Luați în considerare următoarele ecuații:

1. 2*x + 3*y = 15;

2. x2 + y2 = 4;

4. 5*x 3 + y 2 = 8.

Fiecare dintre ecuațiile de mai sus este o ecuație cu două variabile. Multe puncte plan de coordonate, ale căror coordonate transformă ecuația în cea corectă egalitate numerică, se numește graficul unei ecuații în două necunoscute.

Graficul unei ecuații cu două variabile

Ecuațiile cu două variabile au o mare varietate de diagrame. De exemplu, pentru ecuația 2*x + 3*y = 15, graficul va fi o linie dreaptă, pentru ecuația x 2 + y 2 = 4, graficul va fi un cerc cu raza de 2, graficul lui ecuația y*x = 1 va fi o hiperbolă etc.

Ecuațiile întregi cu două variabile au și ele un grad. Acest grad se determină în același mod ca și pentru întreaga ecuație cu o variabilă. Pentru a face acest lucru, ecuația este adusă la forma când partea stângă este un polinom vedere standard, în timp ce cea dreaptă este zero. Acest lucru se realizează prin transformări echivalente.

Mod grafic de rezolvare a sistemelor de ecuații

Să ne dăm seama cum să rezolvăm sisteme de ecuații care vor consta din două ecuații cu două variabile. Luați în considerare o modalitate grafică de a rezolva astfel de sisteme.

Exemplul 1. Rezolvați sistemul de ecuații:

( x 2 + y 2 = 25

(y = -x 2 + 2*x + 5.

Să reprezentăm graficele primei și celei de-a doua ecuații în același sistem de coordonate. Graficul primei ecuații va fi un cerc centrat la origine și raza 5. Graficul celei de-a doua ecuații va fi o parabolă cu ramurile în jos.

Toate punctele graficelor își vor îndeplini fiecare propria ecuație. Trebuie să găsim astfel de puncte care să satisfacă atât prima cât și a doua ecuație. Evident, acestea vor fi punctele în care aceste două grafice se intersectează.

Folosind desenul nostru, găsim valorile aproximative ale coordonatelor la care aceste puncte se intersectează. Obtinem urmatoarele rezultate:

A(-2,2;-4,5), B(0;5), C(2,2;4,5), D(4,-3).

Deci sistemul nostru de ecuații are patru soluții.

x1 ≈ -2,2; y1 ≈ -4,5;

x2 ≈ 0; y2 ≈ 5;

x3 ≈ 2,2; y3 ≈ 4,5;

x4 ≈ 4,y4 ≈ -3.

Dacă substituim aceste valori în ecuațiile sistemului nostru, putem vedea că prima și a treia soluție sunt aproximative, iar a doua și a patra sunt exacte. Metoda grafică este adesea folosită pentru a estima numărul de rădăcini și limitele lor aproximative. Soluțiile sunt mai adesea aproximative decât exacte.

În această lecție, vom lua în considerare rezolvarea sistemelor de două ecuații cu două variabile. În primul rând, luați în considerare soluția grafică a unui sistem de două ecuații liniare, specificul totalității graficelor lor. În continuare, rezolvăm mai multe sisteme folosind o metodă grafică.

Tema: Sisteme de ecuații

Lecția: Metodă grafică pentru rezolvarea unui sistem de ecuații

Luați în considerare sistemul

Se numește o pereche de numere care este simultan o soluție pentru prima și a doua ecuație a sistemului rezolvarea sistemului de ecuații.

A rezolva un sistem de ecuații înseamnă a-i găsi toate soluțiile sau a stabili că nu există soluții. Am luat în considerare graficele ecuațiilor de bază, să trecem la considerarea sistemelor.

Exemplul 1. Rezolvați sistemul

Soluţie:

Acestea sunt ecuații liniare, graficul fiecăreia dintre ele este o linie dreaptă. Graficul primei ecuații trece prin punctele (0; 1) și (-1; 0). Graficul celei de-a doua ecuații trece prin punctele (0; -1) și (-1; 0). Dreptele se intersectează în punctul (-1; 0), aceasta este soluția sistemului de ecuații ( Orez. 1).

Soluția sistemului este o pereche de numere.Înlocuind această pereche de numere în fiecare ecuație, obținem egalitatea corectă.

Avem singura decizie sistem liniar.

Amintiți-vă că la rezolvarea unui sistem liniar sunt posibile următoarele cazuri:

sistemul are o soluție unică - liniile se intersectează,

sistemul nu are soluții - liniile sunt paralele,

sistemul are un număr infinit de soluții - liniile coincid.

Am revizuit caz special sistemele când p(x; y) și q(x; y) sunt expresii liniare în x și y.

Exemplul 2. Rezolvați un sistem de ecuații

Soluţie:

Graficul primei ecuații este o linie dreaptă, graficul celei de-a doua ecuații este un cerc. Să construim primul grafic pe puncte (Fig. 2).

Centrul cercului este în punctul O(0; 0), raza este 1.

Graficele se intersectează în punctul A(0; 1) și în punctul B(-1; 0).

Exemplul 3. Rezolvați sistemul grafic

Rezolvare: Să construim un grafic al primei ecuații - acesta este un cerc cu un centru în punctul O (0; 0) și o rază de 2. Graficul celei de-a doua ecuații este o parabolă. Este deplasat față de origine cu 2 în sus, adică. vârful său este punctul (0; 2) (Fig. 3).

Graficele au unul punct comun- t. A(0; 2). Este soluția pentru sistem. Înlocuiți câteva numere în ecuație pentru a verifica corectitudinea.

Exemplul 4. Rezolvați sistemul

Soluție: Să construim un grafic al primei ecuații - acesta este un cerc cu un centru în punctul O (0; 0) și o rază de 1 (Fig. 4).

Să construim un grafic al funcției Aceasta este o linie întreruptă (Fig. 5).

Acum să-l mișcăm în jos cu 1 de-a lungul axei oy. Acesta va fi graficul funcției

Să plasăm ambele grafice în același sistem de coordonate (Fig. 6).

Obținem trei puncte de intersecție - punctul A (1; 0), punctul B (-1; 0), punctul C (0; -1).

Am revizuit metoda grafica solutii de sisteme. Dacă este posibil să reprezentați grafic fiecare ecuație și să găsiți coordonatele punctelor de intersecție, atunci această metodă este destul de suficientă.

Dar adesea metoda grafică face posibilă găsirea doar a unei soluții aproximative a sistemului sau răspunsul la întrebarea despre numărul de soluții. Prin urmare, sunt necesare alte metode, mai precise, și de ele ne vom ocupa în lecțiile următoare.

1. Mordkovich A.G. si altele.Algebra Clasa a IX-a: Proc. Pentru invatamantul general Instituţii.- ed. a IV-a. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 p.: ill.

2. Mordkovich A.G. si altele.Algebra Clasa 9: Caiet de sarcini pentru elevi institutii de invatamant/ A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina și alții - ed. a IV-a. — M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill.

3. Yu. N. Makarychev, Algebră. Clasa a 9-a: manual. pentru elevii din învățământul general. instituții / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - Ed. a VII-a, Rev. si suplimentare - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Algebră. Clasa a 9-a a 16-a ed. - M., 2011. - 287 p.

5. Mordkovich A. G. Algebră. Clasa a 9-a La ora 14:00 Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Ed. a XII-a, șters. — M.: 2010. — 224 p.: ill.

6. Algebră. Clasa a 9-a La 2 ore Partea 2. Caiet de sarcini pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina și alții; Ed. A. G. Mordkovici. - Ed. a XII-a, Rev. — M.: 2010.-223 p.: ill.

1. College.ru secțiunea de matematică ().

2. Proiect de internet „Sarcini” ().

3. Portal educațional„VOI REZOLVA UTILIZAREA” ().

1. Mordkovich A.G. et al. Algebră Clasa 9: Caiet de sarcini pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina și colab. - ed. a IV-a. - M .: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill. Nr. 105, 107, 114, 115.

Lecția video „Metoda grafică pentru rezolvarea sistemelor de ecuații” prezintă material educațional pentru a explora acest subiect. Materialul contine concept general despre rezolvarea unui sistem de ecuații, precum și explicatie detaliata folosind un exemplu de rezolvare a sistemului de ecuații grafic.

Ajutorul vizual folosește animația pentru o execuție mai convenabilă și mai ușor de înțeles a construcțiilor, precum și căi diferite alocare concepte importante si detalii pentru o intelegere in profunzime a materialului, o mai buna memorare a acestuia.

Tutorialul video începe prin introducerea subiectului. Elevilor li se reamintește ce este un sistem de ecuații și cu ce sisteme de ecuații au trebuit să se familiarizeze deja în clasa a VII-a. Anterior, elevii trebuiau să rezolve sisteme de ecuații de forma ax+by=c. Aprofundând conceptul de rezolvare a sistemelor de ecuații și pentru a forma capacitatea de rezolvare a acestora, această lecție video discută soluția unui sistem format din două ecuații de gradul doi, precum și o ecuație de gradul doi și al doilea. - de gradul I. Vă reamintește ce este o soluție a unui sistem de ecuații. Pe ecran este afișată definiția soluției sistemului ca o pereche de valori ale variabilelor care își inversează ecuațiile atunci când se substituie în egalitatea corectă. În conformitate cu definiția soluției sistemului, sarcina este specificată. Este afișat pe ecran pentru a ne aminti că rezolvarea unui sistem înseamnă găsirea de soluții potrivite sau dovedirea absenței acestora.

Se propune stăpânirea metodei grafice de rezolvare a unui anumit sistem de ecuații. Aplicație aceasta metoda este luat în considerare exemplul de rezolvare a unui sistem format din ecuațiile x 2 + y 2 \u003d 16 și y \u003d - x 2 + 2x + 4. Soluție grafică sistemul începe cu reprezentarea grafică a fiecăreia dintre aceste ecuații. În mod evident, graficul ecuației x 2 + y 2 \u003d 16 va fi un cerc. Punctele care aparțin acestui cerc sunt soluția ecuației. Lângă ecuație se construiește un cerc cu raza de 4 pe planul de coordonate cu centrul O la origine. Graficul celei de-a doua ecuații este o parabolă, ale cărei ramuri sunt coborâte în jos. Această parabolă este construită pe planul de coordonate, corespunzător graficului ecuației. Orice punct aparținând parabolei este o soluție a ecuației y \u003d -x 2 + 2x + 4. Se explică că soluția unui sistem de ecuații sunt puncte de pe graficele care aparțin simultan graficelor ambelor ecuații. Aceasta înseamnă că punctele de intersecție ale graficelor construite vor fi soluții ale sistemului de ecuații.

Se observă că metoda grafică constă în găsirea valorii aproximative a coordonatelor punctelor situate la intersecția a două grafice, care reflectă mulțimea de soluții la fiecare ecuație a sistemului. Figura marchează coordonatele punctelor de intersecție găsite a două grafice: A, B, C, D[-2;-3.5]. Aceste puncte sunt soluții ale sistemului de ecuații găsite grafic. Puteți verifica corectitudinea lor prin înlocuirea lor în ecuație și obținerea unei egalități corecte. După înlocuirea punctelor în ecuație, se poate observa că unele puncte dau valoare exacta soluții, iar parte reprezintă valoarea aproximativă a soluției ecuației: x 1 =0, y 1 =4; x 2 \u003d 2, y 2 ≈3,5; x 3 ≈3,5, y 3 \u003d -2; x 4 \u003d -2, y 4 ≈ -3,5.

Tutorialul video explică în detaliu esența și aplicarea metodei grafice de rezolvare a unui sistem de ecuații. Acest lucru face posibilă utilizarea acestuia ca ajutor video într-o lecție de algebră la școală atunci când studiați acest subiect. De asemenea, materialul va fi util pt auto-studiu studenților și poate ajuta la explicarea subiectului în învățământul la distanță.

Primul nivel

Rezolvarea ecuațiilor, inegalităților, sistemelor folosind grafice de funcții. ghid vizual (2019)

Multe sarcini pe care suntem obișnuiți să le calculăm pur algebric pot fi rezolvate mult mai ușor și mai rapid, folosind grafice de funcții ne vor ajuta în acest sens. Tu spui "cum asa?" să desenezi ceva și ce să desenezi? Crede-mă, uneori este mai convenabil și mai ușor. Putem incepe? Să începem cu ecuații!

Rezolvarea grafică a ecuațiilor

Rezolvarea grafică a ecuațiilor liniare

După cum știți deja, graficul unei ecuații liniare este o linie dreaptă, de unde și numele acestui tip. Ecuațiile liniare sunt destul de ușor de rezolvat algebric - transferăm toate necunoscutele într-o parte a ecuației, tot ceea ce știm - în cealaltă, și voila! Am găsit rădăcina. Acum vă voi arăta cum să o faceți mod grafic.

Deci ai o ecuație:

Cum să o rezolv?
Opțiunea 1, iar cel mai obișnuit este să mutați necunoscutele într-o parte, iar cunoscutul în cealaltă, obținem:

Și acum construim. Ce ai primit?

Care crezi că este rădăcina ecuației noastre? Așa este, coordonatele punctului de intersecție al graficelor:

Răspunsul nostru este

Aceasta este toată înțelepciunea soluției grafice. După cum puteți verifica cu ușurință, rădăcina ecuației noastre este un număr!

După cum am spus mai sus, aceasta este cea mai comună opțiune, aproape de soluție algebrică, dar se poate face și într-un mod diferit. Pentru a considera o soluție alternativă, să revenim la ecuația noastră:

De data aceasta nu vom muta nimic dintr-o parte în alta, ci vom construi grafice direct, așa cum sunt acum:

Construit? Uite!

Care este soluția de data asta? În regulă. Aceeași este coordonatele punctului de intersecție al graficelor:

Și, din nou, răspunsul nostru este .

După cum puteți vedea, cu ecuatii lineare totul este extrem de simplu. Este timpul să luăm în considerare ceva mai complicat... De exemplu, rezolvarea grafică a ecuațiilor pătratice.

Rezolvarea grafică a ecuațiilor pătratice

Deci, acum să începem să rezolvăm ecuația pătratică. Să presupunem că trebuie să găsiți rădăcinile acestei ecuații:

Desigur, acum puteți începe să numărați prin discriminant, sau conform teoremei Vieta, dar mulți nervi fac greșeli la înmulțire sau la pătrat, mai ales dacă exemplul este cu numere mariși, după cum știți, nu veți avea un calculator la examen ... Prin urmare, să încercăm să ne relaxăm puțin și să desenăm în timp ce rezolvăm această ecuație.

Găsiți grafic soluții ecuația dată poate sa căi diferite. Considera diverse opțiuniși poți alege care îți place cel mai mult.

Metoda 1. Direct

Construim doar o parabolă conform acestei ecuații:

Pentru a fi rapid, vă voi oferi un mic indiciu: este convenabil să începem construcția prin determinarea vârfului parabolei. Următoarele formule vor ajuta la determinarea coordonatelor vârfului parabolei:

Tu spui „Oprește-te! Formula pentru este foarte asemănătoare cu formula pentru găsirea discriminantului „da, este și este un minus imens construirea „directă” a unei parabole pentru a-i găsi rădăcinile. Cu toate acestea, haideți să numărăm până la final și apoi vă voi arăta cum să faceți totul (mult!) mai ușor!

ai numarat? Care sunt coordonatele vârfului parabolei? Să ne dăm seama împreună:

Exact acelasi raspuns? Bine făcut! Și acum știm deja coordonatele vârfului, iar pentru a construi o parabolă, avem nevoie de mai multe... puncte. Ce părere aveți, de câte puncte minime avem nevoie? Corect, .

Știți că o parabolă este simetrică față de vârful ei, de exemplu:

În consecință, avem nevoie de încă două puncte de-a lungul ramurii din stânga sau din dreapta a parabolei, iar în viitor vom reflecta simetric aceste puncte pe partea opusă:

Ne întoarcem la parabola noastră. Pentru cazul nostru, ideea. Mai avem nevoie de două puncte, respectiv, putem lua unele pozitive, dar putem lua unele negative? Care sunt cele mai bune puncte pentru tine? Îmi este mai convenabil să lucrez cu cele pozitive, așa că voi calcula cu și.

Acum avem trei puncte și ne putem construi cu ușurință parabola reflectând ultimele două puncte din vârful ei:

Care crezi că este soluția ecuației? Așa este, punctele în care, adică și. Pentru că.

Și dacă spunem asta, atunci înseamnă că trebuie să fie și egală, sau.

Doar? Am terminat de rezolvat ecuația cu tine într-un mod grafic complex, sau vor fi mai multe!

Desigur, puteți verifica răspunsul nostru algebric - puteți calcula rădăcinile prin teorema Vieta sau prin discriminant. Ce ai primit? La fel? Aici vezi! Acum haideți să vedem o soluție grafică foarte simplă, sunt sigură că vă va plăcea foarte mult!

Metoda 2. Împărțit în mai multe funcții

Să luăm tot, de asemenea, ecuația noastră: , dar o scriem într-un mod puțin diferit și anume:

Putem scrie așa? Putem, deoarece transformarea este echivalentă. Să privim mai departe.

Să construim două funcții separat:

1. - graficul este o parabolă simplă, pe care o puteți construi cu ușurință chiar și fără a defini vârful folosind formule și a face un tabel pentru a determina alte puncte.
2. - graficul este o linie dreaptă, pe care o poți construi la fel de ușor estimând valorile și în capul tău, fără să apelezi măcar la un calculator.

Construit? Compara cu ce am primit:

Crezi că în acest caz sunt rădăcinile ecuației? Corect! Coordonatele prin, care se obțin prin încrucișarea a două grafice și, adică:

Prin urmare, soluția acestei ecuații este:

Ce spui? De acord, această metodă de rezolvare este mult mai ușoară decât cea anterioară și chiar mai ușoară decât a căuta rădăcini prin discriminant! Dacă da, încercați această metodă pentru a rezolva următoarea ecuație:

Ce ai primit? Să comparăm graficele noastre:

Graficele arată că răspunsurile sunt:

Ai reușit? Bine făcut! Acum să ne uităm la ecuații puțin mai complicate, și anume, soluția ecuațiilor mixte, adică a ecuațiilor care conțin funcții de diferite tipuri.

Rezolvarea grafică a ecuațiilor mixte

Acum să încercăm să rezolvăm următoarele:

Desigur, totul poate fi adus numitor comun, găsiți rădăcinile ecuației rezultate, fără a uita să luăm în considerare ODZ, dar din nou, vom încerca să rezolvăm grafic, așa cum am făcut în toate cazurile anterioare.

De data aceasta, să reprezentăm următoarele 2 grafice:

1. - graficul este o hiperbolă
2. - un grafic este o linie dreaptă pe care o poți construi cu ușurință prin estimarea valorilor și în capul tău, fără a apela măcar la un calculator.

Realizat? Acum începe să construiești.

Iată ce mi s-a întâmplat:

Privind această imagine, care sunt rădăcinile ecuației noastre?

Așa este, și. Iată confirmarea:

Încercați să ne conectați rădăcinile în ecuație. S-a întâmplat?

În regulă! De acord, rezolvarea grafică a unor astfel de ecuații este o plăcere!

Încercați să rezolvați singur ecuația grafic:

Vă dau un indiciu: mutați o parte din ecuație la partea dreapta astfel încât ambele părți să aibă cele mai simple funcții de construit. Ai indiciu? Ia măsuri!

Acum să vedem ce ai:

Respectiv:

1. - parabola cubica.
2. - o linie dreaptă obișnuită.

Ei bine, construim:

După cum ați notat mult timp, rădăcina acestei ecuații este -.

După ce am rezolvat asta un numar mare de exemple, sunt sigur că ați realizat cum puteți rezolva cu ușurință și rapid ecuații grafic. Este timpul să vă dați seama cum să decideți intr-un mod similar sisteme.

Soluția grafică a sistemelor

Soluția grafică a sistemelor nu este în esență diferită de soluția grafică a ecuațiilor. De asemenea, vom construi două grafice, iar punctele lor de intersecție vor fi rădăcinile acestui sistem. Un grafic este o ecuație, al doilea grafic este o altă ecuație. Totul este extrem de simplu!

Să începem cu cele mai simple - rezolvarea sistemelor de ecuații liniare.

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare

Să presupunem că avem următorul sistem:

Pentru început, îl vom transforma în așa fel încât în ​​stânga să fie tot ceea ce este conectat, iar în dreapta - ceea ce este conectat. Cu alte cuvinte, scriem aceste ecuații ca o funcție în forma obișnuită pentru noi:

Și acum construim doar două linii drepte. Care este soluția în cazul nostru? Corect! Punctul de intersecție! Și aici trebuie să fii foarte, foarte atent! Gândește-te de ce? Vă dau un indiciu: avem de-a face cu un sistem: sistemul le are pe amândouă și... Ai înțeles?

În regulă! Când rezolvăm sistemul, trebuie să ne uităm la ambele coordonate, și nu numai, ca atunci când rezolvăm ecuații! O alta punct important- scrieți-le corect și nu faceți confuzie unde avem valoarea și unde este valoarea! Înregistrate? Acum să comparăm totul în ordine:

Și răspunde: i. Faceți o verificare - înlocuiți rădăcinile găsite în sistem și asigurați-vă că am rezolvat-o corect într-un mod grafic?

Rezolvarea sistemelor de ecuații neliniare

Dar dacă în loc de o linie dreaptă, vom avea ecuație pătratică? E in regula! Doar construiești o parabolă în loc de o linie dreaptă! Sa nu ai incredere? Încercați să rezolvați următorul sistem:

Ce este al nostru urmatorul pas? Așa este, scrieți-l astfel încât să ne fie convenabil să construim grafice:

Și acum totul este despre lucrul mic - l-am construit rapid și iată soluția pentru tine! Clădire:

Grafica este aceeași? Acum marcați soluțiile sistemului din imagine și notați corect răspunsurile dezvăluite!

Am făcut totul? Comparați cu notele mele:

În regulă? Bine făcut! Faceți deja clic pe astfel de sarcini precum nuci! Și dacă da, să vă oferim un sistem mai complicat:

Ce facem? Corect! Scriem sistemul astfel încât să fie convenabil să construim:

Vă dau un mic indiciu, deoarece sistemul pare foarte complicat! Când construiți grafice, construiți-le „mai mult” și, cel mai important, nu fiți surprinși de numărul de puncte de intersecție.

Deci să mergem! Expirat? Acum începe să construiești!

Ei bine, cum? Frumos? Câte puncte de intersecție ai obținut? Eu am trei! Să comparăm graficele noastre:

Același fel? Acum notați cu atenție toate soluțiile sistemului nostru:

Acum priviți din nou sistemul:

Îți poți imagina că ai rezolvat-o în doar 15 minute? De acord, matematica este încă simplă, mai ales când te uiți la o expresie, nu ți-e frică să greșești, dar o iei și decizi! Ești un băiat mare!

Rezolvarea grafică a inegalităților

Rezolvarea grafică a inegalităților liniare

După ultimul exemplu ai totul pe umar! Acum expirați - în comparație cu secțiunile anterioare, aceasta va fi foarte, foarte ușor!

Vom începe, ca de obicei, cu o soluție grafică inegalitatea liniară. De exemplu, acesta:

Pentru început, vom efectua cele mai simple transformări - vom deschide parantezele pătrate plineși adăugați termeni similari:

Inegalitatea nu este strictă, prin urmare - nu este inclusă în interval, iar soluția va fi toate punctele care sunt la dreapta, deoarece mai multe, mai multe și așa mai departe:

Răspuns:

Asta e tot! Uşor? Să rezolvăm o inegalitate simplă cu două variabile:

Să desenăm o funcție în sistemul de coordonate.

Ai o astfel de diagramă? Și acum ne uităm cu atenție la ceea ce avem în inegalitate? Mai puțin? Deci, pictăm peste tot ce se află în stânga liniei noastre drepte. Dacă ar fi mai multe? Așa este, atunci ei ar picta peste tot ce este în dreapta liniei noastre drepte. Totul este simplu.

Toate soluțiile acestei inegalități sunt „umbrite” portocale. Gata, inegalitatea cu două variabile este rezolvată. Aceasta înseamnă că coordonatele și orice punct din zona umbrită sunt soluțiile.

Rezolvarea grafică a inegalităților pătratice

Acum ne vom ocupa de cum să rezolvăm grafic inegalitățile pătratice.

Dar înainte de a ajunge direct la subiect, să recapitulăm câteva lucruri despre funcția pătrat.

De ce este responsabil discriminatorul? Așa este, pentru poziția graficului față de axă (dacă nu vă amintiți acest lucru, atunci citiți cu siguranță teoria funcțiilor pătratice).

În orice caz, iată un mic memento pentru tine:

Acum că am reîmprospătat tot materialul din memoria noastră, să trecem la treabă - vom rezolva grafic inegalitatea.

Vă spun imediat că există două variante de rezolvare.

Opțiunea 1

Scriem parabola noastră ca funcție:

Folosind formulele, determinăm coordonatele vârfului parabolei (în același mod ca atunci când rezolvăm ecuații patratice):

ai numarat? Ce ai primit?

Acum să luăm încă două diverse puncteși calculează pentru ei:

Începem să construim o ramură a parabolei:

Ne reflectăm simetric punctele pe o altă ramură a parabolei:

Acum să revenim la inegalitatea noastră.

Trebuie să fim mai putin de zero, respectiv:

Deoarece în inegalitatea noastră există un semn strict mai puțin, excludem punctele finale - „imităm”.

Răspuns:

Drum lung, nu? Acum vă voi arăta o versiune mai simplă a soluției grafice folosind aceeași inegalitate ca exemplu:

Opțiunea 2

Ne întoarcem la inegalitatea noastră și marchem intervalele de care avem nevoie:

De acord, este mult mai rapid.

Să scriem răspunsul acum:

Luați în considerare o altă soluție care simplifică și partea algebrică, dar principalul lucru este să nu te încurci.

Înmulțiți părțile din stânga și din dreapta cu:

Încercați să rezolvați singur următoarea inegalitate pătratică în orice mod doriți: .

Ai reușit?

Vezi cum a ieșit graficul meu:

Răspuns: .

Rezolvarea grafică a inegalităților mixte

Acum să trecem la inegalități mai complexe!

Cum iti place asta:

Îngrozitor, nu? Sincer, nu am idee cum să rezolv asta algebric... Dar, nu este necesar. Grafic, nu este nimic complicat în asta! Ochilor le este frică, dar mâinile fac!

Primul lucru cu care începem este să construim două grafice:

Nu voi scrie un tabel pentru toată lumea - sunt sigur că o poți face perfect pe cont propriu (desigur, sunt atât de multe exemple de rezolvat!).

Pictat? Acum construiți două grafice.

Să comparăm desenele noastre?

Ai la fel? Excelent! Acum să plasăm punctele de intersecție și să determinăm cu o culoare ce grafic ar trebui să avem, în teorie, ar trebui să fie mai mare, adică. Uite ce s-a întâmplat până la urmă:

Și acum ne uităm doar la unde graficul selectat este mai mare decât graficul? Simțiți-vă liber să luați un creion și să pictați zonă dată! Va fi soluția la inegalitatea noastră complexă!

La ce intervale de-a lungul axei suntem mai sus? Dreapta, . Acesta este răspunsul!

Ei bine, acum poți gestiona orice ecuație și orice sistem și cu atât mai mult orice inegalitate!

SCURT DESPRE PRINCIPALA

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor folosind grafice de funcții:

1. Exprimați prin
2. Definiți tipul funcției
3. Să construim grafice ale funcțiilor rezultate
4. Găsiți punctele de intersecție ale graficelor
5. Notați corect răspunsul (ținând cont de semnele ODZ și de inegalitate)
6. Verificați răspunsul (înlocuiți rădăcinile în ecuație sau sistem)

Pentru mai multe informații despre trasarea graficelor de funcții, consultați subiectul „”.