Tugas pemrograman linier adalah menemukan minimum dari fungsi linier f: n > 1 didefinisikan pada beberapa himpunan cembung tertutup yang dibedakan oleh pertidaksamaan linier.
Masalah umum pemrograman linier seperti:
Diberikan sistem m persamaan linear dan pertidaksamaan dengan n variabel
dan fungsi linier F = c 1 x 1 + c 2 x 2 +… + c n x n min (maks)
Sistem (1) disebut sistem kendala, dan fungsi F disebut fungsi linear, bentuk linier, fungsi objektif atau fungsi tujuan.
Lebih singkat tugas bersama pemrograman linier dapat direpresentasikan sebagai:
x=(x|Axb, A=, b=( T )}
Masalah pemrograman linier juga ditulis dalam bentuk lain - kanonik dan normal. Tugas kanonik adalah penunjukan Zk, sebut saja yang berikut ini:
x=(x|Axb, ?0, j=))
Masalah normal adalah notasi Zn, sebut saja seperti itu
x=(x|Axb, ?0, j=))
Himpunan dan fungsi cembung
Definisi himpunan cembung: himpunan dikatakan cembung jika, bersama-sama dengan dua titik, himpunan tersebut memuat semua titik ruas yang menghubungkan suatu titik dengan titik dalam ruang.
Gambar berikut menunjukkan dua himpunan pada bidang, yang satu cembung dan yang lainnya tidak.
Beras. 1
Cembung dalam ruang adalah, misalnya, himpunan seperti: seluruh ruang, oktan positif dan oktan non-negatifnya, bola apa pun, baik terbuka dan tertutup, hyperplane apa pun (diberikan oleh beberapa persamaan bentuk, serta setengah terbuka dan tertutup -ruang, diberikan, masing-masing, oleh kondisi dan.
Di antara titik-titik himpunan cembung, seseorang dapat memilih titik interior, batas, dan sudut.
Titik dari himpunan disebut internal, jika beberapa lingkungannya hanya berisi titik dari himpunan ini.
Titik dari himpunan disebut batas, jika salah satu lingkungannya berisi kedua titik yang termasuk dalam himpunan yang diberikan dan titik-titik yang bukan miliknya.
Titik sudut sangat menarik dalam masalah pemrograman linier. Titik himpunan tersebut disebut bersudut(atau ekstrim) jika tidak internal untuk setiap segmen yang seluruhnya milik himpunan yang diberikan.
pada gambar. contoh berbagai titik poligon: internal (titik M), batas (titik N) dan sudut (titik A, B, C, D, E). Titik A bersudut, karena untuk setiap segmen yang seluruhnya termasuk dalam poligon, misalnya, segmen AP, itu tidak internal; titik A adalah internal ke segmen KL, tetapi segmen ini tidak sepenuhnya termasuk dalam poligon.
Untuk himpunan cembung, titik sudut selalu bertepatan dengan simpul poligon (polihedron), sementara pada saat yang sama, ini tidak diperlukan untuk himpunan non-cembung. Himpunan titik disebut tertutup jika mencakup semua titik batasnya. Himpunan titik disebut terbatas, jika ada bola (lingkaran) dengan jari-jari panjang berhingga yang berpusat di sembarang titik himpunan yang sepenuhnya memuat himpunan tersebut; jika tidak, himpunan disebut tak terbatas. Kumpulan titik-titik tertutup cembung pada bidang, yang memiliki bilangan berhingga titik sudut, disebut poligon cembung, jika terbatas, dan daerah poligonal cembung, jika tidak terbatas.
Suatu fungsi f: disebut cembung jika epigrafnya epi f= himpunan cembung. Gambar tersebut menunjukkan fungsi cembung, grafiknya disorot dengan warna biru dan overgraph diwarnai dengan warna hijau.
Suatu fungsi f: disebut tertutup jika epigrafnya adalah himpunan tertutup.
Arti geometris dari solusi pertidaksamaan, persamaan dan sistemnya
Mari kita pertimbangkan solusi pertidaksamaan.
Pernyataan 1. Himpunan solusi pertidaksamaan dengan dua variabel a11x1+a12x2<=b1 является одной из двух полуплоскостей, на которые вся плоскость делится прямой a11x1+a12x2=b1, включая и эту прямую, а другая полуплоскость с той же прямой есть множество решений неравенства a11x1+a12x2>= b1.
Untuk menentukan setengah bidang yang diinginkan (atas atau bawah), disarankan untuk menetapkan titik kontrol sewenang-wenang yang tidak terletak pada batasnya - garis yang dibangun. Jika pertidaksamaan dipenuhi di suatu titik kendali, maka pertidaksamaan itu juga dipenuhi di semua titik pada setengah bidang yang memuat titik kendali, dan tidak terpenuhi di semua titik pada separuh bidang lainnya. Dan sebaliknya, jika pertidaksamaan tidak terpenuhi pada titik kontrol, maka pertidaksamaan tersebut tidak terpenuhi di semua titik pada setengah bidang yang memuat titik kontrol, dan terpenuhi di semua titik pada setengah bidang lainnya. Sebagai titik kontrol, lebih mudah untuk mengambil asal koordinat O (0; 0), yang tidak terletak pada garis yang dibangun.
Pertimbangkan himpunan solusi untuk sistem pertidaksamaan.
Pernyataan 2. Himpunan solusi dari sistem gabungan m pertidaksamaan linier dengan dua variabel adalah poligon cembung (atau area poligonal cembung).
Masing-masing pertidaksamaan, sesuai dengan Pernyataan 1, mendefinisikan salah satu setengah bidang, yang merupakan kumpulan titik cembung. Himpunan solusi dari sistem gabungan pertidaksamaan linier adalah titik-titik yang termasuk dalam setengah bidang solusi dari semua pertidaksamaan, mis. milik persimpangan mereka. Menurut pernyataan persimpangan set cembung himpunan ini cembung dan berisi sejumlah titik sudut berhingga, mis. adalah poligon cembung (area poligonal cembung).
Koordinat titik sudut - simpul poligon ditemukan sebagai koordinat titik potong garis yang sesuai.
Ketika membangun area solusi untuk sistem pertidaksamaan, kasus lain juga dapat terjadi: himpunan solusi adalah daerah poligonal cembung (Gbr. a); satu titik (Gbr. b); himpunan kosong ketika sistem pertidaksamaan tidak konsisten (Gbr. c).
Mendefinisikan konsep dualitas menggunakan transformasi Legendre
Biarkan f:. Fungsi f*: didefinisikan oleh persamaan f*(x*)==(x*) disebut fungsi adjoint ke f, dan fungsi f**: didefinisikan oleh aturan f**(x*)==( x*) disebut fungsi adjoint kedua untuk f.
Pemetaan f* (x*) =< x*, x>? f(x) disebut transformasi Legendre.
Teknik yang biasa untuk membangun masalah ganda adalah sebagai berikut. Masalah minimalisasi
di mana X adalah ruang linier, termasuk dalam kelas masalah yang serupa dengannya, tergantung pada parameternya:
di mana Y adalah ruang linier lain, F (x, 0)=f(x) (fungsi F disebut gangguan dari f). Biasanya F diasumsikan cembung. Ganda dari masalah sehubungan dengan gangguan yang diberikan disebut. tugas
dimana F* adalah fungsi rangkap (konjugasi) ke F dalam pengertian Legendre - Young - Fenchel. Dualitas tersebut memungkinkan kita untuk mengasosiasikan dengan setiap fungsi cembung f: X-> R objek ganda - fungsi adjoint didefinisikan pada ruang ganda X* dan didefinisikan oleh rumus
Untuk masalah paling sederhana dari pemrograman cembung seperti
di mana X adalah ruang linier, fungsi cembung pada X, himpunan B-cembung dalam X (kasus khusus (3) adalah masalah pemrograman linier), gangguan standar berikut biasanya diterapkan, tergantung pada parameter y=(y 1 ,…, y m), m, Teorema dualitas untuk kelas umum masalah pemrograman cembung nyatakan bahwa di bawah asumsi tertentu pada gangguan F, nilai masalah (2) dan (2*) bertepatan, dan terlebih lagi, solusi dari salah satu masalah adalah pengali Lagrange untuk yang lain.
Saat meneliti fenomena ekonomi metode matematika sifat dari banyak himpunan dan fungsi seperti kecembungan ternyata sangat signifikan. Sifat dari perilaku banyak objek ekonomi disebabkan oleh fakta bahwa ketergantungan tertentu yang menggambarkan objek-objek ini adalah cembung.
Keberadaan atau keunikan suatu solusi sering dikaitkan dengan konveksitas fungsi dan himpunan tugas ekonomi: banyak algoritma komputasi didasarkan pada properti yang sama.
Validitas banyak pernyataan tentang himpunan dan fungsi cembung cukup jelas, hampir jelas. Pada saat yang sama, pembuktian mereka seringkali sangat sulit. Oleh karena itu, beberapa fakta dasar yang berkaitan dengan konveksitas akan dinyatakan di sini, tanpa bukti, dengan mengandalkan daya persuasif intuitifnya.
Set cembung di pesawat.
Setiap sosok geometris di pesawat dapat dianggap sebagai satu set poin milik gambar ini. Beberapa set (misalnya, lingkaran, persegi panjang, garis di antara garis paralel) berisi titik internal dan batas; lain (misalnya, segmen garis, lingkaran) hanya terdiri dari titik batas.
Himpunan titik pada bidang disebut cembung jika memiliki sifat sebagai berikut: ruas yang menghubungkan dua titik dari himpunan ini seluruhnya terdapat dalam himpunan ini.
Contoh himpunan cembung adalah: segitiga, segmen, setengah bidang (bagian dari bidang yang terletak di satu sisi garis lurus), seluruh bidang.
Himpunan yang terdiri dari satu titik, dan himpunan kosong yang tidak mengandung titik, menurut konvensi, juga dianggap cembung. Bagaimanapun, dalam set ini tidak mungkin untuk menggambar segmen yang menghubungkan beberapa titik dari set ini dan bukan milik set ini sepenuhnya - umumnya tidak mungkin untuk memilih dua titik di dalamnya. Oleh karena itu, penyertaan mereka dalam jumlah himpunan cembung tidak akan mengarah pada kontradiksi dengan definisi, dan ini cukup untuk penalaran matematis.
persimpangan, yaitu bagian umum dua set cembung selalu cembung: mengambil dua titik persimpangan (dan mereka umum, yaitu, mereka milik masing-masing set berpotongan) dan menghubungkannya dengan segmen, kita dapat dengan mudah melihat bahwa semua titik segmen adalah umum untuk kedua set, jadi bagaimana masing-masing dari mereka cembung. Perpotongan sejumlah himpunan cembung juga akan cembung.
Sifat penting dari himpunan cembung adalah keterpisahannya: jika dua himpunan cembung tidak memiliki kesamaan poin internal, maka bidang tersebut dapat dipotong sepanjang garis lurus sedemikian rupa sehingga salah satu himpunan akan terletak seluruhnya pada satu setengah bidang, dan yang lainnya pada setengah bidang lainnya (titik dari kedua himpunan dapat ditempatkan pada garis potong). Garis lurus yang memisahkan mereka dalam beberapa kasus ternyata menjadi satu-satunya yang mungkin, dalam kasus lain tidak.
Titik batas dari setiap himpunan cembung itu sendiri dapat dianggap sebagai himpunan cembung yang tidak memiliki titik interior yang sama dengan himpunan aslinya, oleh karena itu, dapat dipisahkan darinya oleh suatu garis lurus. Garis yang memisahkan titik batasnya dari himpunan cembung disebut garis pendukung himpunan ini pada titik yang diberikan. Garis referensi di beberapa titik kontur bisa unik, di titik lain - tidak unik.
Mari kita perkenalkan sistem koordinat Cartesian x, y pada bidang. Sekarang kita memiliki kesempatan untuk mempertimbangkan berbagai angka sebagai himpunan titik-titik yang koordinatnya memenuhi persamaan atau ketidaksetaraan tertentu (jika koordinat suatu titik memenuhi kondisi apa pun, kita akan mengatakan untuk singkatnya bahwa titik itu sendiri memenuhi kondisi ini).
Himpunan AÌE disebut cembung jika, bersama-sama dengan dua titik x 1 dan x 2, ia berisi segmen yang menghubungkannya, mis. kumpulan formulir
[x 1 x 2 ]={x E n | x=l x 1+(1-l) x 2 , 0 £l £1).
Setengah ruang yang dipertimbangkan di atas adalah himpunan cembung. Mari kita periksa, misalnya, apakah setengah ruang H + ab ( x E n |
Mari kita tambahkan dua pertidaksamaan ini, terlebih dahulu mengalikan yang pertama dengan angka sembarang lО, dan yang kedua dengan 1-l. Akibatnya, kami memperoleh ketidaksetaraan
aku
Karena l adalah arbitrer, seluruh segmen yang menghubungkan titik-titik yang dipilih termasuk dalam ruang setengah yang diberikan. Oleh karena itu, ruang-setengah memang merupakan himpunan cembung.
Gambar 2.10 himpunan cembung (a), tidak cembung (b).
Bab 3 Fungsi Dasar.
3.1 Konsep fungsi.
Misalkan X dan Y adalah dua himpunan. Jika sebuah aturan ditentukan yang menurutnya setiap elemen dari himpunan X dikaitkan dengan elemen tertentu dari himpunan Y, maka mereka mengatakan bahwa fungsi diberikan f, pemetaan X ke Y. Fakta ini ditulis sebagai f: X®Y atau y=f(x), dimana x X, yОY. Himpunan X disebut daerah data atau daerah definisi fungsi, dan himpunan Y adalah himpunan nilai. Fungsi f(x) adalah aturan yang memungkinkan setiap nilai x dikaitkan arti tunggal y=f(x). Dalam hal ini, x adalah variabel bebas dan y adalah variabel terikat. Fungsi y=f(x)=f(x 1 +x 2 ,..,x n), mis. fungsi dengan domain X E n dan himpunan nilai Y E disebut fungsi numerik berbeda dengan fungsi vektor, dimana YÌ E m , m>1.
Banyak jenisnya
((x,y)нE n +1 y=f(x) untuk beberapa xнX)
disebut grafik fungsi y=f(x).
Baris proses fisik dapat dideskripsikan dengan fungsi kontinu, yaitu fungsi yang memiliki sifat kontinuitas pada setiap titik x yang termasuk dalam domain definisinya.
Suatu fungsi f disebut kontinu di suatu titik x 0 нX jika untuk sembarang bilangan e>0 dapat ditentukan suatu bilangan d e >0 sehingga untuk semua xнX de 1x 0 1 pertidaksamaan f(x)-f(x 0)1 Sebagai contoh fungsi kontinu pada E n , kami menyajikan fungsi linier f 1 (x)= di mana Q adalah matriks simetris numerik berukuran n * m, c adalah suatu vektor dari E n dan b adalah suatu bilangan, dan Qx berarti produk suatu matriks dengan vektor menurut aturan perkalian matriks yang diadopsi dalam aljabar linier. 3.2 Klasifikasi fungsi. 3.2.1 Fungsi diskontinu dan fungsi diskrit. fungsi diskontinu. Misalnya, biaya pelaporan ke beberapa sistem kuantitas panas pada suhu yang berbeda dari sistem, kami memperoleh kurva kontinu sepotong-sepotong (Gbr. 3.1). ada kasus ketika variabel mengambil nilai diskrit (Gambar 3.2). Bergantung pada apakah fungsi yang diteliti berkelanjutan atau tidak, metode penelitian yang berbeda harus digunakan. Perlu dicatat bahwa metode yang efektif dalam analisis fungsi kontinu mungkin menjadi tidak efektif dalam studi fungsi diskontinu, meskipun kebalikannya tidak dikecualikan. Fungsi juga dapat diklasifikasikan menurut bentuknya, yang menentukan sifat topologi fungsi dalam interval yang dipertimbangkan. 3.2.2 Fungsi monoton. Fungsi f(x) adalah monoton (Gambar 3.3) baik dengan naik dan turun) jika untuk dua titik sewenang-wenang x 1 dan x 2 sedemikian rupa sehingga x 1 Gambar 3.3. Pada konsep fungsi monoton. Gambar 3.4 menunjukkan grafik fungsi yang menurun secara monoton pada x£0 dan meningkat secara monoton pada x30. Fungsi mencapai minimum pada titik x=x * (asal 0) dan monoton pada kedua sisi titik minimum. Fungsi seperti itu disebut unimodal. Perhatikan bahwa fungsi unimodal tidak harus mulus sama sekali (Gbr. 3.4, a) dan bahkan kontinu (Gbr. 3.4, b), dapat dipecah (non-diferensiabel), diskontinu (Gbr. 3.4, c), diskrit (Gbr. 3.4 d) dan bahkan mungkin tidak didefinisikan dalam beberapa interval (Gbr. 3.4, e.). Jadi suatu fungsi f(x) disebut unimodal pada segmen jika kontinu pada dan terdapat bilangan a dan b a£a£b£b sehingga: 1) jika 2) jika b
3) untuk xн f(x)=f * =min f(x); Gbr.3.4 Fungsi unimodal: a) mulus, b) kontinu, c) diskontinu, d) diskrit, e) arbitrer. adalah mungkin untuk merosot ke titik satu atau dua dari segmen , , (Gambar 3.5). Gambar 3.5. Varian pengaturan dan degenerasi ke titik segmen monoton dan keteguhan fungsi unimodal. himpunan fungsi yang unimodal pada segmen akan dilambangkan dengan Q. Keunimodalitas fungsi adalah properti yang sangat penting yang banyak digunakan dalam studi optimasi. 3.2.3 Fungsi cembung, pseudo-cembung, dan kuasi-cembung. Fungsi cembung dan generalisasinya (fungsi pseudo-cembung dan kuasi-cembung) memainkan peran penting dalam teori optimasi. Fungsi-fungsi ini akan digunakan untuk merumuskan kondisi optimalitas yang cukup. Sebuah fungsi numerik f didefinisikan pada himpunan cembung X, XÌE n disebut cembung jika untuk dua titik x 1 ,x 2 X dan bilangan arbitrer lн pertidaksamaan f(lx 1 +(1-l)x 2) £lf(x 1)+(1-l)f(x 2). (3.1) Pertidaksamaan dari pengertian yang berlawanan mendefinisikan fungsi cekung, dan istilah "cembung ke bawah (1)" "cembung ke atas (2)" sering digunakan (Gambar 3.6). Gambar 3.6. 1) Fungsi cembung (cembung ke bawah), 2) Fungsi cekung (cekung ke atas). Secara geometris, kecembungan fungsi f berarti bahwa setiap titik dari tali busur sembarang dari grafik f terletak tidak lebih rendah dari titik yang sesuai dari grafik itu sendiri (itu terletak di bawah tali busur yang menghubungkan dua titik grafiknya), (Gambar 3.6. , Kurva 1). Contoh paling sederhana dari fungsi cembung dari satu variabel adalah parabola y=x 2 dan eksponen y=e x . Fungsi y=-x 2 dan y=-e x cekung. Jika untuk semua x 1, x 2 X x 1 x 2 dan lО pertidaksamaan (3.1) berlaku ketat (<), то f называется sangat cembung
pada X (Gambar 3.7, a). Fungsi tersebut disebut (ketat) melengkung
, jika - f adalah (benar-benar) cembung (Gbr. 3.7, b). Gbr.3.7. Fungsi cembung tegas (a) dan cekung tegas, turunannya (garis putus-putus) dan fungsi yang memiliki penampang linier Fungsi f(x), didefinisikan pada himpunan cembung X, disebut sangat cembung dengan konstanta aku> 0 jika Mari kita berikan interpretasi geometris dari definisi (3.2) dengan mempertimbangkan fungsi y=f(x) satu variabel. Pemasangan x 1 dan x 2 dari domain fungsi dan menyatakan , kita akan mengubah l dari 0 menjadi 1. Jelas bahwa maka nilai x(l), akan berubah dari x 1 sebelum x 2, dan titik ( X, f(x)) akan melalui grafik fungsi y=f(x) dari titik B= ( x2, f(x2)) to the point TETAPI= (x 1 , f(x 1))(gbr.3.8). Gbr.3.8. Grafik fungsi sangat cembung. persamaan di bidang xOy menggambarkan garis lurus L(garis potong) menghubungkan titik-titik TETAPI dan PADA, dan persamaan tentukan parabola R jenis · Teorema 3.1
Fungsi terdiferensiasi kontinu pada himpunan cembung X f adalah cembung pada himpunan ini jika dan hanya jika untuk sembarang x 1 ,x 2 X ketidaksetaraan sejati f(x 2) f(x 1) +<Ñf(x 1 ,x 2 -x 1)>, (3.3) diperoleh dari dekomposisi fungsi f(x) dalam deret Taylor di suatu titik x 1 dengan menghilangkan persyaratan ekspansi orde kedua dan lebih tinggi F(x 1 +h) = f(x 1) + hf (x 1) + h 2 /2*f¢¢(x 1) +..., (3.3) di mana h adalah bilangan yang cukup kecil, |h| f(x 1) = (¶f/¶x 1 , f/¶x 2 ,.., f/¶x n) m, itu. adalah vektor turunan parsial orde pertama, dihitung pada titik x 1 dan disebut gradien fungsi f pada titik x 1 . · Teorema 3.2
Misalkan suatu fungsi f terdiferensialkan dua kali secara kontinu pada himpunan cembung X yang memuat paling sedikit satu titik interior, dan misalkan m 2 f(x) adalah Hessian-nya. Kemudian untuk konveksitas f pada himpunan X, matriks m 2 f(x) adalah definit non-negatif untuk semua xнX, yaitu, untuk ketidaksetaraan <Ñ 2 f(x)h, h>0 (3.4) diadakan untuk semua titik xнX, hнE n . Di sini matriks numerik 2 f(x) disebut Hessian (atau matriks Hessian). Jika suatu fungsi f memiliki turunan parsial orde kedua kontinu (dapat diturunkan dua kali secara kontinu) pada titik x 1 , maka fungsi tersebut dapat diturunkan dua kali pada x 1 dan memiliki bentuk matriks Hessian selain itu, matriks ini simetris, yaitu, Pernyataan serupa juga berlaku untuk fungsi cekung. Dalam hal ini, dalam rumus (3.2) dan (3.4), tanda pertidaksamaan harus diganti dengan £. Memeriksa fungsi untuk konveksitas. Suatu fungsi f cembung jika matriks Hessiannya pasti positif (>0) atau semidefinit positif untuk semua nilai x 1 ,x 2 ,..,x n. Memeriksa fungsi untuk konveksitas. Suatu fungsi f cembung jika matriks Hessiannya adalah semidefinite negatif (£0) untuk semua x 1 ,x 2 ,..,x n . Fungsi cembung atau cekung yang ketat memiliki satu ekstrem, yang masing-masing merupakan minimum atau maksimum global. Sebuah fungsi yang memiliki bagian linier (Gambar 3.7, c) memiliki jumlah ekstrem yang tak terbatas yang sama besarnya. Untuk menilai satu ekstremitas dengan adanya pembatasan, seseorang dapat menggunakan konsep konveksitas dari himpunan yang dapat diterima. Suatu himpunan dikatakan cembung jika setiap ruas garis lurus yang menghubungkan dua titik batas himpunan terletak seluruhnya di dalam himpunan tersebut. Kecembungan atau kecekungan fungsi tujuan juga dapat dinilai dari sifat perubahan turunan parsialnya f/¶x. Dalam kasus fungsi yang sangat cembung, turunan ini meningkat seiring dengan meningkatnya argumen (Gbr. 3.7 a), dan untuk fungsi yang sangat cembung turun (Gbr. 3.7 b). Jika ada segmen linier dari fungsi tujuan, turunan yang ditunjukkan pada segmen ini adalah konstan. Himpunan bentuk cembung X=(xнE n ) | Ax£b)=(xнE n | £b i , i=1,..,m) di mana A adalah matriks m*n dengan baris a 1 ,..,a m , b=(b 1 ,..,b m) E n (m=1,2,..). Merupakan kebiasaan untuk menyebut polihedral atau hanya polihedra. Jadi, polihedron adalah himpunan solusi untuk beberapa sistem pertidaksamaan linier dengan jumlah terhingga, atau, sama saja, perpotongan dari sejumlah ruang-setengah yang berhingga (Gambar 3.9). Gbr.3.9. Set polihedral (polihedron). Misalnya, poligon pada Gambar. 2.1, a adalah cembung, dan poligon pada Gambar. 2.1, b tidak cembung (terletak pada kedua sisi garis lurus BC). Sifat umum yang membedakan poligon cembung dari poligon non-cembung adalah jika Anda mengambil dua titiknya dan menghubungkannya dengan segmen, maka seluruh segmen akan menjadi bagian poligon ini. Properti ini dapat diambil sebagai definisi dari kumpulan titik cembung. Himpunan titik disebut cembung jika, bersama dengan dua titiknya, berisi seluruh segmen yang menghubungkan titik-titik ini. Menurut definisi ini, poligon pada Gambar. 2.1, a adalah himpunan cembung, dan poligon pada Gambar. 2.1, b tidak seperti itu, karena segmen WE antara dua titiknya M dan / V tidak sepenuhnya termasuk dalam poligon ini. Misalkan M dan N adalah dua titik potong sembarang dari dua himpunan A dan B (Gbr. 2.3). Karena titik M dan N termasuk dalam perpotongan himpunan, mis. baik himpunan cembung A maupun himpunan cembung B, maka menurut definisi himpunan cembung, semua titik segmen MI akan menjadi milik himpunan A dan himpunan B, yaitu persimpangan set ini. Dan ini berarti perpotongan dari himpunan tersebut adalah himpunan cembung. Di antara titik-titik himpunan cembung, seseorang dapat memilih titik interior, batas, dan sudut. Suatu titik dari suatu himpunan disebut internal jika beberapa lingkungannya hanya berisi titik-titik dari himpunan ini. Gambar- 2-3 Titik himpunan disebut batas, jika salah satu tetangganya berisi kedua titik yang termasuk dalam himpunan yang diberikan dan titik-titik yang bukan miliknya. Titik sudut sangat menarik dalam masalah pemrograman linier. Suatu titik dari suatu himpunan disebut titik sudut (atau ekstrim) jika titik tersebut tidak internal pada segmen mana pun yang sepenuhnya termasuk dalam himpunan tersebut. pada gambar. 2.4 menunjukkan contoh berbagai titik poligon: internal (titik M), batas (titik I) dan sudut (titik A, B, C, D E). Titik A bersudut, karena untuk setiap segmen yang sepenuhnya termasuk dalam poligon, misalnya, segmen AP, itu tidak internal; titik A internal ke segmen Kb, tetapi segmen ini tidak sepenuhnya termasuk dalam poligon. Untuk himpunan cembung, titik sudut selalu bertepatan dengan simpul poligon (polihedron), sementara ini tidak diperlukan untuk himpunan non-cembung. Jadi, dalam gambar. 2.5 titik A adalah simpul dari poligon tidak cembung, tetapi bukan sudut (ini adalah bagian dalam dari segmen Kb, yang sepenuhnya termasuk dalam poligon ini). Himpunan titik disebut tertutup jika mencakup semua titik batasnya. Himpunan titik-titik disebut terbatas jika terdapat sebuah bola (lingkaran) dengan jari-jari panjang berhingga yang berpusat di sembarang titik dari himpunan yang sepenuhnya memuat himpunan tersebut; jika tidak, himpunan disebut tak terbatas. Jika suatu bangun dibatasi hanya pada garis lurus atau ruas-ruasnya, maka jumlah titik sudutnya berhingga; dalam kasus batas lengkung, gambar tersebut mengandung banyak titik sudut yang tak terhingga, yang memungkinkan kita untuk membuat definisi berikut. Himpunan titik-titik tertutup cembung dalam ruang (bidang) yang memiliki jumlah titik sudut berhingga disebut polihedron cembung (poligon) jika dibatasi, dan daerah polihedral (poligonal) cembung jika tidak terbatas. Sejauh ini kita telah mempertimbangkan himpunan titik-titik cembung pada bidang dan ruang. Secara analitik, titik-titik tersebut diwakili oleh pasangan bilangan berurutan (xx x2) atau rangkap tiga bilangan (*1, *2, *h).Konsep titik dapat digeneralisasi, artinya dengan titik (atau vektor). ) himpunan terurut dari n bilangan ., xn), di mana bilangan xx, x2, ..., xn disebut koordinat titik (vektor). Generalisasi seperti itu masuk akal, karena jika kita mengambil objek ekonomi apa pun, maka dua atau tiga angka biasanya tidak cukup untuk mengkarakterisasinya, dan perlu untuk mengambil n angka, di mana n > 3. Himpunan semua titik X = (xx x2,..., xn) adalah ruang titik (vektor) berdimensi-n. Untuk n > 3, titik dan bangun ruang n-dimensi tidak memiliki arti geometris nyata, dan semua studi objek di ruang ini harus dilakukan dalam bentuk analitik. Namun demikian, ternyata bijaksana dalam hal ini untuk digunakan konsep geometris untuk memfasilitasi ide-ide tentang objek "-dimensi ruang. AKU AKU AKU. Himpunan dan Fungsi Cembung 569 3.
Semua fungsi dari satu variabel dengan elastisitas konstan memiliki bentuk (8) (gunakan persamaan (4)). 4.
Fungsi beberapa variabel dengan elastisitas parsial konstan adalah fungsi pangkat dari bentuk y = Ax1 B 1 x2 B 2 ,...,xN B N . AKU AKU AKU. Himpunan dan fungsi cembung Dalam studi fenomena ekonomi dengan metode matematika, sifat dari banyak himpunan dan fungsi seperti kecembungan ternyata sangat signifikan. Sifat perilaku banyak objek ekonomi terkait dengan fakta. bahwa dependensi tertentu yang menggambarkan objek-objek ini adalah cembung. Keberadaan atau keunikan solusi masalah ekonomi sering dikaitkan dengan konveksitas fungsi dan himpunan: banyak algoritma komputasi didasarkan pada sifat ini. Validitas banyak pernyataan tentang himpunan dan fungsi cembung cukup jelas, hampir jelas. Pada saat yang sama, pembuktian mereka seringkali sangat sulit. Oleh karena itu, beberapa fakta dasar yang berkaitan dengan konveksitas akan dinyatakan di sini, tanpa bukti, dengan mengandalkan daya persuasif intuitifnya. 1. Set cembung di pesawat Angka geometris apa pun di bidang dapat dianggap sebagai kumpulan titik yang termasuk dalam gambar ini. Beberapa set (misalnya, lingkaran, persegi panjang, garis di antara garis paralel) berisi titik internal dan batas; lainnya (misalnya, segmen, lingkaran) hanya terdiri dari titik batas. Himpunan titik pada bidang disebut cembung jika memiliki sifat berikut: segmen yang menghubungkan dua titik dari himpunan ini seluruhnya terdapat dalam himpunan ini (Gbr. 1). Contoh himpunan cembung adalah: segitiga, segmen, setengah bidang (bagian dari bidang yang terletak di satu sisi garis lurus), seluruh bidang. Contoh lain dari himpunan cembung ditunjukkan pada gambar. 2a. pada gambar. 2b menunjukkan contoh himpunan tak cembung. Himpunan yang terdiri dari satu titik, dan himpunan kosong yang tidak mengandung titik, menurut konvensi, juga dianggap cembung. Bagaimanapun, dalam set ini tidak mungkin untuk menggambar segmen yang menghubungkan beberapa titik dari set ini dan bukan milik set ini sepenuhnya, - di dalamnya Aplikasi Matematika 570 Beras. 1. Segmen yang menghubungkan dua titik pada bangun cembung seluruhnya terdapat di dalamnya. Beras. 2. Set cembung (a) dan tidak cembung (b) pada bidang. tidak mungkin untuk memilih dua titik sama sekali. Oleh karena itu, penyertaan mereka di antara himpunan cembung tidak akan mengarah pada kontradiksi dengan definisi, dan ini cukup untuk penalaran matematis. Perpotongan, yaitu, bagian umum dari dua set cembung, selalu cembung: mengambil dua titik persimpangan (dan mereka umum, yaitu, mereka milik masing-masing set berpotongan) dan menghubungkannya dengan segmen, kita dapat dengan mudah melihat bahwa semua titik segmen i sama untuk kedua himpunan, karena masing-masing cembung. Anda - persimpangan sejumlah set cembung juga akan cembung. Sifat penting dari himpunan cembung adalah keterpisahannya: jika dua himpunan cembung tidak memiliki titik interior yang sama, maka bidang tersebut dapat dipotong sepanjang garis lurus sedemikian rupa sehingga salah satu himpunan terletak seluruhnya pada satu setengah bidang, dan lainnya di yang lain (pada garis potong) titik dari kedua set dapat ditemukan). Garis yang memisahkan mereka dalam beberapa kasus x ternyata menjadi satu-satunya yang mungkin, dalam kasus lain tidak (Gbr. 3). Titik batas dari setiap himpunan cembung itu sendiri dapat dianggap sebagai himpunan cembung yang tidak memiliki himpunan aslinya Beras. 3. Garis pemisah. Beras. 4. Garis referensi. AKU AKU AKU. Himpunan dan fungsi cembung 571 oleh titik interior umum, oleh karena itu, dapat dipisahkan darinya oleh beberapa garis lurus. Garis yang memisahkan titik batasnya dari himpunan cembung disebut garis pendukung himpunan ini pada titik yang diberikan. Garis referensi di beberapa titik kontur bisa menjadi satu-satunya, di titik lain mereka bukan satu-satunya (Gbr. 4). Mari kita perkenalkan sistem koordinat Cartesian x, y pada bidang. Sekarang kita memiliki kesempatan untuk mempertimbangkan berbagai angka sebagai himpunan titik-titik yang koordinatnya memenuhi persamaan atau pertidaksamaan tertentu (jika koordinat suatu titik memenuhi beberapa kondisi, kita akan mengatakan untuk singkatnya bahwa titik itu sendiri memenuhi kondisi ini). Latihan 1 Perhatikan gambar-gambar yang titik-titiknya memenuhi pertidaksamaan: a) y x2 ; b)xy 1; c)xy 1, x > 0; d) |x| + |ó|£ 2; e) (õ+1)2 + (ó – 2)2 £ 9. Manakah yang cembung? Persamaan linier ax + by = c dipenuhi oleh titik-titik garis. Dengan kata lain, garis lurus adalah solusi dari persamaan ini. Memecahkan pertidaksamaan linier Penyelesaian setiap pertidaksamaan adalah setengah bidang. Solusi sistem adalah sekumpulan titik, yang masing-masing memenuhi semua pertidaksamaan sistem, yaitu solusi sistem pertidaksamaan adalah perpotongan semua solusi pertidaksamaan individu yang membentuk sistem. Setengah bidang adalah himpunan cembung, dan perpotongan himpunan cembung selalu cembung. Jadi, solusi sistem (2) adalah himpunan cembung. pada gambar. 5 menunjukkan solusi dari sistem pertidaksamaan - 2x - y -7. Beras. 5. Penyelesaian sistem tiga pertidaksamaan linier. 572 Aplikasi Matematika Perhatikan bahwa pertidaksamaan ax + oleh £ c dapat diganti dengan pertidaksamaan ekuivalen –àõ – oleh³ –ñ yang berbentuk (1). Selain itu, persamaan ax + by = c ekuivalen dengan pasangan pertidaksamaan berikut: ( ax + by c; ax + by £ c. Dengan demikian, solusi sistem persamaan dan pertidaksamaan linier selalu merupakan himpunan cembung. Latihan 2 Akankah solusi dari sistem ai x + bi y > ci , i = l, 2, ..., N himpunan cembung? Apa bedanya dengan solusi sistem s (2)? Latihan 3 Buatlah sistem pertidaksamaan yang solusinya adalah: a) jajaran genjang; b) bagian dalam sudut; c) garis antara dua garis lurus sejajar; d) satu titik; e) himpunan kosong. 2. Fungsi cembung dari satu variabel Cara termudah untuk mendefinisikan fungsi cembung adalah secara geometris. Untuk ini, ada baiknya memperkenalkan konsep prasasti suatu fungsi. Epigraf suatu fungsi adalah himpunan titik-titik yang terletak di atas grafik fungsi dan pada grafik itu sendiri. Lebih tepatnya, epigraf fungsi f(x) adalah himpunan titik-titik yang koordinat-x-nya terletak pada domain fungsi, dan yang koordinat-y-nya memenuhi pertidaksamaan y f(x). Suatu fungsi disebut cembung ke bawah jika epigrafnya adalah himpunan cembung. Beras. 6 mengilustrasikan definisi ini. Beras. 6. Epigraf fungsi cembung. Beras. 7. Titik chord tidak boleh berada di bawah grafik. AKU AKU AKU. Himpunan dan fungsi cembung 573 Definisi di atas cukup ketat dan dapat diterjemahkan secara jelas ke dalam bahasa analitis. Pertama, fungsi f(x) harus memiliki definisi domain cembung - segmen, sinar, atau seluruh garis. Jika tidak, prasasti akan pecah menjadi beberapa area terpisah, dan segmen yang menghubungkan titik-titik dari area yang berbeda akan melewati "zona terlarang". Untuk mengetahui kondisi apa yang harus dipenuhi oleh nilai fungsi cembung ke bawah f(x), “kita pilih sembarang dua titik M1 M2 pada grafiknya dan gambarlah tali busur M1 M2 (Gbr. 7). Itu harus terletak seluruhnya di prasasti, yaitu, setiap titik M dari akord harus termasuk dalam prasasti. Perhatikan angka l yang menunjukkan proporsi di mana titik M membagi tali busur: l = M 2 M . M2 M1 Nilai ini terletak dalam 0 £ l £ 1. Jelaslah bahwa dalam proporsi yang sama absis dan ordinat titik M membagi segmen [ó1 , ó2 ]: 2 – 3 =l (õ2 – x1 ); y2 – y3 =l (y2 – y1 ); 3 =l x1 + (1 –l )õ2 ; y3 =l y1 + (1 –l )y2 . Kondisi suatu titik yang termasuk dalam pertidaksamaan y3 f(õ3 ). Sehingga pertidaksamaan dapat direpresentasikan dalam M overgraph - beginilah caranya y 1 \u003d f (x 1), y 2 \u003d f (õ 2) - ini Jika pertidaksamaan (3) dipenuhi untuk setiap nilai x1 õ2 , maka setiap akord terletak di prasasti, dan terlebih lagi, setiap segmen yang menghubungkan titik-titik yang terletak di atas terletak di prasasti. Jadi, suatu fungsi f(x) yang didefinisikan pada himpunan cembung adalah cembung ke bawah jika memiliki properti berikut: untuk dua bilangan x1 × 2 dari domain fungsi dan sembarang bilangan l dari interval, pertidaksamaan (3) berlaku. Ketimpangan (3) sering ditulis dalam bentuk "simetris" 574 Aplikasi Matematika Beras. 8. Fungsi: cembung ke bawah (a), cembung ke atas (b), tidak memiliki tanda permanen tonjolan (c). Fungsi yang cembung ke atas dapat didefinisikan dengan cara yang sama: untuk ini, tanda pertidaksamaan (3) dan (4) harus diganti dengan yang berlawanan. Fungsi yang cembung ke bawah sering disebut hanya sebagai "cembung". Fungsi cembung memiliki sifat yang lebih umum daripada pertidaksamaan (4). Jika x1 , 2 ,..., xN adalah nilai arbitrer dari argumen l 1 ,l 2 ,..., lN - bilangan non-negatif, yang jumlahnya sama dengan satu, maka Kami memilih empat nilai argumen x1< õ2
< õ3
< õ4
è ïðî- menggambar akord M1 M4 (Gbr. 9). Titik tengah M2 dan 3 terletak pada prasasti, sehingga sudut kecenderungan akord M M * tidak lebih, dan akord M * M Tidak kurang dari MM* sudut akord absis (sudut kemiringan - dengan mempertimbangkan tanda-tanda!). Karena itu, kecepatan meningkatkan fungsi cembung di bidang nilai "besar" dari ar- gumenta (di area [х3, 4]) bukan kurang dari di area "kecil" nilai(). Beralih ke di dalam x 2® x 1è ® x 3 , f¢(x3) f¢(x1) , Beras. 9. Akord digambar di area turunan (x) membedakan fungsi cembung f (x) - tidak - nilai besar argumen, memiliki AKU AKU AKU. Himpunan dan Fungsi Cembung 575 Jika turunan f¢(x) dapat diturunkan (yaitu, fungsi cembung f(x) dapat diturunkan dua kali), maka f¢¢(x) 0. Untuk fungsi yang dapat diturunkan dua kali, pertidaksamaan ini menjadi ekuivalen dengan definisi fungsi cembung di atas; dalam kursus analisis matematis konveksitas biasanya ditentukan oleh tanda turunan kedua. Tetapi dalam aplikasi ekonomi, di mana seseorang sering kali harus berurusan dengan fungsi yang grafiknya terputus, definisi seperti itu tidak banyak digunakan. Jika f(x) dan g(x) adalah fungsi cembung dan a 0, maka fungsi a) f(x) + g(x); c) maks(f(x), g(x)). Kecembungan fungsi pada a) dan b) dibuktikan secara langsung menggunakan pertidaksamaan (3) atau (4). Fungsi c) untuk setiap x mengambil nilai yang sama dengan nilai yang lebih besar dari f(x) dan g(x) (dan salah satunya jika sama). Epigraf fungsi max(f(x), g(x)) adalah perpotongan dari epigraf fungsi f(x) dan g(x) (periksa!) - maka konveksitas fungsi c). Latihan 4 Apakah ada fungsi yang cembung ke bawah dan cembung ke atas secara bersamaan? Latihan 5 Bagaimana grafik fungsi f(x) = max (0, a + bx) untuk nilai parameter a dan b yang berbeda? Apakah fungsi-fungsi ini cembung? Latihan 6 Apakah fungsi cembung? Beras. 10. Grafik fungsi f(x) (1), g(x) N (2) maks(f(x), g(x)) (3). f(x) = fi (x) , fi(x) = maks(0, ai + bi x)? Seperti apa jadwalnya? 576 Aplikasi Matematika Sebuah latihan Mempertimbangkan kapak, f(x) = i ïï
B × (x - 1) , x 1. Untuk berapa nilai a dan b fungsi ini? Melengkung ke bawah? Melengkung? -
tidak memiliki tanda cembung permanen? IV. Ruang berkah Konsep dasar Banyak pertanyaan teoretis dibahas dalam buku teks kami untuk kasus dua produk. Sebagai alat yang mudah digunakan yang sangat menyederhanakan analisis mereka, kami menggunakan konstruksi grafis, di mana satu set termasuk dua produk dalam jumlah x1, x2 diwakili oleh sebuah titik pada bidang dengan Koordinat Cartesius(x1 , x2 ). Terjemahan konsep teoritis ke dalam bahasa geometris membuat sifat-sifat fenomena yang dibahas menjadi sangat jelas dan pada saat yang sama tidak menyebabkan hilangnya ketelitian: semua konsep geometris (garis lurus, kurva, sudut kemiringan, dll.) telah didefinisikan secara tepat padanan analitik - persamaan , turunan, hubungan antar parameter, dll. Oleh karena itu, konstruksi semacam itu banyak digunakan baik dalam buku teks ekonomi maupun dalam publikasi ilmiah. Namun, penalaran geometris ini ketat dan akurat hanya untuk kasus-kasus di mana daftar barang yang dikonsumsi hanya mencakup dua item. Pada kenyataannya, jumlah manfaat yang digunakan orang jauh lebih besar. Kesimpulan-kesimpulan yang diperoleh secara geometris dapat dianggap memiliki keumuman yang cukup jika kesimpulan-kesimpulan itu dapat diperluas ke kasus-kasus sejumlah barang yang sewenang-wenang.
Dalam aplikasi teknik, tidak jarang digunakan
f(x 1)³ (x 2) (fungsi menurun secara monoton)
, yang melalui titik TETAPI dan PADA. Pertidaksamaan (3.2) dalam hal ini berarti grafik fungsi y = f(x) pada bidang xOy terletak di bawah tidak hanya garis potong yang menghubungkan titik-titik TETAPI dan PADA, tetapi juga parabola , yang defleksinya ditentukan oleh parameter aku dan dapat dipilih sewenang-wenang kecil. Dengan kata lain, di daerah yang dibatasi oleh garis potong dan grafik fungsi, Anda dapat membangun parabola yang menghubungkan titik-titik TETAPI dan PADA.
