შეკრების და გამრავლების გამანაწილებელი თვისება. მთელი რიცხვების გამრავლების ძირითადი თვისებები

გაკვეთილის მიზნები:

მიიღეთ ტოლობები, რომლებიც გამოხატავს გამრავლების თვისებას შეკრებისა და გამოკლების მიმართ.
ასწავლეთ სტუდენტებს გამოიყენონ ეს თვისება მარცხნიდან მარჯვნივ.
აჩვენე მნიშვნელოვანი პრაქტიკული ღირებულებაამ ქონებას.
განვითარდეს მოსწავლეებში ლოგიკური აზროვნება. გააძლიერე კომპიუტერის უნარები.

აღჭურვილობა:კომპიუტერები, პლაკატები გამრავლების თვისებებით, მანქანებისა და ვაშლების გამოსახულებებით, ბარათები.

გაკვეთილების დროს

1. მასწავლებლის შესავალი სიტყვა.

დღეს გაკვეთილზე განვიხილავთ გამრავლების კიდევ ერთ თვისებას, რომელსაც დიდი პრაქტიკული მნიშვნელობა აქვს, ის ეხმარება მრავალნიშნა რიცხვების სწრაფად გამრავლებას. გავიმეოროთ გამრავლების ადრე შესწავლილი თვისებები. ახალი თემის შესწავლისას ჩვენ შევამოწმებთ საშინაო დავალებას.

2. ზეპირი ვარჯიშების ამოხსნა.

მე. Დაწერე დაფაზე:

1 - ორშაბათი
2 - სამშაბათი
3 - ოთხშაბათი
4 - ხუთშაბათი
5 - პარასკევი
6 - შაბათი
7 - კვირა

ვარჯიში. განვიხილოთ კვირის დღე. დაგეგმილი დღის რიცხვი გავამრავლოთ 2-ზე, ნამრავლს დავუმატოთ 5, გავამრავლოთ ჯამი 5-ზე. ნამრავლი გავზარდოთ 10-ჯერ. დაასახელეთ შედეგი. თქვენ გამოიცანით... ერთი დღე.

(№ * 2 + 5) * 5 * 10

II. დავალება დან ელექტრონული სახელმძღვანელო„მათემატიკა 5-11კლ. მათემატიკის კურსის დაუფლების ახალი შესაძლებლობები. პრაქტიკა“. Drofa LLC 2004, DOS LLC 2004, CD-ROM, NFPK. განყოფილება „მათემატიკა. მთელი რიცხვები“. დავალება ნომერი 8. ექსპრეს კონტროლი. შეავსეთ ჯაჭვის ცარიელი უჯრედები. ვარიანტი 1.

III. Მაგიდაზე:

a+b
(ა+ბ)*გ
მ-ნ
m * c – n * c

2) გამარტივება:

5*x*6*წ
3*2*ა
a * 8 * 7
3*a*b

3) x-ის რომელ მნიშვნელობებზე ხდება ტოლობა ჭეშმარიტი:

x + 3 = 3 + x
407 * x = x * 407? რატომ?

გამრავლების რა თვისებები იქნა გამოყენებული?

3. ახალი მასალის შესწავლა.

დაფაზე არის პლაკატი მანქანების სურათებით.

სურათი 1.

დავალება მოსწავლეთა 1 ჯგუფისთვის (ბიჭები).

ავტოფარეხში 2 რიგში არის სატვირთო მანქანები და მანქანები. დაწერეთ გამონათქვამები.

Რამდენი სატვირთო მანქანებიპირველ რიგში? რამდენი მანქანა?
რამდენი სატვირთო მანქანაა მე-2 რიგში? რამდენი მანქანა?
რამდენი მანქანაა ავტოფარეხში?
რამდენი სატვირთო მანქანაა 1 ზოლში? რამდენი სატვირთო მანქანაა ორ რიგში?
რამდენი მანქანაა პირველ რიგში? რამდენი მანქანაა ორ რიგში?
რამდენი მანქანაა ავტოფარეხში?

იპოვეთ 3 და 6 გამონათქვამების მნიშვნელობები. შეადარეთ ეს მნიშვნელობები. ჩაწერეთ გამონათქვამები რვეულში. წაიკითხეთ თანასწორობა.

დავალება მოსწავლეთა 2 ჯგუფისთვის (ბიჭები).

ავტოფარეხში 2 რიგში არის სატვირთო მანქანები და მანქანები. რას ნიშნავს გამონათქვამები:

4 – 3
4 * 2
3 * 2
(4 – 3) * 2
4 * 2 – 3 * 2

იპოვეთ ბოლო ორი გამონათქვამის მნიშვნელობები.

ასე რომ, ამ გამონათქვამებს შორის შეგიძლიათ დააყენოთ ნიშანი =.

წავიკითხოთ ტოლობა: (4 - 3) * 2 = 4 * 2 - 3 * 2.

პლაკატი წითელი გამოსახულებით და მწვანე ვაშლი.

სურათი 2.

დავალება მოსწავლეთა მე-3 ჯგუფისთვის (გოგონები).

გამოთქმების შედგენა.

რამდენია ერთი წითელი და ერთი მწვანე ვაშლის მასა ერთად?
რა არის ყველა ვაშლის მასა ერთად?
რა არის ყველა წითელი ვაშლის მასა ერთად?
რა არის ყველა მწვანე ვაშლის მასა ერთად?
რა არის ყველა ვაშლის მასა?

იპოვეთ 2 და 5 გამონათქვამების მნიშვნელობები და შეადარეთ ისინი. ჩაწერეთ ეს გამოთქმა ბლოკნოტში. წაიკითხეთ.

დავალება მოსწავლეთა 4 ჯგუფისთვის (გოგონები).

ერთი წითელი ვაშლის მასა 100გრ, ერთი მწვანე ვაშლის 80გრ.

გამოთქმების შედგენა.

რამდენი გ-ით მეტია ერთი წითელი ვაშლის მასა მწვანეზე?
რა არის ყველა წითელი ვაშლის მასა?
რა არის ყველა მწვანე ვაშლის მასა?
რამდენი გ-ით მეტია ყველა წითელი ვაშლის მასა მწვანეზე?

იპოვეთ 2 და 5 გამონათქვამების მნიშვნელობები. შეადარეთ ისინი. წაიკითხეთ თანასწორობა. არის თუ არა ტოლობები მართალი მხოლოდ ამ რიცხვებისთვის?

4. საშინაო დავალების შემოწმება.

ვარჯიში. ავტორი აბრევიატურაამოცანის პირობები დავსვათ მთავარი კითხვა, შეადგინოთ გამოხატულება და იპოვოთ მისი მნიშვნელობა ცვლადების მოცემული მნიშვნელობებისთვის.

1 ჯგუფი

იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა a = 82, b = 21, c = 2.

2 ჯგუფი

იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა a = 82, b = 21, c = 2.

3 ჯგუფი

იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა a = 60, b = 40, c = 3.

4 ჯგუფი

იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა a = 60, b = 40, c = 3.

საკლასო სამუშაო.

შეადარეთ გამოხატვის მნიშვნელობები.

1 და 2 ჯგუფებისთვის: (a + b) * c და a * c + b * c

3 და 4 ჯგუფებისთვის: (a - b) * c და a * c - b * c

(a + b) * c = a * c + b * c
(a - b) * c \u003d a * c - b * c

ასე რომ, ნებისმიერი რიცხვისთვის a, b, c, ეს მართალია:

ჯამის რიცხვზე გამრავლებისას შეგიძლიათ თითოეული წევრი გაამრავლოთ ამ რიცხვზე და დაამატოთ მიღებული პროდუქცია.
სხვაობის რიცხვზე გამრავლებისას შეგიძლიათ გაამრავლოთ მინუენდი და გამოვაკლოთ ამ რიცხვზე და გამოვაკლოთ მეორე პირველ ნამრავლს.
ჯამის ან სხვაობის რიცხვზე გამრავლებისას გამრავლება ნაწილდება ფრჩხილებში ჩასმული თითოეულ რიცხვზე. მაშასადამე, გამრავლების ამ თვისებას უწოდებენ გამრავლების გამანაწილებელ თვისებას შეკრებისა და გამოკლების მიმართ.

წავიკითხოთ ქონებრივი ცნობა სახელმძღვანელოდან.

5. ახალი მასალის კონსოლიდაცია.

დაასრულეთ #548. გამოიყენეთ გამრავლების გამანაწილებელი თვისება.

(68 + ა) * 2
17 * (14 - x)
(ბ-7) * 5
13*(2+წ)

1) შეარჩიეთ დავალებები შეფასებისთვის.

დავალებები „5“-ის შეფასებისთვის.

მაგალითი 1. ვიპოვოთ ნამრავლის მნიშვნელობა 42 * 50. რიცხვი 42 წარმოვიდგინოთ 40 და 2 რიცხვების ჯამად.

ჩვენ ვიღებთ: 42 * 50 = (40 + 2) * 50. ახლა ჩვენ ვიყენებთ განაწილების თვისებას:

42 * 50 = (40 + 2) * 50 = 40 * 50 + 2 * 50 = 2 000 +100 = 2 100.

ანალოგიურად გადაჭრით #546:

ა) 91 * 8
გ) 6 * 52
ე) 202 * 3
ზ) 24 * 11
თ) 35 * 12
ი) 4 * 505

წარმოადგინე რიცხვები 91.52, 202, 11, 12, 505 ათეულებისა და ერთეულების ჯამის სახით და გამოიყენე გამრავლების გამანაწილებელი თვისება შეკრების მიმართ.

მაგალითი 2. იპოვეთ პროდუქტის მნიშვნელობა 39 * 80.

წარმოვიდგინოთ რიცხვი 39, როგორც სხვაობა 40-სა და 1-ს შორის.

ჩვენ ვიღებთ: 39 * 80 \u003d (40 - 1) \u003d 40 * 80 - 1 * 80 \u003d 3200 - 80 \u003d 3120.

ამოხსნა #546-დან:

ბ) 7 * 59
ე) 397 * 5
დ) 198 * 4
კ) 25 * 399

წარმოადგინე რიცხვები 59, 397, 198, 399, როგორც სხვაობა ათეულებსა და ერთეულებს შორის და გამოიყენე გამრავლების გამანაწილებელი თვისება გამოკლების მიმართ.

„4“-ის შეფასების ამოცანები.

ამოხსენით No546-დან (ა, გ, ე, გ, თ, ი). გამოიყენეთ გამრავლების გამანაწილებელი თვისება შეკრების მიმართ.

ამოხსენით No546-დან (ბ, დ, ვ, ჟ). გამოიყენე გამრავლების გამანაწილებელი თვისება გამოკლების მიმართ.

ამოცანები შეფასებისთვის „3“.

ამოხსენით No546 (ა, გ, ე, გ, თ, ი). გამოიყენეთ გამრავლების გამანაწილებელი თვისება შეკრების მიმართ.

ამოხსენით No546 (ბ, დ, ვ, ჟ).

No552 ამოცანის ამოსახსნელად გააკეთეთ გამოთქმა და დახატეთ ნახატი.

მანძილი ორ სოფელს შორის 18 კმ-ია. მათგან წავიდნენ სხვადასხვა მხარეორი ველოსიპედისტი. ერთი გადის m კმ საათში, ხოლო მეორე n კმ. რა მანძილზე იქნება ისინი ერთმანეთისგან 4 საათის შემდეგ?

(ზეპირი. მაგალითები ჩაწერილია თ საპირისპირო მხარესდაფები.)

ჩაანაცვლეთ გამოტოვებული ნომრებით:

დავალება ელექტრონული სახელმძღვანელოდან „მათემატიკა 5-11კლ. მათემატიკის კურსის დაუფლების ახალი შესაძლებლობები. პრაქტიკა“. Drofa LLC 2004, DOS LLC 2004, CD-ROM, NFPK. განყოფილება „მათემატიკა. მთელი რიცხვები“. დავალება ნომერი 7. ექსპრეს კონტროლი. დაკარგული ნომრების აღდგენა.

6. გაკვეთილის შეჯამება.

ასე რომ, ჩვენ განვიხილეთ გამრავლების გამანაწილებელი თვისება შეკრებისა და გამოკლების მიმართ. გავიმეოროთ თვისების ფორმულირება, წავიკითხოთ თვისების გამომხატველი ტოლობები. მარცხნიდან მარჯვნივ გამრავლების გამანაწილებელი თვისების გამოყენება შეიძლება გამოიხატოს „ღია ფრჩხილების“ პირობით, ვინაიდან გამოთქმა იყო ჩასმული ფრჩხილებში ტოლობის მარცხენა მხარეს, მაგრამ არ არის ფრჩხილები მარჯვნივ. კვირის დღის გამოცნობის ზეპირი სავარჯიშოების ამოხსნისას ასევე გამოვიყენეთ გამრავლების გამანაწილებელი თვისება შეკრების მიმართ.

(No * 2 + 5) * 5 * 10 = 100 * No + 250 და შემდეგ ამოხსენით ფორმის განტოლება:
100 * არა + 250 = ა

ჩვენ განვსაზღვრეთ მთელი რიცხვების შეკრება, გამრავლება, გამოკლება და გაყოფა. ამ მოქმედებებს (ოპერაციებს) აქვს მთელი რიგი დამახასიათებელი შედეგი, რომლებსაც თვისებები ეწოდება. ამ სტატიაში განვიხილავთ მთელი რიცხვების შეკრებისა და გამრავლების ძირითად თვისებებს, საიდანაც გამომდინარეობს ამ მოქმედებების ყველა სხვა თვისება, ასევე მთელი რიცხვების გამოკლებისა და გაყოფის თვისებებს.

გვერდის ნავიგაცია.

მთელი რიცხვის დამატებას კიდევ რამდენიმე ძალიან მნიშვნელოვანი თვისება აქვს.

ერთ-ერთი მათგანი ნულის არსებობას უკავშირდება. მთელი რიცხვის მიმატების ეს თვისება ამბობს, რომ ნებისმიერ მთელ რიცხვს ნულის დამატება არ ცვლის ამ რიცხვს. ჩამოვწეროთ მოცემული ქონებაშეკრება ასოების გამოყენებით: a+0=a და 0+a=a (ეს ტოლობა მოქმედებს შეკრების კომუტაციური თვისების გამო), a არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი. შეიძლება გაიგოთ, რომ მთელ ნულს დამატებით ნეიტრალურ ელემენტსაც უწოდებენ. მოდით მოვიყვანოთ რამდენიმე მაგალითი. −78 და ნულის მთელი რიცხვის ჯამი არის −78; თუ მთელ რიცხვს დაუმატებთ ნულს დადებითი რიცხვი 999 , შემდეგ მივიღებთ რიცხვს 999 .

ახლა ჩამოვაყალიბებთ მთელი რიცხვის შეკრების სხვა თვისებას, რომელიც დაკავშირებულია ნებისმიერი მთელი რიცხვისთვის საპირისპირო რიცხვის არსებობასთან. ნებისმიერი მთელი რიცხვის ჯამი მის საპირისპირო რიცხვთან არის ნული. აი ამ თვისების პირდაპირი ფორმა: a+(−a)=0 , სადაც a და −a საპირისპირო მთელი რიცხვებია. მაგალითად, ჯამი 901+(−901) არის ნული; ანალოგიურად, საპირისპირო −97 და 97 რიცხვების ჯამი არის ნული.

მთელი რიცხვების გამრავლების ძირითადი თვისებები

მთელი რიცხვების გამრავლებას აქვს ნატურალური რიცხვების გამრავლების ყველა თვისება. ჩვენ ჩამოვთვლით ამ თვისებებს.

ისევე, როგორც ნული არის ნეიტრალური მთელი რიცხვი შეკრების მიმართ, ერთიც არის ნეიტრალური მთელი რიცხვების გამრავლების მიმართ. ე.ი. ნებისმიერი მთელი რიცხვის ერთზე გამრავლება არ ცვლის გამრავლებულ რიცხვს. ასე რომ, 1·a=a, სადაც a არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი. ბოლო ტოლობა შეიძლება გადაიწეროს როგორც 1=a, ეს საშუალებას გვაძლევს შევქმნათ გამრავლების კომუტაციური თვისება. მოვიყვანოთ ორი მაგალითი. 556 მთელი რიცხვის ნამრავლი 1-ით არის 556; ერთეულისა და მთლიანის პროდუქტი უარყოფითი რიცხვი−78 უდრის −78-ს.

მთელი რიცხვის გამრავლების შემდეგი თვისება დაკავშირებულია ნულზე გამრავლებასთან. ნებისმიერი მთელი რიცხვი a ნულზე გამრავლების შედეგი ნული , ანუ 0=0 . ტოლობა 0·a=0 ასევე მართალია მთელი რიცხვების გამრავლების კომუტაციური თვისების გამო. კონკრეტულ შემთხვევაში, როდესაც a=0, ნულისა და ნულის ნამრავლი ნულის ტოლია.

მთელი რიცხვების გამრავლებისთვის ასევე მართებულია წინა საპირისპირო თვისება. ამას ამტკიცებს ორი მთელი რიცხვის ნამრავლი ნულის ტოლია, თუ ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია. პირდაპირი ფორმით ეს თვისება შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად: a·b=0 , თუ ან a=0 , ან b=0 , ან ორივე a და b ერთდროულად ნულის ტოლია.

შეკრების მიმართ მთელი რიცხვების გამრავლების გამანაწილებელი თვისება

მთელი რიცხვების შეკრება და გამრავლება ერთად გვაძლევს საშუალებას განვიხილოთ შეკრების მიმართ გამრავლების გამანაწილებელი თვისება, რომელიც აკავშირებს ორ მითითებულ მოქმედებას. შეკრებისა და გამრავლების ერთად გამოყენება იხსნება დამატებითი ფუნქციები, რომლის გამრავლებისგან განცალკევებით განხილვას მოკლებული ვიქნებოდით.

ასე რომ, გამრავლების გამანაწილებელი თვისება მიმატებასთან მიმართებაში ამბობს, რომ a მთელი რიცხვის ნამრავლი და a და b ორი მთელი რიცხვის ჯამი უდრის a და a c ნამრავლების ჯამს, ანუ, a (b+c)=a b+a c. იგივე თვისება შეიძლება დაიწეროს სხვა ფორმით: (a+b) c=a c+b გ .

სადისტრიბუციო ქონებაშეკრების მიმართ მთელი რიცხვების გამრავლება, შეკრების ასოციაციურ თვისებასთან ერთად, საშუალებას გვაძლევს განვსაზღვროთ მთელი რიცხვის გამრავლება სამისა და ჯამით. მეტიმთელი რიცხვები და შემდეგ - და მთელი რიცხვების ჯამის გამრავლება ჯამზე.

ასევე გაითვალისწინეთ, რომ მთელი რიცხვების შეკრებისა და გამრავლების ყველა სხვა თვისება შეიძლება მივიღოთ ჩვენ მიერ მითითებული თვისებებიდან, ანუ ისინი ზემოაღნიშნული თვისებების შედეგია.

მთელი რიცხვის გამოკლების თვისებები

მიღებული ტოლობიდან, ისევე როგორც მთელი რიცხვების შეკრებისა და გამრავლების თვისებებიდან გამომდინარეობს მთელი რიცხვების გამოკლების შემდეგი თვისებები (a, b და c არის თვითნებური მთელი რიცხვები):

მთელი რიცხვების გამოკლება ში ზოგადი შემთხვევაარ აქვს შემცვლელი თვისება: a−b≠b−a.
ტოლი მთელი რიცხვების სხვაობა ნულის ტოლია: a−a=0 .
მოცემული მთელი რიცხვიდან ორი მთელი რიცხვის ჯამის გამოკლების თვისება: a−(b+c)=(a−b)−c .
მთელი რიცხვის გამოკლების თვისება ორი მთელი რიცხვის ჯამს: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
გამრავლების გამანაწილებელი თვისება გამოკლების მიმართ: a (b−c)=a b−a c და (a−b) c=a c−b c.
და მთელი რიცხვის გამოკლების ყველა სხვა თვისება.

მთელი რიცხვის გაყოფის თვისებები

მთელი რიცხვების გაყოფის მნიშვნელობის შესახებ კამათით გავარკვიეთ, რომ მთელი რიცხვების დაყოფა არის მოქმედება, გამრავლების ორმხრივი. ჩვენ მივეცით შემდეგი განმარტება: მთელი რიცხვების დაყოფა არის პოვნა უცნობი მულტიპლიკატორი on ცნობილი ნამუშევარიდა ცნობილი მულტიპლიკატორი. ანუ, მთელ c რიცხვს ვუწოდებთ a-ის კოეფიციენტს, რომელიც იყოფა მთელ b-ზე, როცა c·b ნამრავლი უდრის a-ს.

ეს განმარტება, ისევე როგორც მთელ რიცხვებზე მოქმედებების ზემოაღნიშნული ყველა თვისება, საშუალებას გვაძლევს დავადგინოთ მთელი რიცხვების გაყოფის შემდეგი თვისებების მართებულობა:

არც ერთი მთელი რიცხვი არ შეიძლება გაიყოს ნულზე.
ნულის გაყოფის თვისება თვითნებურ არანულოვან მთელ რიცხვზე a : 0:a=0 .
ტოლი მთელი რიცხვების გაყოფის თვისება: a:a=1 , სადაც a არის ნებისმიერი არანულოვანი მთელი რიცხვი.
თვითნებური მთელი რიცხვის a ერთზე გაყოფის თვისება: a:1=a .
ზოგადად, მთელი რიცხვების დაყოფას არ აქვს კომუტაციური თვისება: a:b≠b:a.
ორი მთელი რიცხვის ჯამისა და სხვაობის მთელ რიცხვზე გაყოფის თვისებებია: (a+b):c=a:c+b:c და (a−b):c=a:c−b:c , სადაც a. , b და c ისეთი რიცხვებია, რომ a და b იყოფა c-ზე, ხოლო c არის ნულოვანი.
ორი მთელი რიცხვის a და b ნამრავლის გაყოფის თვისება არანულოვანი რიცხვით c : (a b):c=(a:c) b თუ a იყოფა c-ზე; (a b):c=a (b:c) თუ b იყოფა c-ზე; (a b):c=(a:c) b=a (b:c) თუ ორივე a და b იყოფა c-ზე.
a მთელი რიცხვის გაყოფის თვისება ორი მთელი რიცხვის ნამრავლზე b და c (რიცხვები a , b და c ისეთი, რომ a გაყოფა b c-ზე შესაძლებელია): a:(b c)=(a:b) c=(a :c ) ბ .
მთელი რიცხვის გაყოფის ნებისმიერი სხვა თვისება.

განვიხილოთ მაგალითი, რომელიც ადასტურებს ორზე გამრავლების კომუტაციური თვისების მართებულობას ნატურალური რიცხვები. ორი ნატურალური რიცხვის გამრავლების მნიშვნელობიდან გამომდინარე ვიანგარიშებთ 2 და 6 რიცხვების ნამრავლს, ასევე 6 და 2 რიცხვების ნამრავლს და ვამოწმებთ გამრავლების შედეგების ტოლობას. 6 და 2 რიცხვების ნამრავლი ტოლია ჯამის 6+6, შეკრების ცხრილიდან ვხვდებით 6+6=12. ხოლო 2 და 6 რიცხვების ნამრავლი უდრის 2+2+2+2+2+2-ის ჯამს, რომელიც უდრის 12-ს (საჭიროების შემთხვევაში იხილეთ სტატიის მასალა სამი ან მეტი რიცხვის მიმატებით). ამიტომ, 6 2=2 6 .

აქ არის სურათი, რომელიც ასახავს ორი ნატურალური რიცხვის გამრავლების კომუტაციური თვისებას.

ნატურალური რიცხვების გამრავლების ასოციაციური თვისება.

გავახმოვანოთ ნატურალური რიცხვების გამრავლების ასოციაციური თვისება: გავამრავლოთ მოცემული რიცხვი ეს სამუშაოორი რიცხვი იგივეა, რაც მოცემული რიცხვის გამრავლება პირველ ფაქტორზე და შედეგის გამრავლება მეორე ფაქტორზე. ე.ი. a (b c) = (a b) c, სადაც a , b და c შეიძლება იყოს ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი (in მრგვალი ფრჩხილებიშეიცავს გამონათქვამებს, რომელთა მნიშვნელობები პირველ რიგში ფასდება).

მოვიყვანოთ მაგალითი ნატურალური რიცხვების გამრავლების ასოციაციური თვისების დასადასტურებლად. გამოთვალეთ პროდუქტი 4·(3·2) . გამრავლების მნიშვნელობით გვაქვს 3 2=3+3=6 , შემდეგ 4 (3 2)=4 6=4+4+4+4+4+4=24 . ახლა გავაკეთოთ გამრავლება (4 3) 2 . ვინაიდან 4 3=4+4+4=12, მაშინ (4 3) 2=12 2=12+12=24 . ამრიგად, ტოლობა 4·(3·2)=(4·3)·2 მართალია, რაც ადასტურებს განხილული თვისების მართებულობას.

ვნახოთ ნატურალური რიცხვების გამრავლების ასოციაციური თვისების ამსახველი სურათი.

ამ პუნქტის დასასრულს აღვნიშნავთ, რომ გამრავლების ასოციაციური თვისება საშუალებას გვაძლევს ცალსახად განვსაზღვროთ სამი ან მეტი ნატურალური რიცხვის გამრავლება.

შეკრების მიმართ გამრავლების გამანაწილებელი თვისება.

შემდეგი თვისება ეხება შეკრებას და გამრავლებას. იგი ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად: ორი რიცხვის მოცემული ჯამის გამრავლება მოცემულ რიცხვზე იგივეა რაც პირველი წევრის ნამრავლის დამატება და მოცემული ნომერიმეორე წევრისა და მოცემული რიცხვის ნამრავლით. ეს არის გამრავლების ეგრეთ წოდებული გამანაწილებელი თვისება შეკრების მიმართ.

ასოების გამოყენებით, შეკრების მიმართ გამრავლების თვისება იწერება როგორც (a+b) c=a c+b გ(გამოთქმაში a c + b c ჯერ შესრულებულია გამრავლება, რის შემდეგაც შეკრება, ამის შესახებ დაწვრილებით წერია სტატიაში), სადაც a, b და c არის თვითნებური ნატურალური რიცხვები. გაითვალისწინეთ, რომ გამრავლების კომუტაციური თვისების სიძლიერე, გამრავლების გამანაწილებელი თვისება შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგი ფორმა: a (b+c)=a b+a c.

მოვიყვანოთ ნატურალური რიცხვების გამრავლების გამანაწილებელი თვისების დამადასტურებელი მაგალითი. შევამოწმოთ ტოლობა (3+4) 2=3 2+4 2 . გვაქვს (3+4) 2=7 2=7+7=14, და 3 2+4 2=(3+3)+(4+4)=6+8=14, შესაბამისად ტოლობა (3+4 ) 2=3 2+4 2 სწორია.

ვაჩვენოთ შეკრების მიმართ გამრავლების გამანაწილებელი თვისების შესაბამისი სურათი.

გამრავლების გამანაწილებელი თვისება გამოკლების მიმართ.

თუ გამრავლების მნიშვნელობას დავიცავთ, მაშინ ნამრავლი 0 n, სადაც n არის ერთზე მეტი თვითნებური ნატურალური რიცხვი, არის n წევრის ჯამი, რომელთაგან თითოეული ნულის ტოლია. ამრიგად, . მიმატების თვისებები საშუალებას გვაძლევს დავამტკიცოთ, რომ ბოლო ჯამი არის ნული.

ამრიგად, ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის n მოქმედებს ტოლობა 0 n=0.

იმისათვის, რომ გამრავლების კომუტაციური თვისება დარჩეს ძალაში, ჩვენ ასევე ვიღებთ n·0=0 ტოლობის მართებულობას ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის n.

Ისე, ნულისა და ნატურალური რიცხვის ნამრავლი არის ნული, ე.ი 0 n=0და n 0=0, სადაც n არის თვითნებური ნატურალური რიცხვი. ბოლო დებულება არის ნატურალური რიცხვისა და ნულის გამრავლების თვისების ფორმულირება.

დასასრულს, ჩვენ ვაძლევთ რამდენიმე მაგალითს, რომლებიც დაკავშირებულია ამ ქვეთავში განხილულ გამრავლების თვისებასთან. 45 და 0 რიცხვების ნამრავლი არის ნული. თუ 0-ს გავამრავლებთ 45970-ზე, მაშინ ასევე მივიღებთ ნულს.

ახლა თქვენ შეგიძლიათ უსაფრთხოდ დაიწყოთ წესების შესწავლა, რომლითაც ხდება ნატურალური რიცხვების გამრავლება.

ბიბლიოგრაფია.

მათემატიკა. ნებისმიერი სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებების 1, 2, 3, 4 კლასებისთვის.
მათემატიკა. საგანმანათლებლო დაწესებულებების 5 კლასის ნებისმიერი სახელმძღვანელო.

5 სმ და 3 სმ გვერდებით გალიაში ფურცელზე დავხატოთ ოთხკუთხედი, დავჭრათ კვადრატებად 1 სმ გვერდით (სურ. 143). მოდით დავთვალოთ ოთხკუთხედში მდებარე უჯრედების რაოდენობა. ეს შეიძლება გაკეთდეს, მაგალითად, ასე.

კვადრატების რაოდენობა 1 სმ გვერდით არის 5 * 3. თითოეული ასეთი კვადრატი შედგება ოთხი უჯრედისგან. Ისე საერთო რაოდენობაუჯრედები არის (5 * 3 ) * 4 .

ერთი და იგივე პრობლემა შეიძლება სხვაგვარად მოგვარდეს. მართკუთხედის ხუთი სვეტიდან თითოეული შედგება სამი კვადრატისგან 1 სმ გვერდით, ამიტომ ერთი სვეტი შეიცავს 3*4 უჯრს. აქედან გამომდინარე, სულ იქნება 5 * (3 * 4 ) უჯრედი.

უჯრედების რაოდენობა 143-ზე ილუსტრირებულია ორი გზით გამრავლების ასოციაციური თვისება 5, 3 და 4 ნომრებისთვის. ჩვენ გვაქვს: (5 * 3 ) * 4 = 5 * (3 * 4 ).

ორი რიცხვის ნამრავლის მესამე რიცხვზე გასამრავლებლად, შეგიძლიათ გაამრავლოთ პირველი რიცხვი მეორე და მესამე რიცხვების ნამრავლზე.

(ab)c = a(bc)

გამრავლების კომუტაციური და ასოციაციური თვისებებიდან გამომდინარეობს, რომ რამდენიმე რიცხვის გამრავლებისას ფაქტორები შეიძლება შეიცვალოს და ჩასვათ ფრჩხილებში, რითაც განისაზღვროს გამოთვლების თანმიმდევრობა.

მაგალითად, თანასწორობა მართალია:

abc=cba

17 * 2 * 3 * 5 = (17 * 3 ) * (2 * 5 ).

144-ე სურათზე სეგმენტი AB ყოფს ზემოთ განხილულ ოთხკუთხედს მართკუთხედად და კვადრატად.

1 სმ გვერდის მქონე კვადრატების რაოდენობას ორი გზით ვითვლით.

ერთის მხრივ, შედეგად კვადრატში არის 3 * 3, ხოლო მართკუთხედში 3 * 2. საერთო ჯამში ვიღებთ 3 * 3 + 3 * 2 კვადრატს. მეორეს მხრივ, სამივე სტრიქონში მოცემული მართკუთხედიარის 3 + 2 კვადრატი. შემდეგ მათ სულუდრის 3 * (3 + 2 ).

უდრის 3 * (3 + 2 ) = 3 * 3 + 3 * 2 ილუსტრაციებს შეკრების მიმართ გამრავლების გამანაწილებელი თვისება.

რიცხვის ორი რიცხვის ჯამზე გასამრავლებლად, შეგიძლიათ ეს რიცხვი გაამრავლოთ თითოეულ წევრზე და დაამატოთ მიღებული პროდუქცია.

პირდაპირი ფორმით, ეს თვისება იწერება შემდეგნაირად:

a(b + c) = ab + ac

შეკრების მიმართ გამრავლების გამანაწილებელი თვისებიდან გამომდინარეობს, რომ

ab + ac = a(b + c).

ეს თანასწორობა საშუალებას აძლევს ფორმულას P = 2 a + 2 b იპოვნოს მართკუთხედის პერიმეტრი, რომელიც უნდა დაიწეროს შემდეგნაირად:

P = 2 (a + b).

გაითვალისწინეთ, რომ განაწილების თვისება მოქმედებს სამი ან მეტი ვადით. Მაგალითად:

a(m + n + p + q) = am + an + ap + აკ.

ასევე მოქმედებს გამოკლების მიმართ გამრავლების თვისება: თუ b > c ან b = c, მაშინ

a(b − c) = ab − ac

მაგალითი 1 . გამოთვალეთ მოსახერხებელი გზა:

1 ) 25 * 867 * 4 ;

2 ) 329 * 75 + 329 * 246 .

1) ვიყენებთ კომუტატივს და დაბნელებას ასოციაციური საკუთრებაგამრავლება:

25 * 867 * 4 = 867 * (25 * 4 ) = 867 * 100 = 86 700 .

2) ჩვენ გვაქვს:

329 * 754 + 329 * 246 = 329 * (754 + 246 ) = 329 * 1 000 = 329 000 .

მაგალითი 2 . გამოთქმის გამარტივება:

1) 4 a * 3 b;

2 ) 18მ − 13მ.

1) გამრავლების კომუტაციური და ასოციაციური თვისებების გამოყენებით ვიღებთ:

4 a * 3 b \u003d (4 * 3) * ab \u003d 12 ab.

2) გამოკლების მიმართ გამრავლების გამანაწილებელი თვისების გამოყენებით ვიღებთ:

18 მ - 13 მ = მ (18 - 13 ) = მ * 5 = 5 მ.

მაგალითი 3 . დაწერეთ გამოთქმა 5 (2 მ + 7) ისე, რომ არ შეიცავდეს ფრჩხილებს.

შეკრების მიმართ გამრავლების გამანაწილებელი თვისების მიხედვით გვაქვს:

5 (2 მ + 7) = 5 * 2 მ + 5 * 7 = 10 მ + 35.

ასეთ ტრანსფორმაციას ე.წ გასახსნელი ფრჩხილები.

მაგალითი 4 . გამოთვალეთ გამოხატვის მნიშვნელობა 125 * 24 * 283 მოსახერხებელი გზით.

გადაწყვეტილება. Ჩვენ გვაქვს:

125 * 24 * 283 = 125 * 8 * 3 * 283 = (125 * 8 ) * (3 * 283 ) = 1 000 * 849 = 849 000 .

მაგალითი 5 . შეასრულეთ გამრავლება: 3 დღე 18 საათი * 6.