Die in der Schule untersuchten Rotationskörper sind ein Zylinder, ein Kegel und eine Kugel.

Wenn Sie in einer USE-Aufgabe in Mathematik das Volumen eines Kegels oder die Fläche einer Kugel berechnen müssen, können Sie sich glücklich schätzen.

Formeln für Volumen und Oberfläche eines Zylinders, Kegels und einer Kugel anwenden. Alle von ihnen sind in unserer Tabelle. Auswendig lernen. Hier beginnt das Wissen um die Stereometrie.

Manchmal ist es gut, eine Draufsicht zu zeichnen. Oder, wie in diesem Problem, von unten.

2. Wie oft das Volumen eines umschriebenen Kegels in der Nähe des Richtigen ist viereckige Pyramide, größer als das Volumen des in diese Pyramide eingeschriebenen Kegels?

Alles ist einfach - wir zeichnen eine Ansicht von unten. Wir sehen, dass der Radius des größeren Kreises um ein Vielfaches größer ist als der Radius des kleineren. Die Höhe beider Kegel ist gleich. Daher die Lautstärke größerer Kegel wird doppelt so viel.

Noch eins wichtiger Punkt. Denken Sie daran, dass in den Aufgaben von Teil B USE-Optionen In der Mathematik wird die Antwort als ganze Zahl oder endlich geschrieben Dezimalbruch. Daher sollten Sie kein oder in Ihrer Antwort in Teil B haben. Das Ersetzen des ungefähren Werts der Zahl ist ebenfalls nicht erforderlich! Es muss reduziert werden! Dafür wird bei manchen Aufgaben die Aufgabe beispielsweise so formuliert: „Finde die Fläche der Mantelfläche des Zylinders dividiert durch“.

Und wo werden sonst die Formeln für Volumen und Oberfläche von Rotationskörpern verwendet? Natürlich in Problem C2 (16). Auch davon werden wir berichten.

Wir wissen, was ein Kegel ist, versuchen wir, seine Oberfläche zu finden. Warum ist es notwendig, ein solches Problem zu lösen? Zum Beispiel müssen Sie verstehen, wie viel die Prüfung wird gehen um eine Waffel zu machen? Oder wie viele Ziegel braucht man, um das Ziegeldach eines Schlosses niederzulegen?

Es ist nicht einfach, die Mantelfläche eines Kegels zu messen. Aber stellen Sie sich dasselbe in Stoff gewickelte Horn vor. Um die Fläche eines Stoffstücks zu finden, müssen Sie es ausschneiden und auf dem Tisch auslegen. Es stellt sich heraus flache Figur, können wir seinen Bereich finden.

Reis. 1. Schnitt des Kegels entlang der Mantellinie

Machen wir dasselbe mit dem Kegel. Lassen Sie uns seine Seitenfläche zum Beispiel entlang einer beliebigen Erzeugenden "schneiden" (siehe Abb. 1).

Nun „wickeln“ wir die Seitenfläche auf eine Ebene ab. Wir bekommen einen Sektor. Der Mittelpunkt dieses Sektors ist die Spitze des Kegels, der Radius des Sektors ist gleich der Erzeugenden des Kegels, und die Länge seines Bogens stimmt mit dem Umfang der Basis des Kegels überein. Ein solcher Sektor wird als Entwicklung der Mantelfläche des Kegels bezeichnet (siehe Abb. 2).

Reis. 2. Entwicklung der Seitenfläche

Reis. 3. Winkelmessung im Bogenmaß

Versuchen wir, den Bereich des Sektors anhand der verfügbaren Daten zu finden. Lassen Sie uns zunächst eine Notation einführen: Der Winkel an der Spitze des Sektors sei im Bogenmaß angegeben (siehe Abb. 3).

Der Winkel am oberen Ende des Sweeps wird uns oft bei Aufgaben begegnen. Lassen Sie uns in der Zwischenzeit versuchen, die Frage zu beantworten: Kann dieser Winkel nicht mehr als 360 Grad betragen? Das heißt, wird sich nicht herausstellen, dass sich der Sweep selbst überlagert? Natürlich nicht. Beweisen wir es mathematisch. Lassen Sie den Sweep sich selbst "überlappen". Das bedeutet, dass die Länge des Sweep-Bogens größer ist als der Umfang des Radius. Aber wie bereits erwähnt, ist die Länge des Sweep-Bogens der Umfang des Radius. Und der Radius der Kegelbasis ist natürlich kleiner als beispielsweise die Erzeugende, weil das Bein eines rechtwinkligen Dreiecks kleiner als die Hypotenuse ist

Dann erinnern wir uns an zwei Formeln aus dem Verlauf der Planimetrie: Bogenlänge. Branchenbereich: .

In unserem Fall wird die Rolle von der Generatrix gespielt , und die Länge des Bogens ist gleich dem Umfang der Basis des Kegels, das heißt. Wir haben:

Schließlich erhalten wir:

Neben der Seitenfläche findet man auch die Fläche volle Oberfläche. Addieren Sie dazu die Grundfläche zur Mantelfläche. Aber die Basis ist ein Kreis mit Radius , dessen Fläche nach der Formel .

Endlich haben wir: , Wo ist der Radius der Basis des Zylinders, ist die Erzeugende.

Lassen Sie uns ein paar Probleme mit den gegebenen Formeln lösen.

Reis. 4. Gewünschter Winkel

Beispiel 1. Die Entwicklung der Mantelfläche des Kegels ist ein Sektor mit einem Winkel an der Spitze. Finden Sie diesen Winkel, wenn die Höhe des Kegels 4 cm und der Radius der Basis 3 cm beträgt (siehe Abb. 4).

Reis. 5. Rechtwinkliges Dreieck einen Kegel bilden

Bei der ersten Aktion finden wir nach dem Satz des Pythagoras die Erzeugende: 5 cm (siehe Abb. 5). Außerdem wissen wir das .

Beispiel 2. Quadrat Axialschnitt der Kegel ist , die Höhe ist . Ermitteln Sie die Gesamtoberfläche (siehe Abb. 6).

Hier gibt es Probleme mit Zapfen, der Zustand hängt mit seiner Oberfläche zusammen. Insbesondere stellt sich bei einigen Problemen die Frage, ob die Fläche mit einer Erhöhung (Verringerung) der Höhe des Kegels oder des Radius seiner Basis geändert werden soll. Theorie zur Problemlösung in . Betrachten Sie die folgenden Aufgaben:

27135. Der Umfang der Kegelbasis beträgt 3, die Erzeugende 2. Finden Sie die Fläche der Mantelfläche des Kegels.

Die Fläche der Mantelfläche des Kegels beträgt:

Einstecken der Daten:

75697. Wie oft vergrößert sich die Fläche der Mantelfläche des Kegels, wenn seine Erzeugende 36-mal vergrößert wird und der Radius der Basis gleich bleibt?

Die Fläche der Mantelfläche des Kegels:

Die Erzeugende wird um das 36-fache erhöht. Der Radius bleibt gleich, was bedeutet, dass sich der Umfang der Basis nicht verändert hat.

Der Bereich der Mantelfläche des modifizierten Kegels sieht also so aus:

Somit wird es um das 36-fache zunehmen.

*Die Abhängigkeit ist unkompliziert, daher kann dieses Problem leicht oral gelöst werden.

27137. Wie oft nimmt die Fläche der Mantelfläche des Kegels ab, wenn der Radius seiner Basis um das 1,5-fache verringert wird?

Die Fläche der Mantelfläche des Kegels beträgt:

Der Radius wird um das 1,5-fache reduziert, das heißt:

Es wurde festgestellt, dass die seitliche Oberfläche um das 1,5-fache abnahm.

27159. Die Höhe des Kegels beträgt 6, die Erzeugende 10. Finden Sie die Fläche seiner Gesamtoberfläche geteilt durch Pi.

Volle Oberfläche des Kegels:

Umkreis finden:

Höhe und Erzeugende sind bekannt, nach dem Satz des Pythagoras berechnen wir den Radius:

Auf diese Weise:

Teilen Sie das Ergebnis durch Pi und schreiben Sie das Ergebnis auf.

76299. Die Gesamtoberfläche des Kegels beträgt 108. Ein Abschnitt wird parallel zur Basis des Kegels gezeichnet und teilt die Höhe in zwei Hälften. Finden Sie die Gesamtoberfläche des Kegelstumpfes.

Der Schnitt verläuft durch die Mittelhöhe parallel zur Basis. Der Radius der Basis und die Erzeugende des Kegelstumpfes sind also 2 mal kleiner als Radius und die Erzeugende des ursprünglichen Kegels. Schreiben wir auf, wie groß die Oberfläche des abgeschnittenen Kegels ist:

Habe sie 4 mal zum Laufen gebracht weniger Fläche Oberfläche des Originals, also 108:4 = 27.

* Da Original- und abgeschnittener Kegel ähnliche Körper sind, konnte auch die Ähnlichkeitseigenschaft genutzt werden:

27167. Der Radius der Basis des Kegels ist 3, die Höhe ist 4. Ermitteln Sie die Gesamtoberfläche des Kegels geteilt durch Pi.

Die Formel für die Gesamtoberfläche eines Kegels lautet:

Der Radius ist bekannt, es ist notwendig, die Erzeugende zu finden.

Nach dem Satz des Pythagoras:

Auf diese Weise:

Teilen Sie das Ergebnis durch Pi und schreiben Sie das Ergebnis auf.

Aufgabe. Die Mantelfläche des Kegels wird vervierfacht mehr Fläche Gründe. Finde was gleich Kosinus der Winkel zwischen der Erzeugenden des Kegels und der Ebene der Basis.

Die Fläche der Basis des Kegels beträgt:

Das heißt, der Kosinus ist gleich:

Antwort: 0,25

Entscheiden Sie selbst:

27136. Wie oft vergrößert sich die Fläche der Mantelfläche des Kegels, wenn seine Erzeugende um das Dreifache vergrößert wird?

27160. Die Fläche der Mantelfläche des Kegels ist doppelt so groß wie die Fläche der Basis. Finden Sie den Winkel zwischen der Mantellinie des Kegels und der Ebene der Grundfläche. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an. .

27161. Die Gesamtoberfläche des Kegels beträgt 12. Ein Abschnitt wird parallel zur Basis des Kegels gezeichnet und teilt die Höhe in zwei Hälften. Finden Sie die Gesamtoberfläche des Kegelstumpfes.

Das ist alles. Viel Glück!

Mit freundlichen Grüßen, Alexander.

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Die Oberfläche eines Kegels (oder einfach die Oberfläche eines Kegels) ist gleich der Summe der Flächen der Grund- und der Seitenfläche.

Die Fläche der Mantelfläche des Kegels wird nach folgender Formel berechnet: S = πR l, wobei R der Radius der Basis des Kegels ist, und l- Erzeugende eines Kegels.

Da die Fläche der Basis des Kegels πR 2 ist (als Fläche eines Kreises), ist die Fläche der gesamten Oberfläche des Kegels gleich: πR 2 + πR l= πR (R + l).

Das Erhalten der Formel für die Fläche der Mantelfläche eines Kegels kann durch eine solche Argumentation erklärt werden. Die Zeichnung zeige eine Abwicklung der Mantelfläche des Kegels. Teilen Sie den Bogen AB in mögliche mehr gleiche Teile und verbinde alle Teilungspunkte mit dem Mittelpunkt des Bogens und die benachbarten mit Akkorden miteinander.

Wir bekommen eine Serie gleiche Dreiecke. Die Fläche jedes Dreiecks ist Ah / 2, wo a- Länge der Basis des Dreiecks, a h- sein Hoch.

Die Summe der Flächen aller Dreiecke ist: Ah / 2 n = anh / 2, wo n ist die Anzahl der Dreiecke.

Beim große Zahlen Teilungen, die Summe der Flächen der Dreiecke kommt der Fläche der Entwicklung sehr nahe, d.h. der Fläche der Mantelfläche des Kegels. Die Summe der Grundseiten von Dreiecken, d.h. ein, kommt der Länge des Bogens AB sehr nahe, d. h. dem Umfang der Basis des Kegels. Die Höhe jedes Dreiecks kommt dem Radius des Bogens sehr nahe, dh der Erzeugenden des Kegels.

Unter Vernachlässigung geringfügiger Unterschiede in der Größe dieser Größen erhalten wir die Formel für die Fläche der Mantelfläche des Kegels (S):

S=C l / 2, wobei C der Umfang der Basis des Kegels ist, l- Erzeugende eines Kegels.

Wenn wir wissen, dass C \u003d 2πR, wobei R der Radius des Kreises der Basis des Kegels ist, erhalten wir: S \u003d πR l.

Notiz. In der Formel S = C l / 2 ist das Zeichen der exakten und nicht der angenäherten Gleichheit gegeben, obwohl wir diese Gleichheit aufgrund der obigen Argumentation als angenähert ansehen könnten. Aber im Gymnasium weiterführende Schule Es ist bewiesen, dass die Gleichheit

S=C l / 2 ist genau, nicht ungefähr.

Satz. Die Mantelfläche des Kegels ist gleich dem Produkt aus dem Umfang der Basis und der Hälfte der Mantellinie.

Lassen Sie uns einige in einen Kegel (Abb.) einschreiben Richtige Pyramide und mit Buchstaben bezeichnen R und l Zahlen, die die Längen des Umfangs der Basis und des Apothems dieser Pyramide ausdrücken.

Dann Seitenfläche es wird durch das Produkt 1 / 2 ausgedrückt R l .

Nehmen wir nun an, dass die Seitenzahl des in die Grundfläche einbeschriebenen Vielecks unendlich zunimmt. Dann der Umfang R tendiert zur Grenze, die als Länge C des Umfangs der Basis und des Apothems angenommen wird l wird einen Kegelgenerator als Grenze haben (da ΔSAK impliziert, dass SA - SK
1 / 2 R l, tendiert zur Grenze von 1/2 C L. Diese Grenze wird als Wert der Mantelfläche des Kegels genommen. Wenn wir die Mantelfläche des Kegels mit dem Buchstaben S bezeichnen, können wir schreiben:

S = 1 / 2 C L = C 1/2 L

Konsequenzen.
1) Seit C \u003d 2 π R, dann wird die Mantelfläche des Kegels durch die Formel ausgedrückt:

S=1/2 2π R L= π RL

2) Wir erhalten die volle Oberfläche des Kegels, wenn wir die Mantelfläche zur Grundfläche addieren; Wenn wir also die vollständige Oberfläche mit T bezeichnen, erhalten wir:

T= π RL+ π R2= π R(L+R)

Satz. Seitenfläche Kegelstumpf ist gleich dem Produkt aus der halben Summe der Umfänge der Basen und der Erzeugenden.

Lassen Sie uns in einen Kegelstumpf (Abb.) einige regelmäßige einschreiben Pyramidenstumpf und mit Buchstaben bezeichnen r, r 1 und l Zahlen, die in denselben linearen Einheiten die Längen der Umfänge der unteren und oberen Basis und des Apothems dieser Pyramide ausdrücken.

Dann ist die Seitenfläche der eingeschriebenen Pyramide 1/2 ( p + p 1) l

Mit einer unbegrenzten Erhöhung der Anzahl der Seitenflächen der eingeschriebenen Pyramide, der Umfänge R und R 1 tendieren zu den Grenzen, die als Längen C und C 1 der Kreise der Basen und des Apothems angenommen werden l hat als Grenze die Erzeugende L des Kegelstumpfes. Folglich tendiert der Wert der Seitenfläche der eingeschriebenen Pyramide zur Grenze gleich (С + С 1) L. Diese Grenze wird als Wert der Seitenfläche des Kegelstumpfes genommen. Wenn wir die Seitenfläche des Kegelstumpfes mit dem Buchstaben S bezeichnen, haben wir:

S \u003d 1 / 2 (C + C 1) L

Konsequenzen.
1) Wenn R und R 1 die Radien der Kreise der unteren und oberen Basis bedeuten, dann ist die Seitenfläche des Kegelstumpfes:

S = 1 / 2 (2 π R+2 π R 1) L = π (R+R1)L.

2) Wenn im Trapez OO 1 A 1 A (Abb.), Aus der Rotation, aus der sich ein Kegelstumpf ergibt, zeichnen wir Mittellinie BC erhalten wir:

BC \u003d 1 / 2 (OA + O 1 A 1) \u003d 1 / 2 (R + R 1),

R + R1 = 2BC.

Somit,

S=2 π BC L,

d.h. Die Mantelfläche eines Kegelstumpfes ist gleich dem Produkt aus dem Umfang des mittleren Querschnitts und der Erzeugenden.

3) Die Gesamtoberfläche T eines Kegelstumpfes wird wie folgt ausgedrückt:

T= π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)