Berikut adalah masalah dengan kerucut, kondisinya terkait dengan luas permukaannya. Secara khusus, dalam beberapa masalah ada pertanyaan tentang mengubah area dengan peningkatan (penurunan) ketinggian kerucut atau jari-jari alasnya. Teori untuk pemecahan masalah di . Pertimbangkan tugas-tugas berikut:

27135. Keliling alas kerucut adalah 3, generatrix adalah 2. Temukan luas permukaan lateral kerucut.

Luas permukaan sisi kerucut adalah :

Memasukkan data:

75697. Berapa kali luas permukaan lateral kerucut bertambah jika generatrixnya bertambah 36 kali, dan jari-jari alasnya tetap?

Luas permukaan lateral kerucut:

Generatrix meningkat 36 kali. Jari-jari tetap sama, yang berarti keliling alas tidak berubah.

Jadi luas permukaan lateral kerucut yang dimodifikasi akan terlihat seperti:

Dengan demikian, itu akan meningkat 36 kali lipat.

*Ketergantungannya sangat mudah, sehingga masalah ini dapat dengan mudah diselesaikan secara lisan.

27137. Berapa kali luas permukaan lateral kerucut berkurang jika jari-jari alasnya dikurangi 1,5 kali?

Luas permukaan sisi kerucut adalah :

Jari-jari berkurang 1,5 kali, yaitu:

Ditemukan bahwa luas permukaan lateral berkurang 1,5 kali.

27159. Tinggi kerucut adalah 6, generatrix adalah 10. Temukan luasnya permukaan penuh dibagi Pi.

Permukaan penuh kerucut:

Temukan radiusnya:

Tinggi dan generatrix diketahui, dengan teorema Pythagoras kami menghitung jari-jari:

Dengan demikian:

Bagilah hasilnya dengan Pi dan tuliskan jawabannya.

76299. Luas permukaan total kerucut adalah 108. Sebuah bagian digambar sejajar dengan alas kerucut, membagi tingginya menjadi dua. Temukan luas permukaan total kerucut yang terpotong.

Bagian melewati pertengahan ketinggian sejajar dengan alas. Jadi jari-jari alas dan generatrix kerucut yang terpotong adalah 2 kali kurang dari radius dan generatrix kerucut asli. Mari kita tuliskan berapa luas permukaan kerucut yang dipotong sama dengan:

Membuatnya pergi 4 kali lebih sedikit area permukaan aslinya, yaitu 108:4 = 27.

* Karena kerucut asli dan yang dipotong adalah benda yang serupa, dimungkinkan juga untuk menggunakan properti kesamaan:

27167. Jari-jari alas kerucut adalah 3, tingginya 4. Temukan luas permukaan total kerucut dibagi pi.

Rumus luas permukaan kerucut adalah :

Jari-jari diketahui, perlu untuk menemukan generatrix.

Menurut teorema Pythagoras:

Dengan demikian:

Bagilah hasilnya dengan Pi dan tuliskan jawabannya.

Tugas. Luas permukaan lateral kerucut adalah empat kali lipat lebih banyak area alasan. Menemukan sesuatu sama dengan cosinus sudut antara generatrix kerucut dan bidang alas.

Luas alas kerucut adalah :

Kita tahu apa itu kerucut, mari kita coba mencari luas permukaannya. Mengapa perlu untuk memecahkan masalah seperti itu? Misalnya, Anda perlu memahami seberapa ujian akan pergi membuat kerucut wafel? Atau berapa banyak batu bata yang dibutuhkan untuk meletakkan atap bata sebuah kastil?

Tidak mudah untuk mengukur luas permukaan lateral kerucut. Tapi bayangkan tanduk yang sama terbungkus kain. Untuk menemukan luas selembar kain, Anda perlu memotong dan menyebarkannya di atas meja. Ternyata sosok datar, kita dapat menemukan luasnya.

Beras. 1. Bagian kerucut di sepanjang generatrix

Mari kita lakukan hal yang sama dengan kerucut. Mari kita "memotong" permukaan lateralnya di sepanjang generatrix apa pun, misalnya, (lihat Gambar 1).

Sekarang kita "melepaskan" permukaan samping ke pesawat. Kami mendapatkan sektor. Pusat sektor ini adalah puncak kerucut, jari-jari sektor sama dengan generatrix kerucut, dan panjang busurnya bertepatan dengan keliling pangkal kerucut. Sektor seperti itu disebut pengembangan permukaan lateral kerucut (lihat Gambar 2).

Beras. 2. Pengembangan permukaan samping

Beras. 3. Pengukuran sudut dalam radian

Mari kita coba mencari luas sektor sesuai dengan data yang tersedia. Pertama, mari kita perkenalkan notasi: biarkan sudut di bagian atas sektor dalam radian (lihat Gambar 3).

Kita akan sering menjumpai sudut di bagian atas sapuan dalam tugas. Sementara itu, mari kita coba menjawab pertanyaan: tidak bisakah sudut ini berubah menjadi lebih dari 360 derajat? Artinya, bukankah sapuan itu akan menimpa dirinya sendiri? Tentu saja tidak. Mari kita buktikan secara matematis. Biarkan sapuan itu "tumpang tindih" dengan sendirinya. Artinya panjang busur sapuan lebih besar dari keliling jari-jarinya. Tetapi, seperti yang telah disebutkan, panjang busur sapuan adalah keliling jari-jari. Dan jari-jari alas kerucut, tentu saja, lebih kecil dari generatrix, misalnya, karena kaki segitiga siku-siku lebih kecil dari sisi miring

Kemudian mari kita ingat dua rumus dari kursus planimetri: panjang busur. Bidang sektor: .

Dalam kasus kami, peran dimainkan oleh generatrix , dan panjang busur sama dengan keliling alas kerucut, yaitu. Kita punya:

Akhirnya kita mendapatkan:

Seiring dengan luas permukaan lateral, luas permukaan total juga dapat ditemukan. Untuk melakukan ini, tambahkan area dasar ke area permukaan lateral. Tetapi alasnya adalah lingkaran dengan jari-jari , yang luasnya menurut rumus adalah .

Akhirnya kami memiliki: , di mana adalah jari-jari dasar silinder, adalah generatrix.

Mari kita selesaikan beberapa masalah pada rumus yang diberikan.

Beras. 4. Sudut yang diinginkan

Contoh 1. Perkembangan permukaan lateral kerucut adalah sektor dengan sudut di puncak. Temukan sudut ini jika tinggi kerucut adalah 4 cm dan jari-jari alasnya adalah 3 cm (lihat Gambar 4).

Beras. 5. Segitiga siku-siku membentuk kerucut

Dengan tindakan pertama, menurut teorema Pythagoras, kita menemukan generatrix: 5 cm (lihat Gambar 5). Selanjutnya, kita tahu bahwa .

Contoh 2. Kotak bagian aksial kerucut adalah , tingginya adalah . Temukan luas permukaan total (lihat Gambar 6).

Luas permukaan kerucut (atau hanya permukaan kerucut) sama dengan jumlah luas alas dan permukaan samping.

Luas permukaan lateral kerucut dihitung dengan rumus: S = R aku, di mana R adalah jari-jari alas kerucut, dan aku- generatrix kerucut.

Karena luas alas kerucut adalah R 2 (sebagai luas lingkaran), maka luas seluruh permukaan kerucut akan sama dengan : R2 + R aku= R (R + aku).

Memperoleh rumus untuk luas permukaan lateral kerucut dapat dijelaskan dengan alasan seperti itu. Biarkan gambar menunjukkan perkembangan permukaan lateral kerucut. Bagilah busur AB menjadi mungkin lagi bagian yang sama dan hubungkan semua titik pembagian dengan pusat busur, dan yang berdekatan satu sama lain dengan akord.

Kami mendapatkan seri segitiga sama. Luas setiap segitiga adalah ah / 2 , dimana sebuah- panjang alas segitiga, a h- tinggi nya.

Jumlah luas semua segitiga adalah: ah / 2 n = anh / 2 , dimana n adalah jumlah segitiga.

Pada angka besar pembagian, jumlah luas segitiga menjadi sangat dekat dengan luas pengembangan, yaitu, luas permukaan lateral kerucut. Jumlah alas segitiga, mis. sebuah, menjadi sangat dekat dengan panjang busur AB, yaitu dengan keliling alas kerucut. Ketinggian setiap segitiga menjadi sangat dekat dengan jari-jari busur, yaitu, dengan generatrix kerucut.

Dengan mengabaikan sedikit perbedaan dalam ukuran besaran-besaran ini, kami memperoleh rumus untuk luas permukaan lateral kerucut (S):

S=C aku / 2, di mana C adalah keliling alas kerucut, aku- generatrix kerucut.

Mengetahui bahwa C \u003d 2πR, di mana R adalah jari-jari lingkaran alas kerucut, kami memperoleh: S \u003d R aku.

Catatan. Dalam rumus S = C aku / 2, tanda persamaan yang tepat, dan bukan perkiraan, diberikan, meskipun berdasarkan alasan di atas, kita dapat menganggap persamaan ini sebagai perkiraan. Tapi di SMA sekolah menengah atas terbukti persamaan

S=C aku / 2 tepat, bukan perkiraan.

Dalil. Permukaan lateral kerucut sama dengan produk keliling alas dan setengah generatrix.

Mari kita tulis dalam kerucut (Gbr.) beberapa piramida yang benar dan dilambangkan dengan huruf R dan aku angka yang menyatakan panjang keliling alas dan apotema piramida ini.

Kemudian permukaan lateralnya akan dinyatakan oleh produk 1/2 R aku .

Sekarang mari kita asumsikan bahwa jumlah sisi poligon yang tertulis di alas bertambah tanpa batas. Maka keliling R akan cenderung ke batas yang diambil sebagai panjang C keliling alas, dan apotema aku akan memiliki generator kerucut sebagai batasnya (karena SAK menyiratkan bahwa SA - SK
1 / 2 R aku, akan cenderung ke batas 1/2 C L. Batas ini diambil sebagai nilai permukaan lateral kerucut. Menunjukkan permukaan lateral kerucut dengan huruf S, kita dapat menulis:

S = 1/2 C L = C 1/2 L

Konsekuensi.
1) Sejak C \u003d 2 π R, maka permukaan lateral kerucut dinyatakan dengan rumus:

S=1/2 2π R L = π RL

2) Kami mendapatkan permukaan penuh kerucut jika kami menambahkan permukaan lateral ke area dasar; oleh karena itu, menunjukkan permukaan lengkap dengan T, kita akan memiliki:

T= π RL+ π R2 = π R(L+R)

Dalil. Permukaan samping kerucut terpotong sama dengan hasil kali setengah jumlah keliling alas dan generatrix.

Mari kita tulis dalam kerucut terpotong (Gbr.) beberapa reguler piramida terpotong dan dilambangkan dengan huruf r, r 1 dan aku angka yang menyatakan dalam satuan linier yang sama panjang keliling alas bawah dan atas dan apotema piramida ini.

Maka permukaan lateral piramida bertulisan adalah 1/2 ( p + p 1) aku

Dengan peningkatan tak terbatas dalam jumlah wajah lateral piramida bertulis, perimeter R dan R 1 cenderung ke batas-batas yang diambil sebagai panjang C dan C 1 dari lingkaran alas, dan apotema aku memiliki batas generatrix L dari kerucut terpotong. Akibatnya, nilai permukaan lateral piramida bertulis cenderung ke batas yang sama dengan (С + 1) L. Batas ini diambil sebagai nilai permukaan lateral kerucut terpotong. Menunjukkan permukaan sisi kerucut terpotong dengan huruf S, kita akan memiliki:

S \u003d 1/2 (C + C 1) L

Konsekuensi.
1) Jika R dan R 1 berarti jari-jari lingkaran alas bawah dan alas atas, maka permukaan lateral kerucut yang terpotong adalah:

S = 1/2 (2 π R+2 π R 1) L = π (R+R1)L.

2) Jika dalam trapesium OO 1 A 1 A (Gbr.), Dari rotasi yang diperoleh kerucut terpotong, kami menggambar garis tengah BC, kita mendapatkan:

SM \u003d 1/2 (OA + O 1 A 1) \u003d 1/2 (R + R 1),

R + R 1 = 2BC.

Karena itu,

S=2 π SM L,

yaitu permukaan lateral kerucut terpotong sama dengan produk keliling bagian rata-rata dan generatrix.

3) Total permukaan T kerucut terpotong dinyatakan sebagai berikut:

T= π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)

Benda-benda revolusi yang dipelajari di sekolah adalah silinder, kerucut, dan bola.

Jika dalam tugas USE dalam matematika Anda perlu menghitung volume kerucut atau luas bola, anggap diri Anda beruntung.

Terapkan rumus volume dan luas permukaan tabung, kerucut, dan bola. Semuanya ada di meja kami. Belajar dengan hati. Di sinilah pengetahuan tentang stereometri dimulai.

Terkadang bagus untuk menggambar tampilan atas. Atau, seperti dalam masalah ini, dari bawah.

2. Berapa kali volume kerucut yang dibatasi di dekat yang benar? piramida segi empat, lebih besar dari volume kerucut yang tertulis di piramida ini?

Semuanya sederhana - kami menggambar pemandangan dari bawah. Kita melihat bahwa jari-jari lingkaran yang lebih besar beberapa kali lebih besar dari jari-jari lingkaran yang lebih kecil. Tinggi kedua kerucut sama. Oleh karena itu, volume kerucut yang lebih besar akan menjadi dua kali lipat.

Lain poin penting. Ingatlah bahwa dalam tugas bagian B GUNAKAN opsi dalam matematika, jawabannya ditulis sebagai bilangan bulat atau hingga pecahan desimal. Oleh karena itu, Anda tidak boleh memiliki atau dalam jawaban Anda di bagian B. Mengganti nilai perkiraan angka juga tidak perlu! Itu harus dikurangi! Untuk inilah dalam beberapa tugas tugas dirumuskan, misalnya, sebagai berikut: "Temukan luas permukaan lateral silinder dibagi".

Dan di mana lagi rumus volume dan luas permukaan benda revolusi digunakan? Tentu saja, dalam soal C2 (16). Kami juga akan memberi tahu Anda tentang hal itu.