ერთეული ვექტორი- ეს ვექტორი, რომლის აბსოლუტური მნიშვნელობა (მოდული). ერთის ტოლი. ერთეული ვექტორის აღსანიშნავად გამოვიყენებთ ქვესკრიპტს e. ასე რომ, თუ მოცემულია ვექტორი ა, მაშინ მისი ერთეული ვექტორი იქნება ვექტორი აე) ეს ერთეული ვექტორი მიუთითებს იმავე მიმართულებით, როგორც თავად ვექტორი ადა მისი მოდული უდრის ერთს, ანუ e \u003d 1.

ცხადია, ა= ა აე (ა - ვექტორული მოდული ა). ეს გამომდინარეობს წესიდან, რომლითაც სრულდება სკალარის ვექტორზე გამრავლების ოპერაცია.

ერთეული ვექტორებიხშირად ასოცირდება კოორდინატთა სისტემის კოორდინატთა ღერძებთან (კერძოდ, დეკარტის კოორდინატთა სისტემის ღერძებთან). ამ მიმართულებები ვექტორებიემთხვევა შესაბამისი ღერძების მიმართულებებს და მათი საწყისი ხშირად შერწყმულია კოორდინატთა სისტემის საწყისთან.

ამას შეგახსენებთ დეკარტის კოორდინატთა სისტემასივრცეში ტრადიციულად ეწოდება ორმხრივი პერპენდიკულარული ღერძების სამმაგი, რომლებიც კვეთენ წერტილს, რომელსაც საწყისი ეწოდება. საკოორდინაციო ღერძებიჩვეულებრივ აღინიშნება ასოებით X, Y, Z და ეწოდებათ შესაბამისად აბსცისის ღერძი, y-ღერძი და აპლიკაციური ღერძი. თავად დეკარტმა გამოიყენა მხოლოდ ერთი ღერძი, რომელზეც აბსციები იყო გამოსახული. გამოყენების დამსახურება სისტემებიცულები მის მოსწავლეებს ეკუთვნის. ამიტომ ფრაზა კარტეზიული სისტემაკოორდინატებიისტორიულად არასწორი. ჯობია ლაპარაკი მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაან ორთოგონალური კოორდინატთა სისტემა. მიუხედავად ამისა, ჩვენ არ შევცვლით ტრადიციებს და მომავალში ვივარაუდებთ, რომ დეკარტისა და მართკუთხა (ორთოგონალური) კოორდინატთა სისტემები ერთი და იგივეა.

ერთეული ვექტორი, მიმართულია X ღერძის გასწვრივ, აღინიშნება მე, ერთეული ვექტორი, მიმართული Y ღერძის გასწვრივ, აღინიშნება ჯ, ა ერთეული ვექტორი, მიმართულია Z ღერძის გასწვრივ, აღინიშნება კ. ვექტორები მე, ჯ, კდაურეკა ორტები(ნახ. 12, მარცხნივ), აქვთ ერთი მოდული, ე.ი
i = 1, j = 1, k = 1.

ცულები და ორტები მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაზოგიერთ შემთხვევაში მათ სხვა სახელები და აღნიშვნები აქვთ. ასე რომ, აბსცისის ღერძს X შეიძლება ეწოდოს ტანგენტის ღერძი და მისი ერთეული ვექტორი აღინიშნება τ (ბერძნული პატარა ასო tau), y-ღერძი ნორმალური ღერძია, მისი ერთეული ვექტორი აღინიშნება. ნ, აპლიკაციური ღერძი არის ბინორმალის ღერძი, მისი ერთეული ვექტორი აღინიშნება ბ. რატომ იცვლება სახელები, თუ არსი იგივე რჩება?

ფაქტია, რომ, მაგალითად, მექანიკაში, სხეულების მოძრაობის შესწავლისას, ძალიან ხშირად გამოიყენება მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა. ასე რომ, თუ კოორდინატთა სისტემა თავისთავად უმოძრაოა და მოძრავი ობიექტის კოორდინატების ცვლილებას აკვირდება ამ უმოძრაო სისტემაში, მაშინ ჩვეულებრივ ღერძები აღნიშნავენ X, Y, Z და მათ. ორტებიშესაბამისად მე, ჯ, კ.

მაგრამ ხშირად, როდესაც ობიექტი მოძრაობს ზოგიერთის გასწვრივ მრუდი ტრაექტორია(მაგალითად, წრის გასწვრივ) უფრო მოსახერხებელია მექანიკური პროცესების განხილვა კოორდინატულ სისტემაში, რომელიც მოძრაობს ამ ობიექტთან. სწორედ ასეთი მოძრავი კოორდინატთა სისტემისთვის გამოიყენება ღერძების სხვა სახელები და მათი ერთეული ვექტორები. უბრალოდ მიღებულია. ამ შემთხვევაში, X-ღერძი მიმართულია ტანგენციურად ტრაექტორიაზე იმ წერტილში, სადაც ამ მომენტშიეს ობიექტი მდებარეობს. და მაშინ ამ ღერძს აღარ ეძახიან X ღერძი, არამედ ტანგენტის ღერძი და მისი ერთეული ვექტორი აღარ აღინიშნება მე, ა τ . Y ღერძი მიმართულია ტრაექტორიის გამრუდების რადიუსის გასწვრივ (წრეში მოძრაობის შემთხვევაში - წრის ცენტრამდე). და რადგან რადიუსი ტანგენტის პერპენდიკულარულია, ღერძს ნორმალის ღერძი ეწოდება (პერპენდიკულარული და ნორმალური ერთი და იგივეა). ამ ღერძის ორტი აღარ აღინიშნება ჯ, ა ნ. მესამე ღერძი (ყოფილი Z) პერპენდიკულარულია ორი წინა ღერძის მიმართ. ეს არის ბინორმა ვექტორთან ერთად ბ(სურ. 12, მარჯვნივ). სხვათა შორის, ამ შემთხვევაში მართკუთხა სისტემაკოორდინატებიხშირად მოიხსენიებენ როგორც "ბუნებრივ" ან ბუნებრივ.

ამ გაკვეთილზე ჩვენ გადავხედავთ კიდევ ორ ოპერაციას ვექტორებით: ვექტორების ჯვარედინი პროდუქტიდა ვექტორების შერეული პროდუქტი (დაუყოვნებელი ბმული მათთვის, ვისაც ეს სჭირდება). არა უშავს, ხანდახან ასეც ხდება სრული ბედნიერებაგარდა ამისა ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი, უფრო და უფრო მეტია საჭირო. ასეთია ვექტორული დამოკიდებულება. შეიძლება ჩანდეს, რომ ველურ ბუნებაში ავდივართ ანალიტიკური გეომეტრია. Ეს არ არის სიმართლე. უმაღლესი მათემატიკის ამ განყოფილებაში, ზოგადად, ცოტა შეშაა, გარდა შესაძლოა საკმარისი პინოქიოს. სინამდვილეში, მასალა ძალიან გავრცელებული და მარტივია - ძნელად უფრო რთული, ვიდრე იგივე სკალარული პროდუქტი, თუნდაც ტიპიური ამოცანებინაკლები იქნება. ანალიტიკურ გეომეტრიაში მთავარი, როგორც ბევრი დაინახავს ან უკვე უნახავს, ​​არის გამოთვლების არ შეცდომა. გაიმეორეთ შელოცვის მსგავსად და ბედნიერი იქნებით =)

თუ ვექტორები ანათებენ სადღაც შორს, როგორც ელვა ჰორიზონტზე, არ აქვს მნიშვნელობა, დაიწყე გაკვეთილი ვექტორები დუმებისთვისაღსადგენად ან გასაყიდად საბაზისო ცოდნავექტორების შესახებ. უფრო მომზადებულ მკითხველს შეუძლია ინფორმაციის შერჩევით გაცნობა, შევეცადე შემეგროვებინა მაგალითების ყველაზე სრულყოფილი კოლექცია, რომლებიც ხშირად გვხვდება პრაქტიკული სამუშაო

რა გაგახარებს? პატარა რომ ვიყავი, ორი და თუნდაც სამი ბურთის ჟონგლირება შემეძლო. კარგად გამოუვიდა. ახლა საერთოდ არ არის საჭირო ჟონგლირება, რადგან განვიხილავთ მხოლოდ სივრცის ვექტორები, და ბრტყელი ვექტორები ორი კოორდინატით დარჩება გარეთ. რატომ? ასე დაიბადა ეს მოქმედებები – ვექტორული და შერეული პროდუქტივექტორები განსაზღვრულია და მუშაობს სამგანზომილებიანი სივრცე. უკვე უფრო ადვილია!

ამ ოპერაციაში, ისევე როგორც სკალარული პროდუქტის დროს, ორი ვექტორი. ეს იყოს უხრწნელი ასოები.

თავად მოქმედება აღინიშნაშემდეგი გზით: . არის სხვა ვარიანტებიც, მაგრამ მე ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლს აღვნიშნავდი ამ გზით, in კვადრატული ფრჩხილებიჯვრით.

და მაშინვე კითხვა: თუ შევიდა ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლიჩართულია ორი ვექტორი და აქ ორი ვექტორიც მრავლდება, მაშინ რა არის განსხვავება? აშკარა განსხვავება, პირველ რიგში, შედეგში:

ვექტორების სკალარული ნამრავლის შედეგი არის რიცხვი:

ვექტორთა ჯვარედინი ნამრავლის შედეგი არის ვექტორი: , ანუ ვამრავლებთ ვექტორებს და ისევ ვიღებთ ვექტორს. დახურული კლუბი. სინამდვილეში, აქედან მოდის ოპერაციის სახელი. სხვადასხვაში სასწავლო ლიტერატურააღნიშვნა ასევე შეიძლება განსხვავდებოდეს, მე გამოვიყენებ ასოს.

ჯვარედინი პროდუქტის განმარტება

ჯერ იქნება განმარტება სურათით, მერე კომენტარები.

განმარტება: ჯვარედინი პროდუქტი არაკოლინარულივექტორები, მიღებული ამ თანმიმდევრობით, ეწოდება ვექტორი, სიგრძერომელიც რიცხობრივად პარალელოგრამის ფართობის ტოლიაამ ვექტორებზე აგებული; ვექტორი ორთოგონალური ვექტორების მიმართდა მიმართულია ისე, რომ საფუძველს ჰქონდეს სწორი ორიენტაცია:

ჩვენ ვაანალიზებთ განმარტებას ძვლების მიხედვით, ბევრი საინტერესო რამ არის!

ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია გამოვყოთ შემდეგი მნიშვნელოვანი პუნქტები:

1) წყაროს ვექტორები, მითითებული წითელი ისრებით, განმარტებით არა კოლინარული. ხდება კოლინარული ვექტორებიმიზანშეწონილი იქნება ცოტა მოგვიანებით განვიხილოთ.

2) აღებული ვექტორები მკაცრი თანმიმდევრობით: – "ა" მრავლდება "იყოს", არა "იყოს" "ა". ვექტორული გამრავლების შედეგიარის ვექტორი, რომელიც აღინიშნება ლურჯად. თუ ვექტორები გამრავლებულია საპირისპირო მიზნით, მაშინ ვიღებთ ვექტორს სიგრძით ტოლი და მიმართულებით საპირისპირო (ჟოლოსფერი ფერი). ანუ თანასწორობა .

3) ახლა გავეცნოთ ვექტორული ნამრავლის გეომეტრიულ მნიშვნელობას. ეს ძალიან მნიშვნელოვანი წერტილი! ლურჯი ვექტორის სიგრძე (და, მაშასადამე, ჟოლოსფერი ვექტორის ) რიცხობრივად უდრის ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობს. ფიგურაში ეს პარალელოგრამი შავ ფერშია დაჩრდილული.

შენიშვნა : ნახაზი სქემატურია და, რა თქმა უნდა, ჯვარედინი პროდუქტის ნომინალური სიგრძე არ არის პარალელოგრამის ფართობის ტოლი.

ჩვენ გვახსოვს ერთი გეომეტრიული ფორმულები: პარალელოგრამის ფართობი ტოლია ნამრავლის მიმდებარე პარტიებიმათ შორის კუთხის სინუსით. ამიტომ, ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, მოქმედებს ვექტორული ნამრავლის სიგრძის გამოთვლის ფორმულა:

ხაზს ვუსვამ, რომ ფორმულაში ვსაუბრობთ ვექტორის სიგრძეზე და არა თავად ვექტორზე. რა არის პრაქტიკული მნიშვნელობა? და მნიშვნელობა ისეთია, რომ ანალიტიკური გეომეტრიის პრობლემებში, პარალელოგრამის ფართობი ხშირად გვხვდება ვექტორული პროდუქტის კონცეფციის საშუალებით:

მოდი ერთი წამი მივიღოთ მნიშვნელოვანი ფორმულა. პარალელოგრამის დიაგონალი (წითელი წერტილოვანი ხაზი) ​​მას ორად ყოფს თანაბარი სამკუთხედი. ამრიგად, ვექტორებზე აგებული სამკუთხედის ფართობი (წითელი დაჩრდილვა) შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულით:

4) არანაკლებ მნიშვნელოვანი ფაქტიარის ის, რომ ვექტორი ორთოგონალურია ვექტორებთან, ანუ, . რა თქმა უნდა, საპირისპიროდ მიმართული ვექტორი (ჟოლოსფერი ისარი) ასევე ორთოგონალურია თავდაპირველი ვექტორების მიმართ.

5) ვექტორი მიმართულია ისე, რომ საფუძველიᲛას აქვს უფლებაორიენტაცია. გაკვეთილზე იმის შესახებ ახალ ბაზაზე გადასვლამე დეტალურად ვისაუბრე თვითმფრინავის ორიენტაციადა ახლა ჩვენ გავარკვევთ რა არის სივრცის ორიენტაცია. თითებზე აგიხსნი მარჯვენა ხელი . გონებრივად შეაერთეთ საჩვენებელი თითი ვექტორით და შუა თითივექტორით. ბეჭედი და პატარა თითიხელისგულში დაჭერით. Როგორც შედეგი ცერა თითი - ვექტორული პროდუქტი გამოჩნდება. ეს არის უფლებაზე ორიენტირებული საფუძველი (ეს არის ფიგურაში). ახლა შეცვალეთ ვექტორები ( ინდექსი და შუა თითები ) ზოგან, შედეგად, ცერა თითი შემობრუნდება და ვექტორული პროდუქტი უკვე ქვემოთ იყურება. ესეც უფლებაზე ორიენტირებული საფუძველია. ალბათ გაგიჩნდებათ შეკითხვა: რა საფუძვლად უდევს მარცხენა ორიენტაცია? იგივე თითები "დაანიშნეთ". მარცხენა ხელივექტორები და მიიღეთ მარცხენა საფუძველი და მარცხენა სივრცეში ორიენტაცია (ამ შემთხვევაში, ცერა თითი განთავსდება ქვედა ვექტორის მიმართულებით). ფიგურალურად რომ ვთქვათ, ეს ფუძეები "უხვევენ" ან ორიენტირებენ სივრცეში სხვადასხვა მხარეები. და ეს კონცეფცია არ უნდა ჩაითვალოს რაღაც შორეულ ან აბსტრაქტულად - მაგალითად, ყველაზე ჩვეულებრივი სარკე ცვლის სივრცის ორიენტაციას და თუ "ასახული ობიექტი სარკიდან ამოიღეთ", მაშინ ის ზოგადი შემთხვევაარ შეიძლება ორიგინალთან შედარება. სხვათა შორის, მიიტანეთ სამი თითი სარკესთან და გააანალიზეთ ანარეკლი ;-)

... რა კარგია, რომ ახლა იცი მარჯვნივ და მარცხნივ ორიენტირებულისაფუძვლები, რადგან ზოგიერთი ლექტორის განცხადება ორიენტაციის ცვლილების შესახებ საშინელია =)

კოლინარული ვექტორების ვექტორული ნამრავლი

განმარტება დეტალურად არის შემუშავებული, რჩება იმის გარკვევა, თუ რა ხდება, როდესაც ვექტორები კოლინარულია. თუ ვექტორები ხაზოვანია, მაშინ ისინი შეიძლება განთავსდეს ერთ სწორ ხაზზე და ჩვენი პარალელოგრამი ასევე "იკეცოს" ერთ სწორ ხაზზე. ისეთი არეალი, როგორც მათემატიკოსები ამბობენ, დეგენერატიპარალელოგრამი არის ნული. იგივე გამომდინარეობს ფორმულიდან - ნულის სინუსი ან 180 გრადუსი ნული, და, შესაბამისად, ფართობი ნულის ტოლია

ამრიგად, თუ, მაშინ . მკაცრად რომ ვთქვათ, ვექტორული პროდუქტი თავად არის ნულოვანი ვექტორი, მაგრამ პრაქტიკაში ამას ხშირად უგულებელყოფენ და წერენ, რომ უბრალოდ ნულის ტოლია.

განსაკუთრებული შემთხვევაარის ვექტორისა და საკუთარი თავის ჯვარედინი ნამრავლი:

ჯვარედინი პროდუქტის გამოყენებით, შეგიძლიათ შეამოწმოთ სამგანზომილებიანი ვექტორების კოლინარულობა და ამ ამოცანასსხვათა შორის, ჩვენ ასევე გავაანალიზებთ.

გადაწყვეტილებისთვის პრაქტიკული მაგალითებიშეიძლება საჭირო გახდეს ტრიგონომეტრიული ცხრილიმისგან სინუსების მნიშვნელობების პოვნა.

აბა, ხანძარი გავაჩაღოთ:

მაგალითი 1

ა) იპოვეთ ვექტორების ვექტორული ნამრავლის სიგრძე თუ

ბ) იპოვეთ ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობი თუ

გადაწყვეტილება: არა, ეს არ არის ბეჭდვითი შეცდომა, მე განზრახ დავწერე საწყისი მონაცემები იგივე მდგომარეობაში. რადგან გადაწყვეტილებების დიზაინი განსხვავებული იქნება!

ა) პირობის მიხედვით საჭიროა მოძებნა სიგრძევექტორი (ვექტორული პროდუქტი). შესაბამისი ფორმულის მიხედვით:

უპასუხე:

რაკი სიგრძის შესახებ იკითხეს, პასუხში მივუთითებთ განზომილებას - ერთეულებს.

ბ) პირობის მიხედვით საჭიროა მოძებნა კვადრატივექტორებზე აგებული პარალელოგრამი. ამ პარალელოგრამის ფართობი რიცხობრივად უდრის ჯვარედინი ნამრავლის სიგრძეს:

უპასუხე:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ვექტორული პროდუქტის შესახებ პასუხში საერთოდ არ არის საუბარი, ჩვენ გვკითხეს ფიგურის ფართობიშესაბამისად, განზომილება არის კვადრატული ერთეული.

ჩვენ ყოველთვის ვუყურებთ იმას, თუ რა არის საჭირო მდგომარეობის მიხედვით და, ამის საფუძველზე, ვაყალიბებთ ნათელიპასუხი. შეიძლება ლიტერალიზმად მოგეჩვენოთ, მაგრამ მასწავლებლებს შორის არის საკმარისი ლიტერალისტი და კარგი შანსების მქონე დავალება დაბრუნდება გადასინჯვისთვის. მიუხედავად იმისა, რომ ეს არ არის განსაკუთრებით დაძაბული ყურადღების მიქცევა - თუ პასუხი არასწორია, მაშინ იქმნება შთაბეჭდილება, რომ ადამიანს არ ესმის მარტივი რამდა/ან არ ესმოდა ამოცანის არსი. ეს მომენტი ყოველთვის უნდა იყოს კონტროლირებადი, ნებისმიერი პრობლემის გადაჭრა უმაღლესი მათემატიკადა სხვა საგნებშიც.

სად წავიდა დიდი ასო "ენ"? პრინციპში შეიძლებოდა დამატებით მიეწებო გამოსავალზე, მაგრამ ჩანაწერის შემცირების მიზნით, მე არ გავაკეთე. ვიმედოვნებ, რომ ყველას ესმის და ეს იგივეს დანიშნულებაა.

პოპულარული მაგალითიამისთვის დამოუკიდებელი გადაწყვეტა:

მაგალითი 2

იპოვეთ ვექტორებზე აგებული სამკუთხედის ფართობი თუ

ვექტორული პროდუქტის მეშვეობით სამკუთხედის ფართობის პოვნის ფორმულა მოცემულია განმარტების კომენტარებში. ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

პრაქტიკაში, ამოცანა მართლაც ძალიან გავრცელებულია, სამკუთხედები ზოგადად შეიძლება აწამონ.

სხვა პრობლემების გადასაჭრელად ჩვენ გვჭირდება:

ვექტორთა ჯვარედინი ნამრავლის თვისებები

ჩვენ უკვე განვიხილეთ ვექტორული პროდუქტის ზოგიერთი თვისება, თუმცა მათ ამ ჩამონათვალში შევიტან.

თვითნებური ვექტორებისთვის და თვითნებური რიცხვებისთვის, შემდეგი თვისებები მართალია:

1) ინფორმაციის სხვა წყაროებში ეს ელემენტი, როგორც წესი, არ არის ხაზგასმული თვისებებში, მაგრამ ძალიან მნიშვნელოვანია პრაქტიკული თვალსაზრისით. ასე რომ იყოს.

2) - საკუთრებაზეც ზევითაა საუბარი, ხანდახან ე.წ ანტიკომუტატიურობა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ვექტორების თანმიმდევრობას აქვს მნიშვნელობა.

3) - კომბინაცია ან ასოციაციურივექტორული პროდუქტის კანონები. მუდმივები ადვილად ამოღებულია ვექტორული პროდუქტის საზღვრებიდან. მართლა, რას აკეთებენ იქ?

4) - განაწილება ან განაწილებავექტორული პროდუქტის კანონები. არც ფრჩხილების გახსნის პრობლემაა.

როგორც დემონსტრირება, განიხილეთ მოკლე მაგალითი:

მაგალითი 3

იპოვე თუ

გადაწყვეტილება:პირობით, კვლავ საჭიროა ვექტორული პროდუქტის სიგრძის პოვნა. მოდით დავხატოთ ჩვენი მინიატურა:

(1) ასოციაციური კანონების მიხედვით, ჩვენ ვიღებთ მუდმივებს ვექტორული ნამრავლის საზღვრებს მიღმა.

(2) ჩვენ ვიღებთ მუდმივას მოდულიდან, ხოლო მოდული "ჭამს" მინუს ნიშანს. სიგრძე არ შეიძლება იყოს უარყოფითი.

(3) რაც შემდეგშია, ნათელია.

უპასუხე:

ცეცხლზე შეშის სროლის დროა:

მაგალითი 4

გამოთვალეთ ვექტორებზე აგებული სამკუთხედის ფართობი თუ

გადაწყვეტილება: იპოვეთ სამკუთხედის ფართობი ფორმულის გამოყენებით . პრობლემა ის არის, რომ ვექტორები "ce" და "te" თავად წარმოდგენილია ვექტორების ჯამებად. აქ ალგორითმი სტანდარტულია და გარკვეულწილად მოგვაგონებს გაკვეთილის მე-3 და მე-4 მაგალითებს. ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი. მოდით დავყოთ იგი სამ ეტაპად სიცხადისთვის:

1) პირველ საფეხურზე ჩვენ ვექტორულ ნამრავლს გამოვხატავთ ვექტორული ნამრავლის მეშვეობით, ფაქტობრივად, ვექტორის გამოხატვა ვექტორის მიხედვით. სიგრძეზე ჯერ არაფერია ნათქვამი!

(1) ჩვენ ვცვლით ვექტორების გამოსახულებებს.

(2) გამანაწილებელი კანონების გამოყენებით ვხსნით ფრჩხილებს მრავალწევრების გამრავლების წესის მიხედვით.

(3) ასოციაციური კანონების გამოყენებით, ჩვენ ვიღებთ ყველა მუდმივას ვექტორული პროდუქტების მიღმა. მცირე გამოცდილებით, 2 და 3 მოქმედებები შეიძლება ერთდროულად შესრულდეს.

(4) პირველი და ბოლო წევრი უდრის ნულს (ნულოვანი ვექტორი) სასიამოვნო თვისების გამო. მეორე ტერმინში ვიყენებთ ვექტორული პროდუქტის ანტიკომუტატიურ თვისებას:

(5) ჩვენ წარმოგიდგენთ მსგავს ტერმინებს.

შედეგად, ვექტორი გამოიხატებოდა ვექტორის საშუალებით, რაც იყო საჭირო:

2) მეორე საფეხურზე ვპოულობთ ჩვენთვის საჭირო ვექტორული ნამრავლის სიგრძეს. ეს ქმედებაგახსენებს მაგალითს 3:

3) იპოვეთ სასურველი სამკუთხედის ფართობი:

ხსნარის 2-3 საფეხურები შეიძლება განთავსდეს ერთ ხაზზე.

უპასუხე:

განხილული პრობლემა საკმაოდ გავრცელებულია საკონტროლო სამუშაო, აქ არის მაგალითი საკუთარი თავის გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 5

იპოვე თუ

სწრაფი გადაწყვეტადა პასუხი გაკვეთილის ბოლოს. ვნახოთ, რამდენად ყურადღებიანი იყავით წინა მაგალითების შესწავლისას ;-)

ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლი კოორდინატებში

ორთონორმალური საფუძველზე, გამოიხატება ფორმულით:

ფორმულა მართლაც მარტივია: კოორდინატთა ვექტორებს დეტერმინანტის ზედა ხაზში ვწერთ, ვექტორების კოორდინატებს მეორე და მესამე სტრიქონებში „ვაფუთავთ“ და ვსვამთ. მკაცრი წესით- ჯერ ვექტორის კოორდინატები "ve", შემდეგ ვექტორის კოორდინატები "double-ve". თუ ვექტორები უნდა გამრავლდეს სხვა თანმიმდევრობით, მაშინ ხაზებიც უნდა შეიცვალოს:

მაგალითი 10

შეამოწმეთ არის თუ არა შემდეგი სივრცის ვექტორები თანამიმართულია:
ა)
ბ)

გადაწყვეტილება: დადასტურება ერთ-ერთი მტკიცების საფუძველზე ეს გაკვეთილი: თუ ვექტორები კოლინარულია, მაშინ მათი ვექტორული ნამრავლი არის ნული (ნულოვანი ვექტორი): .

ა) იპოვეთ ვექტორული ნამრავლი:

ასე რომ, ვექტორები არ არის კოლინარული.

ბ) იპოვეთ ვექტორული ნამრავლი:

უპასუხე: ა) არა კოლინარული, ბ)

აქ, ალბათ, არის ყველა ძირითადი ინფორმაცია ვექტორების ვექტორული ნამრავლის შესახებ.

ეს განყოფილებაარ იქნება ძალიან დიდი, რადგან ვექტორების შერეული პროდუქტის გამოყენებისას რამდენიმე პრობლემაა. სინამდვილეში, ყველაფერი დაეყრდნობა განმარტებას, გეომეტრიულ მნიშვნელობას და რამდენიმე სამუშაო ფორმულას.

ვექტორების შერეული პროდუქტია პროდუქტი სამივექტორები:

ასე დგანან მატარებელივით და მელოდებიან, ვერ ითმენენ, სანამ არ გამოითვლებიან.

ჯერ ისევ განმარტება და სურათი:

განმარტება: შერეული პროდუქტი არათანაბარივექტორები, მიღებული ამ თანმიმდევრობით, ეწოდება პარალელეპიპედის მოცულობა, აგებულია ამ ვექტორებზე, აღჭურვილია "+" ნიშნით, თუ საფუძველი სწორია და "-" ნიშნით, თუ საფუძველი დარჩა.

მოდით გავაკეთოთ ნახატი. ჩვენთვის უხილავი ხაზები დახატულია წერტილოვანი ხაზით:

მოდით ჩავუღრმავდეთ განმარტებას:

2) აღებული ვექტორები გარკვეული თანმიმდევრობით, ანუ პროდუქტში ვექტორების პერმუტაცია, როგორც თქვენ ალბათ მიხვდებით, უშედეგოდ არ მიმდინარეობს.

3) სანამ კომენტარს გავაკეთებ გეომეტრიულ მნიშვნელობაზე, აღვნიშნავ აშკარა ფაქტი: ვექტორების შერეული ნამრავლი არის რიცხვი: . საგანმანათლებლო ლიტერატურაში, დიზაინი შეიძლება გარკვეულწილად განსხვავებული იყოს, მე ვანიშნებდი შერეულ პროდუქტს და გამოთვლების შედეგს ასო "პე"-ით.

ა-პრიორიტეტი შერეული პროდუქტი არის პარალელეპიპედის მოცულობა, აგებულია ვექტორებზე (ფიგურა დახატულია წითელი ვექტორებით და შავი ხაზებით). ანუ რიცხვი უდრის მოცემული პარალელეპიპედის მოცულობას.

შენიშვნა : ნახატი სქემატურია.

4) ისევ არ შევიწუხოთ საფუძვლისა და სივრცის ორიენტაციის კონცეფცია. ბოლო ნაწილის მნიშვნელობა არის ის, რომ მინუს ნიშანი შეიძლება დაემატოს მოცულობას. მარტივი სიტყვებით, შერეული პროდუქტი შეიძლება იყოს უარყოფითი: .

ვექტორებზე აგებული პარალელეპიპედის მოცულობის გამოთვლის ფორმულა პირდაპირ განმარტებიდან გამომდინარეობს.

განმარტება შეკვეთილი ნაკრები (x 1 , x 2 , ... , x n) n რეალური რიცხვებიდაურეკა n-განზომილებიანი ვექტორიდა რიცხვები x i (i = ) - კომპონენტებიან კოორდინატები,

მაგალითი. თუ, მაგალითად, გარკვეულმა საავტომობილო ქარხანამ უნდა აწარმოოს 50 მანქანები, 100 სატვირთო მანქანა, 10 ავტობუსი, 50 კომპლექტი მანქანების სათადარიგო ნაწილები და 150 კომპლექტი სატვირთო მანქანებიდა ავტობუსები, ამ ქარხნის საწარმოო პროგრამა შეიძლება დაიწეროს ვექტორად (50, 100, 10, 50, 150) ხუთი კომპონენტით.

აღნიშვნა. ვექტორები აღინიშნება თამამად მცირე ასოან ასოები ზოლით ან ისრით ზედა, მაგალითად, აან. ორ ვექტორს ე.წ თანაბარითუ აქვთ იგივე ნომერიკომპონენტი და მათი შესაბამისი კომპონენტები ტოლია.

ვექტორული კომპონენტები არ შეიძლება შეიცვალოს, მაგ. (3, 2, 5, 0, 1)და (2, 3, 5, 0, 1) სხვადასხვა ვექტორები.
ოპერაციები ვექტორებზე.მუშაობა x= (x 1 , x 2 , ... ,x n) რეალურ რიცხვამდეλ ვექტორი ეწოდებაλ x= (λ x 1 , λ x 2 , ... , λ x n).

ჯამიx= (x 1 , x 2 , ... ,x n) და წ= (y 1 , y 2 , ... ,y n) ეწოდება ვექტორს x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).

ვექტორთა სივრცე.ნ -განზომილებიანი ვექტორული სივრცე რ n განისაზღვრება, როგორც ყველა n-განზომილებიანი ვექტორის ერთობლიობა, რომლებისთვისაც გამრავლების ოპერაციები რეალური რიცხვებიდა დამატებით.

ეკონომიკური ილუსტრაცია. n-განზომილებიანი ვექტორული სივრცის ეკონომიკური ილუსტრაცია: საქონლის სივრცე (საქონელი). ქვეშ საქონელიჩვენ გავიგებთ ზოგიერთ საქონელს ან მომსახურებას, რომელიც გაიყიდა გარკვეულ დროს გარკვეული ადგილი. დავუშვათ, რომ არსებობს საქონლის სასრული რაოდენობა n; მომხმარებლის მიერ შეძენილი თითოეული მათგანის რაოდენობა ხასიათდება საქონლის ნაკრებით

x= (x 1, x 2, ..., x n),

სადაც x i აღნიშნავს მომხმარებლის მიერ შეძენილი i-ე საქონლის რაოდენობას. ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ ყველა საქონელს აქვს თვითნებური გაყოფის თვისება, ასე რომ, თითოეული მათგანის ნებისმიერი არაუარყოფითი რაოდენობის შეძენა შესაძლებელია. მაშინ საქონლის ყველა შესაძლო კომპლექტი არის საქონლის სივრცის ვექტორები C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i =).

ხაზოვანი დამოუკიდებლობა. სისტემა ე 1 , ე 2 , ... , ე m n-განზომილებიანი ვექტორები ეწოდება წრფივად დამოკიდებულითუ არის ასეთი რიცხვებიλ 1 , λ 2 , ... , λ m , რომელთაგან ერთი მაინც არ არის ნულოვანი, რაც აკმაყოფილებს ტოლობასλ1 ე 1 + λ2 ე 2+...+λm ემ = 0; წინააღმდეგ შემთხვევაში ამ სისტემასვექტორები ეწოდება წრფივი დამოუკიდებელი, ანუ ეს თანასწორობა შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როცა ყველა . გეომეტრიული გრძნობა ხაზოვანი დამოკიდებულებავექტორები რ 3, ინტერპრეტირებული, როგორც მიმართული სეგმენტები, ახსენით შემდეგი თეორემები.

თეორემა 1. სისტემა, რომელიც შედგება ერთი ვექტორისგან, წრფივად არის დამოკიდებული, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ეს ვექტორი ნულის ტოლია.

თეორემა 2. იმისათვის, რომ ორი ვექტორი იყოს წრფივად დამოკიდებული, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ისინი იყოს კოლინარული (პარალელური).

თეორემა 3 . იმისათვის, რომ სამი ვექტორი იყოს წრფივად დამოკიდებული, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ისინი იყოს თანაპლანტარული (იგივე სიბრტყეში დევს).

ვექტორების მარცხენა და მარჯვენა სამეული. არაერთობლივი ვექტორების სამმაგი ა, ბ, გდაურეკა უფლება, თუ დამკვირვებელი მათგან საერთო დასაწყისივექტორების ბოლოების გვერდის ავლით ა, ბ, გამ თანმიმდევრობით, როგორც ჩანს, მიმდინარეობს საათის ისრის მიმართულებით. წინააღმდეგ შემთხვევაში ა, ბ, გ -დარჩა სამმაგი. ვექტორების ყველა მარჯვენა (ან მარცხნივ) სამეულს უწოდებენ თანაბრად ორიენტირებული.

საფუძველი და კოორდინატები. ტროიკა ე 1, ე 2 , ე 3 არათანაბარი ვექტორი in რ 3-მა დარეკა საფუძველიდა თავად ვექტორები ე 1, ე 2 , ე 3 - ძირითადი. ნებისმიერი ვექტორი აშეიძლება გაფართოვდეს უნიკალური გზით საბაზისო ვექტორების თვალსაზრისით, ანუ შეიძლება იყოს წარმოდგენილი სახით

ა= x 1 ე 1 + x2 ე 2 + x 3 ე 3, (1.1)

რიცხვები x 1 , x 2 , x 3 გაფართოებაში (1.1) ეწოდება კოორდინატებიასაფუძველზე ე 1, ე 2 , ე 3 და აღინიშნება ა(x 1, x 2, x 3).

ორთონორალური საფუძველი. თუ ვექტორები ე 1, ე 2 , ე 3 არის წყვილი პერპენდიკულარული და თითოეული მათგანის სიგრძე ერთის ტოლია, მაშინ საფუძველი ე.წ. ორთონორალურიდა კოორდინატები x 1 , x 2 , x 3 - მართკუთხა.აღინიშნა ორთონორმალური საფუძვლის საბაზისო ვექტორები მე, ჯ, კ.

ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ სივრცეში რ 3 დეკარტის მართკუთხა კოორდინატების სწორი სისტემა (0, მე, ჯ, კ}.

ვექტორული პროდუქტი. ვექტორული ხელოვნება ავექტორზე ბვექტორი ეწოდება გ, რომელიც განისაზღვრება შემდეგი სამი პირობით:

1. ვექტორის სიგრძე გრიცხობრივად ტოლია ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობი ადა ბ,ე.ი.
გ= |ა||ბ|ცოდვა ( ა^ბ).

2. ვექტორი გთითოეული ვექტორის პერპენდიკულარული ადა ბ.

3. ვექტორები ა, ბდა გამ თანმიმდევრობით აღებული, ქმნიან მარჯვენა სამეულს.

ვექტორული პროდუქტისთვის გშემოღებულია აღნიშვნა c=[აბ] ან
c = a × ბ.

თუ ვექტორები ადა ბკოლინარულია, მერე ცოდო( a^b) = 0 და [ აბ] = 0, კერძოდ, [ აა] = 0. ორტების ვექტორული პროდუქტები: [ იჯ]=კ, [ჯკ] = მე, [კი]=ჯ.

თუ ვექტორები ადა ბსაფუძველში მოცემული მე, ჯ, კკოორდინატები ა(a 1, a 2, a 3), ბ(b 1 , b 2 , b 3), შემდეგ

შერეული სამუშაო. თუ ორი ვექტორის ჯვარედინი ნამრავლი ადა ბსკალარი გამრავლებული მესამე ვექტორზე გ,მაშინ სამი ვექტორის ასეთი ნამრავლი ეწოდება შერეული პროდუქტიდა აღინიშნება სიმბოლოთი ა ძვ.წ.

თუ ვექტორები ა, ბდა გსაფუძველზე მე, ჯ, კდაყენებულია მათი კოორდინატებით
ა(a 1, a 2, a 3), ბ(b 1 , b 2 , b 3), გ(c 1 , c 2 , c 3), შემდეგ

.

შერეულ პროდუქტს აქვს მარტივი გეომეტრიული ინტერპრეტაცია - ეს არის სკალარული, შესაბამისად აბსოლუტური მნიშვნელობასამ მოცემულ ვექტორზე აგებული პარალელეპიპედის მოცულობის ტოლია.

თუ ვექტორები ქმნიან მარჯვენა სამეულს, მაშინ მათი შერეული ნამრავლი არის დადებითი რიცხვი, რომელიც უდრის მითითებულ მოცულობას; თუ სამი a, b, c -დატოვა, მაშინ ა ბ გ<0 и V = - ა ბ გ, შესაბამისად V =|ა ბ გ|.

პირველი თავის ამოცანებში შეხვედრილი ვექტორების კოორდინატები მიჩნეულია სწორ ორთონორმალურ საფუძველთან შედარებით. ერთეული ვექტორი ვექტორის თანამიმართულებით ა,აღინიშნება სიმბოლოთი აშესახებ. სიმბოლო რ=OMაღინიშნება M წერტილის რადიუსის ვექტორით, სიმბოლოებით a, AB ან|ა|, | AB |აღინიშნება ვექტორების მოდულები ადა AB.

მაგალითი 1.2. იპოვეთ კუთხე ვექტორებს შორის ა= 2მ+4ნდა ბ= მ-ნ, სად მდა n-ერთეული ვექტორები და შორის კუთხე მდა ნუდრის 120 o.

გადაწყვეტილება. გვაქვს: cos φ = აბ/ab, ab=(2მ+4ნ) (მ-ნ) = 2მ 2 - 4ნ 2 +2წთ=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0.5) = -3; a = ; ა 2 = (2მ+4ნ) (2მ+4ნ) =
= 4მ 2 +16წთ+16ნ 2 = 4+16(-0.5)+16=12, ასე რომ a = . b= ; ბ 2 =
= (მ-ნ)(მ-ნ) = მ 2 -2წთ+ნ 2 = 1-2(-0.5)+1 = 3, ამიტომ b = . საბოლოოდ გვაქვს: cosφ \u003d -1/2, φ \u003d 120 o.

მაგალითი 1.3.ვექტორების ცოდნა AB(-3,-2.6) და ძვ.წ(-2,4,4), გამოთვალეთ ABC სამკუთხედის AD სიმაღლე.

გადაწყვეტილება. სამკუთხედის ABC ფართობის აღნიშვნა S-ით, მივიღებთ:
S = 1/2 B.C. AD. მერე AD=2S/BC, BC== = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, ასე რომ ვექტორი ACაქვს კოორდინატები
. .

მაგალითი 1.4 . მოცემულია ორი ვექტორი ა(11,10,2) და ბ(4,0,3). იპოვეთ ერთეული ვექტორი გ,ორთოგონალური ვექტორების მიმართ ადა ბდა მიმართულია ისე, რომ ვექტორების მოწესრიგებული სამმაგი ა, ბ, გმართალი იყო.

გადაწყვეტილება.ავღნიშნოთ ვექტორის კოორდინატები გმოცემული უფლების ორთონორმალურ საფუძველთან დაკავშირებით x, y, z-ის მიხედვით.

Იმდენად, რამდენადაც გ ⊥ ა, გ ⊥ბ, მაშინ დაახლ= 0, cb= 0. ამოცანის პირობით, საჭიროა, რომ c = 1 და ა ბ გ >0.

ჩვენ გვაქვს განტოლებების სისტემა x,y,z პოვნა: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

სისტემის პირველი და მეორე განტოლებიდან ვიღებთ z = -4/3 x, y = -5/6 x. y და z მესამე განტოლებაში ჩანაცვლებით გვექნება: x 2 = 36/125, საიდანაც
x=± . გამოყენების მდგომარეობა a b c > 0, ვიღებთ უტოლობას

z და y გამონათქვამების გათვალისწინებით, მიღებულ უტოლობას გადავწერთ სახით: 625/6 x > 0, აქედან გამომდინარეობს, რომ x>0. ასე რომ x =, y = -, z = -.

7.1. ჯვარედინი პროდუქტის განმარტება

სამი არაერთობლივი ვექტორი a, b და c, აღებული მითითებული თანმიმდევრობით, ქმნიან მარჯვენა სამეულს, თუ მესამე ვექტორის ბოლოდან c-ის ბოლოდან უმოკლეს ბრუნი პირველი ვექტორიდან მეორე ვექტორამდე b საათის ისრის საწინააღმდეგოდ ჩანს, და მარცხენა თუ საათის ისრის მიმართულებით (იხ. ნახ. თექვსმეტი).

ვექტორის a და b ვექტორის ნამრავლს ეწოდება ვექტორი c, რომელიც:

1. a და b ვექტორების პერპენდიკულარული, ანუ c ^ a და c ^ ბ;

2. მას აქვს სიგრძე რიცხობრივად ტოლი a და ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობისბროგორც გვერდებზე (იხ. სურ. 17), ე.ი.

3. a , b და c ვექტორები ქმნიან მარჯვენა სამეულს.

ვექტორული ნამრავლი აღინიშნება x b ან [a,b]. ვექტორული ნამრავლის განმარტებიდან, ორთას შორის შემდეგი მიმართებები მე პირდაპირ მივყვები, ჯდა კ(იხ. სურ. 18):

i x j \u003d k, j x k \u003d i, k x i \u003d j.
მოდით დავამტკიცოთ, რომ მაგალითადმე xj \u003d k.

1) კ ^ ი , კ ^ j;

2) |k |=1, მაგრამ | მე x ჯ| = |i | |ჯ| sin(90°)=1;

3) ვექტორები i , j და კშექმენით მარჯვენა სამეული (იხ. სურ. 16).

7.2. ჯვარედინი პროდუქტის თვისებები

1. ფაქტორების გადალაგებისას ვექტორული ნამრავლი იცვლის ნიშანს, ე.ი. და xb \u003d (b xa) (იხ. სურ. 19).

ვექტორები a xb და b xa არის კოლინარული, აქვთ იგივე მოდულები (პარალელოგრამის ფართობი უცვლელი რჩება), მაგრამ საპირისპიროა მიმართული (სამმაგი a, b, a xb და a, b, b x a საპირისპირო ორიენტაციის). ანუ axb = -(bxa).

2. ვექტორულ ნამრავლს აქვს ასოციაციური საკუთრებასკალარული ფაქტორის მიმართ, ანუ l (a xb) \u003d (l a) x b \u003d a x (l b).

მოდით l >0. ვექტორი l (a xb) არის a და b ვექტორების პერპენდიკულარული. ვექტორი ( ლნაჯახი ბასევე არის a და ვექტორების პერპენდიკულარული ბ(ვექტორები a, ლმაგრამ დაწექი იმავე სიბრტყეში). ასე რომ, ვექტორები ლ(a xb) და ( ლნაჯახი ბკოლინარული. აშკარაა, რომ მათი მიმართულებები ერთმანეთს ემთხვევა. მათ აქვთ იგივე სიგრძე:

Ისე ლ(a xb)= ლ xb. ანალოგიურად დადასტურებულია ლ<0.

3. ორი არანულოვანი ვექტორი a და ბკოლინარულია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მათი ვექტორული ნამრავლი ტოლია ნულოვანი ვექტორის, ე.ი. და ||b<=>და xb \u003d 0.

კერძოდ, i *i =j *j =k *k =0 .

4. ვექტორულ პროდუქტს აქვს განაწილების თვისება:

(ა+ბ) xs = a xs + ბ xs .

მიიღეთ მტკიცებულების გარეშე.

7.3. ჯვარედინი პროდუქტის გამოხატულება კოორდინატების თვალსაზრისით

ჩვენ გამოვიყენებთ ვექტორული ჯვარედინი პროდუქტის ცხრილს i, ჯდა კ:

თუ პირველი ვექტორიდან მეორემდე უმოკლესი ბილიკის მიმართულება ემთხვევა ისრის მიმართულებას, მაშინ ნამრავლი უდრის მესამე ვექტორს, თუ არ ემთხვევა, მესამე ვექტორი აღებულია მინუს ნიშნით.

მოდით ორი ვექტორი a =a x i +a y ჯ+აზ კდა b=bx მე+ მიერ ჯ+bz კ. ვიპოვოთ ამ ვექტორების ვექტორული ნამრავლი მათი მრავალწევრების გამრავლებით (ვექტორული ნამრავლის თვისებების მიხედვით):

შედეგად მიღებული ფორმულა შეიძლება დაიწეროს კიდევ უფრო მოკლედ:

ვინაიდან ტოლობის მარჯვენა მხარე (7.1) შეესაბამება მესამე რიგის დეტერმინანტის გაფართოებას პირველი რიგის ელემენტების მიხედვით, ტოლობა (7.2) ადვილი დასამახსოვრებელია.

7.4. ჯვარედინი პროდუქტის ზოგიერთი გამოყენება

ვექტორების კოლინარობის დადგენა

პარალელოგრამისა და სამკუთხედის ფართობის პოვნა

ვექტორთა ჯვარედინი ნამრავლის განმარტების მიხედვით ადა ბ |a xb | =|ა | * |b |sin g, ანუ S par = |a x b |. და, შესაბამისად, D S \u003d 1/2 | a x b |.

ძალის მომენტის განსაზღვრა წერტილის შესახებ

მიეცით ძალა A წერტილში F =ABგაუშვი ო- რაღაც წერტილი სივრცეში (იხ. სურ. 20).

ფიზიკიდან ცნობილია, რომ ბრუნვის მომენტი ფ პუნქტთან შედარებით ოვექტორი ეწოდება მ ,რომელიც გადის წერტილში ოდა:

1) წერტილებში გამავალი სიბრტყის პერპენდიკულარული O, A, B;

2) რიცხობრივად უდრის ძალისა და მხრის ნამრავლს

3) ქმნის მარჯვენა სამეულს OA და A B ვექტორებით.

ამიტომ, M \u003d OA x F.

ბრუნვის წრფივი სიჩქარის პოვნა

სიჩქარე ვკუთხური სიჩქარით მბრუნავი ხისტი სხეულის წერტილი M ვფიქსირებული ღერძის გარშემო, განისაზღვრება ეილერის ფორმულით v \u003d w x r, სადაც r \u003d OM, სადაც O არის ღერძის ზოგიერთი ფიქსირებული წერტილი (იხ. ნახ. 21).

განმარტება. ვექტორის ნამრავლი a (გამრავლება) ვექტორით (გამრავლებით), რომელიც არ არის მასთან კოლინარული არის მესამე ვექტორი c (პროდუქტი), რომელიც აგებულია შემდეგნაირად:

1) მისი მოდული რიცხობრივად ტოლია პარალელოგრამის ფართობის ნახ. 155), აგებულია ვექტორებზე, ანუ ტოლია აღნიშნული პარალელოგრამის სიბრტყის პერპენდიკულარული მიმართულებისა;

3) ამ შემთხვევაში, c ვექტორის მიმართულება არჩეულია (ორი შესაძლოდან) ისე, რომ c ვექტორებმა შექმნან მარჯვენა სისტემა (§ 110).

აღნიშვნა: ან

განმარტების დამატება. თუ ვექტორები ხაზოვანია, მაშინ ფიგურის (პირობითად) პარალელოგრამის გათვალისწინებით, ბუნებრივია ნულოვანი ფართობის მინიჭება. ამრიგად, კოლინარული ვექტორების ვექტორული ნამრავლი ითვლება ნულოვანი ვექტორის ტოლად.

ვინაიდან ნულოვანი ვექტორს შეიძლება მიენიჭოს ნებისმიერი მიმართულება, ეს კონვენცია არ ეწინააღმდეგება განმარტების მე-2 და მე-3 პუნქტებს.

შენიშვნა 1. ტერმინში „ვექტორული ნამრავლი“ პირველი სიტყვა მიუთითებს იმაზე, რომ მოქმედების შედეგი არის ვექტორი (სკალარული ნამრავლისგან განსხვავებით; შდრ. § 104, შენიშვნა 1).

მაგალითი 1. იპოვეთ ვექტორული ნამრავლი, სადაც არის სწორი კოორდინატთა სისტემის ძირითადი ვექტორები (სურ. 156).

1. ვინაიდან ძირითადი ვექტორების სიგრძეები მასშტაბის ერთეულის ტოლია, პარალელოგრამის (კვადრატის) ფართობი რიცხობრივად ერთის ტოლია. მაშასადამე, ვექტორული ნამრავლის მოდული უდრის ერთს.

2. ვინაიდან სიბრტყეზე პერპენდიკულარული არის ღერძი, სასურველი ვექტორული ნამრავლი არის ვექტორი k ვექტორის თანამიმართული; და რადგან ორივე მათგანს აქვს მოდული 1, საჭირო ჯვარედინი პროდუქტი არის k ან -k.

3. ამ ორი შესაძლო ვექტორიდან პირველი უნდა ავირჩიოთ, ვინაიდან k ვექტორები ქმნიან მარჯვენა სისტემას (ხოლო ვექტორები ქმნიან მარცხენას).

მაგალითი 2. იპოვეთ ჯვარედინი ნამრავლი

გადაწყვეტილება. როგორც მაგალით 1-ში, დავასკვნათ, რომ ვექტორი არის k ან -k. მაგრამ ახლა ჩვენ უნდა ავირჩიოთ -k, რადგან ვექტორები ქმნიან სწორ სისტემას (და ვექტორები ქმნიან მარცხენას). Ისე,

მაგალითი 3 ვექტორებს აქვთ სიგრძე 80 და 50 სმ, შესაბამისად და ქმნიან 30° კუთხეს. მეტრის სიგრძის ერთეულის სახით იპოვეთ ვექტორული ნამრავლის სიგრძე a

გადაწყვეტილება. ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობი ტოლია სასურველი ვექტორული ნამრავლის სიგრძე უდრის

მაგალითი 4. იპოვეთ იგივე ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლის სიგრძე, აიღეთ სანტიმეტრი სიგრძის ერთეულით.

გადაწყვეტილება. ვინაიდან ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობი ვექტორული ნამრავლის სიგრძის ტოლია 2000 სმ, ე.ი.

მე-3 და მე-4 მაგალითების შედარება აჩვენებს, რომ ვექტორის სიგრძე დამოკიდებულია არა მხოლოდ ფაქტორების სიგრძეზე, არამედ სიგრძის ერთეულის არჩევანზე.

ვექტორული პროდუქტის ფიზიკური მნიშვნელობა.ვექტორული ნამრავლით წარმოდგენილი მრავალი ფიზიკური სიდიდედან განვიხილავთ მხოლოდ ძალის მომენტს.

ვთქვათ A არის ძალის გამოყენების წერტილი. O წერტილთან მიმართებით ძალის მომენტს ეწოდება ვექტორული ნამრავლი. ვინაიდან ამ ვექტორული ნამრავლის მოდული რიცხობრივად უდრის პარალელოგრამის ფართობს (ნახ. 157), მომენტის მოდული უდრის ფუძის ნამრავლს სიმაღლით, ანუ ძალა გამრავლებული მანძილით O წერტილიდან სწორ ხაზამდე, რომლის გასწვრივაც მოქმედებს ძალა.

მექანიკაში დადასტურებულია, რომ ხისტი სხეულის წონასწორობისთვის აუცილებელია, რომ არა მხოლოდ სხეულზე მიმართული ძალების გამომსახველი ვექტორების ჯამი, არამედ ძალების მომენტების ჯამიც იყოს ნულის ტოლი. იმ შემთხვევაში, როდესაც ყველა ძალა პარალელურია ერთი და იმავე სიბრტყის პარალელურად, მომენტების გამოსახული ვექტორების დამატება შეიძლება შეიცვალოს მათი მოდულების შეკრებითა და გამოკლებით. მაგრამ ძალების თვითნებური მიმართულებისთვის, ასეთი ჩანაცვლება შეუძლებელია. ამის შესაბამისად, ჯვარედინი პროდუქტი განისაზღვრება ზუსტად როგორც ვექტორი და არა როგორც რიცხვი.