Kasama sa video course na "Kumuha ng A" ang lahat ng paksang kailangan mo matagumpay na paghahatid GAMITIN sa matematika para sa 60-65 puntos. Ganap ang lahat ng gawain 1-13 pagsusulit sa profile matematika. Angkop din para sa pagpasa sa Basic USE sa matematika. Kung gusto mong pumasa sa pagsusulit na may 90-100 puntos, kailangan mong lutasin ang bahagi 1 sa loob ng 30 minuto at walang pagkakamali!
Paghahanda ng kurso para sa pagsusulit para sa mga baitang 10-11, pati na rin para sa mga guro. Lahat ng kailangan mo upang malutas ang bahagi 1 ng pagsusulit sa matematika (ang unang 12 problema) at problema 13 (trigonometry). At ito ay higit sa 70 puntos sa Unified State Examination, at hindi magagawa ng isang daang puntos na estudyante o ng isang humanist kung wala sila.
Lahat ng kinakailangang teorya. Mabilis na Paraan solusyon, bitag at GAMITIN ang mga lihim. Ang lahat ng nauugnay na gawain ng bahagi 1 mula sa mga gawain ng Bank of FIPI ay nasuri. Ang kurso ay ganap na sumusunod sa mga kinakailangan ng USE-2018.
Ang kurso ay naglalaman ng 5 malalaking paksa, 2.5 oras bawat isa. Ang bawat paksa ay ibinigay mula sa simula, simple at malinaw.
Daan-daang mga gawain sa pagsusulit. Mga problema sa text at teorya ng posibilidad. Simple at madaling matandaan ang mga algorithm sa paglutas ng problema. Geometry. Teorya, sangguniang materyal, pagsusuri ng lahat ng uri ng mga gawain sa PAGGAMIT. Stereometry. Mga nakakalito na solusyon, kapaki-pakinabang na cheat sheet, pag-unlad spatial na imahinasyon. Trigonometry mula sa simula - hanggang sa gawain 13. Pag-unawa sa halip na pag-cramming. Visual na paliwanag kumplikadong mga konsepto. Algebra. Mga ugat, kapangyarihan at logarithms, function at derivative. Base para sa solusyon mapaghamong mga gawain 2 bahagi ng pagsusulit.
Reference data para sa tangent (tg x) at cotangent (ctg x). Geometric na kahulugan, mga katangian, mga graph, mga formula. Talaan ng mga tangent at cotangent, derivatives, integrals, series expansions. Mga expression sa pamamagitan ng mga kumplikadong variable. Koneksyon sa mga hyperbolic function.
Geometric na kahulugan
|BD| - ang haba ng arko ng isang bilog na nakasentro sa punto A.
Ang α ay ang anggulo na ipinahayag sa radians.
Tangent ( tgα) ay isang trigonometric function depende sa anggulo α sa pagitan ng hypotenuse at ng binti kanang tatsulok, katumbas ng ratio ang haba ng tapat na binti |BC| sa haba katabing binti|AB| .
Cotangent ( ctgα) ay isang trigonometric function na depende sa anggulo α sa pagitan ng hypotenuse at ng binti ng right triangle, katumbas ng ratio ng haba ng katabing binti |AB| sa haba ng tapat na binti |BC| .
Padaplis
saan n- buo.
AT Kanluraning panitikan ang tangent ay tinukoy bilang mga sumusunod:
.
;
;
.
Graph ng tangent function, y = tg x
Cotangent
saan n- buo.
Sa panitikan sa Kanluran, ang cotangent ay tinukoy bilang mga sumusunod:
.
Ang sumusunod na notasyon ay pinagtibay din:
;
;
.
Graph ng cotangent function, y = ctg x
Mga katangian ng tangent at cotangent
Periodicity
Mga function y= tg x at y= ctg x ay periodic na may period π.
Pagkakapantay-pantay
Ang mga function na tangent at cotangent ay kakaiba.
Mga domain ng kahulugan at mga halaga, pataas, pababa
Ang mga function na tangent at cotangent ay tuluy-tuloy sa kanilang domain ng kahulugan (tingnan ang patunay ng pagpapatuloy). Ang mga pangunahing katangian ng tangent at cotangent ay ipinakita sa talahanayan ( n- integer).
| y= tg x | y= ctg x | |
| Saklaw at pagpapatuloy | ||
| Saklaw ng mga halaga | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Paakyat | - | |
| Pababa | - | |
| Extremes | - | - |
| Mga zero, y= 0 | ||
| Mga punto ng intersection sa y-axis, x = 0 | y= 0 | - |
Mga pormula
Mga expression sa mga tuntunin ng sine at cosine
;
;
;
;
;
Mga formula para sa tangent at cotangent ng kabuuan at pagkakaiba
Ang natitirang mga formula ay madaling makuha, halimbawa
Produkto ng tangents
Ang formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng mga tangent
Ipinapakita ng talahanayang ito ang mga halaga ng tangent at cotangent para sa ilang halaga ng argumento. 
Mga expression sa mga tuntunin ng kumplikadong mga numero
Mga expression sa mga tuntunin ng hyperbolic function
;
;
Derivatives
; .
.
Derivative ng nth order na may paggalang sa variable x ng function :
.
Derivation ng mga formula para sa tangent > > > ; para sa cotangent > > >
Mga integral
Mga pagpapalawak sa serye
Upang makuha ang pagpapalawak ng tangent sa mga kapangyarihan ng x, kailangan mong kumuha ng ilang termino ng pagpapalawak sa serye ng kapangyarihan para sa mga function kasalanan x at kasi x at hatiin ang mga polynomial sa isa't isa , . Nagreresulta ito sa mga sumusunod na formula.
Sa .
sa .
saan B n- Mga numero ng Bernoulli. Ang mga ito ay tinutukoy alinman mula sa pag-uulit na kaugnayan:
;
;
saan .
O ayon sa formula ng Laplace: 
Inverse function
Inverse function sa tangent at cotangent ay arctangent at arccotangent, ayon sa pagkakabanggit.
Arctangent, arctg
, saan n- buo.
Arc padaplis, arcctg
, saan n- buo.
Mga sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng Mathematics para sa mga Inhinyero at Mag-aaral ng Mas Mataas na Institusyon ng Edukasyon, Lan, 2009.
G. Korn, Handbook of Mathematics para sa mga siyentipiko at mga inhinyero, 2012.
Reference data sa trigonometric functions sine (sin x) at cosine (cos x). Geometric na kahulugan, mga katangian, mga graph, mga formula. Talaan ng mga sine at cosine, derivatives, integrals, series expansions, secant, cosecant. Mga expression sa pamamagitan ng mga kumplikadong variable. Koneksyon sa mga hyperbolic function.
Geometric na kahulugan ng sine at cosine
|BD|- ang haba ng arko ng isang bilog na nakasentro sa isang punto A.
α
ay isang anggulo na ipinahayag sa radians.
Kahulugan
Sinus ay isang trigonometric function na depende sa anggulo α sa pagitan ng hypotenuse at ng binti ng isang right triangle, katumbas ng ratio ng haba ng tapat na binti |BC| sa haba ng hypotenuse |AC|.
Cosine (cos α) ay isang trigonometric function na depende sa anggulo α sa pagitan ng hypotenuse at ng binti ng right triangle, katumbas ng ratio ng haba ng katabing binti |AB| sa haba ng hypotenuse |AC|.
Tinanggap na mga pagtatalaga
;
;
.
;
;
.
Graph ng function ng sine, y = sin x
Graph ng cosine function, y = cos x
Mga katangian ng sine at cosine
Periodicity
Mga function y= kasalanan x at y= kasi x periodic na may period 2 π.
Pagkakapantay-pantay
Ang pag-andar ng sine ay kakaiba. Ang cosine function ay pantay.
Domain ng kahulugan at mga halaga, extrema, pagtaas, pagbaba
Ang mga function na sine at cosine ay tuluy-tuloy sa kanilang domain ng kahulugan, iyon ay, para sa lahat ng x (tingnan ang patunay ng pagpapatuloy). Ang kanilang mga pangunahing katangian ay ipinakita sa talahanayan (n - integer).
| y= kasalanan x | y= kasi x | |
| Saklaw at pagpapatuloy | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Saklaw ng mga halaga | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Paakyat | ||
| Pababa | ||
| Mga maximum, y= 1 | ||
| Minima, y = - 1 | ||
| Mga zero, y= 0 | ||
| Mga punto ng intersection sa y-axis, x = 0 | y= 0 | y= 1 |
Mga pangunahing formula
Kabuuan ng squared sine at cosine
Sine at cosine formula para sa kabuuan at pagkakaiba
;
;
Mga formula para sa produkto ng mga sine at cosine
Mga formula ng kabuuan at pagkakaiba
Pagpapahayag ng sine sa pamamagitan ng cosine
;
;
;
.
Pagpapahayag ng cosine sa pamamagitan ng sine
;
;
;
.
Pagpapahayag sa mga tuntunin ng padaplis
; .
Para sa , mayroon kaming:
;
.
Sa:
;
.
Talaan ng mga sine at cosine, tangent at cotangent
Ipinapakita ng talahanayang ito ang mga halaga ng mga sine at cosine para sa ilang mga halaga ng argumento.
Mga expression sa pamamagitan ng mga kumplikadong variable
;
Formula ng Euler
{ -∞ < x < +∞ }
Secant, cosecant
Inverse function
Ang inverse function sa sine at cosine ay arcsine at arccosine, ayon sa pagkakabanggit.
Arcsine, arcsin
Arccosine, arccos
Mga sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng Mathematics para sa mga Inhinyero at Mag-aaral ng Mas Mataas na Institusyon ng Edukasyon, Lan, 2009.
Ito ang huli at pinaka pangunahing aralin kinakailangan upang malutas ang mga problema B11. Alam na natin kung paano i-convert ang mga anggulo mula sa radians sa degrees (tingnan ang aralin " Radian at sukat ng antas ng isang anggulo”), at alam din kung paano matukoy ang tanda ng trigonometric function, na nakatuon sa mga coordinate quarter (tingnan ang aralin " Mga palatandaan ng trigonometriko function »).
Ang bagay ay nananatiling maliit: upang kalkulahin ang halaga ng mismong function - ang mismong numero na nakasulat sa sagot. Narito ang pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan ay dumating sa pagsagip.
Pangunahing trigonometriko pagkakakilanlan. Para sa anumang anggulo α, ang pahayag ay totoo:
sin 2 α + cos 2 α = 1.
Iniuugnay ng formula na ito ang sine at cosine ng isang anggulo. Ngayon, alam ang sine, madali nating mahahanap ang cosine - at kabaliktaran. Ito ay sapat na upang kunin ang square root:
Pansinin ang "±" sign sa harap ng mga ugat. Ang katotohanan ay mula sa pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan ay hindi malinaw kung ano ang orihinal na sine at cosine: positibo o negatibo. Pagkatapos ng lahat, parisukat kahit function, na "sinusunog" ang lahat ng mga minus (kung mayroon man).
Kaya naman sa lahat ng B11 na gawain na makikita sa USE sa mathematics, dapat meron karagdagang mga tuntunin, na tumutulong upang maalis ang kawalan ng katiyakan sa mga palatandaan. Kadalasan ito ay isang indikasyon ng coordinate quarter kung saan maaaring matukoy ang tanda.
Tiyak na magtatanong ang isang matulungin na mambabasa: "Kumusta naman ang tangent at cotangent?" Imposibleng direktang kalkulahin ang mga function na ito mula sa mga formula sa itaas. Gayunpaman, may mga mahahalagang corollaries mula sa pangunahing trigonometriko na pagkakakilanlan na naglalaman na ng mga tangent at cotangent. Namely:
Isang mahalagang resulta: para sa anumang anggulo α, ang pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:
Ang mga equation na ito ay madaling mahihinuha mula sa pangunahing pagkakakilanlan - sapat na upang hatiin ang magkabilang panig ng cos 2 α (upang makuha ang tangent) o ng sin 2 α (para sa cotangent).
Tingnan natin ang lahat ng ito kongkretong mga halimbawa. Nasa ibaba ang mga tunay na problema sa B11 na kinuha mula sa pagsubok GAMITIN ang mga opsyon sa matematika 2012.
Alam natin ang cosine, ngunit hindi natin alam ang sine. Ang pangunahing trigonometriko na pagkakakilanlan (sa "dalisay" na anyo nito) ay nag-uugnay lamang sa mga pag-andar na ito, kaya gagana kami dito. Meron kami:
sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0.1.
Upang malutas ang problema, nananatili itong hanapin ang tanda ng sine. Dahil ang anggulo α ∈ (π /2; π ), pagkatapos ay in sukat ng antas ito ay nakasulat na ganito: α ∈ (90°; 180°).
Samakatuwid, ang anggulo α ay nasa II coordinate quarter Lahat ng mga sine ay positibo. Samakatuwid sin α = 0.1.
Kaya, alam natin ang sine, ngunit kailangan nating hanapin ang cosine. Pareho sa mga function na ito ay nasa pangunahing trigonometric identity. Pinapalitan namin:
sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0.5.
Ito ay nananatiling upang harapin ang sign sa harap ng fraction. Ano ang pipiliin: plus o minus? Sa pamamagitan ng kundisyon, ang anggulo α ay kabilang sa pagitan (π 3π /2). I-convert natin ang mga anggulo mula sa radian measure sa degree measure - makuha natin ang: α ∈ (180°; 270°).
Malinaw, ito ang III coordinate quarter, kung saan negatibo ang lahat ng cosine. Samakatuwid cosα = −0.5.
Gawain. Hanapin ang tg α kung alam mo ang sumusunod:
Ang tangent at cosine ay nauugnay sa pamamagitan ng isang equation na sumusunod mula sa pangunahing trigonometric identity:
Nakukuha natin ang: tg α = ±3. Ang tanda ng tangent ay tinutukoy ng anggulo α. Ito ay kilala na α ∈ (3π /2; 2π ). I-convert natin ang mga anggulo mula sa radian measure patungo sa degree measure - makuha natin ang α ∈ (270°; 360°).
Malinaw, ito ang IV coordinate quarter, kung saan negatibo ang lahat ng tangent. Samakatuwid, tgα = −3.
Gawain. Hanapin ang cos α kung alam mo ang sumusunod:
Muli, kilala ang sine at hindi alam ang cosine. Isinulat namin ang pangunahing pagkakakilanlan ng trigonometriko:
sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0.64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0.36 ⇒ cos α = ±0.6.
Ang tanda ay tinutukoy ng anggulo. Mayroon kaming: α ∈ (3π /2; 2π ). I-convert natin ang mga anggulo mula sa mga degree sa radians: α ∈ (270°; 360°) ay ang IV coordinate quarter, ang mga cosine ay positibo doon. Samakatuwid, cos α = 0.6.
Gawain. Hanapin ang sin α kung alam mo ang sumusunod:
Isulat natin ang formula na sumusunod mula sa pangunahing trigonometric identity at direktang nag-uugnay sa sine at cotangent:
Mula dito nakukuha natin ang kasalanan 2 α = 1/25, i.e. kasalanan α = ±1/5 = ±0.2. Ito ay kilala na ang anggulo α ∈ (0; π /2). Sa mga degree, ito ay nakasulat tulad ng sumusunod: α ∈ (0°; 90°) - I coordinate quarter.
Kaya, ang anggulo ay nasa I coordinate quarter - lahat ng trigonometric function ay positibo doon, samakatuwid kasalanan α \u003d 0.2.
