Piste - abstrakti esine avaruudessa, jolla ei ole mitattavissa olevia ominaisuuksia (nollaulotteinen esine). Piste on yksi niistä peruskäsitteet matematiikassa.
Piste euklidisessa geometriassa
Euclid määritteli pisteen "esineeksi ilman osia". Euklidisen geometrian nykyaikaisessa aksiomatiikassa piste on ensisijainen käsite, jonka antaa vain luettelo sen ominaisuuksista - aksioomista.
Valitussa koordinaattijärjestelmässä mikä tahansa kaksiulotteisen euklidisen avaruuden piste voidaan esittää järjestettynä parina ( x; y) todellisia lukuja. Samoin osoita n-ulotteinen euklidinen avaruus (sekä vektori tai affineavaruus) voidaan esittää monikkona ( a 1 , a 2 , … , a n) alkaen n numeroita.
Linkit
- kohta(englanniksi) PlanetMath-verkkosivustolla.
- Weisstein, Eric W. Kohta Wolfram MathWorld -verkkosivustolla.
pointti on:
piste piste substantiivi, ja., käyttää Usein Morfologia: (ei) mitä? pisteitä, mitä? piste, (katso) mitä? piste, Miten? piste, mistä? asiasta; pl. mitä? pisteitä, (ei) mitä? pisteitä, mitä? pisteitä, (katso) mitä? pisteitä, Miten? pisteitä, mistä? pisteistä 1. Piste- tämä on pieni pyöreä täplä, jälki kosketuksesta johonkin terävään tai kirjoitettuun.Pistekuvio. | Pistokohta. | Kartalla oleva kaupunki on merkitty pienellä pisteellä ja saatavuudella ohitustie voi vain arvailla.
2. Piste- tämä on jotain hyvin pientä, huonosti näkyvää syrjäisyydestä tai muista syistä johtuen.
Piste horisontissa. | Kun pallo lähestyi horisonttia taivaan länsiosassa, sen koko alkoi hitaasti pienentyä, kunnes se muuttui pisteeksi.
3. Piste- välimerkki, joka sijoitetaan lauseen loppuun tai sanoja lyhennettäessä.
Laita piste. | Älä unohda laittaa pistettä lauseen loppuun
4. Matematiikassa, geometriassa ja fysiikassa piste on yksikkö, jolla on sijainti avaruudessa, janan raja.
5. piste nimeltään tietty paikka avaruudessa, maassa tai jonkin pinnalla.
sijoituspiste. | Kipukohta.
6. piste nimeä paikka, jossa jotain sijaitsee tai suoritetaan, tietty solmu järjestelmässä tai minkä tahansa pisteen verkosto.
Jokaisella pistorasialla on oltava oma merkki.
7. piste he kutsuvat jonkin kehityksen rajaksi, tietyksi kehitystasoksi tai -hetkeksi.
Nai korkein kohta. | kehityspiste. | Tilanne on saavuttanut kriittisen pisteen. | Tämä on ihmisen henkisen voiman korkein ilmentymispiste.
8. piste kutsutaan lämpötilarajaksi, jossa aine muuttuu yhdestä aggregaation tila toiseen.
Kiehumispiste. | Jäätymispiste. | Sulamispiste. | Miten lisää korkeutta mitä alempi on veden kiehumispiste.
9. Puolipiste (;) kutsutaan välimerkiksi, jota käytetään erottamaan yleiset, enemmän itsenäisiä osia yhdistetty lause.
AT Englannin kieli Käytännössä samoja välimerkkejä kuin venäjässä: piste, pilkku, puolipiste, yhdysmerkki, heittomerkki, hakasulkeet, ellipsi, kysely ja huutomerkit, tavuviiva.
10. Kun he puhuvat näkökulma, tarkoittaa jonkun mielipidettä tietystä ongelmasta, näkemystä asioista.
Vähemmän suosittu nyt on toinen näkökulma, joka on aiemmin tunnustettu lähes yleisesti. | Kukaan ei jaa tätä näkemystä tänään.
11. Jos ihmisillä sanotaan olevan kosketuspisteitä joten heillä on yhteisiä etuja.
Voimme ehkä löytää yhteisen sävelen.
12. Jos jotain sanotaan pisteestä pisteeseen, eli ehdottoman tarkka vastaavuus.
Pisteestä pisteeseen siinä paikassa, jossa se ilmoitettiin, oli kahvinvärinen auto.
13. Jos henkilön sanotaan olevan saavutti asian, mikä tarkoittaa, että hän on saavuttanut joidenkin negatiivisten ominaisuuksien ilmentymisen äärirajan.
Olemme saavuttaneet asian! Et voi enää elää näin! | Et voi kertoa hänelle, että salaiset palvelut ovat saavuttaneet pisteen hänen viisaalla johtajuudellaan.
14. Jos joku tekee lopun joissakin asioissa se tarkoittaa, että hän lopettaa sen.
Sitten hän palasi maastamuutosta kotimaahansa Venäjälle Neuvostoliitto, ja tämä lopetti kaikki hänen etsimisensä ja ajatuksensa.
15. Jos joku piste "ja"(tai yli i), mikä tarkoittaa, että hän vie asian loogiseen päätökseensä, ei jätä mitään sanomatta.
Pistellään i:tä. En tiennyt mitään aloitteestasi.
16. Jos joku osuu yhteen pisteeseen, mikä tarkoittaa, että hän keskitti kaikki voimansa yhden tavoitteen saavuttamiseen.
Siksi hänen kuvansa ovat niin erilaisia; hän osuu aina yhteen pisteeseen, eikä hän koskaan innostu toissijaisista yksityiskohdista. | Hän ymmärtää erittäin hyvin liiketoimintansa tehtävän ja osuu määrätietoisesti yhteen pisteeseen.
17. Jos joku osua pisteeseen, mikä tarkoittaa, että hän sanoi tai teki juuri sen, mitä tarvittiin, arvasi sen.
Ensimmäinen kilpailun seuraavalle kierrokselle saapunut kirje yllätti toimittajat iloisesti - yhdessä luetelluista vaihtoehdoista lukijamme osui heti merkkiin!
kohta adj.Akupainanta.
Venäjän kielen selittävä sanakirja Dmitriev. D.V. Dmitriev. 2003.
Piste
Piste Voi tarkoittaa:
Wikisanakirjassa on artikkeli "piste"- Piste on abstrakti objekti avaruudessa, jolla ei ole muita mitattavissa olevia ominaisuuksia kuin koordinaatit.
- Piste - diakriittistä, joka voidaan sijoittaa kirjeen ylä-, ala- tai keskelle.
- Piste - etäisyyden mittayksikkö venäjäksi ja Englanninkieliset järjestelmät toimenpiteet.
- Piste on yksi desimaalierottimen esityksistä.
- Dot (verkkotekniikat) - päätoimialueen nimitys globaalien verkkoalueiden hierarkiassa.
- Tochka - elektroniikka- ja viihdemyymäläketju
- Tochka - ryhmän "Leningrad" albumi
- Point - Venäläinen elokuva vuodelta 2006, joka perustuu Grigory Ryazhskyn samannimiseen tarinaan
- Dot on räppäri Stenin toinen studioalbumi.
- Tochka on divisioonallinen ohjusjärjestelmä.
- Tochka - Krasnojarskin nuoriso- ja subkulttuurilehti.
- Tochka on klubi- ja konserttipaikka Moskovassa.
- Piste on yksi morsekoodin merkeistä.
- Pointti on taistelutehtävän paikka.
- Piste (käsittely) - koneistus, sorvaus, teroitus.
- POINT - Tiedotus- ja analyyttinen ohjelma NTV:ssä.
- Tochka on vuonna 2012 perustettu rock-yhtye Norilskin kaupungista.
Toponyymi
Kazakstan
- Piste- vuoteen 1992 asti Bayash Utepovin kylän nimi Ulanin alueella Itä-Kazakstanin alueella.
Venäjä
- Tochka on kylä Sheksninskyn alueella Vologdan alueella.
- Tochka on kylä Volotovskin alueella Novgorodin alueella.
- Tochka on kylä Lopatinskin alueella Penzan alueella.
Voitko antaa määritelmän sellaisille käsitteille kuin piste ja suora?
Kouluissamme ja yliopistoissamme ei ollut näitä määritelmiä, vaikka ne ovat mielestäni tärkeitä (en tiedä miten se on muissa maissa). Voimme määritellä nämä käsitteet "onnistuneiksi ja epäonnistuneiksi" ja pohtia, onko tästä hyötyä ajattelun kehittymiselle.
Painija
Outoa, mutta meille annettiin pisteen määritelmä. Tämä on avaruudessa sijaitseva abstrakti objekti (sopimus), jolla ei ole ulottuvuuksia. Tämä on ensimmäinen asia, joka lyötiin päähämme koulussa - pisteellä ei ole mittoja, se on "nollaulotteinen" esine. Ehdollinen käsite, kuten kaikki muukin geometriassa.
Suorat linjat ovat vielä vaikeampia. Ensinnäkin se on linja. Toiseksi se on joukko pisteitä, jotka sijaitsevat tietyllä tavalla avaruudessa. Hyvin yksinkertainen määritelmä se on viiva, jonka määrittelevät kaksi pistettä, joiden läpi se kulkee.
Medivh
Piste on jonkinlainen abstrakti objekti. Pisteellä on koordinaatit, mutta ei massaa tai mittoja. Geometriassa kaikki alkaa täsmälleen pisteestä, tämä on kaikkien muiden hahmojen alku. (Myös kirjoituksessa, muuten, ilman pistettä ei ole sanan alkua). Suora on kahden pisteen välinen etäisyys.
Leonid Kutny
Voit määritellä mitä tahansa ja mitä tahansa. Mutta on kysymys: "toimiiko tämä määritelmä" tietyssä tieteessä? Sen perusteella, mitä meillä on, ei ole mitään järkeä määritellä pistettä, suoraa ja tasoa. Pidin todella Arthurin kommenteista. Haluaisin lisätä, että pisteellä on monia ominaisuuksia: sillä ei ole pituutta, leveyttä, korkeutta, massaa ja painoa jne. Mutta pisteen pääominaisuus on, että se osoittaa selvästi pisteen sijainnin esine, esine tasossa, avaruudessa. Siksi tarvitaan piste!Mutta fiksu lukija sanoo, että silloin kirja, tuoli, kello ja muut asiat voidaan ottaa pisteenä. Aivan oikeassa! Siksi ei ole mitään järkeä määritellä pistettä. Ystävällisin terveisin L.A. Kutniy
Suora viiva on yksi geometrian peruskäsitteistä.
Piste on monilla kielillä kirjoitettu välimerkki.
Lisäksi piste on yksi morsekoodin symboleista
Niin monta määritelmää :D
Pisteen, suoran, tason määritelmät annoin jo 80-luvun lopulla ja 1900-luvun 90-luvun alussa. Annan linkin:
https://yadi.sk/d/bn5Cr4iirZwDP
328-sivuisessa niteessä näiden käsitteiden kognitiivinen olemus on kuvattu täysin uudella tavalla, jotka selitetään todellisen fyysisen maailmankuvan ja olemassaolon tunteen pohjalta, mikä tarkoittaa "minä" olemassaoloa, aivan kuten maailmankaikkeus. itse, johon kuulun, on olemassa.
Kaikki kirjoitettu Tämä työ vahvistaa ihmiskunnan kauan sitten löydetty ja edelleen tutkittava tieto luonnosta ja sen ominaisuuksista Tämä hetki aika. Matematiikasta on tullut niin monimutkaista ymmärtää ja ymmärtää, jotta sen abstrakteja kuvia voidaan soveltaa teknologisten läpimurtojen käytäntöön. Perusteet, jotka ovat perusperiaatteet, paljastamisen jälkeen on mahdollista selittää jopa opiskelijalle peruskoulu syitä maailmankaikkeuden olemassaolon taustalla. Lue ja tule lähemmäksi totuutta. Dare, maailma, jossa olemme, avautuu edessäsi uudessa valossa.
Onko "pisteen" käsitteelle määritelmää matematiikassa, geometriassa.
Mihail Levin
"määrittelemätön käsite" on määritelmä?
Itse asiassa käsitteiden epävarmuus mahdollistaa matematiikan soveltamisen erilaisiin objekteihin.
Matemaatikko voi jopa sanoa "pisteellä tarkoitan euklidista tasoa, tasolla - euklidista pistettä" - tarkista kaikki aksioomit ja saa uusi geometria tai uusia lauseita.
Asia on siinä, että termin A määrittelemiseksi sinun on käytettävä termiä B. B:n määrittämiseen tarvitaan termi C. Ja niin edelleen loputtomiin. Ja pelastuakseen tästä äärettömyydestä, täytyy hyväksyä jotkin termit ilman määritelmiä ja rakentaa niiden päälle määritelmät toisille. ©
Grigory Piven
Matematiikassa Piven Grigory A piste on avaruuden osa, joka on abstraktisti (peilattu) otettu minimipituussegmentiksi, joka on yhtä suuri kuin 1, jota käytetään avaruuden muiden osien mittaamiseen. Siksi henkilö valitsee pisteen asteikon mukavuuden vuoksi, tuottavaan mittausprosessiin: 1mm, 1cm, 1m, 1km, 1a. e., 1 St. vuosi. jne.
Katso myös: http://akotlin.com/index.php?sec=1&lnk=2_07
Abstraktiota on käytetty matematiikassa kahden ja puolen vuosituhannen ajan. mittaamaton piste, mikä on ristiriidassa paitsi maalaisjärkeä, mutta myös tietoa ympäröivästä maailmasta, joka on saatu sellaisista tieteistä kuin fysiikka, kemia, kvanttimekaniikka ja informatiikka.
Toisin kuin muut abstraktiot, dimensiottoman matemaattisen pisteen abstraktio ei idealisoi todellisuutta yksinkertaistaen sen kognitiota, vaan vääristää sitä tarkoituksella ja antaa sille päinvastaisen merkityksen, mikä tekee erityisesti korkeampien ulottuvuuksien tilan ymmärtämisen ja tutkimisen pohjimmiltaan mahdottomaksi!
Dimensiottoman pisteen abstraktion käyttöä matematiikassa voidaan verrata perusarvon käyttöön rahayksikkö nolla hinnalla. Onneksi talous ei ajatellut tätä.
Todistakaamme dimensiottoman pisteen abstraktion absurdisuus.
Lause. Matemaattinen piste on laaja.
Todiste.
Matematiikasta lähtien
pisteen_koko = 0,
Segmentille, jonka pituus on rajallinen (ei-nolla), meillä on
Segmentin_koko = 0 + 0 + ... + 0 = 0.
Saatu janan nollakoko sen muodostavien pisteiden sarjana on ristiriidassa janan äärellisen pituuden ehdon kanssa. Lisäksi nollapisteen koko on järjetön siinä mielessä, että nollien summa ei riipu termien määrästä, eli "nollapisteiden" määrä segmentissä ei vaikuta segmentin kokoon.
Siksi alkuperäinen oletus matemaattisen pisteen nollakoosta on VÄÄRÄ.
Siten voidaan väittää, että matemaattisen pisteen koko on nollasta poikkeava (äärellinen). Koska piste ei kuulu vain segmenttiin, vaan myös tilaan, jossa segmentti sijaitsee, sillä on avaruuden ulottuvuus, eli matemaattinen piste on tilavuus. Q.E.D.
Seuraus.
Yllä oleva todistus suoritettu matemaattisella laitteella junioriryhmä päiväkoti juurruttaa ylpeyttä "kaikkien tieteiden kuningattaren" pappien ja adeptien rajattomasta viisaudesta, joka onnistui kantamaan vuosituhansien läpi ja säilyttämään jälkipolville alkuperäisessä muodossaan ihmiskunnan muinaisen harhan.
Arvostelut
Rakas Aleksanteri! En ole vahva matematiikassa, mutta ehkä SINÄ voit kertoa minulle, missä ja kenen toimesta on väitetty, että piste on nolla? Toinen asia, hänellä on ääretön pieni määrä, käytäntöön asti, mutta ei ollenkaan nolla. Siten mitä tahansa segmenttiä voidaan pitää nollana, koska on toinen segmentti, joka sisältää ääretön joukko alkulohkot karkeasti sanottuna. Ehkä meidän ei pitäisi sekoittaa matematiikkaa ja fysiikkaa. Matematiikka on tiedettä olemisesta, fysiikka on olemassa olevasta. Ystävällisin terveisin.
Mainitsin Akhilleuksen kahdesti yksityiskohtaisesti ja monta kertaa ohimennen:
"Miksi Akhilleus ei tavoita kilpikonnaa"
"Achilles ja kilpikonna - paradoksi kuutiossa"
Ehkä yksi ratkaisu Zenon paradoksiin on, että tila on diskreetti ja aika jatkuvaa. Hän katsoi, kuten sinulle on mahdollista, että molemmat ovat erillisiä. Keho voi olla jossain pisteessä avaruudessa jonkin aikaa. Mutta se ei voi olla eri paikoissa samaan aikaan. Tämä kaikki on tietysti amatöörimäisyyttä, kuten koko keskustelumme. Ystävällisin terveisin.
Muuten, jos piste on 3D, mitkä ovat sen mitat?
Ajan diskreetti seuraa esimerkiksi aporiasta "Nuoli". "Samanaikaisesti oleskella eri paikoissa" voi olla vain elektroni fyysikoille, jotka periaatteessa eivät ymmärrä eivätkä hyväksy eetterin tai 4-ulotteisen avaruuden rakennetta. En tiedä muita esimerkkejä tästä ilmiöstä. En näe keskustelussamme "amatörismia". Päinvastoin, kaikki on äärimmäisen yksinkertaista: piste on joko mittaton tai sillä on koko; jatkuvuus ja äärettömyys joko ovat olemassa tai eivät ole. Kolmatta ei anneta - joko TOSI tai EPÄTOSI! Perusteet matemaatikot on valitettavasti rakennettu väärille dogmeille, jotka hyväksyttiin tietämättömyydestä 2500 vuotta sitten.
Pisteen koko riippuu ratkaistavan ongelman kunnosta ja vaaditusta tarkkuudesta. Esimerkiksi jos vaihde on suunniteltu rannekello, niin tarkkuutta voi rajoittaa atomin koko eli kahdeksan desimaalin tarkkuutta. Itse atomi on tässä matemaattisen pisteen fysikaalinen analogi. Saatat tarvita 16 merkin tarkkuutta jossain; silloin pisteen roolia esittää eetterihiukkanen. Huomaa, että puhe väitetystä "äärettömästä" tarkkuudesta muuttuu käytännössä villiksi hölynpölyksi tai lievästi sanottuna absurdiksi.
En vieläkään ymmärrä: onko pointtia olemassa? Jos se on olemassa objektiivisesti, siksi sillä on tietty fyysinen arvo, jos se on olemassa subjektiivisesti, mielemme abstraktion muodossa, niin sillä on matemaattinen arvo. Nollalla EI ole MITÄÄN, sitä ei ole olemassa, tämä on abstrakti määritelmä olemattomuudelle matematiikassa tai tyhjyydelle fysiikassa. Piste ei ole olemassa sellaisenaan suhteen ulkopuolella. Heti kun toinen piste ilmestyy, näkyviin tulee segmentti - Jotain jne. Tätä aihetta voidaan kehittää loputtomasti. uv:n kanssa.
Minusta näytti, että toin hyvä esimerkki, mutta ei ehkä tarpeeksi yksityiskohtainen. Objektiivisesti katsottuna on olemassa maailma, jonka tiede tuntee, ja tällä hetkellä tiedostaa pääasiassa matemaattisia menetelmiä. Matematiikka tuntee maailman rakentamalla matemaattisia malleja. Näiden mallien rakentamiseksi perus matemaattiset abstraktiot, erityisesti, kuten: piste, viiva, jatkuvuus, ääretön. Nämä abstraktiot ovat perusluonteisia, koska niitä ei ole enää mahdollista jakaa ja yksinkertaistaa. Jokainen perusabstraktio voi olla joko riittävä objektiivinen todellisuus(tosi) tai ei (epätosi). Kaikki yllä olevat abstraktiot ovat alun perin vääriä, koska ne ovat ristiriidassa viimeisimmän tiedon kanssa todellisesta maailmasta. Joten nämä abstraktiot estävät oikea ymmärrys todellista maailmaa. Tämän voisi jotenkin sietää, kun tiede tutki 3-ulotteista maailmaa. Dimensiottoman pisteen ja jatkuvuuden abstraktiot tekevät kuitenkin kaikista korkeamman ulottuvuuden maailmasta periaatteessa tuntemattomia!
Universumin tiili - piste - ei voi olla tyhjiö. Kaikki tietävät, ettei tyhjyydestä synny mikään. Fyysikot julistivat eetterin olemattomaksi ja täyttivät maailman tyhjyydellä. Uskon, että matematiikka tyhjine pisteineen työnsi heidät tähän typeryyteen. En puhu 4D:tä korkeamman ulottuvuuden maailmojen atomeista-pisteistä. Joten jokaisessa ulottuvuudessa jakamattoman (ehdollisesti) matemaattisen pisteen roolia esittää tämän maailman (ehdollisesti) jakamaton atomi (avaruus, aine). 3D:lle - fyysinen atomi, 4D:lle - eetterihiukkanen, 5D:lle - astraaliatomi, 6D:lle - mentaalinen atomi ja niin edelleen. Ystävällisin terveisin,
Onko universumin tiilellä siis absoluuttista arvoa? Ja mitä se edustaa mielestäsi eteerisessä tai mentaalisessa maailmassa. Pelkään kysyä itse maailmoista. Mielenkiinnolla...
Eetterihiukkaset (ne eivät ole atomeja!) ovat elektroni-positroniparia, joissa hiukkaset itse pyörivät suhteessa toisiinsa valonnopeudella. Tämä selittää täysin kaikkien nukleonien rakenteen, etenemisen sähkömagneettiset värähtelyt ja kaikki ns fyysinen tyhjiö. Ajatusatomin rakenne on tuntematon kenellekään. On vain todisteita siitä, että KAIKKI eniten korkeampia maailmoja materiaalia, eli niillä on omat atomit. Absoluutin asiaan asti. Olet kuitenkin ironinen. Todella madonreikiä ja isot otsatukka Pidätkö sitä uskottavampana?
Mitä ironiaa tässä on, vain hieman hämmästynyt tällaisen tietovyöryn jälkeen. Minä, toisin kuin sinä, en ole ammattilainen, ja minun on vaikea sanoa mitään tilojen viisi- tai kuusiulotteisuudesta. Minä puhun pitkämielisyydestämme... Ymmärtääkseni vastustat aineellista jatkuvuutta, ja pointti on, että sinulla on todella olemassa "demokraattinen" atomi. "Universumin tiili". Ehkä olin välinpitämätön, mutta älä kuitenkaan epäröi toistaa, mikä sen rakenne, fyysiset parametrit, mitat jne. ovat.
Ja vastaa myös, onko yksikkö sellaisenaan olemassa minkään suhteen ulkopuolella? Kiitos.
Kun on käsitelty mitä mittayksiköt ja ulottuvuus ovat, voimme nyt siirtyä varsinaisiin mittauksiin. AT koulun matematiikka kaksi mittauslaite- (1) viivain etäisyyksien mittaamiseen ja (2) astemittari kulmien mittaamiseen.
Piste
Etäisyys mitataan aina minkä tahansa kahden pisteen välillä. Käytännön näkökulmasta piste on pieni täplä, joka jää paperille, kun sitä pistetään kynällä tai kynällä. Toinen, edullisempi tapa määrittää piste, on piirtää risti kahdella ohuella viivalla, mikä asettaa piste niiden risteyksiä. Kirjojen piirustuksissa piste on usein kuvattu pienenä mustana ympyränä. Mutta nämä kaikki ovat vain arvioita. visuaalisia kuvia, mutta tiukassa matemaattisessa mielessä, piste - se on kuvitteellinen esine, jonka koko kaikkiin suuntiin on nolla. Matemaatikoille koko maailma koostuu pisteistä. Pisteitä on kaikkialla. Kun pistelemme kynää paperille tai piirrämme ristin, emme luo uusi kohta, mutta merkitse vain olemassa olevaan kiinnittääksesi jonkun huomion siihen. Ellei toisin mainita, pisteet ovat kiinteitä eivätkä muuta niitä suhteellinen sijainti. Mutta ei ole vaikea kuvitella liikkuvaa pistettä, joka liikkuu paikasta toiseen, ikään kuin sulautuen yhteen kiinteä piste, sitten toisaalta.
Suoraan
Kiinnittämällä viivaimen kahteen pisteeseen voimme vetää suoran viivan niiden läpi ja lisäksi ainoa tapa. kuvitteellinen matemaattinen suoraan, piirretty pitkin kuvitteellista ihanneviivainta, sen paksuus on nolla ja se ulottuu molempiin suuntiin äärettömään. Todellisessa piirustuksessa tämä kuvitteellinen malli saa muodon:
Itse asiassa kaikki tässä kuvassa on väärin. Viivan paksuus on tässä selvästi suurempi kuin nolla, eikä viivan voi sanoa ulottuvan äärettömään. Siitä huolimatta tällaiset virheelliset piirustukset ovat erittäin hyödyllisiä mielikuvituksen tukena, ja käytämme niitä jatkuvasti. Pisteiden erottamisen helpottamiseksi ne on yleensä merkitty isot kirjaimet Latinalainen aakkoset. Esimerkiksi tässä kuvassa pisteet on merkitty kirjaimilla A ja B. Pisteiden läpi kulkeva viiva A ja B, saa automaattisesti nimen "suora AB". Lyhyyden vuoksi merkintä ( AB), jossa sana "suora" on jätetty pois ja pyöreät kiinnikkeet. Rivit voidaan myös merkitä pienet kirjaimet. Yllä olevassa kuvassa suora viiva AB merkitty kirjaimella n.
Pisteiden yli A ja B suoralla linjalla n on valtava määrä muita pisteitä, joista jokainen voidaan esittää leikkauspisteenä jonkin muun suoran kanssa. Saman pisteen läpi voidaan vetää useita viivoja.
Jos tiedämme, että suoralla on ei-sattumattomia pisteitä A, B, C ja D, niin sitä voidaan perustellusti merkitä paitsi ( AB), mutta myös kuinka ( AC), (BD), (CD) jne.
Jana. Leikkauspituus. Pisteiden välinen etäisyys
Kahden pisteen rajaamaa suoran osaa kutsutaan segmentti. Nämä rajapisteet kuuluvat myös segmenttiin ja niitä kutsutaankin segmentiksi. päättyy. Jana, jonka päätepisteet ovat pisteissä A ja B, merkitty "segmentiksi AB' tai, hieman lyhyempi, [ AB].
Jokainen segmentti on karakterisoitu pitkä- "askelmien" lukumäärä (mahdollisesti murto-osa), joka on otettava segmentillä päästäkseen päästä toiseen. Tässä tapauksessa itse "askeleen" pituus on tiukasti kiinteä arvo, joka otetaan mittayksikkönä. Paperiarkille piirrettyjen viivojen pituudet on kätevin mitata senttimetriä. Jos janan päätepisteet osuvat pisteisiin A ja B, niin sen pituus merkitään | AB|.
Alla etäisyys kahden pisteen välissä on niitä yhdistävän janan pituus. Itse asiassa etäisyyden mittaamiseen ei kuitenkaan tarvitse piirtää segmenttiä - riittää, että kiinnität viivain molempiin pisteisiin (joihin on merkitty "askelmien" jäljet). Koska piste on fiktiivinen esine matematiikassa, mikään ei estä meitä käyttämästä mielikuvituksessamme ihanteellista viivainta, joka mittaa etäisyyden absoluuttisella tarkkuudella. Ei kuitenkaan pidä unohtaa, että paperilla oleviin pisteisiin tai ristien keskipisteisiin kiinnitetty todellinen viivain mahdollistaa etäisyyden asettamisen vain suunnilleen - yhden millimetrin tarkkuudella. Etäisyys ei ole aina negatiivinen.
Pisteen sijainti suoralla
Annetaan meille suora viiva. Merkitsemme siihen mielivaltaisen pisteen ja merkitsemme sen kirjaimella O. Laitetaan sen viereen numero 0. Yksi kahdesta mahdollisia ohjeita suoraa viivaa pitkin kutsumme "positiiviseksi" ja sen vastakkaiseksi - "negatiiviseksi". Yleensä positiivinen suunta otetaan vasemmalta oikealle tai alhaalta ylös, mutta tämä ei ole välttämätöntä. Merkitse positiivinen suunta nuolella kuvan osoittamalla tavalla:
Nyt voimme määrittää sen minkä tahansa linjan pisteen osalta asema. Pisteasema A annetaan arvolla, joka voi olla negatiivinen, nolla tai positiivinen. Hänen absoluuttinen arvo yhtä suuri kuin pisteiden välinen etäisyys O ja A(eli jakson pituus OA), ja merkki määräytyy pisteen suunnan mukaan O sinun on siirryttävä päästäksesi asiaan A. Jos sinun on siirryttävä positiiviseen suuntaan, merkki on positiivinen. Jos se on negatiivinen, niin merkki on negatiivinen. Sanan "asema" sijasta sana " koordinoida».
Irrationaaliset ja todelliset (todelliset) luvut
Kun käsittelemme todellista piirustusta ja määritämme todellisen pisteen sijainnin todellisessa reiässä kouluviivaimella, saamme arvon pyöristettynä lähimpään millimetriin. Toisin sanoen tulos on arvo, joka on otettu seuraavasta sarjasta:
0 mm, 1 mm, −1 mm, 2 mm, −2 mm, 3 mm, −3 mm jne.
Tulos ei voi olla yhtä suuri kuin esimerkiksi 1/3 cm, koska, kuten tiedämme, kolmasosa senttimetristä voidaan esittää äärettömänä jaksollisena murto-osana
0,333333333... cm,
jonka pyöristyksen jälkeen pitäisi olla 0,3 cm.
Se on eri asia, kun käsittelemme ihanteellisia matemaattisia kohteita mielikuvituksessamme.
Ensinnäkin tässä tapauksessa voidaan helposti hylätä mittayksiköt ja toimia yksinomaan dimensiottomilla suureilla. Sitten tulemme geometriseen rakenteeseen, jonka tapasimme käydessämme läpi rationaalisia lukuja, ja jonka nimesimme numeroviiva:
Koska sana "viiva" geometriassa on jo raskaasti "kuormitettu", samaa rakennetta kutsutaan usein numeerinen akseli tai yksinkertaisesti akseli.
Toiseksi voimme hyvin kuvitella, että pisteen koordinaatin antaa jokin jakso desimaali, Kuten
Lisäksi voimme kuvitella äärettömän ei-jaksollinen murto-osa, kuten
1 ,01 001 0001 00001 000001 0000001 ...
1 ,23 45 67 89 1011 1213 1415 1617 1819 2021 ...
Tällaisia kuvitteellisia lukuja, jotka esitetään äärettöminä ei-toistuvina desimaalilukuina, kutsutaan irrationaalinen. Irrationaaliset luvut muodostavat yhdessä meille jo tuttujen rationaalilukujen kanssa ns pätevä numeroita. Sanan "pätevä" sijasta käytämme myös sanaa " todellinen". Mikä tahansa ajateltavissa oleva pisteen sijainti suoralla voidaan ilmaista reaalilukuna. Ja päinvastoin, jos meille annetaan jokin reaaliluku x, voimme aina kuvitella pisteen X, jonka sijainti on annettu numerolla x.
Puolueellisuus
Päästää a- pisteen koordinaatti A, a b- pisteen koordinaatti B. Sitten arvo
v = b − a
On siirtymä, joka kääntää asian A tarkalleen B. Tämä tulee erityisen ilmeiseksi, jos edellinen yhtäläisyys kirjoitetaan uudelleen muotoon
b = a + v.
Joskus sanan "siirtymä" sijaan he käyttävät sanaa " vektori". On helppo nähdä, että asema x mielivaltainen piste X ei ole muuta kuin offset, joka kääntää pisteen O(koordinaatti on nolla) pisteeseen X:
x= 0 + x.
Siirtymiä voidaan lisätä toisiinsa tai vähentää toisistaan. Joten jos offset ( b − a) kääntää pisteen A tarkalleen B, ja offset ( c − b) piste B tarkalleen C, sitten offset
(b − a) + (c − b) = c − a
kääntää asian A tarkalleen C.
Merkintä. Asioiden logiikan mukaan tässä pitäisi selventää, miten yhteen- ja vähennyslasku tapahtuu irrationaalisia lukuja, koska harha voi hyvinkin olla järjetöntä. Tietenkin matemaatikot huolehtivat sopivien muodollisten menettelyjen kehittämisestä, mutta käytännössä emme käsittele tätä, koska ratkaisua varten käytännön tehtäviä likimääräiset laskelmat pyöristetyillä arvoilla ovat aina riittäviä. Toistaiseksi uskomme yksinkertaisesti siihen, että käsitteet "lisäys" ja "vähennys" - samoin kuin "kerto" ja "jako" - on määritelty oikein kahdelle reaaliluvulle (sillä varauksella, että et voi jakaa nolla).
Tässä olisi ehkä aiheellista huomata hienovarainen ero käsitteiden "siirtymä" ja "etäisyys" välillä. Etäisyys ei ole aina negatiivinen. Se on itse asiassa offset otettu absoluuttinen arvo. Joten jos offset
v = b − a
kääntää asian A tarkalleen B, sitten etäisyys s pisteiden välillä A ja B on yhtä suuri
s = |v| = |b − a|.
Tämä yhtäläisyys on totta riippumatta siitä, kumpi kahdesta luvusta on suurempi - a tai b.
Lentokone
Käytännössä taso on paperiarkki, jolle piirrämme geometriset piirustuksemme. kuvitteellinen matemaattinen taso eroaa paperiarkista siinä, että sen paksuus on nolla ja rajaton pinta, joka ulottuu sisään eri puoliaäärettömään. Lisäksi, toisin kuin paperiarkki, matemaattinen taso on ehdottoman jäykkä: se ei koskaan taipu tai rypisty - vaikka se revittäisiin pöydältä ja sijoittuisi avaruuteen millään tavalla.
Tason sijainnin avaruudessa antaa yksiselitteisesti kolme pistettä (elleivät ne ole yhdellä suoralla). Jos haluat nähdä tämän paremmin, piirretään kolme mielivaltaisia pisteitä, O, A ja B ja vedä niiden läpi kaksi suoraa viivaa OA ja OB, kuten kuvasta näkyy:
On jo hieman helpompaa "venyttää" tasoa mielikuvituksessa kahdelle leikkaavalle suoralle kuin "nojata" se kolmeen pisteeseen. Mutta vielä suuremman selkeyden vuoksi teemme lisää rakennuksia. Otetaan pari pistettä satunnaisesti: yksi missä tahansa viivalla OA, ja toinen - missä tahansa linjassa OB. Piirrä uusi viiva tämän pisteparin läpi. Seuraavaksi valitsemme samalla tavalla toisen pisteparin ja vedämme niiden läpi toisen viivan. Toistamalla tämän menettelyn monta kertaa, saamme jotain verkon kaltaista:
Tason asettaminen tällaiselle rakenteelle on jo melko yksinkertaista - varsinkin kun tämä kuvitteellinen verkko voidaan tehdä niin paksuksi, että se peittää koko tason ilman aukkoja.
Huomaa, että jos otamme tasossa pari ei-samankaavaa pistettä ja vedämme niiden läpi suoran, tämä suora on välttämättä samassa tasossa.
Abstrakti
Piste (A, B, jne.): kuvitteellinen esine, jonka koko kaikkiin suuntiin on nolla.
Suoraan (n, m tai ( AB)): äärettömän ohut viiva; kulkenut kahden pisteen läpi ( A ja B) viivainta pitkin yksiselitteisellä tavalla; ulottuu molempiin suuntiin äärettömään.
Jana ([AB]): osa viivasta, jota rajoittaa kaksi pistettä ( A ja B) - segmentin päät, joiden katsotaan myös kuuluvan segmenttiin.
Leikkauspituus(|AB|): päiden väliin mahtuvien senttimetrien (tai muun mittayksikön) (osittainen) lukumäärä ( A ja B).
Kahden pisteen välinen etäisyys: näihin pisteisiin päättyvän janan pituus.
Pisteen sijainti suoralla (koordinoida): etäisyys pisteestä johonkin ennalta valittuun keskipisteeseen (myös suoralla viivalla), johon on liitetty plus- tai miinusmerkki, riippuen siitä, kummalla puolella keskustaa piste sijaitsee.
Pisteen sijainti suoralla on annettu pätevä(todellinen)määrä, nimittäin desimaaliluku, joka voi olla joko (1) äärellinen tai ääretön jaksollinen ( rationaalisia lukuja), tai (2) ääretön ei-jaksollinen ( irrationaalisia lukuja).
Puolueellisuus, joka kääntää asian A(koordinaateilla a) tarkalleen B(koordinaateilla b): v = b − a.
Etäisyys on yhtä suuri kuin siirtymä absoluuttisena arvona: | AB| = |b − a|.
Lentokone: äärettömän ohut paperiarkki, joka ulottuu eri suuntiin äärettömään; määritellään yksiselitteisesti kolmella pisteellä, jotka eivät ole samalla suoralla.
Kriittisen pisteen käsite voidaan yleistää differentioituvien kuvausten tapaukseen ja mielivaltaisten monistojen differentioituvien kuvausten tapaukseen f: N n → M m (\näyttötyyli f:N^(n)\to M^(m)). Tässä tapauksessa kriittisen pisteen määritelmä on kartoituksen Jacobi-matriisin arvo f (\displaystyle f) siinä on vähemmän kuin maksimi mahdollinen arvo, yhtä kuin .
Kriittiset kohdat toiminnot ja kartoitukset pelata tärkeä rooli matematiikan aloilla, kuten differentiaaliyhtälöissä, variaatioiden laskennassa, stabiilisuusteoriassa sekä mekaniikassa ja fysiikassa. Tasaisten kartoitusten kriittisten pisteiden tutkiminen on yksi katastrofiteorian pääkysymyksistä. Kriittisen pisteen käsite on yleistetty myös äärettömän ulottuvuuden funktioavaruuksiin määriteltyjen funktionaalisten funktioiden tapaukseen. Tällaisten funktionaalisten toimintojen kriittisten pisteiden etsiminen on tärkeä osa variaatiolaskelma. Funktionaalisten funktioiden (jotka puolestaan ovat funktioita) kriittisiä pisteitä kutsutaan äärimmäiset.
Muodollinen määritelmä
kriittinen(tai erityistä tai paikallaan) jatkuvasti differentioituvan kuvauksen piste f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m)) kutsutaan pistettä, jossa tämän kuvauksen differentiaali f ∗ = ∂ f ∂ x (\displaystyle f_(*)=(\frac (\partial f)(\partial x))) On rappeutunut lineaarinen muunnos vastaavat tangenttivälit T x 0 R n (\displaystyle T_(x_(0))\mathbb (R) ^(n)) ja T f (x 0) R m (\displaystyle T_(f(x_(0)))\mathbb (R) ^(m)), eli muunnoskuvan ulottuvuus f ∗ (x 0) (\displaystyle f_(*)(x_(0))) Vähemmän min ( n , m ) (\displaystyle \min\(n,m\)). Koordinaattimerkinnässä for n = m (\näyttötyyli n=m) tämä tarkoittaa, että jacobian on kartoituksen jacobi-matriisin determinantti f (\displaystyle f), joka koostuu kaikista osittaisista johdannaisista ∂ f j ∂ x i (\displaystyle (\frac (\partial f_(j))(\partial x_(i))))- katoaa jossain vaiheessa. Tilat ja R m (\näyttötyyli \mathbb (R) ^(m)) tässä määritelmässä voidaan korvata lajikkeilla N n (\displaystyle N^(n)) ja M m (\näyttötyyli M^(m)) samat mitat.
Sardin lause
Näyttöarvoa kriittisessä pisteessä kutsutaan sen arvoksi kriittinen. Sardin lauseen mukaan minkä tahansa riittävän tasaisen kartoituksen kriittisten arvojen joukko f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m)) on nolla Lebesgue-mitta (vaikka kriittisiä pisteitä voi olla mikä tahansa määrä, esimerkiksi identtiselle kuvaukselle mikä tahansa piste on kriittinen).
Jatkuvat sijoituskartoitukset
Jos pisteen läheisyydessä x 0 ∈ R n (\displaystyle x_(0)\in \mathbb (R) ^(n)) jatkuvasti differentioituvan kartoituksen arvo f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m)) on yhtä suuri kuin sama luku r (\displaystyle r), sitten tämän pisteen läheisyydessä x 0 (\displaystyle x_(0)) on paikalliset koordinaatit keskitetty x 0 (\displaystyle x_(0)), ja sen kuvan läheisyydessä - pisteitä y 0 = f (x 0) (\displaystyle y_(0)=f(x_(0)))- siellä on paikalliset koordinaatit (y 1 , … , y m) (\displaystyle (y_(1),\ldots ,y_(m))) keskitetty f (\displaystyle f) annetaan suhteilla:
Y 1 = x 1 , … , y r = x r , y r + 1 = 0 , … , y m = 0. (\näyttötyyli y_(1)=x_(1),\ \ldots ,\ y_(r)=x_(r ),\ y_(r+1)=0,\ \ldots ,\ y_(m)=0.)
Varsinkin jos r = n = m (\näyttötyyli r=n=m), sitten on paikalliset koordinaatit (x 1 , … , x n) (\displaystyle (x_(1),\ldots ,x_(n))) keskitetty x 0 (\displaystyle x_(0)) ja paikalliset koordinaatit (y 1 , … , y n) (\displaystyle (y_(1),\ldots ,y_(n))) keskitetty y 0 (\displaystyle y_(0)), jotta ne näkyvät f (\displaystyle f) on identtinen.
Tapahtuu m = 1
Kun tämä määritelmä tarkoittaa gradienttia ∇ f = (f x 1 ′ , … , f x n ′) (\displaystyle \nabla f=(f"_(x_(1)),\ldots ,f"_(x_(n)))) katoaa tässä vaiheessa.
Oletetaan, että funktio f: R n → R (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ) sen sileysluokka on vähintään C 3 (\displaystyle C^(3)). Toiminnon kriittinen piste f nimeltään ei-degeneroitunut, jos se sisältää Hessenin | ∂ 2 f ∂ x 2 | (\displaystyle (\Bigl |)(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))(\Bigr |)) eroaa nollasta. Ei-degeneroituneen kriittisen pisteen läheisyydessä on koordinaatit, joissa funktio f on neliöllinen normaalimuoto (Morsen lemma).
Morsen lemman luonnollinen yleistys rappeutuneille kriittisille pisteille on Toujronin lause: funktion rappeutuneen kriittisen pisteen läheisyydessä f, erottuva ääretön luku kertaa() äärellinen monikerta µ (\displaystyle \mu ) on olemassa koordinaattijärjestelmä, jossa sileä toiminta on astepolynomin muotoinen μ + 1 (\displaystyle \mu +1)(kuten P μ + 1 (x) (\displaystyle P_(\mu +1) (x)) voidaan ottaa funktion Taylor-polynomi f (x) (\displaystyle f(x)) pisteessä alkuperäisissä koordinaateissa).
klo m = 1 (\näyttötyyli m = 1) on järkevää kysyä funktion maksimista ja minimistä. Kuuluisan lausunnon mukaan matemaattinen analyysi, jatkuvasti differentioituva funktio f (\displaystyle f), määritelty koko tilassa R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) tai sen avoimessa osajoukossa, voi saavuttaa paikallinen maksimi(minimi) vain kriittisissä pisteissä, ja jos piste ei ole rappeutunut, niin matriisi (∂ 2 f ∂ x 2) = (∂ 2 f ∂ x i ∂ x j) , (\displaystyle (\Bigl ()(\frac (\partial ^(2)f))(\partial x^(2)))( \Bigr))=(\Bigl ()(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x_(i)\partial x_(j)))(\Bigr)),) i , j = 1 , … , n , (\näyttötyyli i,j=1,\ldots ,n,) sen on oltava negatiivisesti (positiivisesti) selvä siinä. Jälkimmäinen on myös riittävä kunto paikallinen maksimi (vastaavasti minimi).
Tapahtuu n = m = 2
Kun n = m = 2 meillä on kartta f taso tasolle (tai kaksiulotteinen jakotukki toiseen kaksiulotteiseen jakotukkiin). Oletetaan, että näyttö f erotettavissa äärettömän monta kertaa ( C ∞ (\displaystyle C^(\infty ))). Tässä tapauksessa kartoituksen tyypilliset kriittiset pisteet f ovat sellaisia, joissa Jacobi-matriisin determinantti on yhtä suuri kuin nolla, mutta sen järjestys on yhtä suuri kuin 1, ja siten kartoituksen differentiaali f on yksiulotteinen ydin sellaisissa kohdissa. Toinen tyypillisyyden ehto on, että käänteiskuvatason tarkastellun pisteen läheisyydessä kriittisten pisteiden joukko muodostaa säännöllisen käyrän S, ja lähes kaikissa käyrän pisteissä S ydin ker f ∗ (\displaystyle \ker \,f_(*)) ei koske S, kun taas kohdat, joissa näin ei ole, ovat eristettyjä ja niiden tangentti on ensiluokkaista. Ensimmäisen tyypin kriittisiä pisteitä kutsutaan rypytyspisteet, ja toinen tyyppi kokoontumispisteet. Taitokset ja taitokset ovat ainoat taso-taso-kartoitusten singulaarisuustyypit, jotka ovat stabiileja pienten häiriöiden suhteen: pienessä häiriössä taite- ja taittopisteet liikkuvat vain vähän käyrän muodonmuutoksen mukana. S, mutta eivät katoa, eivät rappeudu eivätkä hajoa muihin yksittäisyyksiin.
