នរណាម្នាក់ចាត់ទុកពាក្យ "វឌ្ឍនភាព" ដោយប្រយ័ត្នប្រយែង ពាក្យស្មុគ្រស្មាញពីផ្នែក គណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាង. ទន្ទឹមនឹងនេះដែរការវិវត្តនព្វន្ធសាមញ្ញបំផុតគឺជាការងាររបស់បញ្ជរតាក់ស៊ី (កន្លែងដែលពួកគេនៅតែមាន) ។ ហើយទទួលបានចំណុចសំខាន់ (ហើយគ្មានអ្វីសំខាន់នៅក្នុងគណិតវិទ្យាជាង "ការទទួលបាន") លំដាប់នព្វន្ធវាមិនពិបាកទេនៅពេលដែលអ្នកយល់ពីគោលគំនិតជាមូលដ្ឋានមួយចំនួន។
លំដាប់លេខគណិតវិទ្យា
វាជាទម្លាប់ក្នុងការហៅលេខតាមលំដាប់លេខរៀងៗខ្លួន ដែលលេខនីមួយៗមានលេខរៀងៗខ្លួន។
និង 1 គឺជាសមាជិកដំបូងនៃលំដាប់;
និង 2 គឺជាសមាជិកទីពីរនៃលំដាប់;
និង 7 គឺជាសមាជិកទីប្រាំពីរនៃលំដាប់;
និង n គឺជាសមាជិកទី 9 នៃលំដាប់;
ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មិនមែនសំណុំតួលេខ និងលេខណាមួយដែលចាប់អារម្មណ៍យើងទេ។ យើងនឹងផ្តោតការយកចិត្តទុកដាក់របស់យើងលើលំដាប់លេខដែលតម្លៃនៃសមាជិកទី 9 ត្រូវបានទាក់ទងទៅនឹងលេខលំដាប់របស់វាដោយការពឹងផ្អែកដែលអាចបង្កើតបានយ៉ាងច្បាស់តាមគណិតវិទ្យា។ ក្នុងន័យផ្សេងទៀត: តម្លៃលេខលេខ n គឺជាមុខងារមួយចំនួននៃ n ។
a - តម្លៃនៃសមាជិកនៃលំដាប់លេខ;
n - របស់គាត់។ លេខសម្គាល់;
f(n) គឺជាអនុគមន៍មួយដែលលំដាប់លេខរៀង n គឺជាអាគុយម៉ង់។
និយមន័យ
ការវិវត្តនព្វន្ធជាធម្មតាត្រូវបានគេហៅថាលំដាប់លេខដែលពាក្យបន្តបន្ទាប់នីមួយៗធំជាង (តិចជាង) ជាងលេខមុនដោយចំនួនដូចគ្នា។ រូបមន្តសម្រាប់សមាជិកទី n នៃលំដាប់នព្វន្ធមានដូចខាងក្រោម៖
a n - តម្លៃនៃសមាជិកបច្ចុប្បន្ន វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ;
a n+1 - រូបមន្តនៃចំនួនបន្ទាប់;
ឃ - ភាពខុសគ្នា (ចំនួនជាក់លាក់) ។
វាងាយស្រួលក្នុងការកំណត់ថាប្រសិនបើភាពខុសគ្នាគឺវិជ្ជមាន (d>0) នោះសមាជិកបន្តបន្ទាប់នីមួយៗនៃស៊េរីដែលកំពុងពិចារណានឹងធំជាងលេខមុន ហើយការវិវត្តនព្វន្ធបែបនេះនឹងកើនឡើង។
នៅក្នុងក្រាហ្វខាងក្រោម វាងាយស្រួលមើលថាហេតុអ្វី លំដាប់លេខត្រូវបានគេហៅថា "ការកើនឡើង" ។
ក្នុងករណីដែលភាពខុសគ្នាគឺអវិជ្ជមាន (ឃ<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
តម្លៃនៃសមាជិកដែលបានបញ្ជាក់
ពេលខ្លះវាចាំបាច់ដើម្បីកំណត់តម្លៃនៃពាក្យបំពានមួយចំនួន a n នៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ។ អ្នកអាចធ្វើវាបានដោយការគណនាបន្តបន្ទាប់គ្នានូវតម្លៃនៃសមាជិកទាំងអស់នៃការរីកចម្រើននព្វន្ធចាប់ពីលេខមួយទៅលេខដែលអ្នកចង់បាន។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វិធីនេះមិនតែងតែអាចទទួលយកបានទេ ប្រសិនបើឧទាហរណ៍ ចាំបាច់ត្រូវស្វែងរកតម្លៃនៃពាក្យប្រាំពាន់ ឬប្រាំបីលាន។ ការគណនាបែបបុរាណនឹងចំណាយពេលយូរ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការវិវត្តនព្វន្ធជាក់លាក់មួយអាចត្រូវបានស៊ើបអង្កេតដោយប្រើរូបមន្តជាក់លាក់។ វាក៏មានរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 9 ផងដែរ៖ តម្លៃនៃសមាជិកណាមួយនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធអាចត្រូវបានកំណត់ថាជាផលបូកនៃសមាជិកដំបូងនៃវឌ្ឍនភាពជាមួយនឹងភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាព គុណនឹងចំនួនសមាជិកដែលចង់បាន ដកមួយ .
រូបមន្តមានលក្ខណៈជាសកលសម្រាប់ការបង្កើន និងបន្ថយការវិវត្ត។
ឧទាហរណ៍នៃការគណនាតម្លៃនៃសមាជិកដែលបានផ្តល់ឱ្យ
ចូរដោះស្រាយបញ្ហាខាងក្រោមនៃការស្វែងរកតម្លៃនៃសមាជិក n-th នៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ។
លក្ខខណ្ឌ៖ មានការវិវត្តនព្វន្ធជាមួយនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ៖
សមាជិកដំបូងនៃលំដាប់គឺ 3;
ភាពខុសគ្នានៃស៊េរីលេខគឺ 1.2 ។
កិច្ចការ៖ វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកតម្លៃនៃ 214 លក្ខខណ្ឌ
ដំណោះស្រាយ៖ ដើម្បីកំណត់តម្លៃនៃសមាជិកដែលបានផ្តល់ឱ្យ យើងប្រើរូបមន្ត៖
a(n) = a1 + d(n-1)
ការជំនួសទិន្នន័យពីសេចក្តីថ្លែងការណ៍បញ្ហាទៅក្នុងកន្សោម យើងមាន៖
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6
ចម្លើយ៖ សមាជិកទី ២១៤ នៃលំដាប់គឺស្មើនឹង ២៥៨.៦។
គុណសម្បត្តិនៃវិធីសាស្រ្តគណនានេះគឺជាក់ស្តែង - ដំណោះស្រាយទាំងមូលចំណាយពេលមិនលើសពី 2 បន្ទាត់។
ផលបូកនៃចំនួនសមាជិកដែលបានផ្តល់ឱ្យ
ជាញឹកញាប់ណាស់ នៅក្នុងស៊េរីនព្វន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីកំណត់ផលបូកនៃតម្លៃនៃផ្នែកមួយចំនួនរបស់វា។ វាក៏មិនចាំបាច់គណនាតម្លៃនៃពាក្យនីមួយៗ ហើយបន្ទាប់មកបូកសរុបវាដែរ។ វិធីសាស្រ្តនេះអាចអនុវត្តបាន ប្រសិនបើចំនួននៃពាក្យដែលផលបូកត្រូវតែត្រូវបានរកឃើញគឺតូច។ ក្នុងករណីផ្សេងទៀតវាកាន់តែងាយស្រួលប្រើរូបមន្តខាងក្រោម។
ផលបូកនៃសមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធពី 1 ដល់ n គឺស្មើនឹងផលបូកនៃសមាជិកទីមួយ និង n គុណនឹងចំនួនសមាជិក n ហើយចែកនឹងពីរ។ ប្រសិនបើនៅក្នុងរូបមន្តតម្លៃនៃសមាជិក n-th ត្រូវបានជំនួសដោយកន្សោមពីកថាខណ្ឌមុននៃអត្ថបទយើងទទួលបាន:
ឧទាហរណ៍នៃការគណនា
ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងដោះស្រាយបញ្ហាជាមួយលក្ខខណ្ឌខាងក្រោម៖
ពាក្យដំបូងនៃលំដាប់គឺសូន្យ;
ភាពខុសគ្នាគឺ 0.5 ។
នៅក្នុងបញ្ហាវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីកំណត់ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃស៊េរីពី 56 ទៅ 101 ។
ដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងប្រើរូបមន្តសម្រាប់កំណត់ផលបូកនៃវឌ្ឍនភាព៖
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
ដំបូងយើងកំណត់ផលបូកនៃតម្លៃនៃសមាជិក 101 នៃដំណើរការដោយជំនួសលក្ខខណ្ឌដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃបញ្ហារបស់យើងទៅក្នុងរូបមន្ត:
s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2 525
ជាក់ស្តែង ដើម្បីស្វែងយល់ពីផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃវឌ្ឍនភាពពីលេខ 56 ដល់ 101 វាចាំបាច់ត្រូវដក S 55 ចេញពី S 101 ។
s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5
ដូច្នេះផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធសម្រាប់ឧទាហរណ៍នេះគឺ៖
s 101 - s 55 \u003d 2,525 - 742.5 \u003d 1,782.5
ឧទាហរណ៍នៃការអនុវត្តជាក់ស្តែងនៃដំណើរការនព្វន្ធ
នៅចុងបញ្ចប់នៃអត្ថបទសូមត្រលប់ទៅឧទាហរណ៍នៃលំដាប់នព្វន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងកថាខណ្ឌទីមួយ - taximeter (ម៉ែត្រឡានតាក់ស៊ី) ។ ចូរយើងពិចារណាឧទាហរណ៍បែបនេះ។
ជិះតាក់ស៊ី (រួមទាំង 3 គីឡូម៉ែត្រ) មានតម្លៃ 50 រូប្លិ៍។ គីឡូម៉ែត្រជាបន្តបន្ទាប់នីមួយៗត្រូវបានបង់ក្នុងអត្រា 22 រូប្លិ / គីឡូម៉ែត្រ។ ចម្ងាយធ្វើដំណើរ 30 គីឡូម៉ែត្រ។ គណនាថ្លៃដើមនៃការធ្វើដំណើរ។
1. ចូរបោះចោល 3 គីឡូម៉ែត្រដំបូងតម្លៃដែលបានរួមបញ្ចូលក្នុងតម្លៃចុះចត។
30 - 3 = 27 គ។
2. ការគណនាបន្ថែមទៀតគឺគ្មានអ្វីក្រៅពីការញែកស៊េរីលេខនព្វន្ធនោះទេ។
លេខសមាជិកគឺជាចំនួនគីឡូម៉ែត្រដែលបានធ្វើដំណើរ (ដកបីដំបូង)។
តម្លៃនៃសមាជិកគឺជាផលបូក។
ពាក្យដំបូងក្នុងបញ្ហានេះនឹងស្មើនឹង 1 = 50 rubles ។
ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការ d = 22 ទំ។
ចំនួននៃការចាប់អារម្មណ៍ចំពោះយើងគឺជាតម្លៃនៃសមាជិកទី (27 + 1) នៃដំណើរការនព្វន្ធ - ការអានម៉ែត្រនៅចុងបញ្ចប់នៃគីឡូម៉ែត្រទី 27 គឺ 27.999 ... = 28 គីឡូម៉ែត្រ។
a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644
ការគណនាទិន្នន័យប្រតិទិនសម្រាប់រយៈពេលវែងតាមអំពើចិត្តគឺផ្អែកលើរូបមន្តដែលពិពណ៌នាអំពីលំដាប់លេខជាក់លាក់។ នៅក្នុងវិស័យតារាសាស្ត្រ ប្រវែងនៃគន្លងគឺតាមធរណីមាត្រអាស្រ័យលើចម្ងាយនៃរាងកាយសេឡេស្ទាលទៅ luminary ។ លើសពីនេះ ស៊េរីលេខផ្សេងៗត្រូវបានប្រើប្រាស់ដោយជោគជ័យក្នុងស្ថិតិ និងផ្នែកអនុវត្តផ្សេងទៀតនៃគណិតវិទ្យា។
ប្រភេទនៃលំដាប់លេខមួយទៀតគឺធរណីមាត្រ
វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយទំហំធំ បើប្រៀបធៀបជាមួយនឹងលេខនព្វន្ធ អត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរ។ វាមិនមែនជារឿងចៃដន្យទេដែលនៅក្នុងនយោបាយ សង្គមវិទ្យា វេជ្ជសាស្ត្រ ជាញឹកញាប់ដើម្បីបង្ហាញពីល្បឿនខ្ពស់នៃការរីករាលដាលនៃបាតុភូតជាក់លាក់មួយ ឧទាហរណ៍ ជំងឺអំឡុងពេលមានការរាតត្បាតមួយ ពួកគេនិយាយថាដំណើរការនេះវិវឌ្ឍជាលំដាប់។
សមាជិក N-th នៃស៊េរីលេខធរណីមាត្រខុសពីលេខមុន ដែលវាត្រូវបានគុណដោយចំនួនថេរមួយចំនួន - ភាគបែង ឧទាហរណ៍ សមាជិកទីមួយគឺ 1 ភាគបែងគឺ 2 រៀងគ្នា បន្ទាប់មក៖
n=1:1 ∙ 2 = 2
n=2:2 ∙ 2 = 4
n=3:4 ∙ 2 = 8
n=4:8 ∙ 2 = 16
n=5:16 ∙ 2 = 32,
b n - តម្លៃនៃសមាជិកបច្ចុប្បន្ននៃដំណើរការធរណីមាត្រ;
b n+1 - រូបមន្តនៃសមាជិកបន្ទាប់នៃដំណើរការធរណីមាត្រ;
q គឺជាភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ (ចំនួនថេរ)។
ប្រសិនបើក្រាហ្វនៃដំណើរការនព្វន្ធគឺជាបន្ទាត់ត្រង់ នោះធរណីមាត្រគូររូបភាពខុសគ្នាបន្តិច៖
ដូចនៅក្នុងករណីនព្វន្ធ ដំណើរការធរណីមាត្រមានរូបមន្តសម្រាប់តម្លៃនៃសមាជិកបំពាន។ ពាក្យ n-th នៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រគឺស្មើនឹងផលគុណនៃពាក្យទីមួយ ហើយភាគបែងនៃការវិវត្តទៅជាថាមពលនៃ n កាត់បន្ថយដោយមួយ:
ឧទាហរណ៍។ យើងមានការវិវឌ្ឍន៍ធរណីមាត្រដោយពាក្យទីមួយស្មើនឹង 3 និងភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពស្មើនឹង 1.5 ។ ស្វែងរកពាក្យទី 5 នៃវឌ្ឍនភាព
b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1.5 4 \u003d 15.1875
ផលបូកនៃចំនួនសមាជិកដែលបានផ្តល់ឱ្យក៏ត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្តពិសេសផងដែរ។ ផលបូកនៃសមាជិក n ដំបូងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រគឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នារវាងផលិតផលនៃសមាជិកទី n នៃវឌ្ឍនភាព និងភាគបែងរបស់វា និងសមាជិកទីមួយនៃវឌ្ឍនភាព ដែលបែងចែកដោយភាគបែងកាត់បន្ថយដោយមួយ:
ប្រសិនបើ b n ត្រូវបានជំនួសដោយប្រើរូបមន្តដែលបានពិភាក្សាខាងលើ តម្លៃនៃផលបូកនៃសមាជិក n ដំបូងនៃស៊េរីលេខដែលបានពិចារណានឹងមានទម្រង់៖
ឧទាហរណ៍។ ការវិវឌ្ឍន៍ធរណីមាត្រចាប់ផ្តើមដោយពាក្យទីមួយស្មើនឹង 1. ភាគបែងត្រូវបានកំណត់ស្មើនឹង 3. ចូរយើងស្វែងរកផលបូកនៃពាក្យប្រាំបីដំបូង។
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
បាទ/ចាស៎៖ វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធមិនមែនជារបស់លេងសម្រាប់អ្នកទេ :) ជាការប្រសើរណាស់ មិត្តភ័ក្តិ ប្រសិនបើអ្នកកំពុងអានអត្ថបទនេះ នោះភស្តុតាងខាងក្នុងប្រាប់ខ្ញុំថា អ្នកនៅតែមិនដឹងថាតើការវិវត្តនព្វន្ធជាអ្វីនោះទេ ប៉ុន្តែអ្នកពិតជា (អត់ទេ ដូចនេះ៖ SOOOOO!) ចង់ដឹង។ ដូច្នេះហើយ ខ្ញុំនឹងមិនធ្វើទារុណកម្មអ្នកដោយការណែនាំដ៏វែង ហើយនឹងចុះទៅអាជីវកម្មភ្លាមៗ។
ដើម្បីចាប់ផ្តើមឧទាហរណ៍ពីរបី។ ពិចារណាសំណុំលេខជាច្រើន៖
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\sqrt(2);\2\sqrt(2);\3\sqrt(2);...$
តើឈុតទាំងអស់នេះមានអ្វីដូចគ្នា? នៅ glance ដំបូង, គ្មានអ្វី។ ប៉ុន្តែតាមពិតមានអ្វីមួយ។ ពោលគឺ៖ ធាតុបន្ទាប់នីមួយៗខុសពីធាតុមុនដោយលេខដូចគ្នា។.
វិនិច្ឆ័យសម្រាប់ខ្លួនអ្នក។ ឈុតទីមួយគ្រាន់តែជាលេខជាប់គ្នា លេខនីមួយៗច្រើនជាងលេខមុន។ ក្នុងករណីទីពីរ ភាពខុសគ្នារវាងលេខដែលនៅជាប់គ្នាគឺស្មើនឹងប្រាំរួចទៅហើយ ប៉ុន្តែភាពខុសគ្នានេះនៅតែថេរ។ ក្នុងករណីទីបីមានឫសជាទូទៅ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ ខណៈពេលដែល $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, i.e. ក្នុងករណីដែលធាតុបន្ទាប់នីមួយៗគ្រាន់តែកើនឡើង $\sqrt(2)$ (ហើយកុំខ្លាចថាចំនួននេះមិនសមហេតុផល)។
ដូច្នេះ៖ លំដាប់ទាំងអស់នេះគ្រាន់តែហៅថាវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ។ ចូរយើងផ្តល់និយមន័យដ៏តឹងរឹងមួយ៖
និយមន័យ។ លំដាប់នៃលេខដែលនីមួយៗបន្ទាប់ខុសពីលេខមុនដោយចំនួនដូចគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដត្រូវបានគេហៅថា វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ។ ចំនួនដែលលេខខុសគ្នាត្រូវបានហៅថា ភាពខុសគ្នានៃការរីកចម្រើន ហើយច្រើនតែត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរ $d$ ។
កំណត់សម្គាល់៖ $\left(((a)_(n)) \right)$ គឺជាការវិវត្តខ្លួនវា $d$ គឺជាភាពខុសគ្នារបស់វា។
ហើយគ្រាន់តែជាការកត់សម្គាល់សំខាន់ពីរបីប៉ុណ្ណោះ។ ទីមួយការវិវត្តត្រូវបានពិចារណាតែប៉ុណ្ណោះ សណ្តាប់ធ្នាប់លំដាប់នៃលេខ៖ ពួកគេត្រូវបានអនុញ្ញាតឱ្យអានយ៉ាងតឹងរឹងតាមលំដាប់ដែលពួកគេត្រូវបានសរសេរ - ហើយគ្មានអ្វីផ្សេងទៀតទេ។ អ្នកមិនអាចរៀបចំឡើងវិញ ឬប្តូរលេខបានទេ។
ទីពីរ លំដាប់ដោយខ្លួនវាអាចមានកំណត់ ឬគ្មានកំណត់។ ឧទាហរណ៍ សំណុំ (1; 2; 3) គឺច្បាស់ជាដំណើរការនព្វន្ធកំណត់។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើអ្នកសរសេរអ្វីមួយនៅក្នុងវិញ្ញាណ (1; 2; 3; 4; ... ) - នេះគឺរួចទៅហើយ វឌ្ឍនភាពគ្មានកំណត់. រាងពងក្រពើបន្ទាប់ពីទាំងបួនដូចដែលវាត្រូវបានគេណែនាំថាចំនួនច្រើនទៅមុខទៀត។ ច្រើនឥតកំណត់ ជាឧទាហរណ៍។ :)
ខ្ញុំក៏ចង់កត់សម្គាល់ដែរថា វឌ្ឍនភាពកំពុងកើនឡើង និងថយចុះ។ យើងបានឃើញការកើនឡើងរួចទៅហើយ - សំណុំដូចគ្នា (1; 2; 3; 4; ... ) ។ នេះគឺជាឧទាហរណ៍នៃការថយចុះវឌ្ឍនភាព៖
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt(5);\sqrt(5)-1;\sqrt(5)-2;\sqrt(5)-3;...$
មិនអីទេ មិនអីទេ៖ ឧទាហរណ៍ចុងក្រោយអាចហាក់ដូចជាស្មុគស្មាញពេក។ ប៉ុន្តែនៅសល់ ខ្ញុំគិតថាអ្នកយល់។ ដូច្នេះ យើងណែនាំនិយមន័យថ្មី៖
និយមន័យ។ ការវិវត្តនព្វន្ធត្រូវបានគេហៅថា៖
- ការកើនឡើងប្រសិនបើធាតុបន្ទាប់នីមួយៗធំជាងធាតុមុន;
- ការថយចុះ ប្រសិនបើផ្ទុយទៅវិញ ធាតុបន្តបន្ទាប់នីមួយៗគឺតិចជាងធាតុមុន។
លើសពីនេះទៀតមានអ្វីដែលគេហៅថា "ស្ថានី" លំដាប់ - ពួកគេមានលេខដដែលៗ។ ឧទាហរណ៍ (៣; ៣; ៣; ...)។
មានតែសំណួរមួយប៉ុណ្ណោះ៖ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីសម្គាល់ការវិវត្តដែលកំពុងកើនឡើងពីការថយចុះមួយ? ជាសំណាងល្អ អ្វីគ្រប់យ៉ាងនៅទីនេះអាស្រ័យតែលើសញ្ញានៃលេខ $d$, i.e. ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការ៖
- ប្រសិនបើ $d \gt 0$ នោះការវិវត្តកំពុងកើនឡើង។
- ប្រសិនបើ $d \lt 0$ នោះការវិវឌ្ឍន៍ជាក់ស្តែងនឹងថយចុះ។
- ជាចុងក្រោយ មានករណី $d=0$ — ក្នុងករណីនេះ ដំណើរការទាំងមូលត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាលំដាប់លំដោយនៃលេខដូចគ្នា៖ (1; 1; 1; 1; ...) ។ល។
ចូរយើងព្យាយាមគណនាភាពខុសគ្នា $d$ សម្រាប់ដំណើរការថយចុះចំនួនបីខាងលើ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការយកធាតុពីរដែលនៅជាប់គ្នា (ឧទាហរណ៍ទីមួយនិងទីពីរ) ហើយដកពីលេខនៅខាងស្តាំលេខនៅខាងឆ្វេង។ វានឹងមើលទៅដូចនេះ៖
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$ ។
ដូចដែលអ្នកអាចឃើញនៅក្នុងករណីទាំងបីភាពខុសគ្នាពិតជាប្រែទៅជាអវិជ្ជមាន។ ហើយឥឡូវនេះ យើងបានរកឃើញនិយមន័យច្រើន ឬតិច វាជាពេលវេលាដើម្បីស្វែងយល់ពីរបៀបដែលវឌ្ឍនភាពត្រូវបានពិពណ៌នា និងលក្ខណៈសម្បត្តិអ្វីដែលពួកគេមាន។
សមាជិកនៃការរីកចម្រើន និងរូបមន្តដែលកើតឡើងដដែលៗ
ដោយសារធាតុនៃលំដាប់របស់យើងមិនអាចផ្លាស់ប្តូរគ្នាបាន ពួកវាអាចត្រូវបានលេខរៀង៖
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\(((a)_(1)),\((a)_(2)),((a)_(3) )),... \right\)\]
ធាតុបុគ្គលនៃសំណុំនេះត្រូវបានគេហៅថាសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាព។ ពួកវាត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញតាមរបៀបនេះដោយមានជំនួយពីលេខមួយ: សមាជិកទីមួយ សមាជិកទីពីរ ជាដើម។
លើសពីនេះទៀត ដូចដែលយើងដឹងរួចមកហើយថា សមាជិកជិតខាងនៃវឌ្ឍនភាពត្រូវបានទាក់ទងគ្នាដោយរូបមន្ត៖
\[(((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
សរុបមក ដើម្បីស្វែងរកពាក្យ $n$th នៃវឌ្ឍនភាព អ្នកត្រូវដឹងពីពាក្យ $n-1$th និងភាពខុសគ្នា $d$។ រូបមន្តបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាកើតឡើងដដែលៗ ពីព្រោះដោយមានជំនួយរបស់វា អ្នកអាចស្វែងរកលេខណាមួយ ដោយគ្រាន់តែដឹងពីលេខមុន (ហើយតាមពិត លេខមុនទាំងអស់)។ នេះគឺជាការរអាក់រអួលខ្លាំងណាស់ ដូច្នេះមានរូបមន្តដ៏ពិបាកជាងនេះ ដែលកាត់បន្ថយការគណនាណាមួយទៅពាក្យទីមួយ និងភាពខុសគ្នា៖
\[(((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1\right)d\]
អ្នកប្រហែលជាធ្លាប់ឆ្លងកាត់រូបមន្តនេះពីមុនមក។ ពួកគេចូលចិត្តផ្តល់ឱ្យវានៅក្នុងគ្រប់ប្រភេទនៃសៀវភៅយោងនិង reshebniks ។ ហើយក្នុងសៀវភៅសិក្សាគណិតវិទ្យាដែលសមហេតុផលណាមួយ វាគឺជាសៀវភៅដំបូងគេមួយ។
ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ខ្ញុំស្នើឱ្យអ្នកអនុវត្តបន្តិច។
លេខកិច្ចការ 1 ។ សរសេរពាក្យបីដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធ $\left(((a)_(n)) \right)$ if $((a)_(1))=8,d=-5$ ។
ដំណោះស្រាយ។ ដូច្នេះ យើងដឹងពីពាក្យដំបូង $((a)_(1))=8$ និងភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាព $d=-5$។ ចូរប្រើរូបមន្តដែលទើបតែផ្តល់ឲ្យ ហើយជំនួស $n=1$, $n=2$ និង $n=3$៖
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1\right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1\right)d=((a)_(1))+d=8-5= ៣; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1\right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -២. \\ \end(តម្រឹម)\]
ចម្លើយ៖ (៨; ៣; -២)
អស់ហើយ! ចំណាំថាការវិវត្តរបស់យើងកំពុងថយចុះ។
ជាការពិតណាស់ $n=1$ មិនអាចត្រូវបានជំនួសឡើយ - យើងបានដឹងហើយពាក្យដំបូង។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ដោយការជំនួសឯកតា យើងបានធ្វើឱ្យប្រាកដថា សូម្បីតែសម្រាប់ពាក្យទីមួយ រូបមន្តរបស់យើងដំណើរការ។ ក្នុងករណីផ្សេងទៀត អ្វីគ្រប់យ៉ាងបានធ្លាក់មកលេខនព្វន្ធ banal ។
លេខកិច្ចការ 2 ។ សរសេរពាក្យបីដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធ ប្រសិនបើពាក្យទីប្រាំពីររបស់វាគឺ −40 ហើយពាក្យទីដប់ប្រាំពីររបស់វាគឺ −50។
ដំណោះស្រាយ។ យើងសរសេរលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាក្នុងលក្ខខណ្ឌធម្មតា៖
\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(តម្រឹម) \\ ស្តាំ។
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \ ត្រូវ។\]
ខ្ញុំដាក់សញ្ញានៃប្រព័ន្ធព្រោះតម្រូវការទាំងនេះត្រូវតែបំពេញក្នុងពេលដំណាលគ្នា។ ហើយឥឡូវនេះយើងកត់សំគាល់ថាប្រសិនបើយើងដកសមីការទីមួយចេញពីសមីការទីពីរ (យើងមានសិទ្ធិធ្វើដូច្នេះព្រោះយើងមានប្រព័ន្ធ) យើងទទួលបាននេះ:
\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(តម្រឹម)\]
ដូចនេះដែរ យើងបានរកឃើញភាពខុសគ្នានៃការរីកចម្រើន! វានៅសល់ដើម្បីជំនួសលេខដែលបានរកឃើញនៅក្នុងសមីការណាមួយនៃប្រព័ន្ធ។ ឧទាហរណ៍នៅក្នុងទីមួយ៖
\\[\begin(ម៉ាទ្រីស) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \\ ចុះក្រោម \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((ក)_(១))=-៤០+៦=-៣៤។ \\ \ បញ្ចប់ (ម៉ាទ្រីស) \\]
ឥឡូវនេះ ដោយដឹងពីពាក្យទីមួយ និងភាពខុសគ្នា វានៅតែត្រូវស្វែងរកពាក្យទីពីរ និងទីបី៖
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((ក)_(៣))=((ក)_(១))+២d=-៣៤-២=-៣៦។ \\ \end(តម្រឹម)\]
រួចរាល់ហើយ! បញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយ។
ចម្លើយ៖ (-៣៤; -៣៥; -៣៦)
យកចិត្តទុកដាក់លើទ្រព្យសម្បត្តិដែលចង់ដឹងចង់ឃើញនៃវឌ្ឍនភាពដែលយើងបានរកឃើញ៖ ប្រសិនបើយើងយកពាក្យ $n$th និង $m$th ហើយដកវាចេញពីគ្នាទៅវិញទៅមក នោះយើងទទួលបានភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាពគុណនឹងចំនួន $n-m$៖
\[(((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]
ទ្រព្យសម្បត្តិដ៏សាមញ្ញ ប៉ុន្តែមានប្រយោជន៍បំផុតដែលអ្នកគួរដឹង - ដោយមានជំនួយរបស់វា អ្នកអាចបង្កើនល្បឿនដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាវិវត្តជាច្រើន។ នេះគឺជាឧទាហរណ៍សំខាន់នៃរឿងនេះ៖
លេខកិច្ចការ 3 ។ ពាក្យទីប្រាំនៃដំណើរការនព្វន្ធគឺ 8.4 ហើយពាក្យទីដប់របស់វាគឺ 14.4 ។ ស្វែងរកពាក្យទីដប់ប្រាំនៃវឌ្ឍនភាពនេះ។
ដំណោះស្រាយ។ ដោយសារ $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ ហើយយើងត្រូវស្វែងរក $((a)_(15))$ យើងកត់សំគាល់ដូចខាងក្រោម៖
\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((ក)_(១០))-((ក)_(៥))=៥ឃ។ \\ \end(តម្រឹម)\]
ប៉ុន្តែតាមលក្ខខណ្ឌ $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$ ដូច្នេះ $5d=6$ យើងមាន៖
\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4។ \\ \end(តម្រឹម)\]
ចម្លើយ៖ ២០.៤
អស់ហើយ! យើងមិនចាំបាច់បង្កើតប្រព័ន្ធសមីការណាមួយ ហើយគណនាពាក្យទីមួយ និងភាពខុសគ្នានោះទេ - អ្វីគ្រប់យ៉ាងត្រូវបានសម្រេចដោយគ្រាន់តែពីរបីបន្ទាត់ប៉ុណ្ណោះ។
ឥឡូវនេះ ចូរយើងពិចារណាអំពីបញ្ហាមួយប្រភេទទៀត - ការស្វែងរកសមាជិកអវិជ្ជមាន និងវិជ្ជមាននៃវឌ្ឍនភាព។ វាមិនមែនជារឿងសម្ងាត់ទេដែលថា ប្រសិនបើការវិវឌ្ឍន៍កើនឡើង ខណៈពេលដែលពាក្យទីមួយរបស់វាគឺអវិជ្ជមាន នោះមិនយូរមិនឆាប់ពាក្យវិជ្ជមាននឹងលេចឡើងនៅក្នុងវា។ ហើយផ្ទុយមកវិញ៖ លក្ខខណ្ឌនៃការថយចុះនៃដំណើរការនឹងឆាប់ឬក្រោយមកក្លាយជាអវិជ្ជមាន។
ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះវានៅឆ្ងាយពីតែងតែអាចរកឃើញពេលនេះ "នៅលើថ្ងាស" ដោយតម្រៀបតាមលំដាប់នៃធាតុ។ ជារឿយៗបញ្ហាត្រូវបានរៀបចំឡើងតាមរបៀបដែលដោយមិនដឹងពីរូបមន្ត ការគណនានឹងយកសន្លឹកជាច្រើនសន្លឹក យើងនឹងងងុយគេងរហូតដល់យើងរកឃើញចម្លើយ។ ដូច្នេះហើយ យើងនឹងព្យាយាមដោះស្រាយបញ្ហាទាំងនេះឱ្យបានលឿនជាងមុន ។
លេខកិច្ចការ 4 ។ តើមានពាក្យអវិជ្ជមានប៉ុន្មានក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ -38.5; -៣៥.៨; …?
ដំណោះស្រាយ។ ដូច្នេះ $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$ ដែលយើងរកឃើញភាពខុសគ្នាភ្លាមៗ៖
ចំណាំថាភាពខុសគ្នាគឺវិជ្ជមាន ដូច្នេះការវិវត្តកំពុងកើនឡើង។ ពាក្យទីមួយគឺអវិជ្ជមាន ដូច្នេះនៅពេលណាមួយយើងនឹងជំពប់ដួលលើលេខវិជ្ជមាន។ សំណួរតែមួយគត់គឺនៅពេលណាដែលរឿងនេះនឹងកើតឡើង។
តោះព្យាយាមស្វែងយល់៖ តើរយៈពេលប៉ុន្មាន (ឧ. រហូតដល់ចំនួនធម្មជាតិ $n$) ភាពអវិជ្ជមាននៃលក្ខខណ្ឌត្រូវបានរក្សាទុក៖
\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \ ត្រឹមត្រូវ។ \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max))=15. \\ \end(តម្រឹម)\]
បន្ទាត់ចុងក្រោយត្រូវការការបំភ្លឺ។ ដូច្នេះយើងដឹងថា $n \lt 15\frac(7)(27)$ ។ ម៉្យាងវិញទៀត មានតែតម្លៃចំនួនគត់នៃលេខប៉ុណ្ណោះដែលនឹងសមនឹងយើង (លើសពីនេះទៅទៀត៖ $n\in \mathbb(N)$) ដូច្នេះចំនួនដែលអាចអនុញ្ញាតបានធំបំផុតគឺ $n=15$ ហើយក្នុងករណីណាក៏ដោយ 16។
លេខកិច្ចការ 5 ។ នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$ ។ ស្វែងរកចំនួននៃពាក្យវិជ្ជមានដំបូងនៃដំណើរការនេះ។
នេះពិតជាបញ្ហាដូចគ្នានឹងបញ្ហាមុនដែរ ប៉ុន្តែយើងមិនដឹង $((a)_(1))$ ទេ។ ប៉ុន្តែពាក្យដែលនៅជិតខាងត្រូវបានគេស្គាល់ថា $((a)_(5))$ និង $((a)_(6))$ ដូច្នេះយើងអាចរកឃើញភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាពយ៉ាងងាយស្រួល៖
បន្ថែមពីលើនេះ ចូរយើងព្យាយាមបង្ហាញពាក្យទីប្រាំនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃទីមួយ និងភាពខុសគ្នាដោយប្រើរូបមន្តស្តង់ដារ៖
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162 ។ \\ \end(តម្រឹម)\]
ឥឡូវនេះយើងបន្តដោយការប្រៀបធៀបជាមួយបញ្ហាមុន។ យើងស្វែងយល់ថាតើចំណុចណាខ្លះក្នុងលេខវិជ្ជមានលំដាប់របស់យើងនឹងបង្ហាញ៖
\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \\ gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \end(តម្រឹម)\]
ដំណោះស្រាយចំនួនគត់អប្បបរមានៃវិសមភាពនេះគឺលេខ 56 ។
សូមចំណាំថានៅក្នុងកិច្ចការចុងក្រោយ អ្វីគ្រប់យ៉ាងត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាវិសមភាពដ៏តឹងរឹង ដូច្នេះជម្រើស $n=55$ នឹងមិនសមនឹងយើងទេ។
ឥឡូវយើងបានរៀនពីរបៀបដោះស្រាយបញ្ហាសាមញ្ញហើយ យើងបន្តទៅកាន់បញ្ហាស្មុគស្មាញទៀត។ ប៉ុន្តែជាដំបូង ចូរយើងស្វែងយល់អំពីទ្រព្យសម្បត្តិដ៏មានប្រយោជន៍មួយទៀតនៃដំណើរការនព្វន្ធ ដែលនឹងជួយសន្សំសំចៃពេលវេលាច្រើន និងកោសិកាមិនស្មើគ្នានាពេលអនាគត។ :)
មធ្យមនព្វន្ធ និងការចូលបន្ទាត់ស្មើគ្នា
ពិចារណាពាក្យបន្តបន្ទាប់គ្នាជាច្រើននៃដំណើរការនព្វន្ធដែលកើនឡើង $\left(((a)_(n)) \right)$ ។ តោះព្យាយាមសម្គាល់ពួកវានៅលើបន្ទាត់លេខ៖
សមាជិកវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធនៅលើបន្ទាត់លេខខ្ញុំបានកត់សម្គាល់ជាពិសេសអំពីសមាជិកបំពាន $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, និងមិនមែន $((a)_(1)) , \((a)_(2)),\((a)_(3))$ ។ល។ ដោយសារតែច្បាប់ដែលខ្ញុំនឹងប្រាប់អ្នកឥឡូវនេះ ដំណើរការដូចគ្នាសម្រាប់ "ផ្នែក" ណាមួយ។
ហើយច្បាប់គឺសាមញ្ញណាស់។ ចូរយើងចងចាំរូបមន្តដដែលៗ ហើយសរសេរវាចុះសម្រាប់សមាជិកដែលបានសម្គាល់ទាំងអស់៖
\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(តម្រឹម)\]
ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ សមភាពទាំងនេះអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញខុសគ្នា៖
\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(តម្រឹម)\]
អញ្ចឹងតើអ្វីទៅ? ប៉ុន្តែការពិតដែលពាក្យ $((a)_(n-1))$ និង $((a)_(n+1))$ ស្ថិតនៅចម្ងាយដូចគ្នាពី $((a)_(n))$ . ហើយចម្ងាយនេះគឺស្មើនឹង $d$ ។ ដូចគ្នានេះដែរអាចត្រូវបាននិយាយអំពីពាក្យ $((a)_(n-2))$ និង $((a)_(n+2))$ - ពួកគេក៏ត្រូវបានដកចេញពី $((a)_(n) ផងដែរ។ )$ ដោយចម្ងាយដូចគ្នាស្មើនឹង $2d$ ។ អ្នកអាចបន្តដោយគ្មានកំណត់ ប៉ុន្តែរូបភាពបង្ហាញអត្ថន័យបានយ៉ាងល្អ
សមាជិកនៃវឌ្ឍនភាពស្ថិតនៅចម្ងាយដូចគ្នាពីមជ្ឈមណ្ឌល តើនេះមានន័យយ៉ាងណាចំពោះយើង? នេះមានន័យថាអ្នកអាចស្វែងរក $((a)_(n))$ ប្រសិនបើលេខដែលនៅជិតខាងត្រូវបានគេស្គាល់៖
\[(((a)_(n))=\frac((((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]
យើងបានកាត់ចេញនូវសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដ៏អស្ចារ្យមួយ៖ សមាជិកនីមួយៗនៃដំណើរការនព្វន្ធគឺស្មើនឹងមធ្យមនព្វន្ធរបស់សមាជិកជិតខាង! លើសពីនេះទៅទៀត យើងអាចបង្វែរពី $((a)_(n))$ របស់យើងទៅខាងឆ្វេង និងទៅស្តាំ មិនមែនមួយជំហានទេ ប៉ុន្តែដោយជំហាន $k$ — ហើយនៅតែរូបមន្តនឹងត្រឹមត្រូវ៖
\[(((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+(((a)_(n+k)))(2)\]
ទាំងនោះ។ យើងអាចស្វែងរកបានយ៉ាងងាយស្រួល $((a)_(150))$ ប្រសិនបើយើងដឹង $((a)_(100))$ និង $((a)_(200))$ ព្រោះ $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$ ។ នៅ glance ដំបូង វាហាក់ដូចជាថាការពិតនេះមិនផ្តល់ឱ្យយើងនូវអ្វីដែលមានប្រយោជន៍។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅក្នុងការអនុវត្ត កិច្ចការជាច្រើនត្រូវបាន "ធ្វើឱ្យច្បាស់" ជាពិសេសសម្រាប់ការប្រើប្រាស់មធ្យមនព្វន្ធ។ សូមក្រឡេកមើល៖
លេខកិច្ចការ 6 ។ ស្វែងរកតម្លៃទាំងអស់នៃ $x$ ដូចជាលេខ $-6((x)^(2))$, $x+1$ និង $14+4((x)^(2))$ គឺជាសមាជិកជាប់គ្នានៃ ដំណើរការនព្វន្ធ (តាមលំដាប់ជាក់លាក់) ។
ដំណោះស្រាយ។ ដោយសារលេខទាំងនេះគឺជាសមាជិកនៃដំណើរការមួយ លក្ខខណ្ឌមធ្យមនព្វន្ធគឺពេញចិត្តសម្រាប់ពួកគេ៖ ធាតុកណ្តាល $x+1$ អាចត្រូវបានបញ្ជាក់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃធាតុជិតខាង៖
\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(២))+x-៦=០។ \\ \end(តម្រឹម)\]
វាប្រែជាបុរាណ សមីការការ៉េ. ឫសរបស់វា៖ $x=2$ និង $x=-3$ គឺជាចម្លើយ។
ចម្លើយ៖ -៣; ២.
លេខកិច្ចការ 7 ។ ស្វែងរកតម្លៃនៃ $$ ដែលលេខ $-1;4-3;(()^(2))+1$ បង្កើតជាដំណើរការនព្វន្ធ (តាមលំដាប់នោះ)។
ដំណោះស្រាយ។ ជាថ្មីម្តងទៀត យើងបង្ហាញពាក្យកណ្តាលក្នុងន័យនព្វន្ធនៃន័យជិតខាង៖
\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \\ cdot 2 \\ ស្តាំ។ \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(២))-៧x+៦=០។ \\ \end(តម្រឹម)\]
សមីការការ៉េមួយទៀត។ ហើយម្តងទៀតឫសពីរ៖ $x=6$ និង $x=1$ ។
ចម្លើយ៖ ១; ៦.
ប្រសិនបើនៅក្នុងដំណើរការនៃការដោះស្រាយបញ្ហា អ្នកទទួលបានលេខដ៏ឃោរឃៅមួយចំនួន ឬអ្នកមិនប្រាកដទាំងស្រុងអំពីភាពត្រឹមត្រូវនៃចម្លើយដែលបានរកឃើញនោះ មានល្បិចដ៏អស្ចារ្យមួយដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកពិនិត្យមើល៖ តើយើងបានដោះស្រាយបញ្ហាត្រឹមត្រូវទេ?
ចូរនិយាយថានៅក្នុងបញ្ហាទី 6 យើងទទួលបានចម្លើយ -3 និង 2 ។ តើយើងអាចពិនិត្យមើលថាចម្លើយទាំងនេះត្រឹមត្រូវដោយរបៀបណា? ចូរយើងគ្រាន់តែដោតពួកវាទៅក្នុងស្ថានភាពដើម ហើយមើលថាមានអ្វីកើតឡើង។ ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា យើងមានលេខបី ($-6()^(2))$, $+1$ និង $14+4(()^(2))$) ដែលគួរតែបង្កើតជាដំណើរការនព្វន្ធ។ ជំនួស $x=-3$:
\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & ១៤+៤((x)^(២))=៥០។ \end(តម្រឹម)\]
យើងទទួលបានលេខ -54; −២; 50 ដែលខុសគ្នាដោយ 52 គឺពិតជាការវិវត្តនព្វន្ធ។ រឿងដដែលនេះកើតឡើងសម្រាប់ $x=2$:
\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & ១៤+៤((x)^(២))=៣០។ \end(តម្រឹម)\]
ការវិវត្តម្តងទៀត ប៉ុន្តែជាមួយនឹងភាពខុសគ្នានៃ 27 ។ ដូច្នេះបញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងត្រឹមត្រូវ។ អ្នកដែលប្រាថ្នាអាចពិនិត្យមើលកិច្ចការទីពីរដោយខ្លួនឯង ប៉ុន្តែខ្ញុំនឹងនិយាយភ្លាមៗ៖ អ្វីៗក៏ត្រឹមត្រូវនៅទីនោះដែរ។
ជាទូទៅ ខណៈពេលដែលដោះស្រាយបញ្ហាចុងក្រោយ យើងបានជំពប់ដួលលើការពិតដ៏គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍មួយទៀត ដែលចាំបាច់ត្រូវចងចាំផងដែរ៖
ប្រសិនបើលេខបីគឺដូចជាលេខ ទីពីរគឺជាមធ្យមនៃទីមួយ និងចុងក្រោយ នោះលេខទាំងនេះបង្កើតបានជាដំណើរការនព្វន្ធ។
នៅពេលអនាគត ការយល់ដឹងអំពីសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះនឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើង "សាងសង់" តាមព្យញ្ជនៈនូវការវិវត្តចាំបាច់ដោយផ្អែកលើស្ថានភាពនៃបញ្ហា។ ប៉ុន្តែមុនពេលយើងចូលរួមក្នុង "ការសាងសង់" បែបនេះយើងគួរតែយកចិត្តទុកដាក់លើការពិតមួយទៀតដែលធ្វើតាមដោយផ្ទាល់ពីអ្វីដែលបានពិចារណារួចហើយ។
ការដាក់ជាក្រុម និងផលបូកនៃធាតុ
ចូរយើងត្រលប់ទៅបន្ទាត់លេខម្តងទៀត។ យើងកត់សំគាល់ថាមានសមាជិកមួយចំនួននៃវឌ្ឍនភាព រវាងនោះ ប្រហែលជា។ មានតម្លៃសមាជិកផ្សេងទៀតជាច្រើន៖
ធាតុ 6 ត្រូវបានសម្គាល់នៅលើបន្ទាត់លេខតោះព្យាយាមបង្ហាញ "កន្ទុយឆ្វេង" ក្នុងន័យ $((a)_(n))$ និង $d$ និង "កន្ទុយស្តាំ" ក្នុងន័យ $((a)_(k))$ និង $ d$។ វាសាមញ្ញណាស់៖
\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(តម្រឹម)\]
ឥឡូវចំណាំថាផលបូកខាងក្រោមគឺស្មើគ្នា៖
\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= ស; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= ស. \end(តម្រឹម)\]
និយាយឱ្យសាមញ្ញ ប្រសិនបើយើងពិចារណាថាជាធាតុចាប់ផ្តើមពីរនៃវឌ្ឍនភាព ដែលសរុបស្មើនឹងចំនួនមួយចំនួន $S$ ហើយបន្ទាប់មកយើងចាប់ផ្តើមបោះជំហានពីធាតុទាំងនេះក្នុងទិសដៅផ្ទុយគ្នា (ឆ្ពោះទៅរកគ្នាទៅវិញទៅមក ឬផ្ទុយមកវិញដើម្បីផ្លាស់ទីទៅឆ្ងាយ) បន្ទាប់មក ផលបូកនៃធាតុដែលយើងនឹងជំពប់ដួលក៏នឹងស្មើគ្នាដែរ។$S$។ នេះអាចត្រូវបានតំណាងយ៉ាងល្អបំផុតតាមក្រាហ្វិក៖
ការចូលបន្ទាត់ដូចគ្នាផ្តល់ផលបូកស្មើគ្នា ការយល់ដឹងអំពីការពិតនេះនឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងដោះស្រាយបញ្ហានៃកម្រិតខ្ពស់ជាមូលដ្ឋាននៃភាពស្មុគស្មាញជាងអ្វីដែលយើងបានពិចារណាខាងលើ។ ឧទាហរណ៍ទាំងនេះ៖
លេខកិច្ចការ 8 ។ កំណត់ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធដែលពាក្យទីមួយគឺ 66 ហើយផលគុណនៃពាក្យទីពីរ និងដប់ពីរគឺតូចបំផុតដែលអាចធ្វើទៅបាន។
ដំណោះស្រាយ។ តោះសរសេរអ្វីទាំងអស់ដែលយើងដឹង៖
\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min ។ \end(តម្រឹម)\]
ដូច្នេះ យើងមិនដឹងពីភាពខុសគ្នានៃការរីកចម្រើន $d$ ទេ។ តាមពិត ដំណោះស្រាយទាំងមូលនឹងត្រូវបានបង្កើតឡើងជុំវិញភាពខុសគ្នា ចាប់តាំងពីផលិតផល $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ អាចសរសេរឡើងវិញដូចខាងក្រោម៖
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2)) \\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \\right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ &=11 \\ cdot ឆ្វេង (d + ៦៦ \\ ស្តាំ) \\ cdot \\ ឆ្វេង (d + ៦ \\ ស្តាំ) ។ \end(តម្រឹម)\]
សម្រាប់អ្នកនៅក្នុងធុង: ខ្ញុំបានយកកត្តាទូទៅ 11 ចេញពីតង្កៀបទីពីរ។ ដូច្នេះផលិតផលដែលចង់បានគឺជាមុខងារបួនជ្រុងដែលទាក់ទងនឹងអថេរ $d$ ។ ដូច្នេះ ពិចារណាមុខងារ $f\left(d\right)=11\left(d+66\right)\left(d+6\right)$ - ក្រាហ្វរបស់វានឹងក្លាយជាប៉ារ៉ាបូឡាដែលមានមែកធាងឡើង ពីព្រោះ ប្រសិនបើយើងបើកតង្កៀបយើងទទួលបាន៖
\[\begin(align) & f\left(d\right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]
ដូចដែលអ្នកអាចឃើញមេគុណដែលមានពាក្យខ្ពស់បំផុតគឺ 11 - នេះគឺជាចំនួនវិជ្ជមាន ដូច្នេះយើងពិតជាកំពុងដោះស្រាយជាមួយប៉ារ៉ាបូឡាដែលមានសាខាឡើងលើ៖
ក្រាហ្វនៃមុខងារបួនជ្រុង - ប៉ារ៉ាបូឡា
សូមចំណាំ៖ ប៉ារ៉ាបូឡានេះយកតម្លៃអប្បបរមារបស់វានៅចំនុចកំពូលរបស់វាជាមួយនឹង abscissa $((d)_(0))$ ។ ជាការពិតណាស់ យើងអាចគណនា abscissa នេះតាមគ្រោងការណ៍ស្តង់ដារ (មានរូបមន្ត $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$) ប៉ុន្តែវានឹងសមហេតុផលជាងនេះទៅទៀត។ ចំណាំថាចំនុចកំពូលដែលចង់បានស្ថិតនៅលើអ័ក្សស៊ីមេទ្រីនៃប៉ារ៉ាបូឡា ដូច្នេះចំនុច $((d)_(0))$ គឺស្មើគ្នាពីឫសនៃសមីការ $f\left(d\right)=0$:
\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11 \\ cdot \\ ឆ្វេង (d + ៦៦ \\ ស្តាំ) \\ cdot \\ ឆ្វេង (d + ៦ \\ ស្តាំ) = ០; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(តម្រឹម)\]
នោះហើយជាមូលហេតុដែលខ្ញុំមិនប្រញាប់ដើម្បីបើកតង្កៀប: នៅក្នុងទម្រង់ដើមឫសគឺងាយស្រួលរកណាស់។ ដូច្នេះ abscissa គឺស្មើនឹងមធ្យមនព្វន្ធនៃលេខ −66 និង −6:
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]
តើអ្វីផ្តល់ឱ្យយើងនូវលេខដែលបានរកឃើញ? ជាមួយវា ផលិតផលដែលត្រូវការយកតម្លៃតូចបំផុត (ដោយវិធីនេះ យើងមិនបានគណនា $((y)_(\min ))$ - វាមិនត្រូវបានទាមទារពីយើងទេ)។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះចំនួននេះគឺជាភាពខុសគ្នានៃការវិវត្តដំបូង, i.e. យើងបានរកឃើញចម្លើយ។ :)
ចម្លើយ៖ -៣៦
លេខកិច្ចការ 9 ។ បញ្ចូលលេខបីនៅចន្លោះលេខ $-\frac(1)(2)$ និង $-\frac(1)(6)$ ដូច្នេះរួមជាមួយលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យពួកវាបង្កើតជាដំណើរការនព្វន្ធ។
ដំណោះស្រាយ។ តាមពិតយើងត្រូវធ្វើលំដាប់លេខប្រាំ ដោយលេខទីមួយ និងលេខចុងក្រោយគេដឹងរួចហើយ។ សម្គាល់លេខដែលបាត់ដោយអថេរ $x$, $y$ និង $z$៖
\[\left(((a)_(n)) \\right)=\left\(-\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]
ចំណាំថាលេខ $y$ គឺជា "កណ្តាល" នៃលំដាប់របស់យើង - វាស្មើគ្នាពីលេខ $x$ និង $z$ និងពីលេខ $-\frac(1)(2)$ និង $-\frac (1)(6)$។ ហើយប្រសិនបើនៅពេលនេះយើងមិនអាចទទួលបាន $y$ ពីលេខ $x$ និង $z$ ទេនោះ ស្ថានភាពគឺខុសគ្នាជាមួយនឹងការបញ្ចប់នៃដំណើរការ។ ចងចាំអត្ថន័យនព្វន្ធ៖
ឥឡូវនេះ ដោយដឹងថា $y$ យើងនឹងរកឃើញលេខដែលនៅសល់។ ចំណាំថា $x$ ស្ថិតនៅចន្លោះ $-\frac(1)(2)$ និង $y=-\frac(1)(3)$ ទើបរកឃើញ។ នោះហើយជាមូលហេតុដែល
ប្រកែកស្រដៀងគ្នានេះ យើងរកឃើញចំនួនដែលនៅសល់៖
រួចរាល់ហើយ! យើងបានរកឃើញលេខទាំងបី។ ចូរសរសេរពួកវាចុះក្នុងចំលើយតាមលំដាប់លំដោយ ដែលគួរបញ្ចូលរវាងលេខដើម។
ចម្លើយ៖ $-\frac(5)(12);\-\frac(1)(3);\-\frac(1)(4)$
លេខកិច្ចការ 10 ។ នៅចន្លោះលេខ 2 និង 42 បញ្ចូលលេខជាច្រើនដែលរួមជាមួយនឹងលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យបង្កើតជាដំណើរការនព្វន្ធ ប្រសិនបើគេដឹងថាផលបូកនៃលេខទីមួយ ទីពីរ និងចុងក្រោយនៃលេខដែលបានបញ្ចូលគឺ 56។
ដំណោះស្រាយ។ កិច្ចការដែលពិបាកជាងនេះទៅទៀត ដែលទោះជាយ៉ាងណា វាត្រូវបានដោះស្រាយតាមរបៀបដូចគ្នានឹងកិច្ចការមុនៗដែរ - តាមរយៈមធ្យមនព្វន្ធ។ បញ្ហាគឺយើងមិនដឹងច្បាស់ថាចំនួនប៉ុន្មានត្រូវបញ្ចូល។ ដូច្នេះសម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់ យើងសន្មត់ថាបន្ទាប់ពីការបញ្ចូលវានឹងមានចំនួន $n$ យ៉ាងពិតប្រាកដ ហើយលេខទីមួយគឺ 2 ហើយចុងក្រោយគឺ 42។ ក្នុងករណីនេះ ការវិវត្តនព្វន្ធដែលចង់បានអាចត្រូវបានតំណាងជា៖
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\(2;((a)_(2));((a)_(3));...;((( a)_(n-1));42 \right\)\]
\[(((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]
ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ចំណាំថាលេខ $((a)_(2))$ និង $((a)_(n-1))$ ត្រូវបានទទួលពីលេខ 2 និង 42 ដែលឈរនៅគែមដោយមួយជំហានឆ្ពោះទៅរកគ្នាទៅវិញទៅមក។ , ឧ.. ទៅកណ្តាលនៃលំដាប់។ ហើយនេះមានន័យថា
\[(((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]
ប៉ុន្តែបន្ទាប់មកកន្សោមខាងលើអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចនេះ:
\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \\right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((ក)_(៣))=៥៦-៤៤=១២។ \\ \end(តម្រឹម)\]
ដោយដឹងថា $((a)_(3))$ និង $((a)_(1))$ យើងអាចស្វែងរកភាពខុសគ្នានៃដំណើរការបានយ៉ាងងាយស្រួល៖
\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1\right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10 ព្រួញស្ដាំ d=5 ។ \\ \end(តម្រឹម)\]
វានៅសល់តែដើម្បីស្វែងរកសមាជិកដែលនៅសល់៖
\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(តម្រឹម)\]
ដូច្នេះហើយនៅជំហានទី 9 យើងនឹងមកដល់ចុងខាងឆ្វេងនៃលំដាប់ - លេខ 42 ។ សរុបមកមានតែ 7 លេខប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបញ្ចូល: 7; ១២; ១៧; ២២; ២៧; ៣២; ៣៧.
ចម្លើយ៖ ៧; ១២; ១៧; ២២; ២៧; ៣២; ៣៧
អត្ថបទកិច្ចការជាមួយវឌ្ឍនភាព
សរុបសេចក្តីមក ខ្ញុំចង់ពិចារណាពីបញ្ហាសាមញ្ញមួយចំនួន។ ជាការប្រសើរណាស់ ដូចជារឿងសាមញ្ញៗ៖ សម្រាប់សិស្សភាគច្រើនដែលសិក្សាគណិតវិទ្យានៅសាលា ហើយមិនបានអានអ្វីដែលបានសរសេរខាងលើ កិច្ចការទាំងនេះអាចហាក់ដូចជាកាយវិការមួយ។ យ៉ាងណាក៏ដោយ វាជាកិច្ចការដែលកើតឡើងក្នុង OGE និង USE ក្នុងគណិតវិទ្យា ដូច្នេះខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យអ្នកស្គាល់ខ្លួនអ្នកជាមួយពួកគេ។
លេខកិច្ចការ 11 ។ ក្រុមនេះផលិតបាន 62 ផ្នែកក្នុងខែមករា ហើយនៅក្នុងខែបន្តបន្ទាប់គ្នា ពួកគេបានផលិត 14 ផ្នែកច្រើនជាងកាលពីមុន ។ តើកងពលតូចផលិតបានប៉ុន្មានផ្នែកក្នុងខែវិច្ឆិកា?
ដំណោះស្រាយ។ ជាក់ស្តែង ចំនួននៃផ្នែកដែលត្រូវបានលាបពណ៌តាមខែ នឹងក្លាយជាការរីកចំរើនផ្នែកនព្វន្ធ។ និង៖
\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1\right)\cdot 14. \\ \end(align)\]
ខែវិច្ឆិកា គឺជាខែទី 11 នៃឆ្នាំ ដូច្នេះយើងត្រូវស្វែងរក $((a)_(11))$:
\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]
ដូច្នេះ 202 ផ្នែកនឹងត្រូវបានផលិតនៅក្នុងខែវិច្ឆិកា។
លេខកិច្ចការ 12 ។ សិក្ខាសាលាចងសៀវភៅបានចងសៀវភៅចំនួន 216 ក្បាលក្នុងខែមករា ហើយជារៀងរាល់ខែវាបានចងសៀវភៅ 4 ក្បាលច្រើនជាងខែមុន។ តើសិក្ខាសាលាបានចងសៀវភៅប៉ុន្មានក្បាលក្នុងខែធ្នូ?
ដំណោះស្រាយ។ ដូចគ្នាទាំងអស់:
$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1\right)\cdot 4. \\ \end(align)$
ខែធ្នូគឺជាខែចុងក្រោយនៃឆ្នាំទី 12 ដូច្នេះយើងកំពុងស្វែងរក $((a)_(12))$:
\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]
នេះគឺជាចម្លើយ - សៀវភៅចំនួន 260 ក្បាលនឹងត្រូវបានចងនៅខែធ្នូ។
ជាការប្រសើរណាស់, ប្រសិនបើអ្នកបានអានឆ្ងាយនេះ, ខ្ញុំប្រញាប់ដើម្បីអបអរសាទរអ្នក: អ្នកបានបញ្ចប់ដោយជោគជ័យ "វគ្គសិក្សាអ្នកប្រយុទ្ធវ័យក្មេង" នៅក្នុងវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ។ យើងអាចបន្តទៅមេរៀនបន្ទាប់ដោយសុវត្ថិភាព ដែលយើងនឹងសិក្សារូបមន្តបូកសរុបនៃដំណើរការ ក៏ដូចជាផលវិបាកសំខាន់ៗ និងមានប្រយោជន៍បំផុតពីវា។
ឧទាហរណ៍ លំដាប់ \(2\); \(5\); \(ប្រាំបី\); \(ដប់មួយ\); \(14\)... គឺជាការវិវត្តនព្វន្ធ ព្រោះធាតុបន្ទាប់នីមួយៗខុសពីធាតុមុនដោយបី (អាចទទួលបានពីធាតុមុនដោយបន្ថែមបី)៖
នៅក្នុងដំណើរការនេះ ភាពខុសគ្នា \(d\) គឺវិជ្ជមាន (ស្មើនឹង \(3\)) ហើយដូច្នេះពាក្យបន្ទាប់នីមួយៗគឺធំជាងពាក្យមុន។ វឌ្ឍនភាពបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា កើនឡើង.
ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ \(d\) ក៏អាចជា លេខអវិជ្ជមាន. ឧទាហរណ៍, នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ \(16\); \\ (ដប់\); \\ (បួន\); \\(-២\); \(-8\)… ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការ \(d\) គឺស្មើនឹងដកប្រាំមួយ។
ហើយក្នុងករណីនេះធាតុបន្ទាប់នីមួយៗនឹងមានតិចជាងធាតុមុន។ វឌ្ឍនភាពទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា ថយចុះ.
សញ្ញាណនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ
វឌ្ឍនភាពត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរឡាតាំងតូចមួយ។
លេខដែលបង្កើតបានជាវឌ្ឍនភាពត្រូវបានគេហៅថា សមាជិក(ឬធាតុ) ។
ពួកវាត្រូវបានតាងដោយអក្សរដូចគ្នាទៅនឹងការវិវត្តនព្វន្ធ ប៉ុន្តែមានលិបិក្រមលេខស្មើនឹងលេខធាតុតាមលំដាប់លំដោយ។
ឧទាហរណ៍ ដំណើរការនព្វន្ធ \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14...\right\)\) មានធាតុ \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) និងបន្តបន្ទាប់ទៀត។
នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀតសម្រាប់ការវិវត្ត \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14...\right\)\)
ការដោះស្រាយបញ្ហាលើដំណើរការនព្វន្ធ
ជាគោលការណ៍ ព័ត៌មានខាងលើគឺគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាស្ទើរតែទាំងអស់លើដំណើរការនព្វន្ធ (រួមទាំងអ្វីដែលផ្តល់ជូននៅ OGE)។
ឧទាហរណ៍ (OGE) ។
ការវិវត្តនព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ដោយលក្ខខណ្ឌ \(b_1=7; d=4\) ។ ស្វែងរក \(b_5\) ។
ដំណោះស្រាយ៖
ចម្លើយ៖ \\(b_5=23\)
ឧទាហរណ៍ (OGE) ។
ពាក្យបីដំបូងនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖ \(62; 49; 36...\) ស្វែងរកតម្លៃនៃពាក្យអវិជ្ជមានដំបូងនៃវឌ្ឍនភាពនេះ។.
ដំណោះស្រាយ៖
|
យើងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនូវធាតុដំបូងនៃលំដាប់ ហើយដឹងថាវាជាការរីកចម្រើននព្វន្ធ។ នោះគឺធាតុនីមួយៗខុសពីប្រទេសជិតខាងដោយលេខដូចគ្នា។ ស្វែងយល់ថាតើមួយណាដោយដកលេខមុនចេញពីធាតុបន្ទាប់៖ \(d=49-62=-13\)។ |
|
|
ឥឡូវនេះយើងអាចស្តារការវិវត្តរបស់យើងទៅធាតុដែលចង់បាន (អវិជ្ជមានដំបូង) ។ |
|
|
រួចរាល់។ អ្នកអាចសរសេរចម្លើយ។ |
ចម្លើយ៖ \(-3\)
ឧទាហរណ៍ (OGE) ។
ធាតុបន្តបន្ទាប់គ្នាជាច្រើននៃដំណើរការនព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖ \(...5; x; 10; 12.5...\) ស្វែងរកតម្លៃនៃធាតុដែលតំណាងដោយអក្សរ \(x\) ។
ដំណោះស្រាយ៖
|
|
ដើម្បីស្វែងរក \(x\) យើងត្រូវដឹងថាតើធាតុបន្ទាប់ខុសគ្នាប៉ុន្មានពីធាតុមុន ឬនិយាយម្យ៉ាងទៀត ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការ។ ចូរយើងស្វែងរកវាពីធាតុជិតខាងដែលគេស្គាល់ពីរ៖ \(d=12.5-10=2.5\) ។ |
|
|
ហើយឥឡូវនេះយើងរកឃើញអ្វីដែលយើងកំពុងស្វែងរកដោយគ្មានបញ្ហា៖ \(x=5+2.5=7.5\) ។ |
|
|
រួចរាល់។ អ្នកអាចសរសេរចម្លើយ។ |
ចម្លើយ៖ \(7,5\).
ឧទាហរណ៍ (OGE) ។
វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ដោយលក្ខខណ្ឌដូចខាងក្រោម៖ \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) ស្វែងរកផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌប្រាំមួយដំបូងនៃដំណើរការនេះ។
ដំណោះស្រាយ៖
|
យើងត្រូវស្វែងរកផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌទាំងប្រាំមួយដំបូងនៃវឌ្ឍនភាព។ ប៉ុន្តែយើងមិនដឹងពីអត្ថន័យរបស់វាទេ យើងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យតែធាតុទីមួយប៉ុណ្ណោះ។ ដូច្នេះដំបូងយើងគណនាតម្លៃជាវេនដោយប្រើតម្លៃដែលបានផ្ដល់ឱ្យយើង ៖ \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
បានរកឃើញចំនួនទឹកប្រាក់ដែលបានស្នើសុំ។ |
ចម្លើយ៖ \\(S_6=9\) ។
ឧទាហរណ៍ (OGE) ។
នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\) ។ ស្វែងរកភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនេះ។
ដំណោះស្រាយ៖
ចម្លើយ៖ \\ (d=7\) ។
រូបមន្តវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធសំខាន់
ដូចដែលអ្នកអាចឃើញបញ្ហាការវិវត្តនព្វន្ធជាច្រើនអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយសាមញ្ញដោយការយល់ដឹងអំពីរឿងសំខាន់ - ថាការវិវត្តនព្វន្ធគឺជាខ្សែសង្វាក់នៃលេខហើយធាតុបន្ទាប់នីមួយៗនៅក្នុងខ្សែសង្វាក់នេះត្រូវបានទទួលដោយការបន្ថែមលេខដូចគ្នាទៅនឹងលេខមុន (ភាពខុសគ្នា នៃវឌ្ឍនភាព) ។
ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយជួនកាលមានស្ថានភាពនៅពេលដែលវារអាក់រអួលខ្លាំងក្នុងការដោះស្រាយ "នៅលើថ្ងាស" ។ ជាឧទាហរណ៍ សូមស្រមៃថាក្នុងឧទាហរណ៍ទីមួយ យើងត្រូវរកមិនឃើញធាតុទីប្រាំ \(b_5\) ប៉ុន្តែជាធាតុទីបីរយប៉ែតសិបប្រាំមួយ \(b_(386)\) ។ តើវាជាអ្វី យើង \ (385 \) ដងដើម្បីបន្ថែមបួន? ឬស្រមៃថានៅក្នុងឧទាហរណ៍ចុងក្រោយ អ្នកត្រូវស្វែងរកផលបូកនៃធាតុចិតសិបបីដំបូង។ ការរាប់គឺជាការយល់ច្រឡំ ...
ដូច្នេះក្នុងករណីបែបនេះ ពួកគេមិនដោះស្រាយ "នៅលើថ្ងាស" ទេ ប៉ុន្តែត្រូវប្រើរូបមន្តពិសេសដែលបានមកពីការវិវត្តនព្វន្ធ។ ហើយរូបមន្តសំខាន់ៗគឺរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី n នៃវឌ្ឍនភាព និងរូបមន្តសម្រាប់ផលបូក \(n\) នៃពាក្យទីមួយ។
រូបមន្តសម្រាប់ \(n\) សមាជិកទី៖ \(a_n=a_1+(n-1)d\) ដែល \(a_1\) គឺជាសមាជិកទីមួយនៃដំណើរការ។
\(n\) - ចំនួននៃធាតុដែលត្រូវការ;
\(a_n\) គឺជាសមាជិកនៃដំណើរការដែលមានលេខ \(n\) ។
រូបមន្តនេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងរកឃើញយ៉ាងរហ័សនូវធាតុទី 3 រយ សូម្បីតែធាតុលាន ដោយដឹងតែធាតុទីមួយ និងភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាព។
ឧទាហរណ៍។
វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ដោយលក្ខខណ្ឌ៖ \(b_1=-159\); \\ (d=8,2\) ។ ស្វែងរក \(b_(246)\) ។
ដំណោះស្រាយ៖
ចម្លើយ៖ \(b_(246)=1850\) ។
រូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃពាក្យ n ទីមួយគឺ៖ \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\) ដែល
\(a_n\) គឺជាពាក្យសង្ខេបចុងក្រោយ។
ឧទាហរណ៍ (OGE) ។
ការវិវត្តនព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ដោយលក្ខខណ្ឌ \(a_n=3.4n-0.6\) ។ ស្វែងរកផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌ \(25\) ដំបូងនៃដំណើរការនេះ។
ដំណោះស្រាយ៖
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\) |
ដើម្បីគណនាផលបូកនៃធាតុម្ភៃប្រាំដំបូង យើងត្រូវដឹងពីតម្លៃនៃធាតុទី 2 និងទី 25 ។ |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3.4 1-0.6=2.8\) |
ឥឡូវយើងរកពាក្យទីម្ភៃប្រាំដោយជំនួសម្ភៃប្រាំជំនួសឱ្យ \(n\) ។ |
|
|
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4 25-0.6=84.4\) |
មែនហើយឥឡូវនេះយើងគណនាចំនួនដែលត្រូវការដោយគ្មានបញ្ហា។ |
|
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
ចម្លើយគឺរួចរាល់។ |
ចម្លើយ៖ \(S_(25)=1090\) ។
សម្រាប់ផលបូក \(n\) នៃពាក្យទីមួយ អ្នកអាចទទួលបានរូបមន្តមួយទៀត៖ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវការ \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\) ជំនួសឱ្យ \(a_n\) ជំនួសរូបមន្តសម្រាប់វា \(a_n=a_1+(n-1)d\)។ យើងទទួលបាន:
រូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃពាក្យ n ទីមួយគឺ៖ \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) ដែល
\(S_n\) – ផលបូកដែលត្រូវការ \(n\) នៃធាតុទីមួយ;
\(a_1\) គឺជាពាក្យដំបូងដែលត្រូវបូកសរុប
\\ (d\) - ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការ;
\(n\) - ចំនួនធាតុនៅក្នុងផលបូក។
ឧទាហរណ៍។
ស្វែងរកផលបូកនៃពាក្យដំបូង \(33\)-ex នៃដំណើរការនព្វន្ធ៖ \(17\); \(15,5\); \(ដប់បួន\)...
ដំណោះស្រាយ៖
ចម្លើយ៖ \(S_(33)=-231\) ។
បញ្ហាដំណើរការនព្វន្ធស្មុគស្មាញជាង
ឥឡូវនេះអ្នកមានព័ត៌មានទាំងអស់ដែលអ្នកត្រូវការដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាការវិវត្តនព្វន្ធស្ទើរតែទាំងអស់។ សូមបញ្ចប់ប្រធានបទដោយពិចារណាលើបញ្ហាដែលអ្នកត្រូវមិនត្រឹមតែអនុវត្តរូបមន្តប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងគិតបន្តិចទៀត (ក្នុងគណិតវិទ្យាវាអាចមានប្រយោជន៍ ☺)
ឧទាហរណ៍ (OGE) ។
ស្វែងរកផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌអវិជ្ជមានទាំងអស់នៃដំណើរការ៖ \(-19.3\); \\(-១៩\); \(-១៨.៧\)…
ដំណោះស្រាយ៖
|
\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
ភារកិច្ចគឺស្រដៀងនឹងការងារមុន។ យើងចាប់ផ្តើមដោះស្រាយតាមរបៀបដូចគ្នា៖ ដំបូងយើងរកឃើញ \(d\) ។ |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\) |
ឥឡូវនេះ យើងនឹងជំនួស \(d\) ទៅក្នុងរូបមន្តសម្រាប់ផលបូក ... ហើយនៅទីនេះ ចំនុចតូចមួយលេចឡើង - យើងមិនដឹង \(n\) ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត យើងមិនដឹងថាត្រូវបន្ថែមលក្ខខណ្ឌប៉ុន្មានទេ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងយល់? ចូរយើងគិត។ យើងនឹងបញ្ឈប់ការបន្ថែមធាតុនៅពេលដែលយើងទៅដល់ធាតុវិជ្ជមានដំបូង។ នោះគឺអ្នកត្រូវស្វែងរកចំនួននៃធាតុនេះ។ យ៉ាងម៉េច? ចូរសរសេររូបមន្តសម្រាប់គណនាធាតុណាមួយនៃដំណើរការនព្វន្ធ៖ \(a_n=a_1+(n-1)d\) សម្រាប់ករណីរបស់យើង។ |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
|
\(a_n=-19.3+(n-1) 0.3\) |
យើងត្រូវការ \(a_n\) ធំជាងសូន្យ។ ចូរយើងស្វែងយល់ថាតើវានឹងមានអ្វីកើតឡើង។ |
|
|
\(-19.3+(n-1) 0.3>0\) |
||
|
\((n-1) 0.3>19.3\) \(|:0.3\) |
យើងបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃវិសមភាពដោយ \(0,3\) ។ |
|
|
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) |
យើងផ្ទេរដកមួយដោយមិនភ្លេចប្តូរសញ្ញា |
|
|
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\) |
កុំព្យូទ័រ... |
|
|
\(n>65,333...\) |
…ហើយវាប្រែថាធាតុវិជ្ជមានដំបូងនឹងមានលេខ \(66\)។ ដូច្នោះហើយ អវិជ្ជមានចុងក្រោយមាន \(n=65\)។ គ្រាន់តែក្នុងករណី, សូមពិនិត្យមើលវាចេញ។ |
|
|
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1) 0.3=-0.1\) |
ដូច្នេះ យើងត្រូវបន្ថែមធាតុ \(65\) ដំបូង។ |
|
|
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\\(\cdot 65\) |
ចម្លើយគឺរួចរាល់។ |
ចម្លើយ៖ \(S_(65)=-630.5\) ។
ឧទាហរណ៍ (OGE) ។
វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ដោយលក្ខខណ្ឌ៖ \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\) ។ ស្វែងរកផលបូកពី \(26\)th ដល់ \(42\) ធាតុរួមបញ្ចូល។
ដំណោះស្រាយ៖
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
ក្នុងបញ្ហានេះ អ្នកក៏ត្រូវរកផលបូកនៃធាតុដែរ ប៉ុន្តែចាប់ផ្ដើមមិនមែនពីដំបូងទេ ប៉ុន្តែចាប់ពី \(26\)th ។ យើងមិនមានរូបមន្តសម្រាប់រឿងនេះទេ។ តើត្រូវសម្រេចចិត្តបែបណា? |
|
|
សម្រាប់ដំណើរការរបស់យើង \(a_1=-33\) និងភាពខុសគ្នា \(d=4\) (បន្ទាប់ពីទាំងអស់ យើងបន្ថែមបួនទៅធាតុមុនដើម្បីស្វែងរកធាតុបន្ទាប់)។ ដោយដឹងរឿងនេះ យើងរកឃើញផលបូកនៃធាតុ \(42\)-uh ដំបូង។ |
|
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\\(\cdot 42=\) |
ឥឡូវនេះផលបូកនៃធាតុទីមួយ \(25\)-th ។ |
|
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\\(\cdot 25=\) |
ហើយចុងក្រោយយើងគណនាចម្លើយ។ |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
ចម្លើយ៖ \\ (S=1683\) ។
សម្រាប់ដំណើរការនព្វន្ធ មានរូបមន្តជាច្រើនទៀតដែលយើងមិនបានពិចារណាក្នុងអត្ថបទនេះ ដោយសារអត្ថប្រយោជន៍ជាក់ស្តែងទាបរបស់វា។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយអ្នកអាចស្វែងរកពួកគេយ៉ាងងាយស្រួល។
ការណែនាំ
ការវិវត្តនព្វន្ធគឺជាលំដាប់នៃទម្រង់ a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. លេខ ឃ ជំហាន វឌ្ឍនភាព.ជាក់ស្តែង សរុបនៃពាក្យទី 0 បំពាននៃនព្វន្ធ វឌ្ឍនភាពមានទម្រង់៖ An = A1+(n-1)d. បន្ទាប់មកស្គាល់សមាជិកម្នាក់ វឌ្ឍនភាព, សមាជិក វឌ្ឍនភាពនិងជំហាន វឌ្ឍនភាពអាចជា នោះគឺជាចំនួននៃពាក្យវឌ្ឍនភាព។ ជាក់ស្តែង វានឹងត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត n = (An-A1+d)/d ។
អនុញ្ញាតឱ្យពាក្យ mth ត្រូវបានគេស្គាល់ឥឡូវនេះ វឌ្ឍនភាពនិងសមាជិកមួយចំនួនទៀត។ វឌ្ឍនភាព- n-th ប៉ុន្តែ n ដូចករណីមុនដែរ ប៉ុន្តែគេដឹងថា n និង m មិនត្រូវគ្នា។ វឌ្ឍនភាពអាចត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត: d = (An-Am)/(n-m) ។ បន្ទាប់មក n = (An-Am+md)/d ។
ប្រសិនបើផលបូកនៃធាតុជាច្រើននៃនព្វន្ធមួយ។ វឌ្ឍនភាពក៏ដូចជាទីមួយ និងចុងក្រោយរបស់វា បន្ទាប់មកចំនួននៃធាតុទាំងនេះក៏អាចត្រូវបានកំណត់ផងដែរ។ ផលបូកនៃនព្វន្ធ វឌ្ឍនភាពនឹងស្មើនឹង៖ S = ((A1+An)/2)n ។ បន្ទាប់មក n = 2S/(A1+An) ជា chdenov វឌ្ឍនភាព. ដោយប្រើការពិតថា An = A1+(n-1)d រូបមន្តនេះអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជា: n = 2S/(2A1+(n-1)d) ។ ពីមួយនេះអាចបង្ហាញ n ដោយដោះស្រាយសមីការការ៉េ។
លំដាប់នព្វន្ធគឺជាសំណុំលេខលំដាប់ ដែលសមាជិកនីមួយៗ លើកលែងតែលេខទីមួយ ខុសពីលេខមុនដោយចំនួនដូចគ្នា។ នេះ។ ថេរត្រូវបានគេហៅថាភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាព ឬជំហានរបស់វា ហើយអាចត្រូវបានគណនាពីសមាជិកដែលគេស្គាល់នៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ។
ការណែនាំ
ប្រសិនបើតម្លៃនៃពាក្យទីមួយ និងទីពីរ ឬគូផ្សេងទៀតនៃពាក្យជិតខាងត្រូវបានដឹងពីលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា ដើម្បីគណនាភាពខុសគ្នា (d) គ្រាន់តែដកពាក្យមុនពីពាក្យបន្ទាប់។ តម្លៃលទ្ធផលអាចជាវិជ្ជមានឬអវិជ្ជមាន - វាអាស្រ័យលើថាតើការវិវត្តកំពុងកើនឡើង។ អេ ទម្រង់ទូទៅសរសេរដំណោះស្រាយសម្រាប់គូដែលបំពាន (aᵢ និងaᵢ₊₁) នៃសមាជិកជិតខាងនៃវឌ្ឍនភាពដូចខាងក្រោមៈ d = aᵢ₊₁ - aᵢ ។
សម្រាប់សមាជិកមួយគូនៃដំណើរវិវត្តន៍បែបនេះ មួយក្នុងចំណោមនោះគឺទីមួយ (a₁) ហើយមួយទៀតគឺត្រូវបានជ្រើសរើសតាមអំពើចិត្ត មួយក៏អាចបង្កើតរូបមន្តសម្រាប់ការស្វែងរកភាពខុសគ្នា (d)។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ក្នុងករណីនេះ លេខស៊េរី (i) នៃសមាជិកដែលបានជ្រើសរើសដោយបំពាននៃលំដាប់ត្រូវតែដឹង។ ដើម្បីគណនាភាពខុសគ្នា បន្ថែមលេខទាំងពីរ ហើយបែងចែកលទ្ធផលដោយលេខធម្មតានៃពាក្យដែលបំពានដោយកាត់បន្ថយដោយមួយ។ អេ ទិដ្ឋភាពទូទៅសរសេររូបមន្តដូចនេះ៖ d = (a₁+ aᵢ)/(i-1) ។
ប្រសិនបើបន្ថែមលើសមាជិកបំពាននៃដំណើរការនព្វន្ធដែលមានលេខលំដាប់ i សមាជិកផ្សេងទៀតដែលមានលេខលំដាប់ u ត្រូវបានគេស្គាល់ ផ្លាស់ប្តូររូបមន្តពីជំហានមុនតាមនោះ។ ក្នុងករណីនេះ ភាពខុសគ្នា (d) នៃដំណើរការនឹងជាផលបូកនៃពាក្យទាំងពីរនេះ បែងចែកដោយភាពខុសគ្នានៃលេខធម្មតារបស់ពួកគេ៖ d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v)។
រូបមន្តសម្រាប់គណនាភាពខុសគ្នា (d) កាន់តែស្មុគស្មាញប្រសិនបើនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា តម្លៃនៃសមាជិកដំបូងរបស់វា (a₁) និងផលបូក (Sᵢ) នៃចំនួនដែលបានផ្តល់ឱ្យ (i) នៃសមាជិកទីមួយនៃ លំដាប់នព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ដើម្បីទទួលបានតម្លៃដែលចង់បាន សូមបែងចែកផលបូកដោយចំនួននៃពាក្យដែលបង្កើតវាឡើង ដកតម្លៃនៃលេខទីមួយក្នុងលំដាប់ ហើយលទ្ធផលទ្វេដង។ ចែកតម្លៃលទ្ធផលដោយចំនួនពាក្យដែលបង្កើតបានជាផលបូកកាត់បន្ថយដោយមួយ។ ជាទូទៅ ចូរសរសេររូបមន្តសម្រាប់គណនាការរើសអើងដូចខាងក្រោម៖ d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1) ។
បញ្ហាដំណើរការនព្វន្ធមានរួចហើយនៅក្នុង សម័យបុរាណ. ពួកគេបានបង្ហាញខ្លួន និងទាមទារដំណោះស្រាយមួយ ពីព្រោះពួកគេមានតម្រូវការជាក់ស្តែង។
ដូច្នេះនៅក្នុង papyri មួយ។ អេស៊ីបបុរាណដែលមានមាតិកាគណិតវិទ្យា - ក្រដាស Rhind (សតវត្សទី XIX មុនគ។
ហើយនៅក្នុងស្នាដៃគណិតវិទ្យារបស់ក្រិកបុរាណមានទ្រឹស្ដីឆើតឆាយទាក់ទងនឹងការវិវត្តនព្វន្ធ។ ដូច្នេះ Gipsicles នៃ Alexandria (សតវត្សទី II ដែលមានចំនួនច្រើន។ កិច្ចការគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ហើយបន្ថែមសៀវភៅទីដប់បួនទៅ "គោលការណ៍" នៃ Euclid បានបង្កើតគំនិតនេះថា: "នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធដែលមាន ចំនួនគូសមាជិក ផលបូកនៃសមាជិកនៃពាក់កណ្តាលទី 2 គឺធំជាងផលបូកនៃសមាជិកនៃទី 1 ដោយការ៉េ 1/2 នៃចំនួនសមាជិក។
លំដាប់ a ត្រូវបានតំណាង។ លេខនៃលំដាប់ត្រូវបានគេហៅថាសមាជិករបស់វា ហើយជាធម្មតាត្រូវបានបង្ហាញដោយអក្សរដែលមានសន្ទស្សន៍ដែលបង្ហាញពីលេខសៀរៀលនៃសមាជិកនេះ (a1, a2, a3 ... វាអានថា៖ “a 1st” “a 2nd” “a 3rd” ” ហើយដូច្នេះនៅលើ) ។
លំដាប់អាចគ្មានកំណត់ ឬគ្មានកំណត់។
តើអ្វីជាដំណើរការនព្វន្ធ? វាត្រូវបានយល់ដូចដែលទទួលបានដោយការបន្ថែមពាក្យមុន (n) ជាមួយនឹងលេខដូចគ្នា d ដែលជាភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាព។
ប្រសិនបើ ឃ<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0 បន្ទាប់មកការវិវត្តបែបនេះត្រូវបានចាត់ទុកថាកំពុងកើនឡើង។
ការវិវឌ្ឍន៍នព្វន្ធត្រូវបានគេនិយាយថាមានកំណត់ប្រសិនបើមានតែពាក្យដំបូងមួយចំនួនប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានយកមកពិចារណា។ នៅខ្លាំងណាស់ ក្នុងចំនួនដ៏ច្រើន។សមាជិកគឺជាការរីកចម្រើនគ្មានកំណត់រួចទៅហើយ។
ការវិវត្តនព្វន្ធណាមួយត្រូវបានផ្តល់ដោយរូបមន្តខាងក្រោម៖
a =kn+b ខណៈពេលដែល b និង k គឺជាលេខមួយចំនួន។
សេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលផ្ទុយពីនេះ គឺពិតជាពិត៖ ប្រសិនបើលំដាប់ត្រូវបានផ្តល់ដោយរូបមន្តស្រដៀងគ្នា នោះពិតជាការវិវត្តនព្វន្ធ ដែលមានលក្ខណៈសម្បត្តិ៖
- សមាជិកនីមួយៗនៃវឌ្ឍនភាពគឺជាមធ្យមនព្វន្ធរបស់សមាជិកមុន និងបន្ទាប់បន្សំ។
- ផ្ទុយ៖ ប្រសិនបើចាប់ផ្តើមពីលេខ 2 ពាក្យនីមួយៗគឺជាមធ្យមនព្វន្ធនៃពាក្យមុន និងបន្ទាប់ ពោលគឺឧ។ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌត្រូវបានបំពេញ នោះលំដាប់ដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាដំណើរការនព្វន្ធ។ សមភាពនេះក៏ជាសញ្ញានៃវឌ្ឍនភាពផងដែរ ដូច្នេះវាត្រូវបានគេហៅថាជាលក្ខណៈលក្ខណៈនៃវឌ្ឍនភាព។
ដូចគ្នាដែរ ទ្រឹស្តីបទដែលឆ្លុះបញ្ចាំងពីទ្រព្យសម្បត្តិនេះគឺពិត៖ លំដាប់មួយគឺជាការវិវត្តនព្វន្ធ លុះត្រាតែសមភាពនេះជាការពិតសម្រាប់សមាជិកណាមួយនៃលំដាប់ដោយចាប់ផ្តើមពីលេខ 2 ។
លក្ខណៈលក្ខណៈសម្រាប់លេខទាំងបួននៃដំណើរការនព្វន្ធអាចត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត a + am = ak + al ប្រសិនបើ n + m = k + l (m, n, k គឺជាលេខនៃវឌ្ឍនភាព) ។
នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ ពាក្យណាមួយដែលចាំបាច់ (Nth) អាចត្រូវបានរកឃើញដោយអនុវត្តរូបមន្តខាងក្រោម៖
ឧទាហរណ៍៖ ពាក្យទីមួយ (a1) ក្នុងដំណើរការនព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ និងស្មើបី ហើយភាពខុសគ្នា (d) ស្មើនឹងបួន។ អ្នកត្រូវស្វែងរកពាក្យសែសិបប្រាំនៃវឌ្ឍនភាពនេះ។ a45=1+4(45-1)=177
រូបមន្ត a = ak + d (n - k) អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់ សមាជិកទីការវិវត្តនព្វន្ធតាមរយៈពាក្យ k-th ណាមួយរបស់វា បានផ្តល់ថាវាត្រូវបានគេស្គាល់។
ផលបូកនៃសមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ (សន្មត់ថាសមាជិកទី 1 n នៃវឌ្ឍនភាពចុងក្រោយ) ត្រូវបានគណនាដូចខាងក្រោម៖
Sn = (a1+an) n/2 ។
ប្រសិនបើពាក្យទី 1 ត្រូវបានគេស្គាល់ផងដែរនោះរូបមន្តមួយផ្សេងទៀតគឺងាយស្រួលសម្រាប់ការគណនា:
Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.
ផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធដែលមានពាក្យ n ត្រូវបានគណនាដូចខាងក្រោម៖
ជម្រើសនៃរូបមន្តសម្រាប់ការគណនាអាស្រ័យលើលក្ខខណ្ឌនៃភារកិច្ច និងទិន្នន័យដំបូង។
ស៊េរីធម្មជាតិនៃលេខណាមួយដូចជា 1,2,3,...,n,...- ឧទាហរណ៍សាមញ្ញបំផុត។វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ។
បន្ថែមពីលើការវិវត្តនព្វន្ធ ក៏មានធរណីមាត្រមួយផងដែរ ដែលមានលក្ខណៈសម្បត្តិ និងលក្ខណៈផ្ទាល់ខ្លួន។
