თავი III. მეორე რიგის მრუდები

§ 40. ჰიპერბოლა.

ჰიპერბოლაკომპლექტს უწოდებენ თვითმფრინავის წერტილები, რომელთაგან თითოეულისთვის სიბრტყის ორ მოცემულ წერტილამდე მანძილების სხვაობის მოდული მუდმივია და ნაკლები მანძილიამ წერტილებს შორის.

ამ წერტილებს ე.წ ხრიკებიჰიპერბოლები და მათ შორის მანძილი არის კეროვანიმანძილი.

აღნიშნეთ ჰიპერბოლის კერები F 1 და F 2 ასოებით.
დაე ფოკუსური მანძილი| F 1 F 2 | = 2 თან.

თუ M არის ჰიპერბოლის თვითნებური წერტილი (სურ. 112), მაშინ ჰიპერბოლის განმარტებით განსხვავების მოდული | F 1 M | - | F 2 M | მუდმივი. მისი აღნიშვნა 2-ით ა, ვიღებთ

| | F 1 M | - | F 2 M | | = 2 ა. (1)

გაითვალისწინეთ, რომ ჰიპერბოლა 2-ის განმარტებით ა< 2თან, ე.ი. ა< с .

ტოლობა (1) არის ჰიპერბოლის განტოლება.

ვირჩევთ კოორდინატთა სისტემას ისე, რომ აბსცისის ღერძი გაიაროს ჰიპერბოლის კერებში; დახაზეთ y ღერძი მის პერპენდიკულარულ F 1 F 2 სეგმენტის შუაზე (სურ. 113).

მაშინ ჰიპერბოლის კერები იქნება წერტილები F 1 (- გ; 0) და F 2 ( გ; 0).

მოდით M( X; ზე) არის ჰიპერბოლის ნებისმიერი წერტილი, მაშინ

| F 1 M | = √( x+c) 2 + წ 2 და | F 2 M | = √( x-c) 2 + წ 2 .

შემცვლელი მნიშვნელობები | F 1 M | და | F 2 M | განტოლებაში (1), ვიღებთ

| √(x+c) 2 + წ 2 - √(x-c) 2 + წ 2 | = 2ა. (2)

ჩვენ მიერ მიღებული განტოლება არის ჰიპერბოლის განტოლება არჩეულ კოორდინატულ სისტემაში. ეს განტოლება შეიძლება შემცირდეს უფრო მარტივ ფორმამდე.

დაე X > 0, მაშინ განტოლება (2) შეიძლება დაიწეროს მოდულის ნიშნის გარეშე შემდეგნაირად:

√(x+c) 2 + წ 2 - √(x-c) 2 + წ 2 = 2ა,

√(x+c) 2 + წ 2 =2ა + √(x-c) 2 + წ 2 (3)

გამოვყოთ მიღებული ტოლობის ორივე მხარე კვადრატში:

(x + c) 2 + ზე 2 = 4ა 2 + 4ა √(x-c) 2 + წ 2 + (x - გ) 2 + ზე 2 .

შესაბამისი გამარტივების და გარდაქმნების შემდეგ:

√(x-c) 2 + წ 2 = გ / ა x - a, (4)

(x - გ) 2 + ზე 2 = (გ / ა x - a) 2 ,

მივდივართ განტოლებამდე

(5)

ჰიპერბოლის განმარტებით ა< თან, ამიტომაც თან 2 - ა 2 - დადებითი რიცხვი. ავღნიშნოთ ბ 2, ანუ დააყენე ბ 2 = თან 2 - ა 2. შემდეგ განტოლება (5) იღებს ფორმას

ტერმინის მიხედვით იყოფა ბ 2, ვიღებთ განტოლებას

Თუ X < 0, то уравнение (2) переписывается без знака модуля следующим образом:

√(x-c) 2 + წ 2 - √(x+c) 2 + წ 2 = 2ა,

და ისევე როგორც საქმეში X > 0 გარდაიქმნება ფორმაში (6).

განტოლება (6) ეწოდება ჰიპერბოლის კანონიკური განტოლება.

კომენტარი.(3) და (4) ტოლობების ორივე ნაწილის კვადრატი არ არღვევს განტოლებების ეკვივალენტობას. განტოლების (3) ორივე ნაწილი აშკარად არაუარყოფითია ყველა მნიშვნელობისთვის Xდა ზე. განტოლების (4) მარცხენა მხარე ასევე ყოველთვის არაუარყოფითია. ზე X > ა მარჯვენა ნაწილიგანტოლება (4) დადებითია, ვინაიდან

გ / ა x - a > გ / ა აა = გ - ა > 0

ასე რომ, ზედმეტი ქულები შეიძლება გამოჩნდეს მხოლოდ 0 პირობით < X< а , მაგრამ (6) განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ x 2 /ა 2 > 1, ანუ | x | > ა.

დავალება 1.დაწერე კანონიკური განტოლებაჰიპერბოლა, რომელიც გადის წერტილში
M (-5; 9/4) თუ ჰიპერბოლის ფოკუსური მანძილი არის 10.

ვინაიდან |F 1 F 2 |= 10, მაშინ თან= 5. დავწეროთ ჰიპერბოლის კანონიკური განტოლება

პირობით, წერტილი M (-5; 9/4) ეკუთვნის ჰიპერბოლას, შესაბამისად,

მეორე განტოლება უნდა დადგინდეს ა 2 და ბ 2 იძლევა თანაფარდობას

ბ 2 = თან 2 - ა 2 = 25 - ა 2 .

სისტემის გადაჭრის შემდეგ

იპოვე ა 2 =16, ბ 2 = 9. სასურველი განტოლება იქნება განტოლება

დავალება 2.დაამტკიცეთ, რომ განტოლება

20x 2 - 29წ 2 = 580

არის ჰიპერბოლის განტოლება. იპოვნეთ ტრიუკების კოორდინატები.

განტოლების ორივე მხარეს 580-ზე გავყოფთ, მივიღებთ

ეს არის ჰიპერბოლური განტოლება, რომლისთვისაც ა 2 = 29, ბ 2 = 20.
ურთიერთობიდან გ 2 = ა 2 + ბ 2 პოვნა გ 2 = 29 + 20 = 49, თან= 7. მაშასადამე, ჰიპერბოლის კერები არის F 1 (-7; 0) და F 2 (7; 0) წერტილებზე.

1. მეორე რიგის მრუდების ზოგადი განტოლება.

მეორე ხარისხის ნებისმიერი განტოლება x და y მიმართ, ანუ ფორმის განტოლება

სადაც - მოცემული მუდმივი კოეფიციენტები, და
, განსაზღვრავს ხაზს სიბრტყეზე, რომელსაც ჩვეულებრივ უწოდებენ მეორე რიგის მრუდს. პირიქითაც მართალია. არსებობს მეორე რიგის მრუდის ოთხი ტიპი: წრე, ელიფსი, ჰიპერბოლა და პარაბოლა. ყველა მათგანის მიღება შესაძლებელია კონუსის თვითმფრინავით დაჭრით და ამიტომ მათაც უწოდებენ ცხენები.

მრუდის განტოლებები შეიძლება გამოვიდეს მათგან გეომეტრიული თვისებებიროგორც პუნქტების ზოგიერთი ლოკუსი, რომელიც აკმაყოფილებს გარკვეულ პირობებს.

2. წრე.წრე ეწოდება გეომეტრიული ადგილისიბრტყის წერტილები, რომლებიც თანაბრად არის დაშორებული მოცემული წერტილიდან, რომელსაც ეწოდება ცენტრი.

თუ r არის წრის რადიუსი, ხოლო წერტილი C () არის მისი ცენტრი, მაშინ წრის განტოლებას აქვს ფორმა:

. (12.2)

თუ წრის ცენტრი ემთხვევა საწყისს, მაშინ წრის განტოლებას აქვს უმარტივესი კანონიკური ფორმა: .

მაგალითი 14.დაწერეთ განტოლება წრეზე, რომელიც გადის წერტილებს
A(5; 0) და B(1; 4), თუ მისი ცენტრი დევს ხაზზე x - y - 3 = 0.

იპოვეთ M წერტილის კოორდინატები - აკორდის შუა AB:

, ანუ M(3; 2).

წრის ცენტრი AB სეგმენტის შუიდან აღდგენილ პერპენდიკულარზეა. მოდით შევადგინოთ AB სწორი წრფის განტოლება:

, ან x + y - 5 = 0.

AB წრფის დახრილობა არის -1, შესაბამისად, პერპენდიკულარულის დახრილობა . პერპენდიკულარული განტოლება

y - 2 \u003d 1 (x - 3), ან x - y - 1 \u003d 0.

C წრის ცენტრი დევს წრფეზე x + y - 3 = 0 ამოცანის მდგომარეობის მიხედვით, ასევე პერპენდიკულარულ x - y - 1 = 0-ზე, ანუ ცენტრის კოორდინატები აკმაყოფილებს სისტემას. განტოლებათა:

x - y - 3 = 0

x - y - 1 \u003d 0.

აქედან გამომდინარე, x = 2, y = 1 და წერტილი C(2; 1).

წრის რადიუსი სიგრძის ტოლისეგმენტი CA:

წრის განტოლება: (x - 2) 2 + (y-1) 2 \u003d 10.

3. ელიფსი.ელიფსი არის წერტილების ადგილი სიბრტყეში, რომლის მანძილების ჯამი ორ მოცემულ წერტილამდე, რომელსაც ეწოდება კერა, არის მუდმივი მნიშვნელობა, რომელიც უდრის კერებს შორის მანძილს. ელიფსის კანონიკური განტოლებაა:

. (12.3)

Აქ - ნახევრად ძირითადი ღერძიელიფსი არის მცირე ნახევარღერძი და თუ კერებს შორის მანძილი არის 2c, მაშინ . ღირებულება ეწოდება ელიფსის ექსცენტრიულობა და ახასიათებს შეკუმშვის ზომას. ვინაიდან ერთად< , то < 1. Расстояния от некоторой точки М, расположенной на эллипсе, до фокусов называются фокальными радиус-векторами этой точки. Фокальные радиус-векторы выражаются через абсциссу точки эллипса по формулам: .

პირდაპირი და ელიფსის მიმართულებებს უწოდებენ. ელიფსის მიმართულებებს აქვთ შემდეგი თვისება: თუ r არის M წერტილის ფოკუსური რადიუსის ვექტორი, d არის მანძილი ამ წერტილიდან ფოკუსირებული ცალმხრივ მიმართულებამდე, მაშინ .

მაგალითი 15.დაწერეთ განტოლება ელიფსისთვის, რომლის კერები მდებარეობს x ღერძზე, სიმეტრიულია საწყისის მიმართ, რადგან იცოდეთ, რომ მისი ძირითადი ღერძი არის 8 და მანძილი მიმართულებებს შორის არის 16.

ამოცანის პირობით Directrix-ის განტოლებით ; Directrix მანძილი , აქედან გამომდინარე ; რადგან , მაშინ , ანუ c = 2.

იმიტომ რომ , მაშინ .

ელიფსის განტოლება: .

შენიშვნა: თუ ელიფსის კანონიკურ განტოლებაში , შემდეგ ელიფსის კერები დევს y-ღერძზე და ; Directrix განტოლებები: ; ფოკალური რადიუსის ვექტორები განისაზღვრება ფორმულებით: .

მაგალითი 16დაწერეთ განტოლება ელიფსისთვის, რომლის კერები სიმეტრიულად მდებარეობს y-ღერძზე საწყისის მიმართ, იმის ცოდნა, რომ კერებს შორის მანძილი არის 2c = 24, ექსცენტრიულობა. .

ელიფსის კანონიკური განტოლებაა: .

ამოცანის პირობით c = 12. ვინაიდან , მაშინ , ანუ .

იმიტომ რომ , მაშინ .

ელიფსის განტოლება: .

4. ჰიპერბოლა.ჰიპერბოლა არის წერტილების ადგილი სიბრტყეში, რომლისთვისაც აბსოლუტური მნიშვნელობაერთი და იმავე სიბრტყის ორ ფიქსირებულ წერტილამდე მანძილის სხვაობა, რომელსაც ეწოდება ფოკუსი, არის მუდმივი მნიშვნელობა, რომელიც უდრის , კერებს შორის მანძილს ( ).

ჰიპერბოლის კანონიკურ განტოლებას აქვს ფორმა:

, (12.4)

სადაც .

ჰიპერბოლა შედგება ორი ტოტისაგან და მდებარეობს სიმეტრიულად კოორდინატთა ღერძების მიმართ. ქულები და ჰიპერბოლის წვეროებს უწოდებენ. ხაზის სეგმენტი ეწოდება ჰიპერბოლის რეალური ღერძი და სეგმენტი დამაკავშირებელი წერტილები და , - წარმოსახვითი ღერძი. ჰიპერბოლას აქვს ორი ასიმპტოტა, რომელთა განტოლებები არის . დამოკიდებულება ეწოდება ჰიპერბოლის ექსცენტრიულობა. სწორი, მოცემული განტოლებებით ჰიპერბოლის მიმართულებებს უწოდებენ. ჰიპერბოლის მარჯვენა ტოტის ფოკალური რადიუსის ვექტორები: .

ჰიპერბოლის მარცხენა შტოს ფოკალური რადიუსის ვექტორები: .

განტოლება ასევე არის ჰიპერბოლის განტოლება, მაგრამ ამ ჰიპერბოლის რეალური ღერძი არის OY სიგრძის ღერძის სეგმენტი. ქულები და ემსახურება ჰიპერბოლის წვეროებს. ჰიპერბოლის ტოტები განლაგებულია ზედა და ქვედა ნაწილში საკოორდინაციო თვითმფრინავი. ორი ჰიპერბოლა და კონიუგატულ ჰიპერბოლას უწოდებენ.

მაგალითი 17.ჰიპერბოლის ექსცენტრიულობა არის . შეადგინეთ ჰიპერბოლის უმარტივესი განტოლება, რომელიც გადის M წერტილში ).

ექსცენტრიულობის განმარტებით, გვაქვს , ან .

მაგრამ , შესაბამისად . წერტილიდან M( ) არის ჰიპერბოლაზე, მაშინ . აქედან .

ამრიგად, სასურველი ჰიპერბოლის განტოლებას აქვს ფორმა: .

მაგალითი 18.ჰიპერბოლის ასიმპტოტებს შორის კუთხე 60°-ია. გამოთვალეთ ჰიპერბოლის ექსცენტრიულობა.

ჰიპერბოლის ასიმპტოტის დახრილობა
. ჰიპერბოლის ექსცენტრიულობა
.

შემცვლელი ღირებულება ფერდობზე, ვიღებთ

.

მაგალითი 19.დაწერეთ განტოლება წერტილში გამავალი ჰიპერბოლისთვის
M(9; 8) თუ ჰიპერბოლის ასიმპტოტები მოცემულია განტოლებებით .

ასიმპტოტური განტოლებიდან გვაქვს . ვინაიდან წერტილი M(9; 8) ეკუთვნის ჰიპერბოლას, მისი კოორდინატები აკმაყოფილებს ჰიპერბოლის განტოლებას, ე.ი. .

ჰიპერბოლის ნახევარღერძების საპოვნელად გვაქვს სისტემა:

სისტემის გადაჭრა, ჩვენ ვიღებთ ჰიპერბოლის სასურველ განტოლებას აქვს ფორმა: .

5. პარაბოლა.პარაბოლა არის წერტილების ადგილი სიბრტყეში, რომლებიც თანაბრად არის დაშორებული მოცემული წერტილიდან, რომელსაც ეწოდება ფოკუსი და მოცემული წრისგან, რომელსაც ეწოდება მიმართულება. თუ მიმართულება მოცემულია განტოლებით , და ფოკუსი არის წერტილი F(), მაშინ პარაბოლის განტოლებას აქვს ფორმა:

. (12.5)

ეს პარაბოლა სიმეტრიულად მდებარეობს x-ღერძის მიმართ.

განტოლება არის y-ღერძის მიმართ სიმეტრიული პარაბოლის განტოლება.

პარაბოლას ფოკუსური რადიუსის ვექტორის სიგრძე განისაზღვრება ფორმულით .

მაგალითი 20.შეადგინეთ პარაბოლის განტოლება საწყისზე წვეროსთან, სიმეტრიული OY ღერძის მიმართ და ამოჭერით 8 სიგრძის აკორდი პირველი და მესამე კოორდინატთა კუთხის ბისექტორზე.

პარაბოლის სასურველ განტოლებას აქვს ფორმა .

ბისექტრული განტოლება y \u003d x. განვსაზღვროთ პარაბოლისა და ბისექტრის გადაკვეთის წერტილები:

სისტემის ამოხსნის შემდეგ ვიღებთ O(0; 0) და M(2p; 2p).

აკორდის სიგრძე OM = .

პირობით, ჩვენ გვაქვს: OM \u003d 8, საიდანაც 2p \u003d 8.

პარაბოლის სასურველი განტოლება .

სიბრტყის განტოლება

AT დეკარტის კოორდინატებითითოეული სიბრტყე განისაზღვრება პირველი ხარისხის განტოლებით უცნობებში x, y და z, ხოლო პირველი ხარისხის განტოლება სამ უცნობში განსაზღვრავს სიბრტყეს.

ავიღოთ თვითნებური ვექტორი წერტილის დასაწყისით . გამოვიყვანოთ M(x, y, z) წერტილების ლოკუსის განტოლება, რომელთაგან თითოეული ვექტორია ვექტორზე პერპენდიკულარული. მოდით დავწეროთ ვექტორების პერპენდიკულარობის პირობა:

შედეგად მიღებული განტოლება წრფივია x, y, z მიმართ, შესაბამისად, ის განსაზღვრავს სიბრტყეს, რომელიც გადის ვექტორის პერპენდიკულარულ წერტილში. ვექტორი სიბრტყის ნორმალურ ვექტორს უწოდებენ. მიღებული სიბრტყის განტოლებაში ფრჩხილების გაფართოება და რიცხვის აღნიშვნა
ასო D, ჩვენ წარმოვადგენთ მას ფორმაში:

Ax + By + Cz + D = 0. (13.2)

ეს განტოლება ე.წ თვითმფრინავის ზოგადი განტოლება. A, B, C და D არის განტოლების კოეფიციენტები, A 2 + B 2 + C 2 0.

1. არასრული განტოლებებითვითმფრინავები.

თუ სიბრტყის ზოგად განტოლებაში ერთი, ორი ან სამი კოეფიციენტი ნულის ტოლია, მაშინ სიბრტყის განტოლებას არასრული ეწოდება. შეიძლება საკუთარი თავი გააცნოს შემდეგი შემთხვევები:

1) D = 0 - თვითმფრინავი გადის საწყისზე;

2) A = 0 - სიბრტყე არის Ox ღერძის პარალელურად;

3) B = 0 - სიბრტყე პარალელურია Oy ღერძისა;

4) C = 0 - სიბრტყე ოზის ღერძის პარალელურია;

5) A = B = 0 - სიბრტყე XOY სიბრტყის პარალელურია;

6) A \u003d C \u003d 0 - თვითმფრინავი პარალელურია XOZ სიბრტყის პარალელურად;

7) B = C = 0 - სიბრტყე პარალელურია YOZ სიბრტყის პარალელურად;

8) A \u003d D \u003d 0 - თვითმფრინავი გადის Ox ღერძზე;

9) B = D = 0 - სიბრტყე გადის Oy ღერძზე;

10) C \u003d D \u003d 0 - თვითმფრინავი გადის ოზის ღერძზე;

11) A = B = D = 0 - სიბრტყე ემთხვევა XOY სიბრტყეს;

12) A = C = D = 0 - სიბრტყე ემთხვევა XOZ სიბრტყეს;

13) C \u003d B \u003d D \u003d 0 - თვითმფრინავი ემთხვევა YOZ თვითმფრინავს.

2. სიბრტყის განტოლება სეგმენტებში.

თუ D 0 სიბრტყის ზოგად განტოლებაში, მაშინ ის შეიძლება გარდაიქმნას ფორმაში

, (13.3)

რომელსაც ეწოდება სიბრტყის განტოლება სეგმენტებში. - დაადგინეთ სიბრტყით მოწყვეტილი სეგმენტების სიგრძე კოორდინატთა ღერძებზე.

3. თვითმფრინავის ნორმალური განტოლება.

განტოლება

სადაც არის სიბრტყის ნორმალური ვექტორის მიმართულების კოსინუსები , დაურეკა ნორმალური განტოლებათვითმფრინავები. სიბრტყის ზოგადი განტოლების ნორმალურ ფორმამდე მისასვლელად, ის უნდა გავამრავლოთ ნორმალიზებულ ფაქტორზე:
,

ამ შემთხვევაში მდგომარეობიდან არჩეულია ნიშანი ფესვის წინ .

მანძილი d წერტილიდან სიბრტყემდე განისაზღვრება ფორმულით: .

4. სამ წერტილში გამავალი სიბრტყის განტოლება

ავიღოთ M(x,y,z) სიბრტყის თვითნებური წერტილი და დავუკავშიროთ M1 წერტილი სამივე დანარჩენს. ჩვენ ვიღებთ სამ ვექტორს. იმისთვის, რომ სამი ვექტორი ერთსა და იმავე სიბრტყეს მიეკუთვნებოდეს, აუცილებელია და საკმარისი იყოს ისინი თანაპლანტარული. სამი ვექტორის თანაბარობის პირობაა მათი ნულის ტოლობა შერეული პროდუქტი, ანუ .

ამ ტოლობის დაწერისას წერტილების კოორდინატების მიხედვით მივიღებთ სასურველ განტოლებას:

. (13.5)

5. კუთხე თვითმფრინავებს შორის.

თვითმფრინავები შეიძლება იყოს პარალელური, ემთხვევა ან იკვეთება, ფორმირება დიედრული კუთხე. ორი თვითმფრინავი მიეცეს ზოგადი განტოლებებიდა . იმისთვის, რომ სიბრტყეები დაემთხვეს, აუცილებელია, რომ ნებისმიერი წერტილის კოორდინატები, რომელიც აკმაყოფილებს პირველ განტოლებას, ასევე აკმაყოფილებდეს მეორე განტოლებას.

ეს მოხდება თუ
.

Თუ , მაშინ თვითმფრინავები პარალელურია.

ორი გადამკვეთი სიბრტყით წარმოქმნილი კუთხე, კუთხის ტოლიწარმოიქმნება მათი ნორმალური ვექტორებით. ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსი განისაზღვრება ფორმულით:

თუ , მაშინ სიბრტყეები პერპენდიკულარულია.

მაგალითი 21. დაწერეთ განტოლება სიბრტყისთვის, რომელიც გადის ორ წერტილს და სიბრტყეზე პერპენდიკულარული.

ჩვენ ვწერთ სასურველ განტოლებას ზოგადი ხედი: . ვინაიდან სიბრტყემ უნდა გაიაროს წერტილებში და , წერტილების კოორდინატები უნდა აკმაყოფილებდეს სიბრტყის განტოლებას. და წერტილების კოორდინატების ჩანაცვლებით ვიღებთ: და .

სიბრტყეების პერპენდიკულარობის მდგომარეობიდან გვაქვს: . ვექტორი მდებარეობს სასურველ სიბრტყეში და, შესაბამისად, ნორმალური ვექტორის პერპენდიკულარულად: .

მიღებული განტოლებების გაერთიანებით მივიღებთ:

სისტემის გადაჭრით, მივიღებთ: , , , .

სასურველ განტოლებას აქვს ფორმა: .

მეორე გზა. ნორმალური ვექტორი მოცემული თვითმფრინავიაქვს კოორდინატები . ვექტორი . საჭირო სიბრტყის ნორმალური ვექტორი ვექტორისა და ვექტორის პერპენდიკულარულია , ე.ი. კოლინარული ვექტორული პროდუქტის მიმართ . გამოთვლა ვექტორული პროდუქტი:
.

ვექტორი
. დავწეროთ ვექტორის პერპენდიკულარულ წერტილში გამავალი სიბრტყის განტოლება:

ან სასურველი განტოლება.

განმარტება . ჰიპერბოლა არის წერტილების ლოკუსი, რომელთაგან განსხვავება თითოეულიდან ორ მოცემულ წერტილამდე, რომელსაც ეწოდება ფოკუსი, არის მუდმივი მნიშვნელობა.

ავიღოთ კოორდინატთა სისტემა ისე, რომ კერები იყოს აბსცისის ღერძზე, ხოლო კოორდინატების წარმოშობა F 1 F 2 სეგმენტს შუაზე ყოფს (სურ. 30). აღნიშნე F 1 F 2 = 2c. შემდეგ F 1 (c; 0); F2 (-c; 0)

MF 2 \u003d r 2, MF 1 \u003d r 1 - ფოკუსური რადიუსიჰიპერბოლა.

ჰიპერბოლის განმარტების მიხედვით, r 1 - r 2 = const.

ავღნიშნოთ 2a-ით

მაშინ r 2 - r 1 = ± 2a ასე რომ:

=> ჰიპერბოლის კანონიკური განტოლება

ვინაიდან x და y ჰიპერბოლის განტოლება ლუწი ხარისხებშია, მაშინ თუ წერტილი M 0 (x 0; y 0) დევს ჰიპერბოლაზე, მაშინ წერტილები M 1 (x 0; -y 0) M 2 (-x 0; -x 0; -y 0) M 3 (-x 0; -y 0).

ამრიგად, ჰიპერბოლა სიმეტრიულია ორივე კოორდინატთა ღერძის მიმართ.

როდესაც y \u003d 0 x 2 \u003d a 2 x \u003d ± a. ჰიპერბოლის წვეროები იქნება წერტილები A 1 (a; 0); A 2 (-a; 0).

. სიმეტრიის გამო კვლევა ტარდება პირველ კვარტალში

1) ზე
y-ს აქვს წარმოსახვითი მნიშვნელობა, აქედან გამომდინარეობს ჰიპერბოლის წერტილები აბსცისებით
არ არსებობს

2) x = a-ზე; y \u003d 0 A 1 (a; 0) ეკუთვნის ჰიპერბოლას

3) x > a-სთვის; y > 0. უფრო მეტიც, x-ში შეუზღუდავი ზრდით, ჰიპერბოლის განშტოება მიდის უსასრულობამდე.

აქედან გამომდინარეობს, რომ ჰიპერბოლა არის მრუდი, რომელიც შედგება ორი უსასრულო ტოტისაგან.

P 6. ჰიპერბოლის ასიმპტოტები

განვიხილოთ განტოლებასთან ერთად
სწორი ხაზის განტოლება

რომ მრუდი იქნება სწორი ხაზის ქვემოთ (სურ. 31). განვიხილოთ წერტილები N (x, Y) და M (x, y), რომელთა აბსციები ერთნაირია და Y - y \u003d MN. განვიხილოთ MN სეგმენტის სიგრძე

მოდი ვიპოვოთ

ასე რომ, თუ წერტილი M, რომელიც მოძრაობს ჰიპერბოლის გასწვრივ პირველ მეოთხედში, გადადის უსასრულობამდე, მაშინ მისი დაშორება სწორი ხაზიდან.
მცირდება და მიდრეკილია ნულისკენ.

სიმეტრიის გამო სწორ ხაზს იგივე თვისება აქვს.
.

განმარტება. პირდაპირი ხაზები, რომლებსაც
მრუდს განუსაზღვრელი ვადით უახლოვდება ასიმპტოტები.

და
ასე რომ, ჰიპერბოლის ასიმპტოტების განტოლება
.

ჰიპერბოლის ასიმპტოტები განლაგებულია მართკუთხედის დიაგონალების გასწვრივ, რომლის ერთი მხარე პარალელურია x ღერძის და უდრის 2a-ს, ხოლო მეორე პარალელურია y ღერძის პარალელურად და უდრის 2b-ს, ხოლო ცენტრი. დევს სათავეში (სურ. 32).

P 7. ჰიპერბოლის ექსცენტრიულობა და მიმართულებები

r 2 – r 1 = ± 2a ნიშანი + ეხება ჰიპერბოლის მარჯვენა ტოტს

ნიშანი - ეხება ჰიპერბოლის მარცხენა ტოტს

განმარტება. ჰიპერბოლის ექსცენტრიულობა არის ამ ჰიპერბოლის კერებს შორის მანძილის თანაფარდობა მის წვეროებს შორის მანძილის მიმართ.

. ვინაიდან c > a, ε > 1

ჩვენ გამოვხატავთ ჰიპერბოლის ფოკუსურ რადიუსებს ექსცენტრიულობის მიხედვით:

განმარტება . მოდით მოვუწოდებთ ხაზებს
პერპენდიკულარულია ჰიპერბოლის ფოკუსური ღერძის მიმართ და მდებარეობს მანძილზემისი ცენტრიდან მარჯვენა და მარცხენა კერების შესაბამისი ჰიპერბოლის მიმართულებით.

თ
ისევე როგორც ჰიპერბოლისთვის
შესაბამისად, ჰიპერბოლის მიმართულებები განლაგებულია მის წვეროებს შორის (სურ. 33). ვაჩვენოთ, რომ ჰიპერბოლის ნებისმიერი წერტილის მანძილების თანაფარდობა ფოკუსთან და შესაბამის მიმართულებასთან არის მუდმივი და ტოლი ε.

გვ. 8 პარაბოლა და მისი განტოლება

ო
განმარტება. პარაბოლა არის წერტილების ადგილი, რომლებიც თანაბრად დაშორებულია მოცემული წერტილიდან, რომელსაც ეწოდება ფოკუსი და მოცემული წრფედან, რომელსაც ეწოდება მიმართულება.

პარაბოლას განტოლების შესაქმნელად, x-ღერძად ვიღებთ სწორ ხაზს, რომელიც გადის F 1 ფოკუსზე პერპენდიკულარული მიმართულებით და განვიხილავთ x ღერძს მიმართულს მიმართულებიდან ფოკუსისკენ. კოორდინატების წარმოშობისთვის ვიღებთ სეგმენტის O შუა წერტილს F წერტილიდან მოცემულ სწორ ხაზზე, რომლის სიგრძეს ვნიშნავთ p-ით (სურ. 34). რაოდენობა p დაერქმევა პარაბოლის პარამეტრს. ფოკუსირების კოორდინატთა წერტილი
.

მოდით M(x, y) იყოს პარაბოლის თვითნებური წერტილი.

Განმარტებით

ზე 2 = 2px არის პარაბოლის კანონიკური განტოლება

პარაბოლის ტიპის დასადგენად, ჩვენ ვცვლით მის განტოლებას
ეს გულისხმობს. მაშასადამე, პარაბოლის წვერო სათავეშია, ხოლო პარაბოლის სიმეტრიის ღერძი არის x. განტოლება y 2 \u003d -2px დადებითი p-ით მცირდება y 2 \u003d 2px განტოლებამდე x -x-ით ჩანაცვლებით და მისი გრაფიკი გამოიყურება (ნახ. 35).

ზე
განტოლება x 2 \u003d 2py არის პარაბოლის განტოლება წვეროსთან O (0; 0) წერტილში, რომლის ტოტები მიმართულია ზემოთ.

X
2 \u003d -2ru - საწყისზე ორიენტირებული პარაბოლის განტოლება სიმეტრიულია y-ღერძის მიმართ, რომლის ტოტები მიმართულია ქვემოთ (ნახ. 36).

პარაბოლას აქვს სიმეტრიის ერთი ღერძი.

თუ x არის პირველ ხარისხზე და y არის მეორე ხარისხზე, მაშინ სიმეტრიის ღერძი არის x.

თუ x არის მეორე ხარისხზე და y არის პირველ ხარისხზე, მაშინ სიმეტრიის ღერძი არის y-ღერძი.

შენიშვნა 1. პარაბოლის მიმართულების განტოლებას აქვს ფორმა
.

შენიშვნა 2. ვინაიდან პარაბოლისთვის , მაშინε პარაბოლა არის 1.ε = 1 .

მოცემულია ელიფსის განტოლება.

გამოსავალი:

ჩვენ ვწერთ ელიფსის განტოლებას კანონიკური ფორმით:
.

აქედან
. თანაფარდობის გამოყენებით
, ჩვენ ვიპოვეთ
. შესაბამისად,
.

ფორმულის მიხედვით იპოვე .

Directrix განტოლებები
გამოიყურება როგორც
, მათ შორის მანძილი
.

ფორმულის მიხედვით
იპოვეთ წერტილების აბსციზა, საიდანაც წერტილამდე მანძილი უდრის 12:

. შემცვლელი ღირებულება xელიფსის განტოლებაში ვპოულობთ ამ წერტილების ორდინატებს:

ამრიგად, პუნქტი A(7;0) აკმაყოფილებს პრობლემის პირობას.

პრობლემა 56.

დაწერეთ განტოლება წერტილებში გამავალი ელიფსისთვის.

გამოსავალი:

ჩვენ ვეძებთ ელიფსის განტოლებას ფორმაში
.

ვინაიდან ელიფსი გადის წერტილებში
, მაშინ მათი კოორდინატები აკმაყოფილებს ელიფსის განტოლებას:
. გავამრავლოთ მეორე ტოლობა (-4)-ზე და დავუმატოთ პირველს, მივიღებთ
.

ნაპოვნი მნიშვნელობის ჩანაცვლება პირველ განტოლებაში, ჩვენ ვპოულობთ
. ამრიგად, სასურველი განტოლება
.

პრობლემა 57.

;
.

ჰიპერბოლა

ჰიპერბოლაეწოდება წრფე, რომელიც შედგება სიბრტყის ყველა წერტილისგან, მანძილების სხვაობის მოდული, საიდანაც ორ მოცემულ წერტილამდე და არის მუდმივი მნიშვნელობა (არ არის ნულის ტოლი და ნაკლები მანძილი წერტილებს შორის და ).

ქულები და დაურეკა ხრიკებიჰიპერბოლა. იყოს მანძილი კერებს შორის
. ჰიპერბოლის წერტილებიდან კერამდე მანძილების მოდული და აღნიშნავენ მიერ . პირობით,
.

,

სადაც
- კოორდინატები თვითნებური წერტილიჰიპერბოლა,

.

განტოლება
დაურეკა კანონიკური განტოლებაჰიპერბოლა.

ჰიპერბოლას აქვს ორი ასიმპტოტები
.

ექსცენტრიულობაჰიპერბოლას ეწოდება რიცხვი . ნებისმიერი ჰიპერბოლისთვის
.

ჰიპერბოლური წერტილის ფოკუსური რადიუსიუწოდეს ამ წერტილის კერებთან დამაკავშირებელი ხაზის სეგმენტები და . მათი სიგრძე და მოცემულია ფორმულებით:

პირდაპირი
ჰიპერბოლის მიმართულებებს უწოდებენ. როგორც ელიფსის შემთხვევაში, ჰიპერბოლის წერტილებს ახასიათებთ მიმართება .

პრობლემა 58.

იპოვეთ მანძილი კერებსა და ჰიპერბოლის ექსცენტრიულობას შორის
.

პასუხი:
.

პრობლემა 59.

დაწერეთ ჰიპერბოლის კანონიკური განტოლება, თუ (
). განსაზღვრეთ ჰიპერბოლის ექსცენტრიულობა.

პასუხი:
.

პრობლემა 60.

დაწერეთ სიმეტრიული ჰიპერბოლის კანონიკური განტოლება კოორდინატთა ღერძების მიმართ, თუ ის გადის წერტილში
, და ექსცენტრიულობა არის
.

პასუხი:
.

ამოცანა 61.

იპოვეთ ჰიპერბოლის განტოლებები, რომლის წვეროები კერებშია და კერები ელიფსის წვეროებზე
.

პასუხი:
.

პრობლემა 62.

განსაზღვრეთ წერტილების ადგილი
, დისტანციები საიდანაც სწორ ხაზამდე
ნახევარი პუნქტამდე
.

პასუხი:
.

პრობლემა 63.

დაწერეთ ჰიპერბოლის სიმეტრიული განტოლება კოორდინატთა სისტემის მიმართ, თუ ის გადის წერტილებს
,
.

პასუხი:
.

დავალება 64.

დაწერეთ განტოლება ჰიპერბოლისთვის, თუ მისი ასიმპტოტები მოცემულია განტოლებით
და ჰიპერბოლა გადის წერტილში
.

პასუხი:
.

პრობლემა 65.

როგორ არის სიბრტყეზე განთავსებული წერტილები, რომელთა კოორდინატები აკმაყოფილებს პირობებს:

.

პარაბოლა

პარაბოლაეწოდება წრფე, რომელიც შედგება მოცემული წერტილიდან თანაბარი მანძილის სიბრტყის ყველა წერტილისგან
(ფოკუსირება) და მოცემული ხაზი (რეჟისორები).

პარაბოლის, ღერძის კანონიკური განტოლების გამოყვანა
გაიაროს ფოკუსი
მიმართულების პერპენდიკულარული მიმართულებიდან ფოკუსისკენ; კოორდინატების წარმოშობა აღებულია ფოკუსს შორის სეგმენტის შუაში
და წერტილი
ღერძის კვეთა
დირექტორთან ერთად . თუ აღინიშნება ფოკუსირების მანძილი მიმართულებიდან, შემდეგ
და დირექტიული განტოლება ასე გამოიყურება
.

არჩეულ კოორდინატულ სისტემაში პარაბოლის განტოლებას აქვს ფორმა:
. ეს განტოლება ე.წ პარაბოლის კანონიკური განტოლება.