभिकथन भी सत्य हैं (उदाहरण के लिए, यदि किसी घटना की प्रायिकता शून्य है, तो घटना असंभव है)। प्रायिकता की ज्यामितीय परिभाषा के मामले में, विपरीत अभिकथन नहीं होता है। उदाहरण के लिए, एक फेंके गए बिंदु की क्षेत्र में एक विशिष्ट बिंदु से टकराने की प्रायिकता जीशून्य है, लेकिन यह घटना घटित हो सकती है, और इसलिए असंभव नहीं है।

कार्य

1. एक बॉक्स में 50 समान भाग हैं, उनमें से 5 पेंट किए गए हैं। एक टुकड़ा यादृच्छया निकाला जाता है। निकाले गए भाग के रंगने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए

जवाब. पी = 0,1.

2. एक पासा फेंका जाता है। सम अंक प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

जवाब. पी = 0,5.

3. ड्रा के प्रतिभागी बॉक्स से 1 से 100 तक की संख्या वाले टोकन निकालते हैं। इस संभावना का पता लगाएं कि पहले यादृच्छिक रूप से तैयार किए गए टोकन में संख्या 5 नहीं है।

जवाब. पी = 0,81.

4. बैग में 5 समान घन हैं। प्रत्येक घन के सभी पक्षों पर निम्नलिखित में से एक अक्षर लिखा है: o, p, p, s, m। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि शब्द "खेल" को एक-एक करके फैले हुए घनों पर पढ़ा जा सकता है और "एक पंक्ति में" स्थित है। "

जवाब. पी = 1/120.

5. छह समान कार्डों में से प्रत्येक पर निम्नलिखित अक्षरों में से एक मुद्रित होता है: ए, टी, एम, पी, एस, ओ। कार्ड सावधानी से मिश्रित होते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि "रस्सी" शब्द को एक बार में खींचे गए चार कार्डों पर पढ़ा जा सकता है और "एक पंक्ति में" व्यवस्थित किया जा सकता है।

जवाब. पी = 1/ = 1/360.

6. एक घन, जिसके सभी पक्षों को चित्रित किया जाता है, को एक ही आकार के एक हजार घनों में काटा जाता है, जो तब अच्छी तरह मिश्रित होते हैं। यादृच्छिक रूप से खींचे गए घन के रंगीन फलक होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए: a) एक; बी) दो; तीन बजे।

जवाब. क) 0.384; बी) 0.096; सी) 0.008।

7. 28 डोमिनोज़ के सावधानीपूर्वक मिश्रित पूर्ण सेट से, एक हड्डी को यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि बेतरतीब ढंग से खींची गई दूसरी हड्डी को पहली हड्डी से जोड़ा जा सकता है, यदि पहली हड्डी: a) दोहरी निकली हो; बी) कोई डबल नहीं है।

जवाब. क) 2/9; बी) 4/9।

8. एक सामान्य अक्ष पर लॉक में पाँच डिस्क होती हैं। प्रत्येक डिस्क को छह सेक्टरों में बांटा गया है, जिस पर अलग-अलग अक्षर लिखे गए हैं। लॉक तभी खुलता है जब प्रत्येक डिस्क लॉक बॉडी के सापेक्ष एक विशिष्ट स्थान पर हो। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि डिस्क की मनमानी व्यवस्था के साथ ताला खोला जा सकता है।

जवाब. पी = 1/6 5 .

9. आठ अलग-अलग पुस्तकों को एक शेल्फ पर यादृच्छिक रूप से रखा गया है। दो विशेष पुस्तकों के साथ-साथ रखे जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

जवाब. पी= 7*2!*6!/8! = .

10. पुस्तकालय में दस अलग-अलग किताबें हैं, जिनमें से प्रत्येक में 4 रूबल की लागत वाली पांच किताबें हैं, तीन किताबें - एक रूबल प्रत्येक, और दो किताबें - प्रत्येक 3 रूबल। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यादृच्छिक रूप से चुनी गई दो पुस्तकों की कीमत $5 है।

जवाब. पी =

11. तकनीकी नियंत्रण विभाग ने 100 भागों के एक बैच में 5 गैर-मानक भागों को पाया। गैर-मानक भागों की उपस्थिति की सापेक्ष आवृत्ति क्या है?

जवाब. वू = 0,05.

12. राइफल से शूटिंग करते समय, लक्ष्य से टकराने की सापेक्ष आवृत्ति 0.85 थी। यदि कुल 120 शॉट दागे गए तो हिट की संख्या ज्ञात कीजिए।

जवाब. 102 हिट।

13. एक खंड के लिए ओएलंबाई लीसंख्यात्मक अक्ष बैलयादृच्छिक बिंदु बी(एक्स)। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि खण्डों में से छोटा है ओबीऔर बी ० एइसकी लंबाई से कम है ली/ 3। यह माना जाता है कि किसी बिंदु से किसी खंड से टकराने की प्रायिकता खंड की लंबाई के समानुपाती होती है और वास्तविक अक्ष पर इसके स्थान पर निर्भर नहीं करती है।

जवाब. पी = 2/3.

14. वृत्त त्रिज्या के अंदर आरएक बिंदु यादृच्छिक रूप से फेंका जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि बिंदु वृत्त में अंकित वर्ग के अंदर है। यह माना जाता है कि किसी बिंदु के एक वर्ग में गिरने की प्रायिकता वर्ग के क्षेत्रफल के समानुपाती होती है और वृत्त के सापेक्ष उसके स्थान पर निर्भर नहीं करती है।

पी = 7/16।

अध्याय दो

प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा

संभावना - संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणाओं में से एक। इस अवधारणा की कई परिभाषाएँ हैं। संभावना एक संख्या है जो किसी घटना के घटित होने की संभावना की डिग्री को दर्शाती है।

संभावित परीक्षा परिणामों में से प्रत्येक को कहा जाता है प्रारंभिक परिणाम (प्राथमिक घटना)।पदनाम:…,

वे प्रारंभिक परिणाम जिनमें हमारे लिए रुचि की घटना घटित होती है, हम उन्हें कॉल करेंगे अनुकूल।

उदाहरण:एक कलश में 10 समान गेंदें हैं, जिनमें से 4 काली और 6 सफेद हैं। घटना - कलश से एक सफेद गेंद निकाली जाती है। कलश से सफेद गेंदों को निकालने वाले अनुकूल परिणामों की संख्या 4 है।

घटना के अनुकूल प्राथमिक परिणामों की संख्या और उनकी कुल संख्या के अनुपात को घटना की प्रायिकता कहा जाता है; संकेतन हमारे उदाहरण में

किसी घटना की प्रायिकताइस घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या के अनुपात को सभी समान रूप से संभव असंगत प्रारंभिक परिणामों की कुल संख्या से अनुपात कहते हैं जो एक पूर्ण समूह बनाते हैं,

घटना के पक्ष में प्राथमिक परिणामों की संख्या कहां है; परीक्षण के सभी संभावित प्रारंभिक परिणामों की संख्या।

संभाव्यता गुण:

1. किसी निश्चित घटना की प्रायिकता एक के बराबर होती है, अर्थात्।

2. एक असंभव घटना की प्रायिकता शून्य होती है, अर्थात्।इ।

3. एक यादृच्छिक घटना की प्रायिकता शून्य और एक के बीच एक धनात्मक संख्या होती है, अर्थात्।इ।

या

गुण 1 और 2 को ध्यान में रखते हुए, किसी भी घटना की संभावना असमानता को संतुष्ट करती है

4 . कॉम्बिनेटरिक्स के मूल सूत्र

कॉम्बिनेटरिक्स कुछ शर्तों के अधीन संयोजनों की संख्या का अध्ययन करता है जो एक मनमानी प्रकृति के तत्वों के दिए गए सीमित सेट से बना हो सकता है। संभावनाओं की सीधे गणना करते समय, कॉम्बिनेटरिक्स फ़ार्मुलों का अक्सर उपयोग किया जाता है। हम उनमें से सबसे अधिक इस्तेमाल किए जाने वाले प्रस्तुत करते हैं।

क्रमपरिवर्तननाम संयोजन एक ही विभिन्न तत्वों से युक्त होते हैं और केवल उनकी व्यवस्था के क्रम में भिन्न होते हैं।

सभी संभावित क्रमपरिवर्तनों की संख्या

कहाँ पे यह स्वीकार किया जाता है कि

उदाहरण।तीन अंकों की संख्या की संख्या, जब प्रत्येक अंक को केवल एक बार तीन अंकों की संख्या की छवि में शामिल किया जाता है, है

प्लेसमेंटतत्वों द्वारा विभिन्न तत्वों से बने संयोजन कहलाते हैं जो या तो तत्वों की संरचना में या उनके क्रम में भिन्न होते हैं। सभी संभावित नियुक्तियों की संख्या

उदाहरण।विभिन्न रंगों के 6 झंडों से संकेतों की संख्या, 2 द्वारा ली गई:

युग्मकम से कम एक तत्व से भिन्न तत्वों द्वारा विभिन्न तत्वों से बने संयोजन कहलाते हैं। संयोजनों की संख्या

उदाहरण। 10 भागों वाले बॉक्स से दो भागों को चुनने के तरीकों की संख्या:

प्लेसमेंट की संख्या, क्रमपरिवर्तन और संयोजन समानता से संबंधित हैं

समस्याओं को हल करते समय, कॉम्बिनेटरिक्स निम्नलिखित नियमों का उपयोग करते हैं:

योग नियम. यदि किसी वस्तु को वस्तुओं के समूह से तरीकों से चुना जा सकता है, और किसी अन्य वस्तु को तरीकों से चुना जा सकता है, तो या तो , या तरीकों से चुना जा सकता है।

प्रॉडक्ट नियम. यदि किसी वस्तु का चयन वस्तुओं के संग्रह से तरीकों से किया जा सकता है, और ऐसे प्रत्येक चयन के बाद वस्तु को तरीकों से चुना जा सकता है, तो उस क्रम में वस्तुओं की एक जोड़ी को तरीकों से चुना जा सकता है।

सापेक्ष आवृत्तिभी संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणा है।

सापेक्ष आवृत्तिघटनाएँ उन परीक्षणों की संख्या का अनुपात हैं जिनमें घटना वास्तव में किए गए परीक्षणों की कुल संख्या के लिए प्रकट हुई और सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है

,

परीक्षण में घटना की घटनाओं की संख्या, परीक्षणों की कुल संख्या कहां है।

संभाव्यता और सापेक्ष आवृत्ति की परिभाषाओं की तुलना करते हुए, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि संभाव्यता की परिभाषा में परीक्षण की आवश्यकता नहीं होती है, और सापेक्ष आवृत्ति की परिभाषा में वास्तविक परीक्षण शामिल होता है।

लंबी अवधि के अवलोकनों से पता चलता है कि समान परिस्थितियों में प्रयोग करते समय, सापेक्ष आवृत्ति में स्थिरता का गुण होता है। यह गुण इस तथ्य में निहित है कि प्रयोगों की विभिन्न श्रृंखलाओं में परीक्षणों की सापेक्ष आवृत्ति श्रृंखला से श्रृंखला में बहुत कम होती है, एक निश्चित स्थिर संख्या के आसपास उतार-चढ़ाव होती है। यह स्थिरांक घटना घटित होने की प्रायिकता है।

संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा में कुछ कमियां हैं:

1) परीक्षण के प्रारंभिक परिणामों की संख्या सीमित है, व्यवहार में यह संख्या अनंत हो सकती है;

2) बहुत बार परीक्षा परिणाम को प्राथमिक घटनाओं के एक सेट के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है;

इन कारणों से, संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा के साथ, एक सांख्यिकीय परिभाषा का उपयोग किया जाता है: मेंगुणवत्ता सांख्यिकीय संभावना घटनाएँ एक सापेक्ष आवृत्ति पर होती हैं।

शास्त्रीय परिभाषा में, किसी घटना की प्रायिकता का निर्धारण समानता P(A)=m/n द्वारा किया जाता है, जहाँ m परीक्षण के प्रारंभिक परिणामों की संख्या है जो घटना A की घटना के पक्ष में है; n संभावित प्रारंभिक परीक्षण परिणामों की कुल संख्या है।

यह माना जाता है कि प्राथमिक परिणाम एक पूर्ण समूह बनाते हैं और समान रूप से संभावित हैं।

घटना ए की सापेक्ष आवृत्ति: डब्ल्यू (ए) = एम / एन, जहां एम परीक्षण की संख्या है जिसमें घटना ए हुई; n किए गए परीक्षणों की कुल संख्या है।

एक सांख्यिकीय परिभाषा में, किसी घटना की सापेक्ष आवृत्ति को किसी घटना की प्रायिकता के रूप में लिया जाता है।

उदाहरण: दो पासे फेंके जाते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि गिराए गए फलकों पर अंकों का योग सम है, और कम से कम एक पासे के फलक पर एक छक्का दिखाई देता है।

निर्णय: "पहले" पासे के गिराए गए चेहरे पर एक बिंदु, ..., छह अंक दिखाई दे सकते हैं। "दूसरा" पासा फेंकते समय समान छह प्राथमिक परिणाम संभव हैं। "पहले" थ्रो के प्रत्येक परिणाम को "सेकंड" थ्रो के प्रत्येक परिणाम के साथ जोड़ा जा सकता है। परीक्षण के प्रारंभिक परिणामों की कुल संख्या 6 * 6 = 36 है। ये परिणाम एक पूर्ण समूह बनाते हैं और, हड्डियों की समरूपता के कारण, समान रूप से संभव हैं। अनुकूल घटनाएं 5 चालें हैं: 1) 6.2; 2) 6.4; 3) 6.6; 4) 2.6; 5) 4.6;

वांछित संभावना: P(A)=5/36

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विषय पर अधिक 3. सापेक्ष आवृत्ति। सापेक्ष आवृत्तियों की स्थिरता। संभाव्यता की सांख्यिकीय परिभाषा:

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3. 39. अंतराल भिन्नता श्रृंखला का निर्माण। आवृत्तियों और सापेक्ष आवृत्तियों का हिस्टोग्राम।
4. 4. स्वतंत्र परीक्षणों में स्थिर प्रायिकता से सापेक्ष आवृत्ति के विचलन की प्रायिकता

सापेक्ष आवृत्ति। सापेक्ष आवृत्ति स्थिरता

संभाव्यता के साथ-साथ सापेक्ष आवृत्ति, संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणाओं से संबंधित है।

सापेक्ष आवृत्तिघटनाओं का तात्पर्य उन परीक्षणों की संख्या के अनुपात से है जिनमें घटना घटित हुई और वास्तव में किए गए परीक्षणों की कुल संख्या। इस प्रकार, घटना A की आपेक्षिक आवृत्ति सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है

जहाँ m घटना की घटनाओं की संख्या है, n परीक्षणों की कुल संख्या है।

संभाव्यता और सापेक्ष आवृत्ति की परिभाषाओं की तुलना करते हुए, हम निष्कर्ष निकालते हैं: संभाव्यता की परिभाषा के लिए यह आवश्यक नहीं है कि परीक्षण वास्तविकता में किए जाएं; सापेक्ष आवृत्ति का निर्धारण मानता है कि परीक्षण वास्तव में किए गए थे। दूसरे शब्दों में, संभावना की गणना अनुभव से पहले और अनुभव के बाद सापेक्ष आवृत्ति की जाती है।

उदाहरण 1. तकनीकी नियंत्रण विभाग ने 80 बेतरतीब ढंग से चयनित भागों के एक बैच में 3 गैर-मानक भागों को पाया। गैर-मानक भागों की घटना की सापेक्ष आवृत्ति

उदाहरण 2लक्ष्य पर 24 गोलियां चलाई गईं, और 19 हिट दर्ज की गईं। सापेक्ष हिट दर

लंबी अवधि के अवलोकनों से पता चला है कि यदि प्रयोग उन्हीं परिस्थितियों में किए जाते हैं, जिनमें से प्रत्येक में परीक्षणों की संख्या पर्याप्त रूप से बड़ी है, तो सापेक्ष आवृत्ति स्थिरता की संपत्ति को प्रदर्शित करती है। यह संपत्ति है कि विभिन्न प्रयोगों में सापेक्ष आवृत्ति में थोड़ा परिवर्तन होता है (कम, अधिक परीक्षण किए जाते हैं), एक निश्चित स्थिर संख्या के आसपास उतार-चढ़ाव होता है. यह पता चला कि यह स्थिर संख्या किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता है।

इस प्रकार, यदि सापेक्ष आवृत्ति अनुभवजन्य रूप से स्थापित की जाती है, तो परिणामी संख्या को संभाव्यता के अनुमानित मूल्य के रूप में लिया जा सकता है।

सापेक्ष आवृत्ति और संभाव्यता के बीच संबंध को और अधिक विस्तार से और अधिक सटीक रूप से नीचे वर्णित किया जाएगा। आइए अब हम स्थिरता गुण को उदाहरणों के साथ स्पष्ट करते हैं।

उदाहरण 3स्वीडिश आंकड़ों के अनुसार, 1935 में लड़कियों के जन्म की सापेक्ष आवृत्ति को निम्नलिखित संख्याओं द्वारा दर्शाया गया है (संख्याएं जनवरी से शुरू होने वाले महीनों के क्रम में व्यवस्थित हैं): 0.486; 0.489; 0.490; 0.471; 0.478; 0.482; 0.462; 0.484; 0.485; 0.491; 0.482; 0.473.

सापेक्ष आवृत्ति संख्या 0.482 के आसपास उतार-चढ़ाव करती है, जिसे लड़कियों के होने की संभावना के अनुमानित मूल्य के रूप में लिया जा सकता है।

ध्यान दें कि विभिन्न देशों के आँकड़े सापेक्ष आवृत्ति का लगभग समान मान देते हैं।

उदाहरण 4. एक सिक्के को उछालने के लिए बार-बार प्रयोग किए गए, जिसमें "हथियारों के कोट" की उपस्थिति की संख्या गिना गया। कई प्रयोगों के परिणाम तालिका में दिए गए हैं। एक।

यहां, सापेक्ष आवृत्तियां 0.5 की संख्या से थोड़ी विचलित होती हैं, और प्रवाह कम होता है, परीक्षणों की संख्या जितनी अधिक होती है। उदाहरण के लिए, 4040 परीक्षणों के साथ, विचलन 0.0069 है, और 24,000 परीक्षणों के साथ यह केवल 0.0005 है। इस बात को ध्यान में रखते हुए कि एक सिक्का उछालने पर "हथियारों के कोट" के प्रकट होने की संभावना 0.5 है, हम फिर से देखते हैं कि सापेक्ष आवृत्ति संभावना के आसपास उतार-चढ़ाव करता है।