Yksityisyytesi on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Lue tietosuojakäytäntömme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joiden avulla voidaan tunnistaa tietty henkilö tai ottaa häneen yhteyttä.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Seuraavassa on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisiä henkilötietoja voimme kerätä ja kuinka voimme käyttää näitä tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

• Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia ​​tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, osoitteesi Sähköposti jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

• Meidän keräämä henkilökohtaisia ​​tietoja antaa meille mahdollisuuden ottaa sinuun yhteyttä ja ilmoittaa sinulle ainutlaatuisia tarjouksia, kampanjat ja muut tapahtumat ja tulevat tapahtumat.
• Ajoittain voimme käyttää henkilötietojasi lähettääksemme sinulle tärkeitä ilmoituksia ja viestejä.
• Saatamme myös käyttää henkilötietoja sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, tietojen analysointiin ja erilaisia ​​tutkimuksia parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja antaaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
• Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan kannustimeen, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen paljastaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

• Tarvittaessa - lain, oikeusjärjestyksen mukaisesti, oikeudenkäynnissä ja/tai julkisten pyyntöjen tai pyyntöjen perusteella valtion virastot Venäjän federaation alueella - paljasta henkilötietosi. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai tarkoituksenmukaista turvallisuuden, lainvalvonta- tai muiden julkisten kannalta. tärkeitä tilaisuuksia.
• Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot asianomaiselle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suoja

Suojelemme varotoimia - mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset - henkilötietojesi suojaamiseksi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.

Yksityisyytesi säilyttäminen yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, tiedotamme tietosuoja- ja turvallisuuskäytännöistä työntekijöillemme ja valvomme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.

Ohje

Etsi toiminnon laajuus. Esimerkiksi funktio sin(x) määritellään koko välille -∞ - +∞ ja funktio 1/x on määritelty -∞ - +∞, paitsi pisteen x = 0 kohdalla.

Määrittele jatkuvuuden alueet ja katkaisukohdat. Yleensä funktio on jatkuva samalla alueella, jossa se on määritelty. Epäjatkuvuuksien havaitsemiseksi sinun on laskettava, milloin argumentti lähestyy eristettyjä pisteitä määritelmäalueen sisällä. Esimerkiksi funktio 1/x pyrkii äärettömään, kun x→0+ ja miinus äärettömyyteen, kun x→0-. Tämä tarkoittaa, että pisteessä x = 0 sillä on toisen tyyppinen epäjatkuvuus.
Jos rajat epäjatkuvuuspisteessä ovat äärelliset, mutta eivät yhtä suuret, tämä on ensimmäisen tyyppinen epäjatkuvuus. Jos ne ovat yhtä suuret, funktiota pidetään jatkuvana, vaikka sitä ei ole määritelty yksittäisessä pisteessä.

löytö vertikaaliset asymptootit, jos he ovat. Edellisen vaiheen laskelmat auttavat tässä, koska pystyasymptootti on melkein aina toisen tyypin epäjatkuvuuspisteessä. Joskus määritelmäalueen ulkopuolelle ei kuitenkaan jätetä yksittäisiä pisteitä, vaan kokonaisia ​​pistevälejä, jolloin pystysuorat asymptootit voivat sijaita näiden intervallien reunoilla.

Tarkista, onko toiminnossa erityisiä ominaisuuksia: parillinen, pariton ja jaksollinen.
Funktio on vaikka minkä tahansa x:n kohdalla f(x) = f(-x). Esimerkiksi cos(x) ja x^2 - tasaisia ​​toimintoja.

Jaksollisuus on ominaisuus, joka sanoo, että on olemassa tietty luku T, jota kutsutaan jaksoksi ja joka mille tahansa x:lle f(x) = f(x + T). Esimerkiksi kaikki suuret trigonometriset funktiot(sini, kosini, tangentti) - jaksollinen.

Etsi pisteitä. Voit tehdä tämän laskemalla johdannaisen annettu toiminto ja etsi ne x-arvot, joista se katoaa. Esimerkiksi funktiolla f(x) = x^3 + 9x^2 -15 on derivaatta g(x) = 3x^2 + 18x, joka häviää, kun x = 0 ja x = -6.

Selvitä, mitkä ääripisteet ovat maksimipisteitä ja mitkä minimijä, seuraamalla derivaatan etumerkkien muutosta löydetyissä noloissa. g(x) muuttaa etumerkin plussasta kohdassa x = -6 ja takaisin miinuksesta plussaan kohdassa x = 0. Siksi funktiolla f(x) on minimi ensimmäisessä pisteessä ja minimi toisessa.

Siten olet löytänyt myös monotonisuusalueita: f(x) kasvaa monotonisesti välillä -∞;-6, pienenee monotonisesti -6;0:lla ja taas kasvaa 0;+∞:lla.

Etsi toinen derivaatta. Sen juuret osoittavat, missä tietyn funktion kuvaaja on kupera ja missä se on kovera. Esimerkiksi funktion f(x) toinen derivaatta on h(x) = 6x + 18. Se katoaa kohdassa x = -3 ja muuttaa etumerkkinsä miinuksesta plussaksi. Siksi kuvaaja f (x) ennen tätä pistettä on kupera, sen jälkeen - kovera, ja tämä piste itse on käännepiste.

Funktiolla voi olla muita asymptootteja, paitsi vertikaalisia, mutta vain jos sen määritelmäalue sisältää . Löytääksesi ne laskemalla f(x):n raja, kun x→∞ tai x→-∞. Jos se on äärellinen, olet löytänyt horisontaalisen asymptootin.

Vino asymptootti on suora muotoa kx + b. Löytääksesi k, laske f(x)/x:n raja muodossa x→∞. Löytää b - raja (f(x) – kx) samalla x→∞.

Yksi kriittisiä tehtäviä differentiaalilaskenta on kehitystä yleisiä esimerkkejä funktioiden käyttäytymisen tutkimukset.

Jos funktio y \u003d f (x) on jatkuva välissä ja sen derivaatta on positiivinen tai yhtä suuri kuin 0 välillä (a, b), niin y \u003d f (x) kasvaa (f "(x)" 0). Jos funktio y \u003d f (x) on jatkuva janalla ja sen derivaatta on negatiivinen tai yhtä suuri kuin 0 välillä (a,b), niin y=f(x) pienenee (f"( x)0)

Intervalleja, joissa funktio ei pienene tai kasva, kutsutaan funktion monotonisuuden intervalleiksi. Funktion monotonisuuden luonne voi muuttua vain niissä määrittelyalueen kohdissa, joissa ensimmäisen derivaatan etumerkki vaihtuu. Pisteitä, joissa funktion ensimmäinen derivaatta katoaa tai katkeaa, kutsutaan kriittisiksi pisteiksi.

Lause 1 (1 riittävä kuntoääripään olemassaolo).

Olkoon funktio y=f(x) määritelty pisteessä x 0 ja olkoon naapuruus δ>0 siten, että funktio on jatkuva janalla , differentioituva välillä (x 0 -δ, x 0)u( x 0 , x 0 + δ) , ja sen derivaatta säilyy pysyvä merkki jokaisella näistä aikaväleistä. Sitten jos kohdilla x 0 -δ, x 0) ja (x 0, x 0 + δ) derivaatan etumerkit ovat erilaiset, niin x 0 on ääripiste, ja jos ne täsmäävät, niin x 0 ei ole ääripiste . Lisäksi, jos pisteen x0 läpi kulkiessaan derivaatta muuttaa etumerkkiä plussasta miinusmerkkiin (x 0:n vasemmalla puolella suoritetaan f "(x)> 0, niin x 0 on maksimipiste; jos derivaatta muuttaa etumerkkiä miinuksesta plussaan (x 0:n oikealla puolella suoritetaan f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Maksimi- ja minimipisteitä kutsutaan funktion ääripisteiksi ja funktion maksimi- ja minimipisteitä sen ääriarvoiksi.

Lause 2 (tarvittava kriteeri paikalliselle ääripäälle).

Jos funktiolla y=f(x) on ääriarvo nykyisellä x=x 0, niin joko f'(x 0)=0 tai f'(x 0) ei ole olemassa.
Differentioituvan funktion ääripisteissä sen graafin tangentti on yhdensuuntainen Ox-akselin kanssa.

Algoritmi funktion tutkimiseksi ääripäälle:

1) Etsi funktion derivaatta.
2) Etsi kriittiset pisteet, ts. pisteet, joissa funktio on jatkuva ja derivaatta on nolla tai ei ole olemassa.
3) Tarkastellaan kunkin pisteen lähialuetta ja tutkitaan derivaatan etumerkkiä tämän pisteen vasemmalla ja oikealla puolella.
4) Määritä tälle arvolle ääripisteiden koordinaatit kriittiset kohdat kytke tähän toimintoon. Tee tarvittavat johtopäätökset käyttämällä riittäviä ääriolosuhteita.

Esimerkki 18. Tutki funktiota y=x 3 -9x 2 +24x

Ratkaisu.
1) y"=3x2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Kun derivaatta lasketaan nollaan, saadaan x 1 =2, x 2 =4. Tässä tapauksessa johdannainen määritellään kaikkialla; näin ollen kahta löydettyä pistettä lukuun ottamatta ei ole muita kriittisiä pisteitä.
3) Derivaatan y etumerkki "=3(x-2)(x-4) muuttuu intervallin mukaan kuvan 1 mukaisesti. Kun kuljetaan pisteen x=2 läpi, derivaatta muuttaa etumerkkiä plussasta miinusmerkkiin, ja kulkiessaan pisteen x=4 kautta - miinuksesta plussaan.
4) Pisteessä x=2 funktiolla on maksimi y max =20 ja pisteessä x=4 - minimi y min =16.

Lause 3. (2. riittävä ehto ääripään olemassaololle).

Olkoot f "(x 0) ja f "" (x 0) olemassa pisteessä x 0. Sitten jos f "" (x 0)> 0, niin x 0 on minimipiste, ja jos f "" (x 0) )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Jaksolla funktio y \u003d f (x) voi saavuttaa pienimmän (vähintään) tai suurimman (korkeintaan) arvon joko funktion kriittisissä pisteissä, jotka sijaitsevat välillä (a; b), tai päissä segmentistä.

Algoritmi jatkuvan funktion y=f(x) suurimman ja pienimmän arvon löytämiseksi segmentiltä:

1) Etsi f "(x).
2) Etsi pisteet, joissa f "(x) = 0 tai f" (x) - ei ole olemassa, ja valitse niistä ne, jotka sijaitsevat janan sisällä.
3) Laske funktion y \u003d f (x) arvo kappaleessa 2 saaduissa pisteissä sekä segmentin päissä ja valitse niistä suurin ja pienin: ne ovat vastaavasti suurimmat ( suurimmalle) ja pienimmille (pienimmän) funktioarvoille intervallilla .

Esimerkki 19. Etsi janan jatkuvan funktion y=x 3 -3x 2 -45+225 suurin arvo.

1) Meillä on segmentissä y "=3x 2 -6x-45
2) Derivaata y" on olemassa kaikille x:ille. Etsitään pisteet, joissa y"=0; saamme:
3x2 -6x-45 = 0
x 2 -2x-15 = 0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Laske funktion arvo pisteissä x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Vain piste x=5 kuuluu segmenttiin. Suurin funktion löydetyistä arvoista on 225 ja pienin on luku 50. Eli maksimi = 225, max = 50.

Konveksiteettifunktion tutkiminen

Kuvassa on kahden funktion kaaviot. Ensimmäinen niistä käännetään pullistumalla ylös, toinen - pullistumalla alas.

Funktio y=f(x) on jatkuva janalla ja differentioituva välissä (a;b), sitä kutsutaan kuperaksi ylös (alas) tällä segmentillä, jos axb:n graafi ei ole korkeampi (ei pienempi) kuin tangentti piirretty mihin tahansa pisteeseen M 0 (x 0 ;f(x 0)), missä axb.

Lause 4. Olkoon funktiolla y=f(x) toinen derivaatta missä tahansa janan sisäpisteessä x ja se on jatkuva tämän janan päissä. Sitten jos epäyhtälö f""(x)0 täyttyy välissä (a;b), niin funktio on alaspäin kupera janalla ; jos epäyhtälö f""(x)0 täyttyy välissä (а;b), niin funktio on kupera ylöspäin .

Lause 5. Jos funktiolla y \u003d f (x) on toinen derivaatta välillä (a; b) ja jos se muuttaa etumerkkiä kulkiessaan pisteen x 0 läpi, niin M (x 0 ; f (x 0)) on käännekohta.

Sääntö käännepisteiden löytämiseksi:

1) Etsi pisteet, joissa f""(x) ei ole olemassa tai katoaa.
2) Tarkastele merkkiä f""(x) vasemmalla ja oikealla puolella jokaisesta ensimmäisessä vaiheessa löydetystä pisteestä.
3) Tee johtopäätös lauseen 4 perusteella.

Esimerkki 20. Etsi funktiokaavion y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12 ääripisteet ja käännepisteet.

Meillä on f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Ilmeisesti f"(x)=0 kun x 1 =0, x 2 =1. Derivaata vaihtaa etumerkkiä pisteen x=0 läpi kulkiessaan miinuksesta plussaksi, eikä pisteen x=1 läpi kulkiessaan vaihda etumerkkiä. Tämä tarkoittaa, että x=0 on minimipiste (y min =12), eikä pisteessä x=1 ole ääriarvoa. Seuraavaksi löydämme . Toinen derivaatta häviää pisteistä x 1 =1, x 2 =1/3. Toisen derivaatan merkit muuttuvat seuraavasti: Säteellä (-∞;) meillä on f""(x)>0, välillä (;1) meillä on f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Siksi x= on funktiokaavion käännepiste (siirtymä konveksuudesta alas kuperuuteen ylös) ja x=1 on myös käännepiste (siirtymä konveksuudesta ylös kuperuuteen alas). Jos x=, niin y= ; jos, niin x=1, y=13.

Algoritmi graafin asymptootin löytämiseksi

I. Jos y=f(x) x → a , niin x=a on pystysuora asymptootti.
II. Jos y=f(x) x → ∞ tai x → -∞, niin y=A on vaaka-asymptootti.
III. Vinon asymptootin löytämiseksi käytämme seuraavaa algoritmia:
1) Laske. Jos raja on olemassa ja on yhtä suuri kuin b, niin y=b on vaakasuuntainen asymptootti; jos , siirry toiseen vaiheeseen.
2) Laske. Jos tätä rajaa ei ole olemassa, ei ole asymptoottia; jos se on olemassa ja on yhtä kuin k, siirry kolmanteen vaiheeseen.
3) Laske. Jos tätä rajaa ei ole olemassa, ei ole asymptoottia; jos se on olemassa ja on yhtä suuri kuin b, siirry neljänteen vaiheeseen.
4) Kirjoita vinon asymptootin y=kx+b yhtälö.

Esimerkki 21: Etsi funktiolle asymptootti

1)
2)
3)
4) Vino-asymptoottiyhtälöllä on muoto

Funktion tutkimuksen kaavio ja sen graafin rakentaminen

I. Etsi funktion toimialue.
II. Etsi funktion kuvaajan leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa.
III. Etsi asymptootteja.
IV. Etsi mahdollisen ääripään pisteet.
V. Etsi kriittiset kohdat.
VI. Tutki ensimmäisen ja toisen derivaatan etumerkkiä apupiirroksen avulla. Määritä funktion kasvu- ja laskualueet, selvitä kuvaajan kuperuuden suunta, ääripisteet ja käännepisteet.
VII. Rakenna kaavio ottaen huomioon kohdissa 1-6 tehty tutkimus.

Esimerkki 22: Piirrä funktiokaavio yllä olevan kaavion mukaisesti

Ratkaisu.
I. Toimintoalue on kaikkien reaalilukujen joukko paitsi x=1.
II. Koska yhtälöllä x 2 +1=0 ei ole todellisia juuria, niin funktion kuvaajalla ei ole leikkauspisteitä Ox-akselin kanssa, vaan se leikkaa Oy-akselin pisteessä (0; -1).
III. Selvitetään kysymys asymptoottien olemassaolosta. Tutkimme funktion käyttäytymistä epäjatkuvuuspisteen lähellä x=1. Koska y → ∞ x → -∞, y → +∞ x → 1+, niin suora x=1 on funktion kaavion pystysuora asymptootti.
Jos x → +∞(x → -∞), niin y → +∞(y → -∞); siksi kaaviolla ei ole vaakasuuntaista asymptoottia. Lisäksi rajojen olemassaolosta

Ratkaisemalla yhtälön x 2 -2x-1=0 saadaan mahdollisen ääripään kaksi pistettä:
x 1 =1-√2 ja x 2 =1+√2

V. Kriittisten pisteiden löytämiseksi laskemme toisen derivaatan:

Koska f""(x) ei katoa, kriittisiä pisteitä ei ole.
VI. Tutkimme ensimmäisen ja toisen derivaatan etumerkkiä. Mahdolliset huomioon otettavat ääripisteet: x 1 =1-√2 ja x 2 =1+√2, jaa funktion olemassaoloalue intervalleiksi (-∞;1-√2),(1-√2 ;1+√2) ja (1+√2;+∞).

Jokaisella näistä intervalleista johdannainen säilyttää merkkinsä: ensimmäisessä - plus, toisessa - miinus, kolmannessa - plus. Ensimmäisen derivaatan merkkijono kirjoitetaan seuraavasti: +, -, +.
Saadaan, että funktio päällä (-∞;1-√2) kasvaa, kohdalla (1-√2;1+√2) pienenee ja kohdalla (1+√2;+∞) taas kasvaa. Ääripisteet: maksimi kohdassa x=1-√2, lisäksi f(1-√2)=2-2√2 minimi kohdassa x=1+√2, lisäksi f(1+√2)=2+2√2. Kohdalla (-∞;1) kuvaaja on kupera ylöspäin ja päällä (1;+∞) - alaspäin.
VII Tehdään taulukko saaduista arvoista

VIII Rakennamme saatujen tietojen perusteella luonnoksen funktion kuvaajasta

Jos tehtävä vaatii täysi opiskelu funktiot f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 sen graafin rakentamisen kanssa, niin tarkastelemme tätä periaatetta yksityiskohtaisesti.

Tämän tyyppisen ongelman ratkaisemiseksi tulisi käyttää mainin ominaisuuksia ja kuvaajia perustoiminnot. Tutkimusalgoritmi sisältää seuraavat vaiheet:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Määritelmäalueen löytäminen

Koska tutkimusta tehdään funktion alueella, on välttämätöntä aloittaa tästä vaiheesta.

Esimerkki 1

Per annettu esimerkki tarkoittaa nimittäjän nollien etsimistä, jotta ne suljetaan pois DPV:stä.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Tämän seurauksena voit saada juuria, logaritmeja ja niin edelleen. Tällöin ODZ voidaan etsiä tyypin g (x) 4 parillisen asteen juuria epäyhtälöllä g (x) ≥ 0, logaritmia log a g (x) epäyhtälöllä g (x) > 0 .

ODZ-rajojen tutkiminen ja vertikaalisten asymptootien löytäminen

Funktion rajoilla on pystysuorat asymptootit, kun yksipuoliset rajat sellaisissa kohdissa ovat äärettömät.

Esimerkki 2

Oletetaan esimerkiksi, että rajapisteet ovat yhtä suuria kuin x = ± 1 2 .

Sitten on tarpeen tutkia funktiota yksipuolisen rajan löytämiseksi. Sitten saadaan, että: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = raja x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = raja x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = raja x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

Tämä osoittaa, että yksipuoliset rajat ovat äärettömiä, mikä tarkoittaa, että suorat x = ± 1 2 ovat graafin pystyasymptootteja.

Toiminnon ja parillisen tai parittoman toiminnan tutkiminen

Kun ehto y (- x) = y (x) täyttyy, funktion katsotaan olevan parillinen. Tämä viittaa siihen, että kuvaaja sijaitsee symmetrisesti O y:n suhteen. Kun ehto y (- x) = - y (x) täyttyy, funktiota pidetään parittomana. Tämä tarkoittaa, että symmetria menee koordinaattien origon suhteen. Jos ainakin yksi epäyhtälö epäonnistuu, saadaan yleisen muodon funktio.

Yhtälön y (- x) = y (x) toteutuminen osoittaa, että funktio on parillinen. Rakennettaessa on otettava huomioon, että O y:n suhteen on symmetriaa.

Epäyhtälön ratkaisemiseksi käytetään kasvu- ja laskuvälejä ehdoilla f "(x) ≥ 0 ja f" (x) ≤ 0, vastaavasti.

Määritelmä 1

Kiinteät pisteet ovat pisteitä, jotka kääntävät derivaatan nollaan.

Kriittiset kohdat ovat alueen sisäisiä pisteitä, joissa funktion derivaatta on nolla tai sitä ei ole olemassa.

Päätöstä tehtäessä tulee ottaa huomioon seuraavat seikat:

• olemassa oleville muodon f "(x) > 0 epäyhtälön kasvu- ja laskuväleille kriittisiä pisteitä ei sisällytetä ratkaisuun;
• pisteet, joissa funktio määritellään ilman äärellistä derivaatta, on sisällytettävä lisäys- ja laskuväleihin (esim. y \u003d x 3, missä piste x \u003d 0 määrittää funktion, derivaatan arvo on ääretön tässä vaiheessa y "\u003d 1 3 x 2 3, y" (0) = 1 0 = ∞, x = 0 sisältyy kasvuväliin);
• erimielisyyksien välttämiseksi on suositeltavaa käyttää matemaattista kirjallisuutta, jota opetusministeriö suosittelee.

Kriittisten pisteiden sisällyttäminen kasvamis- ja laskuväleihin, jos ne täyttävät funktion alueen.

Määritelmä 2

varten määritettäessä funktion kasvu- ja laskuvälit, on tarpeen löytää:

• johdannainen;
• kriittiset kohdat;
• murtaa määrittelyalue kriittisten pisteiden avulla intervalleiksi;
• määritä derivaatan etumerkki kullakin aikavälillä, missä + on kasvu ja - on lasku.

Esimerkki 3

Etsi derivaatta alueelta f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2.

Ratkaisu

Ratkaisuun tarvitset:

• etsi kiinteät pisteet, tässä esimerkissä on x = 0 ;
• Etsi nimittäjän nollat, esimerkki saa arvon nolla kohdassa x = ± 1 2 .

Paljastamme pisteet numeerisella akselilla määrittääksemme derivaatan kullakin välillä. Tätä varten riittää, että otetaan mikä tahansa piste intervallista ja lasketaan. Jos tulos on positiivinen, piirretään kaavioon +, mikä tarkoittaa funktion kasvua ja - sen pienenemistä.

Esimerkiksi f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, mikä tarkoittaa, että ensimmäisessä välissä vasemmalla on +-merkki. Harkitse lukua linja.

Vastaus:

• funktiossa on kasvua välillä - ∞ ; - 1 2 ja (- 1 2 ; 0 ] ;
• välissä on laskua [0; 1 2) ja 1 2; +∞ .

Kaaviossa on + ja - avulla kuvattu funktion positiivisuus ja negatiivisuus, ja nuolet osoittavat pienenemistä ja lisääntymistä.

Funktion ääripisteet ovat pisteitä, joissa funktio määritellään ja joiden kautta derivaatta vaihtaa etumerkkiä.

Esimerkki 4

Jos tarkastellaan esimerkkiä, jossa x \u003d 0, niin siinä olevan funktion arvo on f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. Kun derivaatan etumerkki muuttuu arvosta + arvoksi - ja kulkee pisteen x \u003d 0 läpi, piste, jolla on koordinaatit (0; 0), katsotaan maksimipisteeksi. Kun merkki muutetaan arvosta - +:ksi, saamme minimipisteen.

Kupera ja koveruus määritetään ratkaisemalla epäyhtälöt muotoa f "" (x) ≥ 0 ja f "" (x) ≤ 0 . Harvemmin he käyttävät nimeä pullistua alas koveruuden sijaan ja pullistua ylös pullistumisen sijaan.

Määritelmä 3

varten koveruuden ja kuperuuden aukkojen määrittäminen tarpeellista:

• etsi toinen derivaatta;
• etsi toisen derivaatan funktion nollat;
• katkaise määritelmän alue pisteillä, jotka ilmestyvät intervalleiksi;
• määrittää raon merkki.

Esimerkki 5

Etsi toinen derivaatta määritelmäalueesta.

Ratkaisu

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Löydämme osoittajan ja nimittäjän nollat, missä esimerkkimme avulla saamme, että nimittäjän x nollat ​​= ± 1 2

Nyt pitää laittaa pisteitä numeerinen akseli ja määritä toisen derivaatan etumerkki kustakin intervallista. Me ymmärrämme sen

Vastaus:

• funktio on kupera väliltä -1 2 ; 12;
• funktio on kovera raoista - ∞ ; - 1 2 ja 1 2; +∞ .

Määritelmä 4

käännekohta on muotoa x 0 oleva piste; f(x0) . Kun sillä on tangentti funktion kuvaajalle, niin kun se kulkee x 0:n läpi, funktio vaihtaa etumerkkiä päinvastaiseksi.

Toisin sanoen tämä on sellainen piste, jonka läpi toinen derivaatta kulkee ja muuttaa etumerkkiä, ja itse pisteissä on nolla tai sitä ei ole olemassa. Kaikkia pisteitä pidetään funktion toimialueina.

Esimerkissä nähtiin, että käännepisteitä ei ole, koska toinen derivaatta muuttaa etumerkkiä kulkiessaan pisteiden x = ± 1 2 läpi. Ne puolestaan ​​eivät kuulu määritelmän piiriin.

Vaakasuuntaisten ja vinojen asymptootien löytäminen

Kun funktio määritellään äärettömyydessä, on etsittävä vaakasuuntaisia ​​ja vinoja asymptootteja.

Määritelmä 5

Viistot asymptootit edustaa suoria viivoja yhtälön antama y = k x + b, missä k = lim x → ∞ f (x) x ja b = lim x → ∞ f (x) - k x .

Jos k = 0 ja b ei ole yhtä suuri kuin ääretön, saamme sen vino asymptootti tulee vaakasuoraan.

Toisin sanoen asymptootit ovat viivoja, joita funktion kuvaaja lähestyy äärettömässä. Tämä edistää funktion kaavion nopeaa rakentamista.

Jos asymptootteja ei ole, mutta funktio on määritelty molemmissa äärettömissä, on tarpeen laskea funktion raja näissä äärettömissä, jotta voidaan ymmärtää, kuinka funktion kuvaaja käyttäytyy.

Esimerkki 6

Esimerkkinä harkitse sitä

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

On vaakasuora asymptootti. Kun olet tutkinut toiminnon, voit aloittaa sen rakentamisen.

Funktion arvon laskeminen välipisteissä

Jotta piirros olisi mahdollisimman tarkka, on suositeltavaa löytää useita funktion arvoja välipisteistä.

Esimerkki 7

Käsittelemämme esimerkistä on tarpeen löytää funktion arvot pisteistä x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4. Koska funktio on parillinen, saamme, että arvot ovat samat näiden pisteiden arvojen kanssa, eli saamme x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.

Kirjoitetaan ja ratkaistaan:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0, 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0, 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Määrittääksesi funktion maksimin ja minimin, käännepisteet, välipisteet on välttämätöntä rakentaa asymptootteja. Kätevän nimeämisen vuoksi kasvun, laskun, kuperuuden ja koveruuden välit on kiinteät. Harkitse alla olevaa kuvaa.

Merkittyjen pisteiden läpi on piirrettävä kaavioviivat, joiden avulla pääset lähemmäksi asymptootteja nuolia seuraamalla.

Tämä päättää funktion täydellisen tutkimuksen. On tapauksia, joissa rakennetaan joitain perusfunktioita, joissa käytetään geometrisia muunnoksia.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Suorita täydellinen tutkimus ja piirrä funktiokaavio

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Toiminnan laajuus. Koska funktio on murto-osa, sinun on löydettävä nimittäjän nollat.

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.

Jätetään ainoa piste x=1x=1 pois funktion määritysalueelta ja saadaan:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Tutkitaan funktion käyttäytymistä epäjatkuvuuspisteen läheisyydessä. Etsi yksipuoliset rajat:

Koska rajat ovat yhtä suuria kuin ääretön, piste x=1x=1 on toisen tyyppinen epäjatkuvuus, suora x=1x=1 on pystysuora asymptootti.

3) Määritetään funktion kuvaajan leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa.

Etsitään leikkauspisteet ordinaattisen akselin OyOy kanssa, jolle yhtälömme x=0x=0:

Siten leikkauspisteellä OyOy-akselin kanssa on koordinaatit (0;8)(0;8).

Etsitään abskissa-akselin OxOx leikkauspisteet, joille asetetaan y=0y=0:

Yhtälöllä ei ole juuria, joten siinä ei ole leikkauspisteitä OxOx-akselin kanssa.

Huomaa, että x2+8>0x2+8>0 mille tahansa xx:lle. Siksi x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) funktio y>0y>0(ottaa positiivisia arvoja, kuvaaja on x-akselin yläpuolella), x∈(1;+∞)x∈(1;+∞) funktio y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Funktio ei ole parillinen eikä pariton, koska:

5) Tutkimme funktiota jaksollisuudelle. Funktio ei ole jaksollinen, koska se on murto-osainen rationaalinen funktio.

6) Tutkimme ääripäiden ja monotonisuuden funktiota. Tätä varten löydämme funktion ensimmäisen derivaatan:

Yhdistä ensimmäinen derivaatta nollaan ja etsi stationaariset pisteet (joissa y′=0y′=0):

Saimme kolme kriittistä pistettä: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Jaamme funktion koko alueen intervalleiksi näillä pisteillä ja määritämme derivaatan merkit kussakin välissä:

Kohdalle x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) derivaatta y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Kun x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) derivaatta y′>0y′>0, funktio kasvaa näillä aikaväleillä.

Tässä tapauksessa x=−2x=−2 on paikallinen minimipiste (funktio pienenee ja sitten kasvaa), x=4x=4 on paikallinen maksimipiste (funktio kasvaa ja sitten pienenee).

Etsitään funktion arvot näistä kohdista:

Minimipiste on siis (−2;4)(−2;4), maksimipiste (4;−8)(4;−8).

7) Tarkastelemme funktiota mutkille ja kuperuudelle. Etsitään funktion toinen derivaatta:

Yhdistä toinen derivaatta nollaan:

Tuloksena olevalla yhtälöllä ei ole juuria, joten siinä ei ole käännepisteitä. Lisäksi, kun x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 täyttyy, eli funktio on kovera, kun x∈(1;+∞)x∈(1 ;+ ∞) y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Tutkimme funktion käyttäytymistä äärettömyydessä, eli .

Koska rajat ovat äärettömät, ei ole horisontaalisia asymptootteja.

Yritetään määrittää vinot asymptootit muodossa y=kx+by=kx+b. Laskemme k,bk,b:n arvot tunnettujen kaavojen mukaan:

Havaitsimme, että funktiolla on yksi vino asymptootti y=−x−1y=−x−1.

9) Lisäpisteitä. Lasketaan funktion arvo joissakin muissa pisteissä, jotta kuvaaja voidaan rakentaa tarkemmin.

y(-5)=5.5;y(2)=-12;y(7)=-9.5.y(-5)=5.5;y(2)=-12;y(7)=-9.5.

10) Saatujen tietojen perusteella rakennetaan graafi, täydennetään sitä asymptooteilla x=1x=1 (sininen), y=−x−1y=−x−1 (vihreä) ja merkitään ominaispisteet (leikkaus y:n kanssa -akseli on violetti, ääripäät oranssit, lisäpisteet mustat):

Tehtävä 4: Geometriset, taloudelliset tehtävät (en tiedä mitä, tässä on likimääräinen valikoima tehtäviä ratkaisuineen ja kaavoineen)

Esimerkki 3.23. a

Ratkaisu. x ja y y
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Koska x = a/4 on ainoa kriittinen piste, tarkistetaan, muuttuuko derivaatan etumerkki tämän pisteen läpi kulkiessaan. xa/4 S > 0 ja x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Esimerkki 3.24.

Ratkaisu.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Esimerkki 3.22. Etsi funktion f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 ääripää.

Ratkaisu. Koska f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), niin funktion kriittiset pisteet x 1 \u003d 2 ja x 2 \u003d 3. Ääripisteet voivat olla vain näissä pisteissä. Eli kun pisteen x 1 \u003d 2 kautta kulkee derivaatta, etumerkki muuttuu plussasta miinukseksi, niin tässä vaiheessa funktiolla on maksimi.Kun kuljetaan pisteen x 2 \u003d 3 läpi, derivaatta muuttaa etumerkkiä miinuksesta plussaan, joten pisteessä x 2 \u003d 3 funktiolla on minimi. Laske funktion arvot pisteissä
x 1 = 2 ja x 2 = 3, löydämme funktion ääripäät: maksimi f(2) = 14 ja minimi f(3) = 13.

Esimerkki 3.23. Kivimuurien lähelle on tarpeen rakentaa suorakaiteen muotoinen alue niin, että se on aidattu kolmelta sivulta metalliverkolla ja se on seinän vieressä neljänneltä puolelta. Tätä varten on olemassa a verkon lineaarimetrit. Millä kuvasuhteella sivustolla on suurin pinta-ala?

Ratkaisu. Merkitse sivuston sivut läpi x ja y. Kohteen pinta-ala on S = xy. Päästää y on seinän vieressä olevan sivun pituus. Sitten ehdon mukaan yhtälön 2x + y = a on oltava voimassa. Siksi y = a - 2x ja S = x(a - 2x), missä
0 ≤ x ≤ a/2 (alueen pituus ja leveys eivät voi olla negatiivisia). S "= a - 4x, a - 4x = 0, kun x = a/4, mistä
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Koska x = a/4 on ainoa kriittinen piste, tarkistetaan, muuttuuko derivaatan etumerkki tämän pisteen läpi kulkiessaan. xa/4 S > 0 ja x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Esimerkki 3.24. Vaaditaan suljettu sylinterimäinen säiliö, jonka tilavuus on V=16p ≈ 50 m 3 . Mitkä pitäisi olla säiliön mitat (säde R ja korkeus H), jotta sen valmistukseen kuluisi mahdollisimman vähän materiaalia?

Ratkaisu. Sylinterin kokonaispinta-ala on S = 2pR(R+H). Tiedämme sylinterin tilavuuden V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Siten S(R) = 2p(R2+16/R). Löydämme tämän funktion johdannaisen:
S "(R) \u003d 2p (2R- 16 / R 2) \u003d 4p (R- 8 / R 2). S " (R) \u003d 0 R 3 \u003d 8, joten
R = 2, H = 16/4 = 4.

Samanlaisia ​​tietoja.