ირაციონალური რიცხვი- ეს ნამდვილი რიცხვი, რომელიც არ არის რაციონალური, ანუ არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადად, სადაც არის მთელი რიცხვები, . ირაციონალური რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც უსასრულო, განუმეორებელი ათწილადი.

ბევრი ირ რაციონალური რიცხვიჩვეულებრივ კაპიტალიზებულია ლათინური ასოთამამში შევსების გარეშე. ამრიგად: , ე.ი. ირაციონალური რიცხვების ნაკრები არის რეალური და რაციონალური რიცხვების სიმრავლეთა სხვაობა.

ირაციონალური რიცხვების არსებობაზე, უფრო ზუსტად სეგმენტები, შეუდარებელი ერთეული სიგრძის სეგმენტთან, უკვე იცოდნენ ძველმა მათემატიკოსებმა: მათ იცოდნენ, მაგალითად, დიაგონალისა და კვადრატის გვერდის შეუდარებლობა, რაც რიცხვის ირაციონალურობის ტოლფასია.

Თვისებები

• ნებისმიერი რეალური რიცხვი შეიძლება დაიწეროს როგორც უსასრულო ათობითი წილადი, ხოლო ირაციონალური რიცხვები და მხოლოდ ისინი იწერება არაპერიოდული უსასრულო ათობითი წილადების სახით.
• ირაციონალური რიცხვებიგანსაზღვრეთ დედეკინდის სექციები რაციონალურ რიცხვებში, რომლებსაც არ აქვთ ყველაზე დიდი რიცხვი ქვედა კლასში და არ აქვთ უმცირესი რიცხვი ზედა.
• ყოველი რეალური ტრანსცენდენტული რიცხვი ირაციონალურია.
• ყველა ირაციონალური რიცხვი ან ალგებრულია ან ტრანსცენდენტური.
• ირაციონალური რიცხვების სიმრავლე ყველგან მკვრივია რეალურ წრფეზე: ნებისმიერ ორ რიცხვს შორის არის ირაციონალური რიცხვი.
• ირაციონალური რიცხვების სიმრავლის წესრიგი იზომორფულია ნამდვილ ტრანსცენდენტურ რიცხვთა სიმრავლესთან მიმართებაში.
• ირაციონალური რიცხვების სიმრავლე უთვალავია, არის მეორე კატეგორიის სიმრავლე.

მაგალითები

ირაციონალურია:

ირაციონალურობის დადასტურების მაგალითები

2-ის ფესვი

დავუშვათ საპირისპირო: რაციონალური, ანუ ის წარმოდგენილია ფორმით შეუქცევადი წილადი, სადაც არის მთელი რიცხვი და არის ნატურალური რიცხვი. მოდი კვადრატში გამოვყოთ სავარაუდო თანასწორობა:

აქედან გამომდინარეობს, რომ კი, მაშასადამე, კი და . მოდით, სადაც მთელი. მერე

მაშასადამე, კიდეც, ამიტომაც კი და. ჩვენ მივიღეთ ეს და ვართ ლუწი, რაც ეწინააღმდეგება წილადის შეუქცევადობას. აქედან გამომდინარე, თავდაპირველი ვარაუდი მცდარი იყო და არის ირაციონალური რიცხვი.

რიცხვი 3-ის ორობითი ლოგარითმი

დავუშვათ პირიქით: რაციონალურია, ანუ წარმოდგენილია წილადად, სადაც და არის მთელი რიცხვები. წლიდან , და შეიძლება დადებითად იქნას მიღებული. მერე

მაგრამ გასაგებია, უცნაურია. ჩვენ ვიღებთ წინააღმდეგობას.

ე

ამბავი

ირაციონალური რიცხვების ცნება ირიბად მიიღეს ინდოელმა მათემატიკოსებმა ძვ.წ. VII საუკუნეში, როდესაც მანავამ (დაახლოებით ძვ. კვადრატული ფესვებიზოგიერთი ნატურალური რიცხვები, როგორიცაა 2 და 61, არ შეიძლება ცალსახად გამოხატული.

ირაციონალური რიცხვების არსებობის პირველი მტკიცებულება ჩვეულებრივ მიეკუთვნება ჰიპას მეტაპონტუსელს (დაახლოებით ძვ. წ. 500 წ.), პითაგორაელს, რომელმაც ეს მტკიცებულება იპოვა პენტაგრამის გვერდების სიგრძის შესწავლით. პითაგორელთა დროს ითვლებოდა, რომ იქ ერთი ერთეულისიგრძე, საკმარისად მცირე და განუყოფელი, რომელიც არის რიცხვების რიცხვი ნებისმიერ სეგმენტში. თუმცა, ჰიპასუსი ამტკიცებდა, რომ არ არსებობს სიგრძის ერთი ერთეული, რადგან მისი არსებობის ვარაუდი იწვევს წინააღმდეგობას. მან აჩვენა, რომ თუ ტოლფერდა ჰიპოტენუზა მართკუთხა სამკუთხედიშეიცავს ერთეულების სეგმენტების მთელ რიცხვს, მაშინ ეს რიცხვი ერთდროულად უნდა იყოს ლუწიც და კენტიც. მტკიცებულება ასე გამოიყურებოდა:

• ჰიპოტენუზის სიგრძის თანაფარდობა ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედის ფეხის სიგრძესთან შეიძლება გამოისახოს როგორც ა:ბ, სად ადა ბშერჩეული ყველაზე პატარა.
• პითაგორას თეორემის მიხედვით: ა² = 2 ბ².
• როგორც ა² თანაც, აუნდა იყოს ლუწი (რადგან კენტი რიცხვის კვადრატი კენტი იქნება).
• Იმდენად, რამდენადაც ა:ბშეუმცირებელი ბუნდა იყოს უცნაური.
• როგორც აკიდეც, აღნიშნავენ ა = 2წ.
• მერე ა² = 4 წ² = 2 ბ².
• ბ² = 2 წ², შესაბამისად ბთანაბარია, მაშინ ბთუნდაც.
• თუმცა დადასტურდა რომ ბკენტი. წინააღმდეგობა.

ბერძენი მათემატიკოსები ამ თანაფარდობას შეუდარებელი სიდიდეების უწოდებდნენ ალოგოსი(გამოუთქმელია), მაგრამ ლეგენდების თანახმად, ჰიპასუსს სათანადო პატივი არ მიაქცია. არსებობს ლეგენდა, რომ ჰიპასუსმა აღმოაჩინა ყოფნის დროს საზღვაო მოგზაურობა, და გადააგდეს სხვა პითაგორეელებმა "სამყაროს ელემენტის შექმნის გამო, რომელიც უარყოფს დოქტრინას, რომ სამყაროს ყველა არსება შეიძლება შემცირდეს მთელ რიცხვებამდე და მათ თანაფარდობამდე". ჰიპასუსის აღმოჩენამ სერიოზული პრობლემა შეუქმნა პითაგორას მათემატიკას, გაანადგურა ვარაუდი, რომელიც ემყარება მთელ თეორიას, რომ რიცხვები და გეომეტრიული ობიექტები ერთიანი და განუყოფელია.

რა არის ირაციონალური რიცხვები? რატომ ეძახიან ასე? სად გამოიყენება და რა არის ისინი? ცოტას შეუძლია უყოყმანოდ უპასუხოს ამ კითხვებს. მაგრამ სინამდვილეში, მათზე პასუხები საკმაოდ მარტივია, თუმცა ყველას არ სჭირდება ისინი და ძალიან იშვიათ სიტუაციებში.

არსი და აღნიშვნა

ირაციონალური რიცხვები უსასრულო არაპერიოდულია. ამ კონცეფციის დანერგვის აუცილებლობა განპირობებულია იმით, რომ ახალი აღმოცენებული ამოცანების გადასაჭრელად უკვე აღარ იყო საკმარისი რეალური ან რეალური, მთელი, ბუნებრივი და რაციონალური რიცხვების ადრე არსებული ცნებები. მაგალითად, იმისთვის, რომ გამოვთვალოთ რა არის 2-ის კვადრატი, უნდა გამოვიყენოთ არაპერიოდული უსასრულობა ათწილადები. გარდა ამისა, ბევრ უმარტივეს განტოლებას ასევე არ აქვს ამონახსნი ირაციონალური რიცხვის კონცეფციის დანერგვის გარეშე.

ეს სიმრავლე აღინიშნება როგორც I. და, როგორც უკვე ნათელია, ეს მნიშვნელობები არ შეიძლება იყოს წარმოდგენილი როგორც მარტივი წილადი, რომლის მრიცხველში იქნება მთელი რიცხვი, ხოლო მნიშვნელში -

პირველად, ასე თუ ისე, ინდოელი მათემატიკოსები ამ ფენომენს VII საუკუნეში შეხვდნენ, როდესაც გაირკვა, რომ ზოგიერთი სიდიდის კვადრატული ფესვები ცალსახად არ შეიძლება იყოს მითითებული. და ასეთი რიცხვების არსებობის პირველი მტკიცებულება მიეკუთვნება პითაგორას ჰიპასუსს, რომელმაც ეს გააკეთა ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედის შესწავლის პროცესში. ამ ნაკრების შესწავლაში სერიოზული წვლილი შეიტანა ზოგიერთმა სხვა მეცნიერმა, რომლებიც ჩვენს წელთაღრიცხვამდე ცხოვრობდნენ. ირაციონალური რიცხვების ცნების დანერგვამ გამოიწვია არსებულის გადახედვა მათემატიკური სისტემა, რის გამოც ისინი ასე მნიშვნელოვანია.

სახელის წარმოშობა

თუ თანაფარდობა ლათინურად არის "ფრაქცია", "თანაფარდობა", მაშინ პრეფიქსი "ir"
აძლევს ამ სიტყვას საპირისპირო მნიშვნელობა. ამრიგად, ამ რიცხვების სიმრავლის სახელი მიუთითებს იმაზე, რომ მათი კორელაცია შეუძლებელია მთელ რიცხვთან ან წილადთან, მათ აქვთ ცალკე ადგილი. ეს მათი ბუნებიდან გამომდინარეობს.

ადგილი ზოგად კლასიფიკაციაში

ირაციონალური რიცხვები, რაციონალურ რიცხვებთან ერთად, მიეკუთვნება ნამდვილ ან ნამდვილ რიცხვთა ჯგუფს, რომლებიც თავის მხრივ რთულია. არ არსებობს ქვესიმრავლეები, თუმცა არის ალგებრული და ტრანსცენდენტული ჯიშები, რომლებიც ქვემოთ იქნება განხილული.

Თვისებები

ვინაიდან ირაციონალური რიცხვები რეალური რიცხვების სიმრავლის ნაწილია, ყველა მათი თვისება, რომელიც არითმეტიკაში არის შესწავლილი (მათ ასევე უწოდებენ ძირითად ალგებრულ კანონებს) მათზე ვრცელდება.

a + b = b + a (კომუტატიულობა);

(a + b) + c = a + (b + c) (ასოციაციურობა);

a + (-a) = 0 (საპირისპირო რიცხვის არსებობა);

ab = ba (გადაადგილების კანონი);

(ab)c = a(bc) (განაწილება);

a(b+c) = ab + ac (გამანაწილებელი კანონი);

a x 1/a = 1 (შებრუნებული რიცხვის არსებობა);

შედარება ასევე ხორციელდება შესაბამისად ზოგადი ნიმუშებიდა პრინციპები:

თუ a > b და b > c, მაშინ a > c (დამოკიდებულების გარდამავლობა) და. და ა.შ.

რა თქმა უნდა, ყველა ირაციონალური რიცხვი შეიძლება გარდაიქმნას ძირითადის გამოყენებით არითმეტიკული მოქმედებები. არცერთი სპეციალური წესებიხოლო არა.

გარდა ამისა, არქიმედეს აქსიომის მოქმედება ვრცელდება ირაციონალურ რიცხვებზე. იგი ამბობს, რომ ნებისმიერი ორი a და b სიდიდეისთვის, ჭეშმარიტია დებულება, რომ a-ს ტერმინად საკმარისად ჯერ აღებით, შესაძლებელია b-ს გადააჭარბოს.

გამოყენება

მიუხედავად იმისა, რომ ქ ჩვეულებრივი ცხოვრებაარც ისე ხშირად გიწევს მათთან გამკლავება, ირაციონალური რიცხვები არ არის დათვლადი. მათ დიდი სიმრავლემაგრამ ისინი თითქმის უხილავია. ჩვენ ყველგან ირაციონალური რიცხვებით ვართ გარშემორტყმული. ყველასთვის ნაცნობი მაგალითებია pi, რომელიც არის 3.1415926... ან e, რომელიც არსებითად არის ბაზა. ბუნებრივი ლოგარითმი, 2.718281828... ალგებრაში, ტრიგონომეტრიასა და გეომეტრიაში მუდმივად უნდა გამოიყენოთ ისინი. Ჰო მართლა, ცნობილი მნიშვნელობა"ოქროს მონაკვეთი", ანუ, როგორც დიდი ნაწილის თანაფარდობა პატარასთან და პირიქით, ასევე.

ეკუთვნის ამ კომპლექტს. ნაკლებად ცნობილი "ვერცხლი" - ძალიან.

რიცხვთა ხაზზე, ისინი განლაგებულია ძალიან მჭიდროდ, ასე რომ, რაციონალურ სიმრავლესთან დაკავშირებულ ნებისმიერ ორ რაოდენობას შორის, აუცილებლად ხდება ირაციონალური.

ჯერ კიდევ ბევრია გადაუჭრელი საკითხებიასოცირდება ამ კომპლექტთან. არსებობს ისეთი კრიტერიუმები, როგორიცაა ირაციონალურობის საზომი და რიცხვის ნორმალურობა. მათემატიკოსები აგრძელებენ ამა თუ იმ ჯგუფში კუთვნილების ყველაზე მნიშვნელოვანი მაგალითების გამოკვლევას. მაგალითად, ითვლება, რომ e არის ნორმალური რიცხვი, ანუ მის ჩანაწერში სხვადასხვა ციფრის გამოჩენის ალბათობა იგივეა. რაც შეეხება პის, მასზე კვლევა ჯერ კიდევ მიმდინარეობს. ირაციონალურობის საზომი არის მნიშვნელობა, რომელიც გვიჩვენებს, რამდენად კარგად შეიძლება კონკრეტული რიცხვის მიახლოება რაციონალური რიცხვებით.

ალგებრული და ტრანსცენდენტული

როგორც უკვე აღვნიშნეთ, ირაციონალური რიცხვები პირობითად იყოფა ალგებრულ და ტრანსცენდენტურად. პირობითად, ვინაიდან, მკაცრად რომ ვთქვათ, ეს კლასიფიკაცია გამოიყენება C სიმრავლის გასაყოფად.

დამალულია ამ აღნიშვნის ქვეშ რთული რიცხვები, რომელიც მოიცავს რეალურს ან რეალურს.

ასე რომ, ალგებრული მნიშვნელობა არის მნიშვნელობა, რომელიც არის მრავალწევრის ფესვი, რომელიც იდენტურად არ არის ნულის ტოლი. მაგალითად, 2-ის კვადრატული ფესვი იქნება ამ კატეგორიაში, რადგან ის არის x 2 - 2 = 0 განტოლების ამონახსნი.

თუმცა დანარჩენი რეალური რიცხვები, რომლებიც არ აკმაყოფილებენ ამ პირობას, ტრანსცენდენტურს უწოდებენ. ეს ჯიში ასევე მოიცავს ყველაზე ცნობილ და უკვე ნახსენებ მაგალითებს - რიცხვს pi და ბუნებრივი ლოგარითმის ე.

საინტერესოა, რომ არც ერთი და არც მეორე მათემატიკოსებმა თავდაპირველად არ გამოთქვეს ამ შესაძლებლობით, მათი ირაციონალურობა და ტრანსცენდენტურობა დადასტურდა მათი აღმოჩენიდან მრავალი წლის შემდეგ. პისთვის, მტკიცებულება მოყვანილი იქნა 1882 წელს და გამარტივდა 1894 წელს, რამაც ბოლო მოუღო 2500 წლიან კამათს წრის კვადრატის პრობლემის შესახებ. ეს ჯერ კიდევ არ არის ბოლომდე გაგებული, ამიტომ თანამედროვე მათემატიკოსებს აქვთ რაიმე სამუშაო. სხვათა შორის, ამ მნიშვნელობის პირველი საკმარისად ზუსტი გამოთვლა ჩაატარა არქიმედესმა. მის წინაშე ყველა გათვლა ძალიან მიახლოებითი იყო.

e-სთვის (ეილერის ან ნაპიერის რიცხვი) მისი ტრანსცენდენტურობის დამადასტურებელი საბუთი აღმოაჩინეს 1873 წელს. იგი გამოიყენება ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნისას.

სხვა მაგალითები მოიცავს სინუსს, კოსინუსს და ტანგენტს ნებისმიერი ალგებრული არანულოვანი მნიშვნელობებისთვის.

ირაციონალური რიცხვების სიმრავლე ჩვეულებრივ აღინიშნება დიდი ლათინური ასოებით I (\displaystyle \mathbb (I))თამამში შევსების გარეშე. ამრიგად: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q)), ანუ ირაციონალური რიცხვების სიმრავლე არის სხვაობა ნამდვილ და რაციონალურ რიცხვთა სიმრავლეს შორის.

ირაციონალური რიცხვების არსებობა, უფრო სწორედ ის სეგმენტები, რომლებიც შეუდარებელია ერთეულის სიგრძის სეგმენტთან, უკვე ცნობილი იყო ძველი მათემატიკოსებისთვის: მათ იცოდნენ, მაგალითად, დიაგონალისა და კვადრატის გვერდის შეუდარებლობა, რაც ირაციონალურობის ტოლფასია. ნომრის.

ენციკლოპედიური YouTube

• 1 / 5

  ირაციონალურია:

  ირაციონალურობის დადასტურების მაგალითები

  2-ის ფესვი

  ვთქვათ პირიქით: 2 (\displaystyle (\sqrt (2)))რაციონალური, ანუ წარმოდგენილია წილადის სახით m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), სად m (\displaystyle m)არის მთელი რიცხვი და n (\displaystyle n)- ნატურალური რიცხვი.

  მოდი კვადრატში გამოვყოთ სავარაუდო თანასწორობა:

  2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\მარჯვენა ისარი 2=(\frac (m^(2 ))(n^(2)))\მარჯვენა ისარი m^(2)=2n^(2)).

  ამბავი

  ანტიკურობა

  ირაციონალური რიცხვების კონცეფცია ინდოელმა მათემატიკოსებმა მიიღეს ძვ. ] .

  ირაციონალური რიცხვების არსებობის პირველი მტკიცებულება, როგორც წესი, მიეკუთვნება პითაგორას ჰიპას მეტაპონტუელს (ძვ. წ. 500 წ.). პითაგორაელების დროს ითვლებოდა, რომ არსებობს სიგრძის ერთი ერთეული, საკმარისად მცირე და განუყოფელი, რომელიც არის რიცხვების რიცხვი, რომელიც შედის ნებისმიერ სეგმენტში [ ] .

  არ არსებობს ზუსტი მონაცემები იმის შესახებ, თუ რომელი რიცხვის ირაციონალურობა დაამტკიცა ჰიპასუსმა. ლეგენდის თანახმად, მან ის იპოვა პენტაგრამის გვერდების სიგრძის შესწავლით. აქედან გამომდინარე, საფუძვლიანია ვივარაუდოთ, რომ ეს იყო ოქროს თანაფარდობა [ ] .

  ბერძენი მათემატიკოსები ამ თანაფარდობას შეუდარებელი სიდიდეების უწოდებდნენ ალოგოსი(გამოუთქმელია), მაგრამ ლეგენდების თანახმად, ჰიპასუსს სათანადო პატივი არ მიაქცია. არსებობს ლეგენდა, რომ ჰიპასუსმა ეს აღმოჩენა საზღვაო მოგზაურობის დროს გააკეთა და სხვა პითაგორეელებმა გადააგდეს ზღვაზე "სამყაროს ელემენტის შექმნის გამო, რომელიც უარყოფს დოქტრინას, რომ სამყაროში ყველა არსება შეიძლება შემცირდეს მთელ რიცხვებამდე და მათ თანაფარდობამდე. " ჰიპას აღმოჩენა პითაგორას მათემატიკაზე წინ დადგა სერიოზული პრობლემაანადგურებს მთელ თეორიას იმის შესახებ, რომ რიცხვები და გეომეტრიული ობიექტები ერთიანი და განუყოფელია.

  ერთეულის სიგრძის სეგმენტით, ძველმა მათემატიკოსებმა უკვე იცოდნენ: მათ იცოდნენ, მაგალითად, დიაგონალისა და კვადრატის გვერდის შეუსაბამობა, რაც რიცხვის ირაციონალურობის ტოლფასია.

  ირაციონალურია:

  ირაციონალურობის დადასტურების მაგალითები

  2-ის ფესვი

  დავუშვათ პირიქით: რაციონალურია, ანუ წარმოდგენილია როგორც შეუქცევადი წილადი, სადაც და არის მთელი რიცხვები. მოდი კვადრატში გამოვყოთ სავარაუდო თანასწორობა:

  .

  აქედან გამომდინარეობს, რომ კი, მაშასადამე, კი და . მოდით, სადაც მთელი. მერე

  მაშასადამე, კიდეც, ამიტომაც კი და. ჩვენ მივიღეთ ეს და ვართ ლუწი, რაც ეწინააღმდეგება წილადის შეუქცევადობას. აქედან გამომდინარე, თავდაპირველი ვარაუდი მცდარი იყო და არის ირაციონალური რიცხვი.

  რიცხვი 3-ის ორობითი ლოგარითმი

  დავუშვათ პირიქით: რაციონალურია, ანუ წარმოდგენილია წილადად, სადაც და არის მთელი რიცხვები. წლიდან , და შეიძლება დადებითად იქნას მიღებული. მერე

  მაგრამ გასაგებია, უცნაურია. ჩვენ ვიღებთ წინააღმდეგობას.

  ე

  ამბავი

  ირაციონალური რიცხვების ცნება ირიბად მიიღეს ინდოელმა მათემატიკოსებმა ძვ.

  ირაციონალური რიცხვების არსებობის პირველი მტკიცებულება ჩვეულებრივ მიეკუთვნება ჰიპას მეტაპონტუსელს (დაახლოებით ძვ. წ. 500 წ.), პითაგორაელს, რომელმაც ეს მტკიცებულება იპოვა პენტაგრამის გვერდების სიგრძის შესწავლით. პითაგორელთა დროს ითვლებოდა, რომ არსებობს სიგრძის ერთი ერთეული, საკმარისად მცირე და განუყოფელი, რომელიც არის ნებისმიერ სეგმენტში შეტანილი ჯერების მთელი რიცხვი. თუმცა, ჰიპასუსი ამტკიცებდა, რომ არ არსებობს სიგრძის ერთი ერთეული, რადგან მისი არსებობის ვარაუდი იწვევს წინააღმდეგობას. მან აჩვენა, რომ თუ ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა შეიცავს ერთეულების სეგმენტების მთელ რიცხვს, მაშინ ეს რიცხვი ერთდროულად უნდა იყოს ლუწიც და კენტიც. მტკიცებულება ასე გამოიყურებოდა:

  • ჰიპოტენუზის სიგრძის თანაფარდობა ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედის ფეხის სიგრძესთან შეიძლება გამოისახოს როგორც ა:ბ, სად ადა ბშერჩეული ყველაზე პატარა.
  • პითაგორას თეორემის მიხედვით: ა² = 2 ბ².
  • როგორც ა² თანაც, აუნდა იყოს ლუწი (რადგან კენტი რიცხვის კვადრატი კენტი იქნება).
  • Იმდენად, რამდენადაც ა:ბშეუმცირებელი ბუნდა იყოს უცნაური.
  • როგორც აკიდეც, აღნიშნავენ ა = 2წ.
  • მერე ა² = 4 წ² = 2 ბ².
  • ბ² = 2 წ², შესაბამისად ბთანაბარია, მაშინ ბთუნდაც.
  • თუმცა დადასტურდა რომ ბკენტი. წინააღმდეგობა.

  ბერძენი მათემატიკოსები ამ თანაფარდობას შეუდარებელი სიდიდეების უწოდებდნენ ალოგოსი(გამოუთქმელია), მაგრამ ლეგენდების თანახმად, ჰიპასუსს სათანადო პატივი არ მიაქცია. არსებობს ლეგენდა, რომ ჰიპასუსმა ეს აღმოჩენა საზღვაო მოგზაურობის დროს გააკეთა და სხვა პითაგორეელებმა გადააგდეს ზღვაზე "სამყაროს ელემენტის შექმნის გამო, რომელიც უარყოფს დოქტრინას, რომ სამყაროში ყველა არსება შეიძლება შემცირდეს მთელ რიცხვებამდე და მათ თანაფარდობამდე. " ჰიპასუსის აღმოჩენამ სერიოზული პრობლემა შეუქმნა პითაგორას მათემატიკას, გაანადგურა ვარაუდი, რომელიც ემყარება მთელ თეორიას, რომ რიცხვები და გეომეტრიული ობიექტები ერთიანი და განუყოფელია.

  იხილეთ ასევე

  შენიშვნები

  რიცხვითი სისტემები
  დათვლა კომპლექტი	ნატურალური რიცხვები () მთელი რიცხვები ()

  ერთეულის სიგრძის სეგმენტით, ძველმა მათემატიკოსებმა უკვე იცოდნენ: მათ იცოდნენ, მაგალითად, დიაგონალისა და კვადრატის გვერდის შეუსაბამობა, რაც რიცხვის ირაციონალურობის ტოლფასია.

  ირაციონალურია:

  ირაციონალურობის დადასტურების მაგალითები

  2-ის ფესვი

  დავუშვათ პირიქით: რაციონალურია, ანუ წარმოდგენილია როგორც შეუქცევადი წილადი, სადაც და არის მთელი რიცხვები. მოდი კვადრატში გამოვყოთ სავარაუდო თანასწორობა:

  .

  აქედან გამომდინარეობს, რომ კი, მაშასადამე, კი და . მოდით, სადაც მთელი. მერე

  მაშასადამე, კიდეც, ამიტომაც კი და. ჩვენ მივიღეთ ეს და ვართ ლუწი, რაც ეწინააღმდეგება წილადის შეუქცევადობას. აქედან გამომდინარე, თავდაპირველი ვარაუდი მცდარი იყო და არის ირაციონალური რიცხვი.

  რიცხვი 3-ის ორობითი ლოგარითმი

  დავუშვათ პირიქით: რაციონალურია, ანუ წარმოდგენილია წილადად, სადაც და არის მთელი რიცხვები. წლიდან , და შეიძლება დადებითად იქნას მიღებული. მერე

  მაგრამ გასაგებია, უცნაურია. ჩვენ ვიღებთ წინააღმდეგობას.

  ე

  ამბავი

  ირაციონალური რიცხვების ცნება ირიბად მიიღეს ინდოელმა მათემატიკოსებმა ძვ.

  ირაციონალური რიცხვების არსებობის პირველი მტკიცებულება ჩვეულებრივ მიეკუთვნება ჰიპას მეტაპონტუსელს (დაახლოებით ძვ. წ. 500 წ.), პითაგორაელს, რომელმაც ეს მტკიცებულება იპოვა პენტაგრამის გვერდების სიგრძის შესწავლით. პითაგორელთა დროს ითვლებოდა, რომ არსებობს სიგრძის ერთი ერთეული, საკმარისად მცირე და განუყოფელი, რომელიც არის ნებისმიერ სეგმენტში შეტანილი ჯერების მთელი რიცხვი. თუმცა, ჰიპასუსი ამტკიცებდა, რომ არ არსებობს სიგრძის ერთი ერთეული, რადგან მისი არსებობის ვარაუდი იწვევს წინააღმდეგობას. მან აჩვენა, რომ თუ ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა შეიცავს ერთეულების სეგმენტების მთელ რიცხვს, მაშინ ეს რიცხვი ერთდროულად უნდა იყოს ლუწიც და კენტიც. მტკიცებულება ასე გამოიყურებოდა:

  • ჰიპოტენუზის სიგრძის თანაფარდობა ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედის ფეხის სიგრძესთან შეიძლება გამოისახოს როგორც ა:ბ, სად ადა ბშერჩეული ყველაზე პატარა.
  • პითაგორას თეორემის მიხედვით: ა² = 2 ბ².
  • როგორც ა² თანაც, აუნდა იყოს ლუწი (რადგან კენტი რიცხვის კვადრატი კენტი იქნება).
  • Იმდენად, რამდენადაც ა:ბშეუმცირებელი ბუნდა იყოს უცნაური.
  • როგორც აკიდეც, აღნიშნავენ ა = 2წ.
  • მერე ა² = 4 წ² = 2 ბ².
  • ბ² = 2 წ², შესაბამისად ბთანაბარია, მაშინ ბთუნდაც.
  • თუმცა დადასტურდა რომ ბკენტი. წინააღმდეგობა.

  ბერძენი მათემატიკოსები ამ თანაფარდობას შეუდარებელი სიდიდეების უწოდებდნენ ალოგოსი(გამოუთქმელია), მაგრამ ლეგენდების თანახმად, ჰიპასუსს სათანადო პატივი არ მიაქცია. არსებობს ლეგენდა, რომ ჰიპასუსმა ეს აღმოჩენა საზღვაო მოგზაურობის დროს გააკეთა და სხვა პითაგორეელებმა გადააგდეს ზღვაზე "სამყაროს ელემენტის შექმნის გამო, რომელიც უარყოფს დოქტრინას, რომ სამყაროში ყველა არსება შეიძლება შემცირდეს მთელ რიცხვებამდე და მათ თანაფარდობამდე. " ჰიპასუსის აღმოჩენამ სერიოზული პრობლემა შეუქმნა პითაგორას მათემატიკას, გაანადგურა ვარაუდი, რომელიც ემყარება მთელ თეორიას, რომ რიცხვები და გეომეტრიული ობიექტები ერთიანი და განუყოფელია.

  იხილეთ ასევე

  შენიშვნები

  რიცხვითი სისტემები
  დათვლა კომპლექტი	ნატურალური რიცხვები () მთელი რიცხვები ()