Pagina 1

Procesul oscilator în circuitul de joasă tensiune se oprește deja în prima perioadă de oscilații de înaltă frecvență, deoarece în a doua jumătate a perioadei acestor oscilații, direcția curentului devine opusă curentului din circuitul de putere. Pentru a crește luminozitatea scânteii din generator, este posibil să creșteți și mai mult capacitatea.

Procesele oscilatorii acoperă o gamă largă de fenomene, care se caracterizează prin repetarea caracteristicilor lor prin anumite intervale timp.

Un proces oscilator are loc într-un sistem când, împreună cu o forță care îl scoate din echilibru, există și o forță de restabilire (return). Ce se va întâmpla dacă forța de restabilire acționează asupra sistemului cu o întârziere constantă. Mai mult, dacă o astfel de instabilitate, asociată cu efectele întârzierii, este dăunătoare mecanismelor de stabilizare a navei, atunci este utilă în dezvoltarea generatoarelor electronice.

Procesele oscilatorii care determină mărimea sarcinilor dinamice asupra tijelor determină în esență forma dinamogramelor înregistrate în apropierea tijei lustruite.

Procesul oscilator din circuit are loc în condiții inițiale diferite de zero. Curentul inițial în inductanța x este determinat din următoarele considerații. Comutatorul B întrerupe circuitul când curentul tB - i0 - ic trece prin zero.

Procesele oscilatorii pot apărea și în mașinile electrice și alte instalații electrice cu inductanță și mase rotative semnificative, la pornire, oprire și pornire. schimbări bruște mod de operare. În anumite condiții, nu sunt amortizate, dar apar oscilații oscilante. Astfel de fluctuații pot duce la încălcări grave functionarea instalatiilor electrice si chiar provoca accidente. Prin urmare, la dezvoltarea sistemelor de control pentru mașini electrice și alte instalații, în unele cazuri este necesar să se aplice măsuri speciale pentru atenuarea cât mai rapidă a proceselor oscilatorii (introducerea rezistențelor în circuitele acestora etc.).

Procese oscilatorii și limite oscilatorii ale stabilității diverselor sisteme neliniare poate fi adesea determinată de liniarizare armonică, al cărui concept a fost dat mai sus. Există și alte metode. Cele mai eficiente aici sunt metodele numerico-grafice de construire a proceselor tranzitorii, precum și, în special, metodele de simulare electrică pe mașini matematice de acțiune continuă și discretă.

Procesele oscilatorii și limitele oscilatoare ale stabilității diferitelor sisteme neliniare pot fi adesea determinate prin metoda liniarizării armonice, al cărei concept a fost prezentat mai sus.

Procesele oscilatorii sunt larg răspândite în natură și tehnologie. Oscilația pendulului unui ceas, valurile pe apă, curentul electric alternativ, lumina, sunetul sunt exemple ale oscilațiilor diferitelor mărimi fizice. Când pendulul se mișcă, coordonatele centrului său de greutate fluctuează. Când curent alternativ tensiunea și curentul fluctuează în circuit. Aceste două procese sunt complet diferite din punct de vedere calitativ natura fizica. Cu toate acestea, regularitățile cantitative ale acestor procese au multe în comun.

Procesele oscilatorii din tije sunt cauzate nu numai de funcționarea echipamentelor de suprafață, ci și de mișcarea pistonului. Aici, oscilațiile sincrone sunt mai de dorit, deoarece în acest caz nu provoacă supraîncărcare.

Procesele oscilatorii sunt larg răspândite în natură și tehnologie. Oscilația unui pendul de ceas, valurile pe apă, curentul electric alternativ, lumina, sunetul sunt exemple de oscilații de diferite mărimi fizice. Când pendulul se mișcă, coordonatele centrului său de greutate fluctuează. În cazul curentului alternativ, tensiunea și curentul din circuit fluctuează. Aceste două procese sunt calitativ complet diferite în natura lor fizică. Cu toate acestea, regularitățile cantitative ale acestor procese au multe în comun.

Vibrații libere în circuit.

Circuitele AC luate în considerare în secțiunile anterioare sugerează că o pereche de elemente - un condensator și un inductor formează un fel de sistem oscilator. Acum vom arăta că într-adevăr așa este, într-un circuit format doar din aceste elemente (Fig. 669), chiar și vibrații libere sunt posibile, adică fără sursă externă EMF.

orez. 669
Prin urmare, se numește un circuit (sau o parte a altui circuit) format dintr-un condensator și un inductor circuit oscilator.
Lăsați condensatorul să fie încărcat la o sarcină qo și apoi un inductor conectat la acesta. O astfel de procedură poate fi efectuată cu ușurință folosind circuitul, a cărui schemă este prezentată în Fig. 670: mai întâi cheia este închisă în poziție 1 , în timp ce condensatorul este încărcat la o tensiune egală cu sursă emf, după care cheia este aruncată în poziții 2 , după care începe descărcarea condensatorului prin bobină.

orez. 670
Pentru a determina dependența de timp a încărcăturii condensatorului q(t) se aplică legea lui Ohm, conform căreia tensiunea pe condensator U C = q/C egală Auto-inducție EMF, care apar în bobină

aici, „prim” înseamnă derivat în raport cu timpul.
Astfel, ecuația se dovedește a fi valabilă

Această ecuație conține două funcții necunoscute - dependența de timpul de încărcare q(t) si curent Aceasta), deci nu se poate rezolva. Cu toate acestea, puterea curentului este o derivată a sarcinii condensatorului q / (t) = I(t), deci derivata puterii curentului este derivata a doua a sarcinii

Ținând cont de această relație, rescriem ecuația (1) sub forma

În mod surprinzător, această ecuație coincide complet cu ecuația bine studiată a oscilațiilor armonice (derivata a doua a funcției necunoscute este proporțională cu această funcție însăși cu un coeficient de proporționalitate negativ x // = −ω o 2 x)! Prin urmare, soluția acestei ecuații va fi funcția armonică

cu frecventa circulara

Această formulă definește frecvența naturală a circuitului oscilator. În consecință, perioada de oscilație a încărcăturii condensatorului (și puterea curentului în circuit) este egală cu

Expresia rezultată pentru perioada de oscilație se numește formula lui J. Thompson.
Ca de obicei, pentru a defini parametri arbitrari A, φ în decizie comună(4) este necesar să se stabilească condițiile inițiale - încărcarea și puterea curentului în momentul initial timp. În special, pentru exemplul considerat al circuitului din Fig. 670, conditiile initiale au forma: la t = 0, q = qo, I=0, deci dependența încărcării condensatorului de timp va fi descrisă de funcție

iar puterea curentă se modifică cu timpul conform legii

Considerarea de mai sus a circuitului oscilator este aproximativă - orice circuit real are rezistență activă (fire de conectare și înfășurări ale bobinei).

orez. 671
Prin urmare, în ecuația (1), căderea de tensiune pe această rezistență activă trebuie luată în considerare, astfel încât această ecuație va lua forma

care, ținând cont de relația dintre sarcină și puterea curentului, se transformă în formă

Această ecuație ne este, de asemenea, familiară - aceasta este ecuația oscilațiilor amortizate

iar coeficientul de atenuare, așa cum era de așteptat, este proporțional cu rezistența activă a circuitului β = R/L.
Procesele care au loc în circuit oscilator, poate fi descris și folosind legea conservării energiei. Dacă neglijăm rezistența activă a circuitului, atunci suma energiilor câmp electric condensator și camp magnetic bobina rămâne constantă, ceea ce este exprimat prin ecuație

care este și o ecuație a oscilațiilor armonice cu o frecvență determinată de formula (5). Sub forma ei, această ecuație coincide și cu ecuațiile care decurg din legea conservării energiei în timpul vibrațiilor mecanice. Deoarece ecuaţiile care descriu oscilaţiile incarcare electrica condensatorul sunt similare cu ecuațiile descrise vibratii mecanice, atunci putem face o analogie între procesele care au loc într-un circuit oscilator și procesele din oricare sistem mecanic. Pe fig. 672 s-a făcut o asemenea analogie pentru oscilații pendul matematic. În acest caz, analogii sunt „încărcare condensatorului q(t)− unghiul de deviere al pendulului φ(t)” și „curent I(t) = q / (t)− viteza pendulului V(t)».



orez. 672
Folosind această analogie, descriem calitativ procesul oscilațiilor sarcinii și curent electricîn contur. În momentul inițial de timp, condensatorul este încărcat, puterea curentului electric este zero, toată energia este conținută în energia câmpului electric al condensatorului (care este similară cu abaterea maximă a pendulului de la echilibru). poziţie). Apoi condensatorul începe să se descarce, puterea curentului crește, în timp ce EMF de auto-inducție apare în bobină, ceea ce împiedică creșterea curentului; energia condensatorului scade, transformându-se în energia câmpului magnetic al bobinei (o analogie - pendulul se deplasează spre punctul de jos cu viteza tot mai mare). Când încărcarea condensatorului devine zero, puterea curentului atinge valoarea maximă, în timp ce toată energia este convertită în energia câmpului magnetic (pendulul a atins punctul cel mai scăzut, viteza sa este maximă). Apoi câmpul magnetic începe să scadă, în timp ce EMF de auto-inducție menține curentul în aceeași direcție, în timp ce condensatorul începe să se încarce, iar semnele sarcinilor de pe plăcile condensatorului sunt opuse distribuției inițiale (analogic - pendulul). trece la deviația maximă inițială opusă). Apoi curentul din circuit se oprește, în timp ce sarcina condensatorului devine din nou maximă, dar în semn opus (pendulul și-a atins abaterea maximă), după care procesul se va repeta în sens opus.

PRELEȚIA #8

Mecanica

fluctuatii

miscare oscilatoare. Caracteristicile cinematice și dinamice ale mișcării oscilatorii. Pendul matematic, fizic și de primăvară.

Trăim într-o lume în care procesele oscilatorii sunt o parte integrantă a lumii noastre și se găsesc peste tot.

Un proces oscilator sau oscilație este un proces care diferă într-un grad sau altul de repetare.

Dacă o mărime oscilantă își repetă valorile la intervale regulate, atunci astfel de oscilații se numesc periodice, iar aceste perioade de timp se numesc perioadă de oscilație.

În funcție de natura fizică a fenomenului, se disting oscilații: mecanice, electromecanice, electromagnetice etc.

Fluctuațiile sunt larg răspândite în natură și tehnologie. Procesele oscilatorii stau la baza unor ramuri ale mecanicii. În acest curs de prelegeri, vom vorbi doar despre vibrațiile mecanice.

În funcție de natura impactului asupra sistemului oscilator, se disting oscilații: 1. Libere sau naturale, 2. Oscilații forțate, 3. Autooscilații, 4. Oscilații parametrice.

Oscilațiile libere se numesc oscilații care apar fără influență externă și sunt cauzate de „împingerea” inițială.

Vibrațiile forțate apar sub acțiunea unei forțe externe periodice

Autooscilațiile se realizează și sub acțiunea unei forțe externe, dar momentul acțiunii forței asupra sistemului este determinat de sistemul oscilator însuși.

Cu oscilații parametrice datorate influențelor externe, are loc o modificare periodică a parametrilor sistemului, care provoacă acest tip de oscilație.

Cea mai simplă formă este vibratii armonice

Vibrațiile armonice sunt vibrații care apar conform legiipăcat saucos . Un exemplu de oscilații armonice este oscilația unui pendul matematic

Se numește abaterea maximă a unei mărimi oscilante în procesul de oscilație amplitudinea oscilației(DAR) . Se numește timpul necesar pentru a finaliza o oscilație completă perioada de oscilatie(T) . Se numește reciproca perioadei de oscilație frecvența de oscilație(). Adesea se numește fluctuații înmulțite cu 2 frecventa ciclica(). Astfel, oscilațiile armonice sunt descrise prin expresie

Aici ( t+  0 ) faza de oscilație și  0 - faza initiala

Cele mai simple sisteme oscilatorii mecanice sunt așa-numitele: pendulele matematice, elastice și fizice. Să aruncăm o privire mai atentă la aceste pendule.

8.1. Pendul matematic

Un pendul matematic este un sistem oscilator format dintr-un corp punctual masiv suspendat în câmpul gravitațional pe un fir inextensibil fără greutate.

În punctul de jos, pendulul are un minim de energie potențială. Să deviam pendulul la un unghi  . Centrul de greutate al unui corp punctual masiv se va ridica la o înălțime  h iar în acest caz energia potenţială a pendulului va creşte cu valoarea mg h. În plus, în poziția deviată, greutatea este afectată de gravitație și de tensiunea firului. Liniile de acțiune ale acestor forțe nu coincid, iar forța rezultantă acționează asupra sarcinii, având tendința de a o readuce în poziția de echilibru. Dacă sarcina nu este menținută, atunci sub acțiunea acestei forțe va începe să se deplaseze în poziția inițială de echilibru, energia sa cinetică va crește datorită creșterii vitezei, în timp ce energia potențială va scădea. Când se atinge punctul de echilibru, forța rezultantă nu va mai acționa asupra corpului (forța gravitațională în acest punct este compensată de forța de tensiune a firului). Energia potențială a corpului în acest punct va fi minimă, iar energia cinetică, dimpotrivă, va avea propria ei valoare maximă. Corpul, deplasându-se prin inerție, va trece de poziția de echilibru și va începe să se îndepărteze de ea, ceea ce va duce la apariția unei forțe rezultante (din tensiune și gravitație), care va fi îndreptată împotriva mișcării corpului, încetinind-o. jos. Aceasta începe o scădere energie kinetică marfa si cresterea acesteia energie potențială. Acest proces va continua până la epuizarea completă a energiei cinetice și trecerea acesteia la energia potențială. În acest caz, abaterea sarcinii de la poziția de echilibru va atinge o valoare maximă și procesul se va repeta. Dacă nu există frecare în sistem, sarcina va oscila la nesfârșit.

Astfel, sistemele mecanice oscilatorii se caracterizează prin faptul că atunci când se abat de la poziția de echilibru, în sistem ia naștere o forță de restabilire, care tinde să readucă sistemul în poziția de echilibru. În acest caz, oscilațiile apar însoțite de o tranziție periodică a energiei potențiale a sistemului în energia sa cinetică și invers.

calculati proces oscilator. Momentul forțelor M care actioneaza asupra pendulului este evident egala cu - mglsin Semnul minus reflectă faptul că momentul forțelor tinde să readucă sarcina în poziția sa de echilibru. Pe de altă parte, conform legii fundamentale mișcare de rotație M=ID 2  / dt 2 . Astfel, obținem egalitatea

B

Să luăm în considerare doar unghiurile mici de abatere ale pendulului de la poziția de echilibru. Apoi păcat ≈  . Și egalitatea noastră va lua forma:

D

pentru un pendul matematic este adevărat eu= ml 2 . Înlocuind această egalitate în expresia rezultată, obținem o ecuație care descrie procesul de oscilație a unui pendul matematic:

Această ecuație diferențială descrie un proces oscilator. Soluția acestei ecuații este funcțiile armonice păcat( t+  0 ) sau cos ( t+  0 ) Într-adevăr, înlocuim oricare dintre aceste funcții în ecuație și obținem:  2 = g/ l. Astfel, dacă această condiție este îndeplinită, atunci funcțiile păcat( t+  0 ) sau cos( t+  0 ) transforma ecuația diferențială a oscilațiilor într-o identitate.

O

aici frecvența ciclică și perioada de oscilație a unui pendul armonic se exprimă astfel:

Amplitudinea oscilatiei se gaseste din conditiile initiale ale problemei.

După cum puteți vedea, frecvența și perioada de oscilație a unui pendul matematic nu depind de masa sarcinii și depind doar de accelerația gravitației și de lungimea firului de suspensie, ceea ce permite pendulului să fie folosit ca un simplu dar aparat foarte precis pentru determinarea acceleraţiei gravitaţiei.

Un alt tip de pendul este orice corp fizic suspendat din orice punct al corpului și având capacitatea de a efectua mișcare oscilatorie.

8.2. pendul fizic

LA Să luăm un corp arbitrar, să-l străpungem la un moment dat cu o axă care nu coincide cu centrul său de masă, în jurul căreia corpul se poate roti liber. Suspendați corpul pe această axă și deviați-l de la poziția de echilibru cu un anumit unghi  .

T

când pe un corp cu un moment de inerție eu despre axa O va acţiona momentul revenirii în poziţia de echilibru M = - mglsin iar oscilațiile unui pendul fizic, precum și ale celui matematic, vor fi descrise printr-o ecuație diferențială:

Deoarece pentru diferite pendule fizice momentul de inerție va fi exprimat diferit, nu îl vom descrie ca în cazul unui pendul matematic. Această ecuație are și forma unei ecuații de oscilație, a cărei soluție sunt funcții care descriu oscilațiile armonice. În acest caz, frecvența ciclică ( ) , perioada de oscilație (T) definit ca:

Vedem că în cazul unui pendul fizic, perioada de oscilație depinde de geometria corpului pendulului, și nu de masa acestuia, ca în cazul unui pendul matematic. Într-adevăr, expresia pentru momentul de inerție include masa pendulului la prima putere. Momentul de inerție în expresia perioadei de oscilație este la numărător, în timp ce masa pendulului este inclusă în numitor și, de asemenea, în gradul I. Deci masa din numărător se anulează cu masa din numitor.

Pendulul fizic mai are o caracteristică - lungimea redusă.

Lungimea redusă a pendulului fizic este lungimea pendulului matematic, a cărui perioadă coincide cu perioada pendulului fizic.

Această definiție facilitează definirea unei expresii pentru lungimea redusă.

Comparând aceste expresii, obținem

Dacă pe linia trasată din punctul de suspensie prin centrul de masă al pendulului fizic trasăm (începând din punctul de suspensie) lungimea redusă a pendulului fizic, atunci la sfârșitul acestui segment va exista un punct care are o proprietate remarcabilă. Dacă un pendul fizic este suspendat din acest punct, atunci perioada de oscilație a acestuia va fi aceeași ca și în cazul suspendării pendulului în punctul de suspendare anterior. Aceste puncte sunt numite centrele de balansare a pendulului fizic.

Luați în considerare un alt sistem oscilator simplu care efectuează oscilații armonice

8.3. Pendul de primăvară

P imaginați-vă că până la sfârșitul primăverii cu coeficientul de rigiditate k greutate atașată m.

Dacă deplasăm sarcina de-a lungul axei x prin întinderea arcului, atunci forța care revine la poziția de echilibru va acționa asupra sarcinii F întoarcere = - kx. Dacă sarcina este eliberată, atunci această forță va provoca accelerație d 2 X / dt 2 . Conform celei de-a doua legi a lui Newton, obținem:

md 2 X / dt 2 = - kx din această ecuație obținem ecuația pentru oscilația unei sarcini pe un arc în forma sa finală: d 2 X / dt 2 + (k/ m) X = 0

E

atunci ecuația de oscilație are aceeași formă ca și ecuațiile de oscilație în cazurile deja luate în considerare, ceea ce înseamnă că soluția acestei ecuații va fi aceleași funcții armonice. Frecvența și perioada oscilațiilor vor fi, respectiv, egale

Mai mult, forța gravitației nu afectează în niciun caz oscilațiile pendulului cu arc. Deoarece în acest caz este un factor care acționează constant, acționând tot timpul într-o singură direcție și nu are nimic de-a face cu forța de restabilire.

Astfel, așa cum vedem procesul oscilator într-un sistem oscilator mecanic, acesta este caracterizat în primul rând prin prezența în sistem. restabilirea forței care acționează asupra sistemului, iar oscilațiile în sine sunt caracterizate prin: amplitudinea fluctuației după perioada, frecvența și faza fluctuațiilor acestora.