Catatan. bahan ini berisi teorema dan buktinya, serta sejumlah masalah yang menggambarkan penerapan teorema pada jumlah sudut poligon cembung pada contoh praktis.

Teorema jumlah sudut poligon cembung

.

Bukti.

Untuk membuktikan teorema tentang jumlah sudut poligon cembung, kita menggunakan teorema yang telah terbukti bahwa jumlah sudut suatu segitiga adalah 180 derajat.

Biarkan A 1 A 2 ... A n diberikan poligon cembung, dan n > 3. Gambarlah semua diagonal poligon dari titik sudut A 1. Mereka membaginya menjadi n – 2 segitiga: A 1 A 2 A 3, A 1 A 3 A 4, ... , A 1 A n – 1 A n . Jumlah sudut poligon sama dengan jumlah sudut semua segitiga ini. Jumlah sudut setiap segitiga adalah 180°, dan jumlah segitiga adalah (n - 2). Jadi, jumlah sudut n-gon cembung A 1 A 2... A n adalah 180° (n – 2).

Tugas.

Dalam poligon cembung, tiga sudut adalah 80 derajat dan sisanya 150 derajat. Berapa banyak sudut pada poligon cembung?

Keputusan.

Teorema mengatakan: Untuk n-gon cembung, jumlah sudutnya adalah 180°(n-2) .

Jadi untuk kasus kami:

180(n-2)=3*80+x*150, di mana

3 sudut 80 derajat diberikan kepada kami sesuai dengan kondisi masalah, dan jumlah sudut lainnya masih belum diketahui oleh kami, jadi kami menyatakan jumlahnya sebagai x.

Namun, dari entri di sisi kiri, kami menentukan jumlah sudut poligon sebagai n, karena kami mengetahui nilai tiga dari mereka dari kondisi masalah, jelas bahwa x=n-3.

Sehingga persamaannya akan terlihat seperti ini:

180(n-2)=240+150(n-3)

Kami memecahkan persamaan yang dihasilkan

180n - 360 = 240 + 150n - 450

180n - 150n = 240 + 360 - 450

Menjawab: 5 puncak

Tugas.

Berapa banyak simpul yang dapat dimiliki poligon jika setiap sudutnya kurang dari 120 derajat?

Keputusan.

Untuk mengatasi masalah ini, kita menggunakan teorema jumlah sudut poligon cembung.

Teorema mengatakan: Untuk n-gon cembung, jumlah semua sudut adalah 180°(n-2) .

Oleh karena itu, untuk kasus kami, pertama-tama perlu memperkirakan kondisi batas masalah. Artinya, buatlah asumsi bahwa masing-masing sudut sama dengan 120 derajat. Kita mendapatkan:

180n - 360 = 120n

180n - 120n = 360 (kami akan mempertimbangkan ekspresi ini secara terpisah di bawah)

Berdasarkan persamaan yang diperoleh, kami menyimpulkan: ketika sudut kurang dari 120 derajat, jumlah sudut poligon kurang dari enam.

Penjelasan:

Berdasarkan ekspresi 180n - 120n = 360 , asalkan ruas kanan yang dikurangi kurang dari 120n, selisihnya harus lebih dari 60n. Jadi, hasil bagi pembagian akan selalu kurang dari enam.

Menjawab: jumlah simpul poligon akan kurang dari enam.

Tugas

Sebuah poligon memiliki tiga sudut 113 derajat, dan sisanya sama satu sama lain dan ukuran derajat adalah bilangan bulat. Temukan jumlah simpul poligon.

Keputusan.

Untuk memecahkan masalah ini, kita menggunakan teorema jumlah sudut luar poligon cembung.

Teorema mengatakan: Untuk n-gon cembung, jumlah semua sudut luar adalah 360° .

Dengan demikian,

3*(180-113)+(n-3)x=360

sisi kanan ekspresi adalah jumlah sudut luar, di sisi kiri jumlah ketiga sudut diketahui dengan kondisi, dan ukuran derajat sisanya (jumlahnya, masing-masing, n-3, karena tiga sudut adalah diketahui) dilambangkan sebagai x.

159 hanya diuraikan menjadi dua faktor 53 dan 3, dan 53 adalah bilangan prima. Artinya, tidak ada pasangan faktor lain.

Jadi, n-3 = 3, n=6, yaitu, jumlah sudut poligon adalah enam.

Menjawab: enam sudut

Tugas

Buktikan bahwa poligon cembung dapat memiliki paling banyak tiga sudut tajam.

Keputusan

Seperti yang Anda ketahui, jumlah sudut luar poligon cembung adalah 360 0 . Mari kita buktikan dengan kontradiksi. Jika poligon cembung memiliki setidaknya empat lancip sudut dalam, oleh karena itu, di antara sudut luarnya setidaknya ada empat sudut tumpul, yang menyiratkan bahwa jumlah semua sudut luar poligon lebih besar dari 4*90 0 = 360 0 . Kami memiliki kontradiksi. Pernyataan itu terbukti.

Jumlah sudut dari Teorema n-gon. Jumlah sudut n-gon cembung adalah 180 o (n-2). Bukti. Dari beberapa titik dari n-gon cembung kita menggambar semua diagonalnya. Kemudian n-gon akan pecah menjadi n-2 segitiga. Dalam setiap segitiga, jumlah sudutnya adalah 180 o, dan sudut-sudut ini membentuk sudut n-gon. Jadi, jumlah sudut n-gon adalah 180 o (n-2).

Metode pembuktian kedua Teorema. Jumlah sudut n-gon cembung adalah 180 o (n-2). Bukti 2. Biarkan O menjadi beberapa titik dalam n-gon cembung A 1 …A n. Hubungkan ke simpul poligon ini. Kemudian n-gon akan dibagi menjadi n segitiga. Pada setiap segitiga, jumlah sudutnya adalah 180o. Sudut-sudut ini membentuk sudut n-gon dan 360o lainnya. Jadi, jumlah sudut n-gon adalah 180 o (n-2).

Latihan 3 Buktikan bahwa jumlah sudut luar n-gon cembung adalah 360 o. Bukti. Sudut luar poligon cembung adalah 180° dikurangi sudut dalam yang sesuai. Jadi, jumlah sudut luar n-gon cembung adalah 180 o n dikurangi jumlah sudut dalam. Karena jumlah sudut dalam dari n-gon cembung adalah 180 o (n-2), maka jumlah sudut luarnya adalah 180 o n o (n-2) = 360 o.

Latihan 4 Berapakah sudut-sudut dari suatu bangun datar: a) segitiga; b) segi empat; c) segi lima; d) segi enam; e) segi delapan; e) dekagon; g) dodecagon? Jawaban: a) 60 o; b) 90 o; c) 108 o; d) 120 o; e) 135 o; f) 144 o; g) 150 o.

Latihan 12* Apa? nomor terbesar dapat n-gon cembung memiliki sudut tajam? Keputusan. Karena jumlah sudut luar poligon cembung adalah 360 o, maka poligon cembung tidak boleh memiliki lebih dari tiga sudut tumpul, oleh karena itu, ia tidak dapat memiliki lebih dari tiga sudut lancip internal. Menjawab. 3.

Bentuk-bentuk geometris ini mengelilingi kita di mana-mana. Poligon cembung bersifat alami, seperti sarang lebah, atau buatan (buatan manusia). Angka-angka ini digunakan dalam produksi berbagai macam pelapis, dalam lukisan, arsitektur, dekorasi, dll. Poligon cembung memiliki sifat bahwa semua titiknya berada pada sisi yang sama dari garis yang melalui sepasang simpul yang berdekatan dari garis ini. sosok geometris. Ada juga definisi lain. Suatu poligon disebut cembung jika terletak pada satu setengah bidang terhadap sembarang garis lurus yang salah satu sisinya.

Dalam geometri dasar, hanya poligon sederhana yang selalu dipertimbangkan. Untuk memahami semua sifat seperti itu, perlu untuk memahami sifat mereka. Untuk memulainya, harus dipahami bahwa garis apa pun disebut tertutup, yang ujungnya bertepatan. Selain itu, sosok yang dibentuk olehnya dapat memiliki berbagai konfigurasi. Poligon adalah garis putus-putus tertutup sederhana, di mana tautan tetangga tidak terletak pada garis lurus yang sama. Tautan dan simpulnya masing-masing adalah sisi dan simpul dari bangun geometri ini. Sebuah polyline sederhana tidak boleh memiliki self-intersections.

Titik-titik suatu poligon disebut bertetangga jika simpul-simpul tersebut mewakili ujung-ujung salah satu sisinya. Sosok geometris yang memiliki nomor ke-n simpul, dan karenanya jumlah ke-n sisi disebut n-gon. Garis putus-putus itu sendiri disebut batas atau kontur dari sosok geometris ini. Sebuah bidang poligonal atau poligon datar disebut bagian ujung dari setiap bidang yang dibatasi olehnya. Sisi yang berdekatan dari gambar geometris ini disebut segmen garis putus-putus yang berasal dari satu titik. Mereka tidak akan bertetangga jika mereka berasal dari simpul poligon yang berbeda.

Definisi lain dari poligon cembung

Dalam geometri dasar, ada beberapa definisi yang lebih setara yang menunjukkan poligon mana yang disebut cembung. Terlebih lagi, semua ekspresi ini derajat yang sama benar. Poligon cembung adalah poligon yang memiliki:

Setiap ruas garis yang menghubungkan dua titik di dalamnya terletak seluruhnya di dalamnya;

Semua diagonalnya terletak di dalamnya;

Setiap sudut internal tidak melebihi 180°.

Sebuah poligon selalu membagi sebuah bidang menjadi 2 bagian. Salah satunya terbatas (dapat dilingkari dalam lingkaran), dan yang lainnya tidak terbatas. Yang pertama disebut daerah dalam, dan yang kedua adalah daerah luar dari gambar geometris ini. Poligon ini adalah persimpangan (dengan kata lain, komponen umum) dari beberapa setengah bidang. Selain itu, setiap segmen yang berakhir pada titik-titik yang termasuk dalam poligon sepenuhnya menjadi miliknya.

Varietas poligon cembung

Definisi poligon cembung tidak menunjukkan bahwa ada banyak jenisnya. Dan masing-masing memiliki kriteria tertentu. Jadi, poligon cembung yang memiliki sudut interior 180° disebut cembung lemah. Sosok geometris cembung yang memiliki tiga simpul disebut segitiga, empat - segi empat, lima - segi lima, dll. Masing-masing n-gon cembung sesuai dengan yang berikut ini persyaratan penting: n harus sama dengan atau lebih besar dari 3. Setiap segitiga cembung. Angka geometris jenis ini, di mana semua simpul terletak pada lingkaran yang sama, disebut tertulis dalam lingkaran. Poligon cembung disebut berbatas jika semua sisinya di dekat lingkaran menyentuhnya. Dua poligon dikatakan sama hanya jika mereka dapat ditumpangkan oleh superposisi. Poligon datar disebut bidang poligonal (bagian dari bidang), yang dibatasi oleh sosok geometris ini.

Poligon cembung reguler

Poligon beraturan adalah bangun-bangun geometris dengan sudut yang sama dan pesta. Di dalamnya ada titik 0, yang berada pada jarak yang sama dari masing-masing simpulnya. Itu disebut pusat sosok geometris ini. Segmen yang menghubungkan pusat dengan simpul dari bangun geometri ini disebut apotema, dan yang menghubungkan titik 0 dengan sisi disebut jari-jari.

Segi empat beraturan adalah persegi. segitiga siku-siku disebut sama sisi. Untuk gambar seperti itu, ada aturan berikut: setiap sudut poligon cembung adalah 180° * (n-2)/ n,

di mana n adalah jumlah simpul dari bangun geometri cembung ini.

Luas wilayah apa saja poligon beraturan ditentukan dengan rumus:

di mana p sama dengan setengah jumlah semua sisi poligon yang diberikan, dan h sama dengan panjang apotema.

Sifat poligon cembung

Poligon cembung memiliki sifat tertentu. Jadi, segmen yang menghubungkan 2 titik mana pun dari sosok geometris semacam itu harus terletak di dalamnya. Bukti:

Misalkan P adalah poligon cembung yang diberikan. Kami mengambil 2 poin sewenang-wenang, misalnya, A, B, yang termasuk dalam R. By definisi yang ada dari poligon cembung, titik-titik ini terletak di satu sisi garis, yang memuat sembarang sisi P. Oleh karena itu, AB juga memiliki sifat ini dan terkandung dalam P. Poligon cembung selalu dapat dibagi menjadi beberapa segitiga dengan benar-benar semua diagonalnya ditarik dari salah satu simpulnya.

Sudut bentuk geometris cembung

Sudut-sudut poligon cembung adalah sudut-sudut yang dibentuk oleh sisi-sisinya. Sudut interior ada di wilayah dalam sosok geometris ini. Sudut yang dibentuk oleh sisi-sisinya yang bertemu pada satu titik sudut disebut sudut poligon cembung. dengan sudut dalam dari bangun geometri tertentu disebut eksternal. Setiap sudut poligon cembung yang terletak di dalamnya sama dengan:

di mana x adalah nilai sudut luar. Ini rumus sederhana berlaku untuk setiap bentuk geometris jenis ini.

PADA kasus umum, untuk sudut luar ada mengikuti aturan: setiap sudut poligon cembung sama dengan selisih antara 180° dan nilai sudut dalam. Itu dapat memiliki nilai mulai dari -180 ° hingga 180 °. Jadi, jika sudut dalam adalah 120°, sudut luarnya adalah 60°.

Jumlah sudut poligon cembung

Jumlah sudut interior poligon cembung ditentukan oleh rumus:

di mana n adalah jumlah simpul dari n-gon.

Jumlah sudut poligon cembung cukup mudah untuk dihitung. Pertimbangkan sosok geometris seperti itu. Untuk menentukan jumlah sudut di dalam poligon cembung, salah satu simpulnya harus terhubung ke simpul lainnya. Sebagai hasil dari tindakan ini, segitiga (n-2) diperoleh. Kita tahu bahwa jumlah sudut setiap segitiga selalu 180°. Karena jumlahnya dalam poligon apa pun adalah (n-2), jumlah sudut dalam dari bangun tersebut adalah 180° x (n-2).

Jumlah sudut poligon cembung, yaitu setiap dua sudut dalam dan luar bersebelahan, untuk bangun geometri cembung yang diberikan akan selalu 180°. Berdasarkan ini, Anda dapat menentukan jumlah semua sudutnya:

Jumlah sudut dalam adalah 180° * (n-2). Berdasarkan ini, jumlah semua sudut luar dari gambar yang diberikan ditentukan oleh rumus:

180° * n-180 °-(n-2)= 360°.

Jumlah sudut luar dari setiap poligon cembung akan selalu 360° (berapapun jumlah sisinya).

Sudut luar poligon cembung umumnya diwakili oleh perbedaan antara 180 ° dan sudut interior.

Sifat lain dari poligon cembung

Selain sifat dasar bentuk geometris ini, mereka memiliki sifat lain yang muncul saat memanipulasinya. Jadi, salah satu poligon dapat dibagi menjadi beberapa n-gon cembung. Untuk melakukan ini, perlu untuk melanjutkan setiap sisinya dan memotong sosok geometris ini di sepanjang garis lurus ini. Dimungkinkan juga untuk membagi poligon apa pun menjadi beberapa bagian cembung sedemikian rupa sehingga simpul dari masing-masing bagian bertepatan dengan semua simpulnya. Dari sosok geometris seperti itu, segitiga dapat dibuat dengan sangat sederhana dengan menggambar semua diagonal dari satu titik. Dengan demikian, poligon apa pun pada akhirnya dapat dibagi menjadi sejumlah segitiga tertentu, yang ternyata sangat berguna dalam memecahkan berbagai tugas terkait dengan bentuk geometris tersebut.

Keliling poligon cembung

Segmen garis putus-putus, yang disebut sisi poligon, paling sering ditunjukkan oleh huruf-huruf berikut: ab, bc, cd, de, ea. Ini adalah sisi bangun geometris dengan simpul a, b, c, d, e. Jumlah panjang semua sisi poligon cembung ini disebut kelilingnya.

Lingkaran poligon

Poligon cembung dapat ditulisi dan dibatasi. Lingkaran yang menyentuh semua sisi sosok geometris ini disebut tertulis di dalamnya. Poligon semacam itu disebut dibatasi. Pusat lingkaran yang tertulis dalam poligon adalah titik potong garis-bagi semua sudut dalam bangun geometri tertentu. Luas poligon tersebut adalah:

di mana r adalah jari-jari lingkaran tertulis dan p adalah setengah keliling poligon yang diberikan.

Sebuah lingkaran yang berisi simpul dari poligon disebut dibatasi di sekitarnya. Selain itu, sosok geometris cembung ini disebut tertulis. Pusat lingkaran, yang dibatasi oleh poligon semacam itu, adalah titik potong dari apa yang disebut garis-bagi tegak lurus dari semua sisi.

Diagonal bentuk geometris cembung

Diagonal poligon cembung adalah ruas garis yang menghubungkan simpul tetangga. Masing-masing terletak di dalam sosok geometris ini. Jumlah diagonal dari n-gon tersebut ditentukan oleh rumus:

N = n (n - 3) / 2.

Banyaknya diagonal poligon cembung adalah peran penting dalam geometri dasar. Jumlah segitiga (K) di mana setiap poligon cembung dapat dibagi dihitung dengan rumus berikut:

Banyaknya diagonal poligon cembung selalu bergantung pada jumlah simpulnya.

Memisahkan poligon cembung

Dalam beberapa kasus, untuk memecahkan masalah geometris perlu untuk membagi poligon cembung menjadi beberapa segitiga dengan diagonal yang tidak berpotongan. Masalah ini dapat diselesaikan dengan menurunkan formula tertentu.

Definisi masalah: mari kita sebut partisi yang benar dari n-gon cembung menjadi beberapa segitiga dengan diagonal yang berpotongan hanya di simpul dari gambar geometris ini.

Solusi: Misalkan 1, 2, 3 …, Pn adalah simpul dari n-gon ini. Angka Xn adalah jumlah partisinya. Mari kita perhatikan dengan cermat diagonal yang dihasilkan dari gambar geometris Pi Pn. Di salah satu partisi reguler P1 Pn milik segitiga tertentu P1 Pi Pn, yang memiliki 1

Misalkan i = 2 merupakan salah satu kelompok partisi beraturan yang selalu memuat diagonal 2 Pn. Jumlah partisi yang disertakan di dalamnya bertepatan dengan jumlah partisi (n-1)-gon 2 3 4… Pn. Dengan kata lain, itu sama dengan Xn-1.

Jika i = 3, maka kelompok partisi yang lain ini akan selalu berisi diagonal P3 P1 dan P3 Pn. Dalam hal ini, jumlah partisi reguler yang terdapat dalam grup ini akan bertepatan dengan jumlah partisi dari (n-2)-gon 3 4… Pn. Dengan kata lain, itu akan sama dengan Xn-2.

Misalkan i = 4, maka di antara segitiga-segitiga itu pasti akan ada sebuah partisi beraturan yang berisi segitiga P1 P4 Pn, yang segiempatnya P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5 ... Pn akan berdampingan. Banyaknya partisi beraturan dari segi empat tersebut adalah X4, dan banyaknya partisi dari (n-3)-gon adalah Xn-3. Berdasarkan hal di atas, kita dapat mengatakan bahwa jumlah total partisi yang benar yang terdapat dalam grup ini adalah Xn-3 X4. Grup lain yang i = 4, 5, 6, 7… akan berisi Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … partisi reguler.

Misalkan i = n-2, maka banyaknya partisi yang benar pada grup ini akan sama dengan banyaknya partisi pada grup dimana i=2 (dengan kata lain sama dengan Xn-1).

Karena X1 = X2 = 0, X3=1, X4=2…, maka jumlah semua partisi poligon cembung sama dengan:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Banyaknya partisi beraturan yang berpotongan dengan satu diagonal di dalamnya

Saat memeriksa kasus khusus, orang dapat sampai pada asumsi bahwa jumlah diagonal n-gon cembung sama dengan produk dari semua partisi dari gambar ini dengan (n-3).

Bukti asumsi ini: bayangkan bahwa P1n = Xn * (n-3), maka n-gon dapat dibagi menjadi (n-2)-segitiga. Selain itu, (n-3)-segiempat dapat terdiri dari mereka. Seiring dengan ini, setiap segi empat akan memiliki diagonal. Karena dua diagonal dapat digambar dalam bangun geometri cembung ini, ini berarti bahwa pada setiap (n-3)-segiempat dimungkinkan untuk menggambar diagonal tambahan (n-3). Berdasarkan ini, kita dapat menyimpulkan bahwa dalam setiap partisi reguler dimungkinkan untuk menggambar (n-3)-diagonal yang memenuhi kondisi masalah ini.

Luas poligon cembung

Seringkali, ketika memecahkan berbagai masalah geometri dasar, menjadi perlu untuk menentukan luas poligon cembung. Asumsikan bahwa (Xi. Yi), i = 1,2,3… n adalah barisan koordinat semua simpul bertetangga dari poligon yang tidak memiliki titik potong sendiri. Dalam hal ini, luasnya dihitung dengan rumus berikut:

S = (∑ (X i + X i + 1) (Y i + Y i + 1)),

dimana (X 1, Y 1) = (X n +1, Y n + 1).

Dalam mata kuliah geometri dasar, terbukti bahwa jumlah sudut n-gon cembung adalah 180° (n-2). Ternyata pernyataan ini juga berlaku untuk poligon tidak cembung.

Teorema 3. Jumlah sudut sembarang n-gon adalah 180° (n - 2).

Bukti. Mari kita bagi poligon menjadi segitiga dengan menggambar diagonal (Gbr. 11). Banyaknya segitiga tersebut adalah n-2, dan pada setiap segitiga jumlah sudutnya adalah 180°. Karena sudut segitiga adalah sudut poligon, jumlah sudut poligon adalah 180° (n - 2).

Mari kita perhatikan garis putus-putus tertutup yang sewenang-wenang, mungkin dengan perpotongan sendiri A1A2…AnA1 (Gbr. 12, a). Garis putus-putus yang berpotongan sendiri seperti itu akan disebut poligon berbentuk bintang (Gbr. 12, b-d).

Mari kita perbaiki arah penghitungan sudut berlawanan arah jarum jam. Perhatikan bahwa sudut yang dibentuk oleh polyline tertutup bergantung pada arah yang dilaluinya. Jika arah traversal polyline dibalik, maka sudut-sudut poligon akan menjadi sudut-sudut yang melengkapi sudut-sudut poligon asal hingga 360°.

Jika M adalah poligon yang dibentuk oleh garis putus-putus tertutup sederhana yang melewati searah jarum jam (Gbr. 13, a), maka jumlah sudut poligon ini akan sama dengan 180 ° (n - 2). Jika garis putus-putus dilewatkan berlawanan arah jarum jam (Gbr. 13, b), maka jumlah sudut akan sama dengan 180 ° (n + 2).

Dengan demikian, rumus umum jumlah sudut poligon yang dibentuk oleh poligon tertutup sederhana berbentuk = 180 ° (n 2), di mana adalah jumlah sudut, n adalah jumlah sudut poligon, " +" atau "-" diambil tergantung pada arah melewati polyline.

Tugas kita adalah mendapatkan rumus untuk jumlah sudut poligon sembarang yang dibentuk oleh polyline tertutup (mungkin berpotongan sendiri). Untuk melakukan ini, kami memperkenalkan konsep derajat poligon.

Derajat poligon adalah jumlah putaran yang dibuat oleh suatu titik selama bypass berurutan lengkap dari sisi-sisinya. Selain itu, belokan yang dibuat berlawanan arah jarum jam dianggap dengan tanda "+", dan belokan searah jarum jam - dengan tanda "-".

Jelas bahwa derajat poligon yang dibentuk oleh garis putus-putus tertutup sederhana adalah +1 atau -1, tergantung pada arah lintasan. Derajat garis putus-putus pada Gambar 12, a sama dengan dua. Derajat segi enam bintang (Gbr. 12, c, d) masing-masing sama dengan dua dan tiga.

Gagasan derajat didefinisikan sama untuk kurva tertutup di pesawat. Misalnya, derajat kurva yang ditunjukkan pada Gambar 14 adalah dua.

Untuk menemukan derajat poligon atau kurva, Anda dapat melanjutkan sebagai berikut. Misalkan, bergerak sepanjang kurva (Gbr. 15, a), kita, mulai dari suatu tempat A1, berbelok penuh, dan berakhir di titik A1 yang sama. Mari kita hilangkan bagian yang sesuai dari kurva dan terus bergerak di sepanjang kurva yang tersisa (Gbr. 15b). Jika, mulai dari suatu tempat A2, kami kembali berbelok penuh dan sampai ke titik yang sama, maka kami menghapus bagian kurva yang sesuai dan terus bergerak (Gbr. 15, c). Menghitung jumlah bagian jarak jauh dengan tanda "+" atau "-", tergantung pada arah bypassnya, kami memperoleh tingkat kurva yang diinginkan.

Teorema 4. Untuk poligon sembarang, rumusnya

180° (n+2m),

di mana adalah jumlah sudut, n adalah jumlah sudut, m adalah derajat poligon.

Bukti. Biarkan poligon M memiliki derajat m dan secara konvensional ditunjukkan pada Gambar 16. M1, …, Mk adalah garis putus-putus tertutup sederhana, yang melalui titik tersebut membuat belokan penuh. A1, …, Ak adalah titik potong-sendiri yang sesuai dari polyline, yang bukan simpulnya. Mari kita nyatakan jumlah simpul dari poligon M yang termasuk dalam poligon M1, …, Mk masing-masing dengan n1, …, nk. Karena, selain simpul dari poligon M, simpul A1, …, Ak ditambahkan ke poligon ini, jumlah simpul dari poligon M1, …, Mk akan sama dengan n1+1, …, nk+1, masing-masing. Maka jumlah sudutnya akan sama dengan 180° (n1+12), …, 180° (nk+12). Plus atau minus diambil tergantung pada arah melewati garis putus-putus. Jumlah sudut poligon M0, yang tersisa dari poligon M setelah penghapusan poligon M1, ..., Mk, sama dengan 180° (n-n1- ...-nk+k2). Jumlah sudut poligon M0, M1, …, Mk memberikan jumlah sudut poligon M, dan pada setiap titik A1, …, Ak kita juga memperoleh 360°. Oleh karena itu, kita memiliki persamaan

180° (n1+12)+…+180° (nk+12)+180° (n-n1-…-nk+k2)=+360°k.

180° (n2…2) = 180° (n+2m),

di mana m adalah derajat poligon M.

Sebagai contoh, perhatikan perhitungan jumlah sudut dari tanda bintang berujung lima (Gbr. 17, a). Derajat dari polyline tertutup yang sesuai adalah -2. Jadi, jumlah sudut yang diinginkan adalah 180.

garis putus-putus

Definisi

garis putus-putus, atau lebih pendek, garis putus-putus, disebut barisan segmen berhingga, sedemikian rupa sehingga salah satu ujung segmen pertama berfungsi sebagai ujung segmen kedua, ujung segmen kedua yang lain berfungsi sebagai ujung segmen ketiga, dan seterusnya. Dalam hal ini, segmen yang berdekatan tidak terletak pada garis lurus yang sama. Segmen ini disebut tautan polyline.

Jenis garis putus-putus

Garis putus-putus disebut tertutup jika awal segmen pertama bertepatan dengan akhir segmen terakhir.

Garis putus-putus dapat melintasi dirinya sendiri, menyentuh dirinya sendiri, bersandar pada dirinya sendiri. Jika tidak ada singularitas seperti itu, maka garis putus-putus seperti itu disebut sederhana.

poligon

Definisi

Sebuah polyline tertutup sederhana, bersama dengan bagian dari pesawat yang dibatasi olehnya, disebut poligon.

Komentar

Pada setiap titik poligon, sisi-sisinya menentukan beberapa sudut poligon. Itu bisa kurang dari yang dikerahkan, atau lebih dari yang dikerahkan.

Properti

Setiap poligon memiliki sudut kurang dari $180^\circ$.

Bukti

Biarkan poligon $P$ diberikan.

Mari kita menggambar beberapa garis lurus yang tidak memotongnya. Kami akan memindahkannya sejajar dengan sisi poligon. Pada titik tertentu, untuk pertama kalinya kita memperoleh garis $a$ yang memiliki setidaknya satu titik yang sama dengan poligon $P$. Poligon terletak pada satu sisi dari garis ini (selain itu, beberapa titiknya terletak pada garis $a$).

Baris $a$ berisi setidaknya satu simpul dari poligon. Kedua sisinya bertemu di dalamnya, terletak di sisi yang sama dari garis $a$ (termasuk kasus ketika salah satu dari mereka terletak di garis ini). Jadi, pada simpul ini, sudutnya lebih kecil dari sudut yang dikembangkan.

Definisi

Poligon disebut cembung jika terletak pada satu sisi dari setiap garis yang memuat sisinya. Jika poligon tidak cembung, itu disebut tidak cembung.

Komentar

Poligon cembung adalah perpotongan setengah bidang yang dibatasi oleh garis-garis yang memuat sisi-sisi poligon.

Sifat-sifat poligon cembung

Sebuah poligon cembung memiliki semua sudut kurang dari $180^\circ$.

Segmen garis yang menghubungkan dua titik dari poligon cembung (khususnya, salah satu diagonalnya) terdapat dalam poligon ini.

Bukti

Mari kita buktikan properti pertama

Ambil sudut $A$ dari poligon cembung $P$ dan sisinya $a$ yang berasal dari titik $A$. Biarkan $l$ menjadi garis yang berisi sisi $a$. Karena poligon $P$ cembung, poligon itu terletak di satu sisi garis $l$. Oleh karena itu, sudut $A$ juga terletak pada sisi yang sama dari garis ini. Oleh karena itu sudut $A$ lebih kecil dari sudut yang diluruskan, yaitu kurang dari $180^\circ$.

Mari kita buktikan sifat kedua

Ambil dua titik $A$ dan $B$ dari poligon cembung $P$. Poligon $P$ adalah perpotongan dari beberapa setengah bidang. Segmen $AB$ terdapat di masing-masing setengah bidang ini. Oleh karena itu, itu juga terkandung dalam poligon $P$.

Definisi

Poligon diagonal disebut segmen yang menghubungkan simpul non-tetangganya.

Teorema (pada jumlah diagonal n-gon)

Jumlah diagonal cembung $n$-gon dihitung dengan rumus $\dfrac(n(n-3))(2)$.

Bukti

Dari setiap simpul dari n-gon seseorang dapat menggambar diagonal $n-3$ (seseorang tidak dapat menggambar diagonal ke simpul tetangga dan ke simpul ini sendiri). Jika kita menghitung semua segmen yang mungkin seperti itu, maka akan ada $n\cdot(n-3)$, karena ada $n$ simpul. Tetapi setiap diagonal akan dihitung dua kali. Jadi, jumlah diagonal dari n-gon adalah $\dfrac(n(n-3))(2)$.

Teorema (tentang jumlah sudut n-gon)

Jumlah sudut cembung $n$-gon adalah $180^\circ(n-2)$.

Bukti

Pertimbangkan $n$-gon $A_1A_2A_3\ldots A_n$.

Ambil titik arbitrer $O$ di dalam poligon ini.

Jumlah sudut semua segitiga $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, \ldots, $A_(n-1)OA_n$ adalah $180^\circ\cdot n$.

Sebaliknya, jumlah ini adalah jumlah semua sudut dalam poligon dan total sudut $\angle O=\angle 1+\angle 2+\angle 3+\ldots=30^\circ$.

Maka jumlah sudut dari $n$-gon yang dipertimbangkan sama dengan $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Konsekuensi

Jumlah sudut tak cembung $n$-gon adalah $180^\circ(n-2)$.

Bukti

Pertimbangkan poligon $A_1A_2\ldots A_n$ yang satu-satunya sudut $\angle A_2$ adalah non-cembung, yaitu $\angle A_2>180^\circ$.

Mari kita tunjukkan jumlah tangkapannya $S$.

Hubungkan titik $A_1A_3$ dan pertimbangkan poligon $A_1A_3\ldots A_n$.

Jumlah sudut poligon ini adalah:

$180^\circ\cdot(n-1-2)=S-\angle A_2+\angle 1+\angle 2=S-\angle A_2+180^\circ-\angle A_1A_2A_3=S+180^\circ-( \angle A_1A_2A_3+\angle A_2)=S+180^\circ-360^\circ$.

Oleh karena itu, $S=180^\circ\cdot(n-1-2)+180^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Jika poligon asli memiliki lebih dari satu sudut tidak cembung, maka operasi yang dijelaskan di atas dapat dilakukan dengan setiap sudut tersebut, yang akan mengarah pada pembuktian pernyataan.

Teorema (pada jumlah sudut luar n-gon cembung)

Jumlah sudut luar sebuah cembung $n$-gon adalah $360^\circ$.

Bukti

Sudut luar pada titik $A_1$ adalah $180^\circ-\angle A_1$.

Jumlah semua sudut luar adalah:

$\sum\limits_(n)(180^\circ-\angle A_n)=n\cdot180^\circ - \sum\limits_(n)A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n -2)=360^\circ$.