დავალება ხაზოვანი პროგრამირებაარის წრფივი ფუნქციის მინიმუმის პოვნა ვ: n > 1 განსაზღვრულია ზოგიერთ დახურულ ამოზნექილ სიმრავლეზე, რომელიც გამოირჩევა წრფივი უტოლობებით.
წრფივი პროგრამირების ზოგადი პრობლემაროგორც ჩანს:
მოცემული სისტემა m წრფივი განტოლებებიდა უტოლობები n ცვლადებით
და წრფივი ფუნქცია F = c 1 x 1 + c 2 x 2 +… + c n x n წთ (მაქს)
სისტემა (1) ეწოდება შეზღუდვების სისტემას, ხოლო ფუნქციას F ეწოდება ხაზოვანი ფუნქციაწრფივი ფორმა, ობიექტური ფუნქციაან მიზნის ფუნქცია.
უფრო მოკლედ საერთო დავალებახაზოვანი პროგრამირება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:
x=(x|Axb, A=, b=( თ )}
ხაზოვანი პროგრამირების პრობლემა სხვა ფორმებშიც იწერება - კანონიკური და ნორმალური. კანონიკური ამოცანაა აღნიშვნა Zk, მოდით დავარქვათ შემდეგი:
x=(x|Axb, ?0, j=))
ნორმალური პრობლემაა აღნიშვნა Zn, ასე დავარქვათ
x=(x|Axb, ?0, j=))
ამოზნექილი კომპლექტები და ფუნქციები
ამოზნექილი სიმრავლის განმარტება: სიმრავლე არის ამოზნექილი, თუ სიმრავლე ნებისმიერ ორ წერტილთან ერთად შეიცავს სეგმენტის ყველა წერტილს, რომელიც აკავშირებს წერტილს წერტილთან სივრცეში.
ქვემოთ მოყვანილი სურათი გვიჩვენებს სიბრტყეში ორ კომპლექტს, ერთი ამოზნექილი და მეორე არა.
ბრინჯი. 1
სივრცეში ამოზნექილია, მაგალითად, ასეთი სიმრავლეები: მთელი სივრცე, მისი დადებითი ოქტანტი და არაუარყოფითი ოქტანტი, ნებისმიერი ბურთი, ღიაც და დახურულიც, ნებისმიერი ჰიპერთვითმხედველობა (მოცემულია ფორმის გარკვეული განტოლებით, ასევე ღია და დახურული ნახევრით. -სივრცეები, მოცემული, შესაბამისად, პირობებით და.
ამოზნექილი ნაკრების წერტილებს შორის შეიძლება გამოვყოთ ინტერიერი, სასაზღვრო და კუთხის წერტილები.
ნაკრების წერტილს შიდა ეწოდება, თუ მისი ზოგიერთი სამეზობლო შეიცავს მხოლოდ ამ ნაკრების წერტილებს.
სიმრავლის წერტილს საზღვარი ეწოდება, თუ მისი რომელიმე უბანი შეიცავს ორივე წერტილს, რომელიც ეკუთვნის მოცემულ სიმრავლეს და წერტილებს, რომლებიც მას არ ეკუთვნის.
კუთხის წერტილები განსაკუთრებით საინტერესოა წრფივი პროგრამირების ამოცანებში. ნაკრების წერტილი ე.წ კუთხოვანი(ან უკიდურესი) თუ ის არ არის შიდა რომელიმე სეგმენტისთვის, რომელიც მთლიანად ეკუთვნის მოცემულ კომპლექტს.
ნახ. მაგალითები სხვადასხვა წერტილებიმრავალკუთხედი: შიდა (წერტილი M), საზღვარი (პუნქტი N) და კუთხე (პუნქტები A, B, C, D, E). წერტილი A არის კუთხოვანი, რადგან ნებისმიერი სეგმენტი, რომელიც მთლიანად ეკუთვნის მრავალკუთხედს, მაგალითად, სეგმენტს AP, ის არ არის შიდა; A წერტილი შიდაა KL სეგმენტში, მაგრამ ეს სეგმენტი მთლიანად არ ეკუთვნის მრავალკუთხედს.
ამოზნექილი სიმრავლისთვის კუთხის წერტილები ყოველთვის ემთხვევა მრავალკუთხედის (მრავალკუთხედის) წვეროებს, მაშინ როცა ეს არ არის აუცილებელი არაამოზნექილი სიმრავლისთვის. წერტილთა სიმრავლეს დახურულს უწოდებენ, თუ იგი მოიცავს მის ყველა სასაზღვრო წერტილს. წერტილთა სიმრავლე ე.წ შეზღუდული, თუ არის სასრული სიგრძის რადიუსის ბურთი (წრე), რომელიც ორიენტირებულია სიმრავლის ნებისმიერ წერტილში, რომელიც მთლიანად შეიცავს მოცემულ სიმრავლეს; წინააღმდეგ შემთხვევაში ნაკრები ეწოდება შეუზღუდავი. სიბრტყის წერტილების ამოზნექილი დახურული ნაკრები, რომელსაც აქვს სასრული რიცხვი კუთხის წერტილები, ეწოდება ამოზნექილი მრავალკუთხედი, თუ ის შემოსაზღვრულია და ამოზნექილი მრავალკუთხა რეგიონი, თუ ის შეუზღუდავია.
ფუნქცია f: ეწოდება ამოზნექილი, თუ მისი ეპიგრაფი epi f= ამოზნექილი სიმრავლეა. ნახატზე ნაჩვენებია ამოზნექილი ფუნქცია, მისი გრაფიკი მონიშნულია ლურჯად და ზედგრამი შეღებილია მწვანეში.
ფუნქცია f: ეწოდება დახურულს, თუ მისი ეპიგრაფი დახურული სიმრავლეა.
უტოლობების ამონახსნების, განტოლებების და მათი სისტემების გეომეტრიული მნიშვნელობა
განვიხილოთ უტოლობების ამონახსნები.
დებულება 1. უტოლობის ამონახსნების სიმრავლე ორი ცვლადით a11x1+a12x2<=b1 является одной из двух полуплоскостей, на которые вся плоскость делится прямой a11x1+a12x2=b1, включая и эту прямую, а другая полуплоскость с той же прямой есть множество решений неравенства a11x1+a12x2>=b1.
სასურველი ნახევრად სიბრტყის დასადგენად (ზედა ან ქვედა), რეკომენდებულია თვითნებური საკონტროლო წერტილის დაყენება, რომელიც არ დევს მის საზღვარზე - აგებულ ხაზზე. თუ უტოლობა დაკმაყოფილებულია საკონტროლო წერტილში, მაშინ ის ასევე დაკმაყოფილებულია საკონტროლო წერტილის შემცველი ნახევარსიბრტყის ყველა წერტილში და არ არის დაკმაყოფილებული მეორე ნახევარსიბრტყის ყველა წერტილში. და პირიქით, თუ უტოლობა არ არის დაკმაყოფილებული საკონტროლო პუნქტში, ის არ არის დაკმაყოფილებული საკონტროლო წერტილის შემცველი ნახევარსიბრტყის ყველა წერტილში და დაკმაყოფილებულია მეორე ნახევარსიბრტყის ყველა წერტილში. როგორც საკონტროლო წერტილი, მოსახერხებელია O (0; 0) კოორდინატების საწყისის აღება, რომელიც არ დევს აგებულ ხაზზე.
განვიხილოთ უტოლობების სისტემების ამონახსნების ნაკრები.
დებულება 2. სახსრის სისტემის ამონახსნები მ წრფივი უტოლობაორი ცვლადით არის ამოზნექილი მრავალკუთხედი (ან ამოზნექილი მრავალკუთხა ფართობი).
თითოეული უტოლობა, 1-ლი დებულების შესაბამისად, განსაზღვრავს ერთ-ერთ ნახევრად სიბრტყეს, რომელიც არის წერტილების ამოზნექილი სიმრავლე. წრფივი უტოლობების ერთობლივი სისტემის ამონახსნების სიმრავლე არის წერტილები, რომლებიც მიეკუთვნება ყველა უტოლობას ამონახსნების ნახევარ სიბრტყეებს, ე.ი. მიეკუთვნება მათ კვეთას. გადაკვეთის განცხადების მიხედვით ამოზნექილი კომპლექტებიეს ნაკრები არის ამოზნექილი და შეიცავს კუთხის წერტილების სასრულ რაოდენობას, ე.ი. არის ამოზნექილი მრავალკუთხედი (ამოზნექილი მრავალკუთხა ფართობი).
კუთხის წერტილების კოორდინატები - მრავალკუთხედის წვეროები გვხვდება შესაბამისი წრფეების გადაკვეთის წერტილების კოორდინატებად.
უტოლობების სისტემებისთვის ამონახსნების არეების აგებისას შეიძლება მოხდეს სხვა შემთხვევებიც: ამონახსნების სიმრავლე არის ამოზნექილი მრავალკუთხა რეგიონი (ნახ. ა); ერთი წერტილი (ნახ. ბ); ცარიელი სიმრავლე, როდესაც უტოლობათა სისტემა არათანმიმდევრულია (ნახ. გ).
ორმაგობის ცნების განსაზღვრა ლეჟანდრის ტრანსფორმაციის გამოყენებით
მოდით f:. f*(x*)==(x*) ტოლობით განსაზღვრულ ფუნქციას f*(x*)==(x*) ეწოდება f-ის მიმდევარი ფუნქცია, ხოლო ფუნქცია f**: განისაზღვრება წესით f**(x*)==( x*) ეწოდება f-ის მეორე მიმდევრ ფუნქციას.
რუკა f* (x*) =< x*, x>? f(x) ეწოდება ლეჟანდრის ტრანსფორმაციას.
ორმაგი პრობლემის აგების ჩვეულებრივი ტექნიკა შემდეგია. მინიმიზაციის პრობლემა
სადაც X არის წრფივი სივრცე, შედის მის მსგავს ამოცანების კლასში, პარამეტრიდან გამომდინარე:
სადაც Y არის სხვა წრფივი სივრცე, F (x, 0)=f(x) (F ფუნქციას ეწოდება f-ის პერტურბაცია). ჩვეულებრივ F ვარაუდობენ ამოზნექილად. პრობლემის ორმაგი მოცემული აშლილობის მიმართ ეწოდება. დავალება
სადაც F* არის ფუნქცია ორმაგი (კონიუგატი) F-სთან Legendre - Young - Fenchel-ის გაგებით. ასეთი ორმაგობა საშუალებას გვაძლევს დავუკავშიროთ ყოველ ამოზნექილ ფუნქციას f: X-> R ორმაგი ობიექტი - ორმაგ სივრცეში X*-ზე განსაზღვრული და ფორმულით განსაზღვრული მიმდებარე ფუნქცია.
ამოზნექილი პროგრამირების უმარტივესი პრობლემებისთვის, როგორიცაა
სადაც X არის წრფივი სივრცე, ამოზნექილი ფუნქციები X-ზე, B- ამოზნექილი კომპლექტი X-ში ((3)-ის განსაკუთრებული შემთხვევები წრფივი პროგრამირების ამოცანებია), ჩვეულებრივ გამოიყენება შემდეგი სტანდარტული პერტურბაციები, რაც დამოკიდებულია y=(y 1 ,…, y m), m პარამეტრებზე, ორმაგობის თეორემებზე ამოზნექილი პროგრამირების ამოცანების ზოგადი კლასებისთვის. განაცხადეთ, რომ გარკვეული დაშვებით F აშლილობაზე, ამოცანების (2) და (2*) მნიშვნელობები ემთხვევა, და უფრო მეტიც, ერთ-ერთი პრობლემის გადაწყვეტა არის ლაგრანგის მულტიპლიკატორი მეორისთვის.
კვლევისას ეკონომიკური მოვლენები მათემატიკური მეთოდებიბევრი სიმრავლისა და ფუნქციის ისეთი თვისება, როგორიც არის ამოზნექილი, ძალიან მნიშვნელოვანი აღმოჩნდება. მრავალი ეკონომიკური ობიექტის ქცევის ბუნება განპირობებულია იმით, რომ ამ ობიექტების აღწერის გარკვეული დამოკიდებულებები ამოზნექილია.
ამოხსნის არსებობა ან უნიკალურობა ხშირად ასოცირდება ფუნქციების და კომპლექტების ამოზნექილობასთან ეკონომიკური ამოცანები: ბევრი გამოთვლითი ალგორითმი ეფუძნება იმავე თვისებას.
ამოზნექილი სიმრავლებისა და ფუნქციების შესახებ მრავალი განცხადების მართებულობა საკმაოდ ნათელია, ისინი თითქმის აშკარაა. ამავდროულად, მათი მტკიცება ხშირად ძალიან რთულია. მაშასადამე, ამოზნექილობასთან დაკავშირებული რამდენიმე ძირითადი ფაქტი აქ იქნება ნათქვამი, მტკიცებულების გარეშე, მათი ინტუიციური დამაჯერებლობის გათვალისწინებით.
ამოზნექილი კომპლექტები თვითმფრინავში.
ნებისმიერი გეომეტრიული ფიგურათვითმფრინავზე შეიძლება ჩაითვალოს ამ ფიგურის კუთვნილი წერტილების ერთობლიობა. ზოგიერთი ნაკრები (მაგალითად, წრე, მართკუთხედი, ზოლი პარალელურ ხაზებს შორის) შეიცავს როგორც შიდა, ასევე სასაზღვრო წერტილებს; სხვები (მაგალითად, ხაზის სეგმენტი, წრე) შედგება მხოლოდ სასაზღვრო წერტილებისგან.
სიბრტყეზე წერტილთა სიმრავლეს ეწოდება ამოზნექილი, თუ მას აქვს შემდეგი თვისება: ამ სიმრავლის ნებისმიერი ორი წერტილის დამაკავშირებელი სეგმენტი მთლიანად შეიცავს ამ სიმრავლეს.
ამოზნექილი სიმრავლეების მაგალითებია: სამკუთხედი, სეგმენტი, ნახევრად სიბრტყე (სიბრტყის ნაწილი, რომელიც დევს სწორი ხაზის ერთ მხარეს), მთელი სიბრტყე.
კომპლექტი, რომელიც შედგება ერთი წერტილისგან, და ცარიელი სიმრავლე, რომელიც არ შეიცავს წერტილებს, პირობითად ასევე ითვლება ამოზნექილი. ნებისმიერ შემთხვევაში, ამ კომპლექტებში შეუძლებელია დახაზოთ სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ამ კომპლექტების ზოგიერთ წერტილს და მთლიანად არ მიეკუთვნება ამ კომპლექტებს - მათში ორი წერტილის არჩევა საერთოდ შეუძლებელია. ამიტომ მათი ჩართვა ამოზნექილი სიმრავლეების რიცხვში არ გამოიწვევს წინააღმდეგობას განმარტებასთან და ეს საკმარისია მათემატიკური მსჯელობისთვის.
კვეთა, ე.ი. საერთო ნაწილიორი ამოზნექილი სიმრავლე ყოველთვის ამოზნექილია: გადაკვეთის ნებისმიერი ორი წერტილის აღებით (და ისინი საერთოა, ანუ მიეკუთვნება თითოეულ გადამკვეთ სიმრავლეს) და დავაკავშიროთ ისინი სეგმენტთან, ადვილად დავინახავთ, რომ სეგმენტის ყველა წერტილი საერთოა. ორივე სიმრავლისთვის, ისე როგორ არის თითოეული მათგანი ამოზნექილი. ამოზნექილი სიმრავლეთა ნებისმიერი რაოდენობის კვეთა ასევე იქნება ამოზნექილი.
ამოზნექილი სიმრავლეების მნიშვნელოვანი თვისებაა მათი განცალკევება: თუ ორ ამოზნექილ სიმრავლეს საერთო არ აქვს შიდა წერტილები, მაშინ თვითმფრინავი შეიძლება გაიჭრას სწორი ხაზის გასწვრივ ისე, რომ ერთ-ერთი კომპლექტი მთლიანად მოთავსდეს ერთ ნახევარ სიბრტყეში, ხოლო მეორე მეორეში (ორივე ნაკრების წერტილები შეიძლება განთავსდეს ამოჭრილ ხაზზე). მათ გამიჯნული სწორი ხაზი ზოგ შემთხვევაში აღმოჩნდება ერთადერთი შესაძლო, ზოგში კი არა.
თავად ნებისმიერი ამოზნექილი სიმრავლის სასაზღვრო წერტილი შეიძლება ჩაითვალოს ამოზნექილ კომპლექტად, რომელსაც არ აქვს საერთო შიდა წერტილები თავდაპირველ კომპლექტთან, შესაბამისად, ის შეიძლება გამოეყო მისგან რაიმე სწორი ხაზით. მის სასაზღვრო წერტილს ამოზნექილი სიმრავლისგან გამიჯნული წრფე ეწოდება ამ სიმრავლის დამხმარე ხაზს მოცემულ წერტილში. საცნობარო ხაზები კონტურის ზოგიერთ წერტილში შეიძლება იყოს უნიკალური, ზოგიერთში - არა უნიკალური.
წარმოვიდგინოთ სიბრტყეზე დეკარტის კოორდინატების x, y სისტემა. ახლა ჩვენ გვაქვს შესაძლებლობა განვიხილოთ სხვადასხვა ფიგურები, როგორც ისეთი წერტილების სიმრავლე, რომელთა კოორდინატები აკმაყოფილებს გარკვეულ განტოლებებს ან უტოლობას (თუ წერტილის კოორდინატები აკმაყოფილებს რომელიმე პირობას, მოკლედ ვიტყვით, რომ წერტილი თავად აკმაყოფილებს ამ პირობას).
AÌE სიმრავლეს ეწოდება ამოზნექილი, თუ რომელიმე ორ x 1 და x 2 წერტილთან ერთად შეიცავს მათ დამაკავშირებელ სეგმენტს, ე.ი. ფორმის კომპლექტი
[x 1 x 2 ]={xОE n | x=ლ x 1+(1-ლ) x 2, 0 £ ლ £ 1).
ზემოთ განხილული ნახევრად სივრცეები არის ამოზნექილი კომპლექტები. მოდით შევამოწმოთ, მაგალითად, ნახევარსივრცე H + ab ( xОE n |
დავამატოთ ეს ორი უტოლობა, წინასწარ გავამრავლოთ პირველი თვითნებური რიცხვით lО, ხოლო მეორე 1-l-ზე. შედეგად ვიღებთ უთანასწორობას
ლ
ვინაიდან l არის თვითნებური, არჩეული წერტილების დამაკავშირებელი მთელი სეგმენტი მიეკუთვნება მოცემულ ნახევარ სივრცეს. ამრიგად, ნახევარსივრცე მართლაც ამოზნექილი ნაკრებია.
ნახ 2.10 ამოზნექილი (ა), არაამოზნექილი (ბ) კომპლექტები.
თავი 3 ფუნქციის საფუძვლები.
3.1 ფუნქციების ცნება.
მოდით X და Y იყოს ორი კომპლექტი. თუ მითითებულია წესი, რომლის მიხედვითაც X სიმრავლის თითოეული ელემენტი ასოცირდება Y სიმრავლის გარკვეულ ელემენტთან, მაშინ ამბობენ, რომ ფუნქცია მოცემულია. ვ, X-ზე Y-ზე გამოსახვა. ეს ფაქტი იწერება როგორც f: X®Y ან y=f(x), სადაც x ОX, yОY. X კომპლექტს ეწოდება მონაცემთა არე ან ფუნქციის განსაზღვრის არე, ხოლო Y ნაკრები არის მნიშვნელობების ნაკრები. ფუნქცია f(x)არის წესი, რომელიც იძლევა x-ის თითოეული მნიშვნელობის დაკავშირების საშუალებას ერთი მნიშვნელობა y=f(x). ამ შემთხვევაში, x არის დამოუკიდებელი ცვლადი და y არის დამოკიდებული ცვლადი. ფუნქციები y=f(x)=f(x 1 +x 2 ,..,x n), ე.ი. ეწოდება ფუნქციებს X Ì E n დომენით და Y Ì E მნიშვნელობების სიმრავლით რიცხვითი ფუნქციებივექტორული ფუნქციებისგან განსხვავებით, რომლისთვისაც YÌ E m , m>1.
ბევრი კეთილი
((x,y)нE n +1 ½ y=f(x) ზოგიერთი xнX)
ფუნქციის გრაფიკს უწოდებენ y=f(x).
მწკრივი ფიზიკური პროცესებიშეიძლება აღწერილი იყოს უწყვეტი ფუნქციები, ე.ი. ფუნქციები, რომლებსაც აქვთ უწყვეტობის თვისება x თითოეულ წერტილში, რომელიც მიეკუთვნება მათ განსაზღვრების დომენებს.
f ფუნქციას ეწოდება უწყვეტი x 0 нX წერტილში, თუ ნებისმიერი რიცხვისთვის e>0 შეიძლება მიუთითოთ რიცხვი d e >0 ისე, რომ ყველა xнX Ç Ède 1x 0 1 უტოლობა იყოს ½f(x)-f(x 0)1. E n-ზე უწყვეტი ფუნქციების მაგალითებად წარმოგიდგენთ წრფივ ფუნქციას f 1 (x)= სადაც Q არის n*m ზომის რიცხვითი სიმეტრიული მატრიცა, c არის რაღაც ვექტორი E n-დან და b არის რაღაც რიცხვი, ხოლო Qx ნიშნავს მატრიცის ნამრავლს ვექტორზე ხაზოვანი ალგებრაში მიღებული მატრიცის გამრავლების წესების მიხედვით. 3.2 ფუნქციების კლასიფიკაცია. 3.2.1 უწყვეტი და დისკრეტული ფუნქციები. უწყვეტი ფუნქციები. მაგალითად, ზოგიერთი სისტემისთვის მოხსენების ღირებულება გათბობის სისტემის სხვადასხვა ტემპერატურაზე, ვიღებთ ცალ-ცალკე უწყვეტ მრუდს (ნახ. 3.1). არის შემთხვევები, როდესაც ცვლადი იღებს დისკრეტულ მნიშვნელობებს (სურათი 3.2). იმისდა მიხედვით, არის თუ არა შესწავლილი ფუნქცია უწყვეტი თუ წყვეტილი, კვლევის სხვადასხვა მეთოდი უნდა იქნას გამოყენებული. უნდა აღინიშნოს, რომ მეთოდი, რომელიც ეფექტურია უწყვეტი ფუნქციების ანალიზში, შესაძლოა არაეფექტური აღმოჩნდეს წყვეტილი ფუნქციების შესწავლისას, თუმცა საპირისპირო არ არის გამორიცხული. ფუნქციები ასევე შეიძლება კლასიფიცირდეს მათი ფორმის მიხედვით, რაც განსაზღვრავს ფუნქციების ტოპოლოგიურ თვისებებს განსახილველ ინტერვალში. 3.2.2 მონოტონური ფუნქციები. ფუნქცია f(x) მონოტონურია (სურათი 3.3) როგორც გაზრდით, ასევე კლებით) თუ ორი თვითნებური წერტილისთვის x 1 და x 2 ისეთი, რომ x 1 სურ.3.3. მონოტონური ფუნქციის კონცეფციის შესახებ. ნახაზი 3.4 გვიჩვენებს ფუნქციის გრაფიკს, რომელიც მონოტონურად მცირდება x£0-ზე და მონოტონურად იზრდება x30-ზე. ფუნქცია აღწევს თავის მინიმუმს x=x * წერტილში (წარმოშობა 0) და ერთფეროვანია მინიმალური წერტილის ორივე მხარეს. ასეთ ფუნქციებს უნიმოდალური ეწოდება. გაითვალისწინეთ, რომ უნიმოდალური ფუნქცია საერთოდ არ უნდა იყოს გლუვი (ნახ. 3.4, ა) და თუნდაც უწყვეტი (ნახ. 3.4, ბ), ის შეიძლება იყოს გატეხილი (არადიფერენცირებადი), წყვეტილი (ნახ. 3.4, გ). დისკრეტული (ნახ. 3.4 დ) და შესაძლოა არ იყოს განსაზღვრული ზოგიერთ ინტერვალში (ნახ. 3.4, ე.). ასე რომ, f(x) ფუნქციას სეგმენტზე უნიმოდალური ეწოდება, თუ ის უწყვეტია და არის a და b a£a£b£b რიცხვები ისეთი, რომ: 1) თუ ა 2) თუ ბ
3) xн-სთვის f(x)=f * =min f(x); ნახ.3.4 უნიმოდალური ფუნქციები: ა) გლუვი, ბ) უწყვეტი, გ) წყვეტილი, დ) დისკრეტული, ე) თვითნებური. შესაძლებელია გადაგვარდეს ერთი ან ორი სეგმენტის წერტილამდე , , (სურათი 3.5). სურ.3.5. მოწყობისა და გადაგვარების ვარიანტები ერთფეროვნებისა და უნიმოდალური ფუნქციის მუდმივობის სეგმენტების წერტილამდე. ფუნქციების ერთობლიობა, რომლებიც სეგმენტზე უნიმოდალურია, აღინიშნება Q-ით. ფუნქციების უნიმოდალურობა განსაკუთრებული მნიშვნელოვანი თვისებაა, რომელიც ფართოდ გამოიყენება ოპტიმიზაციის კვლევებში. 3.2.3 ამოზნექილი, ფსევდო ამოზნექილი და კვაზიამოზნექილი ფუნქციები. ამოზნექილი ფუნქციები და მათი განზოგადება (ფსევდო-ამოზნექილი და კვაზი-ამოზნექილი ფუნქციები) მნიშვნელოვან როლს თამაშობს ოპტიმიზაციის თეორიაში. ეს ფუნქციები გამოყენებული იქნება საკმარისი ოპტიმალური პირობების ჩამოსაყალიბებლად. რიცხვითი ფუნქცია f, რომელიც განსაზღვრულია ამოზნექილ სიმრავლეზე X, XÌE n ეწოდება ამოზნექილი, თუ რომელიმე ორი წერტილისთვის x 1 , x 2 нX და თვითნებური რიცხვისთვის ln უტოლობა. f(lx 1 +(1-l)x 2) £lf(x 1)+(1-l)f(x 2). (3.1) საპირისპირო გრძნობის უტოლობა განსაზღვრავს ჩაზნექილ ფუნქციას და ხშირად გამოიყენება ტერმინები "ამოზნექილი ქვემოთ (1)" "ამოზნექილი ზემოთ (2)" (სურათი 3.6). სურ.3.6. 1) ამოზნექილი (ამოზნექილი ქვემოთ) ფუნქცია, 2) ამოზნექილი (ჩაზნექილი) ფუნქცია. გეომეტრიულად, f ფუნქციის ამოზნექილი ნიშნავს, რომ f გრაფის თვითნებური აკორდის ნებისმიერი წერტილი მდებარეობს არანაკლებ დაბლა, ვიდრე თავად გრაფიკის შესაბამისი წერტილი (ის დევს მისი გრაფის ორი წერტილის დამაკავშირებელი აკორდის ქვემოთ) (სურათი 3.6. , მრუდი 1). ერთი ცვლადის ამოზნექილი ფუნქციების უმარტივესი მაგალითებია პარაბოლა y=x 2 და მაჩვენებლი y=e x. y=-x 2 და y=-e x ფუნქციები ჩაზნექილია. თუ ყველა x 1, x 2 ОX x 1 ¹x 2 და lО უტოლობა (3.1) მკაცრია (<), то f называется მკაცრად ამოზნექილი
X-ზე (სურათი 3.7, ა). ფუნქციას ეძახიან (მკაცრად) მოხრილი
, თუ - f არის (მკაცრად) ამოზნექილი (სურ. 3.7, ბ). სურ.3.7. მკაცრად ამოზნექილი (a) და მკაცრად ჩაზნექილი ფუნქციები, მათი წარმოებულები (წერტილი ხაზი) და ფუნქცია, რომელსაც აქვს წრფივი განყოფილება ფუნქცია f(x), განსაზღვრულია ამოზნექილ კომპლექტზე X, ეწოდება ძლიერ ამოზნექილი მუდმივთან ლ> 0 თუ მოდით მივცეთ განმარტების (3.2) გეომეტრიული ინტერპრეტაცია ფუნქციის გათვალისწინებით y=f(x)ერთი ცვლადი. აფიქსირებს x 1 და x 2 ფუნქციის დომენიდან და აღვნიშნავთ l-ს შევცვლით 0-დან 1-მდე. გასაგებია, რომ მაშინ მნიშვნელობა x(l), შეიცვლება x 1ადრე x 2და მიუთითეთ ( X, f(x)) გაივლის ფუნქციის გრაფიკს y=f(x) B წერტილიდან = ( x2, f(x2)) პუნქტამდე მაგრამ= (x 1, f(x 1))(ნახ.3.8). სურ.3.8. ძლიერ ამოზნექილი ფუნქციის გრაფიკი. განტოლებები xOy სიბრტყეში აღწერეთ სწორი ხაზი ლ(სექანტი) წერტილების დამაკავშირებელი მაგრამდა ATდა განტოლებები პარაბოლის დაყენება რკეთილი · თეორემა 3.1
განუწყვეტლივ დიფერენცირებადი ფუნქცია ამოზნექილ X სიმრავლეზე ვარის ამოზნექილი ამ ნაკრებზე, თუ და მხოლოდ ასეთის შემთხვევაში x 1, x 2 О Xნამდვილი უთანასწორობა f(x 2) ³ f(x 1) +<Ñf(x 1 ,x 2 -x 1)>, (3.3) მიღებული ფუნქციის დაშლის შედეგად f(x)ტეილორის სერიაში ერთ წერტილში x 1გაფართოების მეორე და უმაღლესი რიგის პირობების აღმოფხვრით F(x 1 +h) = f(x 1) + hf ¢(x 1) + h 2 /2*f¢¢(x 1) +..., (3.3) სადაც h არის საკმარისად მცირე რიცხვი, |h| Ñf(x 1) = (¶f/¶x 1, ¶f/¶x 2,.., ¶f/¶x n) m, იმათ. არის პირველი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულების ვექტორი, რომელიც გამოითვლება x 1 წერტილში და ეწოდება f ფუნქციის გრადიენტი x 1 წერტილში. · თეორემა 3.2
მოდით, ფუნქცია f იყოს ორჯერ განუწყვეტლივ დიფერენცირებადი ამოზნექილ X სიმრავლეზე, რომელიც შეიცავს მინიმუმ ერთ შიდა წერტილს, და მოდით, m 2 f(x) იყოს მისი ჰესიანი. მაშინ X სიმრავლეზე f-ის ამოზნექილობისთვის აუცილებელია და საკმარისია, რომ m 2 f(x) მატრიცა იყოს არაუარყოფითი განსაზღვრული ყველა xнX-ისთვის, ე.ი. უთანასწორობამდე <Ñ 2 f(x)h, h>³0 (3.4) იმართება ყველა წერტილისთვის xнX, hнE n. აქ რიცხვითი მატრიცა Ñ 2 f(x) ეწოდება ჰესიანს (ან ჰესიანურ მატრიცას). თუ ფუნქცია f აქვს უწყვეტი მეორე რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები (ორჯერ განუწყვეტლივ დიფერენცირებადი) x 1 წერტილში, მაშინ ის ორჯერ დიფერენცირებადია x 1-ზე და აქვს ფორმის ჰესიანური მატრიცა. უფრო მეტიც, ეს მატრიცა არის სიმეტრიული, ე.ი. მსგავსი მტკიცებები ასევე ეხება ჩაზნექილ ფუნქციებს. ამ შემთხვევაში, ფორმულებში (3.2) და (3.4) უტოლობის ნიშანი ³ უნდა შეიცვალოს £-ით. ფუნქციის შემოწმება ამოზნექილზე. ფუნქცია f არის ამოზნექილი, თუ მისი ჰესიანური მატრიცა არის დადებითი განსაზღვრული (>0) ან დადებითი ნახევრადგანსაზღვრული ყველა მნიშვნელობისთვის x 1 , x 2 ,.., x n. ფუნქციის შემოწმება ამოზნექილზე. ფუნქცია f არის ამოზნექილი, თუ მისი ჰესიანური მატრიცა არის უარყოფითი ნახევრადგანსაზღვრული (£0) ყველა x 1,x 2,..,x n. მკაცრად ამოზნექილ ან ჩაზნექილ ფუნქციას აქვს ერთი კიდური, რომელიც არის გლობალური მინიმალური ან მაქსიმალური, შესაბამისად. ფუნქციას, რომელსაც აქვს წრფივი განყოფილება (სურათი 3.7, გ) აქვს უსასრულო რაოდენობა სიდიდის ტოლი. ერთი უკიდურესობის შესაფასებლად შეზღუდვების არსებობისას, შეიძლება გამოვიყენოთ დასაშვები ნაკრების ამოზნექილობის კონცეფცია. სიმრავლე ამოზნექილია, თუ სწორი ხაზის რომელიმე სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს კომპლექტის საზღვრების ორ წერტილს, მთლიანად დევს სიმრავლის შიგნით. ობიექტური ფუნქციის ამოზნექილი ან ჩაზნექილი შეიძლება ვიმსჯელოთ მისი ნაწილობრივი წარმოებულების ¶f/¶x ცვლილების ბუნებითაც. მკაცრად ამოზნექილი ფუნქციის შემთხვევაში, ეს წარმოებული იზრდება არგუმენტის გაზრდით (ნახ. 3.7 ა), ხოლო მკაცრად ამოზნექილი ფუნქციისთვის ის ეცემა (ნახ. 3.7 ბ). თუ არსებობს ობიექტური ფუნქციის წრფივი სეგმენტი, ამ სეგმენტზე მითითებული წარმოებული მუდმივია. ფორმის ამოზნექილი ნაკრები X=(xнE n ) | Ax£b)=(xнE n | £b i, i=1,..,მ) სადაც A არის რაღაც m*n მატრიცა a 1 ,..,a m , b=(b 1 ,..,b m) н E n (m=1,2,..). ჩვეულებრივად ეძახიან მრავალწახნაგს ან უბრალოდ პოლიჰედრას. ამრიგად, პოლიედონი არის წრფივი უტოლობების სასრული რაოდენობის ზოგიერთი სისტემის ამონახსნების ერთობლიობა, ან, რაც იგივეა, ნახევრად სივრცის სასრული რაოდენობის გადაკვეთა (სურათი 3.9). სურ.3.9. მრავალწახნაგოვანი კომპლექტი (პოლიჰედრონი). მაგალითად, მრავალკუთხედი ნახ. 2.1, a არის ამოზნექილი და მრავალკუთხედი ნახ. 2.1, b არ არის ამოზნექილი (იგი მდებარეობს ძვ. წ. სწორი ხაზის ორივე მხარეს). ზოგადი განმსაზღვრელი თვისება, რომელიც განასხვავებს ამოზნექილ მრავალკუთხედს არაამოზნექილისგან, არის ის, რომ თუ აიღებთ მის რომელიმე ორ წერტილს და დააკავშირებთ მათ სეგმენტთან, მაშინ მთელი სეგმენტი მიეკუთვნება ამ მრავალკუთხედს. ეს თვისება შეიძლება მივიღოთ, როგორც წერტილების ამოზნექილი სიმრავლის განმარტება. წერტილების ერთობლიობას ამოზნექილი ეწოდება, თუ ის, მის რომელიმე ორ წერტილთან ერთად შეიცავს ამ წერტილების დამაკავშირებელ მთელ სეგმენტს. ამ განმარტების მიხედვით, მრავალკუთხედი ნახ. 2.1, a არის ამოზნექილი სიმრავლე და მრავალკუთხედი ნახ. 2.1, b არ არის ასეთი, რადგან WE სეგმენტი მის ორ წერტილს შორის M და / V-ს შორის მთლიანად არ ეკუთვნის ამ მრავალკუთხედს. მოდით M და N იყოს A და B სიმრავლის ნებისმიერი ორი გადაკვეთის წერტილი (ნახ. 2.3). ვინაიდან M და N წერტილები მიეკუთვნება სიმრავლეების კვეთას, ე.ი. ამოზნექილი A სიმრავლე და ამოზნექილი B სიმრავლე, მაშინ ამოზნექილი სიმრავლის განმარტების მიხედვით, MI სეგმენტის ყველა წერტილი მიეკუთვნება A სიმრავლესაც და B სიმრავლესაც, ე.ი. ამ კომპლექტების კვეთა. და ეს ნიშნავს, რომ ამ კომპლექტების კვეთა არის ამოზნექილი სიმრავლე. ■ ამოზნექილი ნაკრების წერტილებს შორის შეიძლება გამოვყოთ ინტერიერი, სასაზღვრო და კუთხის წერტილები. სიმრავლის წერტილს შიდა ეწოდება, თუ მისი ზოგიერთი სამეზობლო შეიცავს მხოლოდ ამ სიმრავლის წერტილებს. ნახ-2-3 ნაკრების წერტილს საზღვარი ეწოდება, თუ მისი რომელიმე სამეზობლო შეიცავს ორივე წერტილს, რომელიც ეკუთვნის მოცემულ სიმრავლეს და წერტილებს, რომლებიც მას არ ეკუთვნის. კუთხის წერტილები განსაკუთრებით საინტერესოა წრფივი პროგრამირების ამოცანებში. სიმრავლის წერტილს ეწოდება კუთხის (ან უკიდურესი) წერტილი, თუ ის არ არის შიდა რომელიმე სეგმენტში, რომელიც მთლიანად ეკუთვნის მოცემულ სიმრავლეს. ნახ. 2.4 გვიჩვენებს მრავალკუთხედის სხვადასხვა წერტილების მაგალითებს: შიდა (წერტილი M), საზღვარი (პუნქტი I) და კუთხე (პუნქტები A, B, C, D E). წერტილი A არის კუთხოვანი, რადგან ნებისმიერი სეგმენტი, რომელიც მთლიანად ეკუთვნის მრავალკუთხედს, მაგალითად, სეგმენტს AP, ის არ არის შიდა; A წერტილი შიდაა Kb სეგმენტში, მაგრამ ეს სეგმენტი მთლიანად არ ეკუთვნის მრავალკუთხედს. ამოზნექილი სიმრავლისთვის კუთხის წერტილები ყოველთვის ემთხვევა მრავალკუთხედის (მრავალკუთხედის) წვეროებს, ხოლო ამავდროულად ეს არ არის აუცილებელი არაამოზნექილი სიმრავლისთვის. ასე რომ, ნახ. 2,5 წერტილი A არის არაამოზნექილი მრავალკუთხედის წვერო, მაგრამ არა კუთხის (ის შიდაა Kb სეგმენტში, რომელიც მთლიანად ამ მრავალკუთხედს ეკუთვნის). წერტილთა სიმრავლეს დახურულს უწოდებენ, თუ იგი მოიცავს მის ყველა სასაზღვრო წერტილს. წერტილთა სიმრავლეს უწოდებენ შეზღუდულს, თუ არსებობს სასრული სიგრძის რადიუსის ბურთი (წრე), რომელიც ორიენტირებულია სიმრავლის ნებისმიერ წერტილში, რომელიც მთლიანად შეიცავს მოცემულ სიმრავლეს; წინააღმდეგ შემთხვევაში ნაკრები ეწოდება შეუზღუდავი. თუ ფიგურა შემოიფარგლება მხოლოდ სწორი ხაზებით ან მათი სეგმენტებით, მაშინ მისი კუთხის წერტილების რაოდენობა სასრულია; მრუდი საზღვრების შემთხვევაში ფიგურა შეიცავს უსასრულოდ ბევრ კუთხის წერტილს, რაც საშუალებას გვაძლევს გავაკეთოთ შემდეგი განმარტება. წერტილების ამოზნექილ დახურულ სიმრავლეს სივრცეში (სიბრტყე), რომელსაც აქვს კუთხის წერტილების სასრული რაოდენობა, ეწოდება ამოზნექილი მრავალკუთხედი (მრავალკუთხედი), თუ ის შემოსაზღვრულია, ხოლო ამოზნექილი მრავალკუთხედი (მრავალკუთხედი) რეგიონი, თუ ის შეუზღუდავია. აქამდე ჩვენ განვიხილეთ წერტილების ამოზნექილი სიმრავლე სიბრტყეში და სივრცეში. ანალიტიკურად, ასეთი წერტილები წარმოდგენილია რიცხვების მოწესრიგებული წყვილით (xx x2) ან რიცხვების მოწესრიგებული სამეულით (*1, *2, *h). წერტილის ცნება შეიძლება განზოგადდეს, რაც ნიშნავს წერტილით (ან ვექტორით). ) n რიცხვების მოწესრიგებული სიმრავლე ., xn), რომელშიც xx, x2, ..., xn რიცხვებს უწოდებენ წერტილის (ვექტორის) კოორდინატებს. ასეთ განზოგადებას აზრი აქვს, ვინაიდან თუ რომელიმე ეკონომიკურ ობიექტს ავიღებთ, მაშინ ორი ან სამი რიცხვი, როგორც წესი, არ არის საკმარისი მის დასახასიათებლად და აუცილებელია აიღოთ n რიცხვი, სადაც n > 3. ყველა წერტილის სიმრავლე X = (xx x2,..., xn) არის n-განზომილებიანი წერტილის (ვექტორის) სივრცე. n > 3-ისთვის, n-განზომილებიანი სივრცის წერტილებსა და ფიგურებს არ აქვთ რეალური გეომეტრიული მნიშვნელობა და ამ სივრცეში ობიექტების ყველა კვლევა უნდა განხორციელდეს ანალიტიკური ფორმით. მიუხედავად ამისა, ამ შემთხვევაში გამოდგება მიზანშეწონილი გამოყენება გეომეტრიული ცნებებიხელი შეუწყოს იდეებს „-განზომილებიანი სივრცის ობიექტებზე. III. ამოზნექილი კომპლექტები და ფუნქციები 569 3.
მუდმივი დრეკადობის ω ცვლადის ყველა ფუნქციას აქვს ფორმა (8) (გამოიყენეთ ტოლობა (4)). 4.
რამდენიმე ცვლადის ფუნქცია მუდმივი ნაწილობრივი ელასტიურობით არის ფორმის სიმძლავრის ფუნქციები y = Ax1 B 1 x2 B 2,...,xN B N. III. ამოზნექილი კომპლექტები და ფუნქციები ეკონომიკური ფენომენების მათემატიკური მეთოდებით შესწავლისას, ბევრი სიმრავლისა და ფუნქციის ისეთი თვისება, როგორიც არის ამოზნექილი, ძალიან მნიშვნელოვანი აღმოჩნდება. ბევრი ეკონომიკური ობიექტის ქცევის ბუნება დაკავშირებულია ფაქტთან. რომ გარკვეული დამოკიდებულებები, რომლებიც აღწერს ამ ობიექტებს, ამოზნექილია. ეკონომიკური პრობლემების გადაჭრის არსებობა ან უნიკალურობა ხშირად ასოცირდება ფუნქციების და სიმრავლეების ამოზნექილობასთან: ამ თვისებას ეფუძნება მრავალი გამოთვლითი ალგორითმი. ამოზნექილი სიმრავლებისა და ფუნქციების შესახებ მრავალი განცხადების მართებულობა საკმაოდ ნათელია, ისინი თითქმის აშკარაა. ამავდროულად, მათი მტკიცება ხშირად ძალიან რთულია. მაშასადამე, ამოზნექილთან დაკავშირებული რამდენიმე ძირითადი ფაქტი აქ იქნება წარმოდგენილი, მტკიცებულების გარეშე, მათი ინტუიციური დამაჯერებლობის გათვალისწინებით. 1. სიბრტყეში ამოზნექილი კომპლექტები სიბრტყეში ნებისმიერი გეომეტრიული ფიგურა შეიძლება ჩაითვალოს ამ ფიგურის კუთვნილი წერტილების ერთობლიობად. ზოგიერთი ნაკრები (მაგალითად, წრე, მართკუთხედი, ზოლი პარალელურ ხაზებს შორის) შეიცავს როგორც შიდა, ასევე სასაზღვრო წერტილებს; სხვები (მაგალითად, სეგმენტი, წრე) შედგება მხოლოდ სასაზღვრო წერტილებისგან. სიბრტყეზე წერტილთა სიმრავლეს ეწოდება ამოზნექილი, თუ მას აქვს შემდეგი თვისება: ამ სიმრავლის რომელიმე ორი წერტილის დამაკავშირებელი სეგმენტი მთლიანად შეიცავს ამ სიმრავლეს (ნახ. 1). ამოზნექილი სიმრავლეების მაგალითებია: სამკუთხედი, სეგმენტი, ნახევრად სიბრტყე (სიბრტყის ნაწილი, რომელიც დევს სწორი ხაზის ერთ მხარეს), მთელი სიბრტყე. ამოზნექილი კომპლექტების სხვა მაგალითები ნაჩვენებია ნახ. 2ა. ნახ. 2b გვიჩვენებს არაამოზნექილი სიმრავლეების მაგალითებს. კომპლექტი, რომელიც შედგება ერთი წერტილისგან და ცარიელი სიმრავლე, რომელიც არ შეიცავს წერტილებს, პირობითად, ასევე ითვლება ამოზნექილი. ნებისმიერ შემთხვევაში, ამ კომპლექტებში შეუძლებელია დახაზოთ სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ამ კომპლექტების ზოგიერთ წერტილს და მთლიანად არ მიეკუთვნება ამ სიმრავლეს, - მათში. 570 მათემატიკის აპლიკაცია ბრინჯი. 1. ამოზნექილი ფიგურის ნებისმიერი ორი წერტილის დამაკავშირებელი სეგმენტი მთლიანად მასშია მოთავსებული. ბრინჯი. 2. სიბრტყეზე ამოზნექილი (ა) და არაამოზნექილი (ბ) სიმრავლეები. ორი წერტილის არჩევა საერთოდ შეუძლებელია. მაშასადამე, მათი ჩართვა ამოზნექილ სიმრავლეებს შორის არ გამოიწვევს წინააღმდეგობას განმარტებასთან და ეს საკმარისია მათემატიკური მსჯელობისთვის. კვეთა, ანუ ორი ამოზნექილი სიმრავლის საერთო ნაწილი, ყოველთვის ამოზნექილია: ნებისმიერი ორი გადაკვეთის წერტილის აღებით (და ისინი საერთოა, ე.ი. მიეკუთვნება თითოეულ გადამკვეთ სიმრავლეს) და მათ სეგმენტთან დაკავშირება, ჩვენ ადვილად ვხედავთ. რომ i სეგმენტის ყველა წერტილი საერთოა ორივე სიმრავლისთვის, რადგან თითოეული მათგანი ამოზნექილია. თქვენ - ამოზნექილი სიმრავლეთა ნებისმიერი რაოდენობის კვეთა ასევე იქნება ამოზნექილი. ამოზნექილი სიმრავლეების მნიშვნელოვანი თვისებაა მათი განცალკევება: თუ ორ ამოზნექილ კომპლექტს არ აქვს საერთო შიდა წერტილები, მაშინ სიბრტყე შეიძლება გაიჭრას სწორი ხაზის გასწვრივ ისე, რომ ერთ-ერთი კომპლექტი მთლიანად მოთავსდეს ერთ ნახევარ სიბრტყეში, და მეორე მეორეში (ნაჭრის ხაზზე) ორივე ნაკრების წერტილები შეიძლება განთავსდეს). მათ გამიჯნული ხაზი ზოგ შემთხვევაში x აღმოჩნდება ერთადერთი შესაძლებელი, ზოგში კი არა (ნახ. 3). თავად ნებისმიერი ამოზნექილი სიმრავლის სასაზღვრო წერტილი შეიძლება ჩაითვალოს ამოზნექილ სიმრავლედ, რომელსაც არ გააჩნია თავდაპირველი სიმრავლე ბრინჯი. 3. გამყოფი ხაზები. ბრინჯი. 4. საცნობარო ხაზები. III. ამოზნექილი კომპლექტები და ფუნქციები 571 საერთო შიდა წერტილებით, მაშასადამე, ის შეიძლება მისგან განცალკევდეს რაიმე სწორი ხაზით. მის სასაზღვრო წერტილს ამოზნექილი სიმრავლისგან გამიჯნული წრფე ეწოდება ამ სიმრავლის დამხმარე ხაზს მოცემულ წერტილში. საორიენტაციო ხაზები კონტურის ზოგიერთ წერტილში შეიძლება იყოს ერთადერთი, ზოგში კი არ არის ერთადერთი (ნახ. 4). წარმოვიდგინოთ სიბრტყეზე დეკარტის კოორდინატების x, y სისტემა. ახლა ჩვენ გვაქვს შესაძლებლობა განვიხილოთ სხვადასხვა ფიგურები, როგორც ისეთი წერტილების სიმრავლე, რომელთა კოორდინატები აკმაყოფილებს გარკვეულ განტოლებებს ან უტოლობას (თუ წერტილის კოორდინატები აკმაყოფილებს რომელიმე პირობას, მოკლედ ვიტყვით, რომ წერტილი თავად აკმაყოფილებს ამ პირობას). სავარჯიშო 1 განვიხილოთ ფიგურები, რომელთა წერტილები აკმაყოფილებს უტოლობას: ა) y ³ x2 ; ბ)xy ³ 1; გ)xy ³ 1, x > 0; დ) |x| + |ó|2 £; ე) (õ+1)2 + (ó – 2)2 £ 9. რომელი მათგანია ამოზნექილი? წრფივი განტოლება ax + by = c კმაყოფილდება წრფის წერტილებით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სწორი ხაზი არის ამ განტოლების გამოსავალი. წრფივი უტოლობის ამოხსნა თითოეული უტოლობის ამონახსნი არის ნახევრად სიბრტყე. სისტემის ამონახსნი არის პუნქტების ერთობლიობა, რომელთაგან თითოეული აკმაყოფილებს სისტემის ყველა უტოლობას, ანუ უტოლობათა სისტემის ამოხსნა არის სისტემას შემადგენელი ინდივიდუალური უტოლობების ყველა ამონახსნის გადაკვეთა. ნახევრად სიბრტყე არის ამოზნექილი სიმრავლე, ხოლო ამოზნექილი სიმრავლეების კვეთა ყოველთვის ამოზნექილია. ამრიგად, სისტემის ამონახსნი (2) არის ამოზნექილი ნაკრები. ნახ. 5 გვიჩვენებს უტოლობათა სისტემის ამოხსნას ïî - 2x - y ³ -7. ბრინჯი. 5. სამი წრფივი უტოლობის სისტემის ამოხსნა. 572 მათემატიკის აპლიკაცია გაითვალისწინეთ, რომ უტოლობა ax + £ c-ით შეიძლება შეიცვალოს ექვივალენტური უტოლობით –àõ – 3 –ñ-ით, რომელსაც აქვს ფორმა (1). გარდა ამისა, განტოლება ax + by = c უდრის შემდეგი წყვილის უტოლობას: ( ცული + ³ c-ით; ცული + £ გ. ამრიგად, წრფივი განტოლებათა და უტოლობათა სისტემის ამონახსნი ყოველთვის არის ამოზნექილი სიმრავლე. სავარჯიშო 2 იქნება სისტემის გადაწყვეტა ai x + bi y > ci , i = l, 2, ..., N ამოზნექილი ნაკრები? რით განსხვავდება იგი s (2) სისტემის ამოხსნისგან? სავარჯიშო 3 გამოვიმუშავოთ უტოლობათა სისტემები, რომელთა ამონახსნები იქნება: ა) პარალელოგრამი; ბ) კუთხის შიგნითა მხარე; გ) ზოლი ორ პარალელურ სწორ ხაზს შორის; დ) ერთი ქულა; ე) ცარიელი ნაკრები. 2. ერთი ცვლადის ამოზნექილი ფუნქციები ამოზნექილი ფუნქციის განსაზღვრის უმარტივესი გზაა გეომეტრიული. ამისთვის სასარგებლოა ფუნქციის ეპიგრაფის კონცეფციის გაცნობა. ფუნქციის ეპიგრაფი არის წერტილების ერთობლიობა, რომელიც მდებარეობს ფუნქციის გრაფიკის ზემოთ და თავად გრაფიკზე. უფრო მკაცრად, f(x) ფუნქციის ეპიგრაფი არის ისეთი წერტილების სიმრავლე, რომელთა x-კოორდინატი დევს ფუნქციის დომენში და რომლის y-კოორდინატი აკმაყოფილებს y ³ f(x) უტოლობას. ფუნქციას ეწოდება ქვევით ამოზნექილი, თუ მისი ეპიგრაფი არის ამოზნექილი სიმრავლე. ბრინჯი. 6 ასახავს ამ განმარტებას. ბრინჯი. 6. ამოზნექილი ფუნქციის ეპიგრაფი. ბრინჯი. 7. აკორდის წერტილი არ შეიძლება იყოს გრაფიკის ქვემოთ. III. ამოზნექილი კომპლექტები და ფუნქციები 573 ზემოაღნიშნული განმარტება საკმაოდ მკაცრია და შეიძლება ცალსახად ითარგმნოს ანალიტიკურ ენაზე. პირველ რიგში, ფუნქციას f(x) უნდა ჰქონდეს განსაზღვრების ამოზნექილი დომენი - სეგმენტი, სხივი ან მთელი ხაზი. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ეპიგრაფი დაიშლებოდა რამდენიმე ცალკეულ ზონად და სხვადასხვა უბნის დამაკავშირებელი წერტილები გაივლიდა „აკრძალულ ზონას“. იმის გასარკვევად, თუ რა პირობას უნდა აკმაყოფილებდეს დაღმავალი ამოზნექილი ფუნქციის f(x) მნიშვნელობები, „მის გრაფიკზე ვირჩევთ ნებისმიერ ორ წერტილს M1 и M2 და ვხატავთ აკორდს M1 M2 (ნახ. 7). ის მთლიანად ეპიგრაფში უნდა იყოს, ანუ აკორდის ნებისმიერი წერტილი M უნდა ეკუთვნოდეს ეპიგრაფს. განვიხილოთ რიცხვი l, რომელიც აჩვენებს პროპორციას, რომელშიც M წერტილი ყოფს აკორდს: l = M 2 M. M2 M1 ეს მნიშვნელობა დევს 0 £ l £ 1-ის ფარგლებში. ცხადია, რომ იმავე პროპორციით M წერტილის აბსცისა და ორდინატი ყოფს è [ó1, ó2] სეგმენტებს: õ2 – õ3 =l (õ2 – x1 ); y2 – y3 =l (y2 – y1 ); õ3 =l x1 + (1 –l )õ2; y3 =l y1 + (1 –l )y2. პირობა იმისა, რომ წერტილი მიეკუთვნებოდეს უტოლობას y3 ³ f(õ3 ). ასე რომ, უთანასწორობა შეიძლება იყოს წარმოდგენილი M overgraph - ასე y 1 \u003d f (x 1), y 2 \u003d f (õ 2) - ეს თუ უტოლობა (3) დაკმაყოფილებულია x1 è õ2 მნიშვნელობებისთვის, მაშინ ნებისმიერი აკორდი დევს ეპიგრაფში და მით უმეტეს, ზემოთ მდებარე წერტილების დამაკავშირებელი ნებისმიერი სეგმენტი დევს ეპიგრაფში. ამრიგად, ამოზნექილ სიმრავლეზე განსაზღვრული ფუნქცია f(x) არის ქვევით ამოზნექილი, თუ მას აქვს შემდეგი თვისება: ნებისმიერი ორი რიცხვისთვის x1 × õ2 ფუნქციის დომენიდან და ნებისმიერი რიცხვისთვის l ინტერვალიდან, მოქმედებს უტოლობა (3). უტოლობა (3) ხშირად იწერება „სიმეტრიული“ ფორმით 574 მათემატიკის აპლიკაცია ბრინჯი. 8. ფუნქციები: ამოზნექილი ქვემოთ (ა), ამოზნექილი ზევით (ბ), არ მქონე მუდმივი ნიშანიგამობურცვები (გ). ფუნქციები, რომლებიც ამოზნექილია ზემოთ, შეიძლება განისაზღვროს ანალოგიურად: ამისათვის უტოლობის ნიშნები (3) და (4) უნდა შეიცვალოს საპირისპირო ნიშნით. ფუნქციებს, რომლებიც ქვევით ამოზნექილია, ხშირად უბრალოდ „ამოზნექილს“ უწოდებენ. ამოზნექილ ფუნქციებს უფრო ზოგადი თვისება აქვთ, ვიდრე უტოლობა (4). თუ x1, õ2,..., xN არის არგუმენტის თვითნებური მნიშვნელობები l 1 , l 2 ,..., lN - არაუარყოფითი რიცხვები, რომლის ჯამი უდრის ერთს, მაშინ ჩვენ ვირჩევთ არგუმენტის ოთხ მნიშვნელობას x1< õ2
< õ3
< õ4
è ïðî- დახაზეთ აკორდი M1 M4 (სურ. 9). შუალედური წერტილები M2 და Ì3 დაწექი ეპიგრაფში ისე, რომ კუთხე აკორდის დახრილობა M M * აღარ, და აკორდები M * M არანაკლებ M M * აკორდის კუთხე აბსციზა (დახრილობის კუთხეები - გათვალისწინებით ნიშნები!). აქედან გამომდინარე, სიჩქარე ამოზნექილი ფუნქციის გაზრდა ar-ის "დიდი" მნიშვნელობების სფეროები გუმენტა ([х3, х4] მიდამოში) არა ნაკლები ვიდრე "პატარის" არეალში ღირებულებები (). მობრუნება ფარგლებში x 2® x 1è ® x 3, f¢ (x3) ³f¢(x1), ბრინჯი. 9. მიდამოში დახატული აკორდი წარმოებული ¢(x) დიფერენცირება ამოზნექილი ფუნქცია f (x) - არა - დიდი ღირებულებებიარგუმენტი, აქვს III. ამოზნექილი კომპლექტები და ფუნქციები 575 თუ წარმოებული f¢(x) დიფერენცირებადია (ანუ ამოზნექილი ფუნქცია f(x) ორჯერ დიფერენცირებადია), მაშინ f¢¢(x) ³ 0. ორჯერ დიფერენცირებადი ფუნქციებისთვის ეს უტოლობა გამოდის, რომ ექვივალენტურია. ამოზნექილი ფუნქციის ზემოთ განმარტება; კურსებში მათემატიკური ანალიზიამობურცულობა ჩვეულებრივ განისაზღვრება მეორე წარმოებულის ნიშნით. მაგრამ ეკონომიკურ აპლიკაციებში, სადაც ხშირად უწევთ საქმე ფუნქციებთან, რომელთა გრაფიკებს აქვთ წყვეტები, ასეთი განმარტება ნაკლებად გამოსადეგია. თუ f(x) და g(x) ამოზნექილი ფუნქციებია და a ³ 0, მაშინ ფუნქციები ა) f(x) + g(x); გ) max(f(x), g(x)). ა) და ბ) ფუნქციების ამოზნექულობა მოწმდება უშუალოდ (3) ან (4) უტოლობის გამოყენებით. ფუნქცია c) თითოეული x-ისთვის იღებს მნიშვნელობას, რომელიც უდრის f(x) და g(x) მნიშვნელობებს (და რომელიმე მათგანის ტოლია). max(f(x), g(x)) ფუნქციის ეპიგრაფი არის f(x) და g(x) ფუნქციების ეპიგრაფების გადაკვეთა (შეამოწმეთ!) - აქედან არის c ფუნქციის ამოზნექილი. სავარჯიშო 4 არის თუ არა ამოზნექილი ფუნქციები ქვევით და ამოზნექილი ზემოთ ერთდროულად? სავარჯიშო 5 როგორ გამოიყურება f(x) = max (0, a + bx) ფუნქციის გრაფიკი a და b პარამეტრების სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის? ეს ფუნქციები ამოზნექილია? სავარჯიშო 6 ფუნქცია ამოზნექილია ბრინჯი. 10. f(x) (1), g(x) ფუნქციების გრაფიკები N (2) и max(f(x), g(x)) (3). f(x) = å fi (x) , fi(x) = max(0, ai + bi x)? როგორ გამოიყურება მისი განრიგი? 576 მათემატიკის აპლიკაცია Ვარჯიში განიხილეთ ნაჯახი, f(x) = i ïï
B × (x - 1), x ³ 1. a და b რა მნიშვნელობებისთვის არის ეს ფუნქცია მოხრილი ქვემოთ? მოხრილი? -
არ აქვს მუდმივი ამოზნექილი ნიშანი? IV. კურთხევის სივრცე Ძირითადი ცნებები ბევრი თეორიული კითხვებიგანხილულია ჩვენს სახელმძღვანელოში ორი პროდუქტის შემთხვევისთვის. როგორც მოსახერხებელი ხელსაწყო, რომელიც მნიშვნელოვნად ამარტივებს მათ ანალიზს, ჩვენ გამოვიყენეთ გრაფიკული კონსტრუქციები, რომლებშიც კომპლექტი ორი პროდუქტის შემცველობით x1, и x2 რაოდენობით იყო წარმოდგენილი სიბრტყის წერტილით დეკარტის კოორდინატები(x1, x2). თარგმანი თეორიული ცნებებიგეომეტრიულ ენაში ძალიან მკაფიო გახადა განხილული ფენომენის თვისებები და ამავდროულად არ იწვევდა სიმკაცრის დაკარგვას: ყველა გეომეტრიულ ცნებას (სწორ ხაზებს, მრუდეებს, დახრილობის კუთხეებს და ა.შ.) ჰქონდა ზუსტად განსაზღვრული ანალიტიკური ეკვივალენტები - განტოლებები. , წარმოებულები, პარამეტრებს შორის ურთიერთობა და ა.შ. ამიტომ ასეთი კონსტრუქციები ფართოდ გამოიყენება როგორც ეკონომიკის სახელმძღვანელოებში, ასევე სამეცნიერო პუბლიკაციებში. თუმცა, ეს გეომეტრიული მსჯელობა მკაცრი და ზუსტი იყო მხოლოდ იმ შემთხვევებისთვის, როდესაც მოხმარებული საქონლის სია მხოლოდ ორ პუნქტს მოიცავდა. სინამდვილეში, სარგებლის რაოდენობა, რომელსაც ადამიანები იყენებენ, გაცილებით მეტია. გეომეტრიულად მიღწეული დასკვნები შეიძლება ჩაითვალოს საკმარისად საერთო, თუ ისინი შეიძლება გავრცელდეს საქონლის თვითნებური რაოდენობის შემთხვევებზე.
საინჟინრო აპლიკაციებში მისი გამოყენება იშვიათი არაა
f(x 1)³ (x 2) (მონოტონურად კლებადი ფუნქცია)
, რომელიც გადის წერტილებში მაგრამდა AT. უტოლობა (3.2) ამ შემთხვევაში ნიშნავს, რომ ფუნქციის გრაფიკი y = f(x) xOy სიბრტყეზე მდებარეობს არა მხოლოდ წერტილების დამაკავშირებელი სეკანტის ქვემოთ მაგრამდა AT, არამედ პარაბოლის Р, რომლის გადახრა განისაზღვრება პარამეტრით ლდა ის შეიძლება შეირჩეს თვითნებურად მცირე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სეკანტითა და ფუნქციის გრაფიკით შემოსაზღვრულ არეში შეგიძლიათ ააგოთ წერტილების დამაკავშირებელი პარაბოლა. მაგრამდა AT.
