თუ I = f0g, მაშინ F = R.

VII.6. მტკიცებულება ფრობენიუსის თეორემები

თუ I = f0g, მაშინ F = R.

თუ განზომილება ქვესივრცეები Iუდრის 1, შემდეგ F = C.

VII.6. მტკიცებულება ფრობენიუსის თეორემები

თუ I = f0g, მაშინ F = R.

თუ განზომილება ქვესივრცეები Iუდრის 1-ს, შემდეგ F = C. მოდით განზომილება ქვესივრცეები I 1-ზე მეტი.

VII.6. მტკიცებულება ფრობენიუსის თეორემები

მოდით განზომილება ქვესივრცეები I 1-ზე მეტი.

სივრცეები I. მოდით i = p1 u. მერე

VII.6. მტკიცებულება ფრობენიუსის თეორემები

მოდით განზომილება ქვესივრცეები I 1-ზე მეტი.

მიიღეთ ხაზოვანი დამოუკიდებელი სისტემავექტორები fu; vg ხაზოვანი

სივრცეები I. ნება მომეცით =
i2 =

VII.6. მტკიცებულება ფრობენიუსის თეორემები

მოდით განზომილება ქვესივრცეები I 1-ზე მეტი.

ავიღოთ ვექტორების წრფივი დამოუკიდებელი სისტემა fu; vg ხაზოვანი

სივრცეები I. ნება მომეცით =

u 2 (u2) =

i2 = p1 u 2 u

p 1 u 2 u =

VII.6. მტკიცებულება ფრობენიუსის თეორემები

მოდით განზომილება ქვესივრცეები I 1-ზე მეტი.

ავიღოთ ვექტორების წრფივი დამოუკიდებელი სისტემა fu; vg ხაზოვანი

სივრცეები I. ნება მომეცით =

u 2 (u2 ) = 1:

i2 = p1 u 2 u

p 1 u 2 u =

VII.6. მტკიცებულება ფრობენიუსის თეორემები

მოდით განზომილება ქვესივრცეები I 1-ზე მეტი.

ავიღოთ ვექტორების წრფივი დამოუკიდებელი სისტემა fu; vg ხაზოვანი

სივრცეები I. მოდით i = p1 u. მაშინ i2 = 1:

ჯამით i v = + x, სადაც 2 R, x 2 I.

VII.6. მტკიცებულება ფრობენიუსის თეორემები

მოდით განზომილება ქვესივრცეები I 1-ზე მეტი.

ავიღოთ ვექტორების წრფივი დამოუკიდებელი სისტემა fu; vg ხაზოვანი

სივრცეები I. ნება მომეცით =										u. მაშინ i2 = 1:
			ლემა ელემენტების დაშლის შესახებ F-დან
			i v = + x, სადაც				2 R, x 2 I. Მიხედვით
					(i + v) 2 I , in		კერძოდ, (i + v)2< 0.
			(i+v)2

VII.6. მტკიცებულება ფრობენიუსის თეორემები

მოდით განზომილება ქვესივრცეები I 1-ზე მეტი.

ავიღოთ ვექტორების წრფივი დამოუკიდებელი სისტემა fu; vg ხაზოვანი

სივრცეები I. ნება მომეცით =										u. მაშინ i2 = 1:
			ლემა ელემენტების დაშლის შესახებ F-დან
			i v = + x, სადაც				2 R, x 2 I. Მიხედვით
					(i + v) 2 I , in		კერძოდ, (i + v)2< 0.
			(i+v)2

VII.6. მტკიცებულება ფრობენიუსის თეორემები

მოდით განზომილება ქვესივრცეები I 1-ზე მეტი.

ავიღოთ ვექტორების წრფივი დამოუკიდებელი სისტემა fu; vg ხაზოვანი

სივრცეები I. ნება მომეცით =

u. მაშინ i2 = 1:

ლემა ელემენტების დაშლის შესახებ F-დან

i v = + x, სადაც

2 R, x 2 I.

Მიხედვით

(i + v) 2 მე,

კერძოდ, (i + v)2< 0.

(i+v)2

(i+v)!

(i+v)2

VII.6. მტკიცებულება ფრობენიუსის თეორემები

მოდით განზომილება ქვესივრცეები I 1-ზე მეტი.

ავიღოთ ვექტორების წრფივი დამოუკიდებელი სისტემა fu; vg ხაზოვანი

სივრცეები I. ნება მომეცით =

u. მაშინ i2 = 1:

ლემა ელემენტების დაშლის შესახებ F-დან

i v = + x, სადაც

2 R, x 2 I.

Მიხედვით

(i + v) 2 მე,

კერძოდ, (i + v)2< 0.

(i+v)2

(i+v)!

(i+v)2

VII.6. მტკიცებულება ფრობენიუსის თეორემები

მოდით განზომილება ქვესივრცეები I 1-ზე მეტი.

ავიღოთ ვექტორების წრფივი დამოუკიდებელი სისტემა fu; vg ხაზოვანი

სივრცეები I. ნება მომეცით =								u. მაშინ i2 = 1:
					დაშლის შესახებ				ელემენტებიდან
				i v = + x, სადაც					2 R, x 2 I.
					(i + v). გვაქვს j2 = 1,
		(i+v)2

VII.6. მტკიცებულება ფრობენიუსის თეორემები

მოდით განზომილება ქვესივრცეები I 1-ზე მეტი.

ავიღოთ ვექტორების წრფივი დამოუკიდებელი სისტემა fu; vg ხაზოვანი

სივრცეები I. ნება მომეცით =

u. მაშინ i2 = 1:

დაშლის შესახებ

ელემენტებიდან

i v = + x, სადაც

2 R, x 2 I.

(i1 + v). გვაქვს j2 = 1,

(i+v)2

i j = i

(i+v)2

VII.6. მტკიცებულება ფრობენიუსის თეორემები

მოდით განზომილება ქვესივრცეები I 1-ზე მეტი.

ავიღოთ ვექტორების წრფივი დამოუკიდებელი სისტემა fu; vg ხაზოვანი

სივრცეები I. ნება მომეცით =

u. მაშინ i2 = 1:

ელემენტების დაშლის შესახებ

i v = + x, სადაც

x 2 მე.

(i1 + v). გვაქვს j2 = 1,

(i+v)2

i j = i

(i+v)2

(i+v)2

VII.6. მტკიცებულება ფრობენიუსის თეორემები

მოდით განზომილება ქვესივრცეები I 1-ზე მეტი.

ავიღოთ ვექტორების წრფივი დამოუკიდებელი სისტემა fu; vg ხაზოვანი

სივრცეები I. ნება მომეცით =

u. მაშინ i2 = 1:

დაშლის შესახებ

ელემენტები

i v = + x, სადაც

x 2 მე.

(i1 + v). გვაქვს j2 = 1,

(i+v)2

i j = i

(i+v)2

(i+v)2

(i+v)2

VII.6. მტკიცებულება ფრობენიუსის თეორემები

მოდით განზომილება ქვესივრცეები I 1-ზე მეტი.

ავიღოთ ვექტორების წრფივი დამოუკიდებელი სისტემა fu; vg ხაზოვანი

სივრცეები I. ნება მომეცით =

u. მაშინ i2 = 1:

დაშლის შესახებ

ელემენტები

i v = + x, სადაც

x 2 მე.

(i1 + v). გვაქვს j2 = 1,

(i+v)2

i j = i

(i+v)2

(i+v)2

x 2 მე:

(i+v)2

(i+v)2

VII.6. მტკიცებულება ფრობენიუსის თეორემები

მოდით განზომილება ქვესივრცეები I 1-ზე მეტი.

ავიღოთ ვექტორების წრფივი დამოუკიდებელი სისტემა fu; vg ხაზოვანი

სივრცეები I. ნება მომეცით =								u. მაშინ i2 = 1:
					დაშლის შესახებ				ელემენტებიდან
				i v = + x, სადაც					2 R, x 2 I.

(i+v)2

ნიშნავს,

VII.6. მტკიცებულება ფრობენიუსის თეორემები

მოდით განზომილება ქვესივრცეები I 1-ზე მეტი.

ავიღოთ ვექტორების წრფივი დამოუკიდებელი სისტემა fu; vg ხაზოვანი

სივრცეები I. ნება მომეცით =								u. მაშინ i2 = 1:
					დაშლის შესახებ				ელემენტებიდან
				i v = + x, სადაც					2 R, x 2 I.
					(i + v). გვაქვს j2 = 1, i j 2I :
		(i+v)2

I + j + i j ; ; ; 2 რ

კვატერნიონის სხეული.

VII.6. მტკიცებულება ფრობენიუსის თეორემები

მოდით განზომილება ქვესივრცეები I 1-ზე მეტი.

ავიღოთ ვექტორების წრფივი დამოუკიდებელი სისტემა fu; vg ხაზოვანი

სივრცეები I. ნება მომეცით =								u. მაშინ i2 = 1:
					დაშლის შესახებ				ელემენტებიდან
				i v = + x, სადაც					2 R, x 2 I.
					(i + v). გვაქვს j2 = 1, i j 2I :
		(i+v)2
მაშასადამე, კვატერნიონების დახრილი ველის ჩადგმის ლემის მიხედვით F-ში,

I + j + i j ; ; ; 2 რ

კვატერნიონის სხეული.

ამრიგად, თუ ხაზოვანი სივრცემე მაქვს განზომილება 3, მაშინ F არის კვატერნიონების სხეული.

VII.6. მტკიცებულება ფრობენიუსის თეორემები

ქვესივრცეები I 3-ზე მეტი.

VII.6. მტკიცებულება ფრობენიუსის თეორემები

რჩება განიხილოს შემთხვევა, როდესაც განზომილება ქვესივრცეები I

Მოდი ავიღოთ წრფივი დამოუკიდებელი

VII.6. მტკიცებულება ფრობენიუსის თეორემები

რჩება განიხილოს შემთხვევა, როდესაც განზომილება ქვესივრცეები I 3-ზე მეტი. ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ მაშინ F მოიცავს კვატერნიონების დახრილ ველს.

Მოდი ავიღოთ წრფივი დამოუკიდებელივექტორების სისტემა fi; j; კ; მგ, სადაც i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

							x; y; z 2 I:

VII.6. მტკიცებულება ფრობენიუსის თეორემები

რჩება განიხილოს შემთხვევა, როდესაც განზომილება ქვესივრცეები I 3-ზე მეტი. ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ მაშინ F მოიცავს კვატერნიონების დახრილ ველს.

Მოდი ავიღოთ წრფივი დამოუკიდებელივექტორების სისტემა fi; j; კ; მგ, სადაც i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

ელემენტების F-დან ჯამად დაშლის შესახებ ლემის ძალით

VII.6. მტკიცებულება ფრობენიუსის თეორემები

რჩება განიხილოს შემთხვევა, როდესაც განზომილება ქვესივრცეები I 3-ზე მეტი. ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ მაშინ F მოიცავს კვატერნიონების დახრილ ველს.

Მოდი ავიღოთ წრფივი დამოუკიდებელივექტორების სისტემა fi; j; კ; მგ, სადაც i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

ელემენტების F-დან ჯამად დაშლის შესახებ ლემის ძალით

							x; y; z 2 I:

ძალით ქვესივრცის ლემები I t = m + i + j + k 2I. დან ხაზოვანი დამოუკიდებლობავექტორების სისტემები fi; j; კ; მგ შემდეგი-

უბერავს რომ t 6=0.

VII.6. მტკიცებულება ფრობენიუსის თეორემები

რჩება განიხილოს შემთხვევა, როდესაც განზომილება ქვესივრცეები I 3-ზე მეტი. ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ მაშინ F მოიცავს კვატერნიონების დახრილ ველს.

Მოდი ავიღოთ წრფივი დამოუკიდებელივექტორების სისტემა fi; j; კ; მგ, სადაც i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

ელემენტების F-დან ჯამად დაშლის შესახებ ლემის ძალით

							x; y; z 2 I:

ქვესივრცის ლემა I

VII.6. მტკიცებულება ფრობენიუსის თეორემები

რჩება განიხილოს შემთხვევა, როდესაც განზომილება ქვესივრცეები I 3-ზე მეტი. ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ მაშინ F მოიცავს კვატერნიონების დახრილ ველს.

Მოდი ავიღოთ წრფივი დამოუკიდებელივექტორების სისტემა fi; j; კ; მგ, სადაც i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

ელემენტების F-დან ჯამად დაშლის შესახებ ლემის ძალით

							x; y; z 2 I:

დადასტურებულია, რომ 0 6= t = m + i + j + k 2 I. მიერ ქვესივრცის ლემა I

i t = i m + k j =

VII.6. მტკიცებულება ფრობენიუსის თეორემები

რჩება განიხილოს შემთხვევა, როდესაც განზომილება ქვესივრცეები I 3-ზე მეტი. ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ მაშინ F მოიცავს კვატერნიონების დახრილ ველს.

Მოდი ავიღოთ წრფივი დამოუკიდებელივექტორების სისტემა fi; j; კ; მგ, სადაც i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

ელემენტების F-დან ჯამად დაშლის შესახებ ლემის ძალით

							x; y; z 2 I:

დადასტურებულია, რომ 0 6= t = m + i + j + k 2 I. მიერ ქვესივრცის ლემა I

i t = i m + k j = x + k j

VII.6. მტკიცებულება ფრობენიუსის თეორემები

რჩება განიხილოს შემთხვევა, როდესაც განზომილება ქვესივრცეები I 3-ზე მეტი. ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ მაშინ F მოიცავს კვატერნიონების დახრილ ველს.

Მოდი ავიღოთ წრფივი დამოუკიდებელივექტორების სისტემა fi; j; კ; მგ, სადაც i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

ელემენტების F-დან ჯამად დაშლის შესახებ ლემის ძალით

							x; y; z 2 I:

დადასტურებულია, რომ 0 6= t = m + i + j + k 2 I. მიერ ქვესივრცის ლემა I

i t = i m + k j = x + k j 2 I:

VII.6. მტკიცებულება ფრობენიუსის თეორემები

რჩება განიხილოს შემთხვევა, როდესაც განზომილება ქვესივრცეები I 3-ზე მეტი. ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ მაშინ F მოიცავს კვატერნიონების დახრილ ველს.

Მოდი ავიღოთ წრფივი დამოუკიდებელივექტორების სისტემა fi; j; კ; მგ, სადაც i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

ელემენტების F-დან ჯამად დაშლის შესახებ ლემის ძალით

ანალოგიურად, შეგვიძლია დავამტკიცოთ, რომ j t 2 I, k t 2 I.

VII.6. მტკიცებულება ფრობენიუსის თეორემები

რჩება განიხილოს შემთხვევა, როდესაც განზომილება ქვესივრცეები I 3-ზე მეტი. ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ მაშინ F მოიცავს კვატერნიონების დახრილ ველს.

Მოდი ავიღოთ წრფივი დამოუკიდებელივექტორების სისტემა fi; j; კ; მგ, სადაც i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

ელემენტების F-დან ჯამად დაშლის შესახებ ლემის ძალით

											x; y; z 2 I:
დაამტკიცა რომ			0 6= t = m + i + j + k 2 I. პოლემიკა სუბპრო-
სივრცე I			i t 2 I, j t 2 I,
ჩვენ ვსვამთ n =

VII.6. მტკიცებულება ფრობენიუსის თეორემები

რჩება განიხილოს შემთხვევა, როდესაც განზომილება ქვესივრცეები I 3-ზე მეტი. ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ მაშინ F მოიცავს კვატერნიონების დახრილ ველს.

Მოდი ავიღოთ წრფივი დამოუკიდებელივექტორების სისტემა fi; j; კ; მგ, სადაც i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

VII.6. მტკიცებულება ფრობენიუსის თეორემები

რჩება განიხილოს შემთხვევა, როდესაც განზომილება ქვესივრცეები I 3-ზე მეტი. ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ მაშინ F მოიცავს კვატერნიონების დახრილ ველს.

Მოდი ავიღოთ წრფივი დამოუკიდებელივექტორების სისტემა fi; j; კ; მგ, სადაც i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

ჩვენ ვიპოვეთ n 2 I ისეთი, რომ n2 = 1, 0 6 = i n 2 I, 0 6 = j n 2 I,

კვატერნიონების დახრილი ველის ჩადგმის ლემის მიხედვით F

VII.6. მტკიცებულება ფრობენიუსის თეორემები

რჩება განიხილოს შემთხვევა, როდესაც განზომილება ქვესივრცეები I 3-ზე მეტი. ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ მაშინ F მოიცავს კვატერნიონების დახრილ ველს.

Მოდი ავიღოთ წრფივი დამოუკიდებელივექტორების სისტემა fi; j; კ; მგ, სადაც i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

ჩვენ ვიპოვეთ n 2 I ისეთი, რომ n2 = 1, 0 6 = i n 2 I, 0 6 = j n 2 I,

კვატერნიონების დახრილი ველის ჩადგმის ლემის მიხედვით F

i n = ni; j n = n j; k n = nk:

VII.6. მტკიცებულება ფრობენიუსის თეორემები

რჩება განიხილოს შემთხვევა, როდესაც განზომილება ქვესივრცეები I 3-ზე მეტი. ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ მაშინ F მოიცავს კვატერნიონების დახრილ ველს.

Მოდი ავიღოთ წრფივი დამოუკიდებელივექტორების სისტემა fi; j; კ; მგ, სადაც i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

ჩვენ ვიპოვეთ n 2 I ისეთი, რომ n2 = 1, 0 6 = i n 2 I, 0 6 = j n 2 I,

კვატერნიონების დახრილი ველის ჩადგმის ლემის მიხედვით F

i n = ni; j n = n j; k n = nk:

N i j = i n j =

VII.6. მტკიცებულება ფრობენიუსის თეორემები

რჩება განიხილოს შემთხვევა, როდესაც განზომილება ქვესივრცეები I 3-ზე მეტი. ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ მაშინ F მოიცავს კვატერნიონების დახრილ ველს.

Მოდი ავიღოთ წრფივი დამოუკიდებელივექტორების სისტემა fi; j; კ; მგ, სადაც i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

ჩვენ ვიპოვეთ n 2 I ისეთი, რომ n2 = 1, 0 6 = i n 2 I, 0 6 = j n 2 I,

კვატერნიონების დახრილი ველის ჩადგმის ლემის მიხედვით F

i n = ni; j n = n j; k n = nk:

N k = n i j = i n j =

VII.6. მტკიცებულება ფრობენიუსის თეორემები

რჩება განიხილოს შემთხვევა, როდესაც განზომილება ქვესივრცეები I 3-ზე მეტი. ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ მაშინ F მოიცავს კვატერნიონების დახრილ ველს.

Მოდი ავიღოთ წრფივი დამოუკიდებელივექტორების სისტემა fi; j; კ; მგ, სადაც i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

ჩვენ ვიპოვეთ n 2 I ისეთი, რომ n2 = 1, 0 6 = i n 2 I, 0 6 = j n 2 I,

კვატერნიონების დახრილი ველის ჩადგმის ლემის მიხედვით F

i n = ni; j n = n j; k n = n k: k n = n k = n i j = i n j =

VII.6. მტკიცებულება ფრობენიუსის თეორემები

რჩება განიხილოს შემთხვევა, როდესაც განზომილება ქვესივრცეები I 3-ზე მეტი. ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ მაშინ F მოიცავს კვატერნიონების დახრილ ველს.

Მოდი ავიღოთ წრფივი დამოუკიდებელივექტორების სისტემა fi; j; კ; მგ, სადაც i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

ჩვენ ვიპოვეთ n 2 I ისეთი, რომ n2 = 1, 0 6 = i n 2 I, 0 6 = j n 2 I,

კვატერნიონების დახრილი ველის ჩადგმის ლემის მიხედვით F

i n = ni; j n = n j; k n = nk:

k n = n k = n i j = i n j = i (j n) =

VII.6. მტკიცებულება ფრობენიუსის თეორემები

რჩება განიხილოს შემთხვევა, როდესაც განზომილება ქვესივრცეები I 3-ზე მეტი. ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ მაშინ F მოიცავს კვატერნიონების დახრილ ველს.

Მოდი ავიღოთ წრფივი დამოუკიდებელივექტორების სისტემა fi; j; კ; მგ, სადაც i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

ჩვენ ვიპოვეთ n 2 I ისეთი, რომ n2 = 1, 0 6 = i n 2 I, 0 6 = j n 2 I,

კვატერნიონების დახრილი ველის ჩადგმის ლემის მიხედვით F

i n = ni; j n = n j; k n = nk:

VII.6. მტკიცებულება ფრობენიუსის თეორემები

რჩება განიხილოს შემთხვევა, როდესაც განზომილება ქვესივრცეები I 3-ზე მეტი. ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ მაშინ F მოიცავს კვატერნიონების დახრილ ველს.

Მოდი ავიღოთ წრფივი დამოუკიდებელივექტორების სისტემა fi; j; კ; მგ, სადაც i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

ჩვენ ვიპოვეთ n 2 I ისეთი, რომ n2 = 1, 0 6 = i n 2 I, 0 6 = j n 2 I,

კვატერნიონების დახრილი ველის ჩადგმის ლემის მიხედვით F

i n = ni; j n = n j; k n = nk:

k n = n k = n i j = i n j = i (j n) = k n:

ამიტომ, 2k n = 0, წინააღმდეგობა.

VII. ფრობენიუსის თეორემა

თეორემა 2. მოდით F იყოს სხეული და R F,

9i1 ; i2 ; : : : ; in		9 0 ;1 ;2 ; : : : ;n 2 R
z = 0 +1 i1 +2 i2 + : : : +n in :

მაშინ F არის R ან C ან კვატერნიონის სხეული.

თეორემა დადასტურდა.

ყურადღება!

ელფოსტა: [ელფოსტა დაცულია]; [ელფოსტა დაცულია]

ვებსაიტები: http://melnikov.k66.ru; http://melnikov.web.ur.ru

თეორემა.ნებისმიერი ალტერნატიული წრფივი ალგებრა ველზე რეალური რიცხვებიგაყოფით ნორმალიზდება წრფივი ალგებრა.

მოდით იყოს ალტერნატიული წრფივი გაყოფის ალგებრა რეალური რიცხვების R ველზე. მოდით შემოვიტანოთ A-ში უღლების ოპერაცია შემდეგნაირად: თუ A-ს ელემენტი a პროპორციულია 1-ის, მაშინ a = a; თუ a არ არის 1-ის პროპორციული, მაშინ ის შეიცავს რთულ სუბალგებრას. ამ სუბალგებრაში a ელემენტისთვის არის a კონიუგატური ელემენტი, რომელსაც ვიღებთ ალგებრაში a-სთან კონიუგატად.

ეს პირდაპირ გამომდინარეობს a that = a და ასევე =ka-ს განმარტებიდან, სადაც k R.

დაე, A არ იყოს 1-ის პროპორციული. განვიხილოთ კვატერნიონის სუბალგებრა (K, +, . R , .), რომელიც შეიცავს a. ამ სუბალგებრაში, A-სთვის, ასევე არის კონიუგატური ელემენტი a. მოდით ვაჩვენოთ, რომ a ემთხვევა a.

ელემენტები a და a, როგორც კონიუგატები რთულ ალგებრაში, აკმაყოფილებს პირობებს:

a+a = 2a* 1, სადაც a R, (14)

a* a = d*1, სადაც d R. (15)

ელემენტები a და a, როგორც კონიუგატები კვატერნიონის ალგებრაში, აკმაყოფილებს პირობებს:

a + a \u003d 2a 1 * 1, სადაც 1 R, (14")

a * a = d 1 *1, სადაც d 1 R. (15 /)

გამოვაკლოთ (14) და (15) შესაბამისად (14 /) და (15"). შემდეგ:

a - a = 2(a - a1)*1.

a (a - a) = (d- d 1)* 1 2(a - a 1)a*1.= (d- d 1)* 1.

a (a - a), შემდეგ a = *1,

იმათ. და პროპორციულია 1-ის, რაც ეწინააღმდეგება ვარაუდს.

აქედან გამომდინარეობს, რომ a-სთან კონიუგატული ელემენტი იგივეა, მიუხედავად იმისა, მივიჩნევთ a-ს რთული სუბალგებრის ელემენტად თუ ალგებრის კვატერნიონული სუბალგებრის ელემენტად.

ანალოგიურად |ა| 2 = aa როგორც რთული სუბალგებრის შემთხვევაში, ასევე ალგებრის კვატერნიონული სუბალგებრის შემთხვევაში, ასე რომ, a ელემენტის მოდული არ არის დამოკიდებული იმაზე, მივიჩნევთ მას კომპლექსური თუ კვატერნიონული სუბალგებრის ელემენტად. ალგებრა.

მაშინ ნებისმიერი a, b A-სთვის ტოლობები მართალია:

A+ და = a *. (16)

თუ a და b ეკუთვნის ალგებრის ერთსა და იმავე რთულ სუბალგებრას, მაშინ ტოლობები (16) არის თვისებები, უღლება ამ სუბალგებრაში. თუ ისინი განსხვავებულ რთულ სუბალგებრებს მიეკუთვნებიან, მაშინ ისინი მოქმედებენ, როგორც კონიუგაციის თვისებები ალგებრის მეოთხეულ სუბალგებრაში.

= b-დან და მეორე ტოლობიდან (16) გამომდინარეობს, რომ = ba, საიდან

a + ba = c* 1, სადაც c R.

(A, +, . R, .)-ში ჩვენ განვსაზღვრავთ სკალარული ნამრავლს (a, b) როგორც

a + ba = 2(a, b) * 1.

ვაჩვენოთ, რომ (a, b) აკმაყოფილებს ყველა თვისებას წერტილოვანი პროდუქტი:

1) (a, a) > 0 a? 0 და (0, 0) = 0.

Ნამდვილად,

(a, a) * 1 = (aa + aa) = aa = |a|* 1,

და რთული რიცხვის მოდული, ისევე როგორც კვატერნიონის მოდული, მკაცრად დადებითია a? 0 და უდრის 0 = 0-ს.

2) (ა, ბ) = (ბ. ა), ვინაიდან

a + ba = 2(a, b)* 1, ba + a = 2(b, a)* 1,

a + ba = ba + a, შემდეგ (a, b) = (b, a).

3) (a, kb) = k(a, b) k R-სთვის.

მართლაც,

(a, kb) = (a() + kba) = (a(k) + kba) = k(a + ba) = k(a, b).

4) (a, b 1 + b 2) = (a, b 1) + (a, b 2)

გამომდინარეობს სკალარული ნამრავლისა და პირველი ტოლობის განმარტებიდან (16).

საწყისი (ა, ა) = |ა| 2 1 რომ = |a|, ე.ი. ელემენტის a A ნორმა ემთხვევა კომპლექსური რიცხვის და კვატერნიონის a მოდულს.

ვინაიდან ალგებრადან ნებისმიერი ორი ელემენტი a და b მიეკუთვნება ერთ კომპლექსურ ან ერთ კვატერნიონულ სუბალგებრას, მაშინ

|აბ| 2 = |ა| 2 |ბ| 2 (აბ, აბ) = (ა, ა) (ბ, ბ).

ამრიგად, შიდა პროდუქტის ყველა თვისება (a, b)-სთვის დაკმაყოფილებულია. ეს ნიშნავს, რომ ალგებრა არის ნორმალიზებული წრფივი ალგებრა.

განზოგადებული ფრობენიუსის თეორემა. ნებისმიერი ალტერნატიული წრფივი ალგებრა რეალური რიცხვების ველზე გაყოფითა და ერთიანობით არის იზომორფული ოთხი ალგებრიდან ერთ-ერთისთვის: რეალური რიცხვების ველი, რთული რიცხვების ველი, კვატერნიონების დახრილი ველი ან ოქტავების ალგებრა.

ვინაიდან, როგორც დადასტურებულია წინა თეორემათუ ალტერნატიული წრფივი ალგებრა რეალური რიცხვების ველზე გაყოფითა და ერთობით არის ნორმალიზებული წრფივი ალგებრა და ეს უკანასკნელი, ჰურვიცის თეორემით, იზომორფულია ან რეალური რიცხვების ველზე, ან რთული რიცხვების ველზე, ან კვატერნიონების დახრილი ველი, ან ოქტავების ალგებრა, მაშინ აქედან გამომდინარეობს თეორემის განცხადება.

:

ენციკლოპედიური YouTube

• 1 / 5

  მოდით იყოს სხეული, რომელიც შეიცავს სხეულს ქვესხეულად R (\displaystyle \mathbb (R))რეალური რიცხვები და დაკმაყოფილებულია ორი პირობა:

  Სხვა სიტყვებით, L (\displaystyle \mathbb (L))არის სასრულ-განზომილებიანი გაყოფის ალგებრა რეალური რიცხვების ველზე.

  ფრობენიუსის თეორემა ამბობს, რომ ნებისმიერი ასეთი სხეული L (\displaystyle \mathbb (L)):

  გაითვალისწინეთ, რომ ფრობენიუსის თეორემა ვრცელდება მხოლოდ სასრულ განზომილებიან გაფართოებებზე R (\displaystyle \mathbb (R)). მაგალითად, ის არ მოიცავს არასტანდარტული ანალიზის ჰიპერრეალური რიცხვების ველს, რომელიც ასევე გაფართოებაა. R (\displaystyle \mathbb (R)), მაგრამ არა სასრულ-განზომილებიანი. კიდევ ერთი მაგალითია რაციონალური ფუნქციების ალგებრა.

  შედეგები და შენიშვნები

  ბოლო სამი განცხადება ქმნის ე.წ განზოგადებული თეორემაფრობენიუსი.

  ალგებრების დაყოფა რთული რიცხვების ველზე

  განზომილების ალგებრა ნრთული რიცხვების ველზე არის განზომილების ალგებრა 2nზემოთ R (\displaystyle \mathbb (R)). კვატერნიონის სხეული არ არის ალგებრა ველზე C (\displaystyle \mathbb (C))ცენტრიდან მოყოლებული H (\displaystyle \mathbb (H))არის ერთგანზომილებიანი რეალური სივრცე. აქედან გამომდინარე, ერთადერთი სასრულ-განზომილებიანი გაყოფა ალგებრა დასრულდა C (\displaystyle \mathbb (C))არის ალგებრა C (\displaystyle \mathbb (C)).

  ფრობენიუსის ჰიპოთეზა

  თეორემა შეიცავს ასოციაციურობის პირობას. რა მოხდება, თუ უარს იტყვით ამ პირობაზე? ფრობენიუსის ვარაუდი ამბობს, რომ თუნდაც 1, 2, 4, 8-ისგან განსხვავებული n-ის ასოციაციურობის პირობის გარეშე რეალურად. ხაზოვანი სივრცე R nარ შეიძლება განვსაზღვროთ გაყოფის ალგებრის სტრუქტურა. Frobenius ჰიპოთეზა დამტკიცდა 60-იან წლებში. XX საუკუნე.

  თუ ზე n>1კოსმოსში R nგანსაზღვრულია ორწრფივი გამრავლება ნულოვანი გამყოფების გარეშე, შემდეგ სფეროზე ს n-1 არსებობს n-1ხაზოვანი დამოუკიდებელი ვექტორული ველები. ადამსის მიერ მიღებული შედეგებიდან რიცხვზე ვექტორული ველები სფეროზე, აქედან გამომდინარეობს, რომ ეს შესაძლებელია მხოლოდ სფეროებისთვის ს 1 , ს 3 , ს 7. ეს ადასტურებს ფრობენიუსის ვარაუდს.

  იხილეთ ასევე

  ლიტერატურა

  • ბახტურინი იუ.თანამედროვე ალგებრის ძირითადი სტრუქტურები. - მ. : ნაუკა, 1990. - 320გვ.
  • კუროშ A. G.ლექციები ზოგად ალგებრაზე. მე-2 გამოცემა. - მ. : ნაუკა, 1973. - 400გვ.
  • პონტრიაგინი L. S.რიცხვების განზოგადება. - მ. : ნაუკა, 1986. - 120გვ. - (ბიბლიოთეკა "კვანტი", ნომერი 54).

  დათვლა კომპლექტი
  რეალური რიცხვები და მათი გაფართოებები
  გაფართოების ხელსაწყოები რიცხვითი სისტემები
  რიცხვების იერარქია	− 1 , 0 , 1 , … (\displaystyle -1,\;0,\;1,\;\ldots )

  აშკარაა, რომ თუ, მაშინ ამისთვის. უფრო მეტიც, ჩვენ ვაჩვენებთ, რომ საკმარისად დიდი პ

  ლემა No1. თუ მატრიცა არის არაუარყოფითი და შეუქცევადი, მაშინ

  მტკიცებულება:

  თუ ავიღებთ თვითნებურ ვექტორს და, მაშინ. და დაე ვექტორი ადგილი ჰქონდეს, აშკარაა, რომ Z აქვს მინიმუმნულოვანი დადებითი ელემენტების იგივე რაოდენობა, რაც y. მართლაც, თუ დავუშვებთ, რომ Z-ს აქვს ნაკლები ნულოვანი კომპონენტი, მაშინ აღვნიშნავთ A მატრიცას ბლოკებად შემდეგნაირად.

  

  გვექნება

  

  იმის გათვალისწინებით, რომ, მაშინ, ჩვენ ვიღებთ იმას, რაც ეწინააღმდეგება მატრიცის შეუქცევადობას

  შემდეგი ვექტორისთვის ვიმეორებთ მსჯელობას და ა.შ. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ ამას ზოგიერთი არანულოვანი ვექტორისთვის y

  

  არანულოვანი შეუქცევადი A მატრიცისთვის განიხილეთ რეალური ფუნქცია r(x) განსაზღვრულია არანულოვანი ვექტორებისთვის შემდეგნაირად: , (Ax) i - მე- კოორდინატივექტორი აჰ

  განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ და უფრო მეტიც, r(x) არის უმცირესი ღირებულება, რა

  აშკარაა, რომ r(x) უცვლელია x-ის ჩანაცვლებასთან მიმართებაში, ამიტომ შემდეგში შეგვიძლია განვიხილოთ დახურული სიმრავლე, როგორიცაა

  

  თუმცა, r(x)-ს შეიძლება ჰქონდეს უწყვეტობა იმ წერტილებში, სადაც x-კოორდინატი ხდება 0, ამიტომ განიხილეთ ვექტორების სიმრავლე და აღნიშნეთ. ლემა 1-ის მიხედვით N-ში ყველა ვექტორი დადებითი იქნება და შესაბამისად

  აღნიშნეთ მიერ ყველაზე დიდი რაოდენობა, რისთვისაც, . - მატრიცის სპექტრული რადიუსი A. თუ შეიძლება აჩვენოს, რომ არსებობს ვექტორი y ისეთი, რომ

  კომენტარი. L-ში შეიძლება იყოს სხვა ვექტორები, რომლებისთვისაც r(x) იღებს მნიშვნელობას r, ამიტომ ნებისმიერ ასეთ ვექტორს A მატრიცისთვის ექსტრემალური ეწოდება (Az=rz).

  r რიცხვისადმი ინტერესი აიხსნება შემდეგი შედეგით

  ლემა No 2. თუ მატრიცა არის არაუარყოფითი და შეუქცევადი, მაშინ რიცხვი არის A მატრიცის საკუთრივ მნიშვნელობა, გარდა ამისა, A-სთვის ყოველი ექსტრემალური ვექტორი დადებითია და არის სწორი საკუთრივექტორი A-სთვის, რომელიც შეესაბამება r საკუთრივ მნიშვნელობას.

  მთავარი შედეგია ფრობენიუს-პერონის თეორემა უწყვეტი მატრიცებისთვის

  ფრობენიუს-პერონის თეორემა. თუ მატრიცა არის არაუარყოფითი და შეუმცირებელი, მაშინ:

  A-ს აქვს დადებითი საკუთრივ მნიშვნელობა A მატრიცის სპექტრული რადიუსის ტოლი;

  არის დადებითი უფლება საკუთარი ვექტორი r საკუთრივ მნიშვნელობის შესაბამისი.

  საკუთრივ მნიშვნელობას აქვს ალგებრული სიმრავლე 1-ის ტოლი.

  პერონის თეორემა (დასკვნა). პოზიტიური კვადრატული მატრიცა A-ს აქვს დადებითი და რეალური საკუთრება r, რომელსაც აქვს ალგებრული სიმრავლე 1 და აღემატება ყველა დანარჩენის მოდულს. საკუთარი მნიშვნელობებიმატრიცა A. ეს r შეესაბამება დადებით საკუთრივექტორს

  ფრობენიუს-პერონის თეორემის გამოყენებით, შეგიძლიათ იპოვოთ მატრიცის მაქსიმალური რეალური მნიშვნელობა მატრიცის დამახასიათებელი მრავალწევრის გამოყენების გარეშე.

  შედეგები და შენიშვნები

  • ეს თეორემა მჭიდრო კავშირშია ჰურვიცის თეორემასთან ნორმირებული რეალური ალგებრების შესახებ. ნორმალიზებული დაყოფის ალგებრები - მხოლოდ $\backslash mathbb\; R,\; \backslash mathbb\; C,\; \backslash mathbb\; H$და კეილი რიცხვების (არაასოციაციური) ალგებრა.
  • რთული რიცხვების სისტემის გაფართოებისას, ჩვენ აუცილებლად ვკარგავთ ზოგიერთს არითმეტიკული თვისებები: კომუტატიურობა (კვატერნიონები), ასოციაციურობა (კეილის ალგებრა) და ა.შ.
  • არ არსებობს კვატერნიონის სისტემის ანალოგი ორი (და არა სამი) კვატერნიონის ერთეულით.
  • ველები $\backslash mathbb\; რ$და $\backslash mathbb\; C$არის ერთადერთი სასრულ-განზომილებიანი რეალური ასოციაციური და კომუტაციური ალგებრები ნულოვანი გამყოფების გარეშე.
  • კვატერნიონის სხეული $\backslash mathbb\; H$არის ერთადერთი სასრულ-განზომილებიანი რეალური ასოციაციური, მაგრამ არაკომუტაციური ალგებრა ნულოვანი გამყოფების გარეშე.
  • კეილის ალგებრა არის ერთადერთი სასრული განზომილებიანი რეალური ალტერნატიული არაასოციაციური ალგებრა ნულოვანი გამყოფების გარეშე.

  ბოლო სამი განცხადება ქმნის ე.წ განზოგადებული ფრობენიუსის თეორემა.

  ალგებრების დაყოფა რთული რიცხვების ველზე

  განზომილების ალგებრა ნმინდორზე $\backslash mathbb\; C$რთული რიცხვები არის განზომილების ალგებრა 2nზემოთ $\backslash mathbb\; რ$. კვატერნიონის სხეული $\backslash mathbb\; H$არ არის ალგებრა ველზე $\backslash mathbb\; C$ცენტრიდან მოყოლებული $\backslash mathbb\; H$არის ერთგანზომილებიანი რეალური სივრცე. აქედან გამომდინარე, ერთადერთი სასრულ-განზომილებიანი გაყოფა ალგებრა დასრულდა $\backslash mathbb\; C$არის ალგებრა $\backslash mathbb\; C$.

  ფრობენიუსის ჰიპოთეზა

  თეორემა შეიცავს ასოციაციურობის პირობას. რა მოხდება, თუ უარს იტყვით ამ პირობაზე? Frobenius-ის ვარაუდი ამბობს, რომ n-ის ასოციაციურობის პირობის გარეშეც, რომელიც განსხვავდება 1, 2, 4, 8-ისგან, რეალურ ხაზოვან სივრცეში. R nარ შეიძლება განვსაზღვროთ გაყოფის ალგებრის სტრუქტურა. Frobenius ჰიპოთეზა დამტკიცდა 60-იან წლებში. XX საუკუნე.

  თუ ზე n>1კოსმოსში R nგანსაზღვრულია ორწრფივი გამრავლება ნულოვანი გამყოფების გარეშე, შემდეგ სფეროზე ს n-1 არსებობს n-1ხაზოვანი დამოუკიდებელი ვექტორული ველები. ადამსის მიერ მიღებული შედეგებიდან რიცხვზე ვექტორული ველები სფეროზე, აქედან გამომდინარეობს, რომ ეს შესაძლებელია მხოლოდ სფეროებისთვის ს 1 , ს 3 , ს 7. ეს ადასტურებს ფრობენიუსის ვარაუდს.

  იხილეთ ასევე

  დაწერეთ მიმოხილვა სტატიაზე "ფრობენიუსის თეორემა"

  ლიტერატურა

  • ბახტურინი იუ.თანამედროვე ალგებრის ძირითადი სტრუქტურები. - M .: Nauka, 1990. - 320გვ.
  • კუროშ ა.გ.. - მ .: ნაუკა, 1973. - 400გვ.
  • პონტრიაგინი ლ.ს.. - მ .: ნაუკა, 1986. - 120გვ. - (ბიბლიოთეკა "კვანტი", ნომერი 54).

  დათვლა კომპლექტი

  ) პერიოდები გამოთვლითი არითმეტიკული |header2= რეალური რიცხვები
  და მათი გაფართოებები |header3= გაფართოების ხელსაწყოები
  რიცხვითი სისტემები |heading4= რიცხვების იერარქია |list4=

  $-1,\backslash ;0,\backslash ;1,\backslash ;\backslash ლდოტები$ Მთელი რიცხვები $-1,\backslash ;1,\backslash ;\backslash frac(1)(2),\; \backslash ;\backslash ;0(,)12,\backslash frac(2)(3),\backslash ;\backslash ldots$ Რაციონალური რიცხვი $-1,\backslash ;1,\backslash ;\backslash ;0(,)12,\backslash frac(1)(2),\backslash ;\backslash pi,\backslash ;\backslash sqrt(2),\backslash ;\backslash ldots$ რეალური რიცხვები

  $-1,\backslash ;\backslash frac(1)(2),\backslash ;0(,)12,\backslash ;\backslash pi,\backslash ;3i+2,\backslash ;e^(i\backslash pi/3),\backslash ;\backslash ldots$

  რთული რიცხვები

  $1,\backslash ;i,\backslash ;j,\backslash ;k,\backslash ;2i\; +\; \backslash pi\; j-\backslash frac(1)(2)k,\backslash ;\backslash წერტილები$ კვატერნიონები $1,\backslash ;i,\backslash ;j,\backslash ;k,\backslash ;l,\backslash ;m,\backslash ;n,\backslash ;o,\backslash ;2\; -\; 5l\; +\; \backslash frac(\backslash pi)(3)m,\backslash ;\backslash \; წერტილები$ ოქტონიონები $1,\backslash ;e\_1,\backslash ;e\_2,\backslash ;\backslash წერტილი,\backslash ;e\_(15),\backslash ;7e\_2\; +\; \backslash frac(2)(5)e\_7\; -\; \backslash frac(1)(3)e\_(15),\backslash \; ;\backslash წერტილები$ სედენიონები |heading5= სხვა
  რიცხვითი სისტემები

  |list5=კარდინალური რიცხვები რიგითი რიცხვები (ტრანსფინიტი, რიგითი) p-adic ზებუნებრივი რიცხვები ყველაფერი მიმოფანტულია. ბიძამ ნატაშა ცხენიდან ჩამოიყვანა და ხელით აიყვანა ვერანდის დაფნის კიბეებზე. სახლში, შელესილი, მორის კედლებით, არც თუ ისე სუფთა იყო - გაუგებარი იყო, რომ მცხოვრები ადამიანების მიზანი იყო, რომ არ ყოფილიყო ლაქები, მაგრამ შესამჩნევი უგულებელყოფა.
  დერეფანში ახალი ვაშლის სუნი იდგა და მგლისა და მელას ტყავი ეკიდა. ბიძამ სტუმრები წინა დარბაზის გავლით მიიყვანა პატარა ოთახში დასაკეცი მაგიდით და წითელი სკამებით, შემდეგ კი მისაღებში არყით. მრგვალი მაგიდადა დივანი, შემდეგ შევიდა ოფისში დამტვრეული დივანით, გაცვეთილი ხალიჩით და სუვოროვის, მეპატრონის მამისა და დედის პორტრეტებით და თავად სამხედრო ფორმაში. კაბინეტში თამბაქოს და ძაღლების მძაფრი სუნი იდგა. კაბინეტში ბიძამ სტუმრებს სთხოვა დასხდნენ და სახლში გაეკეთებინათ და წავიდა. გალანძღული ზურგით შემოვიდა კაბინეტში და ენით და კბილებით იწმინდა დივანზე. ოფისიდან დერეფანი გადიოდა, რომელშიც დახეული ფარდებით ეკრანები ჩანდა. ეკრანებიდან ქალების სიცილი და ჩურჩული ისმოდა. ნატაშა, ნიკოლაი და პეტია გაიხადეს და დივანზე დასხდნენ. პეტია მკლავზე დაეყრდნო და მაშინვე ჩაეძინა; ნატაშა და ნიკოლაი ჩუმად ისხდნენ. მათ სახეებს ცეცხლი ეკიდა, ძალიან მშივრები და მხიარულები იყვნენ. ერთმანეთს გადახედეს (ნადირობის შემდეგ ოთახში ნიკოლაიმ აღარ ჩათვალა საჭიროდ გამოეჩინა თავისი მამრობითი უპირატესობის დის მიმართ); ნატაშამ ძმას თვალი ჩაუკრა და ორივემ დიდხანს არ შეიკავა თავი და ხმამაღლა სიცილი აუტყდა, ჯერ არ ჰქონდა დრო, რომ ეფიქრა მათი სიცილის საბაბი.
  ცოტა მოგვიანებით ბიძაჩემი შემოვიდა კაზაკთა პალტოთი, ლურჯი შარვალით და პატარა ჩექმებით. და ნატაშამ იგრძნო, რომ სწორედ ეს კოსტუმი, რომელშიც მან ბიძა ოტრადნოიეში გაკვირვებით და დაცინვით დაინახა, ნამდვილი კოსტუმი იყო, რომელიც არ იყო უარესი, ვიდრე ხალათები და ფრაკები. ბიძაც ხალისიანი იყო; ძმისა და დის სიცილმა არამარტო განაწყენებულა (თავში ვერ შესძლო, რომ მის სიცოცხლეზე დაეცინონ), თვითონაც შეუერთდა მათ უმიზეზო სიცილს.
  ”ასეთია ახალგაზრდა გრაფინია - სუფთა მარში - სხვა მსგავსი არ მინახავს!” - თქვა მან და ერთი მილი როსტოვს მისცა გრძელი თაიგულით, მეორე კი მოკლე, მოჭრილი ყელი დაუდო ნაცნობი ჟესტისამ თითს შორის.
  - ერთი დღით წამოვედი, მიუხედავად იმისა, რომ კაცი დროზე იყო და თითქოს არაფერი მომხდარა!
  ბიძამ მალევე გააღო კარი, აშკარად ფეხშიშველი გოგონა, მისი ფეხების ხმაზე, და კარიდან დიდი უჯრით ხელში შემოვიდა მსუქანი, წითელი, ლამაზი ქალი 40 წლის, ორმაგი ნიკაპით და სავსე, მოწითალო ტუჩებით. იგი სტუმართმოყვარე წარმომადგენლობითა და მიმზიდველობით თვალებში და ყოველი მოძრაობით უყურებდა სტუმრებს და პატივისცემით ქედს სცემდა მათ მოსიყვარულე ღიმილით. მიუხედავად იმისა, რომ ჩვეულებრივზე მეტი სისქე იყო, აიძულებდა მას მკერდი და მუცელი წინ წამოეწია და თავი უკან დაეჭირა, ეს ქალი (ბიძის დიასახლისი) უკიდურესად მსუბუქად გადადგა. მაგიდასთან მივიდა, უჯრა დადო, თეთრი, ჭუჭყიანი ხელებით ოსტატურად მოიხსნა და მაგიდაზე დაალაგა ბოთლები, საჭმელები და კერძები. ეს რომ დაასრულა, მოშორდა და ღიმილით დადგა კართან. „აი ის და მე! გესმის ახლა ბიძაშენი?" მისმა გარეგნობამ უთხრა როსტოვს. როგორ არ უნდა გავიგოთ: არა მარტო როსტოვმა, არამედ ნატაშამაც გაიგო ბიძა და წარბების შეჭმუხნული მნიშვნელობა და ბედნიერი, თვითკმაყოფილი ღიმილი, რომელიც ოდნავ დაჭყიტა ტუჩებზე, სანამ ანისია ფიოდოროვნა შემოვიდა. ლანგარზე ეყარა მწვანილის მწვანილი, ლიქიორები, სოკოები, შავი ფქვილის ნამცხვრები იურაგზე, თაფლი, მოხარშული და შუშხუნა თაფლი, ვაშლი, უმი და შემწვარი თხილი და თაფლში თხილი. შემდეგ ანისია ფიოდოროვნამ მოუტანა ჯემი თაფლით და შაქრით, ლორი და ქათამი, ახლად შემწვარი.
  ეს ყველაფერი იყო ანისია ფიოდოროვნას სახლი, კოლექცია და ჯემი. ამ ყველაფერს ანისია ფიოდოროვნას სურნელი და რეზონანსი ჰქონდა. ყველაფერი წვნიანს, სიწმინდეს, სითეთრესა და სასიამოვნო ღიმილს ეხმიანებოდა.
  "ჭამე, ახალგაზრდა ქალბატონო გრაფინია", - ამბობდა ის და ნატაშას ერთს აძლევდა, შემდეგ მეორეს. ნატაშამ ყველაფერი შეჭამა და მას ეჩვენებოდა, რომ იურაგაზე ასეთი ნამცხვრები არასდროს უნახავს და არ უჭამია, მურაბების ასეთი თაიგულით, თაფლზე თხილით და ასეთი ქათმით. ანისია ფიოდოროვნა გარეთ გავიდა. როსტოვი და მისი ბიძა, სადილს ალუბლის ლიქიორით რეცხავდნენ, ისაუბრეს წარსულსა და მომავალ ნადირობაზე, რუგაის და ილაგინსკის ძაღლებზე. ნატაშა ცქრიალა თვალებით პირდაპირ დივანზე იჯდა და მათ უსმენდა. რამდენჯერმე სცადა პეტიას გაღვიძება, რათა მისთვის რამე ეჭამა, მაგრამ მან რაღაც გაუგებარი თქვა, აშკარად არ გაეღვიძა. ნატაშა გულით ისეთი მხიარული იყო, ისეთი ბედნიერი იყო მისთვის ამ ახალ გარემოში, რომ მხოლოდ იმის ეშინოდა, რომ დროშკი მისთვის მალე მოსულიყო. შემთხვევითი დუმილის შემდეგ, როგორც თითქმის ყოველთვის ხდება იმ ადამიანებთან, რომლებიც პირველად იღებენ თავიანთ ნაცნობებს სახლში, თქვა ბიძამ და უპასუხა იმ აზრს, რომელიც მის სტუმრებს გაუჩნდათ:
  "ასე რომ, მე ვცხოვრობ ჩემი ცხოვრებით... თუ მოკვდები, ეს სუფთა მარშია - არაფერი დარჩება." რა ცოდოა მაშინ!
  ბიძის სახე ძალიან მნიშვნელოვანი და ლამაზიც კი იყო, როცა ამას ამბობდა. ამავდროულად, როსტოვს უნებურად გაახსენდა ყველაფერი, რაც მან მამისა და მეზობლებისგან კარგი რამ გაიგო ბიძაზე. ბიძაჩემს პროვინციაში ყველაზე კეთილშობილი და უინტერესო ექსცენტრიკის რეპუტაცია ჰქონდა. გამოიძახეს საოჯახო საქმეების განსახილველად, აღმასრულებლად დააყენეს, საიდუმლოს ანდო, მოსამართლედ და სხვა თანამდებობებზე აირჩიეს, მაგრამ საჯარო სამსახურიჯიუტად უარს ამბობდა, შემოდგომას და გაზაფხულს მინდვრებში ყავისფერ ჟელეზე ატარებდა, ზამთარში სახლში იჯდა, ზაფხულში თავის გადახურულ ბაღში იწვა.