पिछले साल के यूएसई और जीआईए के अभ्यास से पता चलता है कि ज्यामिति की समस्याएं कई छात्रों के लिए मुश्किलें पैदा करती हैं। यदि आप सब कुछ याद रखते हैं तो आप आसानी से उनका सामना कर सकते हैं आवश्यक सूत्रऔर समस्या समाधान का अभ्यास करें।

इस लेख में, आप समलम्बाकार क्षेत्र का पता लगाने के लिए सूत्र, साथ ही समाधान के साथ समस्याओं के उदाहरण देखेंगे। प्रमाणन परीक्षा या ओलंपियाड में KIM में वही आपके सामने आ सकते हैं। इसलिए इनका इलाज सावधानी से करें।

ट्रेपोजॉइड के बारे में आपको क्या जानने की जरूरत है?

आरंभ करने के लिए, आइए याद रखें कि ट्रापेज़एक चतुर्भुज कहा जाता है जिसमें दो विपरीत दिशाएं, उन्हें आधार भी कहा जाता है, समानांतर हैं, और अन्य दो नहीं हैं।

एक समलम्ब चतुर्भुज में, ऊँचाई (आधार के लंबवत) को भी छोड़ा जा सकता है। मध्य रेखा खींची जाती है - यह एक सीधी रेखा है जो आधारों के समानांतर होती है और उनके योग के आधे के बराबर होती है। साथ ही विकर्ण जो प्रतिच्छेद कर सकते हैं, तेज और अधिक कोण. या, कुछ मामलों में, समकोण पर। इसके अलावा, यदि समलम्ब चतुर्भुज समद्विबाहु है, तो इसमें एक वृत्त अंकित किया जा सकता है। और इसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करें।

समलंब क्षेत्र सूत्र

शुरू करने के लिए, विचार करें मानक सूत्रएक समलम्बाकार क्षेत्र का पता लगाना। समद्विबाहु और वक्रीय समलम्बाकार क्षेत्र की गणना करने के तरीकों पर नीचे विचार किया जाएगा।

तो, कल्पना कीजिए कि आपके पास a और b आधारों वाला एक समलम्ब है, जिसमें ऊँचाई h को बड़े आधार तक कम किया जाता है। इस मामले में एक आकृति के क्षेत्र की गणना करना आसान है। आपको बस आधारों की लंबाई के योग को दो से विभाजित करना होगा और ऊंचाई से गुणा करना होगा: एस = 1/2(ए + बी)*एच.

आइए एक और मामला लें: मान लीजिए कि ऊंचाई के अलावा, ट्रेपेज़ॉइड की एक माध्य रेखा m है। हम मध्य रेखा की लंबाई ज्ञात करने का सूत्र जानते हैं: m = 1/2(a + b)। इसलिए, हम समलम्बाकार क्षेत्र के लिए सूत्र को सही ढंग से सरल बना सकते हैं निम्नलिखित प्रकार: एस = एम * एच. दूसरे शब्दों में, एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको मध्य रेखा को ऊँचाई से गुणा करना होगा।

आइए एक और विकल्प पर विचार करें: विकर्ण d 1 और d 2 एक समलम्ब चतुर्भुज में खींचे गए हैं, जो एक समकोण α पर नहीं काटते हैं। इस तरह के एक ट्रेपोजॉइड के क्षेत्र की गणना करने के लिए, आपको विकर्णों के उत्पाद को आधा करना होगा और उनके बीच के कोण के पाप से आपको जो मिलता है उसे गुणा करना होगा: एस= 1/2d 1 घ 2 *sinα.

अब एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र पर विचार करें यदि इसके बारे में इसके सभी पक्षों की लंबाई के अलावा कुछ भी ज्ञात नहीं है: a, b, c और d। यह भारी है और जटिल सूत्र, लेकिन आपके लिए इसे केवल तभी याद रखना उपयोगी होगा जब: एस \u003d 1/2 (ए + बी) * c 2 - ((1/2 (बी - ए)) * ((बी - ए) 2 + सी 2 - डी 2)) 2.

वैसे, उपरोक्त उदाहरण उस स्थिति के लिए भी सही हैं जब आपको क्षेत्र सूत्र की आवश्यकता होती है आयताकार समलम्ब चतुर्भुज. यह एक समलम्ब चतुर्भुज है, जिसकी भुजा समकोण पर आधारों को जोड़ती है।

समद्विबाहु समलम्ब

एक समलम्ब चतुर्भुज जिसकी भुजाएँ बराबर होती हैं, समद्विबाहु कहलाती है। हम क्षेत्र सूत्र के कई रूपों पर विचार करेंगे समद्विबाहु समलम्बाकार.

पहला विकल्प: उस स्थिति के लिए जब त्रिज्या r वाला एक वृत्त एक समद्विबाहु समलम्बाकार के अंदर अंकित होता है, और पार्श्व पक्ष और बड़ा आधार रूप तेज़ कोनेए। एक वृत्त को एक समलम्ब में अंकित किया जा सकता है बशर्ते कि इसके आधारों की लंबाई का योग भुजाओं की लंबाई के योग के बराबर हो।

एक समद्विबाहु समलम्बाकार के क्षेत्रफल की गणना इस प्रकार की जाती है: उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या के वर्ग को चार से गुणा करें और सभी को sinα से विभाजित करें: एस = 4r 2 /sinα. एक अन्य क्षेत्र सूत्र विकल्प के लिए एक विशेष मामला है जब बड़े आधार और पक्ष के बीच का कोण 30 0 है: एस = 8r2.

दूसरा विकल्प: इस बार हम एक समद्विबाहु समलम्ब लेते हैं, जिसमें, इसके अलावा, विकर्ण d 1 और d 2 खींचे जाते हैं, साथ ही ऊँचाई h भी। यदि एक समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लंबवत हैं, तो ऊँचाई आधारों के योग की आधी है: h = 1/2(a + b)। यह जानने के बाद, आपके लिए पहले से परिचित समलम्बाकार क्षेत्र सूत्र को इस रूप में परिवर्तित करना आसान है: एस = एच2.

एक वक्रीय समलंब चतुर्भुज के क्षेत्र के लिए सूत्र

आइए समझने से शुरू करें: एक वक्रीय समलम्बाकार क्या है। एक समन्वय अक्ष और एक सतत और गैर-ऋणात्मक फ़ंक्शन f के ग्राफ़ की कल्पना करें, जो भीतर के चिह्न को नहीं बदलता है दिया गया खंडएक्स-अक्ष पर। फ़ंक्शन y \u003d f (x) - शीर्ष पर, x अक्ष - नीचे (खंड), और पक्षों पर - बिंदु a और b और ग्राफ़ के बीच खींची गई सीधी रेखाओं द्वारा एक वक्रीय समलंब चतुर्भुज का निर्माण होता है समारोह का।

उपरोक्त विधियों का उपयोग करके इस तरह के गैर-मानक आंकड़े के क्षेत्र की गणना करना असंभव है। यहां आपको आवेदन करना होगा गणितीय विश्लेषणऔर अभिन्न का उपयोग करें। अर्थात् न्यूटन-लीबनिज सूत्र - एस = ∫ बी ए एफ (एक्स) डीएक्स = एफ (एक्स)│ बी ए = एफ (बी) - एफ (ए). इस सूत्र में, F चयनित अंतराल पर हमारे फलन का प्रतिअवकलन है। और क्षेत्र वक्रीय समलम्ब चतुर्भुजदिए गए अंतराल पर एंटीडेरिवेटिव की वृद्धि से मेल खाती है।

कार्य उदाहरण

इन सभी फ़ार्मुलों को अपने दिमाग में बेहतर बनाने के लिए, समलम्बाकार क्षेत्र का पता लगाने में आने वाली समस्याओं के कुछ उदाहरण यहां दिए गए हैं। यह सबसे अच्छा होगा यदि आप पहले स्वयं समस्याओं को हल करने का प्रयास करें, और उसके बाद ही तैयार किए गए समाधान के साथ प्राप्त उत्तर की जांच करें।

कार्य 1:एक ट्रेपोजॉइड दिया। इसका बड़ा आधार 11 सेमी, छोटा 4 सेमी है। ट्रेपेज़ियम में विकर्ण होते हैं, एक 12 सेमी लंबा, दूसरा 9 सेमी लंबा।

समाधान: एक समलम्बाकार AMRS बनाएँ। शीर्ष P से होकर एक रेखा PX खींचिए जिससे कि वह हो समानांतर विकर्ण MC और रेखा AC को बिंदु X पर पार करते हैं। आपको त्रिभुज ARCH प्राप्त होता है।

हम इन जोड़तोड़ों के परिणामस्वरूप प्राप्त दो आंकड़ों पर विचार करेंगे: त्रिभुज APX और समांतर चतुर्भुज CMPX।

समांतर चतुर्भुज के लिए धन्यवाद, हम सीखते हैं कि PX = MC = 12 सेमी और CX = MP = 4 सेमी। हम त्रिभुज ARCH के पक्ष AX की गणना कहाँ कर सकते हैं: AX \u003d AC + CX \u003d 11 + 4 \u003d 15 सेमी।

हम यह भी साबित कर सकते हैं कि त्रिभुज ARCH समकोण है (ऐसा करने के लिए, पाइथागोरस प्रमेय - AX 2 \u003d AP 2 + PX 2) लागू करें। और इसके क्षेत्र की गणना करें: एस एपीएक्स \u003d 1/2 (एपी * पीएक्स) \u003d 1/2 (9 * 12) \u003d 54 सेमी 2।

इसके बाद, आपको यह साबित करना होगा कि त्रिभुज AMP और PCX क्षेत्रफल में बराबर हैं। आधार MP और CX (पहले से ही ऊपर सिद्ध) पक्षों की समानता होगी। और यह भी कि आप इन पक्षों पर जो ऊँचाई कम करते हैं - वे AMRS ट्रेपेज़ॉइड की ऊँचाई के बराबर हैं।

यह सब आपको एस एएमपीसी \u003d एस एपीएक्स \u003d 54 सेमी 2 पर जोर देने की अनुमति देगा।

कार्य #2:एक समलम्ब चतुर्भुज KRMS दिया गया। बिंदु O और E इसके पार्श्व पक्षों पर स्थित हैं, जबकि OE और KS समानांतर हैं। यह भी ज्ञात है कि समलम्ब चतुर्भुज ORME और OXE के क्षेत्र 1:5 के अनुपात में हैं। पीएम = ए और केएस = बी। आपको एक ओई खोजने की जरूरत है।

हल: RK के समानांतर बिंदु M से होकर एक रेखा खींचिए, और OE के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदु को T के रूप में निर्दिष्ट कीजिए। A, KS के आधार के साथ RK के समानांतर बिंदु E से होकर खींची गई रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु है।

आइए एक और संकेतन का परिचय दें - OE = x। साथ ही TME त्रिभुज के लिए ऊँचाई h 1 और AEC त्रिभुज के लिए ऊँचाई h 2 (आप इन त्रिभुजों की समानता को स्वयं सिद्ध कर सकते हैं)।

हम मान लेंगे कि b > a. ट्रेपेज़ॉइड्स ORME और OXE के क्षेत्र 1:5 से संबंधित हैं, जो हमें निम्नलिखित समीकरण बनाने का अधिकार देता है: (x + a) * h 1 \u003d 1/5 (b + x) * h 2। आइए रूपांतरित करें और प्राप्त करें: h 1 / h 2 \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a))।

चूँकि त्रिभुज TME और AEC समरूप हैं, हमारे पास h 1 / h 2 = (x - a) / (b - x) है। दोनों प्रविष्टियों को मिलाएं और प्राप्त करें: (x - a) / (b - x) \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a)) 5 (x - a) (x + a) \u003d (बी + एक्स) (बी - एक्स) 5 (एक्स 2 - ए 2) \u003d (बी 2 - एक्स 2) 6x 2 \u003d बी 2 + 5 ए 2 ↔ एक्स \u003d √ (5 ए 2 + बी 2) / 6.

इस प्रकार, OE \u003d x \u003d (5a 2 + b 2) / 6.

निष्कर्ष

ज्यामिति विज्ञान में सबसे आसान नहीं है, लेकिन आप निश्चित रूप से इसका सामना कर सकते हैं परीक्षा कार्य. तैयारी में बस थोड़ा सा धैर्य चाहिए। और, ज़ाहिर है, सभी आवश्यक सूत्र याद रखें।

हमने समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए सभी सूत्रों को एक स्थान पर एकत्रित करने का प्रयास किया ताकि आप परीक्षा की तैयारी के दौरान उनका उपयोग कर सकें और सामग्री को दोहरा सकें।

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हमारे जीवन में, बहुत बार हमें व्यवहार में ज्यामिति के अनुप्रयोग से निपटना पड़ता है, उदाहरण के लिए, निर्माण में। सबसे आम ज्यामितीय आकृतियों में एक ट्रेपोजॉइड है। और परियोजना के सफल और सुंदर होने के लिए, इस तरह के आंकड़े के लिए तत्वों की सही और सटीक गणना आवश्यक है।

क्या है उत्तल चतुर्भुज, जिसमें समानांतर पक्षों की एक जोड़ी होती है, जिसे समलम्बाकार का आधार कहा जाता है। लेकिन इन आधारों को जोड़ने वाले दो अन्य पक्ष भी हैं। उन्हें पार्श्व कहा जाता है। इस आकृति से संबंधित प्रश्नों में से एक है: "ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें?" यह तुरंत ध्यान देना आवश्यक है कि ऊंचाई एक खंड है जो एक आधार से दूसरे आधार की दूरी निर्धारित करता है। ज्ञात मूल्यों के आधार पर इस दूरी को निर्धारित करने के कई तरीके हैं।

1. दोनों आधारों के मान ज्ञात हैं, हम उन्हें b और k, साथ ही साथ इस समलम्ब का क्षेत्रफल भी निरूपित करते हैं। ज्ञात मानों का उपयोग करके, इस मामले में समलंब की ऊंचाई ज्ञात करना बहुत आसान है। जैसा कि ज्यामिति से ज्ञात होता है, इसकी गणना आधारों के आधे योग और ऊँचाई के गुणनफल के रूप में की जाती है। इस सूत्र से, आप आसानी से वांछित मूल्य प्राप्त कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको क्षेत्र को आधारों के आधे योग से विभाजित करने की आवश्यकता है। सूत्र रूप में, यह इस तरह दिखेगा:

S=((b+k)/2)*h, इसलिए h=S/((b+k)/2)=2*S/(b+k)

2. मध्य रेखा की लंबाई ज्ञात है, आइए इसे d और क्षेत्रफल से निरूपित करें। जो नहीं जानते उनके लिए मैं मध्य रेखा को भुजाओं के मध्य बिन्दुओं के बीच की दूरी कहता हूँ। इस मामले में ट्रेपोजॉइड की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें? समलम्ब चतुर्भुज के गुण के अनुसार, मध्य रेखा आधारों के योग के आधे से मेल खाती है, अर्थात d=(b+k)/2. फिर से, हम क्षेत्र सूत्र का उपयोग करते हैं। आधारों के आधे योग को मध्य रेखा के मान से बदलने पर, हमें निम्नलिखित प्राप्त होता है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, परिणामी सूत्र से ऊँचाई निकालना बहुत आसान है। क्षेत्र को मध्य रेखा के मान से विभाजित करके, हम वांछित मान पाते हैं। आइए इस सूत्र को लिखें:

3. एक भुजा की लंबाई (b) और इस भुजा और सबसे बड़े आधार के बीच बनने वाले कोण को जाना जाता है। इस मामले में एक ट्रेपोजॉइड की ऊंचाई कैसे प्राप्त करें, इस सवाल का जवाब भी है। एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD पर विचार करें, जहाँ AB और CD भुजाएँ हैं, और AB=b। सबसे बड़ा कारणएडी है। AB और AD से बनने वाले कोण को α द्वारा दर्शाया जाएगा। बिंदु B से हम ऊँचाई h को आधार AD तक कम करते हैं। अब परिणामी त्रिभुज ABF पर विचार करें, जो एक समकोण त्रिभुज है। भुजा AB कर्ण है और BF टांग है। एक समकोण त्रिभुज के गुण से, पाद मान और कर्ण मान का अनुपात टांग के सम्मुख कोण की ज्या (BF) से मेल खाता है। इसलिए, पूर्वगामी के आधार पर, समलंब की ऊंचाई की गणना करने के लिए, हम मान को गुणा करते हैं ज्ञात पक्षऔर कोण की ज्या α। सूत्र रूप में, यह इस तरह दिखता है:

4. इसी तरह, मामले पर विचार किया जाता है यदि पक्ष और कोण का आकार ज्ञात है, तो इसे β द्वारा निरूपित करें, जो इस पक्ष और छोटे आधार के बीच बनता है। ऐसी समस्या को हल करते समय ज्ञात पार्श्व भुजा और खींची गई ऊँचाई के बीच का कोण 90° - β होगा। त्रिभुजों के गुणों से - पैर की लंबाई और कर्ण का अनुपात उनके बीच स्थित कोण के कोसाइन से मेल खाता है। इस सूत्र से ऊँचाई का मान निकालना आसान है:

h = b *cos(β-90°)

5. एक समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई कैसे ज्ञात करें यदि केवल खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या ज्ञात हो? वृत्त की परिभाषा के अनुसार, यह प्रत्येक आधार पर एक बिंदु को स्पर्श करता है। इसके अलावा, ये बिंदु वृत्त के केंद्र के साथ एक ही रेखा पर हैं। इससे यह इस प्रकार है कि उनके बीच की दूरी व्यास है और साथ ही, समलम्ब की ऊंचाई। ऐसा लगता है:

6. अक्सर ऐसी समस्याएं होती हैं जिनमें समद्विबाहु समलम्ब की ऊंचाई ज्ञात करना आवश्यक होता है। याद रखें कि समान भुजाओं वाले समलम्ब को समद्विबाहु कहा जाता है। समद्विबाहु समलंब की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें? पर लंबवत विकर्णऊँचाई आधारों के योग की आधी है।

लेकिन क्या होगा यदि विकर्ण लंबवत न हों? एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज ABCD पर विचार करें। इसके गुणों के अनुसार, आधार समानांतर हैं। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि आधारों पर कोण भी बराबर होंगे। आइए दो ऊँचाइयाँ BF और CM ड्रा करें। पूर्वगामी के आधार पर, यह तर्क दिया जा सकता है कि त्रिभुज ABF और DCM बराबर हैं, अर्थात, AF = DM = (AD - BC)/2 = (b-k)/2. अब, समस्या की स्थिति के आधार पर, हम पर फैसला करेंगे ज्ञात मात्रा, और उसके बाद ही हम समद्विबाहु समलम्बाकार के सभी गुणों को ध्यान में रखते हुए ऊँचाई पाते हैं।

ट्रापेज़चतुर्भुज कहा जाता है केवल दोपक्ष एक दूसरे के समानांतर हैं।

उन्हें आकृति का आधार कहा जाता है, बाकी - भुजाएँ। एक समांतर चतुर्भुज को एक आकृति का एक विशेष मामला माना जाता है। एक वक्रीय समलम्बाकार भी होता है, जिसमें एक फ़ंक्शन ग्राफ़ शामिल होता है। समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्रों में इसके लगभग सभी तत्व शामिल हैं, और सबसे अच्छा फैसलादिए गए मूल्यों के आधार पर चयनित।
ट्रेपेज़ॉइड में मुख्य भूमिकाएँ ऊँचाई और मध्य रेखा को सौंपी जाती हैं। मध्य पंक्ति- यह भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को जोड़ने वाली रेखा है। ऊंचाईसमलम्ब चतुर्भुज को . से समकोण पर रखा जाता है शीर्ष कोनाआधार को।
ऊंचाई के माध्यम से एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधारों की लंबाई के आधे योग के गुणनफल के बराबर होता है, जिसे ऊंचाई से गुणा किया जाता है:

यदि माध्यिका रेखा को शर्तों के अनुसार जाना जाता है, तो यह सूत्र बहुत सरल है, क्योंकि यह आधारों की लंबाई के आधे योग के बराबर है:

यदि, शर्तों के अनुसार, सभी पक्षों की लंबाई दी गई है, तो हम इन आंकड़ों के माध्यम से एक समलम्बाकार क्षेत्र की गणना के एक उदाहरण पर विचार कर सकते हैं:

मान लीजिए कि हमें a = 3 सेमी, b = 7 सेमी और भुजाओं c = 5 सेमी, d = 4 सेमी के आधार के साथ एक समलम्ब चतुर्भुज दिया गया है। क्षेत्र का पता लगाएंआंकड़े:

एक समद्विबाहु समलम्ब का क्षेत्रफल

एक अलग मामला एक समद्विबाहु है या, जैसा कि इसे एक समद्विबाहु समलम्बाकार भी कहा जाता है।
एक विशेष मामला समद्विबाहु (समद्विबाहु) समलम्बाकार क्षेत्र का भी पता लगा रहा है। सूत्र व्युत्पन्न विभिन्न तरीके- विकर्णों के माध्यम से, आधार से सटे कोणों और उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या के माध्यम से।
यदि विकर्णों की लंबाई शर्तों द्वारा निर्दिष्ट की जाती है और उनके बीच का कोण ज्ञात होता है, तो आप निम्न सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

याद रखें कि समद्विबाहु समलंब के विकर्ण एक दूसरे के बराबर होते हैं!

यानी उनके आधार, भुजा और कोण में से किसी एक को जानकर आप आसानी से क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं।

एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल

एक अलग मामला है वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज. यह समन्वय अक्ष पर स्थित है और एक निरंतर सकारात्मक कार्य के ग्राफ तक सीमित है।

इसका आधार X अक्ष पर स्थित है और दो बिंदुओं तक सीमित है:
इंटीग्रल एक घुमावदार ट्रेपोजॉइड के क्षेत्र की गणना करने में मदद करते हैं।
सूत्र इस प्रकार लिखा गया है:

एक वक्रीय समलम्बाकार क्षेत्र की गणना के एक उदाहरण पर विचार करें। कुछ अभिन्न के साथ काम करने के लिए सूत्र को कुछ ज्ञान की आवश्यकता होती है। सबसे पहले, आइए निश्चित अभिन्न के मूल्य का विश्लेषण करें:

यहाँ F(a) का मान है विरोधी व्युत्पन्न कार्य f(x) बिंदु a पर, F(b) बिंदु b पर समान फलन f(x) का मान है।

आइए अब समस्या का समाधान करें। यह आंकड़ा एक फ़ंक्शन से घिरा हुआ एक वक्रीय समलम्बाकार दिखाता है। समारोह
हमें चयनित आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की आवश्यकता है, जो एक वक्ररेखीय समलम्ब है, जो एक ग्राफ द्वारा शीर्ष पर घिरा है, दाईं ओर एक सीधी रेखा x = (-8) है, बाईं ओर एक सीधी रेखा x = ( -10) और अक्ष OX नीचे है।
हम सूत्र का उपयोग करके इस आकृति के क्षेत्रफल की गणना करेंगे:

हमें समस्या की स्थितियों से एक फ़ंक्शन दिया जाता है। उनके अनुसार हम मूल्यों का पता लगाएंहमारे प्रत्येक बिंदु पर एंटीडेरिवेटिव:


अभी
जवाब:दिए गए वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल 4 है।

इस मूल्य की गणना करने में कुछ भी मुश्किल नहीं है। गणना में केवल अत्यधिक सावधानी महत्वपूर्ण है।

और । अब हम इस प्रश्न पर विचार करना शुरू कर सकते हैं कि एक समलम्ब का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाए। रोजमर्रा की जिंदगी में यह कार्य बहुत कम होता है, लेकिन कभी-कभी यह आवश्यक हो जाता है, उदाहरण के लिए, एक कमरे के क्षेत्र को एक ट्रेपोजॉइड के रूप में खोजने के लिए, जो आधुनिक अपार्टमेंट के निर्माण में तेजी से उपयोग किया जाता है, या नवीकरण डिजाइन परियोजनाओं में।

ट्रैपेज़ is ज्यामितीय आकृति, चार प्रतिच्छेदन खंडों द्वारा निर्मित, जिनमें से दो एक दूसरे के समानांतर हैं और एक समलम्ब चतुर्भुज के आधार कहलाते हैं। अन्य दो खंडों को समलम्ब चतुर्भुज की भुजाएँ कहा जाता है। इसके अलावा, हमें बाद में एक और परिभाषा की आवश्यकता होगी। यह ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा है, जो पक्षों के मध्य बिंदुओं और ट्रेपोज़ॉइड की ऊंचाई को जोड़ने वाला एक खंड है, जो आधारों के बीच की दूरी के बराबर है।
त्रिभुजों की तरह, एक समलम्बाकार समद्विबाहु (समद्विबाहु) समलम्बाकार के रूप में विशेष प्रकार का होता है, जिसमें भुजाओं की लंबाई समान होती है, और एक आयताकार समलम्बाकार होता है, जिसमें एक भुजा आधारों के साथ समकोण बनाती है।

Trapezoids में कुछ दिलचस्प गुण हैं:

1. एक समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा आधारों के योग की आधी और उनके समानांतर होती है।
   
2. समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज में समान भुजाएँ और कोण होते हैं जो वे आधारों के साथ बनाते हैं।
   
3. एक समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के मध्यबिंदु और इसके विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु एक ही सीधी रेखा पर होते हैं।
   
4. यदि एक समलम्ब चतुर्भुज की भुजाओं का योग आधारों के योग के बराबर है, तो उसमें एक वृत्त अंकित किया जा सकता है
   
5. यदि किसी समलम्ब चतुर्भुज की भुजाओं द्वारा उसके किसी आधार पर बनने वाले कोणों का योग 90 है, तो आधारों के मध्य-बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड की लंबाई उनके आधे-अंतर के बराबर होती है।
   
6. एक समद्विबाहु समलम्ब को एक वृत्त द्वारा वर्णित किया जा सकता है। और इसके विपरीत। यदि एक समलम्ब चतुर्भुज को एक वृत्त में अंकित किया जाता है, तो वह समद्विबाहु है।
   
7. समद्विबाहु समलम्बाकार के आधारों के मध्य बिंदुओं से गुजरने वाला खंड इसके आधारों के लंबवत होगा और समरूपता की धुरी का प्रतिनिधित्व करता है।
   

समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें.

एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधारों के योग का आधा गुणा उसकी ऊँचाई का होगा। इसे सूत्र के रूप में व्यंजक के रूप में लिखा जाता है:

जहाँ S समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल है, a,b समलंब के प्रत्येक आधार की लंबाई है, h समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई है।

आप इस फॉर्मूले को इस प्रकार समझ और याद कर सकते हैं। नीचे दिए गए चित्र के अनुसार, मध्य रेखा का उपयोग करने वाले एक समलम्ब को एक आयत में परिवर्तित किया जा सकता है, जिसकी लंबाई आधारों के योग के आधे के बराबर होगी।

आप किसी भी समलम्बाकार को अधिक भागों में भी विघटित कर सकते हैं साधारण आंकड़े: एक आयत और एक या दो त्रिकोण, और यदि यह आपके लिए आसान है, तो इसके घटक आंकड़ों के क्षेत्रों के योग के रूप में समलम्ब का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

एक और है सरल सूत्रअपने क्षेत्र की गणना करने के लिए। इसके अनुसार, समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसकी मध्य रेखा के गुणनफल और समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई के बराबर होता है और इसे इस प्रकार लिखा जाता है: S \u003d m * h, जहाँ S क्षेत्रफल है, m की लंबाई है मध्य रेखा, h समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई है। यह सूत्ररोज़मर्रा के कार्यों की तुलना में गणित की समस्याओं के लिए अधिक उपयुक्त है, क्योंकि in वास्तविक स्थितियांआप प्रारंभिक गणना के बिना मध्य रेखा की लंबाई नहीं जान पाएंगे। और आप केवल आधारों और भुजाओं की लंबाई ही जान पाएंगे।

इस मामले में, ट्रेपोजॉइड का क्षेत्र सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

एस \u003d ((ए + बी) / 2) * c 2 - ((बी-ए) 2 + सी 2-डी 2 / 2 (बी-ए)) 2

जहां एस-क्षेत्र, ए, बी-बेस, सी, डी-पक्षसमलंब।

समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के और भी कई तरीके हैं। लेकिन, वे अंतिम सूत्र के रूप में असुविधाजनक हैं, जिसका अर्थ है कि उन पर ध्यान देने का कोई मतलब नहीं है। इसलिए, हम अनुशंसा करते हैं कि आप लेख से पहले सूत्र का उपयोग करें और चाहते हैं कि आपको हमेशा सटीक परिणाम मिले।

एक समलम्ब चतुर्भुज एक राहत चतुर्भुज है, जिसमें दो विपरीत पक्ष समानांतर होते हैं और अन्य दो गैर-समानांतर होते हैं। यदि किसी चतुर्भुज की सभी सम्मुख भुजाएँ जोड़ी में समान्तर हों, तो वह समांतर चतुर्भुज होता है।

आपको चाहिये होगा

• - समलम्ब चतुर्भुज के सभी पक्ष (AB, BC, CD, DA)।

अनुदेश

1. गैर समानांतर पक्षों ट्रापेज़पार्श्व पक्ष कहलाते हैं, और समानांतर - आधार। आधारों के बीच की रेखा, उनके लंबवत - ऊँचाई ट्रापेज़. अगर पक्ष पक्षों ट्रापेज़समान है, इसे समद्विबाहु कहते हैं। आइए सबसे पहले इसका समाधान देखें ट्रापेज़, जो समद्विबाहु नहीं है।

2. बिंदु B से निचले आधार AD तक भुजा के समांतर रेखा BE खींचिए ट्रापेज़सीडी. क्योंकि BE और CD समानांतर हैं और समानांतर आधारों के बीच खींचे गए हैं ट्रापेज़ BC और DA, तो BCDE एक समांतर चतुर्भुज है और इसके विपरीत पक्षोंबीई और सीडी बराबर हैं। बीई = सीडी।

3. त्रिभुज ABE पर विचार करें। पक्ष एई की गणना करें। एई = एडी-ईडी। नींव ट्रापेज़ BC और AD ज्ञात हैं, और समांतर चतुर्भुज में BCDE विपरीत हैं पक्षोंईडी और बीसी बराबर हैं। ईडी = बीसी, इसलिए एई = एडी-बीसी।

4. अब अर्ध-परिधि की गणना करके हीरोन के सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज ABE का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। एस = रूट (पी * (पी-एबी) * (पी-बीई) * (पी-एई))। इस सूत्र में, p त्रिभुज ABE का अर्ध परिमाप है। पी=1/2*(एबी+बीई+एई)। क्षेत्र की गणना करने के लिए, आप सभी आवश्यक डेटा जानते हैं: एबी, बीई = सीडी, एई = एडी-बीसी।

6. इस सूत्र से त्रिभुज की ऊँचाई को व्यक्त करें, जो ऊँचाई भी है ट्रापेज़. बीएच = 2 * एस / एई। इसकी गणना करें।

7. यदि समलम्ब चतुर्भुज समद्विबाहु है, तो निर्णय को अलग तरीके से निष्पादित करने की अनुमति है। त्रिभुज एबीएच पर विचार करें। यह आयताकार है क्योंकि कोनों में से एक, BHA, सीधा है।

8. शीर्ष C से ऊँचाई CF खींचिए।

9. एचबीसीएफ आंकड़े की जांच करें। HBCF आयत, इस तथ्य से कि इसमें से दो हैं पक्षोंऊंचाई हैं और अन्य दो आधार हैं ट्रापेज़, अर्थात्, कोण समकोण हैं, और विपरीत पक्षोंसमानांतर हैं। इसका मतलब है कि बीसी = एचएफ।

10. की ओर देखें समकोण त्रिभुजएबीएच और एफसीडी। बीएचए और सीएफडी ऊंचाई पर कोने सीधे हैं, और कोने पार्श्व पर हैं पक्षों x BAH और CDF बराबर हैं क्योंकि समलम्ब चतुर्भुज ABCD समद्विबाहु है, इसलिए त्रिभुज समरूप हैं। क्योंकि BH और CF की ऊँचाई या तो पार्श्व है पक्षोंसमद्विबाहु ट्रापेज़ AB और CD बराबर हैं, तो समरूप त्रिभुज भी बराबर होते हैं। तो उनका पक्षोंएएच और एफडी भी बराबर हैं।

11. एएच का पता लगाएं। एएच + एफडी = एडी-एचएफ। क्योंकि एक समांतर चतुर्भुज से HF=BC, और त्रिभुजों से AH=FD, तो AH=(AD-BC)*1/2।

एक समलम्ब एक ज्यामितीय आकृति है, जो एक चतुर्भुज है, जिसमें दो भुजाएँ, जिन्हें आधार कहा जाता है, समानांतर हैं, और अन्य दो समानांतर नहीं हैं। उन्हें पक्ष कहा जाता है। ट्रापेज़. भुजाओं के मध्य बिन्दुओं से होकर खींचे गए खण्ड को मध्य रेखा कहते हैं। ट्रापेज़. समलम्ब चतुर्भुज हो सकता है विभिन्न लंबाईपक्ष या समरूप, जिस स्थिति में इसे समद्विबाहु कहा जाता है। यदि पक्षों में से एक आधार के लंबवत है, तो समलम्ब चतुर्भुज आयताकार होगा। लेकिन यह जानना कहीं अधिक व्यावहारिक है कि कैसे पता लगाया जाए वर्ग ट्रापेज़ .

आपको चाहिये होगा

• मिलीमीटर डिवीजनों वाला शासक

अनुदेश

1. सभी पक्षों को मापें ट्रापेज़: एबी, बीसी, सीडी और डीए। अपने माप के परिणाम लिखिए।

2. खंड AB पर, मध्य-बिंदु K को चिह्नित करें। खंड DA पर, बिंदु L को चिह्नित करें, जो खंड AD के मध्य में भी है। बिंदु K और L को मिलाएं, परिणामी खंड KL मध्य रेखा होगी ट्रापेज़ऐ बी सी डी। खंड केएल को मापें।

3. ऊपर से ट्रापेज़- लालसा सी, इसके आधार एडी ओ सेगमेंट सीई के लंबवत को कम करें। वह ऊंचाई होगी ट्रापेज़ऐ बी सी डी। खंड सीई को मापें।

4. हम खंड KL को अक्षर m कहते हैं, और खंड CE को अक्षर h कहते हैं, तब वर्गएस ट्रापेज़सूत्र का उपयोग करके ABCD की गणना करें: S=m*h, जहां m मध्य रेखा है ट्रापेज़एबीसीडी, एच - ऊंचाई ट्रापेज़ऐ बी सी डी।

5. एक और सूत्र है जो आपको गणना करने की अनुमति देता है वर्ग ट्रापेज़ऐ बी सी डी। निचला आधार ट्रापेज़आइए AD को अक्षर b और ऊपरी आधार BC को अक्षर a कहते हैं। क्षेत्रफल सूत्र S=1/2*(a+b)*h द्वारा निर्धारित किया जाता है, जहां a और b आधार हैं ट्रापेज़, एच - ऊंचाई ट्रापेज़ .

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टिप 3: यदि आप क्षेत्र को जानते हैं तो समलम्बाकार की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें

एक समलम्ब चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसमें इसकी चार भुजाओं में से दो एक दूसरे के समानांतर होती हैं। समानांतर पक्षइसका आधार हैं ट्रापेज़, जबकि अन्य दो दिए गए के पार्श्व पक्ष हैं ट्रापेज़. खोज करना ऊंचाई ट्रापेज़, यदि इसका क्षेत्रफल ज्ञात हो जाए तो यह बहुत आसान हो जाएगा।

अनुदेश

1. हमें यह पता लगाने की जरूरत है कि इसे प्रारंभिक के क्षेत्र की गणना करने की अनुमति कैसे दी जाती है ट्रापेज़. प्रारंभिक डेटा के आधार पर इसके लिए कई सूत्र हैं: एस = ((ए + बी) * एच) / 2, जहां ए और बी आधारों की लंबाई हैं ट्रापेज़, और h इसकी ऊँचाई है (ऊँचाई ट्रापेज़- एक आधार से गिरा हुआ लंबवत ट्रापेज़दूसरे के लिए); एस \u003d एम * एच, जहां एम मध्य रेखा है ट्रापेज़(मध्य रेखा आधारों के समानांतर एक खंड है ट्रापेज़और इसकी भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को जोड़ना)।

2. अब, क्षेत्रफल की गणना के सूत्रों को जानना ट्रापेज़, ऊंचाई खोजने के लिए, उनसे नए प्राप्त करने की अनुमति है ट्रापेज़: एच = (2*एस)/(ए+बी);एच = एस/एम।

3. यह स्पष्ट करने के लिए कि समान समस्याओं को कैसे हल किया जाए, उदाहरण देखने की अनुमति है: उदाहरण 1: एक समलम्बाकार दिया गया है जिसका क्षेत्रफल 68 सेमी है, जिसकी औसत रेखा 8 सेमी है ऊंचाईदिया गया ट्रापेज़. निर्णय लेने के लिए इस कार्य, आपको पहले से व्युत्पन्न सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है: h \u003d 68/8 \u003d 8.5 सेमी उत्तर: इस की ऊंचाई ट्रापेज़ 8.5 सेमी है उदाहरण 2 : मान लीजिए ट्रापेज़क्षेत्रफल 120 सेमी है, किसी दिए गए के आधारों की लंबाई ट्रापेज़क्रमशः 8 सेमी और 12 सेमी हैं, इसका पता लगाना आवश्यक है ऊंचाईयह ट्रापेज़. ऐसा करने के लिए, व्युत्पन्न सूत्रों में से एक को लागू करें: एच \u003d (2 * 120) / (8 + 12) \u003d 240/20 \u003d 12 सेमी उत्तर: दी गई ऊंचाई ट्रापेज़ 12 सेमी . के बराबर

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टिप्पणी!
किसी भी समलम्ब चतुर्भुज में कई गुण होते हैं: - समलंब की मध्य रेखा उसके आधारों के योग के आधे के बराबर होती है; - समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों को जोड़ने वाला खंड उसके आधारों के आधे अंतर के बराबर होता है; - यदि एक सीधी रेखा आधारों के मध्य बिंदुओं के माध्यम से खींचा जाता है, फिर यह समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु को प्रतिच्छेद करेगा; - यदि इस समलम्बाकार के आधारों का योग इसके योग के बराबर है, तो इसे एक समलंब में एक वृत्त अंकित करने की अनुमति है पक्षों। समस्याओं को हल करते समय इन गुणों का उपयोग करें।

टिप 4: बिंदुओं के निर्देशांक दिए गए त्रिभुज की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें

त्रिभुज में ऊँचाई एक सीधी रेखा खंड है जो आकृति के शीर्ष को विपरीत भुजा से जोड़ता है। यह खंडनिश्चित रूप से पक्ष के लंबवत होना चाहिए, फलस्वरूप, किसी भी शीर्ष से केवल एक को खींचने की अनुमति है ऊंचाई. इस तथ्य से कि इस आकृति में तीन शीर्ष हैं, इसमें उतनी ही ऊंचाइयां हैं। यदि त्रिभुज को उसके शीर्षों के निर्देशांकों द्वारा दिया जाता है, तो किसी भी ऊँचाई की लंबाई की गणना, क्षेत्रफल ज्ञात करने और भुजाओं की लंबाई की गणना के लिए सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है।

अनुदेश

1. गणना के आधार पर, क्षेत्रफल त्रिकोणइसके प्रत्येक पक्ष की लंबाई के आधे उत्पाद के बराबर और ऊंचाई की लंबाई इस तरफ कम हो जाती है। इस परिभाषा से यह निम्नानुसार है कि ऊंचाई खोजने के लिए, आपको आकृति का क्षेत्रफल और भुजा की लंबाई जानने की आवश्यकता है।

2. पक्षों की लंबाई की गणना करके प्रारंभ करें त्रिकोण. आकृति के शीर्षों के निर्देशांक निम्नानुसार निर्दिष्ट करें: A(X?,Y?,Z?), B(X?,Y?,Z?) और C(X?,Y?,Z?)। तब आप सूत्र AB = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?) का उपयोग करके भुजा AB की लंबाई की गणना कर सकते हैं। अन्य 2 पक्षों के लिए, ये सूत्र इस तरह दिखाई देंगे: BC = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?) और AC =?(( एक्स?-एक्स?)? + (वाई?-वाई?)? + (जेड?-जेड?)?)। आइए बताते हैं त्रिकोणनिर्देशांक A(3,5,7), B(16,14,19) और C(1,2,13) ​​के साथ भुजा AB की लंबाई है ?((3-16)? + (5-14) ? + (7 -19)?) =? (-13? + (-9?) + (-12?)) =? (169 + 81 + 144) =? 394? 19.85 एक ही विधि द्वारा परिकलित भुजाओं BC और AC की लम्बाई किसके बराबर होगी? (15? + 12? + 6?) =? 405? 20.12 और ?(2? + 3? + (-6?)) = ?49 = 7.

3. पिछले चरण में प्राप्त 3 भुजाओं की लंबाई के कौशल क्षेत्र की गणना करने के लिए पर्याप्त हैं त्रिकोण(एस) हेरॉन के सूत्र के अनुसार: एस = ? * ?((एबी+बीसी+सीए) * (बीसी+सीए-एबी) * (एबी+सीए-बीसी) * (एबी+बीसी-सीए))। मान लीजिए, निर्देशांक से प्राप्त मूल्यों को इस सूत्र में प्रतिस्थापित करने के बाद त्रिकोण-पिछले चरण से उदाहरण, यह सूत्र निम्नलिखित मान देगा: S = ?*?((19.85+20.12+7) * (20.12+7-19.85) * (19.85+7-20 .12) * (19.85+ 20.12-7)) =?*?(46.97 * 7.27 * 6.73 * 32.97)? ?*?75768.55 ? ?*275.26 = 68.815।

4. क्षेत्र के आधार पर त्रिकोण, पिछले चरण में गणना की गई है, और दूसरे चरण में प्राप्त पक्षों की लंबाई, प्रत्येक पक्ष के लिए ऊंचाई की गणना करें। क्योंकि क्षेत्र ऊंचाई के आधे उत्पाद के बराबर है और जिस तरफ इसे खींचा गया है, ऊंचाई खोजने के लिए, वांछित पक्ष की लंबाई से क्षेत्र को दो बार विभाजित करें: एच \u003d 2 * एस / ए। ऊपर इस्तेमाल किए गए उदाहरण के लिए, AB की ओर कम की गई ऊंचाई 2 * 68.815 / 16.09 होगी? 8.55, ई.पू. की ओर की ऊंचाई की लंबाई 2*68.815/20.12 होगी? 6.84, और एसी पक्ष के लिए, यह मान 2*68.815/7 के बराबर होगा? 19.66.