hindi makatwiran na numero- Ito totoong numero, na hindi makatwiran, ibig sabihin, ay hindi maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan ang mga integer, . Ang isang hindi makatwirang numero ay maaaring katawanin bilang isang walang katapusang hindi umuulit na decimal.
Maraming ir mga rational na numero karaniwang naka-capitalize Latin na titik sa bold na walang punan. Kaya: , ibig sabihin. set ng mga irrational na numero ay pagkakaiba ng set ng real at rational na mga numero.
Sa pagkakaroon ng hindi makatwiran na mga numero, mas tiyak ang mga segment, na hindi matutumbasan ng isang bahagi ng haba ng yunit, ay kilala na ng mga sinaunang matematiko: alam nila, halimbawa, ang hindi pagkakatumbas ng dayagonal at gilid ng parisukat, na katumbas ng irrationality ng numero.
Ari-arian
- Ang anumang tunay na numero ay maaaring isulat bilang isang infinite decimal fraction, habang ang mga irrational na numero at ang mga ito lamang ang isinulat bilang non-periodic infinite decimal fraction.
- Hindi nakapangangatwiran numero tukuyin ang mga seksyon ng Dedekind sa hanay ng mga rational na numero na walang pinakamalaking bilang sa mas mababang klase at walang pinakamaliit na numero sa itaas.
- Ang bawat tunay na transendental na numero ay hindi makatwiran.
- Ang bawat hindi makatwirang numero ay alinman sa algebraic o transendental.
- Ang hanay ng mga hindi makatwirang numero ay nasa lahat ng dako sa totoong linya: sa pagitan ng alinmang dalawang numero ay mayroong isang hindi makatwiran na numero.
- Ang pagkakasunud-sunod sa hanay ng mga hindi makatwirang numero ay isomorphic sa pagkakasunud-sunod sa hanay ng mga tunay na transendental na numero.
- Ang hanay ng mga hindi makatwirang numero ay hindi mabilang, ay isang set ng pangalawang kategorya.
Mga halimbawa
| Hindi nakapangangatwiran numero - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - - - - - |
Ang hindi makatwiran ay:
Mga Halimbawang Patunay ng Irrationality
ugat ng 2
Ipagpalagay ang kabaligtaran: rational , ibig sabihin, ito ay kinakatawan sa anyo irreducible fraction, kung saan ay isang integer at isang natural na numero. I-square natin ang dapat na pagkakapantay-pantay:
.Mula dito ay sumusunod na kahit, samakatuwid, kahit at . Hayaan kung saan ang kabuuan. Pagkatapos
Samakatuwid, kahit na, samakatuwid, kahit na at . Nakuha namin iyon at pantay-pantay, na sumasalungat sa irreducibility ng fraction . Samakatuwid, ang orihinal na palagay ay mali, at ito ay isang hindi makatwirang numero.
Binary logarithm ng numero 3
Ipagpalagay ang kabaligtaran: ito ay makatwiran, iyon ay, ito ay kinakatawan bilang isang fraction, kung saan at mga integer. Dahil , at maaaring kunin na positibo. Pagkatapos
Ngunit ito ay malinaw, ito ay kakaiba. Nakakakuha tayo ng kontradiksyon.
e
Kwento
Ang konsepto ng hindi makatwiran na mga numero ay tahasang pinagtibay ng mga Indian mathematician noong ika-7 siglo BC, nang malaman ni Manawa (c. 750 BC - c. 690 BC) na parisukat na ugat ilang natural na mga numero, gaya ng 2 at 61, ay hindi maaaring tahasang ipahayag.
Ang unang patunay ng pagkakaroon ng mga hindi makatwirang numero ay karaniwang iniuugnay kay Hippasus ng Metapontus (c. 500 BC), isang Pythagorean na nakahanap ng patunay na ito sa pamamagitan ng pag-aaral ng mga haba ng mga gilid ng isang pentagram. Noong panahon ng mga Pythagorean, pinaniniwalaan na doon isahang kwarto haba, sapat na maliit at hindi mahahati, na isang integer na bilang ng beses sa anumang segment. Gayunpaman, ipinagtalo ni Hippasus na walang iisang yunit ng haba, dahil ang pag-aakala ng pagkakaroon nito ay humahantong sa isang kontradiksyon. Ipinakita niya na kung ang hypotenuse ng isang isosceles kanang tatsulok naglalaman ng integer na bilang ng mga segment ng unit, kung gayon ang numerong ito ay dapat na pareho at kakaiba sa parehong oras. Ang patunay ay ganito:
- Ang ratio ng haba ng hypotenuse sa haba ng binti ng isosceles right triangle ay maaaring ipahayag bilang a:b, saan a at b pinili bilang pinakamaliit na posible.
- Ayon sa Pythagorean theorem: a² = 2 b².
- Bilang a² kahit, a dapat ay kahit na (dahil ang parisukat ng isang kakaibang numero ay magiging kakaiba).
- Sa abot ng a:b hindi mababawasan b dapat kakaiba.
- Bilang a kahit, magpakilala a = 2y.
- Pagkatapos a² = 4 y² = 2 b².
- b² = 2 y², samakatuwid b ay pantay, kung gayon b kahit.
- Gayunpaman, ito ay napatunayan na b kakaiba. Kontradiksyon.
Tinawag ng mga Greek mathematician ang ratio na ito ng hindi matutumbasan na dami alogos(hindi maipahayag), ngunit ayon sa mga alamat, si Hippasus ay hindi binayaran ng nararapat na paggalang. May isang alamat na ginawa ni Hippasus ang pagtuklas habang nasa paglalakbay sa dagat, at itinapon sa dagat ng iba pang mga Pythagorean "para sa paglikha ng isang elemento ng uniberso na itinatanggi ang doktrina na ang lahat ng mga entidad sa uniberso ay maaaring bawasan sa buong mga numero at ang kanilang mga ratios." Ang pagtuklas ng Hippasus ay nagdulot ng isang seryosong problema para sa Pythagorean na matematika, na sinisira ang palagay na pinagbabatayan ng buong teorya na ang mga numero at geometric na bagay ay iisa at hindi mapaghihiwalay.
Ano ang mga irrational na numero? Bakit sila tinawag na ganyan? Saan ginagamit ang mga ito at ano ang mga ito? Iilan lamang ang makakasagot sa mga tanong na ito nang walang pag-aalinlangan. Ngunit sa katunayan, ang mga sagot sa kanila ay medyo simple, bagaman hindi lahat ay nangangailangan ng mga ito at sa napakabihirang mga sitwasyon.
Kakanyahan at pagtatalaga
Ang mga hindi makatwirang numero ay walang katapusan na hindi pana-panahon Ang pangangailangang ipakilala ang konseptong ito ay dahil sa katotohanan na upang malutas ang mga bagong umuusbong na problema, ang mga dating umiiral na konsepto ng tunay o tunay, integer, natural at rational na mga numero ay hindi na sapat. Halimbawa, upang makalkula kung ano ang parisukat ng 2, ang isa ay dapat gumamit ng non-periodic infinite mga decimal. Bilang karagdagan, marami sa mga pinakasimpleng equation ay wala ring solusyon nang hindi ipinakilala ang konsepto ng isang hindi makatwiran na numero.
Ang set na ito ay tinutukoy bilang I. At, tulad ng malinaw na, ang mga halagang ito ay hindi maaaring katawanin bilang isang simpleng fraction, sa numerator kung saan magkakaroon ng integer, at sa denominator -
Sa kauna-unahang pagkakataon, sa isang paraan o iba pa, nakatagpo ng mga mathematician ng India ang hindi pangkaraniwang bagay na ito noong ika-7 siglo, nang matuklasan na ang mga square root ng ilang mga dami ay hindi maaaring tahasang ipahiwatig. At ang unang patunay ng pagkakaroon ng naturang mga numero ay iniuugnay sa Pythagorean Hippasus, na ginawa ito sa proseso ng pag-aaral ng isosceles right triangle. Ang isang seryosong kontribusyon sa pag-aaral ng set na ito ay ginawa ng ilang iba pang mga siyentipiko na nabuhay bago ang ating panahon. Ang pagpapakilala ng konsepto ng mga hindi makatwirang numero ay humantong sa isang rebisyon ng umiiral na sistema ng matematika, kaya naman napakahalaga ng mga ito.
pinanggalingan ng pangalan
Kung ang ratio sa Latin ay "fraction", "ratio", kung gayon ang prefix na "ir"
nagbibigay ng salitang ito kasalungat na kahulugan. Kaya, ang pangalan ng hanay ng mga numerong ito ay nagpapahiwatig na hindi sila maaaring maiugnay sa isang integer o fractional, mayroon silang isang hiwalay na lugar. Ito ay sumusunod sa kanilang kalikasan.
Ilagay sa pangkalahatang pag-uuri
Ang mga hindi makatwiran na numero, kasama ang mga makatwiran, ay nabibilang sa pangkat ng mga tunay o tunay na mga numero, na kung saan ay kumplikado. Walang mga subset, gayunpaman, may mga algebraic at transendental na varieties, na tatalakayin sa ibaba.
Ari-arian
Dahil ang mga hindi makatwirang numero ay bahagi ng hanay ng mga tunay na numero, lahat ng kanilang mga katangian na pinag-aaralan sa aritmetika ay naaangkop sa kanila (tinatawag din silang mga pangunahing batas ng algebraic).
a + b = b + a (commutativity);
(a + b) + c = a + (b + c) (associativity);
a + (-a) = 0 (ang pagkakaroon ng kabaligtaran na numero);
ab = ba (batas ng displacement);
(ab)c = a(bc) (distributivity);
a(b+c) = ab + ac (distributive law);
a x 1/a = 1 (ang pagkakaroon ng inverse number);
Ang paghahambing ay isinasagawa din alinsunod sa pangkalahatang mga pattern at mga prinsipyo:
Kung a > b at b > c, pagkatapos ay a > c (transitivity ng kaugnayan) at. atbp.
Siyempre, ang lahat ng hindi makatwiran na mga numero ay maaaring mabago gamit ang pangunahing mga operasyon sa aritmetika. wala mga espesyal na tuntunin habang hindi.
Bilang karagdagan, ang pagkilos ng axiom ng Archimedes ay umaabot sa hindi makatwiran na mga numero. Sinasabi nito na para sa alinmang dalawang dami a at b, totoo ang pahayag na sa pamamagitan ng pagkuha ng a bilang isang termino ng sapat na beses, posibleng malampasan ang b.
Paggamit
Sa kabila ng katotohanang sa ordinaryong buhay hindi gaano kadalas kailangan mong harapin ang mga ito, hindi mabibilang ang mga hindi makatwirang numero. Sila malaking tao ngunit sila ay halos hindi nakikita. Napapaligiran tayo ng mga hindi makatwirang numero sa lahat ng dako. Ang mga halimbawang pamilyar sa lahat ay pi, na 3.1415926... o e, na mahalagang base natural na logarithm, 2.718281828... Sa algebra, trigonometry at geometry, kailangan mong gamitin ang mga ito sa lahat ng oras. Siya nga pala, sikat na kahulugan"gintong seksyon", iyon ay, ang ratio ng parehong mas malaking bahagi sa mas maliit, at vice versa, din
kabilang sa set na ito. Hindi gaanong kilala "pilak" - masyadong.
Sa linya ng numero, ang mga ito ay matatagpuan nang napakakapal, upang sa pagitan ng anumang dalawang dami na nauugnay sa hanay ng mga makatwiran, isang hindi makatwiran ang kinakailangang mangyari.
Marami pa rin hindi nalutas na mga isyu nauugnay sa set na ito. Mayroong mga pamantayan gaya ng sukat ng irrationality at normality ng isang numero. Patuloy na sinusuri ng mga mathematician ang pinakamahalagang halimbawa para sa kanilang pag-aari sa isang grupo o iba pa. Halimbawa, ito ay itinuturing na e ay isang normal na numero, iyon ay, ang posibilidad ng iba't ibang mga digit na lumilitaw sa entry nito ay pareho. Tungkol naman sa pi, patuloy pa rin ang pagsasaliksik tungkol dito. Ang isang sukat ng irrationality ay isang halaga na nagpapakita kung gaano kahusay ang isang partikular na numero ay maaaring tantiyahin ng mga rational na numero.
Algebraic at transendental
Tulad ng nabanggit na, ang mga hindi makatwirang numero ay may kondisyong nahahati sa algebraic at transendental. Sa kondisyon, dahil, mahigpit na pagsasalita, ang pag-uuri na ito ay ginagamit upang hatiin ang set C.
Nakatago sa ilalim ng pagtatalagang ito kumplikadong mga numero, na kinabibilangan ng tunay o tunay.
Kaya, ang isang algebraic na halaga ay isang halaga na ang ugat ng isang polynomial na hindi magkaparehong katumbas ng zero. Halimbawa, ang square root ng 2 ay nasa kategoryang ito dahil ito ang solusyon sa equation x 2 - 2 = 0.
Ngunit ang natitira tunay na mga numero, na hindi nakakatugon sa kundisyong ito, ay tinatawag na transendental. Kasama rin sa variety na ito ang pinakasikat at nabanggit na mga halimbawa - ang numerong pi at ang base ng natural na logarithm e.
Kapansin-pansin, wala ni isa o ang pangalawa ang orihinal na hinihinuha ng mga mathematician sa kapasidad na ito, ang kanilang irrationality at transcendence ay napatunayang maraming taon pagkatapos ng kanilang pagtuklas. Para sa pi, ang patunay ay ibinigay noong 1882 at pinasimple noong 1894, na nagtapos sa 2,500-taong kontrobersya tungkol sa problema ng pag-squaring ng bilog. Hindi pa rin ito lubos na nauunawaan, kaya't ang mga modernong mathematician ay may dapat gawin. Sa pamamagitan ng paraan, ang unang sapat na tumpak na pagkalkula ng halagang ito ay isinagawa ni Archimedes. Bago sa kanya, ang lahat ng mga kalkulasyon ay masyadong tinatayang.
Para sa e (ang Euler o Napier number), natagpuan ang isang patunay ng transendence nito noong 1873. Ginagamit ito sa paglutas ng mga logarithmic equation.
Kasama sa iba pang mga halimbawa ang mga halaga ng sine, cosine, at tangent para sa anumang algebraic na hindi zero na halaga.
Ang hanay ng mga hindi makatwirang numero ay karaniwang tinutukoy ng isang malaking titik na Latin Ako (\displaystyle \mathbb (I) ) sa bold na walang punan. kaya: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) ), iyon ay, ang hanay ng mga hindi makatwirang numero ay ang pagkakaiba sa pagitan ng mga hanay ng tunay at makatuwirang mga numero.
Ang pagkakaroon ng mga hindi makatwiran na numero, mas tiyak na mga segment na hindi matutumbasan sa isang bahagi ng haba ng yunit, ay kilala na ng mga sinaunang matematiko: alam nila, halimbawa, ang hindi pagkakatugma ng dayagonal at gilid ng parisukat, na katumbas ng irrationality ng bilang.
Encyclopedic YouTube
-
1 / 5
Ang hindi makatwiran ay:
Mga Halimbawang Patunay ng Irrationality
ugat ng 2
Sabihin natin ang kabaligtaran: 2 (\displaystyle (\sqrt (2))) rational, ibig sabihin, kinakatawan bilang isang fraction m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), saan m (\displaystyle m) ay isang integer, at n (\displaystyle n)- natural na numero .
I-square natin ang dapat na pagkakapantay-pantay:
2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Rightarrow 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\Rightarrow m^(2)=2n^(2)).Kwento
Sinaunang panahon
Ang konsepto ng hindi makatwiran na mga numero ay tahasang pinagtibay ng mga Indian mathematician noong ika-7 siglo BC, nang ang Manawa (c. 750 BC - c. 690 BC) ay natagpuan na ang mga square root ng ilang natural na numero, tulad ng 2 at 61 ay hindi maaaring hayagang ipahayag [ ] .
Ang unang patunay ng pagkakaroon ng mga hindi makatwirang numero ay karaniwang iniuugnay kay Hippasus ng Metapontus (c. 500 BC), isang Pythagorean. Sa panahon ng mga Pythagorean, pinaniniwalaan na mayroong isang yunit ng haba, sapat na maliit at hindi mahahati, na isang integer na bilang ng beses na kasama sa anumang segment [ ] .
Walang eksaktong data sa irrationality kung aling numero ang pinatunayan ni Hippasus. Ayon sa alamat, natagpuan niya ito sa pamamagitan ng pag-aaral ng mga haba ng mga gilid ng pentagram. Samakatuwid, makatwirang ipagpalagay na ito ang ginintuang ratio [ ] .
Tinawag ng mga Greek mathematician ang ratio na ito ng hindi matutumbasan na dami alogos(hindi maipahayag), ngunit ayon sa mga alamat, si Hippasus ay hindi binayaran ng nararapat na paggalang. Mayroong isang alamat na ginawa ni Hippasus ang pagtuklas habang nasa isang paglalakbay sa dagat at itinapon sa dagat ng iba pang mga Pythagorean "para sa paglikha ng isang elemento ng uniberso, na tinatanggihan ang doktrina na ang lahat ng mga entidad sa uniberso ay maaaring bawasan sa buong mga numero at ang kanilang mga ratios. " Ang pagtuklas ng Hippas ay inilagay bago ang Pythagorean mathematics seryosong problema, sinisira ang palagay na pinagbabatayan ng buong teorya na ang mga numero at geometric na bagay ay iisa at hindi mapaghihiwalay.
Sa isang segment ng haba ng yunit, alam na ng mga sinaunang mathematician: alam nila, halimbawa, ang incommensurability ng dayagonal at gilid ng square, na katumbas ng irrationality ng numero.
Ang hindi makatwiran ay:
Mga Halimbawang Patunay ng Irrationality
ugat ng 2
Ipagpalagay ang kabaligtaran: ito ay makatwiran, iyon ay, ito ay kinakatawan bilang isang hindi mababawasang bahagi, kung saan at mga integer. I-square natin ang dapat na pagkakapantay-pantay:
.Mula dito ay sumusunod na kahit, samakatuwid, kahit at . Hayaan kung saan ang kabuuan. Pagkatapos
Samakatuwid, kahit na, samakatuwid, kahit na at . Nakuha namin iyon at pantay-pantay, na sumasalungat sa irreducibility ng fraction . Samakatuwid, ang orihinal na palagay ay mali, at ito ay isang hindi makatwirang numero.
Binary logarithm ng numero 3
Ipagpalagay ang kabaligtaran: ito ay makatwiran, iyon ay, ito ay kinakatawan bilang isang fraction, kung saan at mga integer. Dahil , at maaaring kunin na positibo. Pagkatapos
Ngunit ito ay malinaw, ito ay kakaiba. Nakakakuha tayo ng kontradiksyon.
e
Kwento
Ang konsepto ng hindi makatwiran na mga numero ay tahasang pinagtibay ng mga Indian mathematician noong ika-7 siglo BC, nang malaman ng Manawa (c. 750 BC - c. 690 BC) na ang mga square root ng ilang natural na numero, gaya ng 2 at 61 ay hindi maaaring hayagang ipahayag.
Ang unang patunay ng pagkakaroon ng mga hindi makatwirang numero ay karaniwang iniuugnay kay Hippasus ng Metapontus (c. 500 BC), isang Pythagorean na nakahanap ng patunay na ito sa pamamagitan ng pag-aaral ng mga haba ng mga gilid ng isang pentagram. Sa panahon ng mga Pythagorean, pinaniniwalaan na mayroong isang yunit ng haba, sapat na maliit at hindi mahahati, na isang integer na bilang ng mga beses na kasama sa anumang segment. Gayunpaman, ipinagtalo ni Hippasus na walang iisang yunit ng haba, dahil ang pag-aakala ng pagkakaroon nito ay humahantong sa isang kontradiksyon. Ipinakita niya na kung ang hypotenuse ng isang isosceles right triangle ay naglalaman ng isang integer na bilang ng mga segment ng unit, ang bilang na ito ay dapat na pareho at kakaiba sa parehong oras. Ang patunay ay ganito:
- Ang ratio ng haba ng hypotenuse sa haba ng binti ng isosceles right triangle ay maaaring ipahayag bilang a:b, saan a at b pinili bilang pinakamaliit na posible.
- Ayon sa Pythagorean theorem: a² = 2 b².
- Bilang a² kahit, a dapat ay kahit na (dahil ang parisukat ng isang kakaibang numero ay magiging kakaiba).
- Sa abot ng a:b hindi mababawasan b dapat kakaiba.
- Bilang a kahit, magpakilala a = 2y.
- Pagkatapos a² = 4 y² = 2 b².
- b² = 2 y², samakatuwid b ay pantay, kung gayon b kahit.
- Gayunpaman, ito ay napatunayan na b kakaiba. Kontradiksyon.
Tinawag ng mga Greek mathematician ang ratio na ito ng hindi matutumbasan na dami alogos(hindi maipahayag), ngunit ayon sa mga alamat, si Hippasus ay hindi binayaran ng nararapat na paggalang. Mayroong isang alamat na ginawa ni Hippasus ang pagtuklas habang nasa isang paglalakbay sa dagat at itinapon sa dagat ng iba pang mga Pythagorean "para sa paglikha ng isang elemento ng uniberso, na tinatanggihan ang doktrina na ang lahat ng mga entidad sa uniberso ay maaaring bawasan sa buong mga numero at ang kanilang mga ratios. " Ang pagtuklas ng Hippasus ay nagdulot ng isang seryosong problema para sa Pythagorean na matematika, na sinisira ang palagay na pinagbabatayan ng buong teorya na ang mga numero at geometric na bagay ay iisa at hindi mapaghihiwalay.
Tingnan din
Mga Tala
Numerical system Nagbibilang
setMga natural na numero () Integer () Sa isang segment ng haba ng yunit, alam na ng mga sinaunang mathematician: alam nila, halimbawa, ang incommensurability ng dayagonal at gilid ng square, na katumbas ng irrationality ng numero.
Ang hindi makatwiran ay:
Mga Halimbawang Patunay ng Irrationality
ugat ng 2
Ipagpalagay ang kabaligtaran: ito ay makatwiran, iyon ay, ito ay kinakatawan bilang isang hindi mababawasang bahagi, kung saan at mga integer. I-square natin ang dapat na pagkakapantay-pantay:
.Mula dito ay sumusunod na kahit, samakatuwid, kahit at . Hayaan kung saan ang kabuuan. Pagkatapos
Samakatuwid, kahit na, samakatuwid, kahit na at . Nakuha namin iyon at pantay-pantay, na sumasalungat sa irreducibility ng fraction . Samakatuwid, ang orihinal na palagay ay mali, at ito ay isang hindi makatwirang numero.
Binary logarithm ng numero 3
Ipagpalagay ang kabaligtaran: ito ay makatwiran, iyon ay, ito ay kinakatawan bilang isang fraction, kung saan at mga integer. Dahil , at maaaring kunin na positibo. Pagkatapos
Ngunit ito ay malinaw, ito ay kakaiba. Nakakakuha tayo ng kontradiksyon.
e
Kwento
Ang konsepto ng hindi makatwiran na mga numero ay tahasang pinagtibay ng mga Indian mathematician noong ika-7 siglo BC, nang malaman ng Manawa (c. 750 BC - c. 690 BC) na ang mga square root ng ilang natural na numero, gaya ng 2 at 61 ay hindi maaaring hayagang ipahayag.
Ang unang patunay ng pagkakaroon ng mga hindi makatwirang numero ay karaniwang iniuugnay kay Hippasus ng Metapontus (c. 500 BC), isang Pythagorean na nakahanap ng patunay na ito sa pamamagitan ng pag-aaral ng mga haba ng mga gilid ng isang pentagram. Sa panahon ng mga Pythagorean, pinaniniwalaan na mayroong isang yunit ng haba, sapat na maliit at hindi mahahati, na isang integer na bilang ng mga beses na kasama sa anumang segment. Gayunpaman, ipinagtalo ni Hippasus na walang iisang yunit ng haba, dahil ang pag-aakala ng pagkakaroon nito ay humahantong sa isang kontradiksyon. Ipinakita niya na kung ang hypotenuse ng isang isosceles right triangle ay naglalaman ng isang integer na bilang ng mga segment ng unit, ang bilang na ito ay dapat na pareho at kakaiba sa parehong oras. Ang patunay ay ganito:
- Ang ratio ng haba ng hypotenuse sa haba ng binti ng isosceles right triangle ay maaaring ipahayag bilang a:b, saan a at b pinili bilang pinakamaliit na posible.
- Ayon sa Pythagorean theorem: a² = 2 b².
- Bilang a² kahit, a dapat ay kahit na (dahil ang parisukat ng isang kakaibang numero ay magiging kakaiba).
- Sa abot ng a:b hindi mababawasan b dapat kakaiba.
- Bilang a kahit, magpakilala a = 2y.
- Pagkatapos a² = 4 y² = 2 b².
- b² = 2 y², samakatuwid b ay pantay, kung gayon b kahit.
- Gayunpaman, ito ay napatunayan na b kakaiba. Kontradiksyon.
Tinawag ng mga Greek mathematician ang ratio na ito ng hindi matutumbasan na dami alogos(hindi maipahayag), ngunit ayon sa mga alamat, si Hippasus ay hindi binayaran ng nararapat na paggalang. Mayroong isang alamat na ginawa ni Hippasus ang pagtuklas habang nasa isang paglalakbay sa dagat at itinapon sa dagat ng iba pang mga Pythagorean "para sa paglikha ng isang elemento ng uniberso, na tinatanggihan ang doktrina na ang lahat ng mga entidad sa uniberso ay maaaring bawasan sa buong mga numero at ang kanilang mga ratios. " Ang pagtuklas ng Hippasus ay nagdulot ng isang seryosong problema para sa Pythagorean na matematika, na sinisira ang palagay na pinagbabatayan ng buong teorya na ang mga numero at geometric na bagay ay iisa at hindi mapaghihiwalay.
Tingnan din
Mga Tala
Numerical system Nagbibilang
setMga natural na numero () Integer ()
