Multiplizieren eines Vektors mit einer Zahl Das Produkt eines Nullvektors mit einer Zahl ist ein Vektor, dessen Länge gleich ist, und die Vektoren und sind gleich gerichtet und entgegengesetzt gerichtet. Das Produkt eines Nullvektors mit einer beliebigen Zahl ist ein Nullvektor. Das Produkt eines Nullvektors mit einer Zahl ist ein Vektor, dessen Länge gleich ist, und die Vektoren und sind gleich gerichtet und entgegengesetzt gerichtet. Das Produkt eines Nullvektors mit einer beliebigen Zahl ist ein Nullvektor.

Das Produkt eines Vektors mit einer Zahl wird wie folgt bezeichnet: Das Produkt eines Vektors mit einer Zahl wird wie folgt bezeichnet: Für jede Zahl und jeden Vektor sind die Vektoren und kollinear. Für jede Zahl und jeden Vektor sind die Vektoren und kollinear. Das Produkt eines beliebigen Vektors mit Null ist ein Nullvektor. Das Produkt eines beliebigen Vektors mit Null ist ein Nullvektor.

Für alle Vektoren und Zahlen gelten Gleichheiten: Für alle Vektoren und Zahlen gelten Gleichheiten:

(-1) ist ein Vektor, entgegengesetzter Vektor, d.h. (-1) =-. Die Längen der Vektoren (-1) und sind:. (-1) ist der dem Vektor entgegengesetzte Vektor, d.h. (-1) =-. Die Längen der Vektoren (-1) und sind:. Wenn der Vektor nicht Null ist, dann sind die Vektoren (-1) und entgegengesetzt gerichtet. Wenn der Vektor nicht Null ist, dann sind die Vektoren (-1) und entgegengesetzt gerichtet. IN DER PLANIMETRIE IN DER PLANIMETRIE Wenn die Vektoren und kollinear sind und, dann gibt es eine solche Zahl. Wenn die Vektoren und kollinear und sind, dann gibt es eine solche Zahl.

Koplanare Vektoren Vektoren werden als koplanar bezeichnet, wenn sie, wenn sie vom selben Punkt aus gezeichnet werden, in derselben Ebene liegen. Vektoren werden als koplanar bezeichnet, wenn sie, wenn sie vom selben Punkt aus gezeichnet werden, in derselben Ebene liegen.

Die Abbildung zeigt ein Parallelepiped. Die Abbildung zeigt ein Parallelepiped. Vektoren und sind koplanar, denn wenn wir einen Vektor gleich dem Punkt O beiseite legen Vektoren und sind koplanar, denn wenn wir einen Vektor gleich dem Punkt O beiseite legen, dann bekommen wir einen Vektor, und Vektoren bekommen wir einen Vektor , und Vektoren, und liegen in derselben Ebene OSE. Die Vektoren und sind nicht koplanar, da der Vektor nicht in der OAB-Ebene liegt. und in derselben OSE-Ebene liegen. Die Vektoren und sind nicht koplanar, da der Vektor nicht in der OAB-Ebene liegt.

Beweis des Merkmals Vektoren und sind nicht kollinear (wenn Vektoren und kollinear sind, dann ist die Komplanarität von Vektoren und offensichtlich). Beiseite legen beliebiger Punkt O Vektoren und (Abb.). Die Vektoren und liegen in der OAB-Ebene. Die Vektoren liegen in der gleichen Ebene Die Vektoren und sind nicht kollinear (wenn die Vektoren und kollinear sind, dann ist die Komplanarität der Vektoren und offensichtlich). Lassen Sie uns die Vektoren und von einem beliebigen Punkt O (Abb.) beiseite legen. Die Vektoren und liegen in der OAB-Ebene. Vektoren liegen in derselben Ebene, und daher ihr Summenvektor, und daher ihr Summenvektor, gleich Vektor. Vektoren gleich Vektor. Die Vektoren liegen in der gleichen Ebene, d.h. Vektoren und liegen in der gleichen Ebene, d.h. Vektoren und sind koplanar. koplanar.

Wenn die Vektoren und koplanar sind und die Vektoren und nicht kollinear, dann kann der Vektor in Vektoren zerlegt werden (d.h. in der Form dargestellt werden), und die Entwicklungskoeffizienten (d.h. die Zahlen und in der Formel) sind eindeutig bestimmt . außerdem sind die Ausdehnungskoeffizienten (d. h. die Zahlen und in der Formel) eindeutig bestimmt.

Das Produkt eines Nullvektors mit einer beliebigen Zahl ist ein Nullvektor. Für jede Zahl k und jeden Vektor a sind die Vektoren a und ka kollinear. Aus dieser Definition folgt auch, dass das Produkt eines beliebigen Vektors mit Null ein Nullvektor ist.

Folie 38 aus der Präsentation "Vektoren" Klasse 11". Die Größe des Archivs mit der Präsentation beträgt 614 KB.

Geometrie Klasse 11

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Vektorsubtraktion

Vektoraddition

Vektoren können hinzugefügt werden. Der resultierende Vektor ist die Summe beider Vektoren und definiert den Abstand und die Richtung. Sie leben zum Beispiel in Kiew und haben beschlossen, alte Freunde in Moskau zu besuchen und von dort aus Ihre geliebte Schwiegermutter in Lemberg zu besuchen. Wie weit werden Sie von zu Hause entfernt sein, um die Mutter Ihrer Frau zu besuchen?

Um diese Frage zu beantworten, müssen Sie einen Vektor zeichnen Startpunkt Reise (Kiew) und zum Finale (Lwiw). Der neue Vektor bestimmt das Ergebnis der gesamten Reise von Anfang bis Ende.

• Vektor A - Kiew-Moskau
• Vektor B - Moskau-Lwiw
• Vektor C - Kiew-Lemberg

C \u003d A + B, wo C - Summe der Vektoren oder der resultierende Vektor

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Vektoren können nicht nur addiert, sondern auch subtrahiert werden! Dazu müssen Sie die Basen der Subtrahend- und Subtraktionsvektoren kombinieren und ihre Enden mit Pfeilen verbinden:

• Vektor A = C-B
• Vektor B = C-A

23Frage:

Ein Vektor ist eine gerichtete Strecke, die zwei Punkte im Raum oder in einer Ebene verbindet. Vektoren werden normalerweise entweder durch kleine Buchstaben oder durch Start- und Endpunkte gekennzeichnet. Oben ist normalerweise ein Bindestrich.

Zum Beispiel ein Vektor, der von einem Punkt aus gerichtet ist EIN auf den Punkt B, bezeichnet werden kann a,

Nullvektor 0 oder 0 ist ein Vektor, dessen Anfangs- und Endpunkt gleich sind, d.h. EIN=B.Von hier 0 = – 0.

Die Länge (Modulus) des Vektors a ist die Länge des Segments AB, das ihn anzeigt, bezeichnet mit | ein |. Insbesondere | | 0 | = 0.

Die Vektoren werden aufgerufen kollinear wenn ihre gerichteten Segmente auf parallelen Linien liegen. Kollineare Vektoren a und b bezeichnet sind a|| b.

Drei oder mehr Vektoren werden aufgerufen koplanar wenn sie in der gleichen Ebene liegen.

Addition von Vektoren. Da Vektoren sind gerichtet Segmente, dann kann ihre Addition durchgeführt werden geometrisch(Die algebraische Addition von Vektoren wird unten im Absatz "orthogonale Einheitsvektoren" beschrieben). Stellen wir uns das vor

a=AB und b = CD,

dann der Vektor __ __

a+ b = AB+ CD

ist das Ergebnis zweier Operationen:

a)parallele Übertragung einen der Vektoren so, dass sein Startpunkt mit dem Endpunkt des zweiten Vektors zusammenfällt;

b)geometrische Addition, d.h. Konstruieren des resultierenden Vektors, der vom Startpunkt des festen Vektors zum Endpunkt des übertragenen Vektors geht.

Subtraktion von Vektoren. Diese Operation wird auf die vorherige reduziert, indem der subtrahierte Vektor durch den entgegengesetzten ersetzt wird: a-b =a+ (- b) .

Die Additionsgesetze.

I. ein+ b = b + a(V erables Recht).

II. (a+ b) + c = a+ (b + c) (Kombiniertes Recht).

III. a+ 0= a.

IV. a+ (- a) = 0 .

Gesetze der Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl.

ICH. ein · a= a,0 · a= 0 , m 0 = 0 , ( – ein) · a= - a.

II. m ein = ein m,| m ein| = | m | · | ein | .

III. m (n ein) = (m n) ein .(Kombiniert

Gesetz der Multiplikation).

IV. (m+n) a= m ein + n ein ,(Verteiler

m(a+ b)= m a + m b . Gesetz der Multiplikation).

Skalarprodukt von Vektoren. __ __

Winkel zwischen Nicht-Null-Vektoren AB und CD ist der Winkel durch Vektoren gebildet mit ihnen parallele Übertragung vor Matching-Punkten EIN und C. Das Skalarprodukt von Vektoren a und b genannt eine Zahl gleich das Produkt ihrer Längen durch den Kosinus des Winkels zwischen ihnen:

Wenn einer der Vektoren Null ist, dann ist ihr Skalarprodukt gemäß der Definition Null:

(a , 0) = (0,b) = 0 .

Wenn beide Vektoren nicht Null sind, wird der Kosinus des Winkels zwischen ihnen nach folgender Formel berechnet:

Skalarprodukt ( ein, ein) gleich | a| 2, genannt skalares Quadrat. Vektorlänge a und sein Skalarquadrat stehen in Beziehung zu:

Skalarprodukt zweier Vektoren:

- positiv wenn der Winkel zwischen den Vektoren würzig;

- Negativ wenn der Winkel zwischen den Vektoren unverblümt.

Das Skalarprodukt zweier Nicht-Null-Vektoren ist genau dann gleich Null, wenn der Winkel zwischen ihnen richtig ist, d.h. wenn diese Vektoren senkrecht (orthogonal) sind:

Eigenschaften des Skalarprodukts. Für beliebige Vektoren a, b, c und jede Zahl m es gelten folgende Beziehungen:

ICH. (ein, b) = (b, a) . (V erables Recht)

II. (m ein, b) = m(ein, b) .

III.(a+b, c) = (a, c) + (b, c). (Verteilungsrecht

Das Produkt eines Vektors mit einer Zahl

Ziele: das Konzept der Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl einführen; Betrachten Sie die grundlegenden Eigenschaften der Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl.

Während des Unterrichts

I. Neues Material lernen(Vorlesung).

1. Es ist ratsam, zu Beginn der Vorlesung ein Beispiel zu geben, das zur Definition des Produkts eines Vektors durch eine Zahl führt, insbesondere dieses:

Das Auto bewegt sich geradeaus mit einer Geschwindigkeit von . Er wird von einem zweiten Auto überholt, das mit doppelter Geschwindigkeit fährt. Ein drittes Auto bewegt sich auf sie zu, dessen Geschwindigkeit gleich der des zweiten Autos ist. Wie drückt man die Geschwindigkeiten des zweiten und dritten Autos in Bezug auf die Geschwindigkeit des ersten Autos aus und wie stellt man diese Geschwindigkeiten mit Vektoren dar?

2. Definition des Produkts eines Vektors durch eine Zahl, seine Bezeichnung: (Abb. 260).

3. Schreiben Sie in Notizbücher:

1) das Produkt eines beliebigen Vektors mit der Zahl Null ist ein Nullvektor;

2) für jede Zahl k und jeden Vektor sind die Vektoren und kollinear.

4. Grundlegende Eigenschaften der Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl:

Für beliebige Zahlen k, l und beliebige Vektoren gelten die Gleichungen:

1°. (assoziatives Gesetz) (Abb. 261);

2°. (erstes Verteilungsgesetz) (Abb. 262);

3°. (zweites Verteilungsgesetz) (Abb. 263).

Notiz. Die betrachteten Eigenschaften von Aktionen auf Vektoren ermöglichen es uns, Transformationen in Ausdrücken durchzuführen, die Summen, Differenzen von Vektoren und Produkte von Vektoren durch Zahlen enthalten, nach denselben Regeln wie in numerischen Ausdrücken.

"Es heißt Vektor" - Vektoren. Addition von Vektoren Parallelogrammregel. Das zweite Konzept eines Vektors. Vektorgleichheit. Entgegengesetzt gerichtete Vektoren. Gebäude: Kollineare Vektoren haben entgegengesetzten Richtung, heißen entgegengesetzt gerichtete Vektoren. Subtraktion von Vektoren. Kollineare Vektoren. Ende des Vektors.

"Vektoren in der Ebene" - Gegeben ein Punkt und ein Vektor. Gleichungen in Segmenten. Lernen allgemeine Gleichung Flugzeuge. Gleichung einer Ebene, die durch drei Punkte geht. Die Vektoren sind koplanar. Betrachten Sie den aktuellen Punkt der Geraden, dann liegt der Vektor auf der gegebenen Geraden. Analytische Geometrie. Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte M1 und M2 verläuft.

"Regeln der Addition und Subtraktion von Vektoren" - Regel "Polygon". Dreiecksregel. Inhaltsverzeichnis. Subtraktion von Vektoren. Welche Additionsregel wurde auf der vorherigen Folie verwendet? Multiplizieren eines Vektors mit einer Zahl. (Für kollineare Vektoren). Parallelogrammregel. Aktionen mit Vektoren. Addition von Vektoren. Versuchen Sie, mithilfe der Parallelogrammaddition zu subtrahieren.

"So finden Sie das Skalarprodukt von Vektoren" - Quadrat. Winkel zwischen Vektoren. Skalarprodukt von Vektoren. Füllen Sie den Tisch. Füge das fehlende Wort ein. Av \u003d Sonne \u003d ac \u003d 2. Finden Sie das Skalarprodukt von Vektoren. Seiten eines Dreiecks. Wähle die richtige Antwort. Skalarprodukt. Av \u003d Sonne \u003d ac. Finde die Seiten und Winkel des Dreiecks. ABCD ist ein Quadrat.

"Arten von Vektoren" - Benennen Sie die Vektoren und notieren Sie ihre Bezeichnungen. Vektorgleichheit. Subtraktion von Vektoren. Geben Sie die Länge an. Vektormultiplikation. Vektoren. Konsonantenvektoren. Kollineare Vektoren. Benennen Sie die Vektoren. Nennen Sie entgegengesetzt gerichtete Vektoren. Möglichkeit. Die Summe mehrerer Vektoren. Nennen Sie die Konsonantenvektoren. Geben Sie die Länge der Vektoren an.

"Vektorkoordinaten" - 1. Die Koordinaten der Summe der Vektoren sind gleich der Summe der entsprechenden Koordinaten. Vektorkoordinaten. A(3; 2). 2. Die Koordinaten der Differenz von Vektoren sind gleich der Differenz der entsprechenden Koordinaten. 1. Vektorkoordinaten. 2. Eigenschaften von Vektorkoordinaten.

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