სკოლაში შესწავლილი რევოლუციის სხეულები არის ცილინდრი, კონუსი და ბურთი.

თუ მათემატიკაში USE დავალებისას თქვენ უნდა გამოთვალოთ კონუსის მოცულობა ან სფეროს ფართობი, ჩათვალეთ, რომ იღბლიანი ხართ.

გამოიყენეთ ფორმულები ცილინდრის, კონუსის და სფეროს მოცულობისა და ზედაპირის ფართობისთვის. ყველა მათგანი ჩვენს მაგიდაზეა. ისწავლეთ ზეპირად. სწორედ აქ იწყება სტერეომეტრიის ცოდნა.

ზოგჯერ კარგია ზედა ხედის დახატვა. ან, როგორც ამ პრობლემაში, ქვემოდან.

2. რამდენჯერ არის სწორთან შემოხაზული კონუსის მოცულობა ოთხკუთხა პირამიდა, აღემატება ამ პირამიდაში ჩაწერილი კონუსის მოცულობას?

ყველაფერი მარტივია - ჩვენ ვხატავთ ხედს ქვემოდან. ჩვენ ვხედავთ, რომ უფრო დიდი წრის რადიუსი რამდენჯერმე აღემატება პატარას რადიუსს. ორივე კონუსის სიმაღლე ერთნაირია. ამიტომ მოცულობა უფრო დიდი კონუსიორჯერ მეტი იქნება.

სხვა მნიშვნელოვანი წერტილი. გახსოვდეთ, რომ B ნაწილის ამოცანები გამოყენების პარამეტრებიმათემატიკაში პასუხი იწერება როგორც მთელი ან სასრული ათობითი წილადი. ამიტომ, თქვენ არ უნდა გქონდეთ რაიმე ან თქვენს პასუხში B ნაწილში. ნომრის სავარაუდო მნიშვნელობის ჩანაცვლება ასევე არ არის საჭირო! ის უნდა შემცირდეს! ამისთვის არის, რომ ზოგიერთ დავალებაში ფორმულირებულია დავალება, მაგალითად, შემდეგნაირად: "იპოვნეთ ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის ფართობი გაყოფილი".

და კიდევ სად გამოიყენება ფორმულები რევოლუციის ორგანოების მოცულობისა და ზედაპირის ფართობისთვის? რა თქმა უნდა, პრობლემა C2 (16). ჩვენც მოგიყვებით ამის შესახებ.

ჩვენ ვიცით რა არის კონუსი, მოდით ვცადოთ მისი ზედაპირის ფართობის პოვნა. რატომ არის საჭირო ასეთი პრობლემის გადაჭრა? მაგალითად, თქვენ უნდა გესმოდეთ რამდენი ტესტი წავავაფლის კონუსის გაკეთება? ან რამდენი აგური დასჭირდებოდა ციხესიმაგრის აგურის სახურავის დასადგმელად?

კონუსის გვერდითი ზედაპირის გაზომვა ადვილი არ არის. მაგრამ წარმოიდგინეთ იგივე რქა ქსოვილში გახვეული. ქსოვილის ნაჭრის ფართობის მოსაძებნად, თქვენ უნდა გაჭრათ და გაშალოთ იგი მაგიდაზე. თურმე ბრტყელი ფიგურა, ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ მისი ფართობი.

ბრინჯი. 1. კონუსის მონაკვეთი გენერატრიქსის გასწვრივ

იგივე გავაკეთოთ კონუსით. მოდით „დავჭრათ“ მისი გვერდითი ზედაპირი ნებისმიერი გენერატორის გასწვრივ, მაგალითად, (იხ. სურ. 1).

ახლა ჩვენ "განახვევთ" გვერდით ზედაპირს თვითმფრინავზე. ჩვენ ვიღებთ სექტორს. ამ სექტორის ცენტრი არის კონუსის ზედა ნაწილი, სექტორის რადიუსი უდრის კონუსის გენერატრიქსს და მისი რკალის სიგრძე ემთხვევა კონუსის ფუძის გარშემოწერილობას. ასეთ სექტორს უწოდებენ კონუსის გვერდითი ზედაპირის განვითარებას (იხ. სურ. 2).

ბრინჯი. 2. გვერდითი ზედაპირის განვითარება

ბრინჯი. 3. კუთხის გაზომვა რადიანებში

შევეცადოთ მოვძებნოთ სექტორის ფართობი არსებული მონაცემების მიხედვით. ჯერ შემოვიღოთ აღნიშვნა: სექტორის ზედა კუთხე იყოს რადიანებში (იხ. სურ. 3).

ჩვენ ხშირად შევხვდებით კუთხეს დავალებების ზედა ნაწილში. ამასობაში შევეცადოთ ვუპასუხოთ კითხვას: არ შეიძლება ეს კუთხე 360 გრადუსზე მეტი აღმოჩნდეს? ანუ, არ გამოვა, რომ სვიპი თავის თავზე დაიფარება? Რათქმაუნდა არა. დავამტკიცოთ ეს მათემატიკურად. მიეცით საშუალება „გადაფაროს“ თავისთავად. ეს ნიშნავს, რომ სველი რკალის სიგრძე უფრო დიდია, ვიდრე რადიუსის გარშემოწერილობა. მაგრამ, როგორც უკვე აღვნიშნეთ, სველი რკალის სიგრძე არის რადიუსის გარშემოწერილობა. და კონუსის ფუძის რადიუსი, რა თქმა უნდა, ნაკლებია გენერატრიქსზე, მაგალითად, რადგან მართკუთხა სამკუთხედის ფეხი ჰიპოტენუზაზე ნაკლებია.

შემდეგ გავიხსენოთ ორი ფორმულა პლანიმეტრიის კურსიდან: რკალის სიგრძე. სექტორის არეალი: .

ჩვენს შემთხვევაში, როლს ასრულებს გენერატორი , ხოლო რკალის სიგრძე უდრის კონუსის ფუძის გარშემოწერილობას, ანუ. Ჩვენ გვაქვს:

საბოლოოდ მივიღებთ:

გვერდითი ზედაპირის ფართობთან ერთად, შესაძლებელია ფართობის პოვნაც სრული ზედაპირი. ამისათვის დაამატეთ ბაზის ფართობი გვერდითი ზედაპირის ფართობზე. მაგრამ ფუძე არის რადიუსის წრე, რომლის ფართობი, ფორმულის მიხედვით, არის .

საბოლოოდ გვაქვს: , სადაც არის ცილინდრის ფუძის რადიუსი, არის გენერატრიქსი.

მოდით გადავჭრათ რამდენიმე პრობლემა მოცემულ ფორმულებზე.

ბრინჯი. 4. სასურველი კუთხე

მაგალითი 1. კონუსის გვერდითი ზედაპირის განვითარება არის სექტორი, რომელსაც აქვს კუთხე მწვერვალზე. იპოვეთ ეს კუთხე, თუ კონუსის სიმაღლეა 4 სმ, ხოლო ფუძის რადიუსი 3 სმ (იხ. სურ. 4).

ბრინჯი. ხუთი. მართკუთხა სამკუთხედიკონუსის ფორმირება

პირველი მოქმედებით, პითაგორას თეორემის მიხედვით, ვპოულობთ გენერატრიქსს: 5 სმ (იხ. სურ. 5). გარდა ამისა, ჩვენ ვიცით ეს .

მაგალითი 2. მოედანი ღერძული განყოფილებაკონუსი არის , სიმაღლე არის . იპოვეთ მთლიანი ზედაპირის ფართობი (იხ. სურ. 6).

აქ არის პრობლემები გირჩებთან, მდგომარეობა დაკავშირებულია მის ზედაპირის ფართობთან. კერძოდ, ზოგიერთ პრობლემაში ჩნდება კითხვა არეალის შეცვლასთან დაკავშირებით კონუსის სიმაღლის ან მისი ფუძის რადიუსის ზრდით (შემცირებით). თეორია პრობლემის გადაჭრისთვის. განიხილეთ შემდეგი ამოცანები:

27135. კონუსის ფუძის გარშემოწერილობა არის 3, გენერატრიქსი არის 2. იპოვეთ კონუსის გვერდითი ზედაპირის ფართობი.

კონუსის გვერდითი ზედაპირის ფართობია:

მონაცემების შეერთება:

75697. რამდენჯერ გაიზრდება კონუსის გვერდითი ზედაპირის ფართობი, თუ მისი გენერატრიქსი 36-ჯერ გაიზარდა და ფუძის რადიუსი იგივე დარჩება?

კონუსის გვერდითი ზედაპირის ფართობი:

გენერატრიქსი 36-ჯერ გაიზარდა. რადიუსი იგივე რჩება, რაც ნიშნავს, რომ ფუძის გარშემოწერილობა არ შეცვლილა.

ასე რომ, შეცვლილი კონუსის გვერდითი ზედაპირის ფართობი ასე გამოიყურება:

ამრიგად, ის 36-ჯერ გაიზრდება.

*დამოკიდებულება მარტივია, ამიტომ ეს პრობლემა ადვილად მოგვარდება ზეპირად.

27137. რამდენჯერ შემცირდება კონუსის გვერდითი ზედაპირის ფართობი, თუ მისი ფუძის რადიუსი 1,5-ჯერ შემცირდება?

კონუსის გვერდითი ზედაპირის ფართობია:

რადიუსი მცირდება 1,5-ჯერ, ანუ:

აღმოჩნდა, რომ გვერდითი ზედაპირის ფართობი შემცირდა 1,5-ჯერ.

27159. კონუსის სიმაღლეა 6, გენერატრიქსი 10. იპოვეთ მისი მთლიანი ზედაპირის ფართობი გაყოფილი პი-ზე.

კონუსის სრული ზედაპირი:

იპოვეთ რადიუსი:

სიმაღლე და გენერაცია ცნობილია, პითაგორას თეორემით ვიანგარიშებთ რადიუსს:

ამრიგად:

შედეგი გაყავით პიზე და ჩაწერეთ პასუხი.

76299. კონუსის მთლიანი ზედაპირის ფართობია 108. მონაკვეთი გაყვანილია კონუსის ფუძის პარალელურად, რომელიც ყოფს სიმაღლეს შუაზე. იპოვეთ დამსხვრეული კონუსის მთლიანი ზედაპირის ფართობი.

მონაკვეთი გადის შუა სიმაღლის ძირის პარალელურად. ასე რომ, ფუძის რადიუსი და შეკვეცილი კონუსის გენერატრიქსი იქნება 2-ჯერ რადიუსზე ნაკლებიდა ორიგინალური კონუსის გენერაცია. მოდით დავწეროთ რის ტოლია ამოჭრილი კონუსის ზედაპირის ფართობი:

წაიყვანა იგი 4-ჯერ ნაკლები ფართობიორიგინალის ზედაპირი, ანუ 108:4 = 27.

* ვინაიდან ორიგინალი და ამოჭრილი კონუსი მსგავსი სხეულებია, ასევე შესაძლებელი იყო მსგავსების თვისების გამოყენება:

27167. კონუსის ფუძის რადიუსი არის 3, სიმაღლე 4. იპოვეთ კონუსის მთლიანი ზედაპირის ფართობი გაყოფილი pi-ზე.

კონუსის მთლიანი ზედაპირის ფორმულა არის:

რადიუსი ცნობილია, აუცილებელია გენერატრიქსის პოვნა.

პითაგორას თეორემის მიხედვით:

ამრიგად:

შედეგი გაყავით პიზე და ჩაწერეთ პასუხი.

დავალება. კონუსის გვერდითი ზედაპირის ფართობი ოთხჯერ გაიზარდა მეტი ფართობისაფუძველი. იპოვე რა უდრის კოსინუსსკუთხე კონუსის გენერატრიქსსა და ფუძის სიბრტყეს შორის.

კონუსის ფუძის ფართობია:

ანუ, კოსინუსი ტოლი იქნება:

პასუხი: 0.25

თავად გადაწყვიტეთ:

27136. რამდენჯერ გაიზრდება კონუსის გვერდითი ზედაპირის ფართობი, თუ მისი გენერატრიქსი 3-ჯერ გაიზარდა?

27160. კონუსის გვერდითი ზედაპირის ფართობი ორჯერ აღემატება ფუძის ფართობს. იპოვეთ კუთხე კონუსის გენერაციასა და ფუძის სიბრტყეს შორის. მიეცით თქვენი პასუხი გრადუსით. .

27161. კონუსის მთლიანი ზედაპირის ფართობია 12. მონაკვეთი გაყვანილია კონუსის ფუძის პარალელურად, რომელიც სიმაღლეს ყოფს შუაზე. იპოვეთ დამსხვრეული კონუსის მთლიანი ზედაპირის ფართობი.

Სულ ეს არის. Წარმატებას გისურვებ!

პატივისცემით, ალექსანდრე.

*გაუზიარეთ ინფორმაცია საიტის შესახებ მეგობრებს სოციალური ქსელების საშუალებით.

კონუსის ზედაპირის ფართობი (ან უბრალოდ კონუსის ზედაპირი) უდრის ფუძისა და გვერდითი ზედაპირის ფართობების ჯამს.

კონუსის გვერდითი ზედაპირის ფართობი გამოითვლება ფორმულით: S = πR ლ, სადაც R არის კონუსის ფუძის რადიუსი და ლ- კონუსის გენერაცია.

ვინაიდან კონუსის ფუძის ფართობი არის πR 2 (როგორც წრის ფართობი), მაშინ კონუსის სრული ზედაპირის ფართობი ტოლი იქნება : πR 2 + πR ლ= πR (R + ლ).

ასეთი მსჯელობით აიხსნება კონუსის გვერდითი ზედაპირის ფართობის ფორმულის მიღება. მოდით ნახატზე ნაჩვენები იყოს კონუსის გვერდითი ზედაპირის განვითარება. დაყავით რკალი AB შესაძლოდ მეტი თანაბარი ნაწილებიდა ყველა გამყოფი წერტილი დააკავშირეთ რკალის ცენტრთან, ხოლო მეზობელი ერთმანეთს აკორდებით.

ჩვენ ვიღებთ სერიას თანაბარი სამკუთხედები. თითოეული სამკუთხედის ფართობი არის აჰ / 2, სადაც ა- სამკუთხედის ფუძის სიგრძე, ა თ- მისი მაღალი.

ყველა სამკუთხედის ფართობების ჯამია: აჰ / 2 ნ = ანჰ / 2, სადაც ნარის სამკუთხედების რაოდენობა.

ზე დიდი რაოდენობითდაყოფა, სამკუთხედების ფართობების ჯამი ძალიან ახლოს ხდება განვითარების არეალთან, ანუ კონუსის გვერდითი ზედაპირის ფართობთან. სამკუთხედების ფუძეების ჯამი, ე.ი. ან, ძალიან ახლოს ხდება AB რკალის სიგრძესთან, ანუ კონუსის ფუძის გარშემოწერილობასთან. თითოეული სამკუთხედის სიმაღლე ძალიან უახლოვდება რკალის რადიუსს, ანუ კონუსის გენერატრიქსს.

ამ რაოდენობების ზომებში მცირე განსხვავებების უგულებელყოფით, ვიღებთ ფორმულას კონუსის გვერდითი ზედაპირის ფართობისთვის (S):

S=C ლ / 2, სადაც C არის კონუსის ფუძის გარშემოწერილობა, ლ- კონუსის გენერაცია.

იმის ცოდნა, რომ C \u003d 2πR, სადაც R არის კონუსის ფუძის წრის რადიუსი, ვიღებთ: S \u003d πR ლ.

Შენიშვნა.ფორმულაში S = C ლ / 2, ზუსტი და არა მიახლოებითი თანასწორობის ნიშანია მოცემული, თუმცა ზემოაღნიშნული მსჯელობის საფუძველზე შეიძლება ეს ტოლობა მიახლოებით მივიჩნიოთ. მაგრამ საშუალო სკოლაში უმაღლესი სკოლადადასტურებულია, რომ თანასწორობა

S=C ლ / 2 ზუსტია, არა მიახლოებითი.

თეორემა. კონუსის გვერდითი ზედაპირი უდრის ფუძის გარშემოწერილობის ნამრავლს და გენერატრიქსის ნახევარს.

კონუსში (ნახ.) ჩავწეროთ რამდენიმე სწორი პირამიდადა აღნიშნეთ ასოებით რდა ლრიცხვები, რომლებიც გამოხატავს ფუძის პერიმეტრის სიგრძეს და ამ პირამიდის აპოთემას.

მერე გვერდითი ზედაპირიეს გამოიხატება პროდუქტით 1/2 რ ლ .

ახლა დავუშვათ, რომ ფუძეში ჩაწერილი მრავალკუთხედის გვერდების რაოდენობა განუსაზღვრელი ვადით იზრდება. შემდეგ პერიმეტრი რმიდრეკილია ფუძის გარშემოწერილობის C სიგრძისა და აპოთემის ზღვრამდე ლლიმიტად ექნება კონუსის გენერატორი (რადგან ΔSAK გულისხმობს, რომ SA - SK
1 / 2 რ ლ, მიისწრაფვის 1/2 C ზღვრამდე L. ეს ზღვარი აღებულია, როგორც კონუსის გვერდითი ზედაპირის მნიშვნელობა. კონუსის გვერდითი ზედაპირის აღნიშვნისას ასო S-ით შეგვიძლია დავწეროთ:

S = 1/2 C L = C 1/2 ლ

შედეგები.
1) მას შემდეგ, რაც C \u003d 2 π R, მაშინ კონუსის გვერდითი ზედაპირი გამოიხატება ფორმულით:

S=1/2 2π რ L= π RL

2) კონუსის სრულ ზედაპირს ვიღებთ, თუ გვერდითი ზედაპირს დავამატებთ ფუძის არეს; მაშასადამე, სრულ ზედაპირს T-ით აღვნიშნავთ, გვექნება:

T= π RL+ π R2= π R(L+R)

თეორემა. გვერდითი ზედაპირი შეკვეცილი კონუსიუდრის ფუძეების და გენერატრიქსის წრეწირების ჯამის ნახევრის ნამრავლს.

მოკვეთილ კონუსში (ნახ.) ჩავწეროთ რამდენიმე რეგულარული შეკვეცილი პირამიდადა აღნიშნეთ ასოებით რ, რ 1 და ლრიცხვები, რომლებიც გამოხატავენ იმავე წრფივ ერთეულებში ქვედა და ზედა ფუძის პერიმეტრების სიგრძეს და ამ პირამიდის აპოთემას.

მაშინ ჩაწერილი პირამიდის გვერდითი ზედაპირი არის 1/2 ( p + გვ 1) ლ

ჩაწერილი პირამიდის გვერდითი სახეების რაოდენობის შეუზღუდავი ზრდით, პერიმეტრები რდა რ 1 მიდრეკილია ფუძეების წრეების სიგრძეების C და C 1 და აპოთემის საზღვრებისკენ ლზღვრად აქვს შეკვეცილი კონუსის გენერატრიქსი L. შესაბამისად, ჩაწერილი პირამიდის გვერდითი ზედაპირის სიდიდე მიდრეკილია (С + С 1) L-ის ტოლი ზღვრისკენ. ეს ზღვარი მიიღება შეკვეცილი კონუსის გვერდითი ზედაპირის მნიშვნელობად. ამოჭრილი კონუსის გვერდითი ზედაპირის აღნიშვნა ასო S-ით გვექნება:

S \u003d 1 / 2 (C + C 1) L

შედეგები.
1) თუ R და R 1 ნიშნავს ქვედა და ზედა ფუძის წრეების რადიუსებს, მაშინ შეკვეცილი კონუსის გვერდითი ზედაპირი იქნება:

S = 1/2 (2 π R+2 π R 1) L = π (R+R1)L.

2) თუ ტრაპეციაში OO 1 A 1 A (ნახ.), რომლის ბრუნვისგან მიიღება შეკვეცილი კონუსი, ვხატავთ. შუა ხაზიძვ.წ., ჩვენ ვიღებთ:

BC \u003d 1 / 2 (OA + O 1 A 1) \u003d 1 / 2 (R + R 1),

R + R 1 = 2BC.

აქედან გამომდინარე,

S=2 π BC L,

ე.ი. შეკვეცილი კონუსის გვერდითი ზედაპირი უდრის საშუალო მონაკვეთისა და გენერატრიქსის გარშემოწერილობის ნამრავლს.

3) დამსხვრეული კონუსის მთლიანი ზედაპირი T გამოიხატება შემდეგნაირად:

T= π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 ლ)