Kami bertemu dengan ketidaksetaraan di sekolah, di mana kami menggunakan ketidaksetaraan numerik. Dalam artikel ini, kami mempertimbangkan sifat-sifat ketidaksetaraan numerik, beberapa di antaranya merupakan prinsip dasar untuk bekerja dengannya.

Sifat-sifat pertidaksamaan mirip dengan sifat-sifat pertidaksamaan numerik. Properti, pembenarannya akan dipertimbangkan, kami akan memberikan contoh.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pertidaksamaan numerik: definisi, contoh

Saat memperkenalkan konsep ketidaksetaraan, kita memiliki definisi yang dibuat sesuai dengan jenis catatan. Tersedia ekspresi aljabar, yang memiliki tanda ,< , >, , . Mari kita beri definisi.

Definisi 1

Ketimpangan numerik disebut pertidaksamaan di mana kedua sisi memiliki angka dan ekspresi numerik.

Pertidaksamaan numerik pertimbangkan kembali ke sekolah setelah belajar bilangan asli. Operasi perbandingan tersebut dipelajari langkah demi langkah. Tampilan awal seperti 1< 5 , 5 + 7 >3 . Setelah itu, aturannya ditambah, dan pertidaksamaan menjadi lebih rumit, maka kita memperoleh pertidaksamaan dalam bentuk 5 2 3 > 5 , 1 (2) , ln 0 . 73 - 17 2< 0 .

Sifat-sifat pertidaksamaan numerik

Untuk bekerja dengan pertidaksamaan dengan benar, Anda harus menggunakan sifat pertidaksamaan numerik. Mereka berasal dari konsep ketidaksetaraan. Konsep seperti itu ditentukan menggunakan pernyataan, yang dilambangkan sebagai "lebih besar dari" atau "kurang dari".

Definisi 2

• angka a lebih besar dari b bila selisih a - b adalah bilangan positif;
• bilangan a lebih kecil dari b bila selisih a - b bilangan negatif;
• bilangan a sama dengan b jika selisih a - b sama dengan nol.

Definisi ini digunakan ketika memecahkan pertidaksamaan dengan hubungan "kurang dari atau sama", "lebih besar dari atau sama". Kami mengerti

Definisi 3

• a lebih besar dari atau sama dengan b ketika a - b adalah bilangan non-negatif;
• a kurang dari atau sama dengan b jika a - b adalah bilangan non-positif.

Definisi akan digunakan untuk membuktikan sifat-sifat pertidaksamaan numerik.

Sifat dasar

Pertimbangkan 3 ketidaksetaraan utama. Penggunaan tanda< и >karakteristik dengan sifat:

Definisi 4

• anti-refleksivitas, yang menyatakan bahwa sembarang bilangan a dari pertidaksamaan a< a и a >a dianggap tidak sah. Diketahui bahwa untuk setiap a persamaan a a = 0 berlaku, maka kita mendapatkan bahwa a = a. jadi< a и a >a tidak benar. Misalnya 3< 3 и - 4 14 15 >- 4 14 15 salah.
• asimetri. Bila bilangan a dan b sedemikian rupa sehingga a< b , то b >a , dan jika a > b , maka b< a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a < b , тогда a − b является отрицательным числом. А b − a = − (a − b) положительное число, потому как число противоположно отрицательному числу a − b . Отсюда следует, что b >sebuah. Bagian kedua dibuktikan dengan cara yang sama.

Contoh 1

Misalnya, diberikan pertidaksamaan 5< 11 имеем, что 11 >5 , maka pertidaksamaan numeriknya 0, 27 > 1 , 3 akan ditulis ulang menjadi 1 , 3< − 0 , 27 .

Sebelum beralih ke properti berikutnya, kami mencatat bahwa dengan bantuan asimetri, seseorang dapat membaca pertidaksamaan dari kanan ke kiri dan sebaliknya. Dengan demikian, pertidaksamaan numerik dapat diubah dan dipertukarkan.

Definisi 5

• transitivitas. Bila bilangan a , b , c memenuhi syarat a< b и b < c , тогда a < c , и если a >b dan b > c , maka a > c .

Bukti 1

Pernyataan pertama dapat dibuktikan. kondisi a< b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать.

Bagian kedua dengan sifat transitivitas dibuktikan dengan cara yang sama.

Contoh 2

Properti yang dianalisis dipertimbangkan pada contoh ketidaksetaraan 1< 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 >1 8 dan 1 8 > 1 32 maka 1 2 > 1 32 .

Pertidaksamaan numerik, yang ditulis dengan menggunakan tanda pertidaksamaan tak tegas, memiliki sifat refleksivitas, karena a a dan a a dapat memiliki kasus persamaan a = a. mereka dicirikan oleh asimetri dan transitivitas.

Definisi 6

Pertidaksamaan yang bertanda dan dalam notasinya memiliki sifat-sifat sebagai berikut:

• refleksivitas a a dan a a dianggap sebagai pertidaksamaan yang benar;
• antisimetri jika a b , maka b a , dan jika a b , maka b a .
• transitivitas ketika a b dan b c , maka a c , dan juga, jika a b dan b c , maka a c .

Pembuktian dilakukan dengan cara yang sama.

Sifat penting lainnya dari pertidaksamaan numerik

Untuk melengkapi sifat-sifat utama pertidaksamaan, digunakan hasil yang memiliki nilai praktis. Prinsip metode evaluasi nilai ekspresi diterapkan, yang menjadi dasar prinsip penyelesaian ketidaksetaraan.

Bagian ini mengungkapkan sifat-sifat pertidaksamaan untuk salah satu tanda pertidaksamaan ketat. Hal yang sama dilakukan untuk yang tidak ketat. Perhatikan sebuah contoh, merumuskan pertidaksamaan jika a< b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства:

• jika a > b , maka a + c > b + c ;
• jika a b , maka a + c b + c ;
• jika a b , maka a + c b + c .

Untuk presentasi yang nyaman, kami memberikan pernyataan yang sesuai, yang ditulis dan bukti diberikan, contoh penggunaan ditunjukkan.

Definisi 7

Menambahkan atau menghitung angka di kedua sisi. Dengan kata lain, ketika a dan b sesuai dengan pertidaksamaan a< b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c .

Bukti 2

Untuk membuktikannya, persamaan tersebut harus memenuhi kondisi a< b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа – с.

Contoh 3

Misalnya, jika kedua bagian dari pertidaksamaan 7 > 3 ditambah 15 , maka diperoleh 7 + 15 > 3 + 15 . Ini sama dengan 22 > 18 .

Definisi 8

Ketika kedua bagian pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan angka yang sama c, kita mendapatkan pertidaksamaan yang benar. Jika kita mengambil angka c negatif, maka tandanya akan berubah menjadi sebaliknya. Jika tidak, akan terlihat seperti ini: untuk a dan b, pertidaksamaan berlaku ketika a< b и c являются положительными числами, то a· c < b · c , а если v является отрицательным числом, тогда a · c >SM

Bukti 3

Jika terdapat kasus c > 0 , maka perlu dibuat selisih antara bagian kiri dan kanan pertidaksamaan tersebut. Kemudian kita dapatkan bahwa a · c b · c = (a b) · c . Dari kondisi a< b , то a − b < 0 , а c >0 , maka hasil kali (a b) · c akan negatif. Ini menyiratkan bahwa a c b c< 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.

Dalam pembuktiannya, pembagian dengan bilangan bulat dapat diganti dengan perkalian dengan kebalikan dari bilangan yang diberikan, yaitu 1 c . Perhatikan contoh properti pada bilangan tertentu.

Contoh 4

Kedua bagian pertidaksamaan diperbolehkan 4< 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 .

Sekarang kami merumuskan dua hasil berikut yang digunakan dalam menyelesaikan pertidaksamaan:

• Konsekuensi 1. Saat mengubah tanda bagian dari pertidaksamaan numerik, tanda pertidaksamaan itu sendiri berubah menjadi kebalikannya, seperti a< b , как − a >b. Ini sesuai dengan aturan mengalikan kedua bagian dengan - 1 . Ini berlaku untuk transisi. Misalnya 6< − 2 , то 6 > 2 .
• Konsekuensi 2. Ketika bagian dari pertidaksamaan numerik diganti dengan kebalikannya, tandanya juga berubah, dan pertidaksamaan tetap benar. Oleh karena itu kita memiliki bahwa a dan b adalah bilangan positif, a< b , 1 a >1b.

Saat membagi kedua bagian pertidaksamaan a< b разрешается на число a · b . Данное свойство используется при верном неравенстве 5 >3 2 kita punya itu 1 5< 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a < b , неравенство 1 a >1 b mungkin salah.

Contoh 5

Misalnya, 2< 3 , однако, - 1 2 >1 3 adalah persamaan yang tidak valid.

Semua poin disatukan oleh fakta bahwa tindakan pada bagian ketidaksetaraan memberikan ketidaksetaraan yang benar pada output. Pertimbangkan properti di mana awalnya ada beberapa ketidaksetaraan numerik, dan hasilnya akan diperoleh dengan menambahkan atau mengalikan bagian-bagiannya.

Definisi 9

Bila bilangan a , b , c , d valid untuk pertidaksamaan a< b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.

Bukti 4

Buktikan bahwa (a + c) (b + d) adalah bilangan negatif, maka diperoleh a + c< b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a < b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.

Properti ini digunakan untuk penambahan suku demi suku dari tiga, empat atau lebih pertidaksamaan numerik. Bilangan a 1 , a 2 , … , a n dan b 1 , b 2 , … , b n mengalami pertidaksamaan a 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математической индукции, получив a 1 + a 2 + … + a n < b 1 + b 2 + … + b n .

Contoh 6

Misalnya, diberikan tiga pertidaksamaan numerik dengan tanda yang sama 5< − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным.

Definisi 10

Perkalian termwise kedua bagian menghasilkan bilangan positif. Untuk sebuah< b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым.

Bukti 5

Untuk membuktikan ini, kita membutuhkan kedua sisi pertidaksamaan a< b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d .

Properti ini dianggap valid untuk jumlah angka yang harus dikalikan dengan kedua sisi pertidaksamaan. Kemudian a 1 , a 2 , … , a n dan b 1 , b 2 , … , b n adalah bilangan positif mi, di mana 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 a 2 … a n< b 1 · b 2 · … · b n .

Perhatikan bahwa saat menulis pertidaksamaan ada bilangan non-positif, maka perkalian suku demi sukunya menghasilkan pertidaksamaan yang salah.

Contoh 7

Misal pertidaksamaan 1< 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством.

Konsekuensi: Perkalian termwise dari pertidaksamaan a< b с положительными с a и b , причем получается a n < b n .

Sifat-sifat pertidaksamaan numerik

Perhatikan sifat-sifat pertidaksamaan numerik berikut.

1. sebuah< a , a >a - pertidaksamaan palsu,
   a a , a a adalah pertidaksamaan yang sah.
2. Jika sebuah< b , то b >a - antisimetri.
3. Jika sebuah< b и b < c то a < c - транзитивность.
4. Jika sebuah< b и c - любоое число, то a + b < b + c .
5. Jika sebuah< b и c - положительное число, то a · c < b · c ,
   Jika sebuah< b и c - отрицательное число, то a · c >SM

Akibat wajar 1: jika sebuah< b , то - a >-b.

Konsekuensi 2: jika a dan b bilangan positif dan a< b , то 1 a >1b.

1. Jika 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n < b 1 + b 2 + . . . + b n .
2. Jika 1 , 2 , . . . , a n , b 1 , b 2 , . . . , b n adalah bilangan positif dan a 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n < b 1 · b 2 · . . . b n .

Akibat wajar 1: jika sebuah< b , a dan b adalah bilangan positif, maka a n< b n .

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Telah diperlukan untuk membandingkan nilai dan kuantitas dalam memecahkan masalah praktis sejak zaman kuno. Pada saat yang sama, kata-kata seperti lebih dan kurang, lebih tinggi dan lebih rendah, lebih ringan dan lebih berat, lebih tenang dan lebih keras, lebih murah dan lebih mahal, dll muncul, yang menunjukkan hasil membandingkan jumlah yang homogen.

Konsep lebih dan kurang muncul sehubungan dengan penghitungan benda, pengukuran dan perbandingan jumlah. Misalnya, matematikawan Yunani kuno tahu bahwa sisi segitiga apa pun lebih kecil dari jumlah dua sisi lainnya dan bahwa sisi segitiga yang lebih besar terletak di seberang sudut yang lebih besar. Archimedes, ketika menghitung keliling lingkaran, menemukan bahwa keliling lingkaran apa pun sama dengan tiga kali diameter dengan kelebihan yang kurang dari sepertujuh diameter, tetapi lebih dari sepuluh tujuh puluh satu diameter.

Tulislah hubungan antara bilangan dan besaran secara simbolis dengan menggunakan tanda > dan b. Entri di mana dua angka dihubungkan oleh salah satu tanda: > (lebih besar dari), Anda juga bertemu dengan ketidaksetaraan numerik di kelas dasar. Anda tahu bahwa ketidaksetaraan mungkin atau mungkin tidak benar. Misalnya, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) adalah pertidaksamaan numerik yang valid, 0,23 > 0,235 adalah pertidaksamaan numerik yang tidak valid.

Ketidaksetaraan yang mencakup yang tidak diketahui mungkin benar untuk beberapa nilai yang tidak diketahui dan salah untuk yang lain. Misalnya, pertidaksamaan 2x+1>5 benar untuk x = 3, tetapi salah untuk x = -3. Untuk pertidaksamaan dengan yang tidak diketahui, Anda dapat mengatur tugas: selesaikan pertidaksamaan. Masalah pemecahan ketidaksetaraan dalam praktek diajukan dan dipecahkan tidak kurang dari masalah pemecahan persamaan. Misalnya, banyak masalah ekonomi direduksi menjadi studi dan solusi sistem pertidaksamaan linier. Di banyak cabang matematika, ketidaksetaraan lebih umum daripada persamaan.

Beberapa ketidaksetaraan berfungsi sebagai satu-satunya alat bantu untuk membuktikan atau menyangkal keberadaan objek tertentu, misalnya, akar persamaan.

Pertidaksamaan numerik

Anda dapat membandingkan bilangan bulat dan desimal. Mengetahui aturan untuk membandingkan pecahan biasa dengan penyebut yang sama tetapi pembilangnya berbeda; dengan pembilang yang sama tetapi penyebutnya berbeda. Di sini Anda akan belajar bagaimana membandingkan dua angka dengan menemukan tanda perbedaannya.

Perbandingan angka banyak digunakan dalam praktik. Misalnya, seorang ekonom membandingkan indikator yang direncanakan dengan yang sebenarnya, dokter membandingkan suhu pasien dengan normal, turner membandingkan dimensi bagian mesin dengan standar. Dalam semua kasus seperti itu, beberapa angka dibandingkan. Sebagai hasil dari membandingkan angka, ketidaksetaraan numerik muncul.

Definisi. Nomor a lebih banyak nomor b jika selisih a-b positif. Nomor a kurang dari angka b jika selisih a-b negatif.

Jika a lebih besar dari b, maka ditulis: a > b; jika a lebih kecil dari b, maka ditulis: a Jadi, pertidaksamaan a > b berarti selisih a - b positif, yaitu a - b > 0. Pertidaksamaan a Untuk setiap dua bilangan a dan b dari tiga relasi berikut a > b, a = b, a Dalil. Jika a > b dan b > c, maka a > c.

Dalil. Jika angka yang sama ditambahkan ke kedua sisi pertidaksamaan, maka tanda pertidaksamaan tidak berubah.
Konsekuensi. Suku apa pun dapat dipindahkan dari satu bagian pertidaksamaan ke bagian pertidaksamaan lainnya dengan mengubah tanda suku ini menjadi kebalikannya.

Dalil. Jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan positif yang sama, maka tanda pertidaksamaan tidak berubah. Jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan negatif yang sama, maka tanda pertidaksamaan akan berubah menjadi kebalikannya.
Konsekuensi. Jika kedua bagian pertidaksamaan dibagi dengan bilangan positif yang sama, maka tanda pertidaksamaan tidak berubah. Jika kedua bagian pertidaksamaan dibagi dengan bilangan negatif yang sama, maka tanda pertidaksamaan akan berubah menjadi kebalikannya.

Apakah kamu tahu itu persamaan numerik Anda dapat menambahkan dan mengalikan istilah dengan istilah. Selanjutnya, Anda akan belajar bagaimana melakukan tindakan serupa dengan ketidaksetaraan. Kemampuan untuk menjumlahkan dan mengalikan pertidaksamaan suku demi suku sering digunakan dalam praktik. Tindakan ini membantu Anda memecahkan masalah mengevaluasi dan membandingkan nilai ekspresi.

Saat memutuskan berbagai tugas sering kita harus menjumlahkan atau mengalikan suku demi suku bagian kiri dan kanan pertidaksamaan. Kadang-kadang dikatakan bahwa ketidaksetaraan ditambahkan atau dikalikan. Misalnya, jika seorang turis berjalan lebih dari 20 km pada hari pertama, dan lebih dari 25 km pada hari kedua, maka dapat dikatakan bahwa dalam dua hari ia berjalan lebih dari 45 km. Demikian pula jika panjang suatu persegi panjang kurang dari 13 cm dan lebarnya kurang dari 5 cm, maka dapat dikatakan luas persegi panjang tersebut kurang dari 65 cm2.

Dalam mempertimbangkan contoh-contoh ini, berikut ini teorema penjumlahan dan perkalian pertidaksamaan:

Dalil. Saat menjumlahkan pertidaksamaan bertanda sama, kita mendapatkan pertidaksamaan bertanda sama: jika a > b dan c > d, maka a + c > b + d.

Dalil. Ketika mengalikan pertidaksamaan bertanda sama, yang bagian kiri dan kanannya positif, diperoleh pertidaksamaan bertanda sama: jika a > b, c > d dan a, b, c, d bilangan positif, maka ac > bd.

Pertidaksamaan dengan tanda > (lebih besar dari) dan 1/2, 3/4 b, c Berikut pertidaksamaan tegas > dan Pertidaksamaan \(a \geq b \) berarti bilangan a lebih besar dari atau sama dengan b, yaitu dan tidak kurang dari b.

Pertidaksamaan yang mengandung tanda \(\geq \) atau tanda \(\leq \) disebut tak tegas. Misalnya, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) bukan pertidaksamaan yang tegas.

Semua sifat pertidaksamaan ketat juga berlaku untuk pertidaksamaan tidak tegas. Selain itu, jika untuk pertidaksamaan ketat tanda > dianggap berlawanan dan Anda tahu itu untuk menyelesaikan deret tugas yang diterapkan Anda harus membuat model matematika dalam bentuk persamaan atau sistem persamaan. Selanjutnya, Anda akan mengetahui bahwa model matematika untuk memecahkan banyak masalah adalah ketidaksetaraan dengan yang tidak diketahui. Kami akan memperkenalkan konsep penyelesaian pertidaksamaan dan menunjukkan cara memeriksa apakah nomor yang diberikan penyelesaian pertidaksamaan tertentu.

Persamaan bentuk
\(ax > b, \quad ax dimana a dan b diberi bilangan dan x tidak diketahui, disebut pertidaksamaan linier dengan satu yang tidak diketahui.

Definisi. Penyelesaian dari pertidaksamaan dengan satu yang tidak diketahui adalah nilai dari pertidaksamaan yang tidak diketahui tersebut, sehingga pertidaksamaan ini berubah menjadi pertidaksamaan numerik yang sebenarnya. Menyelesaikan pertidaksamaan berarti menemukan semua penyelesaiannya atau menetapkan bahwa tidak ada solusi.

Anda memecahkan persamaan dengan mereduksinya menjadi persamaan yang paling sederhana. Demikian pula, ketika memecahkan pertidaksamaan, seseorang cenderung menguranginya dengan bantuan properti ke bentuk pertidaksamaan yang paling sederhana.

Penyelesaian pertidaksamaan derajat dua dengan satu variabel

Persamaan bentuk
\(ax^2+bx+c >0 \) dan \(ax^2+bx+c di mana x adalah variabel, a, b dan c adalah beberapa bilangan dan \(a \neq 0 \) disebut pertidaksamaan derajat dua dengan satu variabel.

Memecahkan ketidaksetaraan
\(ax^2+bx+c >0 \) atau \(ax^2+bx+c \) dapat dianggap sebagai menemukan celah di mana fungsi \(y= ax^2+bx+c \) bernilai positif atau nilai negatif Untuk melakukan ini, cukup menganalisis bagaimana grafik fungsi \ (y = ax ^ 2 + bx + c \) terletak di bidang koordinat: di mana cabang-cabang parabola diarahkan - ke atas atau ke bawah , apakah parabola memotong sumbu x dan jika itu memotongnya, maka di titik apa.

Algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan derajat kedua dengan satu variabel:
1) temukan diskriminannya trinomial persegi\(ax^2+bx+c \) dan cari tahu apakah trinomial tersebut memiliki akar;
2) jika trinomial memiliki akar, maka tandai pada sumbu x dan secara skematis gambar parabola melalui titik-titik yang ditandai, yang cabang-cabangnya mengarah ke atas di a > 0 atau ke bawah di 0 atau ke bawah di a 3) temukan celah pada sumbu x yang titik parabolanya terletak di atas sumbu x (jika menyelesaikan pertidaksamaan \(ax^2+bx+c >0 \)) atau di bawah sumbu x (jika menyelesaikan pertidaksamaan
\(ax^2+bx+c Solusi pertidaksamaan dengan metode interval

Pertimbangkan fungsinya
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

Domain dari fungsi ini adalah himpunan semua bilangan. Angka nol dari fungsi adalah angka -2, 3, 5. Mereka membagi domain fungsi menjadi interval \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5 ) \) dan \( (5; +\infty)\)

Mari kita cari tahu apa tanda-tanda fungsi ini di setiap interval yang ditunjukkan.

Ekspresi (x + 2)(x - 3)(x - 5) adalah produk dari tiga faktor. Tanda masing-masing faktor ini dalam interval yang dipertimbangkan ditunjukkan dalam tabel:

Secara umum, biarkan fungsi diberikan oleh rumus
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
di mana x adalah variabel, dan x 1 , x 2 , ..., x n bukan bilangan yang sama. Bilangan x 1 , x 2 , ..., x n adalah nol dari fungsi tersebut. Di setiap interval di mana domain definisi dibagi dengan nol fungsi, tanda fungsi dipertahankan, dan ketika melewati nol, tandanya berubah.

Sifat ini digunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) dimana x 1 , x 2 , ..., x n bukan bilangan yang sama

Metode yang dipertimbangkan menyelesaikan pertidaksamaan disebut metode interval.

Mari kita berikan contoh penyelesaian pertidaksamaan dengan metode interval.

Selesaikan pertidaksamaan:

Terapkan ke sumbu numerik nol dari fungsi dan hitung tanda pada setiap interval:

Kami memilih interval di mana fungsinya kurang dari atau sama dengan nol dan menuliskan jawabannya.

Menjawab:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)