რიცხვის ინტუიციური იდეა, როგორც ჩანს, ისეთივე ძველია, როგორც თავად კაცობრიობა, თუმცა პრინციპში შეუძლებელია მისი განვითარების ყველა ადრეული ეტაპის დარწმუნებით მიკვლევა. სანამ ადამიანი ისწავლიდა სიტყვების დათვლას ან გამოგონებას რიცხვებისთვის, მას უდავოდ გააჩნდა რიცხვის ვიზუალური, ინტუიციური იდეა, რაც საშუალებას აძლევდა განასხვავოს ერთი ადამიანი და ორი ადამიანი, ან ორი და ბევრი ადამიანი. Რა პრიმიტიული ხალხითავიდან მათ იცოდნენ მხოლოდ "ერთი", "ორი" და "ბევრი", დასტურდება ის ფაქტი, რომ ზოგიერთ ენაში, მაგალითად, ბერძნულში სამია. გრამატიკული ფორმები: მხოლობითი, ორმაგი ნომერი და მრავლობითი. მოგვიანებით, ადამიანმა ისწავლა ორი და სამი ხის და სამი და ოთხი ადამიანის გარჩევა. დათვლა თავდაპირველად დაკავშირებული იყო საგნების ძალიან სპეციფიკურ კომპლექტთან და რიცხვების პირველი სახელები იყო ზედსართავი სახელები. მაგალითად, სიტყვა „სამი“ გამოიყენებოდა მხოლოდ კომბინაციებში „სამი ხე“ ან „სამი ადამიანი“; იდეა, რომ ამ კომპლექტებს აქვთ რაღაც საერთო - სამების კონცეფცია - მოითხოვს მაღალი ხარისხიაბსტრაქცია. იმის შესახებ, რომ ანგარიში გაჩნდა მოსვლამდეაბსტრაქციის ამ დონეს მოწმობს ის ფაქტი, რომ ბევრ ენაში სიტყვებს "ერთი" და "პირველი", ასევე "ორი" და "მეორე" ერთმანეთთან არაფერი აქვთ საერთო, ხოლო სიტყვებს "ერთი" პრიმიტიული ანგარიშის მიღმა, „ორი“, „ბევრი“, სიტყვები „სამი“ და „მესამე“, „ოთხი“ და „მეოთხე“ ნათლად მიუთითებს კარდინალურ და რიგით რიცხვებს შორის ურთიერთობაზე.

რიცხვების სახელები, რომლებიც გამოხატავენ ძალიან აბსტრაქტულ იდეებს, უდავოდ გამოჩნდა უფრო გვიან, ვიდრე პირველი უხეში სიმბოლოები გარკვეულ პოპულაციაში ობიექტების რაოდენობის აღსანიშნავად. AT ანტიკური დროპრიმიტიული რიცხვითი ჩანაწერები გაკეთდა ჯოხზე ნაჭრების, კენჭების მწკრივში გაყვანილი თოკზე კვანძების სახით და გასაგები იყო, რომ არსებობდა ერთი-ერთზე შესაბამისობა კომპლექტის დათვლის ელემენტებსა და რიცხვითი ჩანაწერის სიმბოლოები. მაგრამ ასეთი რიცხვითი ჩანაწერების წასაკითხად, ნომრების სახელები პირდაპირ არ გამოიყენებოდა. ახლა ჩვენ ერთი შეხედვით ვაღიარებთ ორი, სამი და ოთხი ელემენტის კომპლექტს; ნაკრები, რომელიც შედგება ხუთი, ექვსი ან შვიდი ელემენტისგან, გარკვეულწილად უფრო რთულია ერთი შეხედვით ამოცნობა. და ამ ლიმიტის მიღმა, მათი რიცხვის თვალით დადგენა პრაქტიკულად შეუძლებელია და ანალიზია საჭირო ან ანგარიშის სახით, ან ელემენტების გარკვეული სტრუქტურირებით. როგორც ჩანს, ტეგებზე დათვლა იყო პირველი ტექნიკა, რომელიც გამოიყენებოდა მსგავსი შემთხვევები: ტეგებზე იყო ჭრილები გარკვეული ჯგუფებიისევე, როგორც ბიულეტენების დათვლისას, ისინი ხშირად ჯგუფდებიან ხუთ ან ათეულში. თითების დათვლა ძალიან ფართოდ იყო გავრცელებული და სავსებით შესაძლებელია, რომ ზოგიერთი რიცხვის სახელწოდება სწორედ დათვლის ამ მეთოდიდან მომდინარეობდეს.

ანგარიშის მნიშვნელოვანი მახასიათებელია რიცხვების სახელების კავშირი გარკვეული დათვლის სქემასთან. მაგალითად, სიტყვა „ოცდასამი“ არ არის მხოლოდ ტერმინი, რომელიც ნიშნავს საგნების კარგად განსაზღვრულ (ელემენტების რაოდენობის მიხედვით) ჯგუფს; ეს არის რთული ტერმინი, რაც ნიშნავს "ორჯერ ათს და სამს". აქ ნათლად ჩანს ათი რიცხვის, როგორც კოლექტიური ერთეულის თუ საძირკვლის როლი; და მართლაც, ბევრი ადამიანი ითვლის ათობით, რადგან, როგორც არისტოტელემ აღნიშნა, ჩვენ გვაქვს ათი თითი ხელებზე და ფეხებზე. ამავე მიზეზით გამოიყენებოდა მეხუთე ან ოცი ფუძე. კაცობრიობის ისტორიის განვითარების ძალიან ადრეულ ეტაპზე რიცხვთა სისტემის საფუძვლებად რიცხვები 2, 3 ან 4 იქნა მიღებული; ზოგჯერ 12 და 60 საფუძვლებს იყენებდნენ ზოგიერთი გაზომვისთვის ან გამოთვლებისთვის.

ადამიანმა თვლა მანამდე დაიწყო, სანამ წერას ისწავლიდა, ამიტომ არცერთი წერილობითი დოკუმენტი არ შემორჩენილა, რომელიც მოწმობს სიტყვებს, რომლებიც აღნიშნავდნენ ძველ დროში რიცხვებს. მომთაბარე ტომებს ახასიათებთ რიცხვების ზეპირი სახელები, მაგრამ რაც შეეხება წერილობითს, მათი საჭიროება გაჩნდა მხოლოდ დასახლებულ ცხოვრების წესზე გადასვლით, სასოფლო-სამეურნეო თემების ჩამოყალიბებით. ასევე საჭირო იყო რიცხვების ჩაწერის სისტემა და სწორედ მაშინ ჩაეყარა საფუძველი მათემატიკის განვითარებას.

რიცხვების ძირითადი ტიპები

ოქტავებისგან განსხვავებით, სედენიონები სარ გააჩნიათ ალტერნატიულობის თვისება, მაგრამ ინარჩუნებენ ძალაუფლების ასოციაციურობის თვისებას.

კომპიუტერის მეხსიერებაში დადებითი მთელი x-ის გამოსაყენებლად ის გარდაიქმნება ბინარულ რიცხვთა სისტემაში. ორობითი რიცხვების სისტემაში მიღებული რიცხვი x 2 არის შესაბამისი მანქანური აღნიშვნა ათობითი რიცხვი x 10. უარყოფითი რიცხვების დასაწერად ე.წ. რიცხვის დამატებითი კოდი, რომელიც მიიღება ბინარული რიცხვების სისტემაში მოცემული უარყოფითი რიცხვის მოდულის შებრუნებულ გამოსახულებაზე ერთის დამატებით.

რეალური რიცხვების წარმოდგენა კომპიუტერის მეხსიერებაში (in კომპიუტერული მეცნიერებატერმინი მცურავი წერტილის რიცხვი გამოიყენება მათ აღსანიშნავად) აქვს გარკვეული შეზღუდვები, რომლებიც დაკავშირებულია გამოყენებულ რიცხვთა სისტემასთან, ისევე როგორც რიცხვებისთვის გამოყოფილი მეხსიერების შეზღუდული რაოდენობა. ამრიგად, მხოლოდ ზოგიერთი რეალური რიცხვი შეიძლება ზუსტად იყოს წარმოდგენილი კომპიუტერის მეხსიერებაში დაკარგვის გარეშე. ყველაზე გავრცელებულ სქემაში, მცურავი წერტილის რიცხვი იწერება, როგორც ბიტების ბლოკი, რომელთაგან ზოგი არის რიცხვის მანტისა, ზოგი არის ხარისხი და ერთი ბიტი გამოყოფილია რიცხვის ნიშნის წარმოსაჩენად (საჭიროების შემთხვევაში, ნიშნის ბიტი შეიძლება არ იყოს).

ნომერიარის აბსტრაქცია, რომელიც გამოიყენება რაოდენობრივი მახასიათებლებიობიექტები. უკან წამოსული პრიმიტიული საზოგადოებაანგარიშის საჭიროებიდან გამომდინარე, რიცხვის ცნება შეიცვალა და გამდიდრდა და გადაიქცა ყველაზე მნიშვნელოვანად მათემატიკური კონცეფცია. დაწერილი პერსონაჟებით(სიმბოლოები) რიცხვები გამოიყენება რიცხვების დასაწერად.

რიცხვების ძირითადი ტიპები

მიღებული ბუნებრივი ანგარიშით; ნატურალური რიცხვები აღინიშნება . რომ. (ზოგჯერ ნულიც შედის ნატურალური რიცხვების სიმრავლეში, ანუ). ნატურალური რიცხვები იხურება შეკრებისა და გამრავლებისას (მაგრამ არა გამოკლების ან გაყოფის). ნატურალური რიცხვები არის კომუტაციური და ასოციაციური შეკრებისა და გამრავლებისას, ხოლო ნატურალური რიცხვების გამრავლება არის გამანაწილებელი შეკრების დროს.

Მთელი რიცხვებინატურალური რიცხვების გაერთიანებით მიღებული უარყოფითი რიცხვებისა და ნულის სიმრავლით, აღინიშნება . მთელი რიცხვები დახურულია შეკრების, გამოკლების და გამრავლებისას (მაგრამ არა გაყოფით).

Რაციონალური რიცხვიარის რიცხვები წარმოდგენილი m/n (n≠0), სადაც m არის მთელი რიცხვი და n არის ნატურალური რიცხვი. რაციონალური რიცხვებისთვის ოთხივე „კლასიკური“ არითმეტიკული მოქმედებაა განსაზღვრული: შეკრება, გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა (გარდა ნულზე გაყოფისა). ნიშანი გამოიყენება რაციონალური რიცხვების აღსანიშნავად.

რეალური (რეალური) რიცხვებიწარმოადგენს რაციონალური რიცხვების სიმრავლის გაფართოებას, რომელიც დახურულია ზოგიერთის ქვეშ (მნიშვნელოვანია მათემატიკური ანალიზი) ოპერაციები ზღვარზე გადასვლა. ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე აღინიშნება . ის შეიძლება ჩაითვალოს, როგორც რაციონალური რიცხვების ველის დასრულება ნორმის დახმარებით, რაც ჩვეულებრივია. აბსოლუტური მნიშვნელობა. რაციონალური რიცხვების გარდა, ის მოიცავს ირაციონალური რიცხვების ერთობლიობას, რომელიც არ შეიძლება იყოს წარმოდგენილი მთელი რიცხვების თანაფარდობით. რაციონალურ და ირაციონალურებად დაყოფის გარდა, ისინი ასევე იყოფა ალგებრულ და ტრანსცენდენტურად. უფრო მეტიც, ყოველი ტრანსცენდენტული რიცხვი ირაციონალურია, ყველა რაციონალური რიცხვი ალგებრულია.

რთული რიცხვები, რომლებიც რეალური რიცხვების სიმრავლის გაგრძელებაა. ისინი შეიძლება დაიწეროს ფორმაში z = x + iy, სად მე- ე. წ. წარმოსახვითი ერთეული რომლისთვისაც მე 2 = − 1. რთული რიცხვები გამოიყენება პრობლემის გადაჭრაში კვანტური მექანიკა, ჰიდროდინამიკა, ელასტიურობის თეორია და ა.შ.

რიცხვების ჩამოთვლილი ნაკრებისთვის, შემდეგი გამოთქმა მართალია:

ნატურალური რიცხვები, რომლებსაც ფაქტორებად მხოლოდ საკუთარი თავი და ერთი აქვთ. მწკრივი მარტივი რიცხვებიაქვს ფორმა: ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი N შეიძლება წარმოდგენილი იყოს მარტივი რიცხვების ხარისხების ნამრავლად: 121968=2^4*3^2*5^0*7^1*11^2. ეს თვისება ფართოდ გამოიყენება პრაქტიკულ კრიპტოგრაფიაში.

რიცხვები - ტიპები, ცნებები და მოქმედებები, ნატურალური და სხვა სახის რიცხვები.

ნომერი - ფუნდამენტური კონცეფციამათემატიკა, რომელიც ემსახურება რაოდენობრივი მახასიათებლების დადგენას, ნუმერაციას, ობიექტებისა და მათი ნაწილების შედარებას. რიცხვებზე გამოიყენება სხვადასხვა არითმეტიკული მოქმედებები: შეკრება, გამოკლება, გამრავლება, გაყოფა, გაძლიერება და სხვა.

ოპერაციაში ჩართულ რიცხვებს ოპერანდები ეწოდება. შესრულებული მოქმედებიდან გამომდინარე, ისინი იღებენ სხვადასხვა სახელს. AT ზოგადი შემთხვევაოპერაციის სქემა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:<операнд1> <знак операции> <операнд2> = <результат>.

გაყოფის ოპერაციაში პირველ ოპერანდს ეწოდება დივიდენდი (ეს არის იმ რიცხვის სახელი, რომელიც იყოფა). მეორე (რომელზეც იყოფა) არის გამყოფი და შედეგი არის კოეფიციენტი (გვიჩვენებს რამდენჯერ მეტია გამყოფი გამყოფზე).

რიცხვების ტიპები

გაყოფის ოპერაცია შეიძლება მოიცავდეს სხვადასხვა ნომრები. გაყოფის შედეგი შეიძლება იყოს მთელი რიცხვი ან წილადი. მათემატიკაში არსებობს შემდეგი ტიპებინომრები:

• ნატურალური რიცხვები გამოიყენება დათვლაში. მათ შორის გამოირჩევა მარტივი რიცხვების ქვესიმრავლე, რომელსაც აქვს მხოლოდ ორი გამყოფი: ერთი და თავად. ყველა დანარჩენს, გარდა 1-ისა, ეწოდება კომპოზიტური და აქვს ორზე მეტი გამყოფი (მარტივი რიცხვების მაგალითები: 2, 5, 7, 11, 13, 17, 19 და ა.შ.);
• მთელი რიცხვები - სიმრავლე, რომელიც შედგება მათი უარყოფითი, დადებითი რიცხვებისა და ნულისაგან. ერთი მთელი რიცხვის მეორეზე გაყოფისას, კოეფიციენტი შეიძლება იყოს მთელი ან რეალური (წილადი). მათ შორის შეიძლება გამოირჩეოდეს სრულყოფილი რიცხვების ქვეჯგუფი - ჯამის ტოლიმისი ყველა გამყოფი (მათ შორის 1) გარდა თავისა. ძველმა ბერძნებმა იცოდნენ მხოლოდ ოთხი სრულყოფილი რიცხვი. სრულყოფილი რიცხვების თანმიმდევრობა: 6, 28, 496, 8128, 33550336... ამ დრომდე არც ერთი კენტი სრულყოფილი რიცხვი არ არის ცნობილი;
• რაციონალური - წარმოდგენილია a/b წილადის სახით, სადაც a არის მრიცხველი და b არის მნიშვნელი (ასეთი რიცხვების კოეფიციენტი ჩვეულებრივ არ არის გამოთვლილი);
• რეალური (რეალური) - შეიცავს მთელ რიცხვს და წილად ნაწილს. კომპლექტში შედის რაციონალური და ირ რაციონალური რიცხვი(წარმოდგენილია არაპერიოდული უსასრულო ათობითი წილადის სახით). ასეთი რიცხვების კოეფიციენტი, როგორც წესი, არის რეალური მნიშვნელობა.

განხორციელებასთან დაკავშირებულია რამდენიმე მახასიათებელი არითმეტიკული ოპერაცია- განყოფილებები. მათი გაგება მნიშვნელოვანია სწორი შედეგის მისაღებად:

• ნულზე ვერ გაყოფთ (მათემატიკაში ამ ოპერაციას აზრი არ აქვს);
• მთელი რიცხვის გაყოფა არის ოპერაცია, რომელიც ითვლის მხოლოდ მთელი ნაწილი(წილადი გადაყრილია);
• მთელი რიცხვის გაყოფის ნაშთის გამოთვლა საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ შედეგად დარჩენილი მთელი რიცხვი ოპერაციის დასრულების შემდეგ (მაგალითად, 17-ის 2-ზე გაყოფისას, მთელი ნაწილი არის 8, ნაშთი არის 1).

რიცხვის წმინდა ბუნების უკეთ გასაგებად, სასარგებლოა ერთი წუთით გამოვყოთ წმინდა ეზოთერული მიდგომა და ნახოთ, როგორ ერწყმის ის იდეებს. ჩვეულებრივი მეცნიერებარიცხვების ფორმის შესახებ. ენციკლოპედიური ლექსიკონირიცხვის შესახებ წერს შემდეგს: "რიცხვი, მათემატიკის ერთ-ერთი ძირითადი ცნება; წარმოიშვა ძველ დროში და თანდათან გაფართოვდა და განზოგადდა. ანგარიშთან დაკავშირებით. ინდივიდუალური ნივთებიწარმოიშვა დადებითი მთელი რიცხვის (ბუნებრივი) რიცხვების კონცეფცია, შემდეგ კი რიცხვების ბუნებრივი რიგის უსასრულობის იდეა: 1, 2, 3, 4 ... სიგრძის, ფართობების გაზომვის ამოცანები, ასევე ხაზგასმული დასახელებული სიდიდეების წილებმა განაპირობა რაციონალური (წილადი) რიცხვის კონცეფცია. უარყოფითი რიცხვის ცნება ინდიელებში გაჩნდა VI-XI საუკუნეებში. საჭიროება ზუსტი გამოხატულებასიდიდეების მიმართებამ (მაგალითად, კვადრატის დიაგონალის შეფარდება მის მხარეს) განაპირობა ირაციონალური რიცხვების შემოღება, რომლებიც გამოიხატება რაციონალური რიცხვებით მხოლოდ დაახლოებით; რაციონალური და ირაციონალური რიცხვებიშეადგენენ ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეს. რეალური რიცხვების თეორიამ საბოლოო განვითარება მხოლოდ მე-19 საუკუნის მეორე ნახევარში მიიღო მათემატიკური ანალიზის საჭიროებებთან დაკავშირებით. კვადრატის ამოხსნასთან დაკავშირებით და კუბური განტოლებებიმე-16 საუკუნეში შევიდა რთული რიცხვებიმათემატიკა ყოფს რიცხვებს რამდენიმე ჯგუფად ან სახეობად, რომელთაგან თითოეული შეიძლება განიხილებოდეს ჩვეულებრივი, ან შესაძლოა მეტაფიზიკური თვალსაზრისით.

რიცხვთა ურთიერთობა

რეალური რიცხვები, რომლებიც არის რაციონალური და ირაციონალური რიცხვების სიმრავლის გაერთიანება. ნებისმიერი რეალური რიცხვი, პრინციპში, შეიძლება იყოს გამოსახული კოორდინატთა წრფეზე ისე, რომ ყველა რეალური რიცხვი და ამ წრფის ყველა წერტილი ერთმანეთს შეესატყვისებოდეს. რეალური რიცხვი შეიძლება იყოს ნებისმიერი დადებითი ან უარყოფითი რიცხვი, ან ნული. მეტაფიზიკური თვალსაზრისით ამ ჯგუფსრიცხვები შეესაბამება არსების მატერიალურ მატერიალურ სიბრტყეს და არის რაოდენობის ნიშანი. რეალური რიცხვების დახმარებით გამოიხატება ყველა ფიზიკური სიდიდის საზომი რიცხვები რაციონალურია, რომელიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს უსასრულო ათობითი წილადის სახით. ისინი ფორმის m/n არიან, სადაც m და n მთელი რიცხვებია და u არ უდრის 0-ს. თითოეული უსასრულო ათობითირაციონალური რიცხვია. რაციონალური რიცხვების ჯამი, სხვაობა, ნამრავლი და კოეფიციენტი ასევე ითვლება რაციონალურად. რაციონალურ რიცხვებში შედის მთელი რიცხვები, წილადი რიცხვები, დადებითი რიცხვები, უარყოფითი რიცხვები და თუნდაც ნულოვანი რიცხვები. მეტაფიზიკური თვალსაზრისით, რაციონალური რიცხვები ეხება იმ სიდიდეებს, რომელთა გაზომვა შესაძლებელია დარწმუნებით და სიზუსტით.

რიცხვების ტიპები

ირაციონალური რიცხვები ეხება რეალურ რიცხვთა ჯგუფს, რომელიც შეიძლება გამოიხატოს უსასრულო ათწილადის სახით არაპერიოდული წილადი. მათი ზუსტად გამოხატვა შეუძლებელია, როგორც m/n, სადაც m და n მთელი რიცხვებია. ასეთი ირაციონალური რიცხვების მაგალითებია 2-ის კვადრატული ფესვი; 0.1010010001; lg2; cos20±; .... მეტაფიზიკური თვალსაზრისით, ირაციონალური რიცხვები განეკუთვნება იმ გაუგებარი ფენომენების სფეროს. დახვეწილი სამყარორომელიც აბსოლუტური სიზუსტით ვერ გაიზომება. სწორი ხედირიცხვები განიხილება ერთგვარ კომპლექსურ რიცხვებად, რომელშიც შედის x + iy ფორმის რიცხვები, სადაც x და y რეალური რიცხვებია, ხოლო i არის ეგრეთ წოდებული წარმოსახვითი ერთეული (რიცხვი, რომლის კვადრატი არის -1); x-ს უწოდებენ ნამდვილ ნაწილს, y-ს - რთული რიცხვების წარმოსახვით ნაწილს. რთული რიცხვები, რომლებიც არ არის რეალური (ამისთვის<>0), ზოგჯერ წარმოსახვით რიცხვებსაც უწოდებენ, x=0-სთვის კომპლექსურ რიცხვებს უწოდებენ წმინდა წარმოსახვით. Სხვა სიტყვებით, წარმოსახვითი რიცხვებიარის ის რთული რიცხვები, რომელთა რეალური ნაწილი ნულის ტოლია და რომლებიც z=bi-ით აღინიშნება. მეტაფიზიკური თვალსაზრისით, რთული რიცხვები ისეთი სიდიდეებია, რომლებიც წმინდა გეგმას ატარებენ. რიცხვები ასევე იყოფა დადებით რიცხვებად, რომლებიც მოიცავს ნულზე მეტ რეალურ რიცხვებს და უარყოფითი რიცხვებიდადებითის საპირისპიროდ, ნულზე ნაკლებია. მეტაფიზიკური თვალსაზრისით ყველაფერი დადებითი რიცხვებიეხება ფიზიკური სამყარო, ხოლო ნეგატიურები - ყოფიერების დახვეწილ სიბრტყემდე, ანუ ასტრალურ-მენტალურ ზონამდე.

თუმცა, ზევით ეს მხოლოდ გარეგნულ, სიწმინდეს მოკლებული, რიცხვის წმინდა რაოდენობრივ ბუნებას ეხებოდა. თუმცა, არსებობს რიცხვის წმინდა შინაგანი წმინდა ასპექტიც, რომელიც უცნობია თანამედროვე მათემატიკისთვის და წინასწარ განსაზღვრავს რიცხვების მანიფესტაციის ბუნებას. X კარგად საუბრობს ამაზე.

"რიცხვები სიმბოლიკაში არ არის მხოლოდ რაოდენობის გამოხატულება, არამედ იდეები - ძალები, თითოეულს თავისი განსაკუთრებული ხასიათი აქვს. თანამედროვე გაგებაარიან მხოლოდ გარე გარსი. ყველა რიცხვი მომდინარეობს ერთიდან (რომელიც უდრის მისტიკურ, გამოუვლენელ და განზომილებიან წერტილს). გარდა ამისა, რიცხვი, რომელიც წარმოიშვა ერთიანობისგან, უფრო და უფრო ღრმად იძირება მატერიაში, უფრო რთულ პროცესებში, "სამყაროში". პირველი ათი ციფრი ბერძნულ სისტემაში (ან თორმეტი დიუმი აღმოსავლური ტრადიცია) დაკავშირებულია სულთან: ისინი, არსებითად, არქეტიპები და სიმბოლოები არიან. დანარჩენი არის ამ ძირითადი რიცხვების კომბინაციის ნამრავლი. ძველ ბერძნებს ძალიან აინტერესებდათ რიცხვების სიმბოლიზმი. მაგალითად, პითაგორამ აღნიშნა, რომ „ყველაფერი დალაგებულია რიცხვების მიხედვით“. პლატონმა რიცხვი მიიჩნია ჰარმონიის არსებად, ხოლო ჰარმონია კოსმოსისა და ადამიანის საფუძვლად და ამტკიცებდა, რომ ჰარმონიის რიტმები „იგივეა, როგორც ჩვენი სულის პერიოდული ვიბრაციები“. რიცხვების ფილოსოფია შემდგომში განავითარეს ებრაელებმა, გნოსტიკოსებმა და კაბალისტებმა, მათ შორის ალქიმიკოსებმაც. იგივე ძირითადი უნივერსალური ცნებები გვხვდება აღმოსავლური აზროვნება- მაგალითად, ლაო ძიში: "ერთი შობს ორს, ორი შობს სამს და ერთი მოდის სამიდან" - ახალი ერთობა ან ახალი შეკვეთა- როგორც ოთხი. თანამედროვე სიმბოლური ლოგიკა და ჯგუფის თეორია უბრუნდება იდეას რაოდენობრივი გაზომვაროგორც ხარისხის საფუძველი. პირე თვლიდა, რომ ბუნების კანონები და ადამიანის სული ეფუძნება ზოგადი პრინციპებიდა შეიძლება განთავსდეს იმავე ხაზების გასწვრივ".

რიცხვების ტიპები. რეალური რიცხვებიასევე იყოფა ალგებრულ და არაალგებრულ რიცხვებად. ალგებრული რიცხვი არის ის, რომელიც აკმაყოფილებს ალგებრული განტოლებამთელი რიცხვითი კოეფიციენტებით. ეს რიცხვები მოიცავს რიცხვებს: 2-ის ფესვი; Z-ის ფესვი; არაალგებრული ან ტრანსცენდენტული რიცხვები არის რიცხვები, რომლებიც არ აკმაყოფილებენ არცერთ ალგებრულ განტოლებას მთელი რიცხვების კოეფიციენტებით. ტრანსცენდენტული რიცხვები მიეკუთვნება ირაციონალურ რიცხვთა ჯგუფს, თუმცა ირაციონალური რიცხვები ყოველთვის არ არის ტრანსცენდენტული. რიცხვი a^b ითვლება ტრანსცენდენტურად, თუ რიცხვები a და b არის ალგებრული რიცხვები, მაგრამ ამავდროულად<>0; ა<>1 და in - ირაციონალური რიცხვი. ტრანსცენდენტული რიცხვები არის მრავალი რაციონალური სიდიდის სინუსი, ასევე ათობითი ლოგარითმებიმთელი რიცხვები არ არის წარმოდგენილი ერთით, რასაც მოჰყვება ნულები. უმეტესობა ცნობილი მაგალითებიტრანსცენდენტული რიცხვებია s (რომლის მიახლოებითი მნიშვნელობა არის 2.718281) და PI (რომლის მიახლოებითი მნიშვნელობა არის 3.1415296...)

პ.დ.უსპენსკი მათემატიკას, როგორც რიცხვების მეცნიერებას ორ ტიპად ყოფს:

ა) სასრულის მათემატიკა და მუდმივები, რომელიც გადასაჭრელად შექმნილი ხელოვნური დისციპლინაა კონკრეტული ამოცანებიპირობით მონაცემებზე;

ბ) მათემატიკა უსასრულო და ცვლადები, რაც უფრო ზუსტი ცოდნაა რეალური სამყაროს შესახებ. მეორე ტიპის მათემატიკის მაგალითები, რომლებიც არღვევს პირველი ტიპის მათემატიკის ხელოვნურ აქსიომებს, არის ეგრეთ წოდებული „ტრანსფინიტური რიცხვები“, რომლებიც დევს უსასრულობის მიღმა.