ბერნულის განტოლების გამოსატანად ვიყენებთ მექანიკის ცნობილ თეორემას ცვლილებასთან დაკავშირებით. კინეტიკური ენერგია. შეგახსენებთ, რომ ეს თეორემა შემდეგნაირად იკითხება: განხილული სხეულის კინეტიკური ენერგიის 2 ცვლილება მისი ზოგიერთი გადაადგილებისას უდრის ყველა ძალის (გარე და შინაგანი) მუშაობის ჯამს, რომელიც გამოიყენება. ამ ორგანოს, იმავე გადაადგილებაზე.

ავიღოთ ნაკადულის ელემენტარული წვეთი (სურ. 3-20). აირჩიეთ სექციები 1-1 და 2-2 რამდენიმე წვეთოვანი განყოფილება AB.აღნიშნეთ z 1-ით და z 2-ით მონაკვეთების ექსცესები 1 -1 და 2 -2 შედარების სიბრტყის ზემოთ ოჰ,მეშვეობით - ნაკადის ცოცხალი მონაკვეთების უბნები 1-1i მონაკვეთებში 2 -2.

ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ დროის განმავლობაში ABთვითმფრინავები გადაადგილდებიან პოზიციაზე A"B"ამ შემთხვევაში ნაკადის 1-1 მონაკვეთი გადავა მანძილზე და მონაკვეთზე 2 -2 წვეთები - შორს . შეამჩნია, რომ

სადაც და 1და და 2 - სიჩქარეები 1-1i სექციებში 2 -2.

კამათით, როგორც § 3-9-ში, შეგვიძლია ვაჩვენოთ, რომ წვეთების ელემენტარული განყოფილებების მოცულობა ᲐᲐ"და BB"თანაბარია, ე.ი.

მოცულობა (ᲐᲐ")= მოცულობა (BB") =(დანიშნულება),

სად არის სითხის ნაკადის სიჩქარე ჭავლისთვის.

მოდით აღვნიშნოთ ელემენტარული მოცულობის მასა:

სად არის სითხის სიმკვრივე.

ახლა ვიპოვოთ კუპეს კინეტიკური ენერგიის ცვლილება ABპოზიციაზე გადატანისას A"B"და ამ განყოფილებაზე გამოყენებული ძალების მუშაობა მითითებულ გადაადგილებაზე.

1°. განყოფილების კინეტიკური ენერგიის ცვლილება ABპოზიციაზე გადატანისას A"B". აღვნიშნოთ კინეტიკური ენერგიის აღნიშნული ცვლილება (CE)მეშვეობით ბ (CE).შემდეგ შეგიძლიათ დაწეროთ (იხ. სურათი 3-20):

(KE) \u003d KE (A "B") - KE (AB) \u003d KE (A "B -f BB") -

KE (AA "+ A" B) \u003d KE (BB ") - KE (AA"),

ან, მოცემული (3-55),

ბრინჯი. 3-20. განტოლების წარმოშობამდე (3-60)

2°. ძალების მუშაობა განყოფილების გადაადგილებისას ABპოზიციაში A"B". მითითებული გადაადგილებით ვიღებთ შემდეგი ძალების მუშაობას.

1. სიმძიმის მუშაობა. როგორც ჩანს, გრავიტაციის მოქმედების ეფექტი გამოიხატებოდა, თითქოსდა, იმაში, რომ განყოფილება ᲐᲐ"პოზიციაზე გადავიდა BB" (აკუპე A "B დარჩაადგილზე). ასეთი პირობითი სქემის გამოყენებით, სიმძიმის მუშაობა (PCT)ვიღებთ ფორმაში

მართლმსაჯულება (3-57) შეიძლება უფრო მკაცრად გამართლდეს. ჩვენ ვამტვრევთ კუპეს A "Bმოცულობით ელემენტარულ კუპეებში . მაშინ გრავიტაციის სასურველი სამუშაო შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც:

სადაც z", z", z",. . ., ზ(n) - სიბრტყეზე მაღლა 00 ელემენტარული მოცულობების გამიჯნული სასაზღვრო მონაკვეთები .

2. ჰიდროდინამიკური წნევის ძალების მუშაობა,
მოქმედებს ბოლო მონაკვეთებზე 1 -1 და 2 -2 კუპე
AB(მის გარშემო არსებული სითხის მხრიდან). Ეს სამუშაო

სადაც და არის ჰიდროდინამიკური წნევა, შესაბამისად, სექციებში 1 -1 და 2-2.

3. მუშაობა გარე ძალებიმიმდებარე სითხის წნევა ძვალზე გვერდითი ზედაპირიკუპე AB.ეს ნამუშევარი ნულის ტოლია, რადგან ძალები მიმართულია პერპენდიკულურად კუპეს გვერდითი ზედაპირის გასწვრივ მოძრავი თხევადი ნაწილაკების გადაადგილებაზე. AB.

4. მუშაობა შინაგანი ძალებიწნევა ( ნორმალური ძალებიცალკეული სითხის ნაწილაკების ურთიერთქმედება, რომლებიც ქმნიან მოცულობას AB).

ეს ძალები დაწყვილებულია (საპირისპიროდ მიმართული) იგივე გადაადგილებით. მათი მუშაობის ჯამი არის ნული.

5. გარე და შიდა ხახუნის ძალების მუშაობა ნულის ტოლია (ხახუნის ძალები ში იდეალური სითხეარდამსწრე).

3°. საბოლოო დასკვნა. კინეტიკური ენერგიის ცვლილების თეორემის გამოყენებით შეგვიძლია დავწეროთ:

მოდით დავყოთ ეს გამოთქმა , ანუ, ჩვენ მას მივუთითებთ სითხის მოცულობის ერთეულის წონაზე, რომელიც გადის დროში b / მეშვეობით ნათელი განყოფილებაწვეთები. ამ შემთხვევაში, ჩვენ წარმოვადგენთ მიღებულ განტოლებას სახით

მას შემდეგ, რაც სექციები 1-1 და 2 -2 დაიგეგმა თვითნებურად, შემდეგ (3-59) ასევე შეიძლება გადაიწეროს სახით:

განტოლებას (3-59) ან (3-60) ბერნულის განტოლებას უწოდებენ. იგი მიღებული იქნა დანიილ ბერნულის მიერ 1738 წელს. ეს განტოლება ეხება მხოლოდ იდეალური სითხის ელემენტარულ ნაკადს.

ასევე ყურადღება მივაქციოთ შემდეგს:

1) ბერნულის განტოლება აკავშირებს რაოდენობებს z, p და;

2) როგორც ჩანს (3-60), იდეალური სითხის შემთხვევაში, სამი წევრის ჯამი z,, არის მუდმივი განხილული ნაკადის გასწვრივ;

3) თუ მითითებული მუდმივი მნიშვნელობა მოცემული წვეთისთვის ტოლია ალტმაშინ მეზობელი წვეთისთვის ზემოაღნიშნული სამი წევრის ჯამი უდრის A 2,და ში " ზოგადი შემთხვევა A 1 ≠ A 2 ;

4) ცოდნა მოცემული წვეთისთვის მუდმივი მნიშვნელობა მაგრამ,და ასევე სამი სიდიდის ჭავლის მოცემული ჯვრის მონაკვეთის ცოდნა ( ზ, მე, პ)ნებისმიერი ორი სიდიდე, ჩვენ შეგვიძლია, ბერნულის განტოლების გამოყენებით, ვიპოვოთ მესამე უცნობი რაოდენობათვითმფრინავის განხილული მონაკვეთისთვის.

განტოლება (3-60) ასევე შეიძლება მივიღოთ ეილერის დიფერენციალური განტოლებების ინტეგრირებით (იხ. § 3-3) სხეულის ძალების ნებისმიერი სისტემისთვის, რომელიც მოქმედებს სითხეზე და აქვს პოტენციალი (იხ. § 9-2). განტოლება (3-60) ეხება კონკრეტულ სტრიმინალს (უფრო ზუსტად: ელემენტარულ ნაკადულს კონკრეტული გადინების გასწვრივ). ამ განტოლებას ხშირად უწოდებენ ბერნულის ინტეგრალს.

მეტი დეტალური განხილვა ეს საკითხიგვიჩვენებს, რომ ბერნულის განტოლება (ბერნულის ინტეგრალი) მართებულია როგორც ირროტაციული (პოტენციური) მუდმივი მოძრაობისთვის, ასევე იდეალური სითხის მორევის მუდმივი მოძრაობისთვის, თუმცა, იმ პირობით, რომ სითხეზე მოქმედ სხეულის ძალებს აქვთ პოტენციალი ( კერძოდ, გრავიტაცია, რომელიც ზემოთ გვქონდა მხედველობაში). იდეალური სითხის მუდმივი მორევის მოძრაობის განხილვისას სიჩქარით და შეტანილი ბერნულის განტოლებაში, ის შემდეგნაირად გამოიყურება გაიგე (ასეიგივე როგორც ირროტაციული მოძრაობის შემთხვევაში) სიჩქარესთან დაკავშირებულირეალური ვექტორული ველი, რომელიც ასახავს განხილული სითხის მოძრაობას (აქ არ არის საჭირო მოძრაობის დაშლა მის სამ ტიპად, ახსნილი § 3-4).

ასევე შეიძლება ნაჩვენები იყოს, რომ: ა) იდეალური სითხის მორევის (პოტენციური) მოძრაობის გარეშე და ბ) სითხეზე მოქმედი სხეულის ძალები, რომლებსაც აქვთ პოტენციალი, მნიშვნელობა. მაგრამ,რომელიც ზემოთ იყო განხილული, ერთნაირია ყველა ნაკადისთვის, რომელიც ქმნის ნაკადს: A 1 \u003d A 2 \u003d A 3 \u003d --- ამ შემთხვევაში, განტოლება (3-60) მართებულია მთელი დაკავებული ფართობისთვის. სითხის მიერ და არა მხოლოდ გარკვეული მიმდინარე ხაზებისთვის.

ზემოთ მიღებულია იდეალური სითხის მოძრაობის დიფერენციალური განტოლებები და მოძრაობის უწყვეტობის განტოლება, რომლებიც ქმნიან განტოლებათა დახურულ სისტემას. კონკრეტული საინჟინრო ამოცანების გადასაჭრელად აუცილებელია ამ განტოლებების ინტეგრალების პოვნა.

იდეალური სითხის მოძრაობის განტოლებების ინტეგრირებამდე ჩვენ ვიღებთ შემდეგ დამატებით პირობებს:

სხეულის ძალის აჩქარების პროგნოზები (ინ ამ საქმესსიმძიმის) არჩევისას მიიღებს შემდეგ მნიშვნელობებს; კოორდინატთა ღერძების მიმართულება:

X=0; Y=0; Z=-გ.

ტრანსფორმაციის შემდეგ ვიღებთ:

გ-ზე გაყოფით მივიღებთ:

ამ დიფერენციალური განტოლების ინტეგრირება მთლიანი დიფერენციალები, მივდივართ შემდეგ შედეგამდე:

ამ განტოლებას ეწოდება D. Bernoulli განტოლება, იგი მოქმედებს იდეალური სითხის სტაბილური მოძრაობა.

ელემენტარული ნაკადის ორი თვითნებური მონაკვეთისთვის:

ეს არის დ.ბერნულის განტოლება.

გეომეტრიული და ენერგეტიკული მნიშვნელობაგანტოლებები

დ.ბერნოული

დ.ბერნულის განტოლებაში შემავალ ყველა ტერმინს აქვს წრფივი განზომილება, ამიტომ მათ ჩვეულებრივ სიმაღლეებს უწოდებენ. შესაბამისად, ამ წევრების შემდეგი სახელები ზოგადად მიღებულია:

ზ - გეომეტრიული ან გეოდეზიური სიმაღლე;

პიეზომეტრიული სიმაღლე ან წნევის სიმაღლე;

- დინამიური ან სიჩქარის თავი;

შემდეგის დანახვა ადვილია გეომეტრიული მნიშვნელობად.ბერნულის განტოლება, რომელიც არის ის იდეალური სითხის მუდმივ მოძრაობაში სამის ჯამისიმაღლეები (გეომეტრიული, პიეზომეტრიული და სიჩქარე) არ არისიცვლება მოცემული ელემენტარული ნაკადის გასწვრივ.ეს სიტუაცია ნათლად არის ილუსტრირებული ნახ. ერთი.

შესაძლებელია განტოლების ცალკეული ტერმინების მნიშვნელობის ინტერპრეტაცია

ბერნული განსხვავებულია. ზემოთ ნაჩვენები იყო, რომ ჯამი

წარმოადგენს სითხის სპეციფიკურ ენერგიას. შესაბამისად, შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ:

ზ - არის პოზიციის სპეციფიკური ენერგია;

წნევის ენერგია;

არსებობს სპეციფიკური კინეტიკური ენერგია.

ბერნულის განტოლების ენერგეტიკული მნიშვნელობა არის ის იდეალური სითხის მუდმივ მოძრაობაშიპოზიციის, წნევის და კინეტიკური ენერგიის სპეციფიკური ჯამი არ იცვლება მოცემულ ელემენტარულ ჭავლზე.

ბრინჯი. ერთი

მთლიანი სპეციფიკური ენერგია (ანუ პოტენციალი + კინეტიკური) ეწოდება ჰიდროდინამიკური თავი და აღინიშნება . ამრიგად, ბერნულის განტოლება აჩვენებს, რომ მოცემული ნაკადისთვის იდეალური სითხის მუდმივი მოძრაობისას ჰიდროდინამიკური თავი არის მუდმივი. გრაფიკზე ჰიდროდინამიკური სათავე ხაზი გამოსახულია ჰორიზონტალური ხაზის სახით.

დ.ბერნულის განტოლება ელემენტარული ნაკადისთვის ნამდვილი სითხე. პიეზომეტრიული და ჰიდრავლიკურიფერდობებზე.

როდესაც რეალური სითხე მოძრაობს მიმდებარე ნაკადებს შორის, წარმოიქმნება ხახუნის ძალები, რომელთა დასაძლევადაც იხარჯება სითხის ენერგიის ნაწილი. მაშასადამე, სითხის სპეციფიკური ენერგია ელემენტარული ჭავლის კვეთაში 2 -2 ნაკლები იქნება სითხის სპეციფიკურ ენერგიაზე კვეთაში 1-1 გარკვეული რაოდენობით , რომელსაც უწოდებენ დაკარგულ სიმაღლეს ან ჰიდრავლიკური წინააღმდეგობის დაძლევაზე დახარჯულ დაკარგულ სპეციფიკურ ენერგიას. ანალიტიკურად, ეს სიტუაცია შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

აქედან გამომდინარე, უძრავი სითხის მუდმივ მოძრაობაშიოთხი სიმაღლის ძვლის ჯამი (გეომეტრიული, პიეზომეტრიულიცა, ჩქაროსნული და დაკარგული) ან, იგივე, ჯამიოთხი სპეციფიკური ენერგია (პოზიცია, წნევა, კინეტიკური და დაკარგული) არ იცვლება მოცემული ელემენტარული ნაკადის გასწვრივ.

განსახილველი შემთხვევისთვის ბერნულის განტოლების გრაფიკულად წარმოდგენა ადვილია. ამისათვის, თვითნებური ჰორიზონტალური შედარების სიბრტყის არჩევის შემდეგ, დადეთ მასზე თითოეულ მონაკვეთში სიმაღლე ; ; ; და . z სეგმენტების ბოლოები, რომლებიც დაკავშირებულია გლუვი მრუდით, აჩვენებს ღერძის ღერძის პოზიციას. გლუვი მრუდის სეგმენტების ბოლოების შეერთებით ვიღებთ ეგრეთ წოდებულ პიეზომეტრულ ხაზს. პიეზომეტრიული ხაზის თითოეულ მონაკვეთში სიჩქარის ზეწოლის ტოლი სეგმენტების დაყენებით და მათი ბოლოების გლუვი მრუდით შეერთებით, მივიღებთ ჰიდროდინამიკური თავის ხაზს ან, როგორც მას ხშირად უწოდებენ, ჰიდრავლიკურ ხაზს (ნახ. 2). სეგმენტები, მანძილების ტოლივერტიკალურად ჰიდრავლიკური ხაზიდან ჰორიზონტალურ სიბრტყემდე, რომელიც გადის შედარების სიბრტყის ზემოთ, საწყისი სპეციფიკური ენერგიის ტოლი სიმაღლეზე, წარმოადგენს ენერგიის დანაკარგს ჰიდრავლიკური წინააღმდეგობისთვის მონაკვეთში საწყისიდან განხილულ მონაკვეთამდე.

ბრინჯი. 2

დავარქვათ ჰიდრავლიკური ხაზის დაცემა ელემენტარული ნაკადის სიგრძის ერთეულზე ჰიდრავლიკური ფერდობზემე:

ჰიდრავლიკური დახრილობა (ნახ. 3) ყოველთვის დადებითი მნიშვნელობაა, რადგან სითხის მოძრავი ნაწილის მთლიანი სპეციფიკური ენერგია თანდათან მცირდება ელემენტარული ნაკადის გასწვრივ გადაადგილებისას, იხარჯება ხახუნის ძალების გადალახვაზე, გადაიქცევა. თერმული ენერგიადა გაფანტვა.

ბრინჯი. 3

შეუფერხებლად ცვალებადი (ნელა ცვალებადი) სითხის მოძრაობის კონცეფცია

ზოგადად, სტაბილური მოძრაობით, სითხის ნაკადი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ელემენტარული ჭავლების ერთობლიობით, რომელსაც აქვს სხვადასხვა მნიშვნელობამათი განსხვავების კუთხეები და გამრუდების სხვადასხვა რადიუსი. განსაკუთრებული შემთხვევა dviნაკადი, რომლის დროსაც იგი განიცდის მცირე დეფორმაციასიონი, ისე, რომ ელემენტარული ძაფები პარალელურად დარჩესან თითქმის ერთმანეთის პარალელურად (), და მათი გამრუდების რადიუსი ძალიან დიდი ღირებულებები (), ეწოდება შეუფერხებლად ცვალებად ან ნელა ცვალებად მოძრაობას.

AT ნაკადის თავისუფალი მონაკვეთის სიბრტყე შეუფერხებლად ცვალებადობითჰიდროდინამიკური წნევა ნაწილდება ჰიდროსტატიკის კანონების მიხედვით,რაც იმას ნიშნავს, რომ მოცემულ ცოცხალ მონაკვეთში, ნებისმიერი ნაწილაკების სპეციფიკური პოტენციური ენერგია არის მუდმივი მნიშვნელობა:

დ.ბერნულის განტოლება რეალური სითხის ნაკადისთვის.

განტოლების გამოყენებადობის პირობები D. Bernoulli.

მოდით გავაფართოვოთ ბერნულის განტოლება რეალური სითხის სტაბილურ დინებამდე. ამისათვის ჩვენ ვირჩევთ თავისუფალ მონაკვეთს ნაკადის სუსტად დეფორმირებულ მონაკვეთზე, რომლის მახლობლად მოძრაობა შეიძლება ჩაითვალოს შეუფერხებლად ცვალებადი.

ამ განყოფილების მეშვეობით, ყოველი ელემენტარული გამანადგურებელი დროში dt შემოდის ენერგია, რომელიც ზემოაღნიშნულის შესაბამისად გამოდის ტოლი:

ფრჩხილებიდან ამოიღეთ გავლილი სითხის წონა განივი მონაკვეთიწვეთი დროში dt, თანაბარი , გადაწერეთ ეს გამოთქმა შემდეგი ფორმა:

ბრინჯი. 4

მოდით ვიპოვოთ მთლიანი ენერგია, რომელიც ატარებს სითხის ნაკადს თავისუფალ განყოფილებაში 1 - 1. ამისათვის, ცხადია, აუცილებელია მიღებული გამონათქვამის შეჯამება მოცემული თავისუფალი ჯვრის მონაკვეთის ყველა ნაკადზე. შემდეგ მივიღებთ:

ასე რომ მთლიანი ენერგია აღმოჩნდა ჯამის ტოლიორი ინტეგრალი, რომლებიც წარმოადგენენ, შესაბამისად, ნაკადის პოტენციალს და კინეტიკურ ენერგიას.

ჩვენ ვწერთ მეორე ინტეგრალს შემდეგი ფორმით:

ეს ინტეგრალი წარმოადგენს, როგორც უკვე აღვნიშნეთ, კინეტიკურ ენერგიას, რომელსაც ატარებს ნაკადი 1-1 მონაკვეთზე დროის განმავლობაში. dt. მის გამოსათვლელად აუცილებელია ვიცოდეთ, როგორ ნაწილდება სითხის ნაწილაკების სიჩქარე ცოცხალ მონაკვეთზე. თუ გამოვთვლით ნაკადის კინეტიკურ ენერგიას იმ ვარაუდით, რომ ეს სიჩქარეები მუდმივია (სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მოცემულ ცოცხალ მონაკვეთში ნაკადის საშუალო სიჩქარის მიხედვით ), მაშინ მივიღებთ:

ეს გამოხატულება ყოველთვის უფრო მცირეა სიდიდით ვიდრე ფაქტობრივი კინეტიკური ენერგია, რომელიც გამოითვლება რეალური სიჩქარით. ავღნიშნოთ ამ ორი სიდიდის თანაფარდობა:

ვინაიდან ნაკადის განყოფილებაში 1-1 მონაკვეთებს შორის და 2-2 ნაკადის ენერგიის ნაწილი იხარჯება ჰიდრავლიკური წინააღმდეგობის გადალახვაზე და შეუქცევად გარდაიქმნება თერმულ ენერგიად. . ისიც აშკარაა, რომ. განსხვავება ამ სპეციფიკურ ენერგიებს შორის გამოხატავს ნაკადის სპეციფიკური ენერგიის დაკარგვას მოძრაობის განხილულ მონაკვეთში:

ინტეგრაციისა და ჩანაცვლების შემდეგ ვიღებთ:

კოეფიციენტი ეწოდება კინეტიკური კოეფიციენტინაკადის ენერგია და არის რეალურის თანაფარდობანაკადის კინეტიკური ენერგია კინეტიკური ენერგიისკენ, თქვენრიცხვითი იმ ვარაუდით, რომ თავისუფალი მონაკვეთის ყველა წერტილში სიჩქარე უდრის საშუალო ნაკადის სიჩქარეს. აშკარაა რომეს კოეფიციენტი ყოველთვის ერთზე მეტია.

შედეგად მიღებული განტოლება არის დ.ბერნულის განტოლება რეალური სითხის სტაბილური ნაკადისთვის.

ლექცია ნომერი 8.

ჰიდრავლიკური წინააღმდეგობა.

ჰიდრავლიკური წინააღმდეგობის და წნევის დაკარგვის კლასიფიკაცია.

როდესაც რეალური სითხე მოძრაობს, ნაკადის ენერგიის ნაწილი იხარჯება ჰიდრავლიკური წინააღმდეგობების გადალახვაზე, რომლებიც იყოფა ორ ტიპად:

1) წინააღმდეგობა ნაკადის სიგრძის გასწვრივ;

2) ადგილობრივი წინააღმდეგობა.

ნაკადის სიგრძის გასწვრივ წინააღმდეგობები არის ისეთი წინააღმდეგობები, რომლებიც გამოწვეულია ხახუნის ძალებით და დამოკიდებულია დინების სიგრძეზე.

ადგილობრივი წინააღმდეგობები არის ის, რაც გამოწვეულია დინების სხვადასხვა მონაკვეთში სიჩქარის მიმართულების ან სიდიდის ცვლილებით. ეს წინააღმდეგობები გამოწვეულია ონკანებით, კარიბჭის სარქველებით, მილების სარქველებით, ნაკადის უეცარი გაფართოებით ან შეკუმშვით და ა.შ.

ნაკადის ენერგიის ნაწილს, რომელიც იხარჯება ჰიდრავლიკური წინააღმდეგობის დასაძლევად, ეწოდება თავის დაკარგვას ან ენერგიის დაკარგვას.

წნევის დანაკარგები ასევე იყოფა ორ ტიპად:

1) თავის დაკარგვა დინების სიგრძის გასწვრივ, რაც გამოწვეულია დინების სიგრძის ჰიდრავლიკური წინააღმდეგობით ( თ ვ);

2) ადგილობრივი წნევის დანაკარგები, რომლებიც გამოწვეულია ადგილობრივი ჰიდრავლიკური წინააღმდეგობით ( თ მე). მთლიანი დანაკარგებიხელმძღვანელი:

თ ω = . (1)

თავის დაკარგვა არსებითად დამოკიდებულია სითხის მოძრაობის რეჟიმზე.

ლამინარი და ტურბულენტური რეჟიმისითხის მოძრაობა.

სითხის მოძრაობის ორი რეჟიმი არსებობს: ლამინარული და ტურბულენტური.

მოძრაობის ლამინარულ რეჟიმში სითხის ნაწილაკები მოძრაობენ ცალკეული ჭავლებით, რომლებიც არ ერევა ერთმანეთს. მაგალითები ლამინარული მოძრაობაარის: მიწისქვეშა წყლების მოძრაობა, მაღალი სიბლანტის მქონე სითხეების მოძრაობა მილსადენებით (საწვავი, ზეთი და სხვ.), სისხლის მოძრაობა სისხლძარღვებში.

მოძრაობის ტურბულენტურ რეჟიმში ცალკეული ნაკადები ერთმანეთში აირია. ტურბულენტური მოძრაობა ბუნებაში ბევრად უფრო ხშირად შეინიშნება, ვიდრე ლამინარული მოძრაობა. ტურბულენტური მოძრაობის მაგალითია წყლის მოძრაობა მდინარეებში, არხებში, წყლის მილებში და ა.შ.

სიტყვა „ლამინარი“ მომდინარეობს ლათინური სიტყვიდან lamina - ფირფიტა, ზოლი, ფენა; სიტყვა "ტურბულენტი" მომდინარეობს ლათინური სიტყვიდან turbulentus - არასტაბილური.

სითხის მოძრაობის ორი რეჟიმის ბუნებაში არსებობა პირველად გამოჩენილმა რუსმა მიუთითა მეცნიერი პროფესორიდ.ი. მენდელეევი 1880 წელს თავის ნაშრომში "სითხის წინააღმდეგობისა და აერონავტიკის შესახებ".

მოძრაობის რეჟიმების ექსპერიმენტული კვლევა ჩაატარა ინგლისელმა მეცნიერმა ო.რეინოლდსმა 1883 წელს.

გამოცდილება იწყება მილის გავლით დსითხეები დაბალი სიჩქარით. ამავე დროს საღებავი მიეწოდება ავზიდან თან.ამ შემთხვევაში მიიღება შემდეგი სურათი (ნახ. 1ბ): შეფერილ ნაკადს აქვს სწორი ჰორიზონტალური ხაზის ფორმა, ხოლო მოძრავი სითხის დანარჩენი მასა უფერული რჩება. შესაბამისად, ამ შემთხვევაში შეფერილი ნაკადის ნაწილაკები არ ერევა დანარჩენ სითხეს და სითხის მოძრაობის რეჟიმი მილში დლამინარული.

მილში სიჩქარის თანდათანობითი ზრდით დდგება მომენტი, როდესაც შეფერილი ნაკადი ქრება და მთელი მოძრავი სითხე ერთნაირად შეფერილი ხდება. ეს მიუთითებს იმაზე, რომ ნაკადში სითხის ნაწილაკები შერეულია, ანუ მილში დხდება ტურბულენტური რეჟიმი (სურ. 1c).

ბრინჯი. ერთი

სიჩქარე, რომლითაც მოძრაობის ერთი რეჟიმი იცვლება მეორეზე, ეწოდება კრიტიკული.არსებობს ორი კრიტიკული სიჩქარე: ზედა კრიტიკული სიჩქარე V VK , რომლის დროსაც მოძრაობის ლამინარული რეჟიმი გადადის ტურბულენტურად, ხოლო ქვედა კრიტიკული სიჩქარე V nk - საპირისპირო გადასვლისას.

მოძრაობის რეჟიმების ექსპერიმენტული კვლევის საფუძველზე ო.რეინოლდსმა მისცა მოძრაობის ამა თუ იმ რეჟიმის დადგენის კრიტერიუმი.

სითხის მოძრაობის რეჟიმის განსაზღვრის კრიტერიუმია ე.წ რეინოლდსის ნომერი,რომელიც აღინიშნება რე და მოცემულია ფორმულით:

სადაც V არის საშუალო სიჩქარენაკადის მოძრაობები;

L არის დინების ღია მონაკვეთის დამახასიათებელი გეომეტრიული ზომა;

არის სიბლანტის კინემატიკური კოეფიციენტი.

რეინოლდსის რიცხვს, რომელიც შეესაბამება ზედა კრიტიკულ სიჩქარეს, ეწოდება ზედა კრიტიკული რეინოლდსის რიცხვი და აღინიშნება Re vk. , რეინოლდსის ამ რიცხვში ლამინარული ნაკადი ხდება ტურბულენტური.

რეინოლდსის რიცხვს, რომელიც შეესაბამება ქვედა კრიტიკულ სიჩქარეს, ეწოდება ქვედა კრიტიკული რეინოლდსის რიცხვი და აღინიშნება რე ნკ ; რეინოლდსის ამ რიცხვში ტურბულენტური რეჟიმი ლამინარული ხდება.

მილსადენებში წნევის მოძრაობისთვის დადგენილია შემდეგი ექსპერიმენტები: რიცხვითი მნიშვნელობებირეინოლდსის კრიტიკული რიცხვი:

რე დ (ნკ) = 2000 2320;

რე დ (VK) = 10000 13000.

ნამდვილ სითხეს აქვს სიბლანტე და როდესაც ის მოძრაობს, წარმოიქმნება მოძრაობის წინააღმდეგობა. მოძრაობის წინააღმდეგობა გამოწვეულია ძალების გამოჩენით შიდა ხახუნის. როდესაც რეალური სითხის ნაკადი მოძრაობს, ნაკადში შემავალი მექანიკური ენერგია შემცირდება მის გასწვრივ, რადგან მისი ნაწილი დაიხარჯება წინააღმდეგობის დაძლევაზე.

ეს ენერგია იხარჯება რაღაც შეუქცევად სამუშაოზე, ე.ი. ხახუნის ძალების მუშაობას და ის გადაიქცევა სითბოდ, რომელიც იშლება.

რაც უფრო გრძელია ნაკადი, მით მეტი ენერგია დაიხარჯება მოძრაობის წინააღმდეგობის დასაძლევად.

ენერგიაზე დახარჯული ხახუნის ძალების მუშაობა, - მექანიკური ენერგიის დაკარგვანაკადები, რომლებიც გადაიქცევა სითბოში. ენერგიის დანაკარგებს, რომლებიც დაკავშირებულია სითხის ერთეულ წონასთან, როდესაც ის მოძრაობს ელემენტარული ნაკადის გასწვრივ, ეწოდება ჰიდრავლიკური დანაკარგები (სპეციფიკური ენერგიის დაკარგვა).

.

განვიხილოთ უძრავი სითხის წვეთი სტაბილური მოძრაობით (ნახ. 3.8).

ბრინჯი. 3.8. ბერნულის განტოლებაზე რეალური სითხის წვეთი

რეალური წვეთების ჯამური სპეციფიკური მექანიკური ენერგია მის ცოცხალ მონაკვეთებში 1-1 და 2-2 იქნება

სპეციფიკური მექანიკური ენერგიის დანაკარგები ხახუნის გამო ცოცხალი განყოფილებების 1-1 და 2-2 არეში

(3.45)

ამრიგად, ბერნულის განტოლება რეალური სითხის ელემენტარული ნაკადისთვის სტაბილური მოძრაობის შემთხვევაში შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც

(3.47)

სითხის მოძრაობის მახასიათებელია პიეზომეტრიული და ჰიდრავლიკური ფერდობების კონცეფცია.

ნახ. 3.8 გვიჩვენებს მრუდებს, რომლებიც ახასიათებს ბერნულის განტოლებას. 1-1 და 2-2 ცოცხალ მონაკვეთებში პიეზომეტრიული სიმაღლის მნიშვნელობის შესაბამისი წერტილების გავლით არის ხაზი. პიეზომეტრიული ხაზი.

პიეზომეტრიული ფერდობიარის სითხის ჰიდროსტატიკური თავის ცვლილება ნაკადის გასწვრივ, სიგრძის ერთეულზე. ნაკადის მონაკვეთში სიგრძით სექციებს შორის 1-1 და 2-2 პიეზომეტრიული ფერდობზე

(3.48)

უსასრულო სიგრძის შესაბამისი პიეზომეტრიული ფერდობი

(ზე

), - დახრილობა წერტილში:

(3.49)

ხაზი, რომელიც გადის ძაფების ცოცხალ მონაკვეთებში სპეციფიკური მექანიკური ენერგიის მნიშვნელობების წერტილებში არის წნევახაზი(სრული წნევის ხაზი). ჰიდრავლიკური ფერდობზეარის მთლიანი სპეციფიკური მექანიკური ენერგიის შემცირება ძაფის გასწვრივ სიგრძის ერთეულზე:

(3.50)

სპეციფიკური ენერგიის ელემენტარული შემცირებით

უსასრულოდ მცირე ფართობზე

ჰიდრავლიკური ფერდობზე

(3.51)

მას შემდეგ, რაც მთლიანი თავის მრუდი მცირდება ნაკადის სიგრძის გასწვრივ, გამოხატვის ნიშანი (3.51) მინუს [

- კლების ფუნქცია].

ჭავლის სიგრძის გასწვრივ ცოცხალი მონაკვეთების მუდმივობის შემთხვევაში, პიეზომეტრიული ხაზი და მთლიანი წნევის ხაზი პარალელურია.

3.9. იდეალური სითხის მოძრაობის დიფერენციალური განტოლებები (ეილერის განტოლება)

მოძრავი იდეალური სითხის სიმკვრივით სავსე სივრცეში აირჩიეთ ელემენტარული პარალელეპიპედი, რომლის კიდეები გვერდებით

, ,

კოორდინატთა ღერძების პარალელურად (ნახ. 3.9). როდესაც იდეალური სითხე მოძრაობს, არ არსებობს შიდა ხახუნის ძალები. პარალელეპიპედში მდებარე ელემენტარული მოცულობა მოძრაობს აბსოლუტური სიჩქარით . ამ სიჩქარის კომპონენტები კოორდინატთა ღერძების გასწვრივ იქნება , , .

მასა და ზედაპირული ძალები იმოქმედებს ელემენტარულ მოცულობაზე. პარალელეპიპედის მოძრაობის დროს ხახუნის ძალები ნულის ტოლია.

სითხის მასა პარალელეპიპედის ელემენტარულ მოცულობაში

(3.52)

ბრინჯი. 3.9. ეილერის მოძრაობის განტოლების წარმოშობამდე

მასობრივი ძალების პროგნოზები მიმართულებით კოორდინატთა ღერძები:

(3.53)

სადაც

, , - ერთეული სხეულის ძალების კომპონენტები ღერძებთან მიმართებაში , , (ამ ძალების აჩქარების პროგნოზები).

ზედაპირული ძალები განისაზღვრება პარალელეპიპედის სახეებზე ზეწოლით.

იყოს ჰიდროსტატიკური წნევა პარალელეპიპედის სიმძიმის ცენტრში (O წერტილი). , ამ წერტილის კოორდინატები , , .მოძრაობის სიჩქარე ამ დროს . ამ სიჩქარის კომპონენტები კოორდინატთა ღერძების გასწვრივ არის , , .

ღერძის პარალელურად ჰორიზონტალური ხაზის შესახებ გავხაზოთ t . A (სახე 1234), B (სახე 5678) უჯრის სახეებთან გადაკვეთის წერტილები. წნევა ამ წერტილებზე ღერძის გასწვრივ

და

.

თხევად უწყვეტ გარემოში წნევა წერტილში გამოიხატება სივრცეში წერტილის მდებარეობის კოორდინატების უწყვეტი უწყვეტი ფუნქციით:

. ჰიდროსტატიკური წნევა იცვლება განუწყვეტლივ წრფივად, და წნევა იზრდება ელემენტარული სიგრძის ერთეულზე

-

-



-

შესაბამისად, A და B წერტილებზე წნევა განსხვავდება

.

A და B წერტილებზე წნევას გამოვხატავთ შემდეგი ფორმით:

(3.54)

სახეების მცირე ფართობის გამო, შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ ზეწოლა

და

არის საშუალო ჰიდროსტატიკური წნევა, რომელიც მოქმედებს 1234 და 5678 სახეებზე. ზედაპირული წნევის ძალები ამ სახეებზე ღერძის გასწვრივ სახის არესზე წნევის ნამრავლის ტოლია:

(3.55)

ანალოგიურად, ზედაპირული წნევის ძალები სახეებზე z ღერძის გასწვრივ (სახეები 1478 და 2365):

(3.56)

თქვენ ასევე შეგიძლიათ განსაზღვროთ ზედაპირული ძალები სახეზე ღერძის გასწვრივ .

განვიხილოთ პარალელეპიპედის წონასწორობა მოძრავ სითხეში გამოყენებით დ'ალმბერის პრინციპი.

დ'ალმბერის პრინციპის მიხედვით მოძრაობის განტოლება შეიძლება მივიჩნიოთ წონასწორობის განტოლებად, თუ შემოვიყვანთ ინერციის ძალებს. ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ პარალელეპიპედი მასით

სიჩქარით მოძრაობს , ამ სიჩქარის კომპონენტები , , .

ინერციის ძალა

(- აჩქარება).

ინერციის ძალის პროგნოზები შესაბამის კოორდინატულ ღერძებზე:

(3.57)

სადაც ,,- აჩქარების პროგნოზები ღერძზე , , .

მოდით შევადგინოთ წონასწორობის განტოლება განსახილველ სითხის პარალელეპიპედზე მოქმედი ძალებისთვის, ღერძების გასწვრივ ინერციის ძალის გათვალისწინებით. და :

(3.58)

ჩანაცვლებით (3.58) ადრე მიღებული დამოკიდებულებებით (3.53), (3.55), (3.56) და (3.57), მივიღებთ შემდეგ განტოლებებს.

ფრჩხილების გახსნა და ზემოთ მიღებული განტოლებების გაყოფა

, დაწერე

(3.59)

ანალოგიურად, შეგიძლიათ მიიღოთ განტოლება y-ღერძისთვის:

(3.60)

განტოლებები (3.59) და (3.60) შეიძლება დაიწეროს განტოლებათა სისტემის სახით:

(3.61)

ზოგადად, რაოდენობები , , კოორდინატების ფუნქციაა , , , ისევე როგორც დრო . აქედან გამომდინარე, სრული სიჩქარის დიფერენციალი ნება

აჩქარება

;

(3.64)

ანალოგიურად, შეგიძლიათ მიიღოთ სიჩქარის დიფერენციალი ,.

განტოლებათა სისტემაში (3.61) შეყვანის შემდეგ სიჩქარის დიფერენციაციები

,

და

ის შეხედავს

(3.65)

სტაბილური მოძრაობის შემთხვევაში

;

;

. (3.66)

განტოლებები (3.65) არის იდეალური (არაბლანტი) სითხის მოძრაობის დიფერენციალური განტოლებები - ეილერის განტოლებები. ეს განტოლებები მიიღო ეილერმა 1775 წელს.

ეილერის განტოლებები გამოხატავს ურთიერთობას მოქმედი ძალების, სიჩქარის, წნევისა და სითხის სიმკვრივის პროგნოზებს შორის. ეილერის განტოლებები ძალიან მნიშვნელოვანია სითხის მოძრაობის შესწავლისას.

მოსვენებულ მდგომარეობაში სითხისთვის გვაქვს

ეილერის დიფერენციალური განტოლებები იღებს შემდეგ ფორმას:

(3.67)

დიფერენციალური განტოლებების სისტემა არის სითხის წონასწორობის განტოლებები.

წონასწორობის განტოლებიდან შეიძლება მივიღოთ ჰიდროსტატიკის ძირითადი განტოლება (2.2) (იხ. დანართი).

ეილერის მოძრაობის განტოლების ინტეგრაცია. ბერნულის ინტეგრალი

განვიხილოთ იდეალური სითხის სტაბილური მოძრაობა. ჩვენ წარმოვადგენთ ეილერის განტოლებებს სახით (3.61). გაამრავლეთ განტოლებიდან პირველი

, მეორე - ჩართული და მესამეზე

, ვიღებთ

(3.68)

ვამატებთ ტერმინით სისტემის სამივე განტოლებას:

(3.69)

სტაბილური მოძრაობისთვის, წნევა წერტილი არის მისი კოორდინატების ფუნქცია და არ არის დამოკიდებული დროზე. ამრიგად, წნევის დიფერენციალი გამოიხატება ნაწილობრივ წარმოებულებში:

.

როგორც

;

და

, შემდეგ განტოლების ბოლო წევრი (3.69)

გარდა ამისა

;

;

.

შესაბამისად, (3.69) განტოლების მარჯვენა მხარე იღებს ფორმას

. (3.71)

სრული (აბსოლუტური) სიჩქარე და გამოიხატება მეშვეობით , , :

.

. (3.72)

განტოლება (3.69) ტრანსფორმაციის შემდეგ შეიძლება გადაიწეროს შემდეგი სახით:

. (3.73)

ამ განტოლების პირველი სამი გამოხატულება არის ძალის (პოტენციური) ფუნქციის სრული დიფერენციალი :

ამრიგად, განტოლება (3.74) იღებს ფორმას

. (3.75)

განტოლების (3.75) ინტეგრირებით ვიღებთ

. (3.76)

ამ გამოთქმას ბერნულის-ეილერის ინტეგრალი ეწოდება.

შედეგად მიღებული ტრინომია - განტოლება უცვლელი რჩება სტრიმინგის გასწვრივ.

იმ შემთხვევაში, როდესაც მოძრაობა ხდება მხოლოდ ერთი მასის ძალის - მიზიდულობის ძალის მოქმედების ქვეშ, მაშინ ერთეული მასის ძალები

,

,

(ღერძი მიმართულია ვერტიკალურად ზემოთ). ძალის ფუნქციის დიფერენციალი

. (3.77)

განტოლება (3.75) შეიძლება დაიწეროს შემდეგი ფორმით:

. (3.78)

განტოლების ყველა პირობას ვყოფთ თავისუფალი ვარდნის აჩქარებაზე , შემდეგ მივიღებთ

. (3 79)

ამ განტოლების სამივე წევრის ჯამის ნამატი ნაკადის გასწვრივ მოძრაობისას ნულის ტოლია.

დიფერენციალური განტოლების (3.79) ინტეგრირებით ვიღებთ

. (3.80)

სითხის ნაკადის გასწვრივ ყველა ტერმინის ჯამი არის მუდმივი მნიშვნელობა და, შესაბამისად, ის ასევე მუდმივია იდეალური ელემენტარული ნაკადის გასწვრივ.

განტოლება (3.80), მიღებული ეილერის მოძრაობის განტოლების გამოყენებით, სტაბილური მოძრაობისთვის არის ბერნულის განტოლება. იდენტური განტოლება ადრე სხვაგვარად იქნა მიღებული კინეტიკური ენერგიის თეორემის გამოყენებით (3.43).

განტოლება (3.80), დაწერილი ნაკადულის ორ ცოცხალ მონაკვეთზე, იძენს ადრე ცნობილ ფორმას

.