- polynomit. Tässä artikkelissa esittelemme kaikki alkutiedot ja tarvittavat tiedot polynomeista. Näitä ovat ensinnäkin polynomin määritelmä liittyvät määritelmät polynomin termit, erityisesti vapaa termi ja vastaavat termit. Toiseksi keskitymme vakiomuotoisiin polynomeihin, annamme vastaavan määritelmän ja annamme niistä esimerkkejä. Lopuksi esitellään polynomin asteen määritelmä, selvitetään kuinka se löydetään ja puhutaan polynomin termien kertoimista.

Sivulla navigointi.

Polynomi ja sen jäsenet - määritelmät ja esimerkit

Luokassa 7 polynomeja opiskellaan heti monomien jälkeen, tämä on ymmärrettävää, koska polynomin määritelmä on annettu monomiaaleina. Annetaan tämä määritelmä, joka selittää, mikä polynomi on.

Määritelmä.

Polynomi on monomiaalien summa; monomia pidetään polynomin erikoistapauksena.

Kirjallisen määritelmän avulla voit antaa niin monta esimerkkiä polynomeista kuin haluat. Mikä tahansa monomeista 5 , 0 , −1 , x , 5 a b 3 , x 2 0,6 x (−2) y 12 jne. on polynomi. Myös määritelmän mukaan 1+x , a 2 +b 2 ja ovat polynomeja.

Polynomien kuvaamisen helpottamiseksi otetaan käyttöön polynomitermin määritelmä.

Määritelmä.

Polynomijäsenet ovat monomialeja, jotka muodostavat polynomin.

Esimerkiksi polynomilla 3 x 4 −2 x y+3−y 3 on neljä termiä: 3 x 4 , −2 x y , 3 ja −y 3 . Monomia pidetään polynomina, joka koostuu yhdestä jäsenestä.

Määritelmä.

Polynomeilla, jotka koostuvat kahdesta ja kolmesta jäsenestä, on erityiset nimet - binomiaalinen ja kolmiosainen vastaavasti.

Joten x+y on binomi ja 2·x 3 ·q−q·x·x+7·b on trinomi.

Koulussa sinun on useimmiten työskenneltävä lineaarinen binomi a x+b , jossa a ja b ovat joitain lukuja ja x on muuttuja, ja kanssa neliön trinomi a x 2 +b x+c , jossa a , b ja c ovat joitain lukuja ja x on muuttuja. Tässä on esimerkkejä lineaarisista binomeista: x+1 , x 7,2−4 , ja tässä on esimerkkejä neliön trinomaalit: x 2 +3 x−5 ja .

Polynomeilla niiden merkinnöissä voi olla samanlaisia ​​termejä. Esimerkiksi polynomissa 1+5 x−3+y+2 x samanlaiset termit ovat 1 ja −3 sekä 5 x ja 2 x . Heillä on oma erityinen nimensä - samanlaiset polynomin jäsenet.

Määritelmä.

Samanlaiset polynomin jäsenet nimeltään kuten termit polynomissa.

Edellisessä esimerkissä 1 ja −3 sekä pari 5 x ja 2 x ovat kuin polynomin termejä. Polynomeissa, joissa on samanlaisia ​​jäseniä, on mahdollista suorittaa samanlaisten jäsenten pelkistys niiden muodon yksinkertaistamiseksi.

Vakiomuotoinen polynomi

Polynomeille, samoin kuin monomeille, on ns vakionäkymä. Kuulkaamme vastaava määritelmä.

Perustuu tämä määritelmä, voimme antaa esimerkkejä vakiomuotoisista polynomeista. Joten polynomit 3 x 2 −x y+1 ja kirjoitettu vakiomuodossa. Ja lausekkeet 5+3 x 2 −x 2 +2 x z ja x+x y 3 x z 2 +3 z eivät ole vakiomuotoisia polynomeja, koska niistä ensimmäinen sisältää samanlaiset termit 3 x 2 ja -x 2, ja toinen, monomiaali x · y 3 · x · z 2 , jonka muoto on erilainen kuin standardi.

Huomaa, että tarvittaessa voit aina tuoda polynomin vakiomuotoon .

Vakiomuotoisiin polynomeihin kuuluu vielä yksi käsite - polynomin vapaan termin käsite.

Määritelmä.

Polynomin vapaa jäsen kutsua vakiomuotoisen polynomin jäsentä ilman kirjainosaa.

Toisin sanoen, jos polynomin vakiomuodossa on luku, sitä kutsutaan vapaaksi jäseneksi. Esimerkiksi 5 on polynomin x 2 z+5 vapaa termi, kun taas polynomilla 7 a+4 a b+b 3 ei ole vapaata termiä.

Polynomin aste - kuinka löytää se?

Toinen tärkeä asiaan liittyvä määritelmä on polynomin asteen määritelmä. Ensin määritellään vakiomuotoisen polynomin aste, tämä määritelmä perustuu sen koostumuksessa olevien monomien asteisiin.

Määritelmä.

Vakiomuotopolynomin aste on suurin sen merkintätapaan sisältyvien monomien potenssien joukosta.

Annetaan esimerkkejä. Polynomin 5 x 3 −4 aste on 3, koska siihen sisältyvillä monomieilla 5 x 3 ja −4 on aste 3 ja 0, suurin näistä luvuista on 3, mikä on polynomin aste. määritelmän mukaan. Ja polynomin aste 4 x 2 v 3 −5 x 4 v+6 x on yhtä suuri kuin suurin luvuista 2+3=5 , 4+1=5 ja 1 , eli 5 .

Nyt selvitetään kuinka löytää polynomin aste mielivaltainen tyyppi.

Määritelmä.

Mielivaltaisen muodon polynomin aste on vakiomuodon vastaavan polynomin aste.

Joten jos polynomia ei ole kirjoitettu vakiomuodossa ja haluat löytää sen asteen, sinun on saatettava alkuperäinen polynomi vakiomuotoon ja löydettävä tuloksena olevan polynomin aste - se on haluttu. Tarkastellaan esimerkkiratkaisua.

Esimerkki.

Etsi polynomin aste 3 a 12 -2 a b c a c b+y 2 z 2 -2 a 12 -a 12.

Päätös.

Ensin sinun on esitettävä polynomi vakiomuodossa:
3 a 12 -2 a b c a c b+y 2 z 2 -2 a 12 -a 12 = =(3 a 12 −2 a 12 −a 12)− 2 (a a) (b b) (c c) + y 2 z 2 = =−2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2.

Tuloksena oleva standardimuotoinen polynomi sisältää kaksi monomia −2 · a 2 · b 2 · c 2 ja y 2 · z 2 . Etsitään niiden asteet: 2+2+2=6 ja 2+2=4 . Ilmeisesti suurin näistä potenssiista on 6, joka määritelmän mukaan on vakiomuotoisen polynomin aste −2 a 2 b 2 c 2 + y 2 z 2, ja siten alkuperäisen polynomin aste., 3 x ja 7 polynomista 2 x−0.5 x y+3 x+7 .

Bibliografia.

• Algebra: oppikirja 7 solulle. Yleissivistävä koulutus laitokset / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovsky. - 17. painos - M. : Koulutus, 2008. - 240 s. : sairas. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkovich A.G. Algebra. 7. luokka. Klo 14. Osa 1. Opiskelijan oppikirja koulutusinstituutiot/ A. G. Mordkovich. - 17. painos, lisäys. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 s.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Algebra ja aloita matemaattinen analyysi. Luokka 10: oppikirja. yleissivistävää koulutusta varten oppilaitokset: perus- ja profiili. tasot / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; toim. A. B. Žižtšenko. - 3. painos - M.: Enlightenment, 2010.- 368 s. : sairas. - ISBN 978-5-09-022771-1.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematiikka (käsikirja teknisiin kouluihin hakijoille): Proc. korvaus.- M.; Korkeampi koulu, 1984.-351 s., ill.

Polynomin käsite

Polynomin määritelmä: Polynomi on monomien summa. Esimerkki polynomista:

tässä näemme kahden monomin summan, ja tämä on polynomi, ts. monomiaalien summa.

Termejä, jotka muodostavat polynomin, kutsutaan polynomin jäseniksi.

Onko monomien ero polynomi? Kyllä, koska ero pienenee helposti summaksi, esimerkiksi: 5a - 2b = 5a + (-2b).

Monomialeja pidetään myös polynomeina. Mutta monomissa ei ole summaa, niin miksi sitä pidetään polynomina? Ja voit lisätä siihen nollan ja saada sen summan nollamonomiaalilla. Monomiaali siis on erikoistapaus polynomi, se koostuu yhdestä termistä.

Luku nolla on nollapolynomi.

Polynomin vakiomuoto

Mikä on vakiomuotoinen polynomi? Polynomi on monomien summa, ja jos kaikki nämä polynomin muodostavat monomit kirjoitetaan vakiomuotoon, lisäksi niiden joukossa ei pitäisi olla samanlaisia, niin polynomi kirjoitetaan vakiomuotoon.

Esimerkki polynomista vakiomuodossa:

tässä polynomi koostuu 2 monomista, joista jokaisella on vakiomuoto, monomien joukossa ei ole samanlaisia.

Nyt esimerkki polynomista, jolla ei ole vakiomuotoa:

tässä on kaksi monomia: 2a ja 4a ovat samanlaisia. Meidän on lisättävä ne, jolloin polynomi saa vakiomuodon:

Toinen esimerkki:

Onko tämä polynomi pelkistetty vakiomuotoon? Ei, sen toista jäsentä ei ole kirjoitettu vakiomuodossa. Kirjoittamalla sen vakiomuotoon, saamme vakiomuotoisen polynomin:

Polynomin aste

Mikä on polynomin aste?

Polynomin tutkinnon määritelmä:

Polynomi tutkinto - korkein tutkinto, joissa on monomiaalit, jotka muodostavat annettu polynomi standardi ulkoasu.

Esimerkki. Mikä on polynomin 5h aste? Polynomin 5h aste on yhtä suuri kuin yksi, koska tämä polynomi sisältää vain yhden monomin ja sen aste on yksi.

Toinen esimerkki. Mikä on polynomin 5a 2 h 3 s 4 +1 aste? Polynomin 5a 2 h 3 s 4 + 1 aste on yhdeksän, koska tämä polynomi sisältää kaksi monomia, ensimmäisellä monomilla 5a 2 h 3 s 4 on korkein aste ja sen aste on 9.

Toinen esimerkki. Mikä on polynomin 5 aste? Polynomin 5 aste on nolla. Siis vain luvusta koostuvan polynomin aste, ts. ilman kirjaimia, on yhtä suuri kuin nolla.

Viimeinen esimerkki. Mikä on nollapolynomin aste, ts. nolla? Nollapolynomin astetta ei ole määritelty.

polynomi, muodon ilmaus

Axkyl┘..wm + Bxnyp┘..wq + ┘┘ + Dxrts┘..wt,

missä x, y, ..., w ≈ muuttujat ja A, B, ..., D (M. kertoimet) ja k, l, ..., t (eksponentit ≈ kokonaisluku ei-negatiiviset luvut) ≈ vakiot. Erillisiä termejä muotoa Ahkyl┘..wm kutsutaan M:n jäseniksi. Termien järjestystä, samoin kuin tekijöiden järjestystä kussakin termissä, voidaan muuttaa mielivaltaisesti; samalla tavalla termit, joissa on nollakerroin, voidaan ottaa käyttöön tai jättää pois, ja jokaisessa yksittäisessä termissä ≈ potenssit nolla eksponenteilla. Siinä tapauksessa, että M:ssä on yksi, kaksi tai kolme jäsentä, sitä kutsutaan yksi-, kaksi- tai kolmijäseniseksi. M:n kahta termiä kutsutaan samanlaisiksi, jos niiden eksponentit samoille muuttujille ovat pareittain yhtä suuret. Samanlaisia ​​jäseniä

A "хkyl┘..wm, B"xkyl┘..wm, ┘.., D"xkyl┘..wm

voidaan korvata yhdellä (samankaltaisten termien vähentäminen). Kahden metriikan sanotaan olevan yhtä suuri, jos samankaltaisten mittareiden pienentämisen jälkeen kaikki termit, joissa on nollasta poikkeavat kertoimet, osoittautuvat pareittain identtisiksi (mutta ne voidaan kirjoittaa eri järjestyksessä), ja myös jos näiden mittareiden kaikki kertoimet osoittautuvat olla yhtä suuri kuin nolla. AT viimeinen tapaus M. kutsutaan identtiseksi nollaksi ja sitä merkitään merkillä 0. M. yhdestä muuttujasta x voidaan aina kirjoittaa muotoon

P(x) = a0xn+ a1xn-1 + ... + an-1x+ an,

missä a0, a1,..., an ≈ kertoimet.

Minkä tahansa M:n jäsenen eksponentien summaa kutsutaan tämän jäsenen asteeksi. Jos M. ei ole identtinen nolla, niin termien joukossa, joilla on nollasta poikkeava kertoimet (oletetaan, että kaikki tällaiset termit on annettu), on yksi tai useampi suurin aste; tätä suurinta astetta kutsutaan M-asteeksi. Identtisellä nollalla ei ole astetta. M. nolla astetta on pelkistetty yhdeksi termiksi A (vakio, ei nolla). Esimerkkejä: xyz + x + y + z on kolmannen asteen polynomi, 2x + y ≈ z + 1 on ensimmäisen asteen polynomi (lineaarinen M.), 5x2 ≈ 2x2 ≈ 3x2 ei ole astetta, koska se on identtinen nolla. M., jonka kaikki jäsenet sama tutkinto, kutsutaan homogeeniseksi M.:ksi tai muodoksi; ensimmäisen, toisen ja kolmannen asteen muotoja kutsutaan lineaariseksi, neliöllisiksi, kuutioiksi ja muuttujien lukumäärän (kaksi, kolme) mukaan binäärisiksi (binäärisiksi), trinäärisiksi (kolmioiksi) (esim. x2 + y2 + z2 ≈ xy ≈ yz ≈ xz on kolmiosainen neliömuoto ).

Mitä tulee matematiikan kertoimiin, oletetaan, että ne kuuluvat tiettyyn kenttään (katso Algebrallinen kenttä), esimerkiksi rationaalisen, reaalisen tai kompleksiluvut. Suorittamalla yhteen-, vähennys- ja kertolaskuoperaatiot M.:lle kommutatiivisten, assosiatiivisten ja distributiivisten lakien perusteella, saamme jälleen M. Näin ollen kaikkien M.:n kokonaisuus kertoimilla annettu kenttä muodostaa renkaan (katso Algebrallinen rengas) ≈ polynomien renkaan tietyn kentän yli; tällä renkaalla ei ole nollajakajia, eli M:n tulo, joka ei ole yhtä suuri kuin 0, ei voi antaa nollaa.

Jos kahdelle polynomille P(x) ja Q(x) löytyy sellainen polynomi R(x), että P = QR, niin sanotaan, että P on jaollinen Q:lla; Q:ta kutsutaan jakajaksi ja R ≈ osamäärä. Jos P ei ole jaollinen Q:lla, voidaan löytää polynomit P(x) ja S(x) siten, että P = QR + S, ja S(x) aste vähemmän tutkintoa Q(x).

Tätä toimintoa toistuvasti soveltamalla voidaan löytää suurin yhteinen jakaja P ja Q, eli sellainen P:n ja Q:n jakaja, joka on jaollinen millä tahansa näiden polynomien yhteisellä jakajalla (katso euklidinen algoritmi). M., joka voidaan esittää tuotteena M. alemmat asteet kertoimilla annetusta kentästä kutsutaan pelkistäväksi (annetussa kentässä), muuten ≈ redusoitumattomaksi. Pelkistymättömillä massoilla on samanlainen rooli massojen renkaassa alkuluvut kokonaislukujen teoriassa. Joten esimerkiksi lause on totta: jos tulo PQ on jaollinen redusoitumattomalla polynomilla R ja P ei ole jaollinen R:llä, niin Q:n on oltava jaollinen R:llä. Jokainen nollaa suurempi M. hajoaa annetussa kenttä pelkistymättömien tekijöiden tuloksi yksiselitteisesti (nollaasteen kertoimiin asti). Esimerkiksi polynomi x4 + 1, kentässä redusoitumaton rationaalisia lukuja, jakautuu kahteen tekijään

kentällä todellisia lukuja ja neljällä tekijällä ═ kompleksilukujen alalla. Yleensä jokainen M. yhdessä muuttujassa x hajoaa reaalilukujen kentässä ensimmäisen ja toisen asteen tekijöiksi, kompleksilukujen kentässä ≈ ensimmäisen asteen tekijöiksi (algebran peruslause). kahdelle ja lisää tämän muuttujia ei voida enää väittää; esimerkiksi polynomi x3 + yz2 + z3 on redusoitumaton missä tahansa lukukentässä.

Jos muuttujille x, y, ..., w annetaan tietyt numeeriset arvot (esimerkiksi reaali tai kompleksi), niin M. saa myös tietyn numeerinen arvo. Tästä seuraa, että jokaista M.:ta voidaan pitää vastaavien muuttujien funktiona. Tämä funktio on jatkuva ja differentioituva kaikille muuttujien arvoille; sitä voidaan luonnehtia kokonaisena rationaalisena funktiona, eli muuttujista ja joistakin vakioista (kertoimista) saatuna funktiona tietyssä järjestyksessä suoritettujen yhteen-, vähennys- ja kertolaskujen avulla. koko rationaaliset toiminnot kuuluvat laajempaan rationaalisten funktioiden luokkaan, jossa lueteltuihin toimintoihin lisätään jako: mikä tahansa rationaalinen funktio voidaan esittää kahden M:n osamääränä. Lopuksi rationaaliset funktiot sisältyvät algebrallisten funktioiden luokkaan.

Numeroon tärkeimmät ominaisuudet M. viittaa siihen, että mikä tahansa jatkuva toiminto M voidaan korvata mielivaltaisen pienellä virheellä (Weierstrassin lause; sen tarkka muotoilu edellyttää, että annettu toiminto oli jatkuva joissakin rajoitetuissa, suljetuissa pisteissä, esimerkiksi segmentillä numeerinen akseli). Tämä tosiasia, joka voidaan todistaa matemaattisen analyysin avulla, mahdollistaa likimääräisen suhteen tutkittujen määrien välillä missä tahansa luonnontieteen ja tekniikan kysymyksessä. Sellaisen lausekkeen tapoja tutkitaan erityisissä matematiikan osioissa (katso Funktioiden approksimointi ja interpolointi, Pienimmät neliöt menetelmä).

Algebrassa polynomia kutsutaan joskus sellaisiksi algebrallisiksi lausekkeiksi, joissa viimeinen toiminta on yhteen- tai vähennyslasku, esim.

Lit. : Kurosh A. G., Course of Higher Algebra, 9. painos, M., 1968; Mishina A. P., Proskuryakov I. V., Higher Algebra, 2. painos, M., 1965.

Monomien tutkimisen jälkeen siirrytään polynomeihin. Tämä artikkeli kattaa kaikki tarvittavat tiedot vaaditaan toimien suorittamiseen niille. Määrittelemme polynomin mukana tulevilla polynomitermin määritelmillä eli vapaalla ja vastaavalla, tarkastelemme vakiomuotoista polynomia, esittelemme tutkinnon ja opimme löytämään sen, työskentelemään sen kertoimilla.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Polynomi ja sen jäsenet - määritelmät ja esimerkit

Polynomin määritelmä tarvittiin vuonna 7 luokassa monomiaalien opiskelun jälkeen. Katsotaanpa sen täydellistä määritelmää.

Määritelmä 1

polynomi monomioiden summa otetaan huomioon, ja monomi itse on polynomin erikoistapaus.

Määritelmästä seuraa, että esimerkit polynomeista voivat olla erilaisia: 5 , 0 , − 1 , x, 5 a b 3, x 2 0 , 6 x (− 2) y 12 , - 2 13 x y 2 3 2 3 x x 3 y z ja niin edelleen. Määritelmän perusteella meillä on se 1+x, a 2 + b 2 ja lauseke x 2 - 2 · x · y + 2 5 · x 2 + y 2 + 5, 2 · y · x ovat polynomeja.

Katsotaanpa lisää määritelmiä.

Määritelmä 2

Polynomin jäsenet sen muodostavia monomialeja kutsutaan.

Tarkastellaan tätä esimerkkiä, jossa meillä on polynomi 3 x 4 − 2 x y + 3 − y 3 , joka koostuu 4 jäsenestä: 3 x 4 , − 2 x y , 3 ja − y 3. Tällaista monomia voidaan pitää polynomina, joka koostuu yhdestä termistä.

Määritelmä 3

Polynomeilla, joiden koostumuksessa on 2, 3 trinomia, on vastaava nimi - binomiaalinen ja kolmiosainen.

Tästä seuraa, että muodon ilmaus x+y– on binomi ja lauseke 2 x 3 q − q x x + 7 b on trinomi.

Tekijä: koulun opetussuunnitelma työskenneltiin lineaarisen binomiaalin kanssa muotoa a x + b, jossa a ja b ovat joitain lukuja ja x on muuttuja. Tarkastellaan esimerkkejä lineaarisista binomeista, joiden muoto on x + 1 , x · 7 , 2 − 4 ja esimerkkejä neliön trinomeista x 2 + 3 · x − 5 ja 2 5 · x 2 - 3 x + 11 .

Muutosta ja ratkaisua varten on tarpeen löytää ja tuoda samanlaiset termit. Esimerkiksi muotoa 1 + 5 x − 3 + y + 2 x olevalla polynomilla on samanlaiset termit 1 ja - 3, 5 x ja 2 x. Ne on jaettu alaosiin erityinen ryhmä polynomin vastaavien termien nimellä.

Määritelmä 4

Samanlaiset polynomin jäsenet ovat kuin polynomin termejä.

Yllä olevassa esimerkissä 1 ja -3, 5 x ja 2 x ovat polynomin tai samankaltaisten termien samanlaisia ​​termejä. Ilmaisun yksinkertaistamiseksi etsi ja pienennä samankaltaisia ​​termejä.

Vakiomuotoinen polynomi

Kaikilla monomeilla ja polynomeilla on omat nimensä.

Määritelmä 5

Vakiomuotoinen polynomi Kutsutaan polynomi, jossa jokaisella sen jäsenellä on vakiomuotoinen monomi, eikä se sisällä samanlaisia ​​jäseniä.

Määritelmästä voidaan nähdä, että vakiomuotoisia polynomeja on mahdollista pelkistää, esim. 3 x 2 − x y + 1 ja __kaava__, ja ​​tietue on vakiomuodossa. Lausekkeet 5 + 3 x 2 − x 2 + 2 x z ja 5 + 3 x 2 − x 2 + 2 x z eivät ole vakiomuodon polynomeja, koska niistä ensimmäisessä on samanlaiset termit muodossa 3 x 2 ja − x2, ja toinen sisältää monomin muodossa x · y 3 · x · z 2 , joka eroaa standardipolynomista.

Jos olosuhteet niin vaativat, joskus polynomi pelkistetään vakiomuotoon. Polynomin vapaan termin käsitettä pidetään myös vakiomuotoisena polynomina.

Määritelmä 6

Polynomin vapaa jäsen on vakiomuotoinen polynomi ilman kirjainosaa.

Toisin sanoen, kun vakiomuodossa olevan polynomin merkinnällä on luku, sitä kutsutaan vapaaksi jäseneksi. Tällöin luku 5 on polynomin x 2 · z + 5 vapaa jäsen ja polynomilla 7 · a + 4 · a · b + b 3 ei ole vapaajäsentä.

Polynomin aste - kuinka löytää se?

Polynomin asteen määritelmä perustuu vakiomuotoisen polynomin määrittelyyn ja sen komponentteina olevien monomien asteisiin.

Määritelmä 7

Vakiomuotopolynomin aste nimeä suurin sen merkintätapaan sisältyvistä tehoista.

Katsotaanpa esimerkkiä. Polynomin 5 x 3 − 4 aste on 3, koska sen koostumukseen sisältyvillä monomieilla on aste 3 ja 0 ja suurin niistä on 3. Polynomin 4 x 2 y 3 − 5 x 4 y + 6 x asteen määritelmä on suurin luvuista, eli 2 + 3 = 5 , 4 + 1 = 5 ja 1 , eli 5 .

On tarpeen selvittää, kuinka itse tutkinto löytyy.

Määritelmä 8

Mielivaltaisen luvun polynomin aste on vastaavan polynomin aste vakiomuodossa.

Kun polynomia ei ole kirjoitettu vakiomuodossa, mutta sinun on löydettävä sen aste, sinun on vähennettävä se vakiomuotoon ja löydettävä sitten haluttu aste.

Esimerkki 1

Etsi polynomin aste 3 a 12 - 2 a b c a c b + y 2 z 2 - 2 a 12 - a 12.

Päätös

Ensin esitämme polynomin vakiomuodossa. Saamme seuraavanlaisen ilmaisun:

3 a 12 - 2 a b c a c b + y 2 z 2 - 2 a 12 - a 12 = = (3 a 12 - 2 a 12 - a 12) - 2 (a a) (b b) (c c) + y 2 z 2 = = − 2 a 2 b 2 c 2 + y 2 z 2

Kun saadaan vakiomuotoinen polynomi, huomaamme, että niistä erottuu selvästi kaksi - 2 · a 2 · b 2 · c 2 ja y 2 · z 2 . Asteiden löytämiseksi laskemme ja saamme, että 2 + 2 + 2 = 6 ja 2 + 2 = 4 . Voidaan nähdä, että suurin niistä on yhtä suuri kuin 6. Määritelmästä seuraa, että täsmälleen 6 on polynomin − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 aste, eli alkuperäinen arvo.

Vastaus: 6 .

Polynomin ehtojen kertoimet

Määritelmä 9

Kun kaikki polynomin termit ovat vakiomuodon monomeja, niin tässä tapauksessa niillä on nimi polynomin ehtojen kertoimet. Toisin sanoen niitä voidaan kutsua polynomin kertoimiksi.

Esimerkkiä tarkasteltaessa voidaan nähdä, että muotoa 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 olevalla polynomilla on koostumuksessaan 4 polynomia: 2 x, − 0, 5 x y, 3 x ja 7 niiden kanssa. kertoimet 2 , − 0 , 5 , 3 ja 7 . Näin ollen 2 , − 0 , 5 , 3 ja 7 katsotaan olevan muotoa 2 · x − 0, 5 · x · y + 3 · x + 7 olevan polynomin ehtojen kertoimia. Muunnettaessa on tärkeää kiinnittää huomiota muuttujien edessä oleviin kertoimiin.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Määritelmän mukaan polynomi on algebrallinen lauseke joka on monomiaalien summa.

Esimerkki: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 ovat polynomeja, ja lauseke z/(x - x*y^2 + 4) ei ole polynomi, koska se ei ole monomioiden summa. Polynomia kutsutaan joskus myös polynomiksi, ja polynomin osana olevat monomit ovat polynomin tai monomien jäseniä.

Monimutkainen polynomin käsite

Jos polynomi koostuu kahdesta termistä, sitä kutsutaan binomiiksi, jos se koostuu kolmesta - trinomi. Nimiä nelitermi, viisitermi ja muut eivät käytetä, ja sellaisissa tapauksissa sanotaan yksinkertaisesti polynomi. Sellaiset nimet asettavat kaiken paikoilleen termien lukumäärästä riippuen.

Ja termistä monomi tulee intuitiivinen. Matematiikan näkökulmasta monomi on polynomin erikoistapaus. Monomi on polynomi, jolla on vain yksi termi.

Aivan kuten monomilla, myös polynomilla on oma vakiomuotonsa. Polynomin standardimuoto on sellainen polynomin merkintä, jossa kaikki siihen termeinä sisältyvät monomit on kirjoitettu vakiomuotoon ja vastaavat termit on annettu.

Polynomin vakiomuoto

Proseduuri polynomin tuomiseksi vakiomuotoon on tuoda jokainen monomi vakiomuotoon ja sitten lisätä kaikki tällaiset monomit yhteen. Polynomin samankaltaisten jäsenten lisäämistä kutsutaan samankaltaisten termien vähentämiseksi.
Annetaan esimerkiksi samanlaiset termit polynomissa 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b.

Termit 4*a*b^2*c^3 ja 6*a*b^2*c^3 ovat samanlaisia ​​tässä. Näiden termien summa on monomi 10*a*b^2*c^3. Siksi alkuperäinen polynomi 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon 10*a*b^2*c^3 - a* b . Tämä merkintä on polynomin vakiomuoto.

Siitä tosiasiasta, että mikä tahansa monomi voidaan pelkistää standardimuotoon, seuraa myös, että mikä tahansa polynomi voidaan pelkistää standardimuotoon.

Kun polynomi pelkistetään vakiomuotoon, voidaan puhua sellaisesta käsitteestä kuin polynomin aste. Polynomin aste on annettuun polynomiin sisältyvän monomin suurin aste.
Joten esimerkiksi 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 on viidennen asteen polynomi, koska polynomin (5*x^3*y^) sisältämän monomin maksimiaste 2) on viides.