Ang kursong geometry ay malawak, napakalaki at multifaceted: kabilang dito ang marami iba't ibang paksa, mga tuntunin, teorema at kapaki-pakinabang na kaalaman. Maaari itong isipin na ang lahat ng bagay sa ating mundo ay binubuo ng simple, kahit na ang pinaka kumplikado. Mga punto, linya, eroplano - lahat ng ito ay nasa iyong buhay. At sila ay pumapayag sa umiiral na mga batas sa mundo sa ugnayan ng mga bagay sa kalawakan. Upang patunayan ito, maaaring subukan ng isa na patunayan ang paralelismo ng mga linya at eroplano.
Ang isang tuwid na linya ay isang linya na nag-uugnay sa dalawang punto sa pinakamaikling landas, nang walang pagtatapos at tumatagal sa magkabilang panig hanggang sa kawalang-hanggan. Ang eroplano ay isang ibabaw na nabuo sa panahon ng kinematic na paggalaw ng isang generatrix ng isang tuwid na linya kasama ang isang gabay. Sa madaling salita, kung ang alinmang dalawang linya ay may punto ng intersection sa kalawakan, maaari rin silang humiga sa parehong eroplano. Gayunpaman, paano ipahayag ang mga direktang kung ang mga data na ito ay hindi sapat para sa naturang assertion?
Ang pangunahing kondisyon para sa parallelism ng isang tuwid na linya at isang eroplano ay wala sila karaniwang mga punto. Hindi tulad ng mga tuwid na linya, na, sa kawalan ng mga karaniwang punto, ay maaaring hindi magkatulad, ngunit magkakaiba, ang eroplano ay dalawang-dimensional, na hindi kasama ang isang bagay bilang diverging tuwid na mga linya. Kung ang kondisyong ito Ang parallelism ay hindi sinusunod - nangangahulugan ito na ang linya ay sumasalubong sa ibinigay na eroplano sa isang punto o ganap na namamalagi dito.
Ano ang pinakamalinaw na ipinapakita sa atin ng kondisyon ng parallelism ng isang tuwid na linya at isang eroplano? Ang katotohanan na sa anumang punto sa espasyo ang distansya sa pagitan ng isang parallel na linya at isang eroplano ay magiging pare-pareho. Sa pagkakaroon ng kahit na pinakamaliit, sa bilyong bahagi ng isang degree, slope, ang tuwid na linya ay malaon o huli tatawid sa eroplano dahil sa mutual infinity. Iyon ang dahilan kung bakit ang parallelism ng isang tuwid na linya at isang eroplano ay posible lamang kung ang panuntunang ito ay sinusunod, kung hindi man ang pangunahing kondisyon nito - ang kawalan ng mga karaniwang punto - ay hindi masusunod.
Ano ang maidaragdag, pinag-uusapan ang paralelismo ng mga linya at eroplano? Ang katotohanan na kung ang isa sa mga parallel na linya ay kabilang sa eroplano, kung gayon ang pangalawa ay kahanay sa eroplano, o kabilang din dito. Paano ito patunayan? Ang paralelismo ng isang linya at isang eroplano na naglalaman ng isang linya na parallel sa isang naibigay na isa ay napatunayang napakasimple. walang mga karaniwang punto - samakatuwid, hindi sila nagsalubong. At kung ang linya ay hindi bumalandra sa eroplano sa isang punto, kung gayon ito ay kahanay o namamalagi sa eroplano. Muli nitong pinatutunayan ang parallelism ng isang tuwid na linya at isang eroplano na walang mga intersection point.
Mayroon ding theorem sa geometry na nagsasaad na kung mayroong dalawang eroplano at isang tuwid na linya na patayo sa kanilang dalawa, kung gayon ang mga eroplano ay parallel. Ang isang katulad na teorama ay nagsasaad na kung ang dalawang linya ay patayo sa alinmang isang eroplano, sila ay kinakailangang magkapareho sa isa't isa. Tama at mapapatunayan ba ang paralelismo ng mga linya at eroplano, na ipinahayag ng mga teorema na ito?
Ito ay lumiliko ito ay. Diretso, patayo sa eroplano, ay palaging mahigpit na patayo sa anumang linya na nasa ibinigay na eroplano at mayroon ding intersection point sa isa pang linya. Kung ang isang linya ay may katulad na mga intersection na may ilang mga eroplano at patayo sa kanila sa lahat ng mga kaso, kung gayon ang lahat ng mga eroplanong ito ay parallel sa bawat isa. magandang halimbawa ang pyramid ng mga bata ay maaaring magsilbi: ang axis nito ay ang nais na patayong linya, at ang mga singsing ng pyramid ay magiging mga eroplano.
Samakatuwid, medyo madaling patunayan ang paralelismo ng isang linya at isang eroplano. Ang kaalamang ito ay nakuha ng mga mag-aaral kapag pinag-aaralan ang mga pangunahing kaalaman ng geometry at higit na tinutukoy ang karagdagang asimilasyon ng materyal. Kung alam mo kung paano gamitin nang tama ang kaalaman na nakuha sa simula ng pagsasanay, magiging posible na gumana kung saan malaking dami mga formula at laktawan ang mga hindi kinakailangang lohikal na link sa pagitan nila. Ang pangunahing bagay ay ang pag-unawa sa mga pangunahing kaalaman. Kung wala ito, kung gayon ang pag-aaral ng geometry ay maihahambing sa gusali na walang pundasyon. kaya lang ang paksang ito nangangailangan ng masusing atensyon at masusing pananaliksik.
Ang kahulugan ng mga parallel na linya at ang kanilang mga katangian sa kalawakan ay kapareho ng sa eroplano (tingnan ang aytem 11).
Kasabay nito, ang isa pang kaso ng pag-aayos ng mga linya ay posible sa espasyo - mga skew na linya. Ang mga linyang hindi nagsalubong at hindi nakahiga sa parehong eroplano ay tinatawag na mga intersecting na linya.
Ipinapakita ng Figure 121 ang layout ng sala. Nakikita mo na ang mga linya kung saan nabibilang ang mga segment na AB at BC ay skew.
Ang anggulo sa pagitan ng mga intersecting na linya ay ang anggulo sa pagitan ng mga intersecting na linya na kahanay sa kanila. Ang anggulong ito ay hindi nakadepende sa kung aling mga intersecting na linya ang kinukuha.
Ang sukat ng antas ng anggulo sa pagitan ng mga parallel na linya ay ipinapalagay na zero.
Ang isang karaniwang patayo ng dalawang magkasalubong na linya ay isang segment na may mga dulo sa mga linyang ito, na isang patayo sa bawat isa sa kanila. Maaari itong patunayan na ang dalawang intersecting na linya ay may isang karaniwang patayo, at higit pa rito, isa lamang. Ito ay isang karaniwang patayo ng mga parallel na eroplano na dumadaan sa mga linyang ito.
Ang distansya sa pagitan ng mga intersecting na linya ay ang haba ng kanilang karaniwang patayo. Ito ay katumbas ng distansya sa pagitan ng mga parallel na eroplano na dumadaan sa mga linyang ito.
Kaya, upang mahanap ang distansya sa pagitan ng mga intersecting na linya a at b (Larawan 122), kinakailangan na gumuhit ng mga parallel na eroplano a at sa bawat isa sa mga linyang ito. Ang distansya sa pagitan ng mga eroplanong ito ay ang distansya sa pagitan ng mga intersecting na linya a at b. Sa figure 122, ang distansya na ito ay, halimbawa, ang distansya AB.
Halimbawa. Ang mga linyang a at b ay magkatulad at ang mga linyang c at d ay nagsalubong. Maaari bang i-intersect ng bawat isa sa mga linya ang magkabilang linya
Solusyon. Ang mga linyang a at b ay nasa parehong eroplano, at samakatuwid ang anumang linya na nagsalubong sa bawat isa sa kanila ay nasa parehong eroplano. Samakatuwid, kung ang bawat isa sa mga linya a, b ay nagsalubong sa parehong mga linya c at d, kung gayon ang mga linya ay nasa parehong eroplano na may mga linya ng a at b, at hindi ito maaaring, dahil ang mga linya ay nagsalubong.
42. Paralelismo ng isang tuwid na linya at isang eroplano.
Ang isang linya at isang eroplano ay tinatawag na parallel kung hindi sila magsalubong, ibig sabihin, wala silang mga karaniwang punto. Kung ang linya a ay parallel sa eroplano a, pagkatapos ay isusulat nila:.
Ang Figure 123 ay nagpapakita ng isang tuwid na linya na kahanay ng eroplano a.
Kung straight, hindi kabilang sa eroplano, ay parallel sa ilang linya sa eroplanong ito, pagkatapos ay parallel din ito sa mismong eroplano (isang tanda ng parallelism ng linya at ng eroplano).
Ang teorama na ito ay nagpapahintulot tiyak na sitwasyon Patunayan na ang isang linya at isang eroplano ay parallel. Ang Figure 124 ay nagpapakita ng isang tuwid na linya b na kahanay ng isang tuwid na linya a na nakahiga sa eroplano a, ibig sabihin, sa kahabaan ng tuwid na linya b parallel sa eroplano a, i.e.
Halimbawa. Sa pamamagitan ng tuktok tamang anggulo Mula sa hugis-parihaba tatsulok ABC Ang isang eroplano ay iginuhit parallel sa hypotenuse sa layo na 10 cm mula dito. Ang mga projection ng mga binti sa eroplanong ito ay 30 at 50 cm.Hanapin ang projection ng hypotenuse sa parehong eroplano.
Solusyon. Mula sa kanang tatsulok Ang BBVC at (Larawan 125) ay makikita natin:
Mula sa tatsulok na ABC nakita namin:
Ang projection ng hypotenuse AB sa eroplano a ay . Dahil ang AB ay parallel sa eroplano a, kung gayon So,.
43. Parallel na eroplano.
Dalawang eroplano ay tinatawag na parallel. kung hindi sila magsalubong.
Dalawang eroplano ay parallel" kung ang isa sa mga ito ay parallel sa dalawang intersecting na linya na nakahiga sa isa pang eroplano (isang tanda ng parallelism ng dalawang eroplano).
Sa Figure 126, ang eroplano a ay parallel sa mga intersecting na linya a at b na nakahiga sa eroplano, at sa kahabaan ng mga eroplanong ito ay parallel.
Sa pamamagitan ng isang punto sa labas ng isang naibigay na eroplano, ang isa ay maaaring gumuhit ng isang eroplano parallel sa ibinigay na isa, at higit pa rito, isa lamang.
Kung ang dalawang magkatulad na eroplano ay nagsalubong sa isang pangatlo, kung gayon ang mga linya ng intersection ay magkatulad.
Ang Figure 127 ay nagpapakita ng dalawang parallel na eroplano, at ang eroplanong y ay nag-intersect sa kanila sa mga tuwid na linya a at b. Pagkatapos, sa pamamagitan ng Theorem 2.7, maaari nating igiit na ang mga linyang a at b ay magkatulad.
Ang mga segment ng parallel lines na nakapaloob sa pagitan ng dalawang parallel planes ay pantay.
Ayon sa T.2.8, ang mga segment AB at ipinapakita sa Figure 128 ay pantay, dahil
Hayaang magsalubong ang mga eroplanong ito. Gumuhit ng isang eroplano na patayo sa linya ng kanilang intersection. Nag-intersect ang mga eroplanong ito sa dalawang tuwid na linya. Ang anggulo sa pagitan ng mga linyang ito ay tinatawag na anggulo sa pagitan ng mga eroplanong ito (Larawan 129). Ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano na tinukoy sa ganitong paraan ay hindi nakasalalay sa pagpili ng secant plane.
Kasama sa kursong video na "Kumuha ng A" ang lahat ng mga paksang kailangan para sa isang matagumpay pagpasa sa pagsusulit sa matematika para sa 60-65 puntos. Ganap ang lahat ng gawain 1-13 pagsusulit sa profile matematika. Angkop din para sa pagpasa sa Basic USE sa matematika. Kung gusto mong pumasa sa pagsusulit na may 90-100 puntos, kailangan mong lutasin ang bahagi 1 sa loob ng 30 minuto at walang pagkakamali!
Paghahanda ng kurso para sa pagsusulit para sa mga baitang 10-11, pati na rin para sa mga guro. Lahat ng kailangan mo upang malutas ang bahagi 1 ng pagsusulit sa matematika (ang unang 12 problema) at problema 13 (trigonometry). At ito ay higit sa 70 puntos sa Unified State Examination, at hindi magagawa ng isang daang puntos na estudyante o ng isang humanist kung wala sila.
Lahat ng kinakailangang teorya. Mabilis na Paraan solusyon, bitag at GAMITIN ang mga lihim. Ang lahat ng nauugnay na gawain ng bahagi 1 mula sa mga gawain ng Bank of FIPI ay nasuri. Ang kurso ay ganap na sumusunod sa mga kinakailangan ng USE-2018.
Ang kurso ay naglalaman ng 5 malalaking paksa, 2.5 oras bawat isa. Ang bawat paksa ay ibinigay mula sa simula, simple at malinaw.
Daan-daang mga gawain sa pagsusulit. Mga problema sa text at teorya ng posibilidad. Simple at madaling matandaan ang mga algorithm sa paglutas ng problema. Geometry. Teorya, sangguniang materyal, pagsusuri ng lahat ng uri ng mga gawain sa PAGGAMIT. Stereometry. Mga nakakalito na solusyon, kapaki-pakinabang na cheat sheet, pag-unlad spatial na imahinasyon. Trigonometry mula sa simula - hanggang sa gawain 13. Pag-unawa sa halip na pag-cramming. Visual na paliwanag kumplikadong mga konsepto. Algebra. Mga ugat, kapangyarihan at logarithms, function at derivative. Base para sa solusyon mapaghamong mga gawain 2 bahagi ng pagsusulit.
Pinag-aaralan ng paunang geometry ang mga konsepto at ugnayan ng mga bagay. Kung walang malinaw na katwiran, imposibleng mag-navigate papasok lugar ng aplikasyon. Ang tanda ng parallelism ng isang tuwid na linya at isang eroplano ay ang unang hakbang sa geometry ng espasyo. Mastering ang mga unang kategorya ay maglalapit sa kamangha-manghang mundo ng katumpakan, lohika, kalinawan.
Sa pakikipag-ugnayan sa
Ratio ng bagay: posibleng mga pagpipilian
Ang stereometry ay isang tool para sa pag-unawa sa mundo. Sinusuri nito ang kaugnayan ng mga bagay sa isa't isa, nagtuturo kung paano kalkulahin ang mga distansya nang walang ruler. Ang matagumpay na pagsasanay ay nangangailangan master ang mga pangunahing konsepto.
May ibabaw a at linya l. May tatlong kaso ng object correlation. Ang mga ito ay tinukoy ng mga intersection point. Madaling tandaan:
- 0 puntos - parallel;
- 1 punto - magkasalubong;
- walang hanggan marami - ang linya ay namamalagi sa eroplano.
Madaling ilarawan ang tanda ng paralelismo ng mga bagay. Sa ibabaw a mayroong isang linya na may || l, pagkatapos l || a.
Ang isang simpleng paghahabol ay nangangailangan ng patunay. Hayaang iguhit ang ibabaw sa pamamagitan ng mga linya: l || c. Sa Ω, a = c. Hayaan akong magkaroon ng isang karaniwang punto sa a. Dapat itong nakahiga sa p. Sumasalungat ito sa kundisyon: l || c. Pagkatapos l ay parallel sa eroplano a. Panimulang posisyon tama.
Mahalaga! Mayroong kahit isang linya sa espasyo || patag na ibabaw. Ito ay kaayon ng pahayag ng paunang geometry (planimetry).
Isang simpleng pag-iisip: ang a ay nabibilang sa higit sa isang punto l, kaya ang linya l ay ganap na nabibilang sa a.
isang || Kung ako lang ang kawalan ng isang punto ng intersection.
Ito ay isang lohikal na kahulugan ng parallelism ng isang tuwid na linya at isang eroplano.
Madaling hanapin praktikal na gamit mga probisyon. Paano patunayan na ang isang linya ay parallel sa isang eroplano?
Ito ay sapat na upang gamitin ang sinisiyasat na tampok.
Ano ang kapaki-pakinabang na malaman
Para sa isang karampatang solusyon ng mga problema, kinakailangan na pag-aralan ang mga karagdagang pag-aayos ng mga bagay. Ang batayan ay isang tanda ng paralelismo ng isang tuwid na linya at isang eroplano. Ang paggamit nito ay magpapadali sa pag-unawa sa iba pang mga elemento. Isinasaalang-alang ng geometry ng espasyo ang mga espesyal na kaso.
Mga intersection sa stereometry
Ang mga bagay ay pareho: patag na ibabaw a, linya c, l. Paano sila magkakasamang nabubuhay? Sa || l. L nagsalubong a. Madaling maunawaan: c ay tiyak na magsalubong a. Ang ideyang ito ay isang lemma sa intersection ng isang eroplano sa pamamagitan ng mga parallel na linya.
Lumalawak ang larangan ng aktibidad. Ang isang ibabaw ay idinagdag sa mga bagay na pinag-aaralan. Siya ang nagmamay-ari ng l. Walang nagbabago sa orihinal na mga bagay: l || a. Muli, ito ay simple: sa kaso ng intersection ng mga eroplano karaniwang linya d || l. Ang konsepto ay agad na sumusunod: kung aling dalawang eroplano ang tinatawag na intersecting. Yung may common line.
Ano ang mga theorems na kailangang pag-aralan
Ang mga pangunahing konsepto ng kaugnayan ng mga bagay ay humahantong sa paglalarawan ng mga pangunahing pahayag. Sila ay nangangailangan ng pinahabang patunay. Una: theorems sa parallelism ng isang tuwid na linya at isang eroplano. Iba't ibang kaso ang isinasaalang-alang.
- Mga bagay: ibabaw P, Q, R, mga linya AB, CD. Kalagayan: P||Q, R ay nag-intersect sa kanila. Natural, AB||CD.
- Mga paksa ng pag-aaral: mga linya AB, CD, A1B1, C1D1. Bina-intersect ng AB ang CD sa isang eroplano, bina-intersect ng A1B1 ang C1D1 sa isa pa. AB||A1B1, CD||C1D1. Konklusyon: mga ibabaw na nagsalubong sa mga pares parallel lines, ||.
Lumilitaw ang isang bagong konsepto . Ang mga tumatawid na linya ay hindi magkatulad. kahit na sila ay nakahiga sa parallel na mga eroplano. Ito ay C1D1 at AB, A1B1 at CD. Ang hindi pangkaraniwang bagay na ito ay malawakang ginagamit sa praktikal na stereometry.
Natural na pahayag: sa pamamagitan ng isa sa mga tumatawid na linya, ito ay totoo dumadaan sa isang solong parallel plane.
- Pagkatapos ay madaling makarating sa trace theorem. Ito ang pangatlo sa mga pahayag tungkol sa paralelismo ng isang linya at isang ibabaw. May linya l. Siya || a. ako ay kabilang sa. Sa Ω, a = d. Ang tanging posibleng opsyon ay: d || l.
Mahalaga! Ang linya at ang eroplano ay tinatawag na || sa kawalan ng mga karaniwang bagay - mga puntos.
Mga katangian ng paralelismo at ang kanilang mga patunay
Madaling makarating sa konsepto ng lokasyon ng mga patag na ibabaw:
- walang laman na hanay ng mga karaniwang punto (tinatawag na parallel);
- bumalandra sa isang tuwid na linya.
Ginagamit ang mga ito sa stereometry parallel na katangian. Ang anumang spatial na larawan ay may mga ibabaw at linya. Para sa matagumpay na solusyon mga problema na kinakailangan upang pag-aralan ang mga pangunahing theorems:
- Mga inimbestigahang bagay: a || b; c Ω b = l, c Ω a = m. Output: l||m. Ang palagay ay nangangailangan ng patunay. Ang lokasyon ng l at m ay isa sa dalawa: intersect o parallel. Ngunit sa pangalawang kaso ang mga ibabaw ay walang karaniwang mga punto. Pagkatapos l || m. Napatunayan na ang assertion. Dapat itong alalahanin: kung ang linya ay nasa isang eroplano, kung gayon mayroon silang higit sa isang intersection point.
- May ibabaw a, ang puntong A ay hindi kabilang sa a. Pagkatapos ay mayroon lamang isang ibabaw b || isang pagdaan sa A. Ang panukala ay madaling patunayan. Hayaang l Ω m; l, m ay nabibilang sa a. Ang isang eroplano ay binuo sa pamamagitan ng bawat isa sa kanila at A. Siya ay tumatawid a. Mayroon itong linyang dumadaan sa A at || a. Sa point A sila ay nagsa-intersect. Binubuo nila ang tanging ibabaw b || a.
- May mga intersecting na linya l at m. Tapos may mga || ibabaw a at b kung saan nabibilang ang l at m. Lohikal na gawin ito: sa pagpili ng l at m di-makatwirang puntos. Ilipat ang m1 || m, l1 || l. Nagsasalubong na mga linya nang magkapares || => isang || b. Napatunayan na ang posisyon.
Ang kaalaman sa mga katangian ng parallelism ng isang tuwid na linya at isang eroplano ay magpapahintulot sa iyo na mahusay na ilapat ang mga ito sa pagsasanay. Ang simple at lohikal na ebidensya ay makakatulong sa iyo na mag-navigate kaakit-akit na mundo stereometry.
Mga eroplano: pagsusuri ng paralelismo
Ang paglalarawan ng konsepto ay madali. Tanong: ano ang ibig sabihin, ang isang tuwid na linya at isang eroplano ay magkatulad, nalutas. Ang pag-aaral ng mga unang kategorya ng geometry ng espasyo ay humantong sa isang mas kumplikadong pahayag.
Kapag nagpapasya mga inilapat na gawain nalalapat ang paralelismo. Simpleng paglalarawan: hayaan ang l Ω m, l1 Ω m1, l, m ay kabilang sa a, l1, m1 – b. Sa kasong ito, l || l1, m || m1. Pagkatapos ay isang || b.
Nang walang aplikasyon mga simbolo ng matematika: Ang mga eroplano ay sinasabing parallel kung sila ay iginuhit sa pamamagitan ng intersecting pairwise parallel lines.
Isinasaalang-alang ang stereometry mga katangian ng parallel planes. Inilalarawan sila ng mga theorems:
Mga inimbestigahang bagay: a || b, a Ω c = l, b Ω c = m. Pagkatapos l || m. Malinaw na patunay. at ang mga Linya ay nasa parehong eroplano kung sila ay || o bumalandra. Ang pahayag tungkol sa parallelism ng linya at ang ibabaw ay dapat ilapat. Pagkatapos ito ay nagiging halata: l at m ay hindi maaaring magsalubong. Ang tanging natitira ay l || m.
Ang isang linya at isang eroplano ay tinatawag na parallel kung wala silang mga karaniwang punto. Kung ang isang linya na wala sa isang partikular na eroplano ay parallel sa isang linya sa eroplanong iyon
1. Kung ang isang eroplano ay dumaan sa isang ibinigay na linya na kahanay ng isa pang eroplano at nag-intersect sa eroplanong ito, kung gayon ang linya ng intersection ng mga eroplano ay parallel sa ibinigay na linya.
2. Kung ang isa sa dalawang magkatulad na linya ay parallel sa isang naibigay na eroplano, at ang kabilang linya ay may isang karaniwang punto sa eroplano, kung gayon ang linyang ito ay namamalagi sa ibinigay na eroplano. eroplano, pagkatapos ito ay parallel sa mismong eroplano.
Mga kaso ng mutual arrangement ng isang tuwid na linya at isang eroplano: a) ang linya ay nasa isang eroplano;
b) ang isang linya at isang eroplano ay may isang karaniwang punto lamang; c) isang linya at isang eroplano ay walang karaniwang punto.
2. Pagpapasiya ng natural na laki ng isang segment ng isang tuwid na linya sa pangkalahatang posisyon sa pamamagitan ng paraan ng isang right triangle.
Ang natural na halaga (n.v.) ng isang line segment AB sa pangkalahatang posisyon ay ang hypotenuse ng isang right triangle ABK. Sa tatsulok na ito, ang leg AK ay parallel sa eroplano ng mga projection π1 at katumbas ng pahalang na projection ng segment A"B". Ang leg BK ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mga distansya ng mga puntos A at B mula sa eroplano π1.
Sa pangkalahatang kaso, upang matukoy ang natural na sukat ng isang tuwid na linya ng segment, kinakailangan upang bumuo ng hypotenuse ng isang kanang tatsulok, ang isang binti kung saan ay ang pahalang (frontal) na projection ng segment, ang isa pang binti ay isang segment na katumbas. sa magnitude sa algebraic na pagkakaiba ng Z (Y) na mga coordinate ng mga matinding punto ng segment.
Ang anggulo α ay matatagpuan mula sa isang right-angled triangle - ang anggulo ng pagkahilig ng isang tuwid na linya sa pahalang na eroplano ng mga projection.
Upang matukoy ang anggulo ng pagkahilig ng isang tuwid na linya sa frontal projection plane, kinakailangan upang magsagawa ng mga katulad na constructions sa frontal projection ng segment.
3. Ang mga pangunahing linya ng eroplano (pahalang, pangharap).
Ang pahalang ng eroplanong P ay isang tuwid na linya na nasa eroplanong ito at kahanay ng pahalang na eroplano. Ang pahalang bilang isang tuwid na linya na parallel sa pahalang na eroplano ay may frontal projection ѓ parallel sa x-axis.
Ang harap ng eroplanong P ay isang tuwid na linya na nasa eroplanong ito at kahanay ng pangharap na eroplano.
Ang frontal ay isang tuwid na linya parallel sa frontal plane, at ang pahalang na projection f ay parallel sa x-axis.
4. Parehong posisyon ng mga tuwid na linya sa espasyo. Pagpapasiya ng visibility sa pamamagitan ng mga nakikipagkumpitensyang puntos. Dalawang tuwid na linya sa kalawakan ay maaaring magkaroon ng magkaibang lokasyon: A) magsalubong (nakahiga sa parehong eroplano). Ang isang espesyal na kaso ng intersection - sa isang tamang anggulo; B) ay maaaring magkatulad (nakahiga sa parehong eroplano); C) nag-tutugma - isang espesyal na kaso ng parallelism; D) cross (nakahiga sa iba't ibang mga eroplano at huwag mag-intersect).
Ang mga puntos na ang mga projection sa P1 ay nagtutugma ay tinatawag na nakikipagkumpitensya may kinalaman sa eroplanong P1, at ang mga punto na ang mga projection sa P2 ay nag-tutugma ay tinatawag nakikipagkumpitensya may kinalaman sa eroplanong P2.
Ang mga puntos na K at L ay nakikipagkumpitensya sa eroplanong P1, dahil sa eroplano P1 ang mga puntos na K at L ay inaasahang nasa isang punto: K1 = L1.
Ang punto K ay mas mataas kaysa sa puntong L, dahil Ang K2 ay mas mataas kaysa sa puntong L2, samakatuwid ang K1 ay makikita sa P1.
