Os corpos de revolução estudados na escola são um cilindro, um cone e uma bola.

Se em uma tarefa USE em matemática você precisa calcular o volume de um cone ou a área de uma esfera, considere-se com sorte.

Aplique fórmulas para volume e área de superfície de um cilindro, cone e esfera. Todos eles estão em nossa mesa. Memorizar. É aqui que começa o conhecimento da estereometria.

Às vezes é bom desenhar uma vista de cima. Ou, como neste problema, de baixo.

2. Quantas vezes o volume de um cone circunscrito próximo ao pirâmide quadrangular, maior que o volume do cone inscrito nesta pirâmide?

Tudo é simples - desenhamos uma vista de baixo. Vemos que o raio do círculo maior é várias vezes maior que o raio do menor. As alturas de ambos os cones são as mesmas. Portanto, o volume cone maior será o dobro.

Outro ponto importante. Lembre-se que nas tarefas da parte B Opções de USO em matemática, a resposta é escrita como um número inteiro ou finito fração decimal. Portanto, você não deve ter nenhum ou em sua resposta na parte B. Substituir o valor aproximado do número também não é necessário! Deve ser reduzido! É para isso que em algumas tarefas a tarefa é formulada, por exemplo, da seguinte forma: “Encontre a área da superfície lateral do cilindro dividida por”.

E onde mais são usadas as fórmulas para o volume e a área de superfície dos corpos de revolução? Claro, no problema C2 (16). Nós também vamos falar sobre isso.

Sabemos o que é um cone, vamos tentar encontrar sua área de superfície. Por que é necessário resolver tal problema? Por exemplo, você precisa entender o quanto o teste vai fazer um cone de waffle? Ou quantos tijolos seriam necessários para assentar o telhado de tijolos de um castelo?

Não é fácil medir a área de superfície lateral de um cone. Mas imagine o mesmo chifre envolto em pano. Para encontrar a área de um pedaço de tecido, você precisa cortá-lo e espalhá-lo sobre a mesa. Acontece que figura plana, podemos encontrar sua área.

Arroz. 1. Seção do cone ao longo da geratriz

Vamos fazer o mesmo com o cone. Vamos "cortar" sua superfície lateral ao longo de qualquer geratriz, por exemplo (ver Fig. 1).

Agora nós “desenrolamos” a superfície lateral em um plano. A gente pega um setor. O centro desse setor é o topo do cone, o raio do setor é igual à geratriz do cone e o comprimento de seu arco coincide com a circunferência da base do cone. Tal setor é chamado de desenvolvimento da superfície lateral do cone (ver Fig. 2).

Arroz. 2. Desenvolvimento da superfície lateral

Arroz. 3. Medição de ângulo em radianos

Vamos tentar encontrar a área do setor de acordo com os dados disponíveis. Primeiro, vamos introduzir uma notação: seja o ângulo no topo do setor em radianos (veja a Fig. 3).

Muitas vezes, encontraremos o ângulo no topo da varredura em tarefas. Enquanto isso, vamos tentar responder à pergunta: esse ângulo não pode ser superior a 360 graus? Ou seja, não acontecerá que a varredura se sobreponha? Claro que não. Vamos provar isso matematicamente. Deixe a varredura "sobrepor" a si mesma. Isso significa que o comprimento do arco de varredura é maior que a circunferência do raio. Mas, como já mencionado, o comprimento do arco de varredura é a circunferência do raio. E o raio da base do cone, claro, é menor que a geratriz, por exemplo, porque o cateto de um triângulo retângulo é menor que a hipotenusa

Então vamos relembrar duas fórmulas do curso de planimetria: comprimento do arco. Área do setor: .

No nosso caso, o papel é desempenhado pela geratriz , e o comprimento do arco é igual à circunferência da base do cone, ou seja. Nós temos:

Finalmente obtemos:

Juntamente com a área de superfície lateral, pode-se encontrar também a área superfície completa. Para fazer isso, adicione a área da base à área da superfície lateral. Mas a base é um círculo de raio , cuja área, de acordo com a fórmula, é .

Finalmente temos: , onde é o raio da base do cilindro, é a geratriz.

Vamos resolver alguns problemas nas fórmulas dadas.

Arroz. 4. Ângulo desejado

Exemplo 1. O desenvolvimento da superfície lateral do cone é um setor com um ângulo no ápice. Encontre esse ângulo se a altura do cone for 4 cm e o raio da base for 3 cm (veja a Fig. 4).

Arroz. 5. Triângulo reto formando um cone

Pela primeira ação, de acordo com o teorema de Pitágoras, encontramos a geratriz: 5 cm (ver Fig. 5). Além disso, sabemos que .

Exemplo 2. Quadrado seção axial o cone é , a altura é . Encontre a área total da superfície (veja a Fig. 6).

Aqui estão problemas com cones, a condição está relacionada à sua área de superfície. Em particular, em alguns problemas, há uma questão de alterar a área com um aumento (diminuição) na altura de um cone ou no raio de sua base. Teoria para resolução de problemas em . Considere as seguintes tarefas:

27135. A circunferência da base do cone é 3, a geratriz é 2. Encontre a área da superfície lateral do cone.

A área da superfície lateral do cone é:

Conectando os dados:

75697. Quantas vezes a área da superfície lateral do cone aumentará se sua geratriz for aumentada 36 vezes e o raio da base permanecer o mesmo?

A área da superfície lateral do cone:

A geratriz é aumentada em 36 vezes. O raio permanece o mesmo, o que significa que a circunferência da base não mudou.

Portanto, a área da superfície lateral do cone modificado será semelhante a:

Assim, aumentará em 36 vezes.

*A dependência é direta, então este problema pode ser facilmente resolvido oralmente.

27137. Quantas vezes a área da superfície lateral do cone diminuirá se o raio de sua base for reduzido em 1,5 vezes?

A área da superfície lateral do cone é:

O raio é reduzido em 1,5 vezes, ou seja:

Verificou-se que a área de superfície lateral diminuiu 1,5 vezes.

27159. A altura do cone é 6, a geratriz é 10. Encontre a área de sua superfície total dividida por pi.

Superfície completa do cone:

Encontre o raio:

A altura e a geratriz são conhecidas, pelo teorema de Pitágoras calculamos o raio:

Por isso:

Divida o resultado por Pi e escreva a resposta.

76299. A área total da superfície do cone é 108. Uma seção é traçada paralelamente à base do cone, dividindo a altura pela metade. Encontre a área total da superfície do cone truncado.

A seção passa pela meia altura paralela à base. Então o raio da base e a geratriz do cone truncado serão 2 vezes menor que o raio e a geratriz do cone original. Vamos escrever qual é a área da superfície do cone de corte:

Tenho ela indo 4 vezes menos área superfície do original, ou seja, 108:4 = 27.

* Como o cone original e o cone cortado são corpos semelhantes, também foi possível usar a propriedade de similaridade:

27167. O raio da base do cone é 3, a altura é 4. Encontre a área total da superfície do cone dividida por pi.

A fórmula para a superfície total de um cone é:

O raio é conhecido, é necessário encontrar a geratriz.

De acordo com o teorema de Pitágoras:

Por isso:

Divida o resultado por Pi e escreva a resposta.

Tarefa. A área de superfície lateral do cone é quadruplicada mais área motivos. Encontrar algo é igual a cosseno o ângulo entre a geratriz do cone e o plano da base.

A área da base do cone é:

Ou seja, o cosseno será igual a:

Resposta: 0,25

Decida por conta própria:

27136. Quantas vezes a área da superfície lateral do cone aumentará se sua geratriz for aumentada em 3 vezes?

27160. A área da superfície lateral do cone é duas vezes a área da base. Encontre o ângulo entre a geratriz do cone e o plano da base. Dê sua resposta em graus. .

27161. A área total da superfície do cone é 12. Uma seção é traçada paralelamente à base do cone, dividindo a altura pela metade. Encontre a área total da superfície do cone truncado.

Isso é tudo. Boa sorte para você!

Atenciosamente, Alexandre.

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A área da superfície de um cone (ou simplesmente a superfície de um cone) é igual à soma das áreas da base e da superfície lateral.

A área da superfície lateral do cone é calculada pela fórmula: S = πR eu, onde R é o raio da base do cone, e eu- geratriz de um cone.

Como a área da base do cone é πR 2 (como a área do círculo), a área da superfície completa do cone será igual a : πR 2 + πR eu= πR (R + eu).

A obtenção da fórmula para a área da superfície lateral de um cone pode ser explicada por tal raciocínio. Deixe o desenho mostrar um desenvolvimento da superfície lateral do cone. Divida o arco AB em possíveis mais partes iguais e conecte todos os pontos de divisão com o centro do arco e os vizinhos entre si com cordas.

Recebemos uma série triângulos iguais. A área de cada triângulo é Ah / 2, onde uma- comprimento da base do triângulo, a h- sua alta.

A soma das áreas de todos os triângulos é: Ah / 2 n = ahn / 2, onde né o número de triângulos.

No grandes números divisões, a soma das áreas dos triângulos fica muito próxima da área do desenvolvimento, ou seja, a área da superfície lateral do cone. A soma das bases dos triângulos, ou seja, a, torna-se muito próximo do comprimento do arco AB, ou seja, da circunferência da base do cone. A altura de cada triângulo fica muito próxima do raio do arco, ou seja, da geratriz do cone.

Desprezando pequenas diferenças nos tamanhos dessas quantidades, obtemos a fórmula para a área da superfície lateral do cone (S):

S=C eu / 2, onde C é a circunferência da base do cone, eu- geratriz de um cone.

Sabendo que C \u003d 2πR, onde R é o raio do círculo da base do cone, obtemos: S \u003d πR eu.

Observação. Na fórmula S = C eu / 2, o sinal de igualdade exata, e não aproximada, é dado, embora, com base no raciocínio acima, possamos considerar essa igualdade aproximada. Mas no ensino médio ensino médio está provado que a igualdade

S=C eu / 2 é exato, não aproximado.

Teorema. A superfície lateral do cone é igual ao produto da circunferência da base pela metade da geratriz.

Inscrevemos em um cone (Fig.) alguns pirâmide correta e denotar por letras R e eu números que expressam os comprimentos do perímetro da base e o apótema desta pirâmide.

Então superfície lateral será expresso pelo produto 1/2 R eu .

Suponhamos agora que o número de lados do polígono inscrito na base aumenta indefinidamente. Então o perímetro R tenderá ao limite tomado como o comprimento C da circunferência da base, e o apótema eu terá um gerador de cone como seu limite (já que ΔSAK implica que SA - SK
1 / 2 R eu, tenderá ao limite 1/2 C L. Este limite é tomado como o valor da superfície lateral do cone. Denotando a superfície lateral do cone com a letra S, podemos escrever:

S = 1 / 2 C L = C 1/2L

Consequências.
1) Desde C \u003d 2 π R, então a superfície lateral do cone é expressa pela fórmula:

S=1/2 2π R L= π RL

2) Obtemos a superfície total do cone se somarmos a superfície lateral à área da base; portanto, denotando a superfície completa por T, teremos:

T= π RL+ π R2= π R(L+R)

Teorema. Superfície lateral cone truncadoé igual ao produto da metade da soma das circunferências das bases e da geratriz.

Vamos inscrever em um cone truncado (Fig.) alguns pirâmide truncada e denotar por letras r, r 1 e eu números que expressam nas mesmas unidades lineares os comprimentos dos perímetros das bases inferior e superior e o apótema desta pirâmide.

Então a superfície lateral da pirâmide inscrita é 1/2 ( p + p 1) eu

Com um aumento ilimitado do número de faces laterais da pirâmide inscrita, os perímetros R e R 1 tendem aos limites tomados como os comprimentos C e C 1 dos círculos das bases, e o apótema eu tem como limite a geratriz L do cone truncado. Conseqüentemente, o valor da superfície lateral da pirâmide inscrita tende ao limite igual a (С + С 1) L. Este limite é tomado como o valor da superfície lateral do cone truncado. Denotando a superfície lateral do cone truncado com a letra S, teremos:

S \u003d 1 / 2 (C + C 1) L

Consequências.
1) Se R e R 1 significam os raios dos círculos das bases inferior e superior, então a superfície lateral do cone truncado será:

S = 1/2 (2 π R+2 π R 1) L = π (R+R1)L.

2) Se no trapézio OO 1 A 1 A (Fig.), da rotação da qual é obtido um cone truncado, desenhamos linha do meio BC, obtemos:

BC \u003d 1/2 (OA + O 1 A 1) \u003d 1/2 (R + R 1),

R + R1 = 2BC.

Conseqüentemente,

S=2 π BC L,

ou seja a superfície lateral de um cone truncado é igual ao produto da circunferência da seção média pela geratriz.

3) A superfície total T de um cone truncado é expressa como segue:

T= π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)