A prática do USE e GIA do ano passado mostra que os problemas de geometria causam dificuldades para muitos alunos. Você pode lidar facilmente com eles se memorizar tudo fórmulas necessárias e praticar a resolução de problemas.
Neste artigo, você verá fórmulas para encontrar a área de um trapézio, além de exemplos de problemas com soluções. Os mesmos podem ser encontrados em KIMs em exames de certificação ou em olimpíadas. Portanto, trate-os com cuidado.
O que você precisa saber sobre o trapézio?
Para começar, vamos lembrar que trapézio chamado de quadrilátero que tem dois lados opostos, eles também são chamados de bases, são paralelos, e os outros dois não são.
Em um trapézio, a altura (perpendicular à base) também pode ser omitida. A linha do meio é desenhada - esta é uma linha reta paralela às bases e igual à metade de sua soma. Assim como diagonais que podem se cruzar, formando ângulos obtusos. Ou, em alguns casos, em ângulo reto. Além disso, se o trapézio é isósceles, um círculo pode ser inscrito nele. E descreva um círculo ao redor dele.
Fórmulas da área do trapézio
Para começar, considere fórmulas padrão encontrar a área de um trapézio. Formas de calcular a área de trapézios isósceles e curvilíneos serão consideradas abaixo.
Então, imagine que você tem um trapézio com bases a e b, no qual a altura h é reduzida para a base maior. Calcular a área de uma figura neste caso é fácil. Você só precisa dividir por dois a soma dos comprimentos das bases e multiplicar o que acontece pela altura: S = 1/2(a + b)*h.
Tomemos outro caso: suponha que além da altura, o trapézio tenha uma linha mediana m. Conhecemos a fórmula para encontrar o comprimento da linha média: m = 1/2(a + b). Portanto, podemos simplificar com razão a fórmula da área de um trapézio para o seguinte tipo: S = m * h. Em outras palavras, para encontrar a área de um trapézio, você precisa multiplicar a linha média pela altura.
Vamos considerar mais uma opção: as diagonais d 1 e d 2 são desenhadas em um trapézio, que não se cruzam em um ângulo reto α. Para calcular a área de tal trapézio, você precisa reduzir pela metade o produto das diagonais e multiplicar o que obtém pelo sen do ângulo entre elas: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.
Agora considere a fórmula para encontrar a área de um trapézio se nada se sabe sobre ele, exceto os comprimentos de todos os seus lados: a, b, c e d. É volumoso e fórmula complexa, mas será útil para você se lembrar apenas no caso: S \u003d 1/2 (a + b) * √c 2 - ((1/2 (b - a)) * ((b - a) 2 + c 2 - d 2)) 2.
A propósito, os exemplos acima também são verdadeiros para o caso em que você precisa da fórmula da área trapézio retangular. Este é um trapézio, cujo lado se une às bases em ângulo reto.
trapézio isósceles
Um trapézio cujos lados são iguais é chamado de isósceles. Vamos considerar várias variantes da fórmula da área trapézio isósceles.
Primeira opção: para o caso em que um círculo de raio r está inscrito dentro de um trapézio isósceles, e o lado lateral e a base maior formam canto afiado uma. Um círculo pode ser inscrito em um trapézio desde que a soma dos comprimentos de suas bases seja igual à soma dos comprimentos dos lados.
A área de um trapézio isósceles é calculada da seguinte forma: multiplique o quadrado do raio do círculo inscrito por quatro e divida tudo por sinα: S = 4r 2 /sinα. Outra fórmula de área é um caso especial para a opção quando o ângulo entre a base grande e o lado é 30 0: S = 8r2.
A segunda opção: desta vez, pegamos um trapézio isósceles, no qual, além disso, são desenhadas as diagonais d 1 e d 2, bem como a altura h. Se as diagonais de um trapézio são mutuamente perpendiculares, a altura é metade da soma das bases: h = 1/2(a + b). Sabendo disso, é fácil converter a fórmula da área do trapézio já familiar para você nesta forma: S = h2.
A fórmula para a área de um trapézio curvilíneo
Vamos começar entendendo: o que é um trapézio curvilíneo. Imagine um eixo de coordenadas e um gráfico de uma função contínua e não negativa f que não muda de sinal dentro de um determinado segmento no eixo x. Um trapézio curvilíneo é formado pelo gráfico da função y \u003d f (x) - na parte superior, o eixo x - na parte inferior (segmento) e nas laterais - linhas retas traçadas entre os pontos a e b e o gráfico da função.
É impossível calcular a área de uma figura não padronizada usando os métodos acima. Aqui você precisa aplicar analise matemática e use a integral. Ou seja, a fórmula de Newton-Leibniz - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). Nesta fórmula, F é a primitiva da nossa função no intervalo selecionado. E a praça trapézio curvilíneo corresponde ao incremento da primitiva no segmento dado.
Exemplos de tarefas
Para tornar todas essas fórmulas melhores na sua cabeça, aqui estão alguns exemplos de problemas para encontrar a área de um trapézio. Seria melhor se você primeiro tentasse resolver os problemas sozinho e só depois verificasse a resposta que recebeu com a solução pronta.
Tarefa nº 1: Dado um trapézio. Sua base maior tem 11 cm, a menor tem 4 cm. O trapézio tem diagonais, uma com 12 cm de comprimento e outra com 9 cm de comprimento.
Solução: Construa um trapézio AMRS. Desenhe uma linha PX através do vértice P de modo que seja diagonal paralela MC e cruzou a linha AC no ponto X. Você obtém o triângulo ARCH.
Consideraremos duas figuras obtidas como resultado dessas manipulações: o triângulo APX e o paralelogramo CMPX.
Graças ao paralelogramo, aprendemos que PX = MC = 12 cm e CX = MP = 4 cm. Onde podemos calcular o lado AX do triângulo ARCH: AX \u003d AC + CX \u003d 11 + 4 \u003d 15 cm.
Também podemos provar que o triângulo ARCH é em ângulo reto (para fazer isso, aplique o teorema de Pitágoras - AX 2 \u003d AP 2 + PX 2). E calcule sua área: S APX \u003d 1/2 (AP * PX) \u003d 1/2 (9 * 12) \u003d 54 cm 2.
Em seguida, você precisa provar que os triângulos AMP e PCX são iguais em área. A base será a igualdade dos lados MP e CX (já comprovado acima). E também as alturas que você abaixa nesses lados - elas são iguais à altura do trapézio AMRS.
Tudo isso permitirá que você afirme que S AMPC \u003d S APX \u003d 54 cm 2.
Tarefa nº 2: Dado um KRMS trapézio. Os pontos O e E estão localizados em seus lados laterais, enquanto OE e KS são paralelos. Sabe-se também que as áreas do trapézio ORME e OXE estão na proporção de 1:5. PM = a e KS = b. Você precisa encontrar um OE.
Solução: Desenhe uma linha passando pelo ponto M paralela a RK e designe o ponto de sua interseção com OE como T. A - o ponto de interseção da linha traçada pelo ponto E paralela a RK com a base de KS.
Vamos introduzir mais uma notação - OE = x. Assim como a altura h 1 para o triângulo TME e a altura h 2 para o triângulo AEC (você pode provar independentemente a semelhança desses triângulos).
Vamos supor que b > a. As áreas dos trapézios ORME e OXE estão relacionadas como 1:5, o que nos dá o direito de elaborar a seguinte equação: (x + a) * h 1 \u003d 1/5 (b + x) * h 2. Vamos transformar e obter: h 1 / h 2 \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a)).
Como os triângulos TME e AEC são semelhantes, temos h 1 / h 2 = (x - a) / (b - x). Combine as duas entradas e obtenha: (x - a) / (b - x) \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a)) ↔ 5 (x - a) (x + a) \u003d (b + x) (b - x) ↔ 5 (x 2 - a 2) \u003d (b 2 - x 2) ↔ 6x 2 \u003d b 2 + 5a 2 ↔ x \u003d √ (5a 2 + b 2) / 6.
Assim, OE \u003d x \u003d √ (5a 2 + b 2) / 6.
Conclusão
A geometria não é a mais fácil das ciências, mas você certamente pode lidar com tarefas de exame. Basta um pouco de paciência na preparação. E, claro, lembre-se de todas as fórmulas necessárias.
Tentamos reunir em um só lugar todas as fórmulas para calcular a área de um trapézio para que você possa usá-las quando se preparar para exames e repetir o material.
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Em nossa vida, muitas vezes temos que lidar com a aplicação da geometria na prática, por exemplo, na construção. Entre as formas geométricas mais comuns está o trapézio. E para que o projeto seja bem-sucedido e bonito, é necessário um cálculo correto e preciso dos elementos para tal figura.
O que é quadrilátero convexo, que tem um par de lados paralelos, chamados de bases de um trapézio. Mas há dois outros lados conectando essas bases. São chamados de laterais. Uma das perguntas sobre esta figura é: "Como encontrar a altura do trapézio?" É imediatamente necessário prestar atenção que a altura é um segmento que determina a distância de uma base a outra. Existem várias maneiras de determinar essa distância, dependendo dos valores conhecidos.
1. Os valores de ambas as bases são conhecidos, nós os denotamos b e k, bem como a área deste trapézio. Usando valores conhecidos, é muito fácil encontrar a altura do trapézio neste caso. Como é conhecido da geometria, é calculado como o produto da metade da soma das bases pela altura. A partir desta fórmula, você pode facilmente derivar o valor desejado. Para fazer isso, você precisa dividir a área pela metade da soma das bases. Em forma de fórmula, ficaria assim:
S=((b+k)/2)*h, portanto h=S/((b+k)/2)=2*S/(b+k)
2. O comprimento da linha média é conhecido, vamos denotar d, e a área. Para quem não sabe, chamo de linha do meio a distância entre os pontos médios dos lados. Como encontrar a altura do trapézio neste caso? Pela propriedade do trapézio, a linha do meio corresponde à metade da soma das bases, ou seja, d=(b+k)/2. Novamente, usamos a fórmula da área. Substituindo metade da soma das bases pelo valor da linha média, obtemos o seguinte:
Como você pode ver, é muito fácil derivar a altura da fórmula resultante. Ao dividir a área pelo valor da linha média, encontramos o valor desejado. Vamos escrever esta fórmula:
3. O comprimento de um lado (b) e o ângulo formado entre este lado e a maior base são conhecidos. A resposta para a questão de como encontrar a altura de um trapézio também está neste caso. Considere um trapézio ABCD, onde AB e CD são lados e AB=b. Maior motivo eu estou triste. O ângulo formado por AB e AD será denotado por α. Do ponto B abaixamos a altura h até a base AD. Agora considere o triângulo resultante ABF, que é um triângulo retângulo. O lado AB é a hipotenusa e BF é o cateto. Da propriedade de um triângulo retângulo, a razão entre o valor do cateto e o valor da hipotenusa corresponde ao seno do ângulo oposto ao cateto (BF). Portanto, com base no exposto, para calcular a altura do trapézio, multiplicamos o valor festa conhecida e o seno do ângulo α. Em forma de fórmula, fica assim:
4. Da mesma forma, considera-se o caso se o tamanho do lado e o ângulo são conhecidos, vamos denotar por β, que é formado entre este lado e a base menor. Ao resolver esse problema, o ângulo entre o lado lateral conhecido e a altura desenhada será de 90 ° - β. Das propriedades dos triângulos - a razão entre o comprimento da perna e a hipotenusa corresponde ao cosseno do ângulo localizado entre eles. A partir desta fórmula é fácil derivar o valor da altura:
h = b *cos(β-90°)
5. Como encontrar a altura de um trapézio se apenas o raio do círculo inscrito é conhecido? A partir da definição de um círculo, ele toca um ponto em cada base. Além disso, esses pontos estão na mesma linha com o centro do círculo. Daí resulta que a distância entre eles é o diâmetro e, ao mesmo tempo, a altura do trapézio. Parece assim:
6. Muitas vezes há problemas em que é necessário encontrar a altura de um trapézio isósceles. Lembre-se de que um trapézio com lados iguais é chamado de isósceles. Como encontrar a altura de um trapézio isósceles? No diagonais perpendiculares a altura é metade da soma das bases.
Mas e se as diagonais não forem perpendiculares? Considere um trapézio isósceles ABCD. De acordo com suas propriedades, as bases são paralelas. Segue-se daí que os ângulos nas bases também serão iguais. Vamos desenhar duas alturas BF e CM. Com base no exposto, pode-se argumentar que os triângulos ABF e DCM são iguais, ou seja, AF = DM = (AD - BC) / 2 = (b-k) / 2. Agora, com base na condição do problema, temos vai decidir sobre quantidades conhecidas, e só então encontramos a altura, levando em consideração todas as propriedades de um trapézio isósceles.
Trapézioé chamado de quadrilátero só dois lados são paralelos entre si.
Eles são chamados de bases da figura, o resto - os lados. Um paralelogramo é considerado um caso especial de uma figura. Há também um trapézio curvilíneo, que inclui um gráfico de função. As fórmulas para a área de um trapézio incluem quase todos os seus elementos e a melhor solução selecionado dependendo dos valores fornecidos.
Os principais papéis no trapézio são atribuídos à altura e à linha média. linha do meio- esta é uma linha que liga os pontos médios dos lados. Altura trapézio é mantido em ângulo reto com canto superior para a base.
A área de um trapézio pela altura é igual ao produto da metade da soma dos comprimentos das bases, multiplicado pela altura:
Se a linha mediana é conhecida de acordo com as condições, essa fórmula é bastante simplificada, pois é igual à metade da soma dos comprimentos das bases:
Se, de acordo com as condições, os comprimentos de todos os lados forem fornecidos, podemos considerar um exemplo de cálculo da área de um trapézio através desses dados: 
Suponha que nos seja dado um trapézio com bases a = 3 cm, b = 7 cm e lados c = 5 cm, d = 4 cm. encontre a área formas: 
Área de um trapézio isósceles
Um caso separado é um isósceles ou, como também é chamado, um trapézio isósceles.
Um caso especial também é encontrar a área de um trapézio isósceles (isósceles). Fórmula derivada jeitos diferentes- pelas diagonais, pelos ângulos adjacentes à base e pelo raio do círculo inscrito.
Se o comprimento das diagonais for especificado pelas condições e o ângulo entre elas for conhecido, você pode usar a seguinte fórmula:
Lembre-se que as diagonais de um trapézio isósceles são iguais entre si!
Ou seja, conhecendo uma de suas bases, lado e ângulo, pode-se calcular facilmente a área.
Área de um trapézio curvilíneo
Um caso separado é trapézio curvilíneo. Ele está localizado no eixo de coordenadas e é limitado a um gráfico de uma função positiva contínua.
Sua base está localizada no eixo X e está limitada a dois pontos: 
As integrais ajudam a calcular a área de um trapézio curvilíneo.
A fórmula é escrita assim:
Considere um exemplo de cálculo da área de um trapézio curvilíneo. A fórmula requer certo conhecimento para trabalhar com certas integrais. Primeiro, vamos analisar o valor da integral definida: 
Aqui F(a) é o valor função antiderivada f(x) no ponto a , F(b) é o valor da mesma função f(x) no ponto b . 
Agora vamos resolver o problema. A figura mostra um trapézio curvilíneo limitado por uma função. Função 
Precisamos encontrar a área da figura selecionada, que é um trapézio curvilíneo, delimitado no topo por um gráfico, à direita está uma linha reta x = (-8), à esquerda está uma linha reta x = ( -10) e o eixo OX está abaixo.
Vamos calcular a área desta figura usando a fórmula: 
Nos é dada uma função pelas condições do problema. Segundo ela nós encontre os valores antiderivada em cada um de nossos pontos:
Agora
Responda: a área de um determinado trapézio curvilíneo é 4.
Não há nada difícil em calcular este valor. Apenas o máximo cuidado nos cálculos é importante.
E . Agora podemos começar a considerar a questão de como encontrar a área de um trapézio. Essa tarefa na vida cotidiana ocorre muito raramente, mas às vezes é necessário, por exemplo, encontrar a área de uma sala na forma de um trapézio, que é cada vez mais usada na construção de apartamentos modernos, ou em projetos de design de renovação.
Trapézio é figura geométrica, formado por quatro segmentos que se cruzam, dois dos quais são paralelos entre si e são chamados de bases de um trapézio. Os outros dois segmentos são chamados de lados do trapézio. Além disso, precisaremos de outra definição mais adiante. Esta é a linha média do trapézio, que é um segmento que liga os pontos médios dos lados e a altura do trapézio, que é igual à distância entre as bases.
Como os triângulos, um trapézio tem tipos particulares na forma de um trapézio isósceles (isósceles), no qual os comprimentos dos lados são os mesmos, e um trapézio retangular, no qual um dos lados forma um ângulo reto com as bases.
Os trapézios têm algumas propriedades interessantes:
- A linha média de um trapézio é metade da soma das bases e paralela a elas.
- Os trapézios isósceles têm lados e ângulos iguais que formam com as bases.
- Os pontos médios das diagonais de um trapézio e o ponto de interseção de suas diagonais estão na mesma linha reta.
- Se a soma dos lados de um trapézio é igual à soma das bases, então um círculo pode ser inscrito nele
- Se a soma dos ângulos formados pelos lados de um trapézio em qualquer uma de suas bases for 90, então o comprimento do segmento que liga os pontos médios das bases é igual à sua meia-diferença.
- Um trapézio isósceles pode ser descrito por um círculo. E vice versa. Se um trapézio está inscrito em um círculo, então ele é isósceles.
- O segmento que passa pelos pontos médios das bases de um trapézio isósceles será perpendicular às suas bases e representa o eixo de simetria.
Como encontrar a área de um trapézio.
A área de um trapézio será a metade da soma de suas bases multiplicada por sua altura. Na forma de uma fórmula, isso é escrito como uma expressão:
onde S é a área do trapézio, a,b é o comprimento de cada uma das bases do trapézio, h é a altura do trapézio.
Você pode entender e lembrar desta fórmula da seguinte forma. Como segue na figura abaixo, um trapézio usando a linha média pode ser convertido em um retângulo, cujo comprimento será igual à metade da soma das bases.
Você também pode decompor qualquer trapézio em mais figuras simples: um retângulo e um ou dois triângulos, e se for mais fácil para você, encontre a área do trapézio como a soma das áreas de suas figuras constituintes.
Há mais um fórmula simples para calcular sua área. Segundo ele, a área do trapézio é igual ao produto de sua linha média pela altura do trapézio e é escrita como: S = m * h, onde S é a área, m é o comprimento do trapézio linha média, h é a altura do trapézio. Esta fórmula mais adequado para problemas de matemática do que para tarefas cotidianas, uma vez que em condições reais você não saberá o comprimento da linha média sem cálculos preliminares. E você só saberá os comprimentos das bases e dos lados.
Nesse caso, a área do trapézio pode ser encontrada usando a fórmula:
S \u003d ((a + b) / 2) * √c 2 - ((b-a) 2 + c 2 -d 2 / 2 (b-a)) 2
onde S-área, a,b-bases, lados c,d trapézio.
Existem várias outras maneiras de encontrar a área de um trapézio. Mas eles são tão inconvenientes quanto a última fórmula, o que significa que não faz sentido insistir neles. Portanto, recomendamos que você use a primeira fórmula do artigo e deseje sempre obter resultados precisos.
Um trapézio é um quadrilátero em relevo, no qual dois lados opostos são paralelos e os outros dois não paralelos. Se todos os lados opostos de um quadrilátero são paralelos aos pares, então é um paralelogramo.
Você vai precisar
- - todos os lados do trapézio (AB, BC, CD, DA).
Instrução
1. não paralelo lados trapézio são chamados de lados laterais e paralelos - bases. A linha entre as bases, perpendicular a elas - a altura trapézio. Se lado lados trapézio igual, é chamado de isósceles. Vejamos primeiro a solução para trapézio, que não é isósceles.
2. Desenhe a linha BE do ponto B até a base inferior AD paralela ao lado trapézio CD. Porque BE e CD são paralelos e desenhados entre bases paralelas trapézio BC e DA, então BCDE é um paralelogramo e seus opostos lados BE e CD são iguais. BE=CD.
3. Considere o triângulo ABE. Calcule o lado AE. AE=AD-ED. Fundações trapézio BC e AD são conhecidos, e no paralelogramo BCDE são opostos lados ED e BC são iguais. ED=BC, então AE=AD-BC.
4. Agora descubra a área do triângulo ABE usando a fórmula de Heron calculando o semiperímetro. S=raiz(p*(p-AB)*(p-BE)*(p-AE)). Nesta fórmula, p é o semiperímetro do triângulo ABE. p=1/2*(AB+BE+AE). Para calcular a área, você conhece todos os dados necessários: AB, BE=CD, AE=AD-BC.
6. Expresse a partir desta fórmula a altura do triângulo, que também é a altura trapézio. BH=2*S/AE. Calcule.
7. Se o trapézio for isósceles, a decisão pode ser executada de forma diferente. Considere o triângulo ABH. É retangular porque um dos cantos, BHA, é reto.
8. Desenhe a altura CF do vértice C.
9. Examine a figura HBCF. retângulo HBCF, pelo fato de serem dois lados são as alturas e os outros dois são as bases trapézio, ou seja, os ângulos são retos e opostos lados são paralelos. Isso significa que BC=HF.
10. Olhe para triângulos retângulos ABH e FCD. Os cantos nas alturas BHA e CFD são retos, e os cantos nas laterais lados x BAH e CDF são iguais porque o trapézio ABCD é isósceles, então os triângulos são semelhantes. Como as alturas de BH e CF são laterais lados isósceles trapézio AB e CD são iguais, então triângulos semelhantes também são iguais. Então seus lados AH e FD também são iguais.
11. Detectar AH. AH+FD=AD-HF. Porque de um paralelogramo HF=BC, e de triângulos AH=FD, então AH=(AD-BC)*1/2.
Um trapézio é uma figura geométrica, que é um quadrilátero em que dois lados, que são chamados de bases, são paralelos e os outros dois não são paralelos. Eles são chamados de lados. trapézio. O segmento desenhado através dos pontos médios dos lados é chamado de linha média. trapézio. O trapézio pode ter vários comprimentos lados ou idênticos, caso em que é chamado de isósceles. Se um dos lados for perpendicular à base, o trapézio será retangular. Mas é muito mais prático saber detectar quadrado trapézio .
Você vai precisar
- Régua com divisões milimétricas
Instrução
1. Meça todos os lados trapézio: AB, BC, CD e DA. Anote os resultados de suas medições.
2. No segmento AB, marque o ponto médio K. No segmento DA, marque o ponto L, que também está no meio do segmento AD. Combine os pontos K e L, o segmento resultante KL será a linha do meio trapézio ABCD. Meça o segmento KL.
3. Do topo trapézio- saudade C, abaixe a perpendicular à sua base AD o segmento CE. Ele será a altura trapézio ABCD. Meça o segmento CE.
4. Chamamos o segmento KL de letra m, e o segmento CE de letra h, então quadrado S trapézio Calcule ABCD usando a fórmula: S=m*h, onde m é a linha média trapézio ABCD, h - altura trapézio ABCD.
5. Existe outra fórmula que permite calcular quadrado trapézio ABCD. Base inferior trapézio Vamos chamar AD a letra b, e a base superior BC - a letra a. A área é determinada pela fórmula S=1/2*(a+b)*h, onde a e b são bases trapézio, h - altura trapézio .
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Dica 3: Como encontrar a altura de um trapézio se você conhece a área
Um trapézio é um quadrilátero em que dois de seus quatro lados são paralelos entre si. Lados paralelos são a base para isso trapézio, enquanto os outros dois são lados laterais do dado trapézio. descobrir altura trapézio, se sua área for conhecida, será muito fácil.
Instrução
1. Precisamos descobrir como é permitido calcular a área do inicial trapézio. Existem várias fórmulas para isso, dependendo dos dados iniciais: S = ((a + b) * h) / 2, onde a e b são os comprimentos das bases trapézio, e h é a sua altura (Altura trapézio- uma perpendicular caiu de uma base trapézio para outro); S \u003d m * h, onde m é a linha do meio trapézio(A linha do meio é um segmento paralelo às bases trapézio e conectando os pontos médios de seus lados).
2. Agora, conhecendo as fórmulas para calcular a área trapézio, é permitido derivar novos deles, para encontrar a altura trapézio:h = (2*S)/(a+b);h = S/m.
3. Para deixar mais claro como resolver problemas semelhantes, é permitido ver exemplos: Exemplo 1: Dado um trapézio cuja área é 68 cm ?, cuja linha média é 8 cm altura dado trapézio. Para decidir esta tarefa, você precisa usar a fórmula derivada anteriormente: h \u003d 68/8 \u003d 8,5 cm Resposta: a altura disso trapézioé 8,5 cm Exemplo 2: Seja trapézio a área é 120 cm ?, os comprimentos das bases de um dado trapézio são 8 cm e 12 cm, respectivamente, é necessário detectar altura isto trapézio. Para fazer isso, aplique uma das fórmulas derivadas: h \u003d (2 * 120) / (8 + 12) \u003d 240/20 \u003d 12 cm Resposta: a altura do dado trapézio igual a 12 cm
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Observação!
Qualquer trapézio tem várias propriedades: - a linha do meio do trapézio é igual à metade da soma de suas bases; - o segmento que conecta as diagonais do trapézio é igual à metade da diferença de suas bases; - se uma linha reta é traçado pelos pontos médios das bases, então ele cruzará o ponto de interseção das diagonais do trapézio; - é permitido inscrever um círculo em um trapézio se a soma das bases desse trapézio for igual à soma de seus Use essas propriedades ao resolver problemas.
Dica 4: Como encontrar a altura de um triângulo dadas as coordenadas dos pontos
A altura em um triângulo é um segmento de linha reta que liga a parte superior da figura com o lado oposto. Este segmento certamente deve ser perpendicular ao lado, consequentemente, de qualquer vértice é permitido desenhar apenas um altura. Pelo fato de haver três vértices nesta figura, há tantas alturas nela. Se o triângulo é dado pelas coordenadas de seus vértices, o cálculo do comprimento de qualquer uma das alturas pode ser feito, digamos, usando a fórmula para encontrar a área e calcular os comprimentos dos lados.
Instrução
1. Com base nos cálculos, a área triângulo igual à metade do produto do comprimento de cada um de seus lados pelo comprimento da altura rebaixada para este lado. A partir dessa definição, segue-se que, para encontrar a altura, você precisa conhecer a área da figura e o comprimento do lado.
2. Comece calculando os comprimentos dos lados triângulo. Designe as coordenadas dos vértices da figura da seguinte forma: A(X?,Y?,Z?), B(X?,Y?,Z?) e C(X?,Y?,Z?). Então você pode calcular o comprimento do lado AB usando a fórmula AB = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?). Para os outros 2 lados, essas fórmulas ficarão assim: BC = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?) e AC = ?((( X ?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?). Digamos para triângulo com as coordenadas A(3,5,7), B(16,14,19) e C(1,2,13) o comprimento do lado AB é ?((3-16)? + (5-14) ? + (7 -19)?) = ?(-13? + (-9?) + (-12?)) = ?(169 + 81 + 144) = ?394 ? 19,85. Os comprimentos dos lados BC e AC, calculados pelo mesmo método, serão iguais a ?(15? + 12? + 6?) =?405? 20,12 e ?(2? + 3? + (-6?)) = ?49 = 7.
3. As habilidades dos comprimentos de 3 lados obtidos na etapa anterior são suficientes para calcular a área triângulo(S) de acordo com a fórmula de Heron: S = ? * ?((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). Digamos, depois de substituir os valores obtidos das coordenadas nesta fórmula triângulo-exemplo da etapa anterior, esta fórmula fornecerá o seguinte valor: S = ?*?((19,85+20,12+7) * (20,12+7-19,85) * (19,85+7-20 ,12) * (19,85+ 20,12-7)) = ?*?(46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97) ? ?*?75768.55 ? ?*275,26 = 68,815.
4. Com base na área triângulo, calculado na etapa anterior, e os comprimentos dos lados obtidos na segunda etapa, calcule as alturas de cada um dos lados. Como a área é igual à metade do produto da altura e o comprimento do lado para o qual é desenhada, para encontrar a altura, divida a área pelo comprimento do lado desejado: H \u003d 2 * S / a. Para o exemplo usado acima, a altura rebaixada para o lado AB será 2 * 68.815 / 16.09? 8,55, a altura para o lado BC terá um comprimento de 2 * 68,815 / 20,12? 6,84, e para o lado AC, esse valor será igual a 2 * 68,815 / 7? 19.66.
