როგორ ამოხსნათ ალგებრული წილადები. ალგებრული წილადების შემცირება: წესი, მაგალითები

ეს სტატია აგრძელებს ტრანსფორმაციის თემას ალგებრული წილადები: განიხილეთ ისეთი მოქმედება, როგორც ალგებრული წილადების შემცირება. მოდით განვსაზღვროთ თავად ტერმინი, ჩამოვაყალიბოთ შემოკლების წესი და გავაანალიზოთ პრაქტიკული მაგალითები.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ალგებრული წილადის შემოკლების მნიშვნელობა

მასალებში იმის შესახებ საერთო წილადიგანვიხილეთ მისი შემცირება. ჩვენ განვსაზღვრეთ საერთო წილადის შემცირება, როგორც მისი მრიცხველისა და მნიშვნელის გაყოფა საერთო ფაქტორი.

მსგავსი ოპერაციაა ალგებრული წილადის შემცირება.

განმარტება 1

ალგებრული წილადის შემცირებაარის მისი მრიცხველისა და მნიშვნელის გაყოფა საერთო ფაქტორზე. ამ შემთხვევაში, ჩვეულებრივი წილადის შემცირებისგან განსხვავებით (მხოლოდ რიცხვი შეიძლება იყოს საერთო მნიშვნელი), მრავალწევრი, კერძოდ, მონომი ან რიცხვი, შეიძლება იყოს საერთო ფაქტორი ალგებრული წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელისთვის.

მაგალითად, ალგებრული წილადი 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 შეიძლება შემცირდეს 3 რიცხვით, შედეგად მივიღებთ: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y. 2 . ჩვენ შეგვიძლია შევამციროთ იგივე წილადი x ცვლადით და ეს მოგვცემს გამოსახულებას 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 . ასევე შესაძლებელია მოცემული წილადის შემცირება მონომით 3 xან რომელიმე მრავალწევრი x + 2 y, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y ან 3 x 2 + 6 x წ.

ალგებრული წილადის შემცირების საბოლოო მიზანი არის წილადზე მეტი მარტივი ფორმა, in საუკეთესო შემთხვევაარის შეუქცევადი წილადი.

ყველა ალგებრული წილადი ექვემდებარება შემცირებას?

ისევ ჩვეულებრივი წილადების მასალებიდან ვიცით, რომ არსებობს შემცირებადი და შეუქცევადი წილადები. შეუქცევადი - ეს არის წილადები, რომლებსაც არ აქვთ მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო ფაქტორები, გარდა 1-ისა.

ალგებრული წილადებით ყველაფერი ერთნაირია: მათ შეიძლება ჰქონდეთ ან არ ჰქონდეთ მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო ფაქტორები. საერთო ფაქტორების არსებობა საშუალებას გაძლევთ გაამარტივოთ საწყისი ფრაქცია შემცირების გზით. როდესაც არ არსებობს საერთო ფაქტორები, შეუძლებელია მოცემული წილადის ოპტიმიზაცია შემცირების მეთოდით.

ზოგად შემთხვევებში, მოცემული ფორმაფრაქციების გაგება საკმაოდ რთულია, ექვემდებარება თუ არა შემცირებას. რა თქმა უნდა, ზოგიერთ შემთხვევაში აშკარაა მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო ფაქტორის არსებობა. მაგალითად, ალგებრულ წილადში 3 · x 2 3 · y სავსებით ნათელია, რომ საერთო ფაქტორია რიცხვი 3.

წილადში - x · y 5 · x · y · z 3 ასევე მაშინვე გვესმის, რომ შესაძლებელია მისი შემცირება x, ან y, ან x · y-ით. და მაინც, ალგებრული წილადების მაგალითები ბევრად უფრო ხშირია, როდესაც მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო კოეფიციენტი არც ისე ადვილი შესამჩნევია და უფრო ხშირად - ის უბრალოდ არ არსებობს.

მაგალითად, შეგვიძლია x 3 - 1 x 2 - 1 წილადი შევამციროთ x - 1-ით, მაშინ როცა მითითებული საერთო ფაქტორი არ არის ჩანაწერში. მაგრამ წილადი x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 x + 4 არ შეიძლება შემცირდეს, რადგან მრიცხველსა და მნიშვნელს არ აქვთ საერთო კოეფიციენტი.

ამრიგად, ალგებრული წილადის შეკუმშვის გარკვევის საკითხი არც ისე მარტივია და ხშირად უფრო ადვილია მუშაობა მოცემული ფორმის წილადთან, ვიდრე იმის გარკვევა, არის თუ არა ის შეკუმშვადი. ამ შემთხვევაში ხდება ისეთი გარდაქმნები, რომლებიც კონკრეტულ შემთხვევებში საშუალებას გვაძლევს განვსაზღვროთ მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო კოეფიციენტი ან დავასკვნათ, რომ წილადი შეუქცევადია. მოდით განვიხილოთ ეს საკითხი დეტალურად შემდეგი პუნქტისტატიები.

ალგებრული წილადის შემცირების წესი

ალგებრული წილადის შემცირების წესიშედგება ორი თანმიმდევრული ეტაპისგან:

მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო ფაქტორების პოვნა;
ასეთის აღმოჩენის შემთხვევაში წილადის შემცირების პირდაპირი მოქმედების განხორციელება.

საერთო მნიშვნელების საპოვნელად ყველაზე მოსახერხებელი მეთოდია მოცემული ალგებრული წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელში არსებული მრავალწევრების ფაქტორიზირება. ეს საშუალებას გაძლევთ დაუყოვნებლივ ვიზუალურად ნახოთ საერთო ფაქტორების არსებობა ან არარსებობა.

თავად ალგებრული წილადის შემცირების მოქმედება ემყარება ალგებრული წილადის ძირითად თვისებას, რომელიც გამოიხატება განუსაზღვრელი ტოლობით, სადაც a , b , c არის რამდენიმე მრავალწევრი, ხოლო b და c არ არის ნულოვანი. პირველი ნაბიჯი არის წილადის შემცირება a c b c ფორმამდე, რომელშიც დაუყოვნებლივ ვამჩნევთ საერთო ფაქტორს c. მეორე ნაბიჯი არის შემცირების შესრულება, ე.ი. a b ფორმის წილადზე გადასვლა.

ტიპიური მაგალითები

გარკვეული აშკარაობის მიუხედავად, მოდით დავაზუსტოთ განსაკუთრებული შემთხვევაროცა ალგებრული წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი ტოლია. მსგავსი წილადებიიდენტურია 1-ის ტოლი ამ წილადის ცვლადების მთელ ODZ-ზე:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 x - x 2 y 1 2 x - x 2 y;

ვინაიდან ჩვეულებრივი წილადები ალგებრული წილადების განსაკუთრებული შემთხვევაა, გავიხსენოთ, როგორ მცირდება ისინი. მრიცხველში და მნიშვნელში ჩაწერილი ნატურალური რიცხვები იშლება მარტივ ფაქტორებად, შემდეგ საერთო ფაქტორები მცირდება (ასეთის არსებობის შემთხვევაში).

მაგალითად, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

მარტივი იდენტური ფაქტორების ნამრავლი შეიძლება დაიწეროს გრადუსებად, ხოლო წილადების შემცირების პროცესში გამოიყენეთ გრადუსების გაყოფის თვისება იგივე საფუძველი. მაშინ ზემოაღნიშნული გამოსავალი იქნება:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(მრიცხველი და მნიშვნელი იყოფა საერთო ფაქტორზე 2 2 3). ან, სიცხადისთვის, გამრავლებისა და გაყოფის თვისებებზე დაყრდნობით, ამონახსნებს მივცემთ შემდეგ ფორმას:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

ანალოგიით, ხორციელდება ალგებრული წილადების შემცირება, რომლებშიც მრიცხველსა და მნიშვნელს აქვთ მონომები მთელი რიცხვითი კოეფიციენტებით.

მაგალითი 1

მოცემულია ალგებრული წილადი - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . საჭიროა მისი შემცირება.

გამოსავალი

შესაძლებელია მოცემული წილადის მრიცხველის და მნიშვნელის დაწერა ნამრავლის სახით ძირითადი ფაქტორებიდა ცვლადები და შემდეგ შეამცირეთ:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 3 a a a a a a b b c z 2 3 a b b c c c c c c c z = = - 3 3 a a 2 c c c c c c c = - 9 a 3 2 c 6

თუმცა, მეტი რაციონალური გზითგამოსავალი დაიწერება, როგორც გამოხატულება ძალაუფლებით:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 a 5 b 2 c z 2 3 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 2 3 a 5 a 2 b 2 b 2 c c 7 z z = = - 3 3 - 1 2 a 5 - 2 1 1 1 c 7 - 1 1 = - 3 2 a 3 2 c 6 = - 9 a 3 2 c 6 .

პასუხი:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

როდესაც ალგებრული წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელში არის წილადი რიცხვითი კოეფიციენტები, არსებობს ორი შესაძლო გზა. შემდგომი მოქმედება: ან ცალ-ცალკე გაყავით ეს წილადი კოეფიციენტები, ან ჯერ გაათავისუფლეთ წილადი კოეფიციენტები მრიცხველისა და მნიშვნელის რამდენიმეზე გამრავლებით. ბუნებრივი რიცხვი. ბოლო ტრანსფორმაცია ხორციელდება ალგებრული წილადის ძირითადი თვისების გამო (ამის შესახებ შეგიძლიათ წაიკითხოთ სტატიაში „ალგებრული წილადის ახალ მნიშვნელზე შემცირება“).

მაგალითი 2

მოცემულია წილადი 2 5 x 0, 3 x 3. საჭიროა მისი შემცირება.

გამოსავალი

წილადის შემცირება შესაძლებელია ამ გზით:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

შევეცადოთ პრობლემის სხვაგვარად გადაჭრას, მანამდე რომ თავი დავაღწიოთ წილადის კოეფიციენტებს - ვამრავლებთ მრიცხველს და მნიშვნელს ამ კოეფიციენტების მნიშვნელების უმცირეს საერთო ჯერადზე, ე.ი. თითო LCM(5, 10) = 10. შემდეგ მივიღებთ:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

პასუხი: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

როცა ალგებრულ წილადებს ვამცირებთ ზოგადი ხედი, რომელშიც მრიცხველები და მნიშვნელები შეიძლება იყოს როგორც მონომები, ასევე პოლინომები, პრობლემა შესაძლებელია, როდესაც საერთო ფაქტორი ყოველთვის არ ჩანს დაუყოვნებლივ. ან უფრო მეტიც, ის უბრალოდ არ არსებობს. შემდეგ, საერთო კოეფიციენტის დასადგენად ან მისი არარსებობის ფაქტის დასაფიქსირებლად, ხდება ალგებრული წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი.

მაგალითი 3

მოცემულია რაციონალური წილადი 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 . საჭიროა მისი შემცირება.

გამოსავალი

მოდი მრავალწევრები გავამრავლოთ მრიცხველსა და მნიშვნელში. მოდით გავაკეთოთ ფრჩხილები:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

ჩვენ ვხედავთ, რომ ფრჩხილებში გამოსახულებები შეიძლება გარდაიქმნას შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენებით:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

აშკარად ჩანს, რომ შესაძლებელია წილადის შემცირება საერთო ფაქტორით b 2 (a + 7). მოდით გავაკეთოთ შემცირება:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

სწრაფი გადაწყვეტაახსნის გარეშე, ჩვენ ვწერთ, როგორც თანასწორობის ჯაჭვი:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

პასუხი: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b.

ეს ხდება, რომ საერთო ფაქტორები იმალება რიცხვითი კოეფიციენტებით. შემდეგ, წილადების შემცირებისას, ოპტიმალურია რიცხვითი ფაქტორების ამოღება მრიცხველისა და მნიშვნელის უფრო მაღალი ხარისხებით.

მაგალითი 4

მოცემულია ალგებრული წილადი 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 . თუ ეს შესაძლებელია, ის უნდა შემცირდეს.

გამოსავალი

ერთი შეხედვით მრიცხველი და მნიშვნელი არ არსებობს საერთო მნიშვნელი. თუმცა ვცადოთ მოცემული წილადის გადაქცევა. ამოვიღოთ x ფაქტორი მრიცხველში:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

ახლა თქვენ შეგიძლიათ ნახოთ გარკვეული მსგავსება ფრჩხილებში გამოსახულებასა და მნიშვნელში გამოსახულებას შორის x 2 y-ის გამო. . ავიღოთ რიცხვითი კოეფიციენტები ამ მრავალწევრების უფრო მაღალი ხარისხებით:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10

ახლა საერთო მულტიპლიკატორი ხილული ხდება, ჩვენ ვახორციელებთ შემცირებას:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

პასუხი: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

ხაზგასმით აღვნიშნოთ, რომ რაციონალური წილადების შემცირების უნარი დამოკიდებულია მრავალწევრების ფაქტორიზაციის უნარზე.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

ამ სტატიაში ჩვენ განვიხილავთ ძირითადი მოქმედებები ალგებრული წილადებით:

წილადის შემცირება
წილადების გამრავლება
წილადების დაყოფა

დავიწყოთ იმით ალგებრული წილადების აბრევიატურები.

როგორც ჩანს, ალგორითმიაშკარა.

რომ ალგებრული წილადების შემცირება, საჭიროება

1. წილადის მრიცხველის და მნიშვნელის ფაქტორიზაცია.

2. შეამცირეთ იგივე მამრავლები.

თუმცა, სკოლის მოსწავლეები ხშირად უშვებენ შეცდომას და „ამცირებენ“ არა ფაქტორებს, არამედ ტერმინებს. მაგალითად, არიან მოყვარულები, რომლებიც წილადებით „ამცირებენ“ და შედეგად იღებენ, რაც, რა თქმა უნდა, სიმართლეს არ შეესაბამება.

განვიხილოთ მაგალითები:

1. წილადის შემცირება:

1. მრიცხველს ვანაწილებთ ჯამის კვადრატის ფორმულის მიხედვით, ხოლო მნიშვნელს კვადრატთა სხვაობის ფორმულის მიხედვით.

2. გაყავით მრიცხველი და მნიშვნელი

2. წილადის შემცირება:

1. მრიცხველის ფაქტორიზაცია. ვინაიდან მრიცხველი შეიცავს ოთხ ტერმინს, ჩვენ ვიყენებთ დაჯგუფებას.

2. მნიშვნელის ფაქტორი. იგივე ეხება დაჯგუფებას.

3. ჩამოვწეროთ ის წილადი, რომელიც მივიღეთ და შევამციროთ იგივე ფაქტორები:

ალგებრული წილადების გამრავლება.

ალგებრული წილადების გამრავლებისას მრიცხველს ვამრავლებთ მრიცხველზე, ხოლო მნიშვნელს ვამრავლებთ მნიშვნელზე.

Მნიშვნელოვანი!არ არის საჭირო აჩქარება წილადის მრიცხველში და მნიშვნელში გამრავლების შესასრულებლად. მას შემდეგ, რაც ჩვენ დავწერთ წილადების მრიცხველების ნამრავლს მრიცხველში და მნიშვნელთა ნამრავლს მნიშვნელში, ჩვენ უნდა გავზომოთ თითოეული ფაქტორი და შევამციროთ წილადი.

განვიხილოთ მაგალითები:

3. გამოთქმის გამარტივება:

1. წილადების ნამრავლი დავწეროთ: მრიცხველში მრიცხველთა ნამრავლი, ხოლო მნიშვნელში მნიშვნელთა ნამრავლი:

2. თითოეულ ფრჩხილს ვანაწილებთ:

ახლა ჩვენ უნდა შევამციროთ იგივე მულტიპლიკატორები. გაითვალისწინეთ, რომ გამონათქვამები და განსხვავდება მხოლოდ ნიშნით: ხოლო პირველი გამოხატვის მეორეზე გაყოფის შედეგად მივიღებთ -1.

Ისე,

ალგებრული წილადების დაყოფას ვასრულებთ შემდეგი წესით:

ანუ წილადზე გასაყოფად საჭიროა "შებრუნებულზე" გამრავლება.

ჩვენ ვხედავთ, რომ წილადების გაყოფა მცირდება გამრავლებამდე და გამრავლება საბოლოოდ მიდის წილადების შემცირებამდე.

განვიხილოთ მაგალითი:

4. გამოთქმის გამარტივება:

სანამ ალგებრული წილადების შესწავლაზე გადავიდოდეთ, გირჩევთ გახსოვდეთ, თუ როგორ უნდა იმუშაოთ ჩვეულებრივ წილადებთან.

ნებისმიერ წილადს, რომელსაც აქვს ასოების კოეფიციენტი, ეწოდება ალგებრული წილადი.

მაგალითები ალგებრული წილადები.

ჩვეულებრივი წილადის მსგავსად, ალგებრულ წილადს აქვს მრიცხველი (ზედა) და მნიშვნელი (ქვედა).

ალგებრული წილადის შემცირება

ალგებრული წილადი შეიძლება შემცირდეს. შემცირებისას გამოიყენეთ ჩვეულებრივი წილადების შემცირების წესები.

შეგახსენებთ, რომ ჩვეულებრივი წილადის შემცირებისას მრიცხველიც და მნიშვნელიც გავყავით ერთ რიცხვზე.

ალგებრული წილადი მცირდება იმავე გზით, მაგრამ მხოლოდ მრიცხველი და მნიშვნელი იყოფა იმავე მრავალწევრზე.

განიხილეთ ალგებრული წილადის შემცირების მაგალითი.

მოდით განვსაზღვროთ ნაკლები ხარისხი, რომელიც შეიცავს მონომს " a " . უმცირესი ხარისხირადგან მონომი "ა" არის მნიშვნელში - ეს არის მეორე ხარისხი.

გაყავით მრიცხველიც და მნიშვნელიც 2-ზე. მონომების გაყოფისას ვიყენებთ კოეფიციენტის ხარისხის თვისებას.

შეგახსენებთ, რომ ნებისმიერი ასო ან ნომერი ნულოვანი ხარისხიარის ერთეული.

არ არის საჭირო ყოველ ჯერზე დეტალურად ჩაწეროთ, თუ რაზე შემცირდა ალგებრული წილადი. საკმარისია გავითვალისწინოთ რა ხარისხით განხორციელდა შემცირება და ჩაწერეთ მხოლოდ შედეგი.

ალგებრული წილადის შემცირების მოკლე აღნიშვნა შემდეგია.

თქვენ შეგიძლიათ შეამციროთ მხოლოდ ერთი და იგივე ასოების მამრავლები.

არ შეიძლება გაჭრა

შეიძლება შემცირდეს

ალგებრული წილადების შემცირების სხვა მაგალითები.

როგორ შევამციროთ წილადი მრავალწევრებით

განვიხილოთ ალგებრული წილადის კიდევ ერთი მაგალითი. საჭიროა ალგებრული წილადის შემცირება, რომელსაც მრიცხველში აქვს მრავალწევრი.

ფრჩხილებში პოლინომის შემცირება შეგიძლიათ მხოლოდ ფრჩხილებში ზუსტად იგივე მრავალწევრებით!

არავითარ შემთხვევაში ნაწილს ვერ ჭრისმრავალწევრი შიდა ფრჩხილებში!

არა სათანადოდ

იმის დადგენა, სად მთავრდება მრავალწევრი, ძალიან მარტივია. მრავალწევრებს შორის შეიძლება იყოს მხოლოდ გამრავლების ნიშანი. მთელი პოლინომი ფრჩხილებშია.

მას შემდეგ რაც განვსაზღვრავთ ალგებრული წილადის მრავალწევრებს, ვაუქმებთ მრიცხველში მრავალწევრს "(m − n)" მნიშვნელში "(m − n)" მრავალწევრთან ერთად.

მრავალწევრებით ალგებრული წილადების შემცირების მაგალითები.

წილადების შემცირებისას საერთო ფაქტორის ამოღება

იმისათვის, რომ ალგებრულ წილადებში გამოჩნდეს იდენტური მრავალწევრები, ზოგჯერ საჭიროა ფრჩხილებიდან საერთო ფაქტორის ამოღება.

ამ ფორმით შეუძლებელია ალგებრული წილადის შემცირება, რადგან მრავალწევრი
"(3f + k)" შეიძლება შემცირდეს მხოლოდ მრავალწევრით "(3f + k)".

ამიტომ მრიცხველში რომ მივიღოთ „(3f + k)“, ვიღებთ საერთო კოეფიციენტს „5“.

წილადების შემცირება გამრავლების შემოკლებული ფორმულებით

სხვა მაგალითებში, ალგებრული წილადების შემცირება მოითხოვს
შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენება.

მისი თავდაპირველი ფორმით, შეუძლებელია ალგებრული წილადის შემცირება, რადგან არ არსებობს იდენტური მრავალწევრები.

მაგრამ თუ გამოვიყენებთ კვადრატების სხვაობის ფორმულას მრავალწევრისთვის "(a 2 − b 2)", მაშინ გამოჩნდება იგივე მრავალწევრები.

ალგებრული წილადების შემცირების სხვა მაგალითები გამრავლების შემოკლებული ფორმულების გამოყენებით.

ალგებრული (რაციონალური) წილადების შემცირება ეფუძნება მათ ძირითად თვისებას: თუ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი იყოფა იმავე არანულოვანი მრავალწევრებით, მაშინ მიიღება მისი ტოლი წილადი.

თქვენ შეგიძლიათ მხოლოდ მულტიპლიკატორების შემცირება!

მრავალწევრების წევრების შემცირება შეუძლებელია!

ალგებრული წილადის შესამცირებლად ჯერ მრიცხველსა და მნიშვნელში მყოფი პოლინომები უნდა გაანგარიშდეს.

განვიხილოთ წილადის შემცირების მაგალითები.

წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი მონომებია. ისინი წარმოადგენენ მუშაობა(რიცხვები, ცვლადები და მათი ხარისხი), მულტიპლიკატორებიშეგვიძლია შევამციროთ.

ჩვენ ვამცირებთ რიცხვებს მათი უდიდესით საერთო გამყოფი, ანუ ზე ყველაზე დიდი რაოდენობა, რომლითაც თითოეული მოცემული რიცხვი იყოფა. 24-ისთვის და 36-ისთვის ეს არის 12. 24-დან შემცირების შემდეგ რჩება 2, 36-დან - 3.

ჩვენ ვამცირებთ გრადუსებს უმცირესი მაჩვენებლით. წილადის შემცირება ნიშნავს მრიცხველისა და მნიშვნელის გაყოფას იმავე გამყოფზე, ხოლო ხარისხების გაყოფისას გამოვაკლებთ ინდიკატორებს.

a² და a⁷ მცირდება a²-ით. ამავდროულად, ერთი რჩება მრიცხველში a²-დან (1-ს ვწერთ მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ შემცირების შემდეგ სხვა ფაქტორები არ დარჩება. 24-დან რჩება 2, ამიტომ a²-დან დარჩენილ 1-ს არ ვწერთ). შემცირების შემდეგ a7-დან რჩება a5.

b და b შემოკლებით b, მიღებული ერთეულები არ იწერება.

c³º და c5 მცირდება c5-ით. c³º c25 რჩება, c5-დან - ერთეული (ჩვენ არ ვწერთ). Ამგვარად,

მოცემული ალგებრული წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი მრავალწევრია. მრავალწევრების პირობების შემცირება შეუძლებელია! (არ შეიძლება შემცირდეს, მაგალითად, 8x² და 2x!). ამ წილადის შესამცირებლად საჭიროა მრავალწევრების ფაქტორიზირება. მრიცხველს აქვს საერთო კოეფიციენტი 4x. ამოვიღოთ ფრჩხილებიდან:

მრიცხველსაც და მნიშვნელსაც ერთნაირი კოეფიციენტი აქვს (2x-3). ამ ფაქტორით ვამცირებთ წილადს. მრიცხველში მივიღეთ 4x, მნიშვნელში 1. ალგებრული წილადების 1 თვისების მიხედვით წილადი არის 4x.

თქვენ შეგიძლიათ მხოლოდ ფაქტორების შემცირება (თქვენ არ შეგიძლიათ შეამციროთ მოცემული წილადი 25x²-ით!). მაშასადამე, წილადის მრიცხველში და მნიშვნელში მრავალწევრები უნდა იყოს გათვლილი.

მრიცხველში - სრული მოედანიჯამები, მნიშვნელში - კვადრატების სხვაობა. შემოკლებული გამრავლების ფორმულებით გაფართოების შემდეგ მივიღებთ:

წილადს ვამცირებთ (5x + 1)-ით (ამისთვის, მრიცხველში გადახაზეთ ორი მაჩვენებლის სახით, (5x + 1) ²-დან დატოვებს (5x + 1)):

მრიცხველს აქვს საერთო კოეფიციენტი 2, ამოვიღოთ იგი ფრჩხილებიდან. მნიშვნელში - კუბურების განსხვავების ფორმულა:

მრიცხველისა და მნიშვნელის გაფართოების შედეგად მივიღეთ იგივე ფაქტორი (9 + 3a + a²). ჩვენ ვამცირებთ წილადს მასზე:

მრიცხველში მრავალწევრი შედგება 4 წევრისაგან. პირველ წევრს ვაჯგუფებთ მეორესთან, მესამეს - მეოთხესთან და პირველი ფრჩხილებიდან ამოვიღებთ საერთო ფაქტორს x². ჩვენ ვხსნით მნიშვნელს კუბურების ჯამის ფორმულის მიხედვით:

მრიცხველში ფრჩხილებიდან ამოვიღებთ საერთო ფაქტორს (x + 2):

ჩვენ ვამცირებთ წილადს (x + 2):

ჩვენ მხოლოდ მულტიპლიკატორების შემცირება შეგვიძლია! ამ წილადის შესამცირებლად საჭიროა მრიცხველში და მნიშვნელში პოლინომები დაანაწილოთ. მრიცხველში საერთო ფაქტორია a³, მნიშვნელში - a5. მოდით ამოვიღოთ ისინი ფრჩხილებიდან:

მულტიპლიკატორები - სიმძლავრეები იგივე ფუძით a³ და a5 - მცირდება a³-ით. a³ 1-დან რჩება, ჩვენ არ ვწერთ მას, a5-დან რჩება a². მრიცხველში ფრჩხილებში გამოსახვა შეიძლება გაფართოვდეს კვადრატების სხვაობით:

ჩვენ ვამცირებთ წილადს საერთო გამყოფით (1 + a):

როგორ შევამციროთ ფორმის წილადები

რომელშიც მრიცხველისა და მნიშვნელის გამოთქმები მხოლოდ ნიშნებით განსხვავდება?

შემდეგ ჯერზე განვიხილავთ ასეთი წილადების შემცირების მაგალითებს.

2 კომენტარი

ძალიან კარგი საიტია, ყოველდღე ვიყენებ და მეხმარება.
სანამ ამ საიტს წავაწყდებოდი, ალგებრაში, გეომეტრიაში ბევრი რამის ამოხსნა არ ვიცოდი, მაგრამ ამ საიტის წყალობით, ჩემი 3 ქულები 4-5-ით გაიზარდა.
ახლა შემიძლია უსაფრთხოდ ავიღო OGE და არ მეშინია, რომ არ ჩავაბარო!
ისწავლე და წარმატებას მიაღწევ!

ვიტა, წარმატებებს გისურვებ სწავლაში და მაღალი შედეგებიგამოცდებზე!

www.algebraclass.ru

ალგებრული წილადების შემცირების წესი

ალგებრული წილადების შემცირება

მათემატიკაში ახალი კონცეფცია იშვიათად წარმოიქმნება "არაფრისგან", "ჩართულია ცარიელი ადგილი". ჩნდება როცა იგრძნობა ობიექტური აუცილებლობა. ასე გამოჩნდნენ მათემატიკაში უარყოფითი რიცხვები, ასე ჩვეულებრივი და ათობითი ალგებრული წილადი.

გვაქვს „ალგებრული წილადის“ ახალი კონცეფციის დანერგვის წინაპირობები. დავუბრუნდეთ § 12. იქ მონომის მონომზე დაყოფის განხილვისას განვიხილეთ არაერთი მაგალითი. გამოვყოთ ორი მათგანი.

1. გაყავით მონომი 36a 3 b 5 მონომიზე 4ab 2 (იხ. მაგალითი 1c) §12-დან).
ჩვენ ეს ასე მოვაგვარეთ. 36a 3 b 5: 4ab 2 ჩაწერის ნაცვლად გამოყენებული იყო წილადის ზოლი:

ეს საშუალებას აძლევდა 36: 4, a 3: a, b 5: b 2 ჩანაწერების ნაცვლად, ასევე გამოეყენებინა წილადის ზოლი, რამაც მაგალითის ამოხსნა უფრო ნათელი გახადა:

2. გაყავით მონომი 4x 3 მონომიზე 2xy (იხ. მაგალითი 1 e) § 12-დან). იგივე ნიმუშის მიხედვით, ჩვენ ვიღებთ:

§ 12-ში ჩვენ აღვნიშნეთ, რომ მონომი 4x 3 არ შეიძლება დაიყოს მონომზე 2xy ისე, რომ მივიღოთ მონომიური. მაგრამ მათემატიკური მოდელები რეალური სიტუაციებიშეიძლება შეიცავდეს ნებისმიერი მონომის გაყოფის ოპერაციას, არ არის აუცილებელი ისეთი, რომ ერთი იყოფა მეორეზე. ამის მოლოდინში მათემატიკოსებმა შემოიღეს ახალი კონცეფცია - ალგებრული წილადის ცნება. კერძოდ, ალგებრული წილადი. ახლა დავუბრუნდეთ § 18-ს. მრავალწევრის მონომზე გაყოფის მოქმედების განხილვისას აღვნიშნეთ, რომ ეს ყოველთვის არ არის შესაძლებელი. ამრიგად, მე-2 მაგალითში § 18-დან, საუბარი იყო 6x 3 - 24x 2 ბინომის 6x 2-ზე გაყოფაზე. ეს ოპერაცია შესასრულებელი აღმოჩნდა და შედეგად მივიღეთ ბინომი x - 4. აქედან გამომდინარე, Სხვა სიტყვებით, ალგებრული გამოხატულებამოახერხა მეტის ჩანაცვლება მარტივი გამოხატულება- მრავალწევრი x - 4.

ამავდროულად, მე-3 მაგალითში § 18-დან, შეუძლებელი იყო 8a 3 + ba 2b - b მრავალწევრის გაყოფა 2a 2-ზე, ანუ გამოხატვის შეცვლა არ შეიძლებოდა უფრო მარტივი გამოსახულებით და ის უნდა დარჩენილიყო. როგორც ალგებრული წილადი.

რაც შეეხება მრავალწევრის გაყოფის ოპერაციას მრავალწევრიჩვენ რეალურად არაფერი გვითქვამს ამის შესახებ. ერთადერთი, რაც ახლა შეგვიძლია ვთქვათ, არის ის, რომ ერთი მრავალწევრი შეიძლება გაიყოს მეორეზე, თუ ეს სხვა მრავალწევრი პირველი მრავალწევრის ფაქტორიზაციის ერთ-ერთი ფაქტორია.

მაგალითად, x 3 - 1 \u003d (x - 1) (x 2 + x + 1). ასე რომ, x 3 - 1 შეიძლება გაიყოს x 2 + x + 1-ზე, თქვენ მიიღებთ x - 1; x 3 - 1 შეიძლება გაიყოს x - 1-ზე,

თქვენ მიიღებთ x 2 + x + 1.
მრავალწევრები P და Q. ამ შემთხვევაში აღნიშვნა
სადაც P არის მრიცხველი, Q არის ალგებრული წილადის მნიშვნელი.
ალგებრული წილადების მაგალითები:

ზოგჯერ ალგებრული წილადი შეიძლება შეიცვალოს მრავალწევრით. მაგალითად, როგორც უკვე დავადგინეთ,

(პოლინომი 6x 3 - 24x 2 შეიძლება გაიყოს 6x 2-ზე, ხოლო კოეფიციენტში მიღებულია x - 4); ჩვენ ასევე აღვნიშნეთ, რომ

მაგრამ ეს შედარებით იშვიათია.

თუმცა, თქვენ უკვე შეგხვედრიათ მსგავსი სიტუაცია - ჩვეულებრივი წილადების შესწავლისას. მაგალითად, წილადი - შეიძლება შეიცვალოს მთელი რიცხვით 4, ხოლო წილადი - მთელი რიცხვით 5. თუმცა, წილადი - ვერ შეიცვლება მთელი რიცხვით, თუმცა ეს წილადი შეიძლება შემცირდეს მრიცხველისა და მნიშვნელის რიცხვზე გაყოფით. 8 - მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო კოეფიციენტი:
ანალოგიურად, ალგებრული წილადები შეიძლება შემცირდეს წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის ერთდროულად გაყოფით მათ საერთოზე. მულტიპლიკატორი. და ამისთვის აუცილებელია წილადის მრიცხველიც და მნიშვნელიც დაშალოთ ფაქტორებად. სწორედ აქ გვჭირდება ყველაფერი, რაზეც ამ თავში ამდენი ხანი განვიხილავთ.

მაგალითი. ალგებრული წილადის შემცირება:

ამოხსნა, ა) იპოვნეთ საერთო კოეფიციენტი მონომებისთვის
12x 3 y 4 და 8x 2 y 5 როგორც გავაკეთეთ § 20-ში. მივიღებთ 4x 2 y 4 . შემდეგ 12x 3 y 4 = 4x 2 y 4 Zx; 8x 2 y 5 = 4x 2 y 4 2y.
ნიშნავს,

მრიცხველი და მნიშვნელიმოცემული ალგებრული წილადი შემცირდა საერთო კოეფიციენტით 4x 2 y 4 .
ამ მაგალითის გადაწყვეტა შეიძლება სხვაგვარად დაიწეროს:

ბ) წილადის შესამცირებლად მის მრიცხველს და მნიშვნელს ვყოფთ ფაქტორებად. ჩვენ ვიღებთ:

(წილადი შემცირდა საერთო ფაქტორით a + b).

ახლა კი დაუბრუნდით § 1-ის მე-2 შენიშვნას. ხედავთ, ჩვენ საბოლოოდ შევძელით იქ მიცემული პირობის შესრულება.
გ) გვაქვს:

(მათ შეამცირეს წილადი მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო კოეფიციენტით, ანუ x-ით (x - y))

ასე რომ, ალგებრული წილადის შესამცირებლად, უპირველეს ყოვლისა, მისი მრიცხველი და მნიშვნელი უნდა დაახარისხოთ. ასე რომ, თქვენი წარმატება ამ ახალ წამოწყებაში (ალგებრული წილადების შემცირება) დიდწილად დამოკიდებულია იმაზე, თუ რამდენად კარგად აითვისეთ ამ თავის წინა აბზაცების მასალა.

A.V. Pogorelov, გეომეტრია 7-11 კლასებისთვის, სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის

თუ გაქვთ შესწორებები ან წინადადებები ეს გაკვეთილიმოგვწერეთ.

თუ გსურთ ნახოთ სხვა შესწორებები და წინადადებები გაკვეთილებზე, იხილეთ აქ - განათლების ფორუმი.

ალგებრული წილადების შემცირება: წესი, მაგალითები.

ვაგრძელებთ ალგებრული წილადების გარდაქმნის თემის შესწავლას. ამ სტატიაში ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ ალგებრული წილადების შემცირება. ჯერ გავარკვიოთ, რას გულისხმობს ტერმინი „ალგებრული წილადის შემცირება“ და გავარკვიოთ, არის თუ არა ალგებრული წილადი ყოველთვის შემცირებადი. შემდეგი, ჩვენ ვაძლევთ წესს, რომელიც საშუალებას გვაძლევს განვახორციელოთ ეს ტრანსფორმაცია. და ბოლოს, განიხილეთ გადაწყვეტილებები დამახასიათებელი მაგალითებირაც საშუალებას მოგცემთ გაიგოთ პროცესის ყველა დახვეწილობა.

გვერდის ნავიგაცია.

რას ნიშნავს ალგებრული წილადის შემცირება?

ჩვეულებრივი წილადების შესწავლისას ვისაუბრეთ მათ შემცირებაზე. ჩვეულებრივი წილადის შემცირებას ვუწოდეთ მისი მრიცხველისა და მნიშვნელის გაყოფა საერთო ფაქტორზე. მაგალითად, საერთო წილადი 30/54 შეიძლება შემცირდეს 6-ით (ანუ გავყოთ 6-ზე მისი მრიცხველი და მნიშვნელი), რაც მიგვიყვანს წილად 5/9-მდე.

ალგებრული წილადის შემცირება გაგებულია, როგორც მსგავსი მოქმედება. ალგებრული წილადის შემცირებაარის მისი მრიცხველის და მნიშვნელის გაყოფა საერთო ფაქტორზე. მაგრამ თუ ჩვეულებრივი წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო კოეფიციენტი შეიძლება იყოს მხოლოდ რიცხვი, მაშინ ალგებრული წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო კოეფიციენტი შეიძლება იყოს პოლინომი, კერძოდ, მონომი ან რიცხვი.

მაგალითად, ალგებრული წილადი შეიძლება შემცირდეს 3-ით წილადის მისაცემად . ასევე შესაძლებელია x ცვლადზე შემცირება, რაც გამოიწვევს გამოხატულებას . თავდაპირველი ალგებრული წილადი შეიძლება შემცირდეს მონომიით 3 x, ასევე ნებისმიერი მრავალწევრით x+2 y, 3 x+6 y, x 2 +2 x y ან 3 x 2 +6 x y .

საბოლოო მიზანიალგებრული წილადის შემცირება შედგება მარტივი ფორმის, საუკეთესო შემთხვევაში, შეუქცევადი წილადის წილადის მიღებაში.

რაიმე ალგებრული წილადი ექვემდებარება შემცირებას?

ჩვენ ვიცით, რომ ჩვეულებრივი წილადები იყოფა შემცირებად და შეუქცევად წილადებად. შეუქცევადი წილადებიმრიცხველში და მნიშვნელში ერთიანობის გარდა არ აქვთ საერთო ფაქტორები, შესაბამისად, ისინი არ ექვემდებარება შემცირებას.

ალგებრულ წილადებს შეიძლება ჰქონდეთ ან არ ჰქონდეთ საერთო მრიცხველი და მნიშვნელი ფაქტორები. საერთო ფაქტორების არსებობისას შესაძლებელია ალგებრული წილადის შემცირება. თუ არ არსებობს საერთო ფაქტორები, მაშინ შეუძლებელია ალგებრული წილადის გამარტივება მისი შემცირების გზით.

AT ზოგადი შემთხვევა on გარეგნობაალგებრული წილადი, საკმაოდ რთულია იმის დადგენა, შესაძლებელია თუ არა მისი შემცირება. ეჭვგარეშეა, ზოგ შემთხვევაში აშკარაა მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო ფაქტორები. მაგალითად, აშკარად ჩანს, რომ ალგებრული წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელს აქვს საერთო კოეფიციენტი 3. ასევე ადვილი მისახვედრია, რომ ალგებრული წილადი შეიძლება შემცირდეს x-ით, y-ით ან დაუყოვნებლივ x·y-ით. მაგრამ ბევრად უფრო ხშირად, ალგებრული წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო ფაქტორი დაუყოვნებლივ არ ჩანს და უფრო ხშირად ის უბრალოდ არ არსებობს. მაგალითად, წილადი შეიძლება შემცირდეს x−1-ით, მაგრამ ეს საერთო ფაქტორი აშკარად არ არის აღნიშვნაში. და ალგებრული წილადი არ შეიძლება შემცირდეს, რადგან მის მრიცხველსა და მნიშვნელს არ აქვთ საერთო ფაქტორები.

ზოგადად, ალგებრული წილადის შეკუმშვის საკითხი ძალიან რთულია. და ზოგჯერ უფრო ადვილია პრობლემის გადაჭრა ალგებრული წილადის თავდაპირველი ფორმით მუშაობის გზით, ვიდრე იმის გარკვევა, შეიძლება თუ არა ეს წილადის წინასწარ შემცირება. მაგრამ მაინც, არის გარდაქმნები, რომლებიც ზოგიერთ შემთხვევაში საშუალებას იძლევა, შედარებით მცირე ძალისხმევით, იპოვოთ მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო ფაქტორები, ასეთის არსებობის შემთხვევაში, ან დავასკვნათ, რომ საწყისი ალგებრული წილადი შეუქცევადია. ეს ინფორმაცია გამოქვეყნდება შემდეგ პუნქტში.

ალგებრული წილადის შემცირების წესი

წინა აბზაცების ინფორმაცია საშუალებას გაძლევთ ბუნებრივად აღიქვათ შემდეგი ალგებრული წილადის შემცირების წესი, რომელიც შედგება ორი ეტაპისგან:

პირველი, ნაპოვნია საწყისი წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო ფაქტორები;
ასეთის არსებობის შემთხვევაში, მაშინ ხდება ამ ფაქტორების შემცირება.

გამოცხადებული წესის ეს ნაბიჯები დაზუსტებას საჭიროებს.

უმეტესობა მოსახერხებელი გზასაერთოს პოვნა შედგება ორიგინალური ალგებრული წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელში მრავალწევრების ფაქტორინგში. ამ შემთხვევაში მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო ფაქტორები მაშინვე ხილული ხდება, ან ცხადი ხდება, რომ საერთო ფაქტორები არ არსებობს.

თუ არ არსებობს საერთო ფაქტორები, მაშინ შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ალგებრული წილადი შეუქცევადია. თუ საერთო ფაქტორები იქნა ნაპოვნი, მაშინ მეორე ეტაპზე ისინი მცირდება. შედეგი არის უფრო მარტივი ფორმის ახალი ფრაქცია.

ალგებრული წილადების შემცირების წესი ემყარება ალგებრული წილადის ძირითად თვისებას, რომელიც გამოიხატება ტოლობით, სადაც a , b და c არის რამდენიმე მრავალწევრი, ხოლო b და c არ არის ნულოვანი. პირველ საფეხურზე თავდაპირველი ალგებრული წილადი მცირდება ფორმამდე, საიდანაც ჩანს საერთო ფაქტორი c, ხოლო მეორე საფეხურზე ხდება შემცირება - გადასვლა წილადზე.

მოდით გადავიდეთ მაგალითების გამოყენებით გადაჭრაზე ეს წესი. მათზე ჩვენ გავაანალიზებთ ყველა შესაძლო ნიუანსს, რომელიც წარმოიქმნება ალგებრული წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის ფაქტორებად დაშლისა და შემდგომი შემცირებისას.

ტიპიური მაგალითები

ჯერ უნდა თქვათ ალგებრული წილადების შემცირებაზე, რომელთა მრიცხველი და მნიშვნელი ერთი და იგივეა. ასეთი წილადები იდენტურად უდრის ერთს მასში შემავალი ცვლადების მთელ ODZ-ზე, მაგალითად,
და ა.შ.

ახლა არ მტკივა იმის გახსენება, თუ როგორ ხდება ჩვეულებრივი წილადების შემცირება - ისინი ხომ ალგებრული წილადების განსაკუთრებული შემთხვევაა. ჩვეულებრივი წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელში ნატურალური რიცხვები იყოფა მარტივ ფაქტორებად, რის შემდეგაც საერთო ფაქტორები მცირდება (ასეთის არსებობის შემთხვევაში). Მაგალითად, . იდენტური უბრალო ფაქტორების ნამრავლი შეიძლება დაიწეროს სიმძლავრეების სახით, ხოლო შემცირებისას შეიძლება გამოყენებულ იქნეს იგივე ფუძეებით ძალაუფლების გამყოფი თვისება. ამ შემთხვევაში გამოსავალი ასე გამოიყურება: , აქ მრიცხველი და მნიშვნელი გავყავით საერთო კოეფიციენტზე 2 2 3 . ან მეტი სიცხადისთვის, გამრავლებისა და გაყოფის თვისებებზე დაყრდნობით, გამოსავალი წარმოდგენილია სახით.

აბსოლუტურად მსგავსი პრინციპებით ხორციელდება ალგებრული წილადების შემცირება, რომელთა მრიცხველსა და მნიშვნელში არის მონომები მთელი რიცხვითი კოეფიციენტებით.

ალგებრული წილადის შემცირება .

თქვენ შეგიძლიათ წარმოადგინოთ ორიგინალური ალგებრული წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი, როგორც მარტივი ფაქტორების და ცვლადების ნამრავლი, შემდეგ კი განახორციელოთ შემცირება:

მაგრამ უფრო რაციონალურია ამოხსნის დაწერა, როგორც გამოხატვის ძალა:

რაც შეეხება ალგებრული წილადების შემცირებას, რომლებსაც აქვთ წილადი რიცხვითი კოეფიციენტები მრიცხველში და მნიშვნელში, შეგიძლიათ გააკეთოთ ორი რამ: ან ცალ-ცალკე გაყოთ ეს წილადი კოეფიციენტები, ან ჯერ გაათავისუფლოთ წილადი კოეფიციენტები მრიცხველისა და მნიშვნელის გამრავლებით ბუნებრივ რიცხვზე. ჩვენ ვისაუბრეთ სტატიაში ბოლო ტრანსფორმაციის შესახებ, ალგებრული წილადის ახალ მნიშვნელზე მიყვანა, ის შეიძლება განხორციელდეს ალგებრული წილადის ძირითადი თვისების გამო. მოდით გავუმკლავდეთ ამას მაგალითით.

შეასრულეთ წილადის შემცირება.

თქვენ შეგიძლიათ შეამციროთ წილადი შემდეგნაირად: .

თქვენ შეგიძლიათ თავიდან აიცილოთ წილადი კოეფიციენტები მრიცხველისა და მნიშვნელის გამრავლებით ამ კოეფიციენტების მნიშვნელების უმცირეს საერთო ჯერადზე, ანუ LCM(5, 10)=10-ზე. ამ შემთხვევაში გვაქვს .

შეგიძლიათ გადახვიდეთ ზოგადი ფორმის ალგებრულ წილადებზე, რომლებშიც მრიცხველი და მნიშვნელი შეიძლება შეიცავდეს როგორც რიცხვებს, ასევე მონომებს, ასევე მრავალწევრებს.

ასეთი წილადების შემცირებისას მთავარი პრობლემა ის არის, რომ მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო ფაქტორი ყოველთვის არ ჩანს. უფრო მეტიც, ის ყოველთვის არ არსებობს. იმისათვის, რომ იპოვოთ საერთო ფაქტორი ან დარწმუნდეთ, რომ ის არ არსებობს, საჭიროა ალგებრული წილადის მრიცხველის და მნიშვნელის ფაქტორიზაცია.

შემცირება რაციონალური წილადი .

ამისათვის ჩვენ ვამრავლებთ მრავალწევრებს მრიცხველსა და მნიშვნელში. დავიწყოთ ფრჩხილებით: . ცხადია, ფრჩხილებში გამოსახულებები შეიძლება გარდაიქმნას მოკლე გამრავლების ფორმულების გამოყენებით: . ახლა ნათლად ჩანს, რომ შესაძლებელია წილადის შემცირება საერთო ფაქტორით b 2 ·(a+7) . Მოდი გავაკეთოთ ეს .

მოკლე ამონახსნები ახსნის გარეშე ჩვეულებრივ იწერება, როგორც თანასწორობის ჯაჭვი:

ზოგჯერ საერთო მამრავლები შეიძლება დამალული იყოს რიცხვითი კოეფიციენტებით. ამიტომ რაციონალური წილადების შემცირებისას მიზანშეწონილია რიცხვითი ფაქტორები მრიცხველისა და მნიშვნელის უფრო მაღალ სიმძლავრეებზე ფრჩხილებიდან გამოვიტანოთ.

შეამცირეთ წილადი , თუ შესაძლებელია.

ერთი შეხედვით, მრიცხველსა და მნიშვნელს არ აქვთ საერთო ფაქტორი. მაგრამ მაინც, ვცადოთ გარკვეული ტრანსფორმაციების განხორციელება. პირველ რიგში, შეგიძლიათ მრიცხველში ჩასვათ x ფაქტორი: .

ახლა არის გარკვეული მსგავსება ფრჩხილებში გამოსახულებასა და მნიშვნელში x 2 ·y გამოსახულებას შორის. ავიღოთ რიცხვითი კოეფიციენტები ამ მრავალწევრების უფრო მაღალი ხარისხებით:

შესრულებული გარდაქმნების შემდეგ ჩანს საერთო ფაქტორი, რომლითაც ვახორციელებთ შემცირებას. Ჩვენ გვაქვს

რაციონალური წილადების შემცირების შესახებ საუბრის დასასრულს აღვნიშნავთ, რომ წარმატება დიდწილად დამოკიდებულია მრავალწევრების ფაქტორიზაციის უნარზე.

www.cleverstudents.ru

Მათემატიკა

ნავიგაციის ზოლი

ალგებრული წილადების შემცირება

ზემოაღნიშნული თვისებიდან გამომდინარე, ჩვენ შეგვიძლია გავამარტივოთ ალგებრული წილადები ისევე, როგორც ვაკეთებთ არითმეტიკული წილადებიმათი შემოკლებით.

წილადების შემცირება არის ის, რომ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი იყოფა იმავე რიცხვზე.

თუ ალგებრული წილადი ერთწლიანია, მაშინ მრიცხველი და მნიშვნელი წარმოდგენილია რამდენიმე ფაქტორის ნამრავლად და მაშინვე ნათელია, რომელი იგივე ნომრებიშეგიძლიათ გამოყოთ ისინი:

იგივე წილადის დაწერა შეგვიძლია უფრო დეტალურად:. ჩვენ ვხედავთ, რომ თქვენ შეგიძლიათ თანმიმდევრულად გაყოთ მრიცხველიც და მნიშვნელიც 4-ჯერ a-ზე, ანუ, საბოლოოდ, თითოეული მათგანი გაყოთ 4-ზე. Ამიტომაც ; ასევე და ა.შ. ასე რომ, თუ მრიცხველში და მნიშვნელში არის ფაქტორები სხვადასხვა ხარისხითიგივე ასო, მაშინ შეგიძლიათ შეამციროთ ეს წილადი ამ ასოს უფრო მცირე ხარისხზე.

თუ წილადი მრავალწევრია, მაშინ ეს მრავალწევრები ჯერ უნდა დაიშალოს, თუ ეს შესაძლებელია, ფაქტორებად, შემდეგ კი შესაძლებელი იქნება იმის დანახვა, თუ რა იდენტური ფაქტორებით შეიძლება დაიყოს მრიცხველიც და მნიშვნელიც.

…. მრიცხველი ადვილად ფაქტორდება "ფორმულის მიხედვით" - ეს არის ორი რიცხვის სხვაობის კვადრატი, კერძოდ (x - 3) 2 . მნიშვნელი არ შეესაბამება ფორმულებს და უნდა დაიშალა გამოყენებული ტექნიკით კვადრატული ტრინომიალი: იპოვეთ 2 რიცხვი ისე, რომ მათი ჯამი იყოს -1 და ნამრავლი = -6, - ეს რიცხვებია -3 და + 2; შემდეგ x 2 - x - 6 \u003d x 2 - 3x + 2x - 6 \u003d x (x - 3) + 2 (x - 3) \u003d (x - 3) (x + 2).

პოპულარული:

მოკლე წესებიჭადრაკის თამაშები საჭადრაკო დაფა და შენიშვნა ჭადრაკი არის თამაში ორისთვის. ერთი მოთამაშე (თეთრი) იყენებს ფიგურებს თეთრი ფერი, ხოლო მეორე მოთამაშე (შავი) ჩვეულებრივ თამაშობს შავი ფიგურებით. დაფა დაყოფილია 64 პატარა […]
გამონათქვამების გამარტივება შეკრების, გამოკლების, გამრავლებისა და გაყოფის თვისებები სასარგებლოა, რადგან ისინი საშუალებას გაძლევთ გადაიყვანოთ ჯამები და პროდუქტები გამოსათვლელად მოსახერხებელ გამონათქვამებად. მოდით ვისწავლოთ როგორ გამოვიყენოთ ეს თვისებები გამარტივებისთვის […]
ინერციის წესი დინამიკა არის მექანიკის ფილიალი, რომელიც სწავლობს სხეულების მოძრაობას მათზე მიმართული ძალების მოქმედებით. ბიომექანიკა ასევე ითვალისწინებს ურთიერთქმედებას ადამიანის სხეულსა და გარე გარემოსხეულის ბმულებს შორის, […]
ასოები e (e), o სიტყვების შემდეგ, რომლებიც ხმიან ძირში. წესი და მაგალითები ჩვენ ვირჩევთ ასოების „ე“ (ё) ან „ო“ მართლწერას სიტყვების ძირში ჩირქის შემდეგ, რუსული მართლწერის შესაბამისი წესის გამოყენებით. ვნახოთ, როგორ […]
მექანიკური და ელექტრომაგნიტური რხევები 4. რხევები და ტალღები 1. ჰარმონიული ვიბრაციები s-ის მნიშვნელობები აღწერილია განტოლებით s = 0,02 cos (6πt + π/3), m განსაზღვრეთ: 1) რხევების ამპლიტუდა; 2) ციკლური სიხშირე; 3) სიხშირე […]
ოსტვალდის განზავების კანონი 4.6 ოსტვალდის განზავების კანონი დისოციაციის ხარისხი (αdis) და დისოციაციის მუდმივი (Kdis) სუსტი ელექტროლიტირაოდენობრივად არიან დაკავშირებული. მოდით გამოვიტანოთ ამ კავშირის განტოლება სუსტი […]
რუსეთის ფედერაციის თავდაცვის სამინისტროს 2002 წლის №365 ბრძანების ფორმულირება და შინაარსი ეს ბრძანება შეიცავს ინფორმაციას შვებულების დამატებითი დღეების უფლების შესახებ, დამოკიდებულია სხვადასხვა პირობებიდა მომსახურების ასპექტები. ეს ბრძანება დუმს […]
დააწესოს დისციპლინური ქმედებაუფლება აქვთ თავი 3. დისციპლინური სახდელი მეთაურების (უფროსების) უფლებები დააწესონ დისციპლინური სანქციები ორდერის ოფიცრებსა და მათ დაქვემდებარებულ შუამავლებზე 63. ოცეულის (ჯგუფის) მეთაური და [...]

წილადების შემცირება აუცილებელია იმისათვის, რომ წილადი უფრო მარტივ ფორმამდე მივიყვანოთ, მაგალითად, გამოსახულების ამოხსნის შედეგად მიღებულ პასუხში.

წილადების შემცირება, განსაზღვრება და ფორმულა.

რა არის წილადის შემცირება? რას ნიშნავს წილადის შემცირება?

განმარტება:
ფრაქციების შემცირებაარის მრიცხველისა და მნიშვნელის დაყოფა იმავე წილადზე დადებითი რიცხვიარა ნულიდა ერთეული. შემცირების შედეგად მიიღება წილადი უფრო მცირე მრიცხველით და მნიშვნელით, ტოლი წინა წილადის მიხედვით.

ფრაქციების შემცირების ფორმულაძირითადი ქონება რაციონალური რიცხვი.

\(\frac(p \ჯერ n)(q \ჯერ n)=\frac(p)(q)\)

განვიხილოთ მაგალითი:
წილადის შემცირება \(\frac(9)(15)\)

გამოსავალი:
ჩვენ შეგვიძლია წილადის გამრავლება პირველ ფაქტორებად და შევამციროთ საერთო ფაქტორები.

\(\frac(9)(15)=\frac(3 \ჯერ 3)(5 \ჯერ 3)=\frac(3)(5) \ჯერ \color(წითელი) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \ჯერ 1=\frac(3)(5)\)

პასუხი: შემცირების შემდეგ მივიღეთ წილადი \(\frac(3)(5)\). რაციონალური რიცხვების ძირითადი თვისების მიხედვით, საწყისი და მიღებული წილადები ტოლია.

\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)

როგორ შევამციროთ წილადები? წილადის შემცირება შეუქცევად ფორმამდე.

იმისათვის, რომ შედეგად მივიღოთ შეუქცევადი წილადი, გვჭირდება იპოვეთ უდიდესი საერთო გამყოფი (gcd)წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელისთვის.

GCD-ის პოვნის რამდენიმე გზა არსებობს, ჩვენ მაგალითში გამოვიყენებთ რიცხვების მარტივ ფაქტორებად დაშლას.

მიიღეთ შეუქცევადი წილადი \(\frac(48)(136)\).

გამოსავალი:
იპოვეთ GCD(48, 136). 48 და 136 რიცხვები ჩავწეროთ მარტივ ფაქტორებად.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
GCD(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(48)(136)=\frac(\color(წითელი) (2 \ჯერ 2 \ჯერ 2) \ჯერ 2 \ჯერ 3)(\color(წითელი) (2 \ჯერ 2 \ჯერ 2) \ჯერ 17)=\frac(\color(წითელი) (6) \ჯერ 2 \ჯერ 3)(\color(წითელი) (6) \ჯერ 17)=\frac(2 \ჯერ 3)(17)=\ ფრაკი(6)(17)\)

წილადის შეუქცევად ფორმამდე დაყვანის წესი.

იპოვნეთ მრიცხველისა და მნიშვნელის უდიდესი საერთო გამყოფი.
თქვენ უნდა გაყოთ მრიცხველი და მნიშვნელი უდიდეს საერთო გამყოფზე გაყოფის შედეგად, რომ მიიღოთ შეუქცევადი წილადი.

მაგალითი:
შეამცირეთ წილადი \(\frac(152)(168)\).

გამოსავალი:
იპოვეთ GCD(152, 168). 152 და 168 რიცხვები ჩავწეროთ მარტივ ფაქტორებად.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
gcd(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(152)(168)=\frac(\color(წითელი) (6) \ჯერ 19)(\color(წითელი) (6) \ჯერ 21)=\frac(19)(21)\)

პასუხი: \(\frac(19)(21)\) არის შეუქცევადი წილადი.

არასწორი წილადის აბრევიატურა.

როგორ დავჭრათ არასწორი ფრაქცია?
სწორი და არასწორი წილადებისთვის წილადების შემცირების წესები იგივეა.

განვიხილოთ მაგალითი:
შეამცირეთ არასწორი წილადი \(\frac(44)(32)\).

გამოსავალი:
მოდით ჩავწეროთ მრიცხველი და მნიშვნელი მარტივ ფაქტორებში. შემდეგ კი ჩვენ ვამცირებთ საერთო ფაქტორებს.

\(\frac(44)(32)=\frac(\color(წითელი) (2 \ჯერ 2) \ჯერ 11)(\color(წითელი) (2 \ჯერ 2) \ჯერ 2 \ჯერ 2 \ჯერ 2 )=\frac(11)(2 \ჯერ 2 \ჯერ 2)=\frac(11)(8)\)

შერეული ფრაქციების შემცირება.

შერეული წილადები იგივე წესებს იცავენ, როგორც ჩვეულებრივი წილადები. ერთადერთი განსხვავება ისაა, რომ ჩვენ შეგვიძლია არ შეეხოთ მთელ ნაწილს, მაგრამ შეამცირეთ წილადი ნაწილიან შერეული ფრაქციაგადაიყვანეთ არასწორ წილადად, შეამცირეთ და გადაიყვანეთ უკან სათანადო წილადად.

განვიხილოთ მაგალითი:
შეამცირეთ შერეული ფრაქცია \(2\frac(30)(45)\).

გამოსავალი:
მოვაგვაროთ ორი გზით:
პირველი გზა:
წილადის ნაწილს ჩავწერთ მარტივ ფაქტორებად და არ შევეხებით მთელ ნაწილს.

\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \ჯერ \ფერი (წითელი) (5 \ჯერ 3))(3 \ჯერ \ფერი (წითელი) (5 \ჯერ 3))=2\ ფრაკი (2) (3)\)

მეორე გზა:
ჯერ ვთარგმნით არასწორ წილადად, შემდეგ კი ვწერთ პირველ ფაქტორებად და ვამცირებთ. მიღებული არასწორი წილადი გადააკეთეთ სწორ წილადში.

\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \ჯერ 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \ჯერ \ფერი (წითელი) (5 \ჯერ 3) \ჯერ 2 \ჯერ 2)(3 \ჯერ \ფერი (წითელი) (3 \ჯერ 5))=\frac(2 \ჯერ 2 \ჯერ 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)

დაკავშირებული კითხვები:
შეიძლება თუ არა წილადების შემცირება შეკრების ან გამოკლებისას?
პასუხი: არა, ჯერ წესების მიხედვით უნდა დაამატოთ ან გამოკლოთ წილადები და მხოლოდ ამის შემდეგ შეამციროთ. განვიხილოთ მაგალითი:

შეაფასეთ გამოთქმა \(\frac(50+20-10)(20)\) .

გამოსავალი:
ისინი ხშირად უშვებენ შეცდომას, რომ ამცირებენ მრიცხველსა და მნიშვნელში ერთსა და იმავე რიცხვებს ჩვენს შემთხვევაში, რიცხვში 20, მაგრამ მათი შემცირება შეუძლებელია მანამ, სანამ არ შეასრულებთ შეკრებას და გამოკლებას.

\(\frac(50+\color(წითელი) (20)-10)(\color(წითელი) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \ჯერ 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)

რა რიცხვით შეიძლება წილადის შემცირება?
პასუხი: შეგიძლიათ წილადის შემცირება უდიდესი საერთო გამყოფით ან მრიცხველისა და მნიშვნელის ჩვეულებრივი გამყოფით. მაგალითად, წილადი \(\frac(100)(150)\).

100 და 150 რიცხვები ჩავწეროთ მარტივ ფაქტორებად.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი იქნება რიცხვი gcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \ჯერ 50)(3 \ჯერ 50)=\frac(2)(3)\)

მივიღეთ შეუქცევადი წილადი \(\frac(2)(3)\).

მაგრამ არ არის აუცილებელი ყოველთვის გავყოთ GCD-ზე, შეუქცევადი წილადი ყოველთვის არ არის საჭირო, შეგიძლიათ წილადის შემცირება მრიცხველისა და მნიშვნელის მარტივი გამყოფით. მაგალითად, 100 და 150 რიცხვს აქვთ საერთო გამყოფი 2. წილადი \(\frac(100)(150)\) შევამციროთ 2-ით.

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \ჯერ 50)(2 \ჯერ 75)=\frac(50)(75)\)

მივიღეთ შემცირებული წილადი \(\frac(50)(75)\).

რა წილადები შეიძლება შემცირდეს?
პასუხი: შეგიძლიათ შეამციროთ წილადები, რომლებშიც მრიცხველსა და მნიშვნელს აქვთ საერთო გამყოფი. მაგალითად, წილადი \(\frac(4)(8)\). რიცხვ 4-ს და 8-ს აქვს რიცხვი, რომლითაც ორივე იყოფა ამ რიცხვზე 2. ამიტომ, ასეთი წილადი შეიძლება შემცირდეს 2-ით.

მაგალითი:
შეადარეთ ორი წილადი \(\frac(2)(3)\) და \(\frac(8)(12)\).

ეს ორი წილადი ტოლია. განვიხილოთ წილადი \(\frac(8)(12)\) დეტალურად:

\(\frac(8)(12)=\frac(2 \ჯერ 4)(3 \ჯერ 4)=\frac(2)(3) \ჯერ \frac(4)(4)=\frac(2) (3) \ჯერ 1=\frac(2)(3)\)

აქედან ვიღებთ \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)

ორი წილადი ტოლია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ერთი მათგანი მიიღება მეორე წილადის შემცირებით მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო კოეფიციენტით.

მაგალითი:
შეამცირეთ შემდეგი წილადები, თუ ეს შესაძლებელია: ა) \(\frac(90)(65)\) ბ) \(\frac(27)(63)\) გ) \(\frac(17)(100)\) d ) \(\frac(100)(250)\)

გამოსავალი:
ა) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \ჯერ \ფერი (წითელი) (5) \ჯერ 3 \ჯერ 3)(\color(წითელი) (5) \ჯერ 13)=\frac (2 \ჯერ 3 \ჯერ 3)(13)=\frac(18)(13)\)
ბ) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(წითელი) (3 \ჯერ 3) \ჯერ 3)(\color(წითელი) (3 \ჯერ 3) \ჯერ 7)=\frac (3)(7)\)
გ) \(\frac(17)(100)\) შეუქცევადი წილადი
დ) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(წითელი) (2 \ჯერ 5 \ჯერ 5) \ჯერ 2)(\color(წითელი) (2 \ჯერ 5 \ჯერ 5) \ ჯერ 5)=\frac(2)(5)\)

ამ სტატიაში ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ ალგებრული წილადების შემცირება. ჯერ გავარკვიოთ, რას გულისხმობს ტერმინი „ალგებრული წილადის შემცირება“ და გავარკვიოთ, არის თუ არა ალგებრული წილადი ყოველთვის შემცირებადი. შემდეგი, ჩვენ ვაძლევთ წესს, რომელიც საშუალებას გვაძლევს განვახორციელოთ ეს ტრანსფორმაცია. და ბოლოს, განიხილეთ ტიპიური მაგალითების გადაწყვეტილებები, რომლებიც შესაძლებელს გახდის პროცესის ყველა დახვეწილობის გაგებას.

გვერდის ნავიგაცია.

რას ნიშნავს ალგებრული წილადის შემცირება?

სწავლისას ვისაუბრეთ მათ შემცირებაზე. მისი მრიცხველისა და მნიშვნელის გაყოფა საერთო ფაქტორზე ვუწოდეთ. მაგალითად, საერთო წილადი 30/54 შეიძლება შემცირდეს 6-ით (ანუ გავყოთ 6-ზე მისი მრიცხველი და მნიშვნელი), რაც მიგვიყვანს წილად 5/9-მდე.

მაგალითად, ალგებრული წილადი შეიძლება შემცირდეს 3-ით, რომელიც იძლევა წილადს . ასევე შესაძლებელია x ცვლადზე შემცირება, რაც გამოიწვევს გამოხატულებას . თავდაპირველი ალგებრული წილადი შეიძლება შემცირდეს მონომიით 3 x, ასევე ნებისმიერი მრავალწევრით x+2 y, 3 x+6 y, x 2 +2 x y ან 3 x 2 +6 x y .

ალგებრული წილადის შემცირების საბოლოო მიზანი არის უფრო მარტივი ფორმის, საუკეთესო შემთხვევაში, შეუქცევადი წილადის მიღება.

რაიმე ალგებრული წილადი ექვემდებარება შემცირებას?

ჩვენ ვიცით, რომ ჩვეულებრივი წილადები იყოფა . შეუქცევად წილადებს არ აქვთ საერთო ფაქტორები, გარდა ერთიანობისა მრიცხველში და მნიშვნელში, ამიტომ მათი შემცირება შეუძლებელია.

ზოგადად, ალგებრული წილადის გამოჩენით, საკმაოდ რთულია იმის დადგენა, შესაძლებელია თუ არა მისი შემცირება. ეჭვგარეშეა, ზოგ შემთხვევაში აშკარაა მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო ფაქტორები. მაგალითად, აშკარად ჩანს, რომ ალგებრული წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელს აქვს საერთო კოეფიციენტი 3. ასევე ადვილი მისახვედრია, რომ ალგებრული წილადი შეიძლება შემცირდეს x-ით, y-ით ან დაუყოვნებლივ x·y-ით. მაგრამ ბევრად უფრო ხშირად, ალგებრული წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო ფაქტორი დაუყოვნებლივ არ ჩანს და უფრო ხშირად, ის უბრალოდ არ არსებობს. მაგალითად, წილადი შეიძლება შემცირდეს x−1-ით, მაგრამ ეს საერთო ფაქტორი აშკარად არ არის აღნიშვნაში. და ალგებრული წილადი არ შეიძლება შემცირდეს, რადგან მის მრიცხველსა და მნიშვნელს არ აქვთ საერთო ფაქტორები.

ალგებრული წილადის შემცირების წესი

პირველი, ნაპოვნია საწყისი წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო ფაქტორები;
ასეთის არსებობის შემთხვევაში, მაშინ ხდება ამ ფაქტორების შემცირება.

გამოცხადებული წესის ეს ნაბიჯები დაზუსტებას საჭიროებს.

ყველაზე მოსახერხებელი გზა საერთოთა საპოვნელად არის მრავალწევრების ფაქტორიზირება, რომლებიც თავდაპირველი ალგებრული წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელშია. ამ შემთხვევაში მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო ფაქტორები მაშინვე ხილული ხდება, ან ცხადი ხდება, რომ საერთო ფაქტორები არ არსებობს.

მოდით გადავიდეთ მაგალითების ამოხსნაზე ამ წესის გამოყენებით. მათზე ჩვენ გავაანალიზებთ ყველა შესაძლო ნიუანსს, რომელიც წარმოიქმნება ალგებრული წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის ფაქტორებად დაშლისა და შემდგომი შემცირებისას.

ტიპიური მაგალითები

ახლა არ მტკივა იმის გახსენება, თუ როგორ ხდება ჩვეულებრივი წილადების შემცირება - ისინი ხომ ალგებრული წილადების განსაკუთრებული შემთხვევაა. ნატურალური რიცხვები ჩვეულებრივი წილადის მრიცხველში და მნიშვნელში, რის შემდეგაც მცირდება საერთო ფაქტორები (ასეთის არსებობის შემთხვევაში). Მაგალითად, . იდენტური ძირითადი ფაქტორების ნამრავლი შეიძლება დაიწეროს გრადუსების სახით, ხოლო შემცირების შემთხვევაში, გამოყენება. ამ შემთხვევაში გამოსავალი ასე გამოიყურება: , აქ მრიცხველი და მნიშვნელი გავყავით საერთო კოეფიციენტზე 2 2 3 . ან მეტი სიცხადისთვის, გამრავლებისა და გაყოფის თვისებებზე დაყრდნობით, გამოსავალი წარმოდგენილია სახით.

მაგალითი.

ალგებრული წილადის შემცირება .

გამოსავალი.

მაგრამ უფრო რაციონალურია ამოხსნის დაწერა, როგორც გამოხატვის ძალა:

პასუხი:

რაც შეეხება ალგებრული წილადების შემცირებას, რომლებსაც აქვთ წილადი რიცხვითი კოეფიციენტები მრიცხველში და მნიშვნელში, შეგიძლიათ გააკეთოთ ორი რამ: ან ცალ-ცალკე გაყოთ ეს წილადი კოეფიციენტები, ან ჯერ გაათავისუფლოთ წილადი კოეფიციენტები მრიცხველისა და მნიშვნელის გამრავლებით ბუნებრივ რიცხვზე. ჩვენ ვისაუბრეთ ბოლო ტრანსფორმაციის შესახებ სტატიაში, რომელიც ალგებრულ წილადს ახალ მნიშვნელამდე მიჰყავს, ის შეიძლება განხორციელდეს ალგებრული წილადის ძირითადი თვისების გამო. მოდით გავუმკლავდეთ ამას მაგალითით.

მაგალითი.

შეასრულეთ წილადის შემცირება.

გამოსავალი.

თქვენ შეგიძლიათ შეამციროთ წილადი შემდეგნაირად: .

და წილადი კოეფიციენტებისგან თავის დაღწევა შესაძლებელი იყო ჯერ მრიცხველისა და მნიშვნელის ამ კოეფიციენტების მნიშვნელებზე, ანუ LCM(5, 10)=10-ზე გამრავლებით. ამ შემთხვევაში გვაქვს .

პასუხი:

მაგალითი.

რაციონალური წილადის შემცირება .

გამოსავალი.

ამისათვის ჩვენ ვამრავლებთ მრავალწევრებს მრიცხველსა და მნიშვნელში. დავიწყოთ ფრჩხილებით: . ცხადია, ფრჩხილებში ჩასმული გამონათქვამები შეიძლება გარდაიქმნას გამოყენებით

პორტალი სტუდენტისთვის. თვითმმართველობის ტრენინგი

ალგებრული წილადის შემოკლების მნიშვნელობა

ყველა ალგებრული წილადი ექვემდებარება შემცირებას?

ალგებრული წილადის შემცირების წესი

ტიპიური მაგალითები

ალგებრული წილადის შემცირება

არ შეიძლება გაჭრა

შეიძლება შემცირდეს

როგორ შევამციროთ წილადი მრავალწევრებით

არა სათანადოდ

წილადების შემცირებისას საერთო ფაქტორის ამოღება

წილადების შემცირება გამრავლების შემოკლებული ფორმულებით

2 კომენტარი

ალგებრული წილადების შემცირების წესი

ალგებრული წილადების შემცირება: წესი, მაგალითები.

რას ნიშნავს ალგებრული წილადის შემცირება?

რაიმე ალგებრული წილადი ექვემდებარება შემცირებას?

ალგებრული წილადის შემცირების წესი

ტიპიური მაგალითები

Მათემატიკა

ნავიგაციის ზოლი

ალგებრული წილადების შემცირება

პოპულარული:

წილადების შემცირება, განსაზღვრება და ფორმულა.

როგორ შევამციროთ წილადები? წილადის შემცირება შეუქცევად ფორმამდე.

წილადის შეუქცევად ფორმამდე დაყვანის წესი.

არასწორი წილადის აბრევიატურა.

შერეული ფრაქციების შემცირება.

რას ნიშნავს ალგებრული წილადის შემცირება?

რაიმე ალგებრული წილადი ექვემდებარება შემცირებას?

ალგებრული წილადის შემცირების წესი

ტიპიური მაგალითები

ᲓᲐᲙᲐᲕᲨᲘᲠᲔᲑᲣᲚᲘ ᲡᲢᲐᲢᲘᲔᲑᲘ