Definisi. Biarkan masuk n percobaan berulang (pengujian) beberapa peristiwa TETAPI telah datang n A sekali.
Nomor n A disebut frekuensi kejadian TETAPI , dan rasio
disebut frekuensi relatif (atau frekuensi) dari peristiwa tersebut TETAPI dalam rangkaian tes ini.
Properti Frekuensi relatif
Frekuensi relatif suatu peristiwa memiliki sifat-sifat berikut.
1. Frekuensi setiap peristiwa terletak pada rentang dari nol hingga satu, mis.
2. Frekuensi peristiwa yang tidak mungkin sama dengan nol, yaitu
3. Frekuensi suatu peristiwa tertentu adalah 1, yaitu
4. Frekuensi jumlah dua acara yang tidak kompatibel sama dengan jumlah frekuensi (frekuensi) dari peristiwa-peristiwa ini, yaitu jika = , maka
Frekuensi memiliki Properti , disebut properti stabilitas statistik : dengan peningkatan jumlah eksperimen (yaitu dengan peningkatan n ) frekuensi suatu peristiwa mengambil nilai yang mendekati probabilitas peristiwa ini R .
Definisi. Peluang statistik kejadian A bilangan yang frekuensi relatif suatu peristiwa berfluktuasi disebut TETAPI cukup angka besar tes (eksperimen) n .
Probabilitas Peristiwa TETAPI dilambangkan dengan simbol R (TETAPI ) atau R (TETAPI ). Munculnya huruf sebagai simbol konsep "probabilitas" R ditentukan oleh kehadirannya di tempat pertama di kata Bahasa Inggris kemungkinan - kemungkinan.
Berdasarkan definisi ini
Properti Probabilitas Statistik
1. Probabilitas Statistik ada acara TETAPI antara nol dan satu, yaitu
2. Probabilitas statistik dari suatu kejadian yang tidak mungkin ( TETAPI= ) sama dengan nol, yaitu
3. Probabilitas statistik dari suatu peristiwa tertentu ( TETAPI= ) sama dengan satu, yaitu,
4. Jumlah Probabilitas Statistik tidak cocok kejadian sama dengan jumlah peluang kejadian tersebut, yaitu jika A B= , maka
Definisi klasik kemungkinan
Biarkan percobaan dilakukan dengan n hasil yang dapat direpresentasikan sebagai sekelompok peristiwa yang sama-sama mungkin tidak sesuai. Kasus yang menyebabkan peristiwa itu terjadi TETAPI , disebut menguntungkan atau menguntungkan, yaitu. kejadian w menyebabkan suatu peristiwa TETAPI , w A .
Definisi. Peluang suatu kejadian TETAPI disebut perbandingan bilangan m kasus yang menguntungkan untuk acara ini, dengan jumlah total n kasus, yaitu
Properti probabilitas "klasik"
1. Aksioma non-negatif : peluang kejadian apapun TETAPI non-negatif, yaitu
R(TETAPI) ≥ 0.
2. Aksioma normalisasi : peluang kejadian tertentu ( TETAPI= ) sama dengan satu:
3. Aksioma aditif : peluang jumlah tidak cocok kejadian (atau probabilitas terjadinya salah satu dari dua kejadian yang tidak sesuai) sama dengan jumlah probabilitas kejadian ini, mis. jika A B=Ø, maka
Probabilitas Peristiwa: R() = 1 – R(TETAPI).
Untuk peluang suatu kejadian adalah jumlah setiap dua acara TETAPI dan PADA, rumus yang benar adalah:
Jika acara TETAPI dan PADA tidak dapat terjadi sebagai akibat dari satu pengujian pada waktu yang sama, yaitu dengan kata lain, jika A B- peristiwa yang tidak mungkin, mereka disebut tidak cocok atau tidak cocok , lalu R(A B) = 0 dan rumus probabilitas jumlah kejadian mengambil bentuk yang sangat sederhana:
Jika peristiwa TETAPI dan PADA dapat terjadi sebagai hasil dari satu tes, mereka disebut kompatibel .
Algoritma yang Berguna
Ketika menemukan probabilitas menggunakan definisi klasik dari probabilitas, algoritma berikut harus diikuti.
1. Perlu dipahami dengan jelas apa eksperimen itu.
2. Nyatakan dengan jelas apa acaranya TETAPI, probabilitas yang akan ditemukan.
3. Merumuskan dengan jelas apa yang akan merupakan peristiwa dasar dalam masalah yang sedang dipertimbangkan. Setelah merumuskan dan mendefinisikan peristiwa dasar, seseorang harus memeriksa tiga kondisi yang harus dipenuhi oleh serangkaian hasil, yaitu. .
6. Mengikuti definisi klasik tentang probabilitas, tentukan
Saat memecahkan masalah kesalahan paling umum adalah pemahaman kabur tentang apa yang dianggap sebagai peristiwa dasar w , dan kebenaran konstruksi himpunan dan ketepatan perhitungan peluang suatu kejadian bergantung pada ini. Biasanya, dalam praktiknya, hasil paling sederhana diambil sebagai peristiwa dasar, yang tidak dapat "dibagi" menjadi lebih sederhana.
Dalam definisi klasik, peluang suatu peristiwa ditentukan oleh persamaan P(A)=m/n, di mana m adalah jumlah hasil dasar dari pengujian yang mendukung terjadinya peristiwa A; n adalah jumlah total hasil tes dasar yang mungkin.
Diasumsikan bahwa hasil dasar membentuk grup penuh dan sama mungkin.
Frekuensi relatif peristiwa A: W(A)=m/n, di mana m adalah jumlah percobaan di mana peristiwa A terjadi; n-jumlah total tes yang dilakukan.
Dalam definisi statistik, frekuensi relatif dari suatu peristiwa diambil sebagai probabilitas suatu peristiwa.
Contoh: dua buah dadu dilempar. Temukan probabilitas bahwa jumlah poin pada wajah yang dijatuhkan adalah genap, dan enam muncul di wajah setidaknya satu dadu.
Solusi: pada wajah yang jatuh dari "pertama" dadu satu titik dapat muncul, ..., enam poin. enam hasil dasar yang serupa dimungkinkan ketika melempar dadu "kedua". Setiap hasil lemparan "pertama" dapat digabungkan dengan setiap hasil lemparan "kedua". jumlah total hasil dasar dari tes adalah 6 * 6 = 36. Hasil ini membentuk kelompok yang lengkap dan, karena simetri tulang, sama-sama mungkin. Peristiwa yang menguntungkan adalah 5 gerakan: 1) 6.2; 2) 6.4; 3) 6.6; 4) 2.6; 5) 4.6;
Probabilitas yang diinginkan: P(A)=5/36
Anda juga dapat menemukan informasi menarik di mesin pencari ilmiah Otvety.Online. Gunakan formulir pencarian:
Lebih lanjut tentang topik 3. Frekuensi relatif. Stabilitas frekuensi relatif. Definisi statistik probabilitas.:
- 4. Definisi klasik tentang probabilitas. Frekuensi relatif dari kejadian tersebut. probabilitas statistik. probabilitas geometris.
- 27. Definisi statistik sampel. Seri variasi dan representasi grafisnya. Poligon dan histogram frekuensi (frekuensi relatif).
- 39. Konstruksi deret variasi interval. Histogram frekuensi dan frekuensi relatif.
- 4. Probabilitas penyimpangan frekuensi relatif dari probabilitas konstan dalam pengujian independen
Definisi klasik dari probabilitas
Kemungkinan - salah satu konsep dasar teori probabilitas. Ada beberapa definisi dari konsep ini. Kemungkinan adalah bilangan yang mencirikan derajat kemungkinan terjadinya suatu peristiwa.
Setiap hasil tes yang mungkin disebut hasil dasar (elementary event). Sebutan: …,
Hasil dasar di mana peristiwa yang menarik bagi kita terjadi, kita sebut baik.
Contoh: Di guci 10 bola identik, yang 4 berwarna hitam, 6 berwarna putih. Acara - sebuah bola putih diambil dari guci. Banyaknya hasil yang menguntungkan di mana bola putih akan diambil dari guci adalah 4.
Rasio jumlah hasil dasar yang menguntungkan peristiwa tersebut dengan jumlah totalnya disebut probabilitas peristiwa; notasi Dalam contoh kita 
Peluang suatu kejadian sebut rasio jumlah hasil yang menguntungkan untuk peristiwa ini dengan jumlah semua kemungkinan hasil elementer yang sama-sama tidak kompatibel yang membentuk kelompok lengkap,
di mana jumlah hasil dasar yang mendukung acara tersebut ; jumlah semua hasil dasar yang mungkin dari tes.
Sifat probabilitas:
1. Probabilitas suatu peristiwa tertentu sama dengan satu, yaitu.
2. Probabilitas suatu kejadian yang tidak mungkin adalah nol, mis. e.
3. Ada peluang kejadian acak nomor positif antara nol dan satu, yaitu e.
atau 
Dengan mempertimbangkan sifat 1 dan 2, peluang suatu kejadian memenuhi pertidaksamaan
4 . Rumus dasar kombinatorika
Kombinatorika mempelajari jumlah kombinasi yang tunduk pada kondisi tertentu yang dapat dibuat dari himpunan elemen berhingga yang bersifat arbitrer. Saat menghitung probabilitas secara langsung, rumus kombinatorik sering digunakan. Kami menyajikan yang paling umum digunakan.
Permutasi disebut kombinasi yang terdiri dari yang sama berbagai elemen dan hanya berbeda dalam urutan di mana mereka berada.
Jumlah semua kemungkinan permutasi
di mana 
Diterima bahwa
Contoh. Jumlah angka tiga digit ketika setiap digit disertakan dalam gambar tiga digit angka sekali saja, sama
Penempatan disebut kombinasi yang terdiri dari unsur-unsur yang berbeda oleh unsur-unsur yang berbeda baik dalam komposisi elemen atau dalam urutannya. Jumlah semua kemungkinan penempatan
Contoh. Jumlah sinyal dari 6 bendera berbagai warna diambil oleh 2:
kombinasi disebut kombinasi yang terdiri dari unsur-unsur yang berbeda oleh unsur-unsur yang berbeda oleh setidaknya satu elemen. Jumlah kombinasi
Contoh. Banyaknya cara untuk memilih dua bagian dari sebuah kotak yang berisi 10 bagian:
Jumlah penempatan, permutasi, dan kombinasi dihubungkan oleh persamaan
Saat memecahkan masalah, kombinatorik menggunakan mengikuti aturan:
Aturan penjumlahan. Jika beberapa objek dapat dipilih dari sekumpulan objek dengan cara, dan objek lain dapat dipilih dengan cara, maka salah satu , atau dapat dipilih dengan cara.
aturan produk. Jika suatu objek dapat dipilih dari kumpulan objek dengan cara, dan setelah setiap pemilihan tersebut objek dapat dipilih dengan cara, maka sepasang objek dalam urutan itu dapat dipilih dengan cara.
Frekuensi relatif juga adalah konsep dasar teori probabilitas.
Frekuensi relatif peristiwa adalah rasio jumlah percobaan di mana peristiwa itu muncul dengan jumlah total percobaan yang benar-benar dilakukan dan ditentukan oleh rumus
,
di mana adalah jumlah kemunculan acara dalam uji coba, jumlah total uji coba.
Membandingkan definisi probabilitas dan frekuensi relatif, kami menyimpulkan bahwa definisi probabilitas tidak memerlukan pengujian, dan definisi frekuensi relatif melibatkan pengujian aktual.
Pengamatan jangka panjang menunjukkan bahwa ketika melakukan eksperimen di kondisi yang sama, frekuensi relatif memiliki sifat stabilitas. Sifat ini terdiri dari fakta bahwa dalam rangkaian percobaan yang berbeda frekuensi relatif pengujian sedikit berbeda dari rangkaian ke rangkaian, berfluktuasi di sekitar bilangan konstan tertentu. Ini bilangan konstan dan ada kemungkinan terjadinya peristiwa tersebut.
Definisi klasik tentang probabilitas memiliki beberapa kelemahan:
1) jumlah hasil dasar tes terbatas, dalam praktiknya jumlah ini bisa tak terbatas;
2) sangat sering hasil tes tidak dapat direpresentasikan sebagai serangkaian peristiwa dasar;
Untuk alasan ini, bersama dengan definisi klasik tentang probabilitas, seseorang menggunakan definisi statistik: di kualitas probabilitas statistik peristiwa mengambil frekuensi relatif.
Frekuensi relatif. Stabilitas frekuensi relatif
Frekuensi relatif suatu peristiwa adalah rasio jumlah percobaan di mana peristiwa itu terjadi dengan jumlah total percobaan yang benar-benar dilakukan. , frekuensi relatif kejadian A diberikan oleh
di mana m adalah jumlah kejadian, n adalah jumlah percobaan.
Penentuan probabilitas tidak mengharuskan tes dilakukan dalam kenyataan; definisi frekuensi relatif mengasumsikan bahwa tes benar-benar dilakukan. Dengan kata lain, probabilitas dihitung sebelum pengalaman, dan frekuensi relatif dihitung setelah pengalaman.
Pengamatan jangka panjang telah menunjukkan bahwa jika percobaan dilakukan di bawah kondisi yang sama, di mana masing-masing jumlah pengujian cukup besar, maka frekuensi relatif menunjukkan sifat stabilitas. Properti ini adalah itu berbagai pengalaman frekuensi relatif berubah sedikit (semakin sedikit, semakin banyak pengujian yang dilakukan), berfluktuasi di sekitar angka konstan tertentu. Ternyata bilangan konstan ini merupakan peluang terjadinya suatu kejadian.
, dalam kasus secara empiris frekuensi relatif diatur, maka angka yang dihasilkan dapat diambil sebagai nilai perkiraan probabilitas.
Contoh 1. Eksperimen berulang dilakukan dengan melempar koin, di mana jumlah kemunculan 'lambang' dihitung. Hasil dari beberapa percobaan diberikan dalam tabel.
Frekuensi relatif dapat diabaikan. Menyimpang dari angka 0,5, dan kurang dari lebih banyak nomor tes.
Jika kita memperhitungkan bahwa probabilitas munculnya saat melempar koin = 0,5, maka sekali lagi kita yakin bahwa itu berhubungan. Frekuensi berfluktuasi di sekitar ver-ty.
Paling sisi lemah klasik Definisi verty adalah sangat sering tidak mungkin untuk merepresentasikan hasil suatu tes dalam bentuk kejadian-kejadian elementer. Bahkan lebih sulit untuk menunjukkan alasan untuk mempertimbangkan elemen.ob-I sebagai kemungkinan yang sama. Untuk alasan ini, bersama dengan klasik Definisi ver-ty digunakan, dll.
Dihosting di ref.rf
def.ver. Secara khusus, statistik: Kerabat diambil sebagai statistik peristiwa. frekuensi atau angka yang mendekatinya.
Pada saat yang sama, definisi statistik ver-ty memiliki -ʼʼ sendiri. Misalnya, ambiguitas statistik ver-ty. Jadi dalam contoh yang dipertimbangkan, tidak hanya 0,5, tetapi juga 0,5069, dan 0,5016, dll dapat diambil sebagai acara ver-ty.
Konsep versi geometris komp. mengikuti:
Lintasan menuju area G dilempar secara acak oleh sebuah titik. Ungkapan 'dilempar secara acak' umumnya dipahami dalam arti bahwa titik yang dilempar dapat mengenai titik mana pun di wilayah G. bagian dari luas G sebanding dengan ukuran bagian ini (panjang, luas, volume) dan tidak bergantung pada lokasi dan bentuknya.
Itu. jika g adalah bagian dari daerah G, maka peluang mengenai daerah g menurut definisi = P (g) = ukur g / ukur G. Perhatikan bahwa di sini himpunan dari semua hasil elementer adalah kebetulan semua titik di wilayah G dan, oleh karena itu, terdiri dari bilangan tak terhingga peristiwa dasar => konsep geom. Ver-t dapat dianggap sebagai generalisasi dari konsep klasik. Ver-tʼʼ dalam kasus eksperimen dengan bilangan tak terhingga hasil.
tugas rapat. Selesaikan: Dilambangkan dengan x dan y waktu kedatangan orang A dan B. Pertemuan akan berlangsung jika |x-y|≤10.
Jika Anda mewakili x dan y sebagai Koordinat kartesius pada bujur sangkar, maka semua hasil yang mungkin diwakili oleh titik bujur sangkar dengan sisi 60.
10≤y-x≤10
Masalah Buffon. Resh-e: mari kita perkenalkan notasi: x adalah jarak dari tengah jarum ke paralel terdekat;
adalah sudut yang dibuat paralel ini dengan jarum.
Posisi jarum sepenuhnya ditentukan oleh nilai spesifik x dan yang diberikan. Selain itu, x (0; a), (0; ). Dengan kata lain, bagian tengah jarum dapat mengenai salah satu titik persegi panjang dengan sisi a dan .
Itu. persegi panjang yang diberikan dapat dianggap sebagai gambar G, yang titik-titiknya merupakan kemungkinan posisi tengah jarum. Jelas, area angka ini а.
Mari kita cari gambar g, yang masing-masing titiknya mendukung kejadian yang menarik bagi kita, .ᴇ. setiap titik pada gambar dapat berfungsi sebagai bagian tengah jarum, yang dilintasi oleh paralel.
Jarum akan melintasi paralel terdekat dengan kondisi: x≤l sinφ
Itu. jika bagian tengah jarum jatuh ke salah satu titik dari gambar yang diarsir pada Gambar (2). Itu. gambar yang diarsir dapat dilihat sebagai g. Mari kita cari luasnya:
Jawaban: 2l/а
Frekuensi relatif. Stabilitas frekuensi relatif - konsep dan tipe. Klasifikasi dan fitur kategori "Frekuensi relatif. Stabilitas frekuensi relatif" 2017, 2018.
Pokok bahasan teori probabilitas. Uji coba. Klasifikasi acara.
Teori probabilitas adalah cabang matematika yang mempelajari pola-pola yang terjadi dalam tes homogen massal (MOTs).
Tes adalah kompleks dari setiap kondisi, tindakan.
SAYA - ini adalah tes yang secara teoritis dapat dilanjutkan tanpa batas waktu (belajar, jajak pendapat, lempar koin).
Hasil tes adalah kemungkinan hasil tes.
Suatu peristiwa adalah abstraksi dari hasil tes (apakah suatu fenomena terjadi di MY atau tidak).
Misalnya, melempar koin adalah ujian, sedangkan kemunculan "elang" adalah peristiwa.
Acara ini biasanya dilambangkan dengan lat besar. huruf A,B,C
JENIS ACARA:
1. Peristiwa tertentu disebut peristiwa yang akan terjadi dengan hasil tes apa pun.
2. Mustahil - tidak akan terjadi di bawah hasil tes apa pun.
3. Acak - mungkin atau mungkin tidak terjadi sebagai akibat dari tes.
misalnya Sebuah dadu dilempar.
Peristiwa A - jumlah poin tidak > 6: signifikan.
Acara B - skor > 6: tidak mungkin.
Acara C - 1 hingga 6: Acak.
ACARA RANDOM
1. Setara - mereka yang ada kesetaraan hasil individu dari tes.
misalnya, mengekstrak raja, kartu as, ratu, jack dari setumpuk kartu.
2. Satu-satunya yang mungkin adalah jika setidaknya salah satu dari mereka pasti terjadi dalam tes.
Misalnya, Ada 2 anak dalam sebuah keluarga: A - 2 laki-laki, B - 2 perempuan, C - 1 m dan 1 d.
kombinatorik. Rumus dasar kombinatorik.
Kombinatorik adalah ilmu tentang senyawa. Koneksi dipahami sebagai himpunan elemen dari himpunan tertentu.
Misalnya, banyak siswa yang duduk di antara penonton.
Semua senyawa dibagi menjadi 3 kelompok:
1) Akomodasi. R-mi dari n el-t pada m () disebut senyawa yang berbeda satu sama lain baik dalam komposisi el-t, atau urutan sambungan el-t, atau keduanya.
Anm = n!/(n-m)!
Tugas. Berapa banyak bilangan 2 angka berbeda yang dapat dibuat dari sekumpulan angka (1; 2; 3; 4), sehingga angka-angka dari bilangan tersebut berbeda.
Dan dari 4 kali 2 = 4!/(4-2)! = 24/2 = 12
2) Kombinasi. Kombinasi n unsur oleh m adalah senyawa yang berbeda satu sama lain hanya dalam komposisi unsur (urutannya tidak penting)
Dari n ke m = n!/m!*(n-m)!
Tugas. Dalam berapa cara sekelompok 30 orang dapat membagikan voucher ke sanatorium Ussuri.
C dari 30 kali 3 = 30!/3!*(30-3)! = 28*29*30/1*2*3 = 4060.
3) Permutasi (Pn). Permutasi n unsur adalah senyawa yang mencakup semua n unsur dan berbeda satu sama lain hanya dalam urutan hubungannya.
Tugas. Dalam berapa cara 6 taruna dapat berbaris di lapangan pawai?
ATURAN SUM - jika objek a dapat dipilih dari himpunan dengan s cara yang berbeda, dan objek b dengan r cara yang berbeda, maka pemilihan salah satu elemen a atau batang dapat dilakukan dengan r + s cara yang berbeda.
ATURAN PRODUK - jika objek a dapat dipilih dengan s cara yang berbeda, dan setelah setiap pilihan tersebut objek b dapat dipilih dengan r cara yang berbeda, maka pemilihan pasangan elemen dapat dilakukan dengan r*s cara yang berbeda (a dan b = r*s).
Definisi klasik dari probabilitas. Sifat probabilitas.
Probabilitas suatu kejadian A adalah rasio jumlah hasil yang menguntungkan untuk kejadian ini dengan jumlah semua kemungkinan hasil elementer yang sama-sama tidak cocok yang membentuk kelompok lengkap (P(A)=m/n).
PROPERTI DI-TI:
1) V-t kejadian tertentu = 1.
Karena D- acara pasti, maka setiap kemungkinan hasil tes mendukung acara tersebut, yaitu m=n.
P(D) = m/n = n/n = 1/
2) Nilai suatu kejadian mustahil adalah nol. Karena peristiwa N tidak mungkin, maka tidak ada hasil dasar yang mendukung peristiwa tersebut, mis. m=0.
P(D) = m/n = 0/n = 0/
3) Banyaknya kejadian acak adalah bilangan positif antara 0 dan 1. Kejadian acak S hanya disukai dari jumlah total elemen. hasil tes, yaitu 0 0 Jadi, ke-in dari setiap kejadian memenuhi pertidaksamaan ganda: 0<=P(A)<=1. Frekuensi relatif. Stabilitas frekuensi relatif. Definisi statistik probabilitas. Frekuensi relatif suatu peristiwa adalah rasio jumlah percobaan di mana peristiwa itu terjadi dengan jumlah total percobaan yang benar-benar dilakukan. W(A)=m/n, di mana m adalah jumlah kejadian, n adalah jumlah percobaan. V-Th menyarankan, dan frekuensi relatif tetap. V-Th tidak mengharuskan acara diadakan, dan frekuensi relatif - membutuhkan. Dengan kata lain, in-th event dihitung sebelum eksperimen, dan rel. frekuensi setelah. STABILITAS frekuensi relatif. Pengamatan jangka panjang telah menunjukkan bahwa jika percobaan dilakukan di bawah kondisi yang sama, di mana masing-masing jumlah pengujian cukup besar, maka frekuensi relatif menunjukkan sifat stabilitas. Properti ini terdiri dari fakta bahwa dalam berbagai eksperimen frekuensi relatif berubah sedikit, berfluktuasi di sekitar angka konstan tertentu. Ternyata bilangan konstan ini adalah terjadinya kejadian W(A) = P(A). Bagian STATISTIK dari suatu peristiwa adalah jumlah di mana frekuensi relatif dari peristiwa ini dikelompokkan, dan di bawah kondisi konstan dan peningkatan tak terbatas dalam jumlah tes, frekuensi relatif sedikit berbeda dari angka ini.
