Ipinagpapatuloy ng artikulong ito ang paksa ng pagbabago algebraic fractions: isaalang-alang ang naturang aksyon bilang ang pagbabawas ng mga algebraic fraction. Tukuyin natin ang mismong termino, bumalangkas ng abbreviation rule at suriin ang mga praktikal na halimbawa.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kahulugan ng Algebraic Fraction Abbreviation

Sa mga materyales tungkol sa karaniwang fraction isinaalang-alang namin ang pagbabawas nito. Tinukoy namin ang pagbawas ng isang karaniwang fraction bilang paghahati ng numerator at denominator nito sa karaniwang salik.

Ang pagbabawas ng isang algebraic fraction ay isang katulad na operasyon.

Kahulugan 1

Algebraic fraction reduction ay ang paghahati ng numerator at denominator nito sa pamamagitan ng isang karaniwang salik. Sa kasong ito, hindi tulad ng pagbabawas ng isang ordinaryong fraction (isang numero lamang ang maaaring maging isang karaniwang denominator), isang polynomial, sa partikular, isang monomial o isang numero, ay maaaring magsilbi bilang isang karaniwang kadahilanan para sa numerator at denominator ng isang algebraic fraction.

Halimbawa, ang algebraic fraction na 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 ay maaaring bawasan ng bilang 3, bilang isang resulta ay nakukuha natin ang: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 . Maaari nating bawasan ang parehong fraction ng variable na x, at ito ay magbibigay sa atin ng expression na 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 . Posible ring bawasan ang isang binigay na fraction ng isang monomial 3 x o alinman sa mga polynomial x + 2 y, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y o 3 x 2 + 6 x y.

Ang pinakalayunin ng pagbabawas ng isang algebraic fraction ay isang fraction na mas malaki kaysa simpleng anyo, sa pinakamagandang kaso ay isang irreducible fraction.

Ang lahat ba ng algebraic fraction ay napapailalim sa pagbabawas?

Muli, mula sa mga materyales sa mga ordinaryong praksyon, alam natin na mayroong mababawas at hindi mababawasan na mga praksyon. Hindi mababawasan - ito ay mga fraction na walang mga karaniwang salik ng numerator at denominator, maliban sa 1.

Sa mga algebraic fraction, ang lahat ay pareho: maaaring mayroon o wala silang mga karaniwang salik ng numerator at denominator. Ang pagkakaroon ng mga karaniwang kadahilanan ay nagpapahintulot sa iyo na gawing simple ang orihinal na bahagi sa pamamagitan ng pagbawas. Kapag walang karaniwang mga kadahilanan, imposibleng i-optimize ang isang naibigay na fraction sa pamamagitan ng paraan ng pagbabawas.

Sa mga pangkalahatang kaso, ibinigay na anyo ang mga fraction ay medyo mahirap maunawaan kung ito ay napapailalim sa pagbawas. Siyempre, sa ilang mga kaso, ang pagkakaroon ng isang karaniwang kadahilanan ng numerator at denominator ay halata. Halimbawa, sa algebraic fraction 3 · x 2 3 · y medyo malinaw na ang common factor ay ang number 3 .

Sa isang fraction - x · y 5 · x · y · z 3 agad din nating naiintindihan na posibleng bawasan ito ng x, o y, o ng x · y. Gayunpaman, ang mga halimbawa ng mga algebraic fraction ay mas karaniwan, kapag ang karaniwang kadahilanan ng numerator at denominator ay hindi madaling makita, at mas madalas - ito ay wala lamang.

Halimbawa, maaari nating bawasan ang fraction x 3 - 1 x 2 - 1 ng x - 1, habang ang tinukoy na common factor ay wala sa talaan. Ngunit ang fraction na x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 x + 4 ay hindi maaaring bawasan, dahil ang numerator at denominator ay walang karaniwang salik.

Kaya, ang tanong ng pag-alam sa contractibility ng isang algebraic fraction ay hindi gaanong simple, at kadalasan ay mas madaling magtrabaho sa isang fraction ng isang naibigay na form kaysa subukang alamin kung ito ay contractible. Sa kasong ito, ang mga naturang pagbabago ay nagaganap na sa mga partikular na kaso ay nagpapahintulot sa amin na matukoy ang karaniwang kadahilanan ng numerator at denominator o upang tapusin na ang fraction ay hindi mababawasan. Tuklasin natin ang isyung ito nang detalyado sa susunod na talata mga artikulo.

Panuntunan sa pagbabawas ng algebraic fraction

Panuntunan sa pagbabawas ng algebraic fraction ay binubuo ng dalawang magkasunod na hakbang:

• paghahanap ng mga karaniwang salik ng numerator at denominator;
• sa kaso ng paghahanap ng tulad, ang pagpapatupad ng direktang aksyon ng pagbabawas ng fraction.

Ang pinaka-maginhawang paraan para sa paghahanap ng mga common denominator ay ang pag-factorize ng mga polynomial na nasa numerator at denominator ng isang ibinigay na algebraic fraction. Nagbibigay-daan ito sa iyo na makita agad ang presensya o kawalan ng mga karaniwang salik.

Ang mismong aksyon ng pagbabawas ng isang algebraic fraction ay batay sa pangunahing katangian ng isang algebraic fraction, na ipinahayag ng pagkakapantay-pantay na hindi natukoy , kung saan ang a , b , c ay ilang polynomial, at ang b at c ay hindi zero. Ang unang hakbang ay bawasan ang fraction sa anyong a c b c , kung saan agad nating napapansin ang karaniwang salik c . Ang ikalawang hakbang ay upang maisagawa ang pagbabawas, i.e. paglipat sa isang fraction ng anyong a b .

Mga karaniwang halimbawa

Sa kabila ng ilang halata, linawin natin ang tungkol sa espesyal na kaso kapag ang numerator at denominator ng isang algebraic fraction ay pantay. Mga katulad na fraction ay magkaparehong katumbas ng 1 sa buong ODZ ng mga variable ng fraction na ito:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1 ; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 x - x 2 y 1 2 x - x 2 y ;

Dahil ang mga ordinaryong fraction ay isang espesyal na kaso ng mga algebraic fraction, alalahanin natin kung paano sila nababawasan. Ang mga natural na numero na nakasulat sa numerator at denominator ay nabubulok sa mga pangunahing kadahilanan, pagkatapos ay ang mga karaniwang kadahilanan ay nababawasan (kung mayroon man).

Halimbawa, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Ang produkto ng simpleng magkaparehong mga kadahilanan ay maaaring isulat bilang mga degree, at sa proseso ng pagbawas ng fraction, gamitin ang pag-aari ng paghahati ng mga degree na may ang parehong mga batayan. Kung gayon ang solusyon sa itaas ay magiging:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(numerator at denominator na hinati sa isang karaniwang salik 2 2 3). O, para sa kalinawan, batay sa mga katangian ng pagpaparami at paghahati, ibibigay namin ang solusyon sa sumusunod na anyo:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Sa pamamagitan ng pagkakatulad, ang pagbabawas ng mga algebraic fraction ay isinasagawa, kung saan ang numerator at denominator ay may mga monomial na may integer coefficients.

Halimbawa 1

Nabigyan ng algebraic fraction - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . Kailangan itong bawasan.

Desisyon

Posibleng isulat ang numerator at denominator ng isang binigay na fraction bilang isang produkto pangunahing mga kadahilanan at mga variable, at pagkatapos ay bawasan ang:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 3 a a a a a b b c z 2 3 a a b b c c c c c c c c z = - 3 3 a a a 2 c c c c c c c c c = - 9 a 3 2 c 6

Gayunpaman, higit pa sa makatwirang paraan ang solusyon ay isusulat bilang isang expression na may mga kapangyarihan:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 a 5 b 2 c z 2 3 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 2 3 a 5 a 2 b 2 b 2 c c 7 z z = = - 3 3 - 1 2 a 5 - 2 1 1 1 c 7 - 1 1 = - 3 2 a 3 2 c 6 = - 9 a 3 2 c 6 .

Sagot:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Kapag may mga fractional numerical coefficient sa numerator at denominator ng isang algebraic fraction, mayroong dalawang posibleng paraan karagdagang aksyon: alinmang hiwalay na hatiin ang mga fractional coefficient na ito, o alisin muna ang fractional coefficients sa pamamagitan ng pagpaparami ng numerator at denominator sa ilang natural na numero. Ang huling pagbabago ay isinasagawa dahil sa pangunahing pag-aari ng isang algebraic fraction (maaari mong basahin ang tungkol dito sa artikulong "Pagbawas ng isang algebraic fraction sa isang bagong denominator").

Halimbawa 2

Ibinigay ang isang fraction 2 5 x 0 , 3 x 3 . Kailangan itong bawasan.

Desisyon

Posibleng bawasan ang fraction sa ganitong paraan:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Subukan nating lutasin ang problema sa ibang paraan, na dati nang naalis ang mga fractional coefficients - pinaparami natin ang numerator at denominator sa hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga denominator ng mga coefficient na ito, i.e. bawat LCM(5, 10) = 10. Pagkatapos makuha namin:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

Sagot: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Kapag binabawasan natin ang mga algebraic fraction pangkalahatang pananaw, kung saan ang mga numerator at denominator ay maaaring parehong monomial at polynomial, ang isang problema ay posible kapag ang karaniwang kadahilanan ay hindi palaging nakikita kaagad. O higit pa riyan, wala lang ito. Pagkatapos, upang matukoy ang karaniwang salik o ayusin ang katotohanan ng kawalan nito, ang numerator at denominator ng algebraic fraction ay pinapangkat.

Halimbawa 3

Ibinigay ang rational fraction 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 . Kailangan itong paikliin.

Desisyon

I-factor natin ang mga polynomial sa numerator at denominator. Gawin natin ang mga panaklong:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

Nakikita namin na ang expression sa mga bracket ay maaaring ma-convert gamit ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Malinaw na nakikita na posible na bawasan ang fraction sa pamamagitan ng isang karaniwang kadahilanan b 2 (a + 7). Gumawa tayo ng pagbawas:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Mabilis na Solusyon nang walang paliwanag, sumusulat kami bilang isang kadena ng pagkakapantay-pantay:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Sagot: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b .

Nangyayari na ang mga karaniwang kadahilanan ay nakatago sa pamamagitan ng mga numerical coefficient. Pagkatapos, kapag binabawasan ang mga fraction, pinakamainam na kunin ang mga numerical factor sa mas mataas na kapangyarihan ng numerator at denominator.

Halimbawa 4

Nabigyan ng algebraic fraction 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 . Dapat itong bawasan kung maaari.

Desisyon

Sa unang tingin, wala ang numerator at denominator karaniwang denominador. Gayunpaman, subukan nating i-convert ang ibinigay na fraction. Kunin natin ang factor x sa numerator:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

Ngayon ay makikita mo ang ilang pagkakatulad sa pagitan ng expression sa mga bracket at ng expression sa denominator dahil sa x 2 y . Kunin natin ang mga numerical coefficient sa mas mataas na kapangyarihan ng mga polynomial na ito:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10

Ngayon ang karaniwang multiplier ay makikita, isinasagawa namin ang pagbawas:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Sagot: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

Bigyang-diin natin na ang kakayahan ng pagbabawas ng mga rational fraction ay nakasalalay sa kakayahang mag-factorize ng polynomials.

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Sa artikulong ito, titingnan natin mga pangunahing operasyon na may mga algebraic fraction:

• pagbawas ng fraction
• pagpaparami ng mga fraction
• dibisyon ng mga fraction

Magsimula tayo sa pagdadaglat ng algebraic fractions.

parang, algorithm halata naman.

Upang bawasan ang mga algebraic fraction, kailangan

1. I-factor ang numerator at denominator ng isang fraction.

2. Bawasan ang parehong mga multiplier.

Gayunpaman, ang mga mag-aaral ay madalas na nagkakamali ng "pagbawas" hindi sa mga kadahilanan, ngunit sa mga tuntunin. Halimbawa, may mga amateur na "nagbabawas" ng mga fraction at nakakuha bilang isang resulta, na, siyempre, ay hindi totoo.

Isaalang-alang ang mga halimbawa:

1. Bawasan ang fraction:

1. Isinasali namin ang numerator ayon sa formula ng parisukat ng kabuuan, at ang denominator ayon sa formula ng pagkakaiba ng mga parisukat

2. Hatiin ang numerator at denominator sa pamamagitan ng

2. Bawasan ang fraction:

1. I-factor ang numerator. Dahil ang numerator ay naglalaman ng apat na termino, inilalapat namin ang pagpapangkat.

2. I-factor ang denominator. Ang parehong naaangkop sa pagpapangkat.

3. Isulat natin ang fraction na nakuha natin at bawasan ang parehong mga salik:

Multiplikasyon ng mga algebraic fraction.

Kapag nagpaparami ng mga algebraic fractions, pinaparami natin ang numerator sa numerator, at pinaparami natin ang denominator sa denominator.

Mahalaga! Hindi kailangang magmadali upang magsagawa ng multiplikasyon sa numerator at denominator ng isang fraction. Pagkatapos nating maisulat ang produkto ng mga numerator ng mga fraction sa numerator, at ang produkto ng mga denominator sa denominator, kailangan nating i-factor ang bawat salik at bawasan ang fraction.

Isaalang-alang ang mga halimbawa:

3. Pasimplehin ang expression:

1. Isulat natin ang produkto ng mga fraction: sa numerator ang produkto ng mga numerator, at sa denominator ang produkto ng mga denominator:

2. Isinasaalang-alang namin ang bawat bracket:

Ngayon kailangan nating bawasan ang parehong mga multiplier. Tandaan na ang mga expression at naiiba lamang sa sign: at bilang isang resulta ng paghahati ng unang expression sa pangalawa, makakakuha tayo ng -1.

Kaya,

Ginagawa namin ang paghahati ng mga algebraic fraction ayon sa sumusunod na panuntunan:

I.e Upang hatiin sa isang fraction, kailangan mong i-multiply sa "inverted" isa.

Nakikita natin na ang paghahati ng mga fraction ay nababawasan sa multiplikasyon, at Ang multiplikasyon sa huli ay bumababa sa pagbabawas ng mga fraction.

Isaalang-alang ang isang halimbawa:

4. Pasimplehin ang expression:

Bago magpatuloy sa pag-aaral ng mga algebraic fraction, inirerekumenda namin na tandaan mo kung paano gumawa ng mga ordinaryong fraction.

Anumang fraction na may letter factor ay tinatawag na algebraic fraction.

Mga halimbawa algebraic fractions.

Tulad ng karaniwang fraction, ang algebraic fraction ay may numerator (itaas) at denominator (ibaba).

Algebraic fraction reduction

Maaaring bawasan ang algebraic fraction. Kapag binabawasan, gamitin ang mga patakaran para sa pagbabawas ng mga ordinaryong fraction.

Ipinapaalala namin sa iyo na kapag binabawasan ang isang ordinaryong fraction, hinati namin ang numerator at denominator sa parehong numero.

Ang isang algebraic fraction ay nababawasan sa parehong paraan, ngunit ang numerator at denominator lamang ang nahahati sa parehong polynomial.

Isipin mo halimbawa ng algebraic fraction reduction.

Tukuyin natin ang mababang antas, na naglalaman ng monomial na " a " . Pinakamababang Degree para sa monomial na "a" ay nasa denominator - ito ang pangalawang degree.

Hatiin ang numerator at ang denominator sa "a 2". Kapag hinahati ang mga monomial, ginagamit namin ang pag-aari ng antas ng quotient.

Ipinapaalala namin sa iyo na ang anumang titik o numero sa zero degree ay isang yunit.

Hindi na kailangang isulat nang detalyado sa bawat oras na kung saan ang algebraic fraction ay nabawasan. Sapat na tandaan ang antas kung saan ginawa ang pagbawas, at isulat lamang ang resulta.

Ang isang maikling notasyon para sa pagbabawas ng isang algebraic fraction ay ang mga sumusunod.

Maaari mo lamang bawasan ang parehong mga multiplier ng titik.

Hindi maputol

Maaaring paikliin

Iba pang mga halimbawa ng pagbabawas ng mga algebraic fraction.

Paano bawasan ang isang fraction na may polynomials

Isaalang-alang ang isa pang halimbawa ng isang algebraic fraction. Kinakailangang bawasan ang isang algebraic fraction, na mayroong polynomial sa numerator.

Maaari mong bawasan ang isang polynomial sa mga bracket na may eksaktong parehong polynomial sa mga bracket!

Sa anumang kaso hindi maputol ang isang bahagi polynomial inside bracket!

Hindi tama

Ang pagtukoy kung saan nagtatapos ang isang polynomial ay napakasimple. Sa pagitan ng mga polynomial ay maaari lamang magkaroon ng tanda ng multiplikasyon. Ang buong polynomial ay nasa loob ng mga panaklong.

Pagkatapos naming tukuyin ang mga polynomial ng isang algebraic fraction, kinakansela namin ang polynomial "(m − n)" sa numerator na may polynomial na "(m − n)" sa denominator.

Mga halimbawa ng pagbabawas ng mga algebraic fraction na may polynomials.

Pagkuha ng isang karaniwang kadahilanan kapag binabawasan ang mga fraction

Upang lumitaw ang magkatulad na polynomial sa mga algebraic fraction, minsan ay kinakailangan na alisin ang karaniwang kadahilanan sa mga bracket.

Sa form na ito, imposibleng bawasan ang algebraic fraction, dahil ang polynomial
Ang "(3f + k)" ay maaari lamang bawasan ng polynomial na "(3f + k)".

Samakatuwid, upang makuha ang "(3f + k)" sa numerator, kinuha namin ang karaniwang kadahilanan na "5".

Pagbawas ng mga fraction na may pinaikling mga multiplication formula

Sa ibang mga halimbawa, kailangan ang pagbabawas ng mga algebraic fraction
aplikasyon ng mga pinaikling pormula ng pagpaparami.

Sa orihinal nitong anyo, imposibleng bawasan ang isang algebraic fraction, dahil walang magkaparehong polynomial.

Ngunit kung ilalapat natin ang pagkakaiba ng mga parisukat na formula para sa polynomial "(a 2 − b 2)", kung gayon ang parehong mga polynomial ay lilitaw.

Iba pang mga halimbawa ng pagbabawas ng mga algebraic fraction gamit ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon.

Ang pagbabawas ng algebraic (rational) na mga fraction ay batay sa kanilang pangunahing pag-aari: kung ang numerator at denominator ng isang fraction ay hinati sa parehong non-zero polynomial, kung gayon ang isang fraction na katumbas nito ay makukuha.

Maaari mo lamang bawasan ang mga multiplier!

Hindi maaaring bawasan ang mga miyembro ng polynomial!

Upang bawasan ang isang algebraic fraction, ang mga polynomial sa numerator at denominator ay dapat munang i-factor.

Isaalang-alang ang mga halimbawa ng pagbawas ng fraction.

Ang numerator at denominator ng isang fraction ay monomials. Sila ay kumakatawan trabaho(mga numero, variable at kanilang mga antas), mga multiplier pwede nating bawasan.

Binabawasan namin ang mga numero sa kanilang pinakamalaki karaniwang divisor, ibig sabihin, sa pinakamalaking bilang, kung saan ang bawat isa sa mga ibinigay na numero ay nahahati. Para sa 24 at 36, ito ay 12. Pagkatapos ng pagbawas mula sa 24, 2 ang nananatili, mula 36 - 3.

Binabawasan namin ang mga degree sa pamamagitan ng degree na may pinakamaliit na indicator. Upang bawasan ang isang fraction ay nangangahulugan na hatiin ang numerator at denominator sa parehong divisor, at kapag hinahati ang mga kapangyarihan, ibawas natin ang mga tagapagpahiwatig.

Ang a² at a⁷ ay binabawasan ng a². Kasabay nito, ang isa ay nananatili sa numerator mula sa a² (nagsusulat kami ng 1 lamang kung walang ibang mga salik na natitira pagkatapos ng pagbawas. 2 ay nananatili mula sa 24, kaya hindi namin isusulat ang 1 na natitira mula sa a²). Mula sa a⁷ pagkatapos ng pagbabawas ay nananatiling a⁵.

b at b ay dinaglat ng b, ang mga resultang yunit ay hindi nakasulat.

Ang c³º at c⁵ ay binabawasan ng c⁵. Mula sa c³º c²⁵ nananatili, mula sa c⁵ - unit (hindi namin ito isinusulat). kaya,

Ang numerator at denominator ng isang ibinigay na algebraic fraction ay mga polynomial. Imposibleng bawasan ang mga tuntunin ng polynomials! (hindi maaaring bawasan, halimbawa, 8x² at 2x!). Upang bawasan ang fraction na ito, kinakailangang i-factorize ang polynomials. Ang numerator ay may karaniwang salik na 4x. Alisin natin ito sa mga bracket:

Parehong may parehong salik ang numerator at denominator (2x-3). Binabawasan namin ang fraction sa pamamagitan ng salik na ito. Nakakuha kami ng 4x sa numerator, 1 sa denominator. Ayon sa 1 property ng algebraic fractions, ang fraction ay 4x.

Maaari mo lamang bawasan ang mga kadahilanan (hindi mo maaaring bawasan ang isang partikular na bahagi ng 25x²!). Samakatuwid, ang mga polynomial sa numerator at denominator ng isang fraction ay dapat i-factor.

Sa numerator - buong parisukat sums, sa denominator - ang pagkakaiba ng mga parisukat. Pagkatapos ng pagpapalawak ng mga formula ng pinaikling multiplikasyon, nakukuha natin ang:

Binabawasan namin ang fraction sa pamamagitan ng (5x + 1) (para dito, sa numerator ay tinatanggal namin ang dalawa bilang isang exponent, mula sa (5x + 1)² ito ay mananatili (5x + 1)):

Ang numerator ay may karaniwang salik na 2, alisin natin ito sa mga bracket. Sa denominator - ang formula para sa pagkakaiba ng mga cube:

Bilang resulta ng pagpapalawak sa numerator at denominator, nakuha namin ang parehong kadahilanan (9 + 3a + a²). Binabawasan namin ang bahagi nito:

Ang polynomial sa numerator ay binubuo ng 4 na termino. Ipangkat namin ang unang termino kasama ang pangalawa, ang pangatlo - kasama ang ikaapat at alisin ang karaniwang salik na x² mula sa mga unang bracket. Nabulok namin ang denominator ayon sa pormula para sa kabuuan ng mga cube:

Sa numerator, inaalis namin ang karaniwang salik (x + 2) sa mga bracket:

Binabawasan namin ang fraction sa pamamagitan ng (x + 2):

Mababawasan lang natin ang multipliers! Upang bawasan ang fraction na ito, kailangan mong i-factor ang mga polynomial sa numerator at denominator. Sa numerator, ang karaniwang salik ay a³, sa denominator - a⁵. Alisin natin sila sa mga bracket:

Mga multiplier - ang mga kapangyarihan na may parehong base na a³ at a⁵ - ay binabawasan ng a³. Mula sa a³ 1 ay nananatiling, hindi namin ito isinusulat, mula sa a⁵ ay nananatiling a². Sa numerator, ang expression sa mga bracket ay maaaring palawakin bilang pagkakaiba ng mga parisukat:

Binabawasan namin ang fraction sa pamamagitan ng isang karaniwang divisor (1 + a):

Paano bawasan ang mga fraction ng form

kung saan ang mga expression sa numerator at denominator ay naiiba lamang sa mga palatandaan?

Titingnan natin ang mga halimbawa ng pagbabawas ng mga naturang fraction sa susunod na pagkakataon.

2 komento

Napakagandang site, ginagamit ko ito araw-araw, at nakakatulong ito.
Bago ako napadpad sa site na ito, hindi ko alam kung paano mag-solve ng marami sa algebra, geometry, ngunit salamat sa site na ito, ang aking mga grade 3 ay tumaas ng 4-5.
Ngayon ay maaari kong ligtas na kunin ang OGE, at hindi ako natatakot na hindi ko ito maipasa!
Matuto at magtatagumpay ka!

Vitya, nais kong magtagumpay ka sa iyong pag-aaral at mataas na resulta sa mga pagsusulit!

www.algebraclass.ru

Pagbawas ng panuntunan ng mga algebraic fraction

Pagbawas ng mga algebraic fraction

Ang isang bagong konsepto sa matematika ay bihirang lumitaw "mula sa wala", "sa bakanteng lugar". Lumilitaw ito kapag naramdaman layunin na pangangailangan. Ito ay kung paano sila lumitaw sa matematika mga negatibong numero, napakakaraniwan at desimal algebraic fraction.

Mayroon kaming mga kinakailangan para sa pagpapakilala ng bagong konsepto ng "algebraic fraction". Bumalik tayo sa § 12. Tinatalakay ang paghahati ng isang monomial sa isang monomial doon, isinasaalang-alang namin ang ilang mga halimbawa. I-highlight natin ang dalawa sa kanila.

1. Hatiin ang monomial 36a 3 b 5 sa monomial na 4ab 2 (tingnan ang halimbawa 1c) mula sa §12).
Nalutas namin ito ng ganito. Sa halip na isulat ang 36a 3 b 5: 4ab 2, ginamit ang isang fraction bar:

Pinahintulutan nito sa halip na ang mga entry na 36: 4, a 3: a, b 5: b 2 na gamitin din ang fraction bar, na ginawang mas malinaw ang solusyon ng halimbawa:

2. Hatiin ang monomial 4x 3 sa monomial na 2xy (tingnan ang halimbawa 1 e) mula sa § 12). Kasunod ng parehong pattern, nakukuha namin:

Sa § 12 nabanggit namin na ang monomial 4x 3 ay hindi maaaring hatiin ng monomial 2xy upang makuha namin monomial. Pero mga modelo ng matematika totoong mga sitwasyon ay maaaring maglaman ng operasyon ng paghahati ng anumang monomial, hindi kinakailangan na ang isa ay mahahati ng iba. Inaasahan ito, ipinakilala ng mga mathematician ang isang bagong konsepto - ang konsepto ng isang algebraic fraction. Sa partikular, ang algebraic fraction. Ngayon bumalik tayo sa § 18. Tinatalakay doon ang operasyon ng paghahati ng polynomial sa isang monomial, nabanggit namin na hindi ito palaging magagawa. Kaya, sa halimbawa 2 mula sa § 18, ito ay isang katanungan ng paghahati ng binomial na 6x 3 - 24x 2 sa monomial na 6x 2 . Ang operasyong ito ay naging magagawa, at bilang isang resulta nakuha namin ang binomial x - 4. Samakatuwid, Sa ibang salita, algebraic expression nagawa pang palitan simpleng pagpapahayag- polynomial x - 4.

Kasabay nito, sa halimbawa 3 mula sa § 18, hindi posible na hatiin ang polynomial 8a 3 + ba 2b - b sa 2a 2 , ibig sabihin, ang expression ay hindi maaaring palitan ng isang mas simpleng expression, at kailangan itong iwan bilang isang algebraic fraction.

Tulad ng para sa operasyon ng paghahati ng isang polynomial sa pamamagitan ng polinomyal wala talaga kaming sinabi tungkol dito. Ang tanging masasabi natin ngayon ay ang isang polynomial ay maaaring hatiin ng isa pa kung ang ibang polynomial ay isa sa mga salik sa factorization ng unang polynomial.

Halimbawa, x 3 - 1 \u003d (x - 1) (x 2 + x + 1). Kaya ang x 3 - 1 ay maaaring hatiin ng x 2 + x + 1, makakakuha ka ng x - 1; x 3 - 1 ay maaaring hatiin ng x - 1,

makakakuha ka ng x 2 + x + 1.
polynomials P at Q. Sa kasong ito, ang notasyon
kung saan ang P ay ang numerator, ang Q ay ang denominator ng algebraic fraction.
Mga halimbawa ng algebraic fraction:

Minsan ang isang algebraic fraction ay maaaring palitan ng polynomial. Halimbawa, tulad ng naitatag na natin,

(ang polynomial 6x 3 - 24x 2 ay maaaring hatiin ng 6x 2, habang sa quotient x - 4 ay nakuha); napansin din namin yun

Ngunit ito ay medyo bihira.

Gayunpaman, nakatagpo ka na ng katulad na sitwasyon - kapag nag-aaral ng mga ordinaryong fraction. Halimbawa, ang isang fraction - ay maaaring palitan ng isang integer 4, at isang fraction - ng isang integer 5. Gayunpaman, ang isang fraction - ay hindi maaaring palitan ng isang integer, bagaman ang fraction na ito ay maaaring bawasan sa pamamagitan ng paghahati ng numerator at denominator sa numero 8 - ang karaniwang kadahilanan ng numerator at denominator:
Sa parehong paraan, ang mga algebraic fraction ay maaaring bawasan sa pamamagitan ng sabay-sabay na paghahati sa numerator at denominator ng fraction sa kanilang karaniwang multiplier. At para dito kinakailangan na i-decompose ang numerator at ang denominator ng fraction sa mga kadahilanan. Dito natin kailangan ang lahat ng matagal na nating tinatalakay sa kabanatang ito.

Halimbawa. Bawasan ang isang algebraic fraction:

Solusyon, a) Maghanap ng isang karaniwang kadahilanan para sa mga monomial
12x 3 y 4 at 8x 2 y 5 gaya ng ginawa namin sa § 20. Nakukuha namin ang 4x 2 y 4 . Pagkatapos 12x 3 y 4 = 4x 2 y 4 Zx; 8x 2 y 5 = 4x 2 y 4 2y.
Ibig sabihin,

Numerator at denominador ang isang ibinigay na algebraic fraction ay nabawasan ng isang karaniwang salik 4x 2 y 4 .
Ang solusyon sa halimbawang ito ay maaaring isulat sa ibang paraan:

b) Upang bawasan ang isang fraction, nabubulok natin ang numerator at denominator nito sa mga salik. Nakukuha namin:

(ang fraction ay nabawasan ng karaniwang salik na a + b).

At ngayon bumalik sa pangungusap 2 ng § 1. Kita n'yo, sa wakas ay natupad namin ang pangakong ibinigay doon.
c) Mayroon kaming:

(binawasan nila ang fraction sa pamamagitan ng karaniwang salik ng numerator at denominator, ibig sabihin, ng x (x - y))

Kaya, upang mabawasan ang isang algebraic fraction, kailangan muna nating i-factor ang numerator at denominator nito. Kaya't ang iyong tagumpay sa bagong pagsisikap na ito (pagbabawas ng mga algebraic fraction) ay higit na nakasalalay sa kung gaano mo kahusay na natanggap ang materyal ng mga nakaraang talata ng kabanatang ito.

A. V. Pogorelov, Geometry para sa mga baitang 7-11, Textbook para sa mga institusyong pang-edukasyon

Kung mayroon kang mga pagwawasto o mungkahi para sa ang araling ito sumulat sa amin.

Kung gusto mong makakita ng iba pang pagwawasto at mungkahi para sa mga aralin, tingnan dito - Education Forum.

Pagbawas ng mga algebraic fraction: isang panuntunan, mga halimbawa.

Patuloy naming pinag-aaralan ang paksa ng pagbabago ng algebraic fractions. Sa artikulong ito, pagtutuunan natin ng pansin pagbabawas ng mga algebraic fraction. Una, alamin natin kung ano ang ibig sabihin ng terminong "pagbawas ng isang algebraic fraction", at alamin kung ang isang algebraic fraction ay palaging mababawasan. Susunod, nagbibigay kami ng isang panuntunan na nagpapahintulot sa amin na isagawa ang pagbabagong ito. Panghuli, isaalang-alang ang mga solusyon mga halimbawa ng katangian na magpapahintulot sa iyo na maunawaan ang lahat ng mga subtleties ng proseso.

Pag-navigate sa pahina.

Ano ang ibig sabihin ng pagbabawas ng algebraic fraction?

Sa pag-aaral ng mga ordinaryong praksyon, napag-usapan namin ang kanilang pagbawas. Tinawag namin ang pagbabawas ng isang ordinaryong fraction ang paghahati ng numerator at denominator nito sa pamamagitan ng isang karaniwang salik. Halimbawa, ang karaniwang fraction na 30/54 ay maaaring bawasan ng 6 (iyon ay, hinati sa 6 ang numerator at denominator nito), na magdadala sa atin sa fraction na 5/9.

Ang pagbabawas ng isang algebraic fraction ay nauunawaan bilang isang katulad na aksyon. Bawasan ang algebraic fraction ay upang hatiin ang numerator at denominator nito sa isang karaniwang salik. Ngunit kung ang karaniwang kadahilanan ng numerator at denominator ng isang ordinaryong fraction ay maaari lamang maging isang numero, kung gayon ang karaniwang kadahilanan ng numerator at denominator ng isang algebraic fraction ay maaaring isang polynomial, sa partikular, isang monomial o isang numero.

Halimbawa, isang algebraic fraction maaaring bawasan ng 3 upang magbigay ng fraction . Posible ring bawasan ang variable x , na magreresulta sa expression . Ang orihinal na algebraic fraction ay maaaring bawasan ng monomial na 3 x, gayundin ng alinman sa mga polynomial x+2 y, 3 x+6 y, x 2 +2 x y o 3 x 2 +6 x y .

Pangwakas na layunin Ang pagbabawas ng isang algebraic fraction ay binubuo sa pagkuha ng isang fraction ng isang mas simpleng anyo, sa pinakamahusay, isang hindi mababawasan na fraction.

Ang anumang algebraic fraction ay napapailalim sa pagbawas?

Alam natin na ang mga ordinaryong fraction ay nahahati sa nababawas at hindi mababawasan na mga fraction. Irreducible fractions ay walang mga karaniwang salik maliban sa pagkakaisa sa numerator at denominator, samakatuwid, hindi sila napapailalim sa pagbawas.

Ang mga algebraic fraction ay maaari o walang karaniwang numerator at denominator na mga salik. Sa pagkakaroon ng mga karaniwang kadahilanan, posibleng bawasan ang algebraic fraction. Kung walang mga karaniwang kadahilanan, kung gayon ang pagpapasimple ng algebraic fraction sa pamamagitan ng pagbawas nito ay imposible.

AT pangkalahatang kaso sa hitsura algebraic fraction, medyo mahirap matukoy kung posible bang isagawa ang pagbabawas nito. Walang alinlangan, sa ilang mga kaso ang mga karaniwang salik ng numerator at denominator ay halata. Halimbawa, malinaw na nakikita na ang numerator at denominator ng isang algebraic fraction ay may karaniwang salik na 3. Madali ding makita na ang isang algebraic fraction ay maaaring bawasan ng x, ng y, o kaagad ng x·y. Ngunit mas madalas, ang karaniwang kadahilanan ng numerator at denominator ng isang algebraic fraction ay hindi agad nakikita, at mas madalas, ito ay hindi umiiral. Halimbawa, ang isang fraction ay maaaring bawasan ng x−1 , ngunit ang karaniwang salik na ito ay malinaw na wala sa notasyon. At isang algebraic fraction hindi maaaring bawasan dahil ang numerator at denominator nito ay walang mga karaniwang salik.

Sa pangkalahatan, ang tanong ng contractibility ng isang algebraic fraction ay napakahirap. At kung minsan ay mas madaling lutasin ang isang problema sa pamamagitan ng pagtatrabaho sa isang algebraic fraction sa orihinal nitong anyo kaysa malaman kung ang fraction na ito ay maaaring paunang bawasan. Ngunit gayon pa man, may mga pagbabagong-anyo na sa ilang mga kaso ay nagpapahintulot, na may kaunting pagsisikap, upang mahanap ang mga karaniwang salik ng numerator at denominator, kung mayroon man, o upang tapusin na ang orihinal na algebraic fraction ay hindi mababawasan. Ang impormasyong ito ay ibubunyag sa susunod na talata.

Panuntunan sa pagbabawas ng algebraic fraction

Ang impormasyon ng mga nakaraang talata ay nagbibigay-daan sa iyo upang natural na madama ang mga sumusunod panuntunan sa pagbabawas ng algebraic fraction, na binubuo ng dalawang hakbang:

• una, ang mga karaniwang salik ng numerator at denominator ng orihinal na fraction ay matatagpuan;
• kung mayroon man, ang pagbabawas ng mga salik na ito ay isinasagawa.

Ang mga hakbang na ito ng inihayag na panuntunan ay nangangailangan ng paglilinaw.

Karamihan maginhawang paraan Ang paghahanap ng mga karaniwan ay binubuo sa pag-factor ng mga polynomial sa numerator at denominator ng orihinal na algebraic fraction. Sa kasong ito, ang mga karaniwang salik ng numerator at denominator ay agad na makikita, o nagiging malinaw na walang mga karaniwang salik.

Kung walang karaniwang mga kadahilanan, maaari nating tapusin na ang algebraic fraction ay hindi mababawasan. Kung ang mga karaniwang kadahilanan ay natagpuan, pagkatapos ay sa ikalawang hakbang sila ay nabawasan. Ang resulta ay isang bagong bahagi ng isang mas simpleng anyo.

Ang panuntunan ng pagbabawas ng mga algebraic fraction ay batay sa pangunahing katangian ng isang algebraic fraction, na ipinahayag ng pagkakapantay-pantay , kung saan ang a , b at c ay ilang polynomial, at ang b at c ay hindi zero. Sa unang hakbang, ang orihinal na algebraic fraction ay binabawasan sa anyo , kung saan makikita ang karaniwang kadahilanan c, at sa pangalawang hakbang, ang pagbabawas ay ginaganap - ang paglipat sa fraction .

Lumipat tayo sa paglutas ng mga halimbawa gamit ang panuntunang ito. Sa kanila, susuriin namin ang lahat ng posibleng mga nuances na lumitaw kapag nabubulok ang numerator at denominator ng isang algebraic fraction sa mga kadahilanan at kasunod na pagbawas.

Mga karaniwang halimbawa

Una kailangan mong sabihin ang tungkol sa pagbawas ng mga algebraic fraction, ang numerator at denominator na kung saan ay pareho. Ang ganitong mga fraction ay magkaparehong katumbas ng isa sa buong ODZ ng mga variable na kasama dito, halimbawa,
atbp.

Ngayon hindi nasaktan na alalahanin kung paano ginagawa ang pagbabawas ng mga ordinaryong fraction - pagkatapos ng lahat, ang mga ito ay isang espesyal na kaso ng algebraic fractions. Ang mga natural na numero sa numerator at denominator ng isang ordinaryong fraction ay pinaghiwa-hiwalay sa mga pangunahing salik, pagkatapos nito ay binabawasan ang mga karaniwang salik (kung mayroon man). Halimbawa, . Ang produkto ng magkatulad na pangunahing mga kadahilanan ay maaaring isulat sa anyo ng mga kapangyarihan, at kapag binabawasan, gamitin ang pag-aari ng paghahati ng mga kapangyarihan na may parehong mga base. Sa kasong ito, ang solusyon ay magiging ganito: , dito hinati natin ang numerator at denominator sa isang karaniwang salik 2 2 3 . O, para sa higit na kalinawan, batay sa mga katangian ng pagpaparami at paghahati, ang solusyon ay ipinakita sa anyo.

Ayon sa ganap na magkatulad na mga prinsipyo, ang pagbawas ng mga algebraic fraction ay isinasagawa, sa numerator at denominator kung saan mayroong mga monomial na may mga integer coefficient.

Bawasan ang algebraic fraction .

Maaari mong katawanin ang numerator at denominator ng orihinal na algebraic fraction bilang isang produkto ng mga simpleng salik at variable, at pagkatapos ay isagawa ang pagbabawas:

Ngunit mas makatwiran na isulat ang solusyon bilang isang pagpapahayag na may mga kapangyarihan:

.

Tulad ng para sa pagbabawas ng mga algebraic fraction na mayroong fractional numerical coefficients sa numerator at denominator, maaari mong gawin ang dalawang bagay: alinman sa hiwalay na hatiin ang mga fractional coefficient na ito, o alisin muna ang mga fractional coefficient sa pamamagitan ng pagpaparami ng numerator at denominator sa ilang natural na numero. Napag-usapan namin ang tungkol sa huling pagbabago sa artikulo, na nagdadala ng isang algebraic fraction sa isang bagong denominator, maaari itong isagawa dahil sa pangunahing pag-aari ng isang algebraic fraction. Harapin natin ito ng isang halimbawa.

Magsagawa ng pagbawas ng fraction.

Maaari mong bawasan ang fraction tulad nito: .

At maaari mo munang alisin ang mga fractional coefficient sa pamamagitan ng pagpaparami ng numerator at denominator sa hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga denominator ng mga coefficient na ito, iyon ay, sa pamamagitan ng LCM(5, 10)=10 . Sa kasong ito mayroon tayo .

.

Maaari kang lumipat sa mga algebraic fraction ng isang pangkalahatang anyo, kung saan ang numerator at denominator ay maaaring maglaman ng parehong mga numero at monomial, pati na rin ang mga polynomial.

Kapag binabawasan ang mga naturang fraction, ang pangunahing problema ay ang karaniwang kadahilanan ng numerator at denominator ay hindi palaging nakikita. Bukod dito, hindi ito palaging umiiral. Upang makahanap ng isang karaniwang kadahilanan o matiyak na hindi ito umiiral, kailangan mong i-factor ang numerator at denominator ng isang algebraic fraction.

Bawasan rational fraction .

Upang gawin ito, isinasali namin ang mga polynomial sa numerator at denominator. Magsimula tayo sa panaklong: . Malinaw, ang mga expression sa panaklong ay maaaring ma-convert gamit ang maikling multiplication formula: . Ngayon ay malinaw na nakikita na posibleng bawasan ang fraction sa pamamagitan ng isang karaniwang salik b 2 ·(a+7) . Gawin natin .

Ang isang maikling solusyon na walang paliwanag ay karaniwang nakasulat bilang isang hanay ng mga pagkakapantay-pantay:

.

Minsan ang mga karaniwang multiplier ay maaaring itago ng mga numerical coefficient. Samakatuwid, kapag binabawasan ang mga rational fraction, ipinapayong ilagay ang mga numerical factor sa mas mataas na kapangyarihan ng numerator at denominator sa labas ng mga bracket.

Bawasan ang fraction , kung maaari.

Sa unang tingin, ang numerator at denominator ay walang karaniwang salik. Ngunit gayon pa man, subukan nating magsagawa ng ilang pagbabago. Una, maaari mong i-bracket ang x factor sa numerator: .

Ngayon ay may ilang pagkakatulad sa pagitan ng expression sa mga bracket at ng expression sa denominator dahil sa x 2 ·y . Kunin natin ang mga numerical coefficient sa mas mataas na kapangyarihan ng mga polynomial na ito:

Matapos magawa ang mga pagbabago, makikita ang karaniwang kadahilanan, kung saan isinasagawa natin ang pagbawas. Meron kami

.

Sa pagtatapos ng pag-uusap tungkol sa pagbabawas ng mga rational fraction, napapansin namin na ang tagumpay ay higit na nakasalalay sa kakayahang mag-factorize ng mga polynomial.

www.cleversstudents.ru

Mathematics

Navigation bar

Pagbawas ng mga algebraic fraction

Batay sa ari-arian sa itaas, maaari nating pasimplehin ang mga algebraic fraction sa parehong paraan tulad ng ginagawa natin sa arithmetic fractions sa pamamagitan ng pagpapaikli sa kanila.

Ang pagbabawas ng mga fraction ay ang numerator at denominator ng fraction ay nahahati sa parehong numero.

Kung ang algebraic fraction ay isang-term, kung gayon ang numerator at denominator ay kinakatawan bilang isang produkto ng ilang mga kadahilanan, at ito ay agad na malinaw kung alin. parehong mga numero maaari mong paghiwalayin ang mga ito:

Maaari naming isulat ang parehong fraction nang mas detalyado:. Nakikita natin na posibleng magkasunod-sunod na hatiin ang numerator at denominator ng 4 na beses sa pamamagitan ng a, ibig sabihin, sa huli, hatiin ang bawat isa sa kanila ng 4 . Kaya ; gayundin, atbp. Kaya, kung sa numerator at denominator ay may mga kadahilanan iba't ibang grado ang parehong titik, pagkatapos ay maaari mong bawasan ang fraction na ito sa isang mas maliit na kapangyarihan ng titik na ito.

Kung ang fraction ay polynomial, ang mga polynomial na ito ay dapat munang mabulok, kung maaari, sa mga salik, at pagkatapos ay magiging posible na makita kung anong magkaparehong mga salik ang maaaring hatiin ng numerator at denominator.

…. ang numerator ay madaling isinasali "ayon sa formula" - ito ay ang parisukat ng pagkakaiba ng dalawang numero, lalo na (x - 3) 2 . Ang denominator ay hindi akma sa mga formula at kailangang mabulok ng pamamaraan na ginamit para sa square trinomial: maghanap ng 2 numero upang ang kanilang kabuuan ay -1 at ang kanilang produkto = -6, - ang mga numerong ito ay -3 at + 2; pagkatapos x 2 - x - 6 \u003d x 2 - 3x + 2x - 6 \u003d x (x - 3) + 2 (x - 3) \u003d (x - 3) (x + 2).

Sikat:

• Maikling tuntunin laro ng chess CHESSBOARD AT NOTATION Ang chess ay laro para sa dalawa. Isang manlalaro (Puti) ang gumagamit ng mga piraso kulay puti, at ang pangalawang manlalaro (Black) ay karaniwang naglalaro ng mga itim na piraso. Ang board ay nahahati sa 64 maliit na […]
• Pagpapasimple ng mga expression Ang mga katangian ng karagdagan, pagbabawas, multiplikasyon, at paghahati ay kapaki-pakinabang dahil pinapayagan ka nitong i-convert ang mga kabuuan at produkto sa mga maginhawang expression para sa mga kalkulasyon. Alamin natin kung paano gamitin ang mga property na ito para gawing simple […]
• Ang inertia rule Dynamics ay isang sangay ng mechanics na nag-aaral sa paggalaw ng mga katawan sa ilalim ng pagkilos ng mga puwersang inilapat sa kanila. Isinasaalang-alang din ng biomechanics ang pakikipag-ugnayan sa pagitan ng katawan ng tao at panlabas na kapaligiran, sa pagitan ng mga link ng katawan, […]
• Ang mga letrang e (e), o pagkatapos ng mga salitang sumisitsit sa ugat. Panuntunan at mga halimbawa Pipiliin namin ang pagbabaybay ng mga letrang “e” (e) o “o” pagkatapos ng mga salitang sumisitsit sa ugat, gamit ang kaukulang tuntunin ng pagbaybay ng Ruso. Tingnan natin kung paano […]
• Mechanical at electromagnetic oscillations 4. Oscillations at waves 1. Harmonic vibrations ang mga halaga ng s ay inilalarawan ng equation na s = 0.02 cos (6πt + π/3), m. Tukuyin: 1) ang amplitude ng mga oscillations; 2) cyclic frequency; 3) dalas […]
• Ostwald dilution law 4.6 Ostwald dilution law Degree of dissociation (αdis) at dissociation constant (Kdis) mahina electrolyte ay quantitatively related. Kunin natin ang equation ng koneksyon na ito sa halimbawa ng mahina [...]
• Ang mga salita at nilalaman ng utos ng Ministry of Defense ng Russian Federation No. 365 ng 2002 Ang kautusang ito ay naglalaman ng impormasyon sa karapatan sa karagdagang mga araw ng bakasyon, depende sa iba't ibang kondisyon at mga aspeto ng serbisyo. Ang utos na ito ay tahimik [...]
• magpataw aksyong pandisiplina may karapatan Kabanata 3. PARUSANG DISIPLINARYO Ang mga karapatan ng mga kumander (pinuno) na magpataw ng mga parusang pandisiplina sa mga opisyal ng warrant at midshipmen na nasasakupan nila 63. Platoon (group) commander at [...]

Ang pagbabawas ng mga fraction ay kinakailangan upang dalhin ang fraction sa isang mas simpleng anyo, halimbawa, sa sagot na nakuha bilang isang resulta ng paglutas ng expression.

Pagbawas ng mga fraction, kahulugan at formula.

Ano ang pagbawas ng fraction? Ano ang ibig sabihin ng pagbabawas ng isang fraction?

Kahulugan:
Pagbabawas ng fraction ay ang paghahati ng numerator at denominator sa parehong fraction positibong numero hindi sero at yunit. Bilang resulta ng pagbabawas, ang isang fraction na may mas maliit na numerator at denominator ay nakuha, katumbas ng nakaraang fraction ayon sa.

Formula ng pagbawas ng fraction pangunahing ari-arian mga rational na numero.

\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)

Isaalang-alang ang isang halimbawa:
Bawasan ang fraction \(\frac(9)(15)\)

Desisyon:
Maaari naming i-faction ang isang fraction sa prime factor at bawasan ang mga common factor.

\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(red) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)

Sagot: pagkatapos ng pagbabawas nakuha namin ang fraction \(\frac(3)(5)\). Ayon sa pangunahing pag-aari ng mga rational na numero, ang inisyal at nagreresultang mga fraction ay pantay.

\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)

Paano bawasan ang mga fraction? Pagbawas ng isang fraction sa isang hindi mababawasan na anyo.

Upang makakuha tayo ng hindi mababawasang bahagi bilang resulta, kailangan natin hanapin ang pinakamalaking karaniwang divisor (gcd) para sa numerator at denominator ng isang fraction.

Mayroong ilang mga paraan upang mahanap ang GCD, gagamitin namin ang decomposition ng mga numero sa pangunahing mga kadahilanan sa halimbawa.

Kunin ang irreducible fraction \(\frac(48)(136)\).

Desisyon:
Hanapin ang GCD(48, 136). Isulat natin ang mga numerong 48 at 136 sa mga pangunahing salik.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
GCD(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(48)(136)=\frac(\color(pula) (2 \times 2 \times 2) \times 2 \times 3)(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 17)=\frac(\color(red) (6) \times 2 \times 3)(\color(red) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ frac(6)(17)\)

Ang panuntunan para sa pagbabawas ng isang fraction sa isang hindi mababawasan na anyo.

1. Hanapin ang pinakamalaking karaniwang divisor para sa numerator at denominator.
2. Kailangan mong hatiin ang numerator at denominator sa pinakamalaking karaniwang divisor bilang resulta ng paghahati upang makakuha ng hindi mababawasang bahagi.

Halimbawa:
Bawasan ang fraction \(\frac(152)(168)\).

Desisyon:
Hanapin ang GCD(152, 168). Isulat natin ang mga numerong 152 at 168 sa mga pangunahing salik.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
gcd(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(152)(168)=\frac(\color(red) (6) \times 19)(\color(red) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)

Sagot: Ang \(\frac(19)(21)\) ay isang irreducible fraction.

Pagpapaikli ng isang improper fraction.

Paano mag-cut hindi wastong bahagi?
Ang mga patakaran para sa pagbabawas ng mga praksiyon para sa wasto at hindi wastong mga praksiyon ay pareho.

Isaalang-alang ang isang halimbawa:
Bawasan ang hindi tamang fraction \(\frac(44)(32)\).

Desisyon:
Isulat natin ang numerator at denominator sa mga pangunahing salik. At pagkatapos ay binabawasan namin ang mga karaniwang kadahilanan.

\(\frac(44)(32)=\frac(\color(pula) (2 \times 2 ) \times 11)(\color(red) (2 \times 2 ) \times 2 \times 2 \times 2 )=\frac(11)(2 \times 2 \times 2)=\frac(11)(8)\)

Pagbawas ng mga pinaghalong fraction.

Ang mga pinaghalong fraction ay sumusunod sa parehong mga patakaran tulad ng mga ordinaryong fraction. Ang pinagkaiba lang ay kaya natin huwag hawakan ang buong bahagi, ngunit bawasan ang praksyonal na bahagi o halo-halong bahagi i-convert sa improper fraction, bawasan at i-convert pabalik sa proper fraction.

Isaalang-alang ang isang halimbawa:
Bawasan ang pinaghalong fraction \(2\frac(30)(45)\).

Desisyon:
Lutasin natin ito sa dalawang paraan:
Unang paraan:
Isusulat namin ang fractional na bahagi sa prime factor, at hindi namin hawakan ang integer na bahagi.

\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3))(3 \times \color(red) (5 \times 3))=2\ frac(2)(3)\)

Pangalawang paraan:
Una, isinasalin natin sa isang hindi wastong bahagi, at pagkatapos ay isusulat natin ito sa mga pangunahing kadahilanan at bawasan ito. I-convert ang nagresultang improper fraction sa tamang fraction.

\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3) \times 2 \times 2)(3 \times \color(red) (3 \times 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)

Mga kaugnay na tanong:
Maaari bang bawasan ang mga fraction kapag nagdaragdag o nagbabawas?
Sagot: hindi, kailangan mo munang magdagdag o magbawas ng mga fraction ayon sa mga patakaran, at pagkatapos ay bawasan. Isaalang-alang ang isang halimbawa:

Suriin ang expression na \(\frac(50+20-10)(20)\) .

Desisyon:
Madalas silang nagkakamali na bawasan ang parehong mga numero sa numerator at denominator sa aming kaso, ang numero 20, ngunit hindi sila mababawasan hanggang sa magsagawa ka ng karagdagan at pagbabawas.

\(\frac(50+\color(red) (20)-10)(\color(red) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)

Sa anong numero maaari mong bawasan ang isang fraction?
Sagot: Maaari mong bawasan ang isang fraction ng pinakamalaking karaniwang divisor o ang karaniwang divisor ng numerator at denominator. Halimbawa, ang fraction \(\frac(100)(150)\).

Isulat natin ang mga numerong 100 at 150 sa mga pangunahing salik.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Ang pinakamalaking karaniwang divisor ay ang bilang ng gcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)

Nakuha namin ang irreducible fraction \(\frac(2)(3)\).

Ngunit hindi kinakailangan na laging hatiin sa GCD, hindi palaging kailangan ang isang hindi mababawasang bahagi, maaari mong bawasan ang bahagi sa pamamagitan ng isang simpleng divisor ng numerator at denominator. Halimbawa, ang numerong 100 at 150 ay may karaniwang divisor 2. Bawasan natin ang fraction na \(\frac(100)(150)\) ng 2.

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)\)

Nakuha namin ang pinababang fraction \(\frac(50)(75)\).

Anong mga fraction ang maaaring bawasan?
Sagot: Maaari mong bawasan ang mga fraction kung saan ang numerator at denominator ay may isang karaniwang divisor. Halimbawa, ang fraction na \(\frac(4)(8)\). Ang numero 4 at 8 ay may numero kung saan pareho silang nahahati sa bilang na ito 2. Samakatuwid, ang nasabing fraction ay maaaring bawasan ng bilang 2.

Halimbawa:
Paghambingin ang dalawang fraction na \(\frac(2)(3)\) at \(\frac(8)(12)\).

Ang dalawang fraction na ito ay pantay. Isaalang-alang ang bahaging \(\frac(8)(12)\) nang detalyado:

\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3) \beses 1=\frac(2)(3)\)

Mula dito nakukuha natin, \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)

Ang dalawang fraction ay pantay-pantay kung at kung ang isa sa mga ito ay nakuha sa pamamagitan ng pagbabawas ng isa pang fraction ng isang karaniwang salik ng numerator at denominator.

Halimbawa:
Bawasan ang mga sumusunod na fraction kung maaari: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d ) \(\frac(100)(250)\)

Desisyon:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 \times 3 \times 3)(13)=\frac(18)(13)\)
b) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(red) (3 \times 3) \times 3)(\color(red) (3 \times 3) \times 7)=\frac (3)(7)\)
c) \(\frac(17)(100)\) hindi mababawasan na fraction
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \times 2)(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \ beses 5)=\frac(2)(5)\)

Sa artikulong ito, pagtutuunan natin ng pansin pagbabawas ng mga algebraic fraction. Una, alamin natin kung ano ang ibig sabihin ng terminong "pagbawas ng isang algebraic fraction", at alamin kung ang isang algebraic fraction ay palaging mababawasan. Susunod, nagbibigay kami ng isang panuntunan na nagpapahintulot sa amin na isagawa ang pagbabagong ito. Sa wakas, isaalang-alang ang mga solusyon ng karaniwang mga halimbawa na gagawing posible na maunawaan ang lahat ng mga subtleties ng proseso.

Pag-navigate sa pahina.

Ano ang ibig sabihin ng pagbabawas ng algebraic fraction?

Sa pag-aaral, napag-usapan namin ang pagbabawas nila. tinawag namin ang dibisyon ng numerator at denominator nito sa pamamagitan ng karaniwang salik. Halimbawa, ang karaniwang fraction na 30/54 ay maaaring bawasan ng 6 (iyon ay, hinati sa 6 ang numerator at denominator nito), na magdadala sa atin sa fraction na 5/9.

Ang pagbabawas ng isang algebraic fraction ay nauunawaan bilang isang katulad na aksyon. Bawasan ang algebraic fraction ay upang hatiin ang numerator at denominator nito sa isang karaniwang salik. Ngunit kung ang karaniwang kadahilanan ng numerator at denominator ng isang ordinaryong fraction ay maaari lamang maging isang numero, kung gayon ang karaniwang kadahilanan ng numerator at denominator ng isang algebraic fraction ay maaaring isang polynomial, sa partikular, isang monomial o isang numero.

Halimbawa, ang isang algebraic fraction ay maaaring bawasan ng numero 3, na nagbibigay ng fraction . Posible ring bawasan ang variable x , na magreresulta sa expression . Ang orihinal na algebraic fraction ay maaaring bawasan ng monomial na 3 x, gayundin ng alinman sa mga polynomial x+2 y, 3 x+6 y, x 2 +2 x y o 3 x 2 +6 x y .

Ang pangwakas na layunin ng pagbabawas ng isang algebraic fraction ay upang makakuha ng isang fraction ng isang mas simpleng anyo, sa pinakamahusay, isang hindi mababawasan na fraction.

Ang anumang algebraic fraction ay napapailalim sa pagbawas?

Alam natin na ang mga ordinaryong fraction ay nahahati sa . Ang mga irreducible fraction ay walang mga karaniwang salik maliban sa pagkakaisa sa numerator at denominator, samakatuwid, hindi sila maaaring bawasan.

Ang mga algebraic fraction ay maaari o walang karaniwang numerator at denominator na mga salik. Sa pagkakaroon ng mga karaniwang kadahilanan, posibleng bawasan ang algebraic fraction. Kung walang mga karaniwang kadahilanan, kung gayon ang pagpapasimple ng algebraic fraction sa pamamagitan ng pagbawas nito ay imposible.

Sa pangkalahatang kaso, sa pamamagitan ng paglitaw ng isang algebraic fraction, medyo mahirap matukoy kung posible bang isagawa ang pagbabawas nito. Walang alinlangan, sa ilang mga kaso ang mga karaniwang salik ng numerator at denominator ay halata. Halimbawa, malinaw na nakikita na ang numerator at denominator ng isang algebraic fraction ay may karaniwang salik na 3. Madali ding makita na ang isang algebraic fraction ay maaaring bawasan ng x, ng y, o kaagad ng x·y. Ngunit mas madalas, ang karaniwang kadahilanan ng numerator at denominator ng isang algebraic fraction ay hindi agad nakikita, at mas madalas, ito ay hindi umiiral. Halimbawa, ang isang fraction ay maaaring bawasan ng x−1 , ngunit ang karaniwang salik na ito ay malinaw na wala sa notasyon. At isang algebraic fraction hindi maaaring bawasan dahil ang numerator at denominator nito ay walang mga karaniwang salik.

Sa pangkalahatan, ang tanong ng contractibility ng isang algebraic fraction ay napakahirap. At kung minsan ay mas madaling lutasin ang isang problema sa pamamagitan ng pagtatrabaho sa isang algebraic fraction sa orihinal nitong anyo kaysa malaman kung ang fraction na ito ay maaaring paunang bawasan. Ngunit gayon pa man, may mga pagbabagong-anyo na sa ilang mga kaso ay nagpapahintulot, na may kaunting pagsisikap, upang mahanap ang mga karaniwang salik ng numerator at denominator, kung mayroon man, o upang tapusin na ang orihinal na algebraic fraction ay hindi mababawasan. Ang impormasyong ito ay ibubunyag sa susunod na talata.

Panuntunan sa pagbabawas ng algebraic fraction

Ang impormasyon ng mga nakaraang talata ay nagbibigay-daan sa iyo upang natural na madama ang mga sumusunod panuntunan sa pagbabawas ng algebraic fraction, na binubuo ng dalawang hakbang:

• una, ang mga karaniwang salik ng numerator at denominator ng orihinal na fraction ay matatagpuan;
• kung mayroon man, ang pagbabawas ng mga salik na ito ay isinasagawa.

Ang mga hakbang na ito ng inihayag na panuntunan ay nangangailangan ng paglilinaw.

Ang pinaka-maginhawang paraan upang makahanap ng mga karaniwan ay ang pag-factorize ng mga polynomial na nasa numerator at denominator ng orihinal na algebraic fraction. Sa kasong ito, ang mga karaniwang salik ng numerator at denominator ay agad na makikita, o nagiging malinaw na walang mga karaniwang salik.

Kung walang karaniwang mga kadahilanan, maaari nating tapusin na ang algebraic fraction ay hindi mababawasan. Kung ang mga karaniwang kadahilanan ay natagpuan, pagkatapos ay sa ikalawang hakbang sila ay nabawasan. Ang resulta ay isang bagong bahagi ng isang mas simpleng anyo.

Ang panuntunan ng pagbabawas ng mga algebraic fraction ay batay sa pangunahing katangian ng isang algebraic fraction, na ipinahayag ng pagkakapantay-pantay , kung saan ang a , b at c ay ilang polynomial, at ang b at c ay hindi zero. Sa unang hakbang, ang orihinal na algebraic fraction ay binabawasan sa anyo , kung saan makikita ang karaniwang kadahilanan c, at sa pangalawang hakbang, ang pagbabawas ay ginaganap - ang paglipat sa fraction .

Lumipat tayo sa paglutas ng mga halimbawa gamit ang panuntunang ito. Sa kanila, susuriin namin ang lahat ng posibleng mga nuances na lumitaw kapag nabubulok ang numerator at denominator ng isang algebraic fraction sa mga kadahilanan at kasunod na pagbawas.

Mga karaniwang halimbawa

Una kailangan mong sabihin ang tungkol sa pagbawas ng mga algebraic fraction, ang numerator at denominator na kung saan ay pareho. Ang ganitong mga fraction ay magkaparehong katumbas ng isa sa buong ODZ ng mga variable na kasama dito, halimbawa,
atbp.

Ngayon hindi nasaktan na alalahanin kung paano ginagawa ang pagbabawas ng mga ordinaryong fraction - pagkatapos ng lahat, ang mga ito ay isang espesyal na kaso ng algebraic fractions. Mga natural na numero sa numerator at denominator ng isang ordinaryong fraction, pagkatapos nito ay binabawasan ang mga karaniwang salik (kung mayroon man). Halimbawa, . Ang produkto ng magkaparehong mga pangunahing kadahilanan ay maaaring isulat sa anyo ng mga degree, at kapag binawasan, gamitin. Sa kasong ito, ang solusyon ay magiging ganito: , dito hinati natin ang numerator at denominator sa isang karaniwang salik 2 2 3 . O, para sa higit na kalinawan, batay sa mga katangian ng pagpaparami at paghahati, ang solusyon ay ipinakita sa anyo.

Ayon sa ganap na magkatulad na mga prinsipyo, ang pagbawas ng mga algebraic fraction ay isinasagawa, sa numerator at denominator kung saan mayroong mga monomial na may mga integer coefficient.

Halimbawa.

Bawasan ang algebraic fraction .

Desisyon.

Maaari mong katawanin ang numerator at denominator ng orihinal na algebraic fraction bilang isang produkto ng mga simpleng salik at variable, at pagkatapos ay isagawa ang pagbabawas:

Ngunit mas makatwiran na isulat ang solusyon bilang isang pagpapahayag na may mga kapangyarihan:

Sagot:

.

Tulad ng para sa pagbabawas ng mga algebraic fraction na mayroong fractional numerical coefficients sa numerator at denominator, maaari mong gawin ang dalawang bagay: alinman sa hiwalay na hatiin ang mga fractional coefficient na ito, o alisin muna ang mga fractional coefficient sa pamamagitan ng pagpaparami ng numerator at denominator sa ilang natural na numero. Napag-usapan namin ang tungkol sa huling pagbabago sa artikulo na nagdadala ng isang algebraic fraction sa isang bagong denominator, maaari itong isagawa dahil sa pangunahing pag-aari ng isang algebraic fraction. Harapin natin ito ng isang halimbawa.

Halimbawa.

Magsagawa ng pagbawas ng fraction.

Desisyon.

Maaari mong bawasan ang fraction tulad nito: .

At posible na alisin muna ang mga fractional coefficient sa pamamagitan ng pagpaparami ng numerator at denominator sa mga denominator ng mga coefficient na ito, iyon ay, sa pamamagitan ng LCM(5, 10)=10 . Sa kasong ito mayroon tayo .

Sagot:

.

Maaari kang lumipat sa mga algebraic fraction ng isang pangkalahatang anyo, kung saan ang numerator at denominator ay maaaring maglaman ng parehong mga numero at monomial, pati na rin ang mga polynomial.

Kapag binabawasan ang mga naturang fraction, ang pangunahing problema ay ang karaniwang kadahilanan ng numerator at denominator ay hindi palaging nakikita. Bukod dito, hindi ito palaging umiiral. Upang makahanap ng isang karaniwang kadahilanan o matiyak na hindi ito umiiral, kailangan mong i-factor ang numerator at denominator ng isang algebraic fraction.

Halimbawa.

Bawasan ang rational fraction .

Desisyon.

Upang gawin ito, isinasali namin ang mga polynomial sa numerator at denominator. Magsimula tayo sa panaklong: . Malinaw, ang mga nakakulong na expression ay maaaring ma-convert gamit ang