Introdução
1.1 Conceitos e definições básicos
1.3 Fórmula Cardano
2. Resolução de problemas
Conclusão
Introdução
Equações. Pode-se dizer com certeza que não há uma única pessoa que não esteja familiarizada com eles. Desde cedo, as crianças começam a resolver “problemas com X”. Além disso. É verdade que, para muitos, o conhecimento das equações termina com os assuntos da escola. O famoso matemático alemão Courant escreveu: “Por mais de dois mil anos, a posse de algum conhecimento, não muito superficial, no campo da matemática foi uma necessidade parte integral no inventário intelectual de cada pessoa educada". E entre esse conhecimento estava a capacidade de resolver equações.
Já nos tempos antigos, as pessoas perceberam o quão importante é aprender a resolver equações algébricas da forma
a0xn + a1xn – 1 + ... + an = 0
afinal, muitas e muito diversas questões de prática e ciências naturais são reduzidas a elas (é claro, aqui podemos imediatamente supor que a0 ¹ 0, caso contrário o grau da equação não é n, mas menor). Muitos, é claro, tiveram a tentadora ideia de encontrar fórmulas para qualquer potência de n que expressasse as raízes da equação em termos de seus coeficientes, ou seja, resolvesse a equação em radicais. No entanto, a "sombria Idade Média" revelou-se o mais sombria possível em relação ao problema em discussão - durante sete séculos inteiros ninguém encontrou as fórmulas necessárias! Somente no século 16, os matemáticos italianos conseguiram avançar - para encontrar fórmulas para n = 3 e 4. A história de suas descobertas e até a autoria das fórmulas encontradas são bastante obscuras até hoje, e não descobriremos aqui relacionamento complicado entre Ferro, Cardano, Tartaglia e Ferrari, mas vamos colocar melhor essência matemática romances.
O objetivo do trabalho é explorar vários métodos para resolver equações do terceiro grau.
Para atingir este objetivo, é necessário realizar uma série de tarefas:
-Análise Literatura científica;
-Análise de livros escolares;
-Seleção de exemplos para solução;
-Solução de equações por vários métodos.
O trabalho é composto por duas partes. O primeiro trata de vários métodos para resolver equações. A segunda parte é dedicada à resolução de equações jeitos diferentes.
1. Parte teórica
1 Conceitos e definições básicos
Uma equação cúbica é uma equação do terceiro grau da forma:
O número x que transforma a equação em uma identidade é chamado de raiz ou solução da equação. É também a raiz de um polinômio de terceiro grau, que está no lado esquerdo da notação canônica.
Sobre o corpo dos números complexos, de acordo com o teorema fundamental da álgebra, uma equação cúbica sempre tem 3 raízes (levando em conta a multiplicidade).
Como todo polinômio real não é grau par tem pelo menos uma raiz real, todos os casos possíveis da composição das raízes de uma equação cúbica são esgotados pelos três descritos abaixo. Esses casos são facilmente distinguidos usando o discriminante
Portanto, existem apenas três casos possíveis:
Se um? > 0, então a equação tem três raízes reais diferentes.
Se um?< 0, то уравнение имеет один вещественный и пару комплексно сопряжённых корней.
Se um? = 0, então pelo menos duas raízes coincidem. Isso pode ocorrer quando a equação tem uma raiz real dupla e outra raiz real diferente delas; ou, todas as três raízes coincidem, formando uma raiz de multiplicidade 3. A resultante da equação cúbica e sua segunda derivada ajuda a separar esses dois casos: o polinômio tem uma raiz de multiplicidade 3 se e somente se a resultante indicada também for zero.
As raízes de uma equação cúbica estão relacionadas aos coeficientes da seguinte forma:
1.2 Métodos para resolver equações cúbicas
O método mais comum para resolver equações cúbicas é o método de enumeração.
Primeiro, por enumeração, encontramos uma das raízes da equação. O fato é que equações cúbicas sempre tem pelo menos 1 raiz real, e a raiz inteira da equação cúbica com coeficientes inteiros é um divisor do termo livre d. Os coeficientes dessas equações são geralmente escolhidos de modo que a raiz desejada esteja entre pequenos inteiros, como: 0, ± 1, ± 2, ± 3. Portanto, vamos procurar a raiz entre esses números e verificar substituindo-a em a equação. A taxa de sucesso com esta abordagem é muito alta. Vamos supor esta raiz.
A segunda etapa da solução é a divisão do polinômio pelo binômio x - x1. De acordo com o teorema de Bezout, essa divisão sem resto é possível, e como resultado obtemos um polinômio de segundo grau, que deve ser igualado a zero. Resolvendo a equação quadrática resultante, encontraremos (ou não) as duas raízes restantes.
Solução de uma equação cúbica de dois termos
A equação cúbica de dois termos tem a forma (2)
Esta equação é reduzida à forma dividindo-se por um coeficiente A diferente de zero. Em seguida, aplica-se a fórmula para a multiplicação abreviada da soma dos cubos:
Do primeiro colchete encontramos, e o trinômio quadrado tem apenas raízes complexas.
Equações cúbicas recorrentes
A equação cúbica recíproca tem a forma e os coeficientes B.
Vamos agrupar:
Obviamente, x=-1 é a raiz de tal equação, e as raízes do trinômio quadrado resultante são facilmente encontradas através do discriminante.
1.3 Fórmula Cardano
NO caso Geral, as raízes da equação cúbica são encontradas pela fórmula de Cardano.
Para a equação cúbica (1), os valores são encontrados usando a substituição: x= (2), e a equação é reduzida para a forma:
uma equação cúbica incompleta na qual não haverá termo contendo o segundo grau.
Assumimos que a equação tem coeficientes números complexos. Esta equação sempre terá raízes complexas.
Vamos denotar uma dessas raízes: . Introduzimos uma incógnita auxiliar u e consideramos o polinômio f(u)=.
Vamos denotar as raízes desse polinômio por? e?, de acordo com o teorema de Viette (ver p. 8):
Substituindo na equação (3), expressão (4), obtemos:
Do outro lado de (5): (7)
Segue-se daqui, ou seja, das fórmulas (6), (7), que os números são as raízes da equação:
Da última equação:
As outras duas raízes são encontradas pela fórmula:
1.4 fórmula trigonométrica Vieta
Esta fórmula encontra soluções para a equação cúbica reduzida, ou seja, uma equação da forma
Obviamente, qualquer equação cúbica pode ser reduzida a uma equação da forma (4) simplesmente dividindo-a pelo coeficiente a. Então, o algoritmo para aplicar esta fórmula:
Calcular
2. Calcular
3. a) Se, então calcule
E nossa equação tem 3 raízes (reais):
b) Se, então substitua funções trigonométricas hiperbólico.
Calcular
Então a única raiz (real):
Raízes imaginárias:
C) Se, então a equação tem menos de três várias soluções:
2. Resolução de problemas
Exemplo 1. Encontre as raízes reais de uma equação cúbica
Aplicamos a fórmula para multiplicação abreviada da diferença de cubos:
Do primeiro colchete, descobrimos que o trinômio quadrado no segundo colchete não tem raízes reais, pois o discriminante é negativo.
Exemplo 2. Resolva a equação
Esta equação é recíproca. Vamos agrupar:
é a raiz da equação. Encontrando as raízes de um trinômio quadrado
Exemplo 3. Encontre as raízes de uma equação cúbica
Vamos transformar a equação para a reduzida: multiplique por ambas as partes e faça uma mudança de variável.
O termo livre é 36. Vamos anotar todos os seus divisores:
Nós os substituímos por sua vez em igualdade até obtermos a identidade:
Assim, é a raiz. Corresponde
Divida usando o esquema de Horner.
Coeficientes polinomiais 2-11129-0,52-11+2*(-0,5)=-1212-12*(-0,5)=189+18*(-0,5)=0
Nós temos
Vamos encontrar as raízes do trinômio quadrado:
Obviamente, isto é, sua raiz múltipla é.
Exemplo 4. Encontre as raízes reais da equação
é a raiz da equação. Encontre as raízes de um trinômio quadrado.
Uma vez que o discriminante menos que zero, então o trinômio não tem raízes reais.
Exemplo 5. Encontre as raízes da equação cúbica 2.
Consequentemente,
Substituímos na fórmula de Cardano:
assume três valores. Vamos escrevê-los.
quando temos
quando temos
quando temos
Vamos quebrar esses valores em pares, que no produto dão
O primeiro par de valores e
O segundo par de valores e
O terceiro par de valores e
De volta à fórmula Cardano
Nesse caminho,
Conclusão
equação trinomial cúbica
Como resultado da execução trabalho de conclusão de curso vários métodos para resolver equações do terceiro grau foram investigados, como o método de enumeração, fórmula de Carano, fórmula de Vieta, métodos para resolver equações recíprocas de dois termos.
Lista de fontes usadas
1)Bronstein I.N., Semendyaev K.A. "Manual de matemática para engenheiros e estudantes de universidades técnicas", M., 1986.
2)Kolmogorov A. N. Álgebra e os primórdios da análise. Guia de estudos para o 9º ano ensino médio, 1977.
)Omelchenko V.P. Matemáticas: tutorial/ V. P. Omelchenko, E.V. Kurbatova. - Rostov n/a.: Phoenix, 2005.- 380s.
Tutoria
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Aprenda a resolver equações cúbicas. O caso em que uma raiz é conhecida é considerado. Métodos para encontrar números inteiros e raízes racionais. Aplicação das fórmulas Cardano e Vieta para resolver qualquer equação cúbica.
Aqui consideramos a solução de equações cúbicas da forma
(1)
.
Além disso, assumimos que este é numeros reais.
(2)
,
então dividindo por , obtemos uma equação da forma (1) com coeficientes
.
A equação (1) tem três raízes: , e . Uma das raízes é sempre real. Denotamos a raiz real como . As raízes e podem ser conjugadas reais ou complexas. As raízes reais podem ser múltiplas. Por exemplo, se , então e são raízes duplas (ou raízes de multiplicidade 2), e é uma raiz simples.
Se apenas uma raiz é conhecida
Deixe-nos saber uma raiz da equação cúbica (1). Indicar raiz conhecida Como as . Então dividindo a equação (1) por , obtemos uma equação quadrática. Resolvendo a equação quadrática, encontramos mais duas raízes e .
Para a prova, usamos o fato de que o polinômio cúbico pode ser representado como:
.
Então, dividindo (1) por , obtemos uma equação quadrática.
Exemplos de divisão de polinômios são apresentados na página
“Divisão e multiplicação de um polinômio por um polinômio por um canto e uma coluna”.
A solução de equações quadráticas é considerada na página
"As raízes de uma equação quadrática".
Se uma das raízes for
Se a equação original for:
(2)
,
e seus coeficientes , , , são inteiros, então você pode tentar encontrar uma raiz inteira. Se esta equação tem uma raiz inteira, então é um divisor do coeficiente. O método de procurar raízes inteiras é encontrar todos os divisores de um número e verificar se a equação (2) vale para eles. Se a equação (2) for satisfeita, então encontramos sua raiz. Vamos denotar como . Em seguida, dividimos a equação (2) por . Obtemos uma equação quadrática. Resolvendo, encontramos mais duas raízes.
Exemplos de definição de raízes inteiras são fornecidos na página
Exemplos de fatoração de polinômios > > > .
Encontrando Raízes Racionais
Se na equação (2) , , , são inteiros, e , e não há raízes inteiras, então você pode tentar encontrar raízes racionais, ou seja, raízes da forma , onde e são inteiros.
Para fazer isso, multiplicamos a equação (2) por e fazemos a substituição:
;
(3)
.
Em seguida, procuramos raízes inteiras da equação (3) entre os divisores do termo livre.
Se encontramos uma raiz inteira da equação (3), então, retornando à variável , obtemos raiz racional equações (2):
.
Fórmulas Cardano e Vieta para resolver uma equação cúbica
Se não conhecemos uma única raiz e não existem raízes inteiras, podemos encontrar as raízes de uma equação cúbica usando as fórmulas de Cardano.
Considere a equação cúbica:
(1)
.
Vamos fazer uma substituição:
.
Depois disso, a equação é reduzida a uma forma incompleta ou reduzida:
(4)
,
Onde
(5)
;
.
Referências:
DENTRO. Bronstein, K. A. Semendyaev, Manual de Matemática para Engenheiros e Estudantes de Instituições de Ensino Superior, Lan, 2009.
G. Korn, Manual de Matemática para cientistas e engenheiros, 2012.
Equação Cúbica - equação algébrica terceiro grau. Visão geral da equação cúbica: ax3 + bx2 + cx + d = 0, a ≠ 0
Substituindo x nesta equação por uma nova incógnita y associada a x pela igualdade x = y - (b / 3a), a equação cúbica pode ser reduzida a uma forma mais simples (canônica): y3 + pu + q = 0, onde p = - b2 + c , q = 2b – bc + d
3a2 a 27a3 3a2 a a solução desta equação pode ser obtida usando a fórmula de Cardano.
1.1 História das equações cúbicas
O termo "equação cúbica" foi introduzido por R. Descartes (1619) e W. Outred (1631).
As primeiras tentativas de encontrar soluções para problemas que se reduzem a equações cúbicas foram feitas por matemáticos antigos (por exemplo, os problemas de dobrar um cubo e trissectar um ângulo).
Os matemáticos da Idade Média do Oriente criaram bastante teoria desenvolvida(dentro forma geométrica) equações cúbicas; é descrito com mais detalhes no tratado sobre as provas dos problemas de álgebra e almukabala "Omar Haya" (cerca de 1070), onde a questão de encontrar raízes positivas 14 tipos de equações cúbicas contendo apenas termos com coeficientes positivos em ambas as partes.
Pela primeira vez na Europa forma trigonométrica uma solução para um caso de uma equação cúbica foi dada por Viet (1953).
A primeira solução em radicais de um dos tipos de equações cúbicas foi encontrada por S. Ferro (cerca de 1515), mas não foi publicada. A descoberta foi repetida independentemente por Tartaglia (1535), indicando uma regra para resolver dois outros tipos de equações cúbicas. Estas descobertas foram publicadas em 1545 por G. Cardano, que mencionou a autoria de N. Tartaglia.
No final do século XV. Professor de Matemática nas Universidades de Roma e Milão Luca Pacioli em seu famoso livro "A soma do conhecimento em aritmética, geometria, relações e proporcionalidade" o problema de encontrar método geral para resolver equações cúbicas, ele a equiparou ao problema da quadratura de um círculo. E, no entanto, através dos esforços dos algebristas italianos, esse método logo foi encontrado.
Vamos começar com simplificação
Se a equação cúbica visão geral ax3 + bx2 + cx + d = 0, onde a ≠ 0, dividido por a, então o coeficiente em x3 se torna igual a 1. Portanto, no futuro procederemos da equação x3 + Px2 + Qx + R = 0. (1)
O mesmo que no centro da solução Equação quadrática encontra-se a fórmula para o quadrado da soma, a solução da equação cúbica é baseada na fórmula para o cubo da soma:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
Para não ficar confuso nos coeficientes, aqui substituímos a por x e reorganizamos os termos:
(x + b)3 = x3 + 3bx2 + 3b2x + b3. (2)
Vemos que de maneira adequada b, ou seja, tomando b = P/3, podemos alcançar que parte direita desta fórmula diferirá do lado esquerdo da equação x3 + Px2 + Qx + R = 0 apenas pelo coeficiente em x e pelo termo livre. Adicionamos a equação x3 + Px2 + Qx + R = 0 e (x + b)3 = x3 + 3bx2 + 3b2x + b3 e damos semelhantes:
(x + b)3 + (Q - 3b2)x + R - b3 = 0.
Se fizermos a mudança aqui y = x + b, obtemos uma equação cúbica para y sem um termo com y2: y3 + py + q = 0.
Assim, mostramos que na equação cúbica x3 + Px2 + Qx + R = 0, usando uma substituição apropriada, você pode se livrar do termo que contém o quadrado da incógnita. Portanto, agora vamos resolver uma equação da forma x3 + px + q = 0. (3)
1.2 História da Fórmula Cardano
A fórmula Cardano recebeu o nome de J. Cardano, que a publicou pela primeira vez em 1545.
O autor desta fórmula é Niccolò Tartaglia. Ele criou esta solução em 1535 especificamente para a participação em uma competição matemática, na qual, é claro, ele venceu. Tartaglia, dando a fórmula (em forma poética) Cardano, apresentou apenas aquela parte da solução da equação cúbica em que a raiz tem um valor (real).
Os resultados de Cardano nesta fórmula referem-se à consideração do chamado caso irredutível, em que a equação tem três valores (valores reais, naqueles dias não havia números imaginários ou mesmo negativos, embora houvesse tentativas neste direção). No entanto, ao contrário do fato de Cardano ter indicado em sua publicação a autoria de Tartaglia, a fórmula é chamada pelo nome de Cardano.
1. 3 Fórmula Cardano
Agora vamos olhar para a fórmula do cubo de soma novamente, mas escreva de forma diferente:
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b).
Compare esta entrada com a equação x3 + px + q = 0 e tente estabelecer uma conexão entre elas. Substitua em nossa fórmula x = a + b: x3 = a3 + b3 + 3abx, ou x3 - 3abx - (a3 + b3) = 0
Agora já está claro: para encontrar a raiz da equação x3 + px + q = 0, basta resolver o sistema de equações a3 + b3 = - q, a3 + b3 = - q, ou
3аb \u003d - p, a3b3 \u003d - p 3,
3 e tome como x a soma de a e b. Ao mudar u = a3, v = b3 este sistema é reduzido a um à vista: e + v = - q, e v = - p 3.
Então você pode agir de maneiras diferentes, mas todas as "estradas" levarão à mesma equação quadrática. Por exemplo, de acordo com o teorema de Vieta, a soma das raízes da equação quadrática dada é igual ao coeficiente em x com um sinal de menos, e o produto é o termo livre. Isso implica que e e v são as raízes da equação t2 + qt – (p/3)3 = 0.
Vamos escrever essas raízes: t1,2 = - q ± q 2 + p 3.
As variáveis aeb são iguais às raízes cúbicas de t1 e t2, e a solução desejada da equação cúbica x3 + px + q = 0 é a soma dessas raízes: x = 3 - q + q 2 + p 3+ 3 -q-q2 + p3.
Esta fórmula é conhecida como a fórmula de Cardano.
Resolvendo equações
Antes de olhar para a fórmula Cardano no trabalho, vamos explicar como encontrar suas outras raízes, se houver, de uma raiz da equação cúbica x3 + px + q = 0.
Seja conhecido que nossa equação tem uma raiz h. Então seu lado esquerdo pode ser decomposto em linear e multiplicadores quadrados. Isso é feito de forma muito simples. Substituímos a expressão do termo livre pela raiz q \u003d - h3 - ph na equação e usamos a fórmula para a diferença de cubos:
0 \u003d x3 - h3 + px - ph \u003d (x - h) (x2 + hx + h2) + p (x - h) \u003d (x - h) (x2 + hx + h2 + p).
Agora você pode resolver a equação quadrática x2 + hx + h2 + p = 0 e encontrar o resto das raízes desta equação cúbica.
Então, estamos totalmente armados e, ao que parece, podemos lidar com qualquer equação cúbica. Vamos tentar nossa mão.
1. Vamos começar com a equação x3 + 6x - 2 = 0
Substituímos p = 6 eq = -2 na fórmula de Cardano e após simples reduções obtemos a resposta: x = 3√4 - 3√2. Bem, a fórmula é muito boa. Apenas a perspectiva de tirar o fator x - (3√4 - 3√2) do lado esquerdo da equação e resolver a equação quadrática restante com coeficientes "terríveis" para calcular outras raízes não é muito inspiradora. No entanto, olhando a equação mais de perto, podemos nos acalmar: a função do lado esquerdo é estritamente crescente e, portanto, pode desaparecer apenas uma vez. Isso significa que o número encontrado é a única raiz real da equação.
y y \u003d x3 + 6x - 2
3√4 – 3√2 x
Arroz. 1 O gráfico da função y \u003d x3 + 6x - 2 cruza o eixo x em um ponto - 3√4 - 3√2.
2. Próximo exemplo- a equação x3 + 3x - 4 = 0.
A fórmula de Cardano dá x = 3 2 + √5 + 3 2 - √5.
Como no exemplo anterior, vemos que essa raiz é única. Mas você não precisa ser muito perspicaz para olhar para a equação e adivinhar sua raiz: x = 1. Temos que admitir que a fórmula forneceu a unidade usual de uma forma tão bizarra. A propósito, para simplificar essa expressão complicada, mas não sem elegância transformações algébricas falha - a irracionalidade cúbica nele é inevitável.
3. Bem, agora vamos pegar uma equação que obviamente tem três raízes reais. É fácil compô-lo - basta multiplicar três colchetes da forma x - b. Você só precisa tomar cuidado para que a soma das raízes seja igual a zero, pois, de acordo com teorema geral Vieta, difere do coeficiente em x2 apenas no sinal. O conjunto mais simples de tais raízes é 0, 1 e -1.
Vamos aplicar a fórmula Cardano à equação x (x - 1) (x + 1) = 0, ou x3 - x = 0.
Assumindo que p = -1 e q = 0, obtemos x = 3 √ - 1/27 + 3 - √ - 1/27.
y y \u003d x (x - 1) (x + 1)
Arroz. 2 A equação x (x - 1) (x + 1) \u003d 0 tem três raízes reais: -1, 0 e 1. Assim, o gráfico da função y \u003d x (x - 1) (x + 1) intercepta o eixo x em três pontos.
apareceu sob o signo da raiz quadrada um número negativo. Isso também acontece ao resolver equações quadráticas. Mas a equação quadrática neste caso não tem raízes reais, enquanto a cúbica tem três delas!
Uma análise mais detalhada mostra que não caímos nessa armadilha por acaso. A equação x3 + px + q = 0 tem três raízes reais se e somente se a expressão Δ = (q/2)2 + (p/3)3 sob raiz quadrada na fórmula de Cardano é negativo. Se Δ > 0, então existe uma raiz real (Fig. 3b), e se Δ = 0, então existem duas delas (uma delas é dupla), exceto para o caso p = q = 0, quando todas as três raízes se fundem.
y Δ 0 y \u003d -px - q y \u003d x3
0 x 0 x y \u003d -px - q y \u003d x3 a) b)
Arroz. 3 A equação cúbica x3 + px + q = 0 pode ser representada como x3 = -px - q. Isso mostra que as raízes da equação corresponderão às abcissas dos pontos de interseção dos dois gráficos: y \u003d x3 e y \u003d -px - q. Se Δ 0 é um.
1.4 Teorema de Vieta
Teorema de Vieta. Se um número inteiro equação racional grau n reduzido a modo de exibição padrão, tem n raízes reais distintas x1, x2,. xn, então eles satisfazem as igualdades: x1 + x2 + + xn = - a1, a0 x1x2 + x1x3 + + xn-1xn = a2 a0 x1 x2 xn = (-1)nàn.
Para as raízes da equação do terceiro grau a0x3 + a1x2 + a2x + a3 = 0, onde a0 ≠ 0, as igualdades x1 + x2 + x3 = - a1, a0 x1x2 + x1x3 + x2x3 = a2, a0 x1x2x3 = - a3 é válido.
1. 5 Teorema de Bezout. O esquema de Horner
A solução de equações está intimamente relacionada com a fatoração de polinômios. Portanto, ao resolver equações, tudo o que está relacionado à seleção no polinômio é importante fatores lineares, ou seja, com a divisão do polinômio A(x) pelo binômio x - α. A base de muito conhecimento sobre a divisão do polinômio A(x) pelo binômio x - α é um teorema pertencente a matemático francês Etienne Bez (1730-1783) e com o seu nome.
Teorema de Bezout. O restante da divisão do polinômio A (x) pelo binômio x - α é igual a A (α) (ou seja, o valor do polinômio A (x) em x = α).
Encontre o resto depois de dividir o polinômio A(x) = x4 - 6x3 + 8 por x + 2.
Solução. De acordo com o teorema de Bezout, o restante da divisão por x + 2 é A (-2) \u003d (-2) 4 - 6 (-2) 3 + 8 \u003d 72.
Uma maneira conveniente de encontrar os valores de um polinômio quando definir valor A variável x foi introduzida pelo matemático inglês Williams George Horner (1786-1837). Este método foi mais tarde chamado de esquema de Horner. Consiste em preencher alguma tabela de duas linhas. Por exemplo, para calcular A(-2) no exemplo anterior, na linha superior da tabela listamos os coeficientes dado polinômio, escrito na forma padrão x4 - 6x3 + 8 = x4 + (-6)x3 + 0 x2 + 0 x + 8.
Duplicamos o coeficiente no grau mais alto na linha inferior e, antes dele, escrevemos o valor da variável x = -2, na qual o valor do polinômio é calculado. Isso resulta na seguinte tabela:
As células vazias da tabela são preenchidas de acordo com a seguinte regra: o número mais à direita da linha inferior é multiplicado por -2 e adicionado ao número acima da célula vazia. De acordo com esta regra, a primeira célula vazia contém o número (-2) 1 + (-6) = -8, a segunda célula contém o número (-2) (-8) + 0 = 16, a terceira célula contém o número número (- 2) 16 + 0 = - 32, em última gaiola- número (-2) (-32) + 8 \u003d 72. A tabela completamente preenchida de acordo com o esquema de Horner é assim:
2 1 -8 16 -32 72
O número na última célula é o resto da divisão do polinômio por x + 2, A(-2) = 72.
De fato, da tabela resultante, preenchida de acordo com o esquema de Horner, pode-se escrever não apenas o resto, mas também o quociente incompleto
Q(x) \u003d x3 - 8x2 + 16x - 32, já que o número na segunda linha (sem contar com a última) são os coeficientes do polinômio Q (x) - o quociente incompleto da divisão por x + 2.
Resolva a equação x3 - 2x2 - 5x + 6 = 0
Escrevemos todos os divisores do termo livre da equação: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6.
x=1, x=-2, x=3
Resposta: x = 1, x = -2, x = 3
2. CONCLUSÃO
Formularei as principais conclusões sobre o trabalho realizado.
No processo de trabalho, conheci a história do desenvolvimento do problema de resolver uma equação do terceiro grau. O significado teórico dos resultados obtidos reside no fato de que deliberadamente substitui a fórmula de Cardano na resolução de algumas equações do terceiro grau. Certifiquei-me de que a fórmula para resolver a equação do terceiro grau existe, mas por causa de sua inconveniência ela não é popular e não é muito confiável, pois nem sempre atinge o resultado final.
No futuro, podemos considerar tais questões: como descobrir antecipadamente quais raízes tem uma equação do terceiro grau; uma equação cúbica pode ser resolvida graficamente se possível, como; como estimar aproximadamente as raízes de uma equação cúbica?
Objetivos da lição.
- Aprofundar o conhecimento dos alunos sobre o tema “Resolução de equações de graus superiores” e resumir o material didático.
- Introduzir os alunos aos métodos de resolução de equações de graus superiores.
- Ensinar os alunos a aplicar a teoria da divisibilidade na resolução de equações de graus superiores.
- Ensinar os alunos a dividir um polinômio em um polinômio pelo “canto”.
- Desenvolver habilidades e habilidades para trabalhar com equações de graus superiores.
Em desenvolvimento:
- Desenvolvimento da atenção do aluno.
- Desenvolvimento da capacidade de alcançar resultados de trabalho.
- Desenvolvimento de interesse em aprender álgebra e habilidades de trabalho independente.
Nutrir:
- Aumentando o senso de coletivismo.
- Formação de um senso de responsabilidade pelo resultado do trabalho.
- Formação em alunos auto-estima adequada ao escolher uma nota para o trabalho na lição.
Equipamento: computador, projetor.
Durante as aulas
1 etapa de trabalho. Organizando o tempo.
2 fase de trabalho. Motivação e resolução de problemas
Equação um de os conceitos mais importantes matemática. O desenvolvimento de métodos para resolver equações, a partir do nascimento da matemática como ciência, por muito tempo foi o principal assunto de estudo da álgebra.
NO curso escolar no estudo da matemática muita atenção é dada à resolução de vários tipos de equações. Até a nona série, só podíamos resolver equações lineares e quadráticas. Equações da terceira, quarta, etc. graus são chamados de equações de graus superiores. Na nona série, nos familiarizamos com dois métodos básicos para resolver algumas equações do terceiro e quarto graus: fatorar um polinômio em fatores e usar uma mudança de variável.
É possível resolver equações de graus mais elevados? Vamos tentar encontrar uma resposta para esta pergunta hoje.
3 etapas de trabalho. Revise o material aprendido anteriormente. Introduzir o conceito de uma equação de graus superiores.
1) Solução de uma equação linear.
Linear é uma equação da forma , onde por definição. Esta equação tem apenas uma raiz.
2) Solução de uma equação quadrática.
Uma equação da forma 
, Onde . O número de raízes e as próprias raízes são determinados pelo discriminante da equação. Pois a equação não tem raízes, pois tem uma raiz (duas raízes idênticas)
Das equações lineares e quadráticas consideradas, vemos que o número de raízes da equação não é maior que seu grau. No curso de álgebra superior, prova-se que a equação do grau -th não tem mais do que n raízes. Quanto às próprias raízes, a situação é muito mais complicada. Para equações do terceiro e quarto graus, as fórmulas são conhecidas para encontrar raízes. No entanto, essas fórmulas são muito complexas e complicadas e aplicação prática Não tenho. Para equações do quinto e graus superiores fórmulas gerais não existe e não pode existir (como foi provado no século XIX por N. Abel e E. Galois).
Chamaremos as equações de terceira, quarta, etc. graus por equações de graus superiores. Algumas equações altos graus pode ser resolvido usando duas técnicas principais: fatorando um polinômio em fatores ou usando uma mudança de variável.
3) Solução da equação cúbica.
Vamos resolver a equação cúbica
Agrupamos os termos do polinômio no lado esquerdo da equação e o fatoramos. Nós temos:
O produto dos fatores é igual a zero se um dos fatores for igual a zero. Obtemos três equações lineares:
Assim, esta equação cúbica tem três raízes: ; ;.
4) Solução da equação biquadrática.
Equações biquadráticas são muito comuns, que têm a forma (ou seja, equações que são quadráticas em relação a ). Para resolvê-los, uma nova variável é introduzida.
Nós vamos decidir equação biquadrática.
Vamos introduzir uma nova variável e obter uma equação quadrática, cujas raízes são os números e 4.
Vamos voltar para a variável antiga e obter duas equações quadráticas simples:
(raízes e ) (raízes e )Então, esta equação biquadrática tem quatro raízes:
; ;
.
Vamos tentar resolver a equação usando os métodos acima.
FALHOU!!!
4 etapas do trabalho. Dê algumas declarações sobre as raízes de um polinômio da forma , onde enésimo polinômio graus
Aqui estão algumas declarações sobre as raízes de um polinômio da forma:
1) Um polinômio de grau 1 tem no máximo raízes (levando em conta suas multiplicidades). Por exemplo, um polinômio de terceiro grau não pode ter quatro raízes.
2) Um polinômio de grau ímpar tem pelo menos uma raiz. Por exemplo, polinômios do primeiro, terceiro, quinto, etc. graus têm pelo menos uma raiz. Polinômios de grau par podem ou não ter raízes.
3) Se nas extremidades do segmento os valores do polinômio tiverem sinais diferentes (ou seja, 
), então o intervalo contém pelo menos uma raiz. Esta declaração é amplamente utilizada para o cálculo aproximado das raízes de um polinômio.
4) Se o número é a raiz de um polinômio da forma , então este polinômio pode ser representado como um produto , onde o polinômio (-º grau. Em outras palavras, o polinômio da forma pode ser dividido sem resto pelo binomial Isto permite reduzir a equação do grau º à equação (-º grau (reduzir o grau da equação).
5) Se uma equação com todos os coeficientes inteiros (além disso, o termo livre) tem uma raiz inteira, então essa raiz é um divisor do termo livre. Tal declaração permite que você escolha toda a raiz do polinômio (se existir).
5 etapas do trabalho. Mostre como a teoria da divisibilidade é aplicada para resolver equações de graus mais elevados. Considere exemplos de resolução de equações de graus mais altos, nas quais o lado esquerdo é fatorado usando o método de dividir um polinômio por um polinômio por um “canto”.
Exemplo 1. Resolva a equação 
.
Assim, na verdade, decompusemos o lado esquerdo da equação em fatores:
O produto dos fatores é igual a zero se um dos fatores for igual a zero. Obtemos duas equações.
As equações cúbicas têm a forma machado 3 + bx 2 + cx + d= 0). Um método para resolver tais equações é conhecido há vários séculos (foi descoberto no século 16 por matemáticos italianos). Resolver algumas equações cúbicas é bastante difícil, mas com a abordagem correta (e bom nível conhecimento teórico) você será capaz de resolver até mesmo as equações cúbicas mais complexas.
Passos
Solução usando uma fórmula para resolver uma equação quadrática
- Se houver uma interceptação, use um método de solução diferente (consulte as seções a seguir).
-
Desde em dada equação não há termo livre, então todos os termos desta equação contêm uma variável x (\displaystyle x), que pode ser entre parênteses: x (a x 2 + b x + c) (\displaystyle x(ax^(2)+bx+c)).
- Exemplo. 3 x 3 + − 2 x 2 + 14 x = 0 (\displaystyle 3x^(3)+-2x^(2)+14x=0). Se você aguentar x (\displaystyle x) parênteses, você obtém x (3 x 2 + − 2 x + 14) = 0 (\displaystyle x(3x^(2)+-2x+14)=0).
-
Observe que a equação entre parênteses é uma equação quadrática da forma ( a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c)), que pode ser resolvido usando a fórmula ((- b +/-√ (). Resolva uma equação quadrática e você resolverá uma equação cúbica.
- No nosso exemplo, substitua os valores dos coeficientes a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c) (3 (\displaystyle 3), − 2 (\displaystyle -2), 14 (\displaystyle 14)) na fórmula: − b ± b 2 − 4 a c 2 a (\displaystyle (\frac (-b\pm (\sqrt (b^(2)-4ac)))(2a))) − (− 2) ± ((− 2) 2 − 4 (3) (14) 2 (3) (\displaystyle (\frac (-(-2)\pm (\sqrt (((-2)^(2) )-4(3)(14))))(2(3)))) 2 ± 4 − (12) (14) 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (4-(12)(14))))(6))) 2 ± (4 − 168 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt ((4-168))))(6))) 2 ± − 164 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (-164)))(6)))
- Solução 1: 2 + − 164 6 (\displaystyle (\frac (2+(\sqrt (-164)))(6))) 2 + 12,8 i 6 (\displaystyle (\frac (2+12,8i)(6)))
- Solução 2: 2 − 12,8 i 6 (\displaystyle (\frac (2-12,8i)(6)))
-
Lembre-se que as equações quadráticas têm duas soluções, enquanto as equações cúbicas têm três soluções. Você encontrou duas soluções para uma equação quadrática e, portanto, uma equação cúbica. Nos casos em que você coloca "x" entre colchetes, a terceira solução é sempre 0 (\displaystyle 0).
- Isso é verdade porque qualquer número ou expressão multiplicado por 0 (\displaystyle 0), é igual a 0 (\displaystyle 0). Desde que você suportou x (\displaystyle x) fora dos colchetes, então você decompôs a equação cúbica em dois fatores ( x (\displaystyle x) e uma equação quadrática), uma das quais deve ser igual a 0 (\displaystyle 0) para que toda a equação seja igual a 0 (\displaystyle 0).
Encontrar soluções inteiras usando fatoração
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Verifique se a equação cúbica dada a você tem uma interceptação. O método descrito na seção anterior não é adequado para resolver equações cúbicas nas quais há um termo livre. Nesse caso, você terá que usar o método descrito nesta ou na próxima seção.
- Exemplo. 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x = − 6 (\displaystyle 2x^(3)+9x^(2)+13x=-6). Aqui, mova um pau solto d = − 6 (\displaystyle d=-6) para o lado esquerdo da equação, de modo que lado direito pegue 0 (\displaystyle 0): 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x + 6 = 0 (\displaystyle 2x^(3)+9x^(2)+13x+6=0).
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Encontrar multiplicadores de coeficiente a (\displaystyle a)(coeficiente em x 3 (\estilo de exibição x^(3))) e membro livre d (\displaystyle d). Fatores de um número são números que, quando multiplicados, dão número original. Por exemplo, os fatores do número 6 (\displaystyle 6) são os números 1 (\displaystyle 1), 2 (\displaystyle 2), 3 (\displaystyle 3), 6 (\displaystyle 6) (6×1 (\displaystyle 6\vezes 1) e 2 × 3 (\displaystyle 2\vezes 3)).
- Em nosso exemplo a = 2 (\displaystyle a=2) e d = 6 (\displaystyle d=6). Multiplicadores 2 (\displaystyle 2) são números 1 (\displaystyle 1) e 2 (\displaystyle 2). Multiplicadores 6 (\displaystyle 6) são números 1 (\displaystyle 1), 2 (\displaystyle 2), 3 (\displaystyle 3), e 6 (\displaystyle 6).
-
Multiplicadores de coeficiente de divisão a (\displaystyle a) por fatores do termo livre d (\displaystyle d). Você obterá frações e números inteiros. A solução inteira da equação cúbica dada a você será um desses inteiros ou o valor negativo de um desses inteiros.
- No nosso exemplo, divida os fatores a (\displaystyle a) (1 (\displaystyle 1), 2 (\displaystyle 2)) por fatores d (\displaystyle d) (1 (\displaystyle 1), 2 (\displaystyle 2), 3 (\displaystyle 3), 6 (\displaystyle 6)) e pegue: 1 (\displaystyle 1), , , , 2 (\displaystyle 2) e . Agora adicione a esta linha de números seus valores negativos: 1 (\displaystyle 1), − 1 (\displaystyle -1), 1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))), − 1 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2))), 1 3 (\displaystyle (\frac (1)(3))), − 1 3 (\displaystyle -(\frac (1)(3))), 1 6 (\displaystyle (\frac (1)(6))), − 1 6 (\displaystyle -(\frac (1)(6))), 2 (\displaystyle 2), − 2 (\displaystyle -2), 2 3 (\displaystyle (\frac (2)(3))) e − 2 3 (\displaystyle -(\frac (2)(3))). As soluções inteiras da equação cúbica dada a você estão nesta série de números.
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Agora você pode encontrar soluções inteiras para sua equação cúbica substituindo inteiros da série de números encontrados nela. Mas se você não quer perder tempo com isso, use. Este esquema envolve a divisão de inteiros em valores a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c), d (\displaystyle d) equação cúbica dada. Se o restante for 0 (\displaystyle 0), o inteiro é uma das soluções da equação cúbica.
- A divisão de Horner não é um tema fácil; para obter informação adicional siga o link informado acima. Aqui está um exemplo de como encontrar uma das soluções para uma equação cúbica dada a você usando a divisão de Horner: -1 | 2 9 13 6 __| -2-7-6 __| 2 7 6 0 Desde o restante 0 (\displaystyle 0), então uma das soluções da equação é um inteiro − 1 (\displaystyle -1).
Usando o discriminante
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Neste método, você trabalhará com valores de coeficiente a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c), d (\displaystyle d). Portanto, é melhor escrever os valores desses coeficientes com antecedência.
- Exemplo. matemática>x^3-3x^2+3x-1. Aqui a = 1 (\displaystyle a=1), b = − 3 (\displaystyle b=-3), c = 3 (\displaystyle c=3), d = − 1 (\displaystyle d=-1). Não se esqueça que quando x (\displaystyle x) não há coeficiente, isso significa que o coeficiente é igual a 1 (\displaystyle 1).
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Calcular △ = b 2 − 3 a c (\displaystyle \triangle _(0)=b^(2)-3ac). Este método exigirá alguns cálculos complexos, mas se você o entender, poderá resolver as equações cúbicas mais complexas. Para começar, calcule △ 0 (\displaystyle \triângulo _(0)), uma das várias quantidades importantes que precisaremos substituindo os valores apropriados na fórmula.
- Em nosso exemplo: b 2 − 3 a c (\displaystyle b^(2)-3ac) (− 3) 2 − 3 (1) (3) (\displaystyle (-3)^(2)-3(1)(3)) 9 − 3 (1) (3) (\displaystyle 9-3(1)(3)) 9 − 9 = 0 = △ 0 (\displaystyle 9-9=0=\triangle _(0)) 2 (− 27) − 9 (− 9) + 27 (− 1) (\displaystyle 2(-27)-9(-9)+27(-1)) − 54 + 81 − 27 (\displaystyle -54+81-27) 81 − 81 = 0 = △ 1 (\displaystyle 81-81=0=\triangle _(1))
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Calcular Δ = Δ1 2 - 4Δ0 3) ÷ -27 uma 2 . Agora calcule o discriminante da equação usando os valores encontrados de Δ0 e Δ1. O discriminante é um número que fornece informações sobre as raízes de um polinômio (você já deve saber que o discriminante de uma equação quadrática é b 2 - 4ac). No caso de uma equação cúbica, se o discriminante for positivo, então a equação tem três soluções; se o discriminante for zero, então a equação tem uma ou duas soluções; se o discriminante for negativo, então a equação tem apenas uma solução. Uma equação cúbica sempre tem pelo menos uma solução porque o gráfico de tal equação intercepta o eixo x em pelo menos um ponto.
- Se você substituir os valores apropriados das quantidades nesta fórmula, você obtém soluções possíveis a equação cúbica dada a você. Substitua-os na equação original e, se a igualdade for atendida, as soluções estarão corretas. Por exemplo, se você inserir os valores na fórmula e obtiver 1, insira o 1 em x 3 - 3x 2 + 3x- 1 e obter 0. Ou seja, a igualdade é observada e 1 é uma das soluções da equação cúbica dada a você.
Como observado acima, as equações cúbicas têm a forma a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 (\displaystyle ax^(3)+bx^(2)+cx+d=0), onde os coeficientes c (\displaystyle c) e d (\displaystyle d) pode ser igual 0 (\displaystyle 0), ou seja, uma equação cúbica pode consistir em apenas um termo (com uma variável no terceiro grau). Primeiro, verifique se a equação cúbica dada a você tem uma interceptação, ou seja, d (\displaystyle d). Se não houver termo livre, você pode resolver essa equação cúbica usando a fórmula para resolver uma equação quadrática.
