Grafik pertidaksamaan linier atau kuadrat dibangun dengan cara yang sama seperti grafik fungsi (persamaan) apa pun. Perbedaannya adalah bahwa pertidaksamaan menyiratkan bahwa ada banyak solusi, sehingga grafik pertidaksamaan bukan hanya titik pada garis bilangan atau garis pada bidang koordinat. Melalui operasi matematika dan tanda pertidaksamaan, seseorang dapat menentukan solusi pertidaksamaan tersebut.

Langkah

Representasi grafis dari pertidaksamaan linier pada garis bilangan

1. Memecahkan ketidaksetaraan. Untuk melakukannya, isolasi variabel menggunakan trik aljabar yang sama yang Anda gunakan untuk menyelesaikan persamaan apa pun. Ingatlah bahwa ketika mengalikan atau membagi pertidaksamaan dengan bilangan negatif(atau suku), balikkan tanda pertidaksamaan.

   • Misal diberikan pertidaksamaan 3th + 9 > 12 (\displaystyle 3th+9>12). Untuk mengisolasi variabel, kurangi 9 dari kedua sisi pertidaksamaan, lalu bagi kedua sisi dengan 3:
     3th + 9 > 12 (\displaystyle 3th+9>12)
     3 th + 9 9 > 12 9 (\displaystyle 3th+9-9>12-9)
     3 th > 3 (\displaystyle 3y>3)
     3 y 3 > 3 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (3)(3)))
     y > 1 (\displaystyle y>1)
   • Suatu pertidaksamaan harus hanya memiliki satu variabel. Jika pertidaksamaan memiliki dua variabel, lebih baik plot grafik pada bidang koordinat.

2. Gambarlah garis bilangan. Pada garis bilangan, tandai nilai yang ditemukan (variabelnya bisa lebih kecil dari, lebih besar dari atau sama dengan nilai ini). Gambarlah garis bilangan dengan panjang yang sesuai (panjang atau pendek).

   • Misalnya, jika Anda menghitungnya y > 1 (\displaystyle y>1), tandai nilai 1 pada garis bilangan.

3. Gambarlah sebuah lingkaran untuk mewakili nilai yang ditemukan. Jika variabel lebih kecil dari ( < {\displaystyle <} ) atau lebih ( > (\gaya tampilan >)) dari nilai ini, lingkaran tidak terisi karena himpunan solusi tidak menyertakan nilai ini. Jika variabel lebih kecil atau sama dengan ( (\displaystyle \leq )) atau lebih besar atau sama dengan ( (\displaystyle\geq )) untuk nilai ini, lingkaran diisi karena himpunan solusi menyertakan nilai ini.

   • y > 1 (\displaystyle y>1), pada garis bilangan, gambarlah sebuah lingkaran terbuka di titik 1 karena 1 tidak termasuk dalam himpunan solusi.

4. Pada garis bilangan, arsir area yang mendefinisikan himpunan solusi. Jika variabel lebih besar dari nilai yang ditemukan, arsir area di sebelah kanannya, karena himpunan solusi mencakup semua nilai yang lebih besar dari nilai yang ditemukan. Jika variabel lebih kecil dari nilai yang ditemukan, arsir area di sebelah kirinya, karena himpunan solusi mencakup semua nilai yang lebih kecil dari nilai yang ditemukan.

   • Misal diberikan pertidaksamaan y > 1 (\displaystyle y>1), pada garis bilangan, arsirlah daerah di sebelah kanan 1 karena himpunan penyelesaian mencakup semua nilai yang lebih besar dari 1.

   Representasi grafis dari pertidaksamaan linier pada bidang koordinat

   1. Selesaikan pertidaksamaan (cari nilainya y (\gaya tampilan y)). Untuk memperoleh persamaan linier, isolasi variabel di sisi kiri menggunakan diketahui metode aljabar. Variabel harus tetap di sisi kanan x (\gaya tampilan x) dan mungkin beberapa konstan.

      • Misal diberikan pertidaksamaan 3th + 9 > 9x (\displaystyle 3th+9>9x). Untuk mengisolasi variabel y (\gaya tampilan y), kurangi 9 dari kedua ruas pertidaksamaan, lalu bagi kedua ruas dengan 3:
        3th + 9 > 9x (\displaystyle 3th+9>9x)
        3 th + 9 9 > 9 x 9 (\displaystyle 3th+9-9>9x-9)
        3 y > 9 x 9 (\displaystyle 3y>9x-9)
        3 y 3 > 9 x 9 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (9x-9)(3)))
        y > 3 x 3 (\displaystyle y>3x-3)

   2. Gambarkan persamaan linear pada bidang koordinat. plot grafik saat Anda memplot persamaan linier apa pun. Plot titik perpotongan dengan sumbu Y, kemudian plot titik lainnya menggunakan kemiringan.

      • y > 3 x 3 (\displaystyle y>3x-3) gambarkan persamaannya y = 3 x 3 (\displaystyle y=3x-3). Titik potong dengan sumbu Y memiliki koordinat , dan lereng adalah 3 (atau 3 1 (\displaystyle (\frac (3)(1)))). Jadi pertama plot titik dengan koordinat (0 , 3) ​​(\displaystyle (0,-3)); titik di atas titik perpotongan dengan sumbu y memiliki koordinat (1 , 0) (\displaystyle (1,0)); titik di bawah titik perpotongan dengan sumbu y memiliki koordinat (− 1 , 6) (\displaystyle (-1,-6))

   3. Gambarlah garis lurus. Jika pertidaksamaan ketat (termasuk tanda < {\displaystyle <} atau > (\gaya tampilan >)), gambar garis putus-putus, karena himpunan solusi tidak menyertakan nilai yang terletak di garis. Jika pertidaksamaan tidak tegas (termasuk tanda (\displaystyle \leq ) atau (\displaystyle\geq )), gambarlah sebuah garis lurus, karena himpunan penyelesaiannya mencakup nilai-nilai yang terletak pada garis tersebut.

      • Misalnya, dalam kasus ketidaksetaraan y > 3 x 3 (\displaystyle y>3x-3) gambarlah garis putus-putus, karena himpunan penyelesaian tidak menyertakan nilai-nilai yang terletak pada garis tersebut.

   4. Warnai area yang sesuai. Jika pertidaksamaan berbentuk y > m x + b (\displaystyle y>mx+b), isi area di atas garis. Jika pertidaksamaan berbentuk kamu< m x + b {\displaystyle y, isi area di bawah garis.

      • Misalnya, dalam kasus ketidaksetaraan y > 3 x 3 (\displaystyle y>3x-3) menaungi area di atas garis.

   Representasi grafis dari pertidaksamaan kuadrat pada bidang koordinat

   1. Tentukan bahwa pertidaksamaan ini persegi. Pertidaksamaan kuadrat memiliki bentuk a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c). Terkadang pertidaksamaan tidak mengandung variabel orde pertama ( x (\gaya tampilan x)) dan/atau istilah bebas (konstanta), tetapi harus menyertakan variabel orde kedua ( x 2 (\gaya tampilan x^(2))). Variabel x (\gaya tampilan x) dan y (\gaya tampilan y) harus diisolasi pada sisi pertidaksamaan yang berbeda.

      • Misalnya, Anda perlu memplot ketidaksetaraan kamu< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y.

   2. Gambarlah grafik pada bidang koordinat. Untuk melakukannya, ubah pertidaksamaan menjadi persamaan dan buat grafik, saat Anda membuat grafik persamaan kuadrat apa pun. Ingatlah bahwa grafik persamaan kuadrat adalah parabola.

      • Misalnya, dalam kasus ketidaksetaraan kamu< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y plot persamaan kuadrat y = x 2 10 x + 16 (\displaystyle y=x^(2)-10x+16). Puncak parabola berada di titik (5 , 9) (\displaystyle (5,-9)), dan parabola memotong sumbu x di titik (2 , 0) (\displaystyle (2,0)) dan (8 , 0) (\displaystyle (8,0)).

Pertidaksamaan adalah dua angka atau ekspresi matematika yang dihubungkan oleh salah satu tanda: > (lebih banyak, dalam kasus pertidaksamaan yang ketat),< (меньше, в случае строгих неравенств), ≥ (больше или равно, в случае нестрогих неравенств), ≤ (меньше или равно, в случае нестрогих неравенств).

ketidaksetaraan adalah linier di bawah kondisi yang sama seperti persamaan: hanya berisi variabel tingkat pertama dan tidak mengandung produk variabel.

Keputusan pertidaksamaan linier dan sistem pertidaksamaan linier terkait erat dengan makna geometrisnya: solusi dari pertidaksamaan linier adalah setengah bidang tertentu, di mana seluruh bidang dibagi dengan garis lurus, yang persamaannya diberikan oleh pertidaksamaan linier. Setengah bidang ini, dan dalam kasus sistem pertidaksamaan linier, bagian dari bidang yang dibatasi oleh beberapa garis lurus, harus ditemukan dalam gambar.

Banyak masalah ekonomi direduksi menjadi pemecahan sistem pertidaksamaan linier dengan sejumlah besar variabel, khususnya, masalah program linier di mana diperlukan untuk menemukan fungsi maksimum atau minimum.

Memecahkan sistem pertidaksamaan linier dengan sejumlah yang tidak diketahui

Mari kita pertama menganalisis pertidaksamaan linier di pesawat. Pertimbangkan satu pertidaksamaan dengan dua variabel dan :

,

di mana adalah koefisien variabel (beberapa angka), adalah istilah bebas (juga beberapa angka).

Satu pertidaksamaan dengan dua yang tidak diketahui, seperti persamaan, memiliki jumlah solusi yang tak terbatas. Penyelesaian pertidaksamaan ini adalah sepasang bilangan yang memenuhi pertidaksamaan ini. Secara geometris, himpunan penyelesaian pertidaksamaan digambarkan sebagai setengah bidang yang dibatasi oleh garis lurus

,

yang akan kita sebut garis batas.

Langkah 1. Buat garis lurus yang membatasi himpunan solusi pertidaksamaan linier

Untuk melakukan ini, Anda perlu mengetahui dua titik dari garis ini. Mari kita cari titik potong dengan sumbu koordinat. Koordinat persimpangan A adalah nol (Gambar 1). Nilai numerik pada sumbu pada gambar ini mengacu pada contoh 1, yang akan kami analisis segera setelah penyimpangan teoretis ini.

Kami menemukan absis dengan memecahkan sebagai sistem persamaan garis lurus dengan persamaan sumbu.

Mari kita cari persimpangan dengan sumbu:

Substitusikan nilai ke persamaan pertama, kita dapatkan

Di mana .

Jadi, kami menemukan absis dari titik A .

Mari kita cari koordinat titik potong dengan sumbu.

Titik absis B sama dengan nol. Selesaikan persamaan garis batas dengan persamaan sumbu koordinat:

,

maka koordinat titik B: .

Langkah 2. Gambarlah garis yang membatasi himpunan solusi pertidaksamaan tersebut. Mengetahui poin A dan B perpotongan garis batas dengan sumbu koordinat, kita dapat menggambar garis ini. Garis lurus (gambar 1 lagi) membagi seluruh bidang menjadi dua bagian yang terletak di sebelah kanan dan kiri (atas dan bawah) garis lurus ini.

Langkah 3. Tentukan yang mana dari setengah bidang yang merupakan solusi dari pertidaksamaan ini. Untuk melakukan ini, kita perlu mengganti titik asal koordinat (0; 0) ke dalam pertidaksamaan ini. Jika koordinat titik asal memenuhi pertidaksamaan, maka solusi pertidaksamaan adalah setengah bidang di mana titik asal berada. Jika koordinat tidak memenuhi pertidaksamaan, maka solusi pertidaksamaan tersebut adalah setengah bidang yang tidak memuat titik asal. Setengah bidang dari solusi pertidaksamaan akan dilambangkan dengan garis lurus di dalam setengah bidang, seperti pada Gambar 1.

Jika kita memecahkan sistem pertidaksamaan linier, maka setiap langkah dilakukan untuk setiap pertidaksamaan sistem.

Contoh 1 Selesaikan pertidaksamaan

Keputusan. Mari menggambar garis lurus

Substitusikan garis lurus ke dalam persamaan, kita dapatkan, dan substitusikan, kita dapatkan. Oleh karena itu, koordinat titik-titik perpotongan dengan sumbu adalah A(3; 0) , B(0; 2) . Gambarlah garis lurus melalui titik-titik ini (sekali lagi, Gambar 1).

Kami memilih setengah bidang solusi untuk pertidaksamaan. Untuk melakukan ini, kami mengganti koordinat awal (0; 0) ke dalam ketidaksetaraan:

kami memperoleh , yaitu, koordinat asal memenuhi ketidaksetaraan ini. Akibatnya, solusi pertidaksamaan adalah setengah bidang yang mengandung titik asal, yaitu, setengah bidang kiri (atau lebih rendah).

Jika ketidaksetaraan ini ketat, itu akan memiliki bentuk

maka titik-titik garis batas tidak akan menjadi solusi, karena tidak memenuhi pertidaksamaan.

Sekarang perhatikan sistem pertidaksamaan linier dengan dua yang tidak diketahui:

Setiap ketidaksetaraan sistem ini pada bidang mendefinisikan setengah bidang. Sistem pertidaksamaan linier disebut konsisten jika memiliki setidaknya satu solusi, dan tidak konsisten jika tidak memiliki solusi. Penyelesaian sistem pertidaksamaan linier adalah setiap pasangan bilangan () yang memenuhi semua pertidaksamaan sistem ini.

Secara geometris, solusi untuk sistem pertidaksamaan linier adalah himpunan titik-titik yang memenuhi semua pertidaksamaan sistem, yaitu bagian umum dari setengah bidang yang dihasilkan. Oleh karena itu, secara geometris, dalam kasus umum, solusi dapat digambarkan sebagai poligon tertentu, dalam kasus tertentu, dapat berupa garis, segmen, dan bahkan titik. Jika sistem pertidaksamaan linier tidak konsisten, maka tidak ada satu titik pun pada bidang yang memenuhi semua pertidaksamaan sistem tersebut.

Contoh 2

Keputusan. Jadi, diperlukan untuk menemukan poligon solusi dari sistem pertidaksamaan ini. Mari kita buat garis batas untuk pertidaksamaan pertama, yaitu garis, dan garis batas pertidaksamaan kedua, yaitu garis.

Kami melakukan ini langkah demi langkah, seperti yang ditunjukkan dalam referensi teoretis dan dalam contoh 1, terutama karena dalam contoh 1 garis batas dibuat untuk pertidaksamaan, yang merupakan yang pertama dalam sistem ini.

Solusi setengah bidang yang sesuai dengan pertidaksamaan sistem ini diarsir ke dalam pada Gambar 2. Bagian umum dari solusi setengah bidang adalah sudut terbuka ABC. Ini berarti himpunan titik-titik pada bidang yang membentuk sudut terbuka ABC, adalah solusi untuk kedua pertidaksamaan pertama dan kedua dari sistem, yaitu, adalah solusi untuk sistem dua pertidaksamaan linier. Dengan kata lain, koordinat titik mana pun dari himpunan ini memenuhi kedua pertidaksamaan sistem.

Contoh 3 Memecahkan sistem pertidaksamaan linier

Keputusan. Mari kita buat garis batas yang sesuai dengan pertidaksamaan sistem. Kami melakukan ini dengan mengikuti langkah-langkah yang diberikan di latar belakang teoritis untuk setiap ketidaksetaraan. Sekarang kita mendefinisikan setengah bidang solusi untuk setiap pertidaksamaan (Gambar 3).

Solusi setengah bidang yang sesuai dengan pertidaksamaan sistem yang diberikan diarsir ke dalam. Perpotongan setengah bidang solusi digambarkan, seperti yang ditunjukkan pada gambar, dalam bentuk segi empat ABCE. Kami telah menemukan bahwa poligon solusi dari sistem pertidaksamaan linier dengan dua variabel adalah segi empat ABCE .

Semua yang dijelaskan di atas tentang sistem pertidaksamaan linier dengan dua yang tidak diketahui juga berlaku untuk sistem pertidaksamaan dengan sejumlah yang tidak diketahui, dengan satu-satunya perbedaan bahwa solusi dari pertidaksamaan dengan n yang tidak diketahui akan menjadi totalitas n angka () memenuhi semua ketidaksetaraan, dan alih-alih garis batas akan ada hyperplane batas n-ruang dimensi Solusinya akan menjadi solusi polihedron (simpleks) yang dibatasi oleh hyperplanes.

Memecahkan Pertidaksamaan dengan Dua Variabel, dan terlebih lagi sistem pertidaksamaan dengan dua variabel, tampaknya cukup menantang. Namun, ada algoritme sederhana yang membantu menyelesaikan masalah yang tampaknya sangat kompleks dengan mudah dan mudah. Mari kita coba mencari tahu.

Misalkan kita memiliki pertidaksamaan dengan dua variabel dari salah satu jenis berikut:

y > f(x); y f(x); kamu< f(x); y ≤ f(x).

Untuk menggambarkan himpunan solusi dari pertidaksamaan tersebut pada bidang koordinat, lakukan sebagai berikut:

1. Kami membuat grafik fungsi y = f(x), yang membagi bidang menjadi dua daerah.

2. Kami memilih salah satu area yang diperoleh dan mempertimbangkan di dalamnya titik sewenang-wenang. Kami memeriksa kepuasan ketidaksetaraan asli untuk titik ini. Jika hasil tesnya benar ketidaksamaan numerik, maka kita menyimpulkan bahwa pertidaksamaan asli dipenuhi di seluruh wilayah tempat titik yang dipilih berada. Dengan demikian, himpunan solusi pertidaksamaan adalah area tempat titik yang dipilih berada. Jika sebagai hasil pemeriksaan diperoleh ketidaksetaraan numerik yang salah, maka himpunan solusi untuk pertidaksamaan akan menjadi wilayah kedua, di mana titik yang dipilih tidak termasuk.

3. Jika pertidaksamaan tegas, maka batas-batas wilayah, yaitu titik-titik dari grafik fungsi y = f(x), tidak termasuk dalam himpunan solusi dan batasnya ditampilkan sebagai garis putus-putus. Jika pertidaksamaan tidak tegas, maka batas-batas daerah, yaitu titik-titik grafik fungsi y = f (x), termasuk dalam himpunan solusi pertidaksamaan ini, dan batas dalam hal ini adalah digambarkan garis utuh.
Sekarang mari kita lihat beberapa masalah tentang topik ini.

Tugas 1.

Himpunan titik yang diberikan oleh pertidaksamaan x · y 4?

Keputusan.

1) Kita buat grafik dari persamaan x · y = 4. Untuk melakukannya, kita ubah dulu. Jelas bahwa x dalam kasus ini tidak berubah menjadi 0, karena jika tidak, kita akan memiliki 0 · y = 4, yang tidak benar. Jadi kita bisa membagi persamaan kita dengan x. Kita peroleh: y = 4/x. Grafik fungsi ini adalah hiperbola. Ini membagi seluruh bidang menjadi dua wilayah: satu di antara dua cabang hiperbola dan yang di luarnya.

2) Kami memilih titik sewenang-wenang dari wilayah pertama, biarkan itu menjadi titik (4; 2).
Memeriksa pertidaksamaan: 4 2 4 salah.

Ini berarti bahwa titik-titik dari daerah ini tidak memenuhi pertidaksamaan asli. Kemudian kita dapat menyimpulkan bahwa himpunan solusi untuk pertidaksamaan akan menjadi wilayah kedua, di mana titik yang dipilih tidak termasuk.

3) Karena pertidaksamaan tidak tegas, kami menggambar titik batas, yaitu titik-titik grafik fungsi y = 4/x, dengan garis padat.

Mari kita warnai himpunan titik yang mendefinisikan pertidaksamaan asli, kuning (Gbr. 1).

Tugas 2.

Gambarlah luas yang didefinisikan pada bidang koordinat oleh sistem
( y > x 2 + 2;
(y + x > 1;
( x 2 + y 2 9.

Keputusan.

Membangun grafik untuk memulai fungsi berikut: (Gbr. 2):

y \u003d x 2 + 2 - parabola,

y + x = 1 - garis lurus

x 2 + y 2 \u003d 9 adalah lingkaran.

1) y > x 2 + 2.

Kami mengambil titik (0; 5), yang terletak di atas grafik fungsi.
Memeriksa pertidaksamaan: 5 > 0 2 + 2 benar.

Oleh karena itu, semua titik yang terletak di atas parabola yang diberikan y = x 2 + 2 memenuhi pertidaksamaan pertama sistem. Mari kita warnai mereka dengan warna kuning.

2) y + x > 1.

Kami mengambil titik (0; 3), yang terletak di atas grafik fungsi.
Memeriksa pertidaksamaan: 3 + 0 > 1 benar.

Oleh karena itu, semua titik yang terletak di atas garis y + x = 1 memenuhi pertidaksamaan kedua dari sistem. Mari kita warnai mereka dengan warna hijau.

3) x2 + y2 9.

Kita ambil sebuah titik (0; -4), yang terletak di luar lingkaran x 2 + y 2 = 9.
Memeriksa pertidaksamaan: 0 2 + (-4) 2 9 salah.

Jadi, semua titik yang terletak di luar lingkaran x 2 + y 2 = 9, tidak memenuhi pertidaksamaan ketiga dari sistem. Kemudian kita dapat menyimpulkan bahwa semua titik yang terletak di dalam lingkaran x 2 + y 2 = 9 memenuhi pertidaksamaan ketiga dari sistem. Mari kita lukis mereka dengan bayangan ungu.

Jangan lupa bahwa jika pertidaksamaannya ketat, maka garis batas yang sesuai harus digambar dengan garis putus-putus. Kami mendapatkan gambar berikut: (Gbr. 3).

(Gbr. 4).

Tugas 3.

Gambarkan area yang didefinisikan pada bidang koordinat oleh sistem:
(x 2 + y 2 16;
(x -y;
(x 2 + y 2 4.

Keputusan.

Untuk memulainya, kami membuat grafik dari fungsi-fungsi berikut:

x 2 + y 2 \u003d 16 - lingkaran,

x \u003d -y - lurus

x 2 + y 2 \u003d 4 - lingkaran (Gbr. 5).

Sekarang kita berurusan dengan setiap ketidaksetaraan secara terpisah.

1) x2 + y2 16.

Kita ambil titik (0;0) yang terletak di dalam lingkaran x 2 + y 2 = 16.
Memeriksa pertidaksamaan: 0 2 + (0) 2 16 benar.

Oleh karena itu, semua titik yang terletak di dalam lingkaran x 2 + y 2 = 16 memenuhi pertidaksamaan pertama sistem.
Mari kita warnai mereka dengan warna merah.

Kami mengambil titik (1; 1), yang terletak di atas grafik fungsi.
Kami memeriksa ketidaksetaraan: 1 -1 - benar.

Oleh karena itu, semua titik yang terletak di atas garis x = -y memenuhi pertidaksamaan kedua dari sistem. Mari kita warnai mereka dengan warna biru.

3) x2 + y2 4.

Kita ambil titik (0; 5), yang terletak di luar lingkaran x 2 + y 2 = 4.
Kami memeriksa ketidaksetaraan: 0 2 + 5 2 4 benar.

Oleh karena itu, semua titik yang terletak di luar lingkaran x 2 + y 2 = 4 memenuhi pertidaksamaan ketiga dari sistem. Mari kita warnai mereka dengan warna biru.

Dalam masalah ini, semua ketidaksetaraan tidak ketat, yang berarti bahwa kita menggambar semua batas dengan garis yang solid. Kami mendapatkan gambar berikut: (Gbr. 6).

Area of ​​interest adalah area di mana ketiga area berwarna saling berpotongan. (gambar 7).

Apakah Anda memiliki pertanyaan? Tidak yakin bagaimana menyelesaikan sistem pertidaksamaan dengan dua variabel?
Untuk mendapatkan bantuan dari tutor -.
Pelajaran pertama gratis!

blog.site, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

Hanya ada "X" dan hanya sumbu absis, sekarang "Ys" ditambahkan dan bidang aktivitas meluas ke seluruh bidang koordinat. Lebih lanjut dalam teks, frasa "ketidaksamaan linier" dipahami dalam pengertian dua dimensi, yang akan menjadi jelas dalam hitungan detik.

Selain dari geometri analitik, materi relevan untuk sejumlah tugas analisis matematis, ekonomi pemodelan matematika Oleh karena itu, saya menyarankan Anda mempelajari kuliah ini dengan sungguh-sungguh.

Pertidaksamaan linier

Ada dua jenis pertidaksamaan linier:

1) Ketat ketidaksetaraan: .

2) Tidak ketat ketidaksetaraan: .

Yang arti geometris ketidaksetaraan ini? Jika persamaan linier mendefinisikan garis lurus, maka pertidaksamaan linier mendefinisikan setengah bidang.

Untuk memahami informasi berikut, Anda perlu mengetahui jenis-jenis garis pada bidang dan mampu membangun garis. Jika Anda mengalami kesulitan di bagian ini, baca bantuan Grafik dan sifat-sifat fungsi– paragraf tentang fungsi linier.

Mari kita mulai dengan pertidaksamaan linier paling sederhana. Mimpi biru pecundang mana pun adalah bidang koordinat di mana tidak ada apa-apa:

Seperti yang Anda ketahui, sumbu absis diberikan oleh persamaan - "y" selalu (untuk setiap nilai "x") sama dengan nol

Mari kita pertimbangkan ketidaksetaraan. Bagaimana memahaminya secara informal? "Y" selalu (untuk setiap nilai "x") positif. Jelas bahwa ketidaksetaraan ini mendefinisikan setengah bidang atas, karena semua titik dengan "permainan" positif terletak di sana.

Jika pertidaksamaannya tidak ketat, ke setengah bidang atas tambahan sumbu ditambahkan.

Demikian pula: ketidaksetaraan dipenuhi oleh semua titik dari setengah bidang bawah, pertidaksamaan non-ketat sesuai dengan setengah bidang bawah + sumbu .

Dengan sumbu y, cerita membosankan yang sama:

– ketidaksetaraan mendefinisikan setengah bidang kanan;
– pertidaksamaan mendefinisikan setengah bidang kanan, termasuk sumbu y;
– ketidaksetaraan mendefinisikan setengah bidang kiri;
– pertidaksamaan mendefinisikan setengah bidang kiri, termasuk sumbu y.

Pada langkah kedua, kami mempertimbangkan ketidaksetaraan di mana salah satu variabel hilang.

Hilangnya "y":

Atau hilang "X":

Ketidaksetaraan ini dapat diatasi dengan dua cara. tolong pertimbangkan kedua pendekatan. Sepanjang jalan, mari kita mengingat dan mengkonsolidasikan tindakan sekolah dengan ketidaksetaraan yang telah dibahas dalam pelajaran Lingkup fungsi.

Contoh 1

Memecahkan pertidaksamaan linier:

Apa yang dimaksud dengan penyelesaian pertidaksamaan linier?

Menyelesaikan pertidaksamaan linier berarti menemukan setengah bidang, yang titik-titiknya memenuhi pertidaksamaan yang diberikan (ditambah garis itu sendiri, jika pertidaksamaannya tidak tegas). Keputusan, biasanya, grafis.

Lebih mudah untuk segera mengeksekusi gambar, dan kemudian mengomentari semuanya:

a) Selesaikan pertidaksamaan

Metode satu

Metodenya sangat mirip dengan cerita dengan sumbu koordinat, yang telah kita bahas di atas. Idenya adalah untuk mengubah pertidaksamaan - untuk meninggalkan satu variabel di sisi kiri tanpa konstanta, dalam hal ini, variabel x.

aturan: Pada pertidaksamaan, suku-suku tersebut dipindahkan dari bagian ke bagian dengan tanda yang berubah, sedangkan tanda pertidaksamaan itu sendiri tidak berubah(misalnya, jika ada tanda "kurang dari", maka itu akan tetap "kurang").

Kami mentransfer "lima" ke sisi kanan dengan perubahan tanda:

aturan POSITIF tidak berubah.

Sekarang gambar garis lurus (garis biru putus-putus). Garis lurus putus-putus karena pertidaksamaan ketat, dan titik-titik yang termasuk dalam garis ini pasti tidak akan disertakan dalam solusi.

Apa pengertian dari ketidaksetaraan? "X" selalu (untuk setiap nilai "y") kurang dari . Jelas, pernyataan ini dipenuhi oleh semua titik dari setengah bidang kiri. Setengah bidang ini, pada prinsipnya, dapat diarsir, tetapi saya akan membatasi diri pada panah biru kecil agar tidak mengubah gambar menjadi palet artistik.

Metode dua

Ini adalah cara universal. BACA SANGAT TELITI!

Pertama, buat garis lurus. Untuk kejelasan, disarankan untuk merepresentasikan persamaan dalam bentuk .

Sekarang pilih titik mana pun dari pesawat, tidak termasuk dalam garis lurus. Dalam kebanyakan kasus, poin yang paling enak, tentu saja. Substitusikan koordinat titik ini ke dalam pertidaksamaan:

Diterima ketidaksetaraan yang salah (dengan kata-kata sederhana, ini tidak mungkin), yang berarti bahwa titik tersebut tidak memenuhi pertidaksamaan .

Aturan Kunci tugas kita:
tidak memuaskan ketidaksetaraan, maka SEMUA titik-titik dari setengah bidang yang diberikan tidak memuaskan terhadap ketidaksetaraan ini.
– Jika ada titik setengah bidang (bukan milik garis) memuaskan ketidaksetaraan, maka SEMUA titik-titik dari setengah bidang yang diberikan memuaskan terhadap ketidaksetaraan ini.

Anda dapat menguji: titik mana pun di sebelah kanan garis tidak akan memenuhi pertidaksamaan .

Apa kesimpulan dari percobaan dengan titik? Tidak ada tempat untuk pergi, ketidaksetaraan dipenuhi oleh semua titik yang lain - setengah bidang kiri (Anda juga dapat memeriksa).

b) Selesaikan pertidaksamaan

Metode satu

Mari kita ubah pertidaksamaannya:

aturan: Kedua ruas pertidaksamaan dapat dikalikan (dibagi) dengan NEGATIF bilangan, sedangkan tanda pertidaksamaan MENGUBAH sebaliknya (misalnya, jika ada tanda "lebih besar dari atau sama dengan", maka itu akan menjadi "kurang dari atau sama dengan").

Kalikan kedua ruas pertidaksamaan dengan:

Mari kita menggambar garis lurus (warna merah), apalagi menggambar garis lurus, karena kita memiliki pertidaksamaan tidak ketat, dan garis itu pasti milik solusi.

Setelah menganalisis ketidaksetaraan yang dihasilkan, kami sampai pada kesimpulan bahwa solusinya adalah setengah bidang bawah (+ garis itu sendiri).

Setengah bidang yang cocok ditetaskan atau ditandai dengan panah.

Metode dua

Mari kita menggambar garis lurus. Mari kita pilih titik sembarang dari pesawat (bukan milik garis lurus), misalnya, dan substitusikan koordinatnya ke dalam ketidaksetaraan kita:

Diterima pertidaksamaan yang benar, maka titik memenuhi pertidaksamaan , dan secara umum, SEMUA titik dari setengah bidang bawah memenuhi pertidaksamaan ini.

Di sini, dengan titik eksperimental, kami "menekan" setengah bidang yang diinginkan.

Solusi untuk masalah ini ditunjukkan oleh garis lurus merah dan panah merah.

Secara pribadi, saya lebih menyukai solusi pertama, karena yang kedua lebih formal.

Contoh 2

Memecahkan pertidaksamaan linier:

Ini adalah contoh untuk keputusan independen. Cobalah untuk memecahkan masalah dengan dua cara (omong-omong, ini adalah Cara yang baik verifikasi solusi). Dalam jawaban di akhir pelajaran hanya akan ada gambar terakhir.

Saya pikir setelah semua tindakan yang dilakukan dalam contoh, Anda harus menikahi mereka, tidak akan sulit untuk menyelesaikan ketidaksetaraan yang paling sederhana, seperti, dll.

Mari kita beralih ke yang ketiga kasus umum ketika kedua variabel hadir dalam pertidaksamaan:

Atau, istilah bebas "ce" mungkin nol.

Contoh 3

Temukan setengah bidang yang sesuai dengan pertidaksamaan berikut:

Keputusan: Digunakan di sini metode universal solusi substitusi titik.

a) Mari kita buat persamaan garis lurus, sedangkan garis harus ditarik dengan garis putus-putus, karena pertidaksamaannya tegas dan garis lurus itu sendiri tidak termasuk dalam penyelesaian.

Kami memilih titik eksperimental bidang yang tidak termasuk dalam garis yang diberikan, misalnya, dan mengganti koordinatnya ke dalam ketidaksetaraan kami:

Diterima ketidaksetaraan yang salah, sehingga titik dan SEMUA titik dari setengah bidang ini tidak memenuhi pertidaksamaan . Solusi untuk ketidaksetaraan akan menjadi setengah bidang lainnya, kami mengagumi kilat biru:

b) Selesaikan pertidaksamaan tersebut. Mari kita menggambar garis lurus terlebih dahulu. Ini mudah dilakukan, kami memiliki proporsionalitas langsung kanonik. Garis ditarik padat, karena ketidaksetaraan tidak ketat.

Kami memilih titik sewenang-wenang dari pesawat yang bukan milik garis. Saya ingin menggunakan asal lagi, tetapi, sayangnya, sekarang tidak cocok. Karena itu, Anda harus bekerja dengan pacar lain. Lebih menguntungkan untuk mengambil satu poin dari nilai kecil koordinat, misalnya . Substitusikan koordinatnya ke dalam pertidaksamaan kita:

Diterima pertidaksamaan yang benar, sehingga titik dan semua titik dari setengah bidang yang diberikan memenuhi pertidaksamaan . Setengah bidang yang diinginkan ditandai dengan panah merah. Selain itu, solusinya mencakup garis itu sendiri.

Contoh 4

Temukan setengah bidang yang sesuai dengan pertidaksamaan:

Ini adalah contoh do-it-yourself. Solusi Lengkap, contoh sentuhan akhir, dan jawaban di akhir pelajaran.

Mari lihat masalah terbalik:

Contoh 5

a) Diberikan garis lurus. Mendefinisikan setengah bidang di mana titik berada, sedangkan garis itu sendiri harus dimasukkan dalam solusi.

b. Diberikan garis lurus. Mendefinisikan setengah bidang di mana titik tersebut berada. Garis itu sendiri tidak termasuk dalam solusi.

Keputusan: tidak perlu menggambar di sini dan solusinya akan analitis. Tidak ada yang sulit:

a) Buatlah polinomial bantu dan hitung nilainya di titik :
. Dengan demikian, pertidaksamaan yang diinginkan adalah dengan tanda "kurang dari". Dengan syarat, garis termasuk dalam solusi, sehingga pertidaksamaan tidak ketat:

b) Susun polinomial dan hitung nilainya di titik :
. Dengan demikian, ketidaksetaraan yang diinginkan adalah dengan tanda "lebih besar dari". Dengan syarat, garis tidak termasuk dalam solusi, oleh karena itu, pertidaksamaan akan ketat: .

Menjawab:

contoh kreatif untuk Belajar sendiri:

Contoh 6

Diberikan titik dan garis. Di antara titik-titik yang terdaftar, temukan titik-titik yang, bersama dengan titik asal, terletak pada sisi yang sama dari garis yang diberikan.

Sedikit petunjuk: pertama-tama Anda perlu menulis ketidaksetaraan yang mendefinisikan setengah bidang di mana titik asal berada. Solusi analitis dan jawaban di akhir pelajaran.

Sistem pertidaksamaan linier

Sistem pertidaksamaan linier, seperti yang Anda pahami, adalah sistem yang terdiri dari beberapa pertidaksamaan. Lol, ya, saya memberikan definisi =) Landak adalah landak, pisau adalah pisau. Tetapi kenyataannya adalah - ternyata sederhana dan terjangkau! Tidak, serius, saya tidak ingin memberikan contoh apa pun di pandangan umum, jadi mari kita langsung ke masalah mendesak:

Apa yang dimaksud dengan penyelesaian sistem pertidaksamaan linier?

Memecahkan sistem pertidaksamaan linier- itu berarti tentukan himpunan titik pada bidang yang memuaskan untuk masing-masing ketidaksetaraan sistem.

Sebagai contoh paling sederhana, pertimbangkan sistem pertidaksamaan yang mendefinisikan kuartal koordinat sistem persegi panjang koordinat ("menggambar berpasangan" ada di awal pelajaran):

Sistem pertidaksamaan mendefinisikan kuartal koordinat pertama (kanan atas). Koordinat titik mana pun dari kuartal pertama, misalnya, dll. memuaskan untuk masing-masing ketidaksetaraan sistem ini.

Demikian pula:
– sistem ketidaksetaraan mendefinisikan kuartal koordinat kedua (kiri atas);
– sistem ketidaksetaraan mendefinisikan kuartal koordinat ketiga (kiri bawah);
– sistem pertidaksamaan mendefinisikan kuartal koordinat keempat (kanan bawah).

Sistem pertidaksamaan linier mungkin tidak memiliki solusi, yaitu menjadi tidak cocok. Lagi contoh paling sederhana: . Sangat jelas bahwa "x" tidak boleh lebih dari tiga dan kurang dari dua pada saat yang bersamaan.

Penyelesaian sistem pertidaksamaan dapat berupa garis lurus, contoh: . Angsa, kanker, tidak ada tombak, menarik kereta menjadi dua sisi yang berbeda. Ya, semuanya masih ada - solusi untuk sistem ini adalah garis lurus.

Tetapi kasus yang paling umum, ketika solusi dari sistem adalah beberapa area pesawat. Area keputusan mungkin tak terbatas(misalnya, koordinat perempat) atau terbatas. Domain terbatas dari solusi disebut sistem solusi poligon.

Contoh 7

Memecahkan sistem pertidaksamaan linier

Dalam praktiknya, dalam banyak kasus, Anda harus berurusan dengan ketidaksetaraan yang tidak ketat, sehingga mereka akan menari sepanjang sisa pelajaran.

Keputusan: fakta bahwa ada terlalu banyak ketidaksetaraan seharusnya tidak menakutkan. Berapa banyak ketidaksetaraan yang bisa terjadi dalam suatu sistem? Ya, sebanyak yang Anda inginkan. Hal utama adalah mematuhi algoritma rasional untuk membangun area solusi:

1) Pertama, kita berurusan dengan pertidaksamaan paling sederhana. Pertidaksamaan mendefinisikan kuartal koordinat pertama, termasuk batas dari sumbu koordinat. Sudah jauh lebih mudah, karena area pencarian telah menyempit secara signifikan. Dalam gambar, kami segera menandai dengan panah setengah bidang yang sesuai (merah dan panah biru)

2) Pertidaksamaan paling sederhana kedua - tidak ada "y" di sini. Pertama, kami membangun garis itu sendiri, dan, kedua, setelah mengubah ketidaksetaraan menjadi bentuk, segera menjadi jelas bahwa semua "x" kurang dari 6. Kami menandai setengah bidang yang sesuai dengan panah hijau. Nah, area pencarian menjadi lebih kecil - persegi panjang yang tidak dibatasi dari atas.

3) Pada langkah terakhir, kami memecahkan ketidaksetaraan "dengan amunisi penuh": . Kami membahas algoritma solusi secara rinci di bagian sebelumnya. Singkatnya: pertama kita membangun garis lurus, kemudian dengan bantuan titik eksperimental kita menemukan setengah bidang yang kita butuhkan.

Berdiri, anak-anak, berdiri dalam lingkaran:


Area solusi sistem adalah poligon, dalam gambar itu dilingkari dengan garis merah dan diarsir. Saya sedikit berlebihan =) Di buku catatan, cukup untuk menaungi area solusi, atau menguraikannya lebih berani dengan pensil sederhana.

Setiap titik poligon ini memenuhi SETIAP ketidaksetaraan sistem (untuk bunga, Anda dapat memeriksa).

Menjawab: solusi sistem adalah poligon.

Saat membuat salinan yang bersih, alangkah baiknya untuk menjelaskan secara rinci pada titik mana Anda membuat garis lurus (lihat pelajaran Grafik dan sifat-sifat fungsi), dan bagaimana setengah bidang ditentukan (lihat paragraf pertama pelajaran ini). Namun, dalam praktiknya, dalam banyak kasus, Anda akan dikreditkan dan hanya gambar yang benar. Perhitungannya sendiri dapat dilakukan secara draft atau bahkan secara lisan.

Selain poligon solusi dari sistem, dalam praktiknya, meskipun lebih jarang, ada Area terbuka. Cobalah untuk melihat contoh berikutnya sendiri. Meskipun, demi akurasi, tidak ada penyiksaan di sini - algoritme konstruksinya sama, hanya saja areanya akan menjadi tidak terbatas.

Contoh 8

Memecahkan sistem

Solusi dan jawaban di akhir pelajaran. Kemungkinan besar Anda akan memiliki penunjukan huruf lain untuk simpul dari area yang dihasilkan. Ini tidak penting, yang utama adalah menemukan simpul dengan benar dan membangun area dengan benar.

Tidak jarang ketika dalam tugas diperlukan tidak hanya untuk membangun domain solusi dari sistem, tetapi juga untuk menemukan koordinat simpul dari domain. Dalam dua contoh sebelumnya, koordinat titik-titik ini jelas, tetapi dalam praktiknya semuanya jauh dari es:

Contoh 9

Selesaikan sistem dan temukan koordinat simpul dari area yang dihasilkan

Keputusan: kami akan menggambarkan area solusi sistem ini dalam gambar. Pertidaksamaan mengatur setengah bidang kiri dengan sumbu y, dan tidak ada lagi gratisan di sini. Setelah perhitungan pada bersih / draft atau dalam proses berpikir, kita peroleh luas solusi berikut:

Biarkan diberikan persamaan dengan dua variabel F(x; y). Anda telah belajar bagaimana memecahkan persamaan tersebut secara analitis. Himpunan solusi persamaan tersebut juga dapat direpresentasikan dalam bentuk grafik.

Grafik persamaan F(x; y) adalah himpunan titik-titik pada bidang koordinat xOy yang koordinatnya memenuhi persamaan.

Untuk memplot persamaan dua variabel, pertama-tama nyatakan variabel y dalam bentuk variabel x dalam persamaan.

Tentunya Anda sudah tahu cara membuat berbagai grafik persamaan dengan dua variabel: ax + b \u003d c adalah garis lurus, yx \u003d k adalah hiperbola, (x - a) 2 + (y - b) 2 \u003d R 2 adalah lingkaran yang jari-jarinya R, dan pusatnya di titik O(a; b).

Contoh 1

Plot persamaan x 2 - 9y 2 = 0.

Keputusan.

Mari kita memfaktorkan ruas kiri persamaan.

(x - 3y)(x+ 3y) = 0, yaitu y = x/3 atau y = -x/3.

Jawaban: gambar 1.

Tempat khusus ditempati oleh penetapan angka-angka di pesawat dengan persamaan yang mengandung tanda nilai mutlak, yang akan kita bahas secara rinci. Pertimbangkan tahapan memplot persamaan bentuk |y| = f(x) dan |y| = |f(x)|.

Persamaan pertama setara dengan sistem

(f(x) 0,
(y = f(x) atau y = -f(x).

Artinya, grafiknya terdiri dari grafik dua fungsi: y = f(x) dan y = -f(x), di mana f(x) 0.

Untuk plot grafik persamaan kedua, grafik dua fungsi diplot: y = f(x) dan y = -f(x).

Contoh 2

Gambarkan persamaan |y| = 2 + x.

Keputusan.

Persamaan yang diberikan setara dengan sistem

(x + 2 0,
(y = x + 2 atau y = -x - 2.

Kami membangun satu set poin.

Jawaban: gambar 2.

Contoh 3

Gambarkan persamaan |y – x| = 1.

Keputusan.

Jika y x, maka y = x + 1, jika y x, maka y = x - 1.

Jawaban: gambar 3.

Saat membuat grafik persamaan yang berisi variabel di bawah tanda modul, akan lebih mudah dan rasional untuk digunakan metode luas, berdasarkan pemisahan bidang koordinat menjadi bagian-bagian di mana setiap ekspresi submodul mempertahankan tandanya.

Contoh 4

Plot persamaan x + |x| + y + |y| = 2.

Keputusan.

PADA contoh ini tanda setiap ekspresi submodul bergantung pada koordinat kuartal.

1) Pada kuadran koordinat pertama x 0 dan y 0. Setelah modul diperluas persamaan yang diberikan akan terlihat seperti:

2x + 2y = 2, dan setelah disederhanakan x + y = 1.

2) Pada kuartal kedua, di mana x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.

3) Pada kuarter ketiga x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.

4) Pada kuartal keempat, untuk x 0 dan y< 0 получим, что x = 1.

Jadwal persamaan yang diberikan Kami akan membangun di perempat.

Jawaban: gambar 4.

Contoh 5

Gambarlah himpunan titik-titik yang koordinatnya memenuhi persamaan |x – 1| + |y – 1| = 1.

Keputusan.

Nol dari ekspresi submodul x = 1 dan y = 1 membagi bidang koordinat menjadi empat daerah. Mari kita uraikan modul berdasarkan wilayah. Mari kita letakkan ini dalam bentuk tabel.

Wilayah	Tanda ekspresi submodul	Persamaan yang dihasilkan setelah memperluas modul
Saya	x 1 dan y 1	x + y = 3
II	x< 1 и y ≥ 1	-x+y=1
AKU AKU AKU	x< 1 и y < 1	x + y = 1
IV	x 1 dan y< 1	x – y = 1

Jawaban: gambar 5.

Pada bidang koordinat, angka dapat ditentukan dan ketidaksetaraan.

Grafik pertidaksamaan dengan dua variabel adalah himpunan semua titik pada bidang koordinat yang koordinatnya merupakan solusi dari pertidaksamaan ini.

Mempertimbangkan algoritma untuk membangun model untuk memecahkan pertidaksamaan dengan dua variabel:

1. Tuliskan persamaan yang sesuai dengan pertidaksamaan tersebut.
2. Plot persamaan dari langkah 1.
3. Pilih titik sembarang di salah satu setengah bidang. Periksa apakah koordinat titik yang dipilih memenuhi pertidaksamaan yang diberikan.
4. Gambarkan secara grafis himpunan semua solusi pertidaksamaan tersebut.

Pertimbangkan, pertama-tama, pertidaksamaan ax + bx + c > 0. Persamaan ax + bx + c = 0 mendefinisikan garis lurus yang membagi bidang menjadi dua setengah bidang. Pada masing-masing dari mereka, fungsi f(x) = ax + bx + c adalah pelestarian tanda. Untuk menentukan tanda ini, cukup mengambil titik mana pun yang termasuk dalam setengah bidang dan menghitung nilai fungsi pada titik ini. Jika tanda fungsi bertepatan dengan tanda pertidaksamaan, maka setengah bidang ini akan menjadi solusi pertidaksamaan.

Pertimbangkan contoh solusi grafis pertidaksamaan dua variabel yang paling umum.

1) ax + bx + c 0. Gambar 6.

2) |x| a, a > 0. Gambar 7.

3) x 2 + y 2 a, a > 0. Angka 8.

4) y x2. Gambar 9

5) xy 1. Gambar 10.

Jika Anda memiliki pertanyaan atau ingin berlatih memodelkan himpunan semua solusi pertidaksamaan dua variabel pada bidang model menggunakan pemodelan matematika, Anda dapat sesi 25 menit gratis dengan guru online setelah Anda mendaftar. Untuk pekerjaan selanjutnya dengan seorang guru, Anda akan memiliki kesempatan untuk memilih paket tarif yang sesuai untuk Anda.

Apakah Anda memiliki pertanyaan? Tidak tahu cara menggambar angka di bidang koordinat?
Untuk mendapatkan bantuan tutor - daftar.
Pelajaran pertama gratis!

situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, tautan ke sumber diperlukan.