समचतुर्भुज is विशेष मामलासमांतर चतुर्भुज। यह एक फ्लैट है चतुर्भुज आकृतिजहां सभी पक्ष समान हैं। यह संपत्तिनिर्धारित करता है कि समचतुर्भुज समानांतर हैं विपरीत दिशाएंऔर बराबर विपरीत कोने. समचतुर्भुज के विकर्ण समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं, उनके प्रतिच्छेदन का बिंदु प्रत्येक विकर्ण के मध्य में होता है, और जिस कोण से वे बाहर निकलते हैं उन्हें आधे में विभाजित किया जाता है। अर्थात्, वे समचतुर्भुज के विकर्ण हैं, कोणों के समद्विभाजक हैं। उपरोक्त परिभाषाओं के आधार पर और सूचीबद्ध गुणसमचतुर्भुज उनके क्षेत्र का निर्धारण किया जा सकता है विभिन्न तरीके.

1. यदि समचतुर्भुज AC और BD के दोनों विकर्ण ज्ञात हैं, तो समचतुर्भुज का क्षेत्रफल विकर्णों के आधे गुणनफल के रूप में निर्धारित किया जा सकता है।

एस = ½ ∙ एसी ∙ बीडी

जहाँ AC, BD समचतुर्भुज के विकर्णों की लंबाई है।

यह समझने के लिए कि ऐसा क्यों है, आप मानसिक रूप से एक समचतुर्भुज में एक आयत को इस प्रकार अंकित कर सकते हैं कि बाद वाले की भुजाएँ समचतुर्भुज के विकर्णों के लंबवत हों। यह स्पष्ट हो जाता है कि समचतुर्भुज का क्षेत्रफल समचतुर्भुज में इस प्रकार उत्कीर्ण आयत के आधे क्षेत्रफल के बराबर होगा, जिसकी लंबाई और चौड़ाई समचतुर्भुज के विकर्णों के आकार के अनुरूप होगी।

2. एक समानांतर चतुर्भुज के साथ सादृश्य द्वारा, एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके पक्ष के उत्पाद के रूप में पाया जा सकता है, विपरीत पक्ष से लंबवत की ऊंचाई से नीचे दिए गए पक्ष तक।

एस = ए ∙ एच

जहाँ a समचतुर्भुज की भुजा है;
h दी गई भुजा पर गिराए गए लंब की ऊंचाई है।

3. एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल भी कोण α की ज्या से गुणा उसकी भुजा के वर्ग के बराबर होता है।

एस = ए2 ∙ पाप α

जहाँ, a समचतुर्भुज की भुजा है;
α पक्षों के बीच का कोण है।

4. साथ ही, एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल उसकी भुजा और उसमें अंकित वृत्त की त्रिज्या से ज्ञात किया जा सकता है।

एस = 2 ∙ ए ∙ आर

जहाँ, a समचतुर्भुज की भुजा है;
r समचतुर्भुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या है।

रोचक तथ्य
रोम्बस शब्द प्राचीन ग्रीक रोम्बस से आया है, जिसका अर्थ है "टैम्बोरिन"। उन दिनों, तंबूरा वास्तव में हीरे के आकार का होता था, न कि गोल, जैसा कि हम वर्तमान समय में उन्हें देखने के अभ्यस्त हैं। उस समय से, कार्ड सूट का नाम "टैम्बोरिन" भी आया है। बहुत विस्तृत समचतुर्भुज विभिन्न प्रकारहेरलड्री में उपयोग किया जाता है।

एक समांतर चतुर्भुज है जिसकी सभी भुजाएँ समान हैं।

समकोण वाले समचतुर्भुज को वर्ग कहा जाता है और इसे समचतुर्भुज का विशेष मामला माना जाता है। आप एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके सभी तत्वों - भुजाओं, विकर्णों, ऊँचाई का उपयोग करके विभिन्न तरीकों से ज्ञात कर सकते हैं। एक समचतुर्भुज के क्षेत्र के लिए क्लासिक सूत्र ऊंचाई के माध्यम से मूल्य की गणना है।

इस सूत्र का उपयोग करके एक समचतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने का एक उदाहरण बहुत सरल है। आपको केवल डेटा प्लग इन करने और क्षेत्र की गणना करने की आवश्यकता है।

एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल विकर्णों में

समचतुर्भुज के विकर्ण समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु पर समद्विभाजित करते हैं।

विकर्णों के संदर्भ में एक समचतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र 2 से विभाजित उसके विकर्णों का गुणनफल होता है।

विकर्णों के माध्यम से एक समचतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना के एक उदाहरण पर विचार करें। मान लीजिए कि विकर्णों वाला एक समचतुर्भुज दिया गया है
d1 = 5 सेमी और d2 = 4। आइए क्षेत्र का पता लगाएं।

पक्षों के माध्यम से एक समचतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र अन्य तत्वों के उपयोग को भी दर्शाता है। यदि एक वृत्त एक समचतुर्भुज में अंकित है, तो आकृति के क्षेत्रफल की गणना पक्षों और उसकी त्रिज्या से की जा सकती है:

पक्षों के माध्यम से एक समचतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने का एक उदाहरण भी काफी सरल है। केवल उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या की गणना करना आवश्यक है। इसे पाइथागोरस प्रमेय और सूत्र द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।

एक समचतुर्भुज का एक भुजा और एक कोण पर क्षेत्रफल

एक पक्ष और एक कोण के माध्यम से एक समचतुर्भुज के क्षेत्र के लिए सूत्र का प्रयोग अक्सर किया जाता है।

एक समचतुर्भुज के क्षेत्रफल को एक भुजा और एक कोण से परिकलित करने के एक उदाहरण पर विचार करें।

काम:एक समचतुर्भुज दिया है जिसके विकर्ण d1 =4 सेमी, d2 = 6 सेमी हैं। न्यून कोण α = 30° है। दी गई भुजा और कोण का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
सबसे पहले, आइए समचतुर्भुज की भुजा ज्ञात करें। इसके लिए हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं। हम जानते हैं कि प्रतिच्छेदन बिंदु पर विकर्ण समद्विभाजित करते हैं और एक समकोण बनाते हैं। इसलिये:
मानों को प्रतिस्थापित करें:
अब हम भुजा और कोण जानते हैं। आइए क्षेत्र खोजें:

पर स्कूल पाठ्यक्रमज्यामिति में, मुख्य समस्याओं में, उदाहरणों पर काफी ध्यान दिया जाता है एक समचतुर्भुज के क्षेत्रफल और परिधि की गणना करना।याद रखें कि समचतुर्भुज चतुर्भुजों के एक अलग वर्ग से संबंधित है और उनमें से सबसे अलग है समान पक्ष. एक समचतुर्भुज भी समांतर चतुर्भुज का एक विशेष मामला है यदि बाद वाले के सभी पक्ष बराबर हैं AB=BC=CD=AD । नीचे एक चित्र है जो एक समचतुर्भुज दिखाता है।

समचतुर्भुज गुण

चूँकि समचतुर्भुज समांतर चतुर्भुजों के एक निश्चित भाग पर कब्जा करता है, इसलिए उनमें गुण समान होंगे।

• एक समचतुर्भुज और एक समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
• एक भुजा से सटे समचतुर्भुज के कोणों का योग 180° होता है।
• एक समचतुर्भुज के विकर्ण 90 डिग्री के कोण पर प्रतिच्छेद करते हैं।
• एक समचतुर्भुज के विकर्ण एक ही समय में उसके कोणों के समद्विभाजक होते हैं।
• चौराहे के बिंदु पर समचतुर्भुज के विकर्ण आधे में विभाजित हैं।

एक समचतुर्भुज के लक्षण

एक समचतुर्भुज के सभी लक्षण उसके गुणों से उत्पन्न होते हैं और इसे चतुर्भुज, आयत, समांतर चतुर्भुज के बीच भेद करने में मदद करते हैं।

• एक समांतर चतुर्भुज जिसके विकर्ण समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं, एक समचतुर्भुज होता है।
• एक समांतर चतुर्भुज जिसके विकर्ण समद्विभाजक होते हैं एक समचतुर्भुज होता है।
• समान भुजाओं वाला एक समांतर चतुर्भुज एक समचतुर्भुज होता है।
• एक चतुर्भुज जिसकी सभी भुजाएँ समान हों एक समचतुर्भुज होता है।
• एक चतुर्भुज जिसके विकर्ण कोण समद्विभाजक हैं और समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं, एक समचतुर्भुज है।
• समांतर चतुर्भुज के साथ एक ही ऊंचाईएक समचतुर्भुज है।

समचतुर्भुज की परिधि का सूत्र

परिभाषा के अनुसार परिधि योग के बराबर हैसभी पार्टियां। चूँकि एक समचतुर्भुज में सभी भुजाएँ समान होती हैं, तो इसका परिमाप सूत्र द्वारा परिकलित किया जाता है

परिधि की गणना लंबाई की इकाइयों में की जाती है।

एक समचतुर्भुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या

एक समचतुर्भुज के अध्ययन में आम समस्याओं में से एक खुदा हुआ वृत्त की त्रिज्या या व्यास का पता लगाना है। नीचे दिया गया चित्र एक समचतुर्भुज में उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या के लिए कुछ सामान्य सूत्र दिखाता है।

पहला सूत्र दर्शाता है कि एक समचतुर्भुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या उत्पाद के बराबर हैसभी पक्षों के योग (4a) से विभाजित विकर्ण।

एक अन्य सूत्र से पता चलता है कि एक समचतुर्भुज में अंकित एक वृत्त की त्रिज्या समचतुर्भुज की आधी ऊंचाई के बराबर होती है

आकृति में दूसरा सूत्र पहले का एक संशोधन है और इसका उपयोग समचतुर्भुज में अंकित एक वृत्त की त्रिज्या की गणना करते समय किया जाता है जब समचतुर्भुज के विकर्ण ज्ञात होते हैं, अर्थात अज्ञात भुजाएँ।

उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या का तीसरा सूत्र वास्तव में विकर्णों के प्रतिच्छेदन से बनने वाले छोटे त्रिभुज की आधी ऊँचाई का पता लगाता है।

एक समचतुर्भुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या की गणना के लिए कम लोकप्रिय सूत्रों में से, निम्नलिखित का भी उल्लेख किया जा सकता है

यहाँ D समचतुर्भुज का विकर्ण है, अल्फा वह कोण है जो विकर्ण को काटता है।

यदि समचतुर्भुज का क्षेत्रफल (S) ज्ञात हो और उसका मान तीव्र कोण(अल्फा) फिर खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या की गणना करने के लिए, आपको खोजने की आवश्यकता है वर्गमूलक्षेत्र के उत्पाद के एक चौथाई और एक न्यून कोण की ज्या से:

उपरोक्त सूत्रों से, आप आसानी से एक समचतुर्भुज में अंकित एक वृत्त की त्रिज्या का पता लगा सकते हैं, यदि उदाहरण की शर्तों में एक आवश्यक डेटा सेट है।

समचतुर्भुज क्षेत्र सूत्र

क्षेत्रफल की गणना के लिए सूत्र चित्र में दिखाए गए हैं।

सबसे सरल दो त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग के रूप में प्राप्त होता है जिसमें विकर्ण समचतुर्भुज को विभाजित करता है।

दूसरा क्षेत्र सूत्र उन समस्याओं पर लागू होता है जिनमें समचतुर्भुज के विकर्ण ज्ञात होते हैं। तब समचतुर्भुज का क्षेत्रफल विकर्णों के गुणनफल का आधा होता है

यह याद रखने में काफी आसान है, और गणना के लिए भी।

तीसरा क्षेत्र सूत्र समझ में आता है जब पक्षों के बीच का कोण ज्ञात होता है। इसके अनुसार, एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल भुजा के वर्ग और कोण की ज्या के गुणनफल के बराबर होता है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह तेज है या नहीं, क्योंकि दोनों कोणों की साइन समान मान लेती है।