វិសមភាពគឺជាលេខពីរឬ កន្សោមគណិតវិទ្យាភ្ជាប់ដោយសញ្ញាមួយ៖ > (ច្រើនទៀត ក្នុងករណី វិសមភាពដ៏តឹងរឹង), < (меньше, в случае строгих неравенств), ≥ (больше или равно, в случае нестрогих неравенств), ≤ (меньше или равно, в случае нестрогих неравенств).

វិសមភាពគឺ លីនេអ៊ែរនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌដូចគ្នានឹងសមីការ៖ វាមានអថេរត្រឹមដឺក្រេទីមួយ ហើយមិនមានផលិតផលនៃអថេរទេ។

ការសម្រេចចិត្ត វិសមភាពលីនេអ៊ែរនិងប្រព័ន្ធនៃវិសមភាពលីនេអ៊ែរត្រូវបានភ្ជាប់ដោយ inextricably ជាមួយពួកគេ។ អារម្មណ៍ធរណីមាត្រ៖ ដំណោះស្រាយនៃវិសមភាពលីនេអ៊ែរ គឺជាប្លង់ពាក់កណ្តាលជាក់លាក់ ដែលយន្តហោះទាំងមូលត្រូវបានបែងចែកដោយបន្ទាត់ត្រង់ សមីការដែលត្រូវបានផ្តល់ដោយវិសមភាពលីនេអ៊ែរ។ យន្តហោះពាក់កណ្តាលនេះ និងក្នុងករណីប្រព័ន្ធនៃវិសមភាពលីនេអ៊ែរ ផ្នែកមួយនៃយន្តហោះដែលចងភ្ជាប់ដោយបន្ទាត់ត្រង់ជាច្រើន ត្រូវតែរកឃើញនៅក្នុងគំនូរ។

ទៅដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនៃវិសមភាពលីនេអ៊ែរជាមួយ មួយចំនួនធំអថេរជាច្រើនត្រូវបានកាត់បន្ថយ ភារកិច្ចសេដ្ឋកិច្ចជាពិសេស បញ្ហាការសរសេរកម្មវិធីលីនេអ៊ែរ ដែលវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកអតិបរមា ឬអប្បបរមានៃមុខងារមួយ។

ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃវិសមភាពលីនេអ៊ែរជាមួយនឹងចំនួនមិនស្គាល់

ចូរយើងវិភាគវិសមភាពលីនេអ៊ែរក្នុងយន្តហោះជាមុនសិន។ ពិចារណាវិសមភាពមួយជាមួយនឹងអថេរពីរ និង៖

,

តើមេគុណនៃអថេរ (លេខមួយចំនួន) គឺជាពាក្យសេរី (ក៏លេខមួយចំនួន)។

វិសមភាពមួយជាមួយនឹងចំនួនមិនស្គាល់ពីរ ដូចជាសមីការមួយ មានដំណោះស្រាយមិនកំណត់។ ដំណោះស្រាយ​ចំពោះ​វិសមភាព​នេះ​គឺជា​លេខ​មួយ​ដែល​បំពេញ​នូវ​វិសមភាព​នេះ។ តាមធរណីមាត្រ សំណុំនៃដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាពត្រូវបានបង្ហាញថាជាយន្តហោះពាក់កណ្តាលដែលចងភ្ជាប់ដោយបន្ទាត់ត្រង់។

,

ដែលយើងនឹងហៅបន្ទាត់ព្រំដែន។

ជំហាន 1. សាងសង់បន្ទាត់ត្រង់មួយដែលចងសំណុំនៃដំណោះស្រាយនៃវិសមភាពលីនេអ៊ែរ

ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ អ្នកត្រូវដឹងពីចំណុចពីរនៃបន្ទាត់នេះ។ ចូរយើងស្វែងរកចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ។ តម្រៀបប្រសព្វ កគឺសូន្យ (រូបភាពទី 1) ។ តម្លៃលេខនៅលើអ័ក្សក្នុងតួរលេខនេះសំដៅលើឧទាហរណ៍ទី 1 ដែលយើងនឹងវិភាគភ្លាមៗបន្ទាប់ពីការ digression ទ្រឹស្តីនេះ។

យើងរកឃើញ abscissa ដោយការដោះស្រាយជាប្រព័ន្ធ សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ជាមួយសមីការនៃអ័ក្ស។

ចូរយើងស្វែងរកចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស៖

ការជំនួសតម្លៃទៅក្នុងសមីការទីមួយ យើងទទួលបាន

កន្លែងណា។

ដូច្នេះហើយ យើងបានរកឃើញ abscissa នៃចំណុច ក .

ចូរយើងស្វែងរកកូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស។

ចំណុច Abscissa ខស្មើសូន្យ។ ចូរដោះស្រាយសមីការនៃបន្ទាត់ព្រំដែនជាមួយនឹងសមីការនៃអ័ក្សកូអរដោនេ៖

,

ដូច្នេះកូអរដោនេនៃចំណុច ខ: .

ជំហានទី 2. គូរបន្ទាត់ដែលចងសំណុំនៃដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាព។ការដឹងពីចំណុច កនិង ខចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ព្រំដែនជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ យើងអាចគូសបន្ទាត់នេះបាន។ បន្ទាត់ត្រង់ (រូបភាពទី 1 ម្តងទៀត) បែងចែកយន្តហោះទាំងមូលជាពីរផ្នែកដែលស្ថិតនៅខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេង (ខាងលើ និងខាងក្រោម) នៃបន្ទាត់ត្រង់នេះ។

ជំហានទី 3. កំណត់ថាតើយន្តហោះពាក់កណ្តាលមួយណាជាដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាពនេះ។ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ យើងត្រូវជំនួសប្រភពដើមនៃកូអរដោណេ (0; 0) ទៅក្នុងវិសមភាពនេះ។ ប្រសិនបើកូអរដោនេនៃប្រភពដើមបំពេញនូវវិសមភាពនោះ ដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាពគឺជាយន្តហោះពាក់កណ្តាលដែលប្រភពដើមស្ថិតនៅ។ ប្រសិនបើកូអរដោណេមិនបំពេញវិសមភាពនោះ ដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាពគឺជាយន្តហោះពាក់កណ្តាលដែលមិនមានប្រភពដើម។ ពាក់កណ្តាលយន្តហោះនៃដំណោះស្រាយនៃវិសមភាពនឹងត្រូវបានបង្ហាញដោយការដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលពីបន្ទាត់ត្រង់នៅខាងក្នុងយន្តហោះពាក់កណ្តាលដូចនៅក្នុងរូបភាពទី 1 ។

ប្រសិនបើយើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃវិសមភាពលីនេអ៊ែរបន្ទាប់មកជំហាននីមួយៗត្រូវបានអនុវត្តសម្រាប់វិសមភាពនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធ។

ឧទាហរណ៍ ១ដោះស្រាយវិសមភាព

ការសម្រេចចិត្ត។ តោះគូរបន្ទាត់ត្រង់

ការជំនួសបន្ទាត់ត្រង់ទៅក្នុងសមីការ យើងទទួលបាន ហើយការជំនួស យើងទទួលបាន។ ដូច្នេះកូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្សនឹងមាន ក(3; 0) , ខ(0; 2) ។ គូរបន្ទាត់ត្រង់តាមចំនុចទាំងនេះ (ម្តងទៀត រូបភាពទី 1) ។

យើងជ្រើសរើសដំណោះស្រាយពាក់កណ្តាលយន្តហោះចំពោះវិសមភាព។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងជំនួសកូអរដោនេនៃការចាប់ផ្តើម (0; 0) ទៅជាវិសមភាព:

យើងទទួលបាន ពោលគឺ កូអរដោនេនៃប្រភពដើមបំពេញនូវវិសមភាពនេះ។ ដូច្នេះហើយ ដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាពគឺជាយន្តហោះពាក់កណ្តាលដែលមានប្រភពដើម ពោលគឺ យន្តហោះពាក់កណ្តាលខាងឆ្វេង (ឬទាបជាង)។

ប្រសិនបើវិសមភាពនេះមានភាពតឹងរ៉ឹង នោះមានន័យថា វានឹងមានទម្រង់

បន្ទាប់មកចំនុចនៃបន្ទាត់ព្រំដែននឹងមិនមែនជាដំណោះស្រាយទេ ព្រោះពួកគេមិនបំពេញនូវវិសមភាព។

ឥឡូវពិចារណាប្រព័ន្ធនៃវិសមភាពលីនេអ៊ែរជាមួយនឹងមិនស្គាល់ពីរ៖

វិសមភាពនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធនេះនៅលើយន្តហោះកំណត់ពាក់កណ្តាលយន្តហោះ។ ប្រព័ន្ធនៃវិសមភាពលីនេអ៊ែរត្រូវបានគេហៅថាស្របប្រសិនបើវាមានដំណោះស្រាយយ៉ាងហោចណាស់មួយ ហើយមិនជាប់លាប់ប្រសិនបើវាមិនមានដំណោះស្រាយ។ ដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនៃវិសមភាពលីនេអ៊ែរ គឺជាគូនៃលេខ () ដែលបំពេញនូវវិសមភាពទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធនេះ។

តាមធរណីមាត្រ ដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធវិសមភាពលីនេអ៊ែរ គឺជាសំណុំនៃចំណុចដែលបំពេញនូវវិសមភាពទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធ នោះគឺជាផ្នែកទូទៅនៃលទ្ធផលពាក់កណ្តាលយន្តហោះ។ ដូច្នេះធរណីមាត្រ ករណីទូទៅដំណោះស្រាយអាចត្រូវបានបង្ហាញជាពហុកោណជាក់លាក់ ក្នុងករណីជាក់លាក់មួយ វាអាចជាបន្ទាត់ ចម្រៀក និងសូម្បីតែចំណុចមួយ។ ប្រសិនបើប្រព័ន្ធនៃវិសមភាពលីនេអ៊ែរមានភាពមិនស៊ីសង្វាក់គ្នានោះ វាមិនមានចំណុចតែមួយនៅលើយន្តហោះដែលបំពេញនូវវិសមភាពទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធនោះទេ។

ឧទាហរណ៍ ២

ការសម្រេចចិត្ត។ ដូច្នេះ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកពហុកោណនៃដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធវិសមភាពនេះ។ ចូរយើងសាងសង់បន្ទាត់ព្រំដែនសម្រាប់វិសមភាពទីមួយ នោះគឺបន្ទាត់មួយ និងបន្ទាត់ព្រំដែនសម្រាប់វិសមភាពទីពីរ នោះគឺបន្ទាត់។

យើងធ្វើជំហាននេះម្តងមួយជំហាន ដូចដែលបានបង្ហាញនៅក្នុងសេចក្តីយោងទ្រឹស្តី និងឧទាហរណ៍ទី 1 ជាពិសេសចាប់តាំងពីឧទាហរណ៍ទី 1 ខ្សែព្រំដែនត្រូវបានបង្កើតឡើងសម្រាប់វិសមភាព ដែលជាប្រព័ន្ធទីមួយនៅក្នុងប្រព័ន្ធនេះ។

ដំណោះស្រាយពាក់កណ្តាលយន្តហោះដែលត្រូវគ្នានឹងវិសមភាពនៃប្រព័ន្ធនេះត្រូវបានដាក់ស្រមោលនៅខាងក្នុងក្នុងរូបភាពទី 2 ។ ផ្នែករួមមួយ។ដំណោះស្រាយពាក់កណ្តាលយន្តហោះគឺជាមុំបើកចំហ ABC. នេះមានន័យថាសំណុំនៃចំណុចនៅក្នុងយន្តហោះដែលបង្កើតជាមុំបើកចំហ ABCគឺជាដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាពទីមួយ និងទីពីរនៃប្រព័ន្ធ នោះគឺជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនៃវិសមភាពលីនេអ៊ែរពីរ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត កូអរដោនេនៃចំណុចណាមួយពីសំណុំនេះបំពេញនូវវិសមភាពទាំងពីរនៃប្រព័ន្ធ។

ឧទាហរណ៍ ៣ដោះស្រាយប្រព័ន្ធវិសមភាពលីនេអ៊ែរ

ការសម្រេចចិត្ត។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងសាងសង់បន្ទាត់ព្រំដែនដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងវិសមភាពនៃប្រព័ន្ធ។ យើងធ្វើដូចនេះដោយធ្វើតាមជំហានដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងផ្ទៃខាងក្រោយទ្រឹស្តីសម្រាប់វិសមភាពនីមួយៗ។ ឥឡូវនេះយើងកំណត់ផែនការពាក់កណ្តាលនៃដំណោះស្រាយសម្រាប់វិសមភាពនីមួយៗ (រូបភាពទី 3) ។

ដំណោះស្រាយពាក់កណ្តាលយន្តហោះដែលត្រូវគ្នានឹងវិសមភាពនៃប្រព័ន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានដាក់ស្រមោលខាងក្នុង។ ចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះពាក់កណ្តាលនៃដំណោះស្រាយត្រូវបានបង្ហាញ ដូចបង្ហាញក្នុងរូប ក្នុងទម្រង់ជាបួនជ្រុង ABCE. យើងបានរកឃើញថាពហុកោណដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនៃវិសមភាពលីនេអ៊ែរដែលមានអថេរពីរគឺជាបួនជ្រុង ABCE .

អ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលបានពិពណ៌នាខាងលើអំពីប្រព័ន្ធនៃវិសមភាពលីនេអ៊ែរជាមួយនឹងចំនួនមិនស្គាល់ពីរក៏អនុវត្តចំពោះប្រព័ន្ធវិសមភាពជាមួយនឹងចំនួនមិនស្គាល់ណាមួយ ជាមួយនឹងភាពខុសគ្នាតែមួយគត់ដែលដំណោះស្រាយនៃវិសមភាពជាមួយ នមិនស្គាល់នឹងជាចំនួនសរុប នលេខ () បំពេញវិសមភាពទាំងអស់ ហើយជំនួសឱ្យបន្ទាត់ព្រំដែន នឹងមានគំនូសព្រំដែន ន- ទំហំវិមាត្រ។ ដំណោះស្រាយនឹងជាដំណោះស្រាយ polyhedron (សាមញ្ញ) ដែលត្រូវបានចងភ្ជាប់ដោយ hyperplanes ។

ការដោះស្រាយវិសមភាពជាមួយនឹងអថេរពីរនិងសូម្បីតែច្រើនទៀត ប្រព័ន្ធវិសមភាពដែលមានអថេរពីរមើលទៅពិតជាបញ្ហាប្រឈមមួយ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយមានក្បួនដោះស្រាយសាមញ្ញដែលជួយបានយ៉ាងងាយស្រួលនិងគ្មាន កិច្ចខិតខំប្រឹងប្រែងពិសេសសម្រេចចិត្តនៅ glance ដំបូង កិច្ចការប្រឈមនៃប្រភេទបែបនេះ។ ចូរយើងព្យាយាមស្វែងយល់។

ឧបមាថាយើងមានវិសមភាពជាមួយនឹងអថេរពីរនៃប្រភេទមួយដូចខាងក្រោម៖

y > f(x); y ≥ f(x); y< f(x); y ≤ f(x).

ដើម្បីពណ៌នាសំណុំនៃដំណោះស្រាយនៃវិសមភាពបែបនេះនៅលើ សំរបសំរួលយន្តហោះបន្តដូចខាងក្រោមៈ

1. យើងបង្កើតក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = f(x) ដែលបែងចែកយន្តហោះជាពីរតំបន់។

2. យើងជ្រើសរើសផ្នែកណាមួយដែលទទួលបាន ហើយពិចារណានៅក្នុងវា។ ចំណុចបំពាន. យើងពិនិត្យមើលការពេញចិត្តនៃវិសមភាពដើមសម្រាប់ចំណុចនេះ។ ប្រសិនបើលទ្ធផលតេស្តត្រឹមត្រូវ។ វិសមភាពលេខបន្ទាប់មកយើងសន្និដ្ឋានថាវិសមភាពដើមគឺពេញចិត្តនៅក្នុងតំបន់ទាំងមូលដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចំណុចដែលបានជ្រើសរើស។ ដូច្នេះ សំណុំនៃដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាព គឺជាតំបន់ដែលចំណុចដែលបានជ្រើសរើសជាកម្មសិទ្ធិ។ ប្រសិនបើលទ្ធផលនៃការត្រួតពិនិត្យវិសមភាពលេខមិនត្រឹមត្រូវត្រូវបានទទួល នោះសំណុំនៃដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាពនឹងជាតំបន់ទីពីរ ដែលចំណុចដែលបានជ្រើសរើសមិនមែនជាកម្មសិទ្ធិ។

3. ប្រសិនបើវិសមភាពមានភាពតឹងរ៉ឹង នោះព្រំប្រទល់នៃតំបន់ ពោលគឺចំណុចនៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = f(x) មិនត្រូវបានរាប់បញ្ចូលក្នុងសំណុំនៃដំណោះស្រាយទេ ហើយព្រំដែនត្រូវបានបង្ហាញជាបន្ទាត់ចំនុច។ ប្រសិនបើវិសមភាពមិនមានភាពតឹងរ៉ឹងទេ នោះព្រំប្រទល់នៃតំបន់ ពោលគឺចំណុចនៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = f(x) ត្រូវបានរួមបញ្ចូលក្នុងសំណុំនៃដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាពនេះ ហើយព្រំដែនក្នុងករណីនេះគឺ ពណ៌នា បន្ទាត់រឹង.
ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលបញ្ហាមួយចំនួនលើប្រធានបទនេះ។

កិច្ចការទី 1 ។

ចំណុចណាខ្លះត្រូវបានផ្តល់ដោយវិសមភាព x · y ≤ 4 ?

ការសម្រេចចិត្ត។

1) យើងបង្កើតក្រាហ្វនៃសមីការ x · y = 4 ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ យើងបំប្លែងវាជាមុនសិន។ វាច្បាស់ណាស់ថា x in ករណីនេះមិនប្រែទៅជា 0 ទេព្រោះបើមិនដូច្នេះទេយើងនឹងមាន 0 · y = 4 ដែលមិនមែនជាការពិត។ ដូច្នេះយើងអាចបែងចែកសមីការរបស់យើងដោយ x ។ យើងទទួលបាន៖ y = 4/x ។ ក្រាហ្វនៃមុខងារនេះគឺជាអ៊ីពែបូឡា។ វាបែងចែកយន្តហោះទាំងមូលជាពីរតំបន់៖ មួយរវាងសាខាទាំងពីរនៃអ៊ីពែបូឡា និងមួយនៅខាងក្រៅពួកវា។

2) យើងជ្រើសរើសចំណុចបំពានពីតំបន់ទីមួយ ទុកវាជាចំណុច (4; 2)។
ពិនិត្យវិសមភាព៖ 4 2 ≤ 4 មិនពិត។

នេះមានន័យថាចំណុចនៃតំបន់នេះមិនបំពេញនូវវិសមភាពដើមនោះទេ។ បន្ទាប់មកយើងអាចសន្និដ្ឋានថាសំណុំនៃដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាពនឹងជាតំបន់ទីពីរដែលចំណុចដែលបានជ្រើសរើសមិនមែនជាកម្មសិទ្ធិ។

3) ដោយសារវិសមភាពមិនមានភាពតឹងរ៉ឹង យើងគូរចំនុចព្រំដែន នោះគឺចំនុចនៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = 4/x ជាមួយនឹងបន្ទាត់រឹង។

ចូរ​ពណ៌​សំណុំ​ចំណុច​ដែល​កំណត់​វិសមភាព​ដើម លឿង (រូបទី 1) ។

កិច្ចការទី 2 ។

គូរតំបន់ដែលបានកំណត់នៅលើប្លង់កូអរដោនេដោយប្រព័ន្ធ
( y > x 2 + 2;
(y + x > 1;
( x 2 + y 2 ≤ 9 ។

ការសម្រេចចិត្ត។

ការកសាងក្រាហ្វិកដើម្បីចាប់ផ្តើម មុខងារខាងក្រោម (រូបទី 2):

y \u003d x 2 + 2 - ប៉ារ៉ាបូឡា,

y + x = 1 - បន្ទាត់ត្រង់

x 2 + y 2 \u003d 9 គឺជារង្វង់។

1) y > x 2 + 2 ។

យើងយកចំណុច (0; 5) ដែលស្ថិតនៅខាងលើក្រាហ្វនៃអនុគមន៍។
ពិនិត្យមើលវិសមភាព៖ 5 > 0 2 + 2 គឺត្រឹមត្រូវ។

ដូច្នេះចំនុចទាំងអស់ដែលស្ថិតនៅខាងលើប៉ារ៉ាបូឡាដែលបានផ្តល់ឱ្យ y = x 2 + 2 បំពេញនូវវិសមភាពទីមួយនៃប្រព័ន្ធ។ ចូរពណ៌ពួកវាពណ៌លឿង។

2) y + x > 1 ។

យើងយកចំណុច (0; 3) ដែលស្ថិតនៅខាងលើក្រាហ្វនៃអនុគមន៍។
ការពិនិត្យមើលវិសមភាព៖ 3 + 0 > 1 គឺត្រឹមត្រូវ។

ដូច្នេះចំនុចទាំងអស់ដែលស្ថិតនៅខាងលើបន្ទាត់ y + x = 1 បំពេញនូវវិសមភាពទីពីរនៃប្រព័ន្ធ។ តោះពណ៌ពួកវាជាពណ៌បៃតង។

3) x2 + y2 ≤ 9 .

យើងយកចំនុចមួយ (0; -4) ដែលស្ថិតនៅក្រៅរង្វង់ x 2 + y 2 = 9 ។
ការពិនិត្យមើលវិសមភាព៖ 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 គឺខុស។

ដូច្នេះចំនុចទាំងអស់ដែលស្ថិតនៅខាងក្រៅរង្វង់ x 2 + y 2 = 9, មិនពេញចិត្តនឹងវិសមភាពទីបីនៃប្រព័ន្ធ។ បន្ទាប់មកយើងអាចសន្និដ្ឋានថាចំណុចទាំងអស់ដែលស្ថិតនៅខាងក្នុងរង្វង់ x 2 + y 2 = 9 បំពេញនូវវិសមភាពទីបីនៃប្រព័ន្ធ។ ចូរយើងលាបពណ៌ពួកវាដោយស្រមោលពណ៌ស្វាយ។

កុំភ្លេចថា ប្រសិនបើវិសមភាពមានភាពតឹងរ៉ឹង នោះបន្ទាត់ព្រំដែនដែលត្រូវគ្នាគួរតែត្រូវបានគូរដោយបន្ទាត់ចំនុច។ យើងទទួលបានរូបភាពខាងក្រោម (រូបទី 3).

(រូបទី 4).

កិច្ចការទី 3 ។

គូរផ្ទៃដែលបានកំណត់នៅលើប្លង់កូអរដោនេដោយប្រព័ន្ធ៖
(x 2 + y 2 ≤ 16;
(x ≥ -y;
(x 2 + y 2 ≥ 4 ។

ការសម្រេចចិត្ត។

ដើម្បីចាប់ផ្តើមជាមួយ យើងបង្កើតក្រាហ្វនៃមុខងារខាងក្រោម៖

x 2 + y 2 \u003d 16 - រង្វង់,

x \u003d -y - ត្រង់

x 2 + y 2 \u003d 4 - រង្វង់ (រូបទី 5).

ឥឡូវនេះយើងដោះស្រាយវិសមភាពនីមួយៗដោយឡែកពីគ្នា។

1) x2 + y2 ≤ 16 .

យើងយកចំនុច (0; 0) ដែលស្ថិតនៅខាងក្នុងរង្វង់ x 2 + y 2 = 16 ។
ការពិនិត្យមើលវិសមភាព៖ 0 2 + (0) 2 ≤ 16 គឺពិត។

ដូច្នេះចំនុចទាំងអស់ដែលស្ថិតនៅខាងក្នុងរង្វង់ x 2 + y 2 = 16 បំពេញនូវវិសមភាពទីមួយនៃប្រព័ន្ធ។
ចូរ​ពណ៌​វា​ជា​ពណ៌​ក្រហម។

យើងយកចំណុច (1; 1) ដែលស្ថិតនៅខាងលើក្រាហ្វនៃអនុគមន៍។
យើងពិនិត្យមើលវិសមភាព: 1 ≥ -1 - ពិត។

ដូច្នេះចំនុចទាំងអស់ដែលស្ថិតនៅខាងលើបន្ទាត់ x = -y បំពេញនូវវិសមភាពទីពីរនៃប្រព័ន្ធ។ តោះពណ៌ពួកវាជាពណ៌ខៀវ។

៣) x2 + y2 ≥ ៤.

យើងយកចំនុច (0; 5) ដែលស្ថិតនៅក្រៅរង្វង់ x 2 + y 2 = 4 ។
យើងពិនិត្យមើលវិសមភាព៖ 0 2 + 5 2 ≥ 4 គឺពិត។

ដូច្នេះចំនុចទាំងអស់នៅខាងក្រៅរង្វង់ x 2 + y 2 = 4 បំពេញវិសមភាពទីបីនៃប្រព័ន្ធ។ ចូរ​ពណ៌​ពួកវា​ជា​ពណ៌​ខៀវ។

ក្នុង​បញ្ហា​នេះ វិសមភាព​ទាំងអស់​មិន​តឹងរ៉ឹង​ទេ ដែល​មាន​ន័យ​ថា​យើង​គូស​ព្រំដែន​ទាំងអស់​ដោយ​បន្ទាត់​រឹង។ យើងទទួលបានរូបភាពខាងក្រោម (រូបទី ៦).

តំបន់​ដែល​ចាប់អារម្មណ៍​គឺ​ជា​តំបន់​ដែល​តំបន់​ពណ៌​ទាំង​បី​ប្រសព្វ​គ្នា។ (រូបទី ៧).

តើអ្នកមានសំណួរទេ? មិនប្រាកដថាត្រូវដោះស្រាយប្រព័ន្ធវិសមភាពជាមួយអថេរពីរទេ?
ដើម្បីទទួលបានជំនួយពីគ្រូ - ។
មេរៀនដំបូងគឺឥតគិតថ្លៃ!

blog.site ដោយមានការចម្លងទាំងស្រុង ឬដោយផ្នែកនៃសម្ភារៈ តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពគឺត្រូវបានទាមទារ។

ជារឿយៗ វាចាំបាច់ក្នុងការពណ៌នានៅលើយន្តហោះកូអរដោណេនូវសំណុំនៃដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាពជាមួយនឹងអថេរពីរ។ ដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាពដែលមានអថេរពីរគឺជាតម្លៃគូនៃអថេរទាំងនេះ ដែលប្រែវិសមភាពដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅជាវិសមភាពលេខពិត។

2 ឆ្នាំ+ Zx< 6.

ចូរយើងគូសបន្ទាត់ត្រង់ជាមុនសិន។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងសរសេរវិសមភាពជាសមីការ 2 ឆ្នាំ+ Zx = 6 និងបញ្ចេញមតិ y.ដូច្នេះយើងទទួលបាន៖ y=(៦-៣x)/2.

បន្ទាត់នេះបែងចែកសំណុំនៃចំណុចទាំងអស់នៃយន្តហោះកូអរដោណេទៅជាចំណុចខាងលើវា ហើយចង្អុលខាងក្រោមវា។

យក meme ពីតំបន់នីមួយៗ ប៉ុស្តិ៍ត្រួតពិនិត្យឧទាហរណ៍ A (1; 1) និង B (1; 3)

កូអរដោនេនៃចំណុច A បំពេញវិសមភាពដែលបានផ្តល់ឱ្យ 2y + 3x< 6, т. е. 2 . 1 + 3 . 1 < 6.

ចំណុច B កូអរដោនេ ទេ។បំពេញវិសមភាពនេះ 2∙3 + 3∙1< 6.

ដោយហេតុថាវិសមភាពនេះអាចផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៅលើបន្ទាត់ 2y + Zx = 6 នោះវិសមភាពបំពេញនូវសំណុំនៃចំនុចនៃតំបន់ដែលចំនុច A ស្ថិតនៅ។ សូមដាក់ស្រមោលតំបន់នេះ។

ដូច្នេះហើយ យើងបានពណ៌នាអំពីសំណុំនៃដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាព 2y + Zx< 6.

ឧទាហរណ៍

យើងពណ៌នាអំពីសំណុំនៃដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាព x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 > 0 នៅលើយន្តហោះកូអរដោណេ។

ដំបូងយើងបង្កើតក្រាហ្វនៃសមីការ x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 \u003d 0 ។ យើងបែងចែកសមីការរង្វង់ក្នុងសមីការនេះ៖ (x 2 + 2x + 1) + (y 2 - 4y + 4) \u003d 4 ឬ (x + 1) 2 + (y - 2) 2 \u003d 2 2 ។

នេះគឺជាសមីការនៃរង្វង់ដែលស្ថិតនៅចំកណ្តាលចំនុច 0 (-1; 2) និងកាំ R = 2។ ចូរយើងបង្កើតរង្វង់នេះ។

ដោយសារវិសមភាពនេះមានភាពតឹងរ៉ឹង ហើយចំនុចដែលស្ថិតនៅលើរង្វង់ខ្លួនឯងមិនបំពេញវិសមភាពនោះ យើងបង្កើតរង្វង់ដោយបន្ទាត់ចំនុច។

វាងាយស្រួលក្នុងការពិនិត្យមើលថាកូអរដោនេនៃចំណុចកណ្តាល O នៃរង្វង់មិនបំពេញវិសមភាពនេះទេ។ កន្សោម x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 ផ្លាស់ប្តូរសញ្ញារបស់វានៅលើរង្វង់ដែលបានសាងសង់។ បន្ទាប់មកវិសមភាពត្រូវបានពេញចិត្តដោយចំណុចដែលមានទីតាំងនៅខាងក្រៅរង្វង់។ ចំណុចទាំងនេះត្រូវបានដាក់ស្រមោល។

ឧទាហរណ៍

ចូរយើងពណ៌នានៅលើយន្តហោះកូអរដោណេនូវសំណុំនៃដំណោះស្រាយនៃវិសមភាព

(y - x 2) (y - x - 3)< 0.

ដំបូងយើងបង្កើតក្រាហ្វនៃសមីការ (y - x 2) (y - x - 3) \u003d 0. វាជាប៉ារ៉ាបូឡា y \u003d x 2 និងបន្ទាត់ត្រង់ y \u003d x + 3 ។ យើងបង្កើតបន្ទាត់ទាំងនេះ ហើយចំណាំថាការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃកន្សោម (y - x 2) (y - x - 3) កើតឡើងតែលើបន្ទាត់ទាំងនេះប៉ុណ្ណោះ។ ចំពោះចំណុច A (0; 5) យើងកំណត់សញ្ញានៃកន្សោមនេះ៖ (5-3) > 0 (ឧ. វិសមភាពនេះមិនពេញចិត្ត)។ ឥឡូវនេះវាងាយស្រួលក្នុងការសម្គាល់សំណុំចំណុចដែលវិសមភាពនេះពេញចិត្ត (តំបន់ទាំងនេះត្រូវបានដាក់ស្រមោល)។

ក្បួនដោះស្រាយវិសមភាពជាមួយអថេរពីរ

1. យើងកាត់បន្ថយវិសមភាពទៅជាទម្រង់ f (x; y)< 0 (f (х; у) >0; f (x; y) ≤ 0; f (x; y) ≥ 0;)

2. យើងសរសេរសមភាព f (x; y) = 0

3. ស្គាល់ក្រាហ្វដែលបានកត់ត្រានៅផ្នែកខាងឆ្វេង។

4. យើងបង្កើតក្រាហ្វទាំងនេះ។ ប្រសិនបើវិសមភាពតឹងរឹង (f (x; y)< 0 или f (х; у) >0) បន្ទាប់មក - ជាមួយនឹងជំងឺដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាល ប្រសិនបើវិសមភាពមិនតឹងរ៉ឹង (f (x; y) ≤ 0 ឬ f (x; y) ≥ 0) បន្ទាប់មក - ជាមួយបន្ទាត់រឹង។

5. កំណត់ថាតើផ្នែកប៉ុន្មាននៃក្រាហ្វិចត្រូវបានបែងចែកទៅជាប្លង់កូអរដោនេ

6. ជ្រើសរើសចំណុចបញ្ជាមួយនៅក្នុងផ្នែកមួយក្នុងចំណោមផ្នែកទាំងនេះ។ កំណត់សញ្ញានៃកន្សោម f (x; y)

7. យើងរៀបចំផ្លាកសញ្ញានៅក្នុងផ្នែកផ្សេងទៀតនៃយន្តហោះ ដោយគិតគូរពីភាពឆ្លាស់គ្នា (តាមវិធីនៃចន្លោះពេល)

8. យើងជ្រើសរើសផ្នែកដែលយើងត្រូវការស្របតាមសញ្ញានៃវិសមភាពដែលយើងកំពុងដោះស្រាយ ហើយអនុវត្តការភ្ញាស់

អនុញ្ញាតឱ្យផ្តល់ឱ្យ សមីការជាមួយអថេរពីរ F(x; y). អ្នក​បាន​រៀន​រួច​ហើយ​ពី​របៀប​ដោះស្រាយ​សមីការ​បែប​នេះ​ដោយ​វិភាគ។ សំណុំនៃដំណោះស្រាយនៃសមីការបែបនេះក៏អាចត្រូវបានបង្ហាញជាទម្រង់ក្រាហ្វផងដែរ។

ក្រាហ្វនៃសមីការ F(x; y) គឺជាសំណុំនៃចំនុចនៃប្លង់កូអរដោនេ xOy ដែលសំរបសំរួលបំពេញសមីការ។

ដើម្បី​កំណត់​សមីការ​អថេរ​ពីរ ដំបូង​បង្ហាញ​អថេរ y ក្នុង​លក្ខខណ្ឌ​នៃ​អថេរ x ក្នុង​សមីការ។

ប្រាកដណាស់អ្នកដឹងពីរបៀបបង្កើតក្រាហ្វផ្សេងៗនៃសមីការដែលមានអថេរពីរ៖ ax + b \u003d c គឺជាបន្ទាត់ត្រង់ yx \u003d k គឺជាអ៊ីពែបូឡា (x - a) 2 + (y - b) 2 \u003d R 2 គឺជារង្វង់ដែលកាំគឺ R ហើយកណ្តាលគឺនៅចំណុច O (a; b) ។

ឧទាហរណ៍ ១

គូរសមីការ x 2 − 9y 2 = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត។

ចូរយើងធ្វើកត្តាផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ។

(x − 3y)(x+ 3y) = 0, i.e. y = x/3 ឬ y = -x/3 ។

ចម្លើយ៖ រូបភាពទី ១ ។

កន្លែងពិសេសមួយត្រូវបានកាន់កាប់ដោយការចាត់តាំងនៃតួលេខនៅលើយន្តហោះដោយសមីការដែលមានសញ្ញា តម្លៃ​ដាច់ខាតដែលយើងនឹងពិភាក្សាលម្អិត។ ពិចារណាដំណាក់កាលនៃសមីការគ្រោងនៃទម្រង់ |y| = f(x) និង |y| = |f(x)|។

សមីការទីមួយគឺស្មើនឹងប្រព័ន្ធ

(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) ឬ y = -f(x) ។

នោះគឺក្រាហ្វរបស់វាមានក្រាហ្វនៃមុខងារពីរ៖ y = f(x) និង y = -f(x) ដែល f(x) ≥ 0 ។

ដើម្បីគូរក្រាហ្វនៃសមីការទីពីរ ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ពីរត្រូវបានគ្រោងទុក៖ y = f(x) និង y = -f(x) ។

ឧទាហរណ៍ ២

គូរសមីការ |y| = 2 + x ។

ការសម្រេចចិត្ត។

សមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺស្មើនឹងប្រព័ន្ធ

(x + 2 ≥ 0,
( y = x + 2 ឬ y = −x − 2 ។

យើងបង្កើតសំណុំនៃចំណុច។

ចម្លើយ៖ រូបភាពទី ២ ។

ឧទាហរណ៍ ៣

គូរសមីការ |y – x| = ១.

ការសម្រេចចិត្ត។

ប្រសិនបើ y ≥ x បន្ទាប់មក y = x + 1 ប្រសិនបើ y ≤ x បន្ទាប់មក y = x − 1 ។

ចម្លើយ៖ រូបភាពទី ៣ ។

នៅពេលបង្កើតក្រាហ្វនៃសមីការដែលមានអថេរនៅក្រោមសញ្ញាម៉ូឌុល វាងាយស្រួល និងសមហេតុផលក្នុងការប្រើប្រាស់ វិធីសាស្រ្តតំបន់ដោយផ្អែកលើការបំបែកយន្តហោះកូអរដោនេទៅជាផ្នែកដែលកន្សោមម៉ូឌុលរងនីមួយៗរក្សាសញ្ញារបស់វា។

ឧទាហរណ៍ 4

គូរសមីការ x + |x| + y + |y| = ២.

ការសម្រេចចិត្ត។

អេ ឧទាហរណ៍នេះ។សញ្ញានៃកន្សោមម៉ូឌុលនីមួយៗអាស្រ័យលើ សំរបសំរួលត្រីមាស.

1) នៅក្នុង quadrant កូអរដោនេទីមួយ x ≥ 0 និង y ≥ 0. បន្ទាប់ពីពង្រីកម៉ូឌុល សមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យនឹងមើលទៅដូច៖

2x + 2y = 2 ហើយបន្ទាប់ពីការធ្វើឱ្យសាមញ្ញ x + y = 1 ។

2) នៅក្នុងត្រីមាសទីពីរដែលជាកន្លែងដែល x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.

3) នៅត្រីមាសទីបី x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.

4) នៅក្នុងត្រីមាសទី 4 សម្រាប់ x ≥ 0 និង y< 0 получим, что x = 1.

កាលវិភាគ សមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យយើងនឹងសាងសង់ជាត្រីមាស។

ចម្លើយ៖ រូបភាពទី ៤ ។

ឧទាហរណ៍ 5

គូរសំណុំនៃចំណុចដែលកូអរដោនេបំពេញសមភាព |x – 1| + |y–1| = ១.

ការសម្រេចចិត្ត។

លេខសូន្យនៃកន្សោមម៉ូឌុលរង x = 1 និង y = 1 បំបែកប្លង់កូអរដោនេជាបួនតំបន់។ ចូរបំបែកម៉ូឌុលតាមតំបន់។ ចូរយើងដាក់វានៅក្នុងទម្រង់នៃតារាង។

តំបន់	សញ្ញាកន្សោមម៉ូឌុលរង	សមីការលទ្ធផលបន្ទាប់ពីពង្រីកម៉ូឌុល
ខ្ញុំ	x ≥ 1 និង y ≥ 1	x + y = ៣
II	x< 1 и y ≥ 1	-x+y=1
III	x< 1 и y < 1	x + y = 1
IV	x ≥ 1 និង y< 1	x − y = 1

ចម្លើយ៖ រូបភាពទី ៥ ។

នៅលើយន្តហោះកូអរដោណេ តួលេខអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ និង វិសមភាព.

ក្រាហ្វវិសមភាពជាមួយនឹងអថេរពីរគឺជាសំណុំនៃចំណុចទាំងអស់នៃយន្តហោះកូអរដោណេដែលកូអរដោនេរបស់វាជាដំណោះស្រាយនៃវិសមភាពនេះ។

ពិចារណា ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់បង្កើតគំរូសម្រាប់ដោះស្រាយវិសមភាពជាមួយនឹងអថេរពីរ:

1. សរសេរសមីការដែលត្រូវនឹងវិសមភាព។
2. គូរសមីការពីជំហានទី 1 ។
3. ជ្រើសរើសចំណុចដែលបំពាននៅក្នុងយន្តហោះពាក់កណ្តាលមួយ។ ពិនិត្យមើលថាតើកូអរដោនេនៃចំណុចដែលបានជ្រើសរើសបំពេញវិសមភាពដែលបានផ្តល់ឱ្យឬអត់។
4. គូរក្រាហ្វិកសំណុំនៃដំណោះស្រាយទាំងអស់នៃវិសមភាព។

ពិចារណាជាដំបូង វិសមភាព ax + bx + c > 0. សមីការ ax + bx + c = 0 កំណត់បន្ទាត់ត្រង់ដែលបែងចែកយន្តហោះជាពីរយន្តហោះពាក់កណ្តាល។ នៅក្នុងពួកវានីមួយៗ មុខងារ f(x) = ax + bx + c គឺរក្សាសញ្ញា។ ដើម្បីកំណត់សញ្ញានេះវាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការយកចំណុចណាមួយដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ពាក់កណ្តាលយន្តហោះហើយគណនាតម្លៃនៃមុខងារនៅចំណុចនេះ។ ប្រសិនបើសញ្ញានៃមុខងារស្របគ្នាជាមួយនឹងសញ្ញានៃវិសមភាពនោះ យន្តហោះពាក់កណ្តាលនេះនឹងជាដំណោះស្រាយនៃវិសមភាព។

ពិចារណាឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយក្រាហ្វិកចំពោះវិសមភាពទូទៅបំផុតដែលមានអថេរពីរ។

1) ax + bx + c ≥ 0 ។ រូបភាពទី 6.

2) |x| ≤ a, a > 0 ។ រូបភាពទី 7.

3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0 ។ រូបភាពទី 8.

4) y ≥ x2 ។ រូបភាពទី 9

5) xy ≤ ១. រូបភាពទី 10 ។

ប្រសិនបើអ្នកមានសំណួរ ឬចង់អនុវត្តការគូរនៅលើយន្តហោះគំរូ សំណុំនៃដំណោះស្រាយទាំងអស់នៃវិសមភាពនៅក្នុងអថេរពីរដោយប្រើ គំរូគណិតវិទ្យា, អ្នកអាចចំណាយ វគ្គឥតគិតថ្លៃ 25 នាទីជាមួយ គ្រូតាមអ៊ីនធឺណិត បន្ទាប់ពីអ្នកចុះឈ្មោះ។ សម្រាប់ ការងារបន្ថែមទៀតជាមួយគ្រូ អ្នកនឹងមានឱកាសជ្រើសរើសផែនការពន្ធដែលសាកសមនឹងអ្នក។

តើអ្នកមានសំណួរទេ? មិនដឹងពីរបៀបគូររូបនៅលើយន្តហោះកូអរដោណេមែនទេ?
ដើម្បីទទួលបានជំនួយពីគ្រូ - ចុះឈ្មោះ។
មេរៀនដំបូងគឺឥតគិតថ្លៃ!

គេហទំព័រ ដោយមានការចម្លងទាំងស្រុង ឬដោយផ្នែកនៃសម្ភារៈ តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពគឺត្រូវបានទាមទារ។