Správny zlomok

štvrtí

1. Poriadok. a a b existuje pravidlo, ktoré vám umožňuje medzi nimi jednoznačne identifikovať jeden a len jeden z troch vzťahov: “< », « >' alebo ' = '. Toto pravidlo sa nazýva pravidlo objednávky a je formulovaný takto: dva nezáporné čísla a súvisia rovnakým vzťahom ako dve celé čísla a ; dve nekladné čísla a a b súvisia rovnakým vzťahom ako dve nezáporné čísla a ; ak náhle a nezáporné a b- teda negatívny a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   súčet zlomkov

2. operácia sčítania. Pre akékoľvek racionálne čísla a a b existuje tzv sumačné pravidlo c. Avšak samotné číslo c volal súčetčísla a a b a označuje sa a proces nájdenia takéhoto čísla sa nazýva zhrnutie. Sumárne pravidlo má ďalší pohľad: .
3. operácia násobenia. Pre akékoľvek racionálne čísla a a b existuje tzv pravidlo násobenia, čo ich dáva do súladu s nejakým racionálnym číslom c. Avšak samotné číslo c volal prácačísla a a b a označuje sa a proces hľadania takéhoto čísla sa tiež nazýva násobenie. Pravidlo násobenia je nasledovné: .
4. Tranzitivita rádového vzťahu. Pre ľubovoľnú trojicu racionálnych čísel a , b a c ak a menšie b a b menšie c, potom a menšie c, A keď a rovná sa b a b rovná sa c, potom a rovná sa c. 6435">Komutativita sčítania. Súčet sa nemení od zmeny miesta racionálnych členov.
5. Asociativita sčítania. objednať pridanie troch racionálne čísla neovplyvňujú výsledok.
6. Prítomnosť nuly. Existuje racionálne číslo 0, ktoré pri sčítaní zachováva každé iné racionálne číslo.
7. Prítomnosť opačných čísel. Každé racionálne číslo má opačné racionálne číslo, ktoré po sčítaní dáva 0.
8. Komutivita násobenia. Zmenou miest racionálnych faktorov sa produkt nemení.
9. Asociativita násobenia. Poradie, v ktorom sa násobia tri racionálne čísla, neovplyvňuje výsledok.
10. Prítomnosť jednotky. Existuje racionálne číslo 1, ktoré pri vynásobení zachováva každé druhé racionálne číslo.
11. Prítomnosť recipročných. Každé racionálne číslo má inverzné racionálne číslo, ktoré po vynásobení dáva 1.
12. Distribúcia násobenia vzhľadom na sčítanie. Operácia násobenia je v súlade s operáciou sčítania prostredníctvom distribučného zákona:
13. Spojenie zákazkového vzťahu s operáciou sčítania. doľava a pravé časti racionálna nerovnosť môžete pridať rovnaké racionálne číslo. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Archimedova axióma. Bez ohľadu na racionálne číslo a, môžete si vziať toľko jednotiek, že ich súčet presiahne a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Ďalšie vlastnosti

Všetky ostatné vlastnosti vlastné racionálnym číslam sa nevyčleňujú ako základné, pretože vo všeobecnosti už nie sú založené priamo na vlastnostiach celých čísel, ale možno ich dokázať na základe daných základných vlastností alebo priamo definíciou niektoré matematický objekt. Takéto ďalšie vlastnosti veľa. Tu má zmysel uviesť len niektoré z nich.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Nastavte počítateľnosť

Číslovanie racionálnych čísel

Ak chcete odhadnúť počet racionálnych čísel, musíte nájsť mohutnosť ich množiny. Je ľahké dokázať, že množina racionálnych čísel je spočítateľná. Na to stačí dať algoritmus, ktorý vymenuje racionálne čísla, t.j. vytvorí bijekciu medzi množinami racionálnych a prirodzené čísla.

Najjednoduchší z týchto algoritmov je nasledujúci. Na každom je zostavená nekonečná tabuľka obyčajných zlomkov i-tý riadok v každom j stĺpec, ktorého je zlomok. Pre istotu sa predpokladá, že riadky a stĺpce tejto tabuľky sú očíslované od jednej. Bunky tabuľky sú označené , kde i- číslo riadku tabuľky, v ktorej sa bunka nachádza, a j- číslo stĺpca.

Výslednú tabuľku spravuje "had" podľa nasledujúceho formálneho algoritmu.

Tieto pravidlá sa prehľadávajú zhora nadol a ďalšia pozícia sa vyberá podľa prvého zápasu.

V procese takéhoto premostenia je každé nové racionálne číslo priradené ďalšiemu prirodzenému číslu. To znamená, že zlomkom 1/1 je priradené číslo 1, zlomkom 2/1 číslo 2 atď. Treba poznamenať, že iba neredukovateľné frakcie. Formálnym znakom neredukovateľnosti je rovnosť k jednote najväčšieho spoločného deliteľa čitateľa a menovateľa zlomku.

Podľa tohto algoritmu je možné spočítať všetky kladné racionálne čísla. To znamená, že množina kladných racionálnych čísel je spočítateľná. Je ľahké vytvoriť bijekciu medzi množinami kladných a záporných racionálnych čísel jednoducho tak, že každému racionálnemu číslu priradíme jeho opak. To. množina záporných racionálnych čísel je tiež spočítateľná. Ich spojenie je tiež spočítateľné pomocou vlastnosti spočítateľných množín. Množina racionálnych čísel je spočítateľná aj ako spojenie spočítateľnej množiny s konečnou.

Tvrdenie o spočítateľnosti množiny racionálnych čísel môže spôsobiť zmätok, pretože na prvý pohľad má človek dojem, že je oveľa väčšia ako množina prirodzených čísel. V skutočnosti to tak nie je a existuje dostatok prirodzených čísel na vymenovanie všetkých racionálnych.

Nedostatok racionálnych čísel

Prepona takéhoto trojuholníka nie je vyjadrená žiadnym racionálnym číslom

Racionálne čísla tvaru 1 / n na slobode n možno merať ľubovoľne malé množstvá. Táto skutočnosť vytvára klamlivý dojemže racionálne čísla môžu merať akékoľvek geometrické vzdialenosti vo všeobecnosti. Je ľahké ukázať, že to nie je pravda.

Z Pytagorovej vety je známe, že prepona pravouhlého trojuholníka je vyjadrená ako druhá odmocnina súčtu druhých mocnín jeho nôh. To. dĺžka rovnoramennej prepony správny trojuholník s jednou nohou sa rovná, t.j. číslu, ktorého druhá mocnina je 2.

Ak predpokladáme, že číslo je reprezentované nejakým racionálnym číslom, potom také celé číslo existuje m a také prirodzené číslo n, čo je navyše zlomok neredukovateľný, teda čísla m a n sú coprime.

Ak potom , t.j. m 2 = 2n 2. Preto číslo m 2 je párne, ale súčin dvoch nepárne čísla nepárne, čo znamená, že samotné číslo m tiež jasné. Existuje teda prirodzené číslo k, tak, že číslo m môže byť reprezentovaný ako m = 2k. Číselný štvorec m V tomto zmysle m 2 = 4k 2 ale na druhej strane m 2 = 2n 2 znamená 4 k 2 = 2n 2, alebo n 2 = 2k 2. Ako je uvedené vyššie pre číslo m, čo znamená, že číslo n- presne ako m. Ale potom nie sú coprime, pretože obe sú deliteľné na polovicu. Výsledný rozpor dokazuje, že nejde o racionálne číslo.

Pri slove „zlomky“ mnohým nabehne husia koža. Pretože si pamätám školu a úlohy, ktoré sa riešili v matematike. Bola to povinnosť, ktorú bolo treba splniť. Ale čo ak ošetríme úlohy obsahujúce správne a nesprávne zlomky ako hádať? Mnoho dospelých totiž rieši digitálne a japonské krížovky. Pochopte pravidlá a to je všetko. To isté tu. Stačí sa ponoriť do teórie - a všetko zapadne na svoje miesto. A príklady sa zmenia na spôsob, ako trénovať mozog.

Aké druhy zlomkov existujú?

Začnime tým, čo to je. Zlomok je číslo, ktoré má nejaký zlomok jedna. Môže byť napísaný v dvoch formách. Prvý sa nazýva obyčajný. Teda taký, ktorý má vodorovný alebo šikmý ťah. To sa rovná deliacemu znaku.

V takomto zápise sa číslo nad pomlčkou nazýva čitateľ a pod ňou menovateľ.

Medzi obyčajnými zlomkami sa rozlišujú správne a nesprávne zlomky. V prvom prípade je čitateľ modulo vždy menší ako menovateľ. Tí nesprávni sa tak nazývajú, pretože majú opak. Hodnota správneho zlomku je vždy menej ako jeden. Zatiaľ čo ten nesprávny je vždy väčší ako toto číslo.

Existujú aj zmiešané čísla, to znamená tie, ktoré majú celé číslo a zlomkovú časť.

Druhým typom záznamu je desiatkový. O jej samostatnom rozhovore.

Aký je rozdiel medzi nesprávnymi zlomkami a zmiešanými číslami?

V podstate nič. Ide len o iný zápis toho istého čísla. Nepravé zlomky po jednoduchých operáciách sa ľahko stanú zmiešanými číslami. A naopak.

Všetko závisí od konkrétnu situáciu. Niekedy je v úlohách vhodnejšie použiť nesprávny zlomok. A niekedy je potrebné preložiť do zmiešané číslo a potom sa príklad vyrieši veľmi jednoducho. Preto, čo použiť: nesprávne zlomky, zmiešané čísla - závisí od pozorovania riešiteľa úlohy.

Zmiešané číslo sa tiež porovnáva so súčtom celočíselnej časti a zlomkovej časti. Navyše, druhá je vždy menšia ako jednota.

Ako reprezentovať zmiešané číslo ako nesprávny zlomok?

Ak chcete vykonať nejakú akciu s niekoľkými číslami, ktoré sú zapísané odlišné typy, potom ich musíte urobiť rovnakými. Jednou z metód je reprezentovať čísla ako nesprávne zlomky.

Na tento účel budete musieť postupovať podľa nasledujúceho algoritmu:

• vynásobte menovateľa celou časťou;
• k výsledku pridajte hodnotu čitateľa;
• odpoveď napíšte nad riadok;
• menovateľ ponechajte rovnaký.

Tu sú príklady, ako písať nesprávne zlomky zo zmiešaných čísel:

• 17 ¼ \u003d (17 x 4 + 1): 4 \u003d 69/4;
• 39 ½ \u003d (39 x 2 + 1): 2 \u003d 79/2.

Ako napísať nevlastný zlomok ako zmiešané číslo?

Ďalší spôsob je opakom vyššie uvedeného. To znamená, keď sú všetky zmiešané čísla nahradené nesprávnymi zlomkami. Algoritmus akcií bude nasledujúci:

• vydeľte čitateľa menovateľom a získajte zvyšok;
• napíšte podiel na miesto celočíselnej časti zmiešaného;
• zvyšok by mal byť umiestnený nad čiarou;
• deliteľ bude menovateľ.

Príklady takejto transformácie:

76/14; 76:14 = 5 so zvyškom 6; odpoveď je 5 celých čísel a 6/14; zlomkovú časť v tomto príklade je potrebné znížiť o 2, dostanete 3/7; konečná odpoveď je 5 celých 3/7.

108/54; po delení sa získa podiel 2 bezo zvyšku; to znamená, že nie všetky nesprávne zlomky môžu byť vyjadrené ako zmiešané číslo; odpoveď je celé číslo - 2.

Ako zmeníte celé číslo na nesprávny zlomok?

Sú situácie, keď je takýto krok nevyhnutný. Ak chcete získať nesprávne zlomky s vopred určeným menovateľom, budete musieť vykonať nasledujúci algoritmus:

• vynásobte celé číslo požadovaným menovateľom;
• napíšte túto hodnotu nad riadok;
• umiestnite pod ňu menovateľa.

Najjednoduchšia možnosť je, keď menovateľ rovný jednej. Potom nie je potrebné množiť. Stačí napísať celé číslo, ktoré je uvedené v príklade a pod čiaru umiestniť jednotku.

Príklad: Urobte z 5 nesprávny zlomok s menovateľom 3. Po vynásobení 5 číslom 3 dostanete 15. Toto číslo bude menovateľom. Odpoveď na úlohu je zlomok: 15/3.

Dva prístupy k riešeniu úloh s rôznymi číslami

V príklade je potrebné vypočítať súčet a rozdiel, ako aj súčin a podiel dvoch čísel: 2 celé čísla 3/5 a 14/11.

V prvom prístupe zmiešané číslo bude reprezentované ako nesprávny zlomok.

Po vykonaní krokov popísaných vyššie získate nasledujúcu hodnotu: 13/5.

Ak chcete nájsť súčet, musíte zlomky previesť na rovnaký menovateľ. 13/5 vynásobené 11 sa stane 143/55. A 14/11 po vynásobení 5 bude mať tvar: 70/55. Na výpočet súčtu stačí sčítať čitateľa: 143 a 70 a potom zapísať odpoveď s jedným menovateľom. 213/55 - tento nesprávny zlomok je odpoveďou na problém.

Pri hľadaní rozdielu sa odčítajú rovnaké čísla: 143 - 70 = 73. Odpoveď je zlomok: 73/55.

Pri násobení 13/5 a 14/11 nemusíte viesť k spoločný menovateľ. Stačí vynásobiť čitateľov a menovateľov vo dvojiciach. Odpoveď bude: 182/55.

Rovnako aj s delením. Pre správne rozhodnutie musíte nahradiť delenie násobením a prevrátiť deliteľa: 13/5: 14/11 \u003d 13/5 x 11/14 \u003d 143/70.

V druhom prístupe Z nesprávneho zlomku sa stane zmiešané číslo.

Po vykonaní akcií algoritmu sa 14/11 zmení na zmiešané číslo s celá časť 1 a zlomkové 3/11.

Pri výpočte súčtu musíte oddelene pridať celé číslo a zlomkové časti. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Konečná odpoveď je 3 celé 48/55. V prvom prístupe bol zlomok 213/55. Správnosť môžete skontrolovať prevedením na zmiešané číslo. Po vydelení 213 číslom 55 je podiel 3 a zvyšok 48. Je ľahké vidieť, že odpoveď je správna.

Pri odčítaní sa znamienko „+“ nahrádza „-“. 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Ak chcete skontrolovať odpoveď z predchádzajúceho prístupu, musíte ju previesť na zmiešané číslo: 73 je delené 55 a dostanete kvocient 1 a zvyšok 18.

Na nájdenie súčinu a kvocientu je nepohodlné používať zmiešané čísla. Tu sa vždy odporúča prejsť na nesprávne zlomky.

Zlomok v matematike číslo pozostávajúce z jednej alebo viacerých častí (zlomkov) jednotky. Zlomky sú súčasťou poľa racionálnych čísel. Zlomky sú rozdelené do 2 formátov podľa spôsobu ich zápisu: obyčajný láskavý a desiatkový .

Čitateľ zlomku- číslo znázorňujúce počet odobratých akcií (umiestnené v hornej časti zlomku - nad čiarou). Menovateľ zlomku- číslo udávajúce, na koľko častí je jednotka rozdelená (umiestnené pod čiarou - v spodnej časti). sa zase delia na: správne a nesprávne, zmiešané a zloženýúzko súvisí s mernými jednotkami. 1 meter obsahuje 100 cm, čo znamená, že 1 m je rozdelený na 100 rovnakých častí. Teda 1 cm = 1/100 m (jeden centimeter sa rovná jednej stotine metra).

alebo 3/5 (tri pätiny), tu 3 je čitateľ, 5 je menovateľ. Ak je čitateľ menší ako menovateľ, zlomok je menší ako jedna a nazýva sa správne:

Ak je čitateľ rovná sa menovateľovi, zlomok sa rovná jednej. Ak je čitateľ väčší ako menovateľ, zlomok je väčší ako jedna. V oboch nedávne prípady zlomok sa nazýva nesprávne:

Ak chcete izolovať najväčšie celé číslo obsiahnuté v nesprávnom zlomku, musíte vydeliť čitateľa menovateľom. Ak sa delenie vykoná bez zvyšku, potom sa nesprávny zlomok rovná podielu:

Ak sa delenie vykonáva so zvyškom, potom (neúplný) podiel dáva požadované celé číslo, zvyšok sa stáva čitateľom zlomkovej časti; menovateľ zlomkovej časti zostáva rovnaký.

Volá sa číslo, ktoré obsahuje celé číslo a zlomkovú časť zmiešané. Zlomok zmiešané číslo možno nesprávny zlomok. Potom je možné extrahovať najväčšie celé číslo z zlomkovej časti a reprezentovať zmiešané číslo tak, že zlomková časť sa stane vlastným zlomkom (alebo úplne zmizne).

Tento článok je o bežné zlomky. Tu sa zoznámime s pojmom zlomok celku, čo nás privedie k definícii obyčajného zlomku. Ďalej sa zastavíme pri akceptovanom zápise obyčajných zlomkov a uvedieme príklady zlomkov, povedzme o čitateľovi a menovateľovi zlomku. Potom uvádzame definície správneho a nesprávneho, pozitívneho a záporné zlomky a tiež zvážte polohu zlomkových čísel na súradnicový lúč. Na záver uvádzame hlavné akcie so zlomkami.

Navigácia na stránke.

Akcie celku

Najprv sa predstavíme zdieľať koncept.

Predpokladajme, že máme nejaký objekt zložený z niekoľkých absolútne rovnakých (teda rovnakých) častí. Pre názornosť si môžete predstaviť napríklad jablko nakrájané na niekoľko kusov rovnakými dielmi alebo pomaranč pozostávajúci z niekoľkých rovnakých plátkov. Každá z týchto rovnakých častí, ktoré tvoria celý objekt, sa nazýva podiel na celku alebo jednoducho akcií.

Všimnite si, že podiely sú rôzne. Poďme si to vysvetliť. Povedzme, že máme dve jablká. Prvé jablko rozrežeme na dve rovnaké časti a druhé na 6 rovnakých častí. Je jasné, že podiel prvého jablka bude iný ako podiel druhého jablka.

V závislosti od počtu akcií, ktoré tvoria celý objekt, majú tieto akcie svoje názvy. Poďme analyzovať zdieľané mená. Ak sa predmet skladá z dvoch častí, ktorákoľvek z nich sa nazýva jedna druhá časť celého predmetu; ak sa predmet skladá z troch častí, potom sa ktorákoľvek z nich nazýva jedna tretia časť atď.

Jeden sekundový úder má špeciálny názov - polovicu. Jedna tretina je tzv tretí a jeden štvornásobok - štvrťroku.

Pre stručnosť nasledovné označenia podielov. Jeden druhý podiel je označený ako alebo 1/2, jeden tretí podiel - ako alebo 1/3; jedna štvrtina zdieľania – páči sa mi alebo 1/4 atď. Všimnite si, že zápis s vodorovnou čiarou sa používa častejšie. Na konsolidáciu materiálu uveďme ešte jeden príklad: záznam označuje stošesťdesiatsedeminu celku.

Pojem podielu sa prirodzene rozširuje od objektov k veličinám. Napríklad jednou z mier dĺžky je meter. Na meranie dĺžok menších ako meter možno použiť zlomky metra. Môžete teda použiť napríklad pol metra alebo desatinu či tisícinu metra. Podiely ostatných množstiev sa uplatňujú podobne.

Bežné zlomky, definícia a príklady zlomkov

Na popis počtu akcií sa používa bežné zlomky. Uveďme príklad, ktorý nám umožní priblížiť sa k definícii obyčajných zlomkov.

Nechajte pomaranč pozostávať z 12 častí. Každá akcia v tomto prípade predstavuje jednu dvanástinu celého pomaranča, teda . Označme dva údery ako , tri údery ako atď., 12 úderov ako . Každý z týchto záznamov sa nazýva obyčajný zlomok.

Teraz dajme generálku definícia bežných zlomkov.

Vyslovená definícia obyčajných zlomkov nám umožňuje priniesť príklady bežných zlomkov: 5/10 , 21/1 , 9/4 , . A tu sú záznamy nezodpovedajú znenej definícii obyčajných zlomkov, to znamená, že to nie sú obyčajné zlomky.

Čitateľ a menovateľ

Pre pohodlie rozlišujeme v bežných zlomkoch čitateľ a menovateľ.

Definícia.

Čitateľ obyčajný zlomok (m / n) je prirodzené číslo m.

Definícia.

Menovateľ obyčajný zlomok (m / n) je prirodzené číslo n.

Čitateľ sa teda nachádza nad zlomkovou čiarou (naľavo od lomky) a menovateľ je pod zlomkovou čiarou (napravo od lomky). Vezmime si napríklad obyčajný zlomok 17/29, v čitateli tohto zlomku je číslo 17 a v menovateli je číslo 29.

Zostáva diskutovať o význame obsiahnutom v čitateľovi a menovateľovi obyčajného zlomku. Menovateľ zlomku ukazuje, z koľkých podielov pozostáva jedna položka, čitateľ zasa počet takýchto podielov. Napríklad menovateľ 5 zlomku 12/5 znamená, že jedna položka pozostáva z piatich častí, a čitateľ 12 znamená, že sa vezme 12 takýchto častí.

Prirodzené číslo ako zlomok s menovateľom 1

Menovateľ obyčajného zlomku sa môže rovnať jednej. V tomto prípade môžeme predpokladať, že objekt je nedeliteľný, inými slovami, je to niečo celistvé. Čitateľ takéhoto zlomku udáva, koľko celých položiek sa vezme. teda spoločný zlomok tvaru m/1 má význam prirodzeného čísla m . Takto sme zdôvodnili rovnosť m/1=m .

Poslednú rovnosť prepíšeme takto: m=m/1 . Táto rovnosť nám umožňuje reprezentovať akékoľvek prirodzené číslo m ako obyčajný zlomok. Napríklad číslo 4 je zlomok 4/1 a číslo 103498 je zlomok 103498/1.

takze ľubovoľné prirodzené číslo m môže byť vyjadrené ako obyčajný zlomok s menovateľom 1 ako m/1 a každý obyčajný zlomok tvaru m/1 môže byť nahradený prirodzeným číslom m.

Zlomkový stĺpec ako deliaci znak

Reprezentácia pôvodného objektu vo forme n akcií nie je nič iné ako rozdelenie na n rovnakých častí. Po rozdelení veci na n akcií ju môžeme rozdeliť rovným dielom medzi n ľudí - každý dostane jednu akciu.

Ak máme na začiatku m identické položky, z ktorých každý je rozdelený na n podielov, potom môžeme týchto m položiek rovnomerne rozdeliť medzi n ľudí, pričom každej osobe pripadne jeden podiel z každej z m položiek. V tomto prípade bude mať každá osoba m podielov 1/n a m podielov 1/n dáva obyčajný zlomok m/n. Spoločný zlomok m/n teda možno použiť na vyjadrenie rozdelenia m položiek medzi n ľudí.

Získali sme teda explicitné spojenie medzi obyčajnými zlomkami a delením (pozri všeobecnú myšlienku delenia prirodzených čísel). Tento vzťah je vyjadrený takto: Pruh zlomku možno chápať ako deliaci znak, teda m/n=m:n.

Pomocou obyčajného zlomku môžete napísať výsledok delenia dvoch prirodzených čísel, pre ktoré sa delenie nevykonáva celým číslom. Napríklad výsledok delenia 5 jabĺk 8 ľuďmi možno zapísať ako 5/8, to znamená, že každé dostane päť osmín jablka: 5:8=5/8.

Rovné a nerovnaké obyčajné zlomky, porovnávanie zlomkov

Dosť prirodzené pôsobenie je porovnanie bežných zlomkov, pretože je jasné, že 1/12 pomaranča je iná ako 5/12 a 1/6 jablka je rovnaká ako druhá 1/6 tohto jablka.

V dôsledku porovnania dvoch obyčajných zlomkov sa získa jeden z výsledkov: zlomky sú rovnaké alebo nie rovnaké. V prvom prípade máme rovnaké spoločné zlomky a v druhom nerovnaké spoločné zlomky. Uveďme definíciu rovnakých a nerovnakých obyčajných zlomkov.

Definícia.

rovný, ak platí rovnosť a d=b c.

Definícia.

Dva bežné zlomky a/b a c/d nerovná sa, ak nie je splnená rovnosť a d=b c.

Tu je niekoľko príkladov rovnakých zlomkov. Napríklad bežný zlomok 1/2 sa rovná zlomku 2/4, keďže 1 4=2 2 (v prípade potreby si pozrite pravidlá a príklady násobenia prirodzených čísel). Pre prehľadnosť si môžete predstaviť dve rovnaké jablká, prvé je rozrezané na polovicu a druhé - na 4 podiely. Je zrejmé, že dve štvrtiny jablka sú 1/2 podielu. Ďalšími príkladmi rovnakých spoločných zlomkov sú zlomky 4/7 a 36/63 a pár zlomkov 81/50 a 1620/1000.

A obyčajné zlomky 4/13 a 5/14 sa nerovnajú, pretože 4 14 = 56 a 13 5 = 65, teda 4 14 ≠ 13 5. Ďalším príkladom nerovnakých bežných zlomkov sú zlomky 17/7 a 6/4.

Ak sa pri porovnávaní dvoch obyčajných zlomkov ukáže, že nie sú rovnaké, možno budete musieť zistiť, ktorý z týchto obyčajných zlomkov menšieďalší a ktorý viac. Na zistenie slúži pravidlo na porovnávanie obyčajných zlomkov, ktorého podstatou je priviesť porovnávané zlomky do spoločného menovateľa a následne porovnať čitateľov. Detailné informácie na túto tému sa zhromažďuje v článku porovnanie zlomkov: pravidlá, príklady, riešenia.

Zlomkové čísla

Každý zlomok je záznamom zlomkové číslo. To znamená, že zlomok je len „škrupina“ zlomkového čísla, jeho vzhľad, a všetko sémantické zaťaženie je obsiahnutá v zlomkovom čísle. Z dôvodu stručnosti a pohodlia sa však pojem zlomok a zlomkové číslo kombinujú a nazývajú sa jednoducho zlomok. Tu je vhodné parafrázovať známe porekadlo: povieme zlomok – myslíme zlomkové číslo, hovoríme zlomkové číslo - myslíme zlomok.

Zlomky na súradnicovom lúči

Všetky zlomkové čísla zodpovedajúce obyčajným zlomkom majú svoje vlastné jedinečné miesto na , to znamená, že medzi zlomkami a bodmi súradnicového lúča existuje zhoda jedna ku jednej.

Aby sme sa dostali do bodu zodpovedajúceho zlomku m / n na súradnicovom lúči, je potrebné odložiť m segmentov z počiatku v kladnom smere, ktorých dĺžka je 1 / n jednotkového segmentu. Takéto segmenty možno získať rozdelením jedného segmentu na n rovnakých častí, čo je možné vždy vykonať pomocou kompasu a pravítka.

Ukážme napríklad bod M na súradnicovom lúči, ktorý zodpovedá zlomku 14/10. Dĺžka úsečky s koncami v bode O a v bode, ktorý je k nej najbližšie, označený malou pomlčkou, je 1/10 jednotkového úsečky. Bod so súradnicou 14/10 je odstránený z počiatku o 14 takýchto segmentov.

Rovnaké zlomky zodpovedajú rovnakému zlomkovému číslu, tj. rovnaké zlomky sú súradnice toho istého bodu na súradnicovom lúči. Napríklad jeden bod zodpovedá súradniciam 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 na súradnicovom lúči, pretože všetky zapísané zlomky sú rovnaké (nachádza sa vo vzdialenosti polovice segmentu jednotky, odložené od pôvodu v kladnom smere).

Na vodorovnom a pravostrannom súradnicovom lúči bod, ktorého súradnica je veľký zlomok, sa nachádza napravo od bodu, ktorého súradnicami je menší zlomok. Podobne bod s menšou súradnicou leží naľavo od bodu s väčšou súradnicou.

Vlastné a nevlastné zlomky, definície, príklady

Medzi obyčajnými zlomkami sú vlastné a nevlastné zlomky. Toto rozdelenie má v podstate porovnanie čitateľa a menovateľa.

Uveďme definíciu vlastných a nevlastných obyčajných zlomkov.

Definícia.

Správny zlomok je obyčajný zlomok, ktorého čitateľ je menší ako menovateľ, teda ak m

Definícia.

Nesprávny zlomok je obyčajný zlomok, v ktorom je čitateľ väčší alebo rovný menovateľovi, to znamená, že ak m≥n, potom je obyčajný zlomok nesprávny.

Tu je niekoľko príkladov správnych zlomkov: 1/4 , , 32 765/909 003 . V každom zo zapísaných obyčajných zlomkov je totiž čitateľ menší ako menovateľ (ak je to potrebné, pozrite si článok porovnanie prirodzených čísel), takže sú z definície správne.

A tu sú príklady nesprávnych zlomkov: 9/9, 23/4,. Čitateľ prvého zo zapísaných obyčajných zlomkov sa skutočne rovná menovateľovi a v ostatných zlomkoch je čitateľ väčší ako menovateľ.

Existujú aj definície vlastných a nevlastných zlomkov na základe porovnávania zlomkov s jedným.

Definícia.

správne ak je menej ako jedna.

Definícia.

Spoločný zlomok je tzv nesprávne, ak sa rovná jednej alebo je väčšia ako 1 .

Takže obyčajný zlomok 7/11 je správny, pretože 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 a 27/27=1.

Zamyslime sa nad tým, ako si obyčajné zlomky s čitateľom väčším alebo rovným ako menovateľ zaslúžia takýto názov – „nesprávne“.

Vezmime si ako príklad nesprávny zlomok 9/9. Tento zlomok znamená, že sa odoberie deväť častí objektu, ktorý pozostáva z deviatich častí. To znamená, že z deviatich dostupných akcií môžeme poskladať celý subjekt. To znamená, že nesprávny zlomok 9/9 v podstate dáva celý objekt, teda 9/9=1. Vo všeobecnosti nesprávne zlomky s čitateľom rovným menovateľovi označujú jeden celý objekt a takýto zlomok možno nahradiť prirodzeným číslom 1.

Teraz zvážte nesprávne zlomky 7/3 a 12/4. Je celkom zrejmé, že z týchto siedmich tretín môžeme urobiť dva celé objekty (jeden celý objekt má 3 podiely, potom na zloženie dvoch celých predmetov potrebujeme 3 + 3 = 6 podielov) a stále zostane jeden tretinový podiel. To znamená, že nesprávny zlomok 7/3 v podstate znamená 2 položky a dokonca 1/3 podielu takejto položky. A z dvanástich štvrtín môžeme vyrobiť tri celé predmety (tri predmety po štyroch častiach). To znamená, že zlomok 12/4 v podstate znamená 3 celé predmety.

Uvažované príklady nás vedú k nasledovnému záveru: nevlastné zlomky možno nahradiť buď prirodzenými číslami, keď je čitateľ celý vydelený menovateľom (napríklad 9/9=1 a 12/4=3), alebo súčtom prirodzené číslo a vlastný zlomok, keď čitateľ nie je rovnomerne deliteľný menovateľom (napríklad 7/3=2+1/3 ). Možno to je presne to, čo si nesprávne zlomky zaslúžia také meno - „nesprávne“.

Zvlášť zaujímavé je zobrazenie nevlastného zlomku ako súčtu prirodzeného čísla a vlastného zlomku (7/3=2+1/3). Tento proces sa nazýva extrakcia celočíselnej časti z nesprávneho zlomku a zaslúži si osobitnú a starostlivejšiu úvahu.

Za zmienku tiež stojí, že medzi nesprávnymi zlomkami a zmiešanými číslami je veľmi úzky vzťah.

Pozitívne a negatívne zlomky

Každý obyčajný zlomok zodpovedá kladnému zlomkovému číslu (pozri článok kladné a záporné čísla). To znamená, že obyčajné zlomky sú kladné zlomky. Napríklad obyčajné zlomky 1/5, 56/18, 35/144 sú kladné zlomky. Keď je potrebné zdôrazniť kladnosť zlomku, potom sa pred neho umiestni znamienko plus, napríklad +3/4, +72/34.

Ak pred obyčajný zlomok vložíte znamienko mínus, tento záznam bude zodpovedať zápornému zlomkovému číslu. V tomto prípade sa dá hovoriť o záporné zlomky. Tu je niekoľko príkladov záporných zlomkov: −6/10 , −65/13 , −1/18 .

Kladné a záporné zlomky m/n a −m/n sú opačné čísla. Napríklad zlomky 5/7 a -5/7 sú opačné zlomky.

Kladné zlomky, podobne ako kladné čísla vo všeobecnosti, označujú prírastok, príjem, zmenu nejakej hodnoty smerom nahor atď. Záporné zlomky zodpovedajú nákladom, dlhu, zmene akejkoľvek hodnoty v smere poklesu. Napríklad záporný zlomok -3/4 možno interpretovať ako dlh, ktorého hodnota je 3/4.

Na vodorovnej a pravej strane sú negatívne frakcie umiestnené naľavo od referenčného bodu. Body súradnicovej čiary, ktorých súradnice sú kladný zlomok m/n a záporný zlomok −m/n, sú umiestnené v rovnakej vzdialenosti od začiatku, ale na opačných stranách bodu O .

Tu stojí za zmienku zlomky tvaru 0/n. Tieto zlomky sa rovnajú číslu nula, teda 0/n=0.

Kladné zlomky, záporné zlomky a zlomky 0/n sa kombinujú a vytvárajú racionálne čísla.

Akcie so zlomkami

Jedna akcia s obyčajnými zlomkami - porovnávanie zlomkov - sme už zvážili vyššie. Sú definované ďalšie štyri aritmetiky operácie so zlomkami- sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie zlomkov. Zastavme sa pri každom z nich.

Všeobecná podstata akcií so zlomkami je podobná podstate zodpovedajúcich akcií s prirodzenými číslami. Nakreslíme analógiu.

Násobenie zlomkov možno považovať za činnosť, pri ktorej sa zlomok nájde zo zlomku. Na objasnenie si uveďme príklad. Predpokladajme, že máme 1/6 jablka a potrebujeme z neho vziať 2/3. Časť, ktorú potrebujeme, je výsledkom vynásobenia zlomkov 1/6 a 2/3. Výsledkom vynásobenia dvoch obyčajných zlomkov je obyčajný zlomok (ktorý sa v konkrétnom prípade rovná prirodzenému číslu). Ďalej odporúčame preštudovať si informácie k článku násobenie zlomkov - pravidlá, príklady a riešenia.

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Matematika: učebnica na 5 buniek. vzdelávacie inštitúcie.
• Vilenkin N.Ya. atď. Matematika. 6. ročník: učebnica pre vzdelávacie inštitúcie.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (príručka pre uchádzačov o štúdium na technických školách).

Pri slove „zlomky“ mnohým nabehne husia koža. Pretože si pamätám školu a úlohy, ktoré sa riešili v matematike. Bola to povinnosť, ktorú bolo treba splniť. Čo ak však úlohy obsahujúce správne a nevlastné zlomky považujeme za hádanku? Mnoho dospelých totiž rieši digitálne a japonské krížovky. Pochopte pravidlá a to je všetko. To isté tu. Stačí sa ponoriť do teórie - a všetko zapadne na svoje miesto. A príklady sa zmenia na spôsob, ako trénovať mozog.

Aké druhy zlomkov existujú?

Začnime tým, čo to je. Zlomok je číslo, ktoré má nejaký zlomok jedna. Môže byť napísaný v dvoch formách. Prvý sa nazýva obyčajný. Teda taký, ktorý má vodorovný alebo šikmý ťah. To sa rovná deliacemu znaku.

V takomto zápise sa číslo nad pomlčkou nazýva čitateľ a pod ňou menovateľ.

Medzi obyčajnými zlomkami sa rozlišujú správne a nesprávne zlomky. V prvom prípade je čitateľ modulo vždy menší ako menovateľ. Tí nesprávni sa tak nazývajú, pretože majú opak. Hodnota správneho zlomku je vždy menšia ako jedna. Zatiaľ čo ten nesprávny je vždy väčší ako toto číslo.

Existujú aj zmiešané čísla, to znamená tie, ktoré majú celé číslo a zlomkovú časť.

Druhý typ zápisu je desiatkový. O jej samostatnom rozhovore.

Aký je rozdiel medzi nesprávnymi zlomkami a zmiešanými číslami?

V podstate nič. Ide len o iný zápis toho istého čísla. Nepravé zlomky po jednoduchých operáciách sa ľahko stanú zmiešanými číslami. A naopak.

Všetko závisí od konkrétnej situácie. Niekedy je v úlohách vhodnejšie použiť nesprávny zlomok. A niekedy je potrebné preložiť to do zmiešaného čísla a potom sa príklad vyrieši veľmi jednoducho. Preto, čo použiť: nesprávne zlomky, zmiešané čísla - závisí od pozorovania riešiteľa úlohy.

Zmiešané číslo sa tiež porovnáva so súčtom celočíselnej časti a zlomkovej časti. Navyše, druhá je vždy menšia ako jednota.

Ako reprezentovať zmiešané číslo ako nesprávny zlomok?

Ak chcete vykonať nejakú akciu s niekoľkými číslami, ktoré sú napísané v rôznych tvaroch, musíte ich urobiť rovnakými. Jednou z metód je reprezentovať čísla ako nesprávne zlomky.

Na tento účel budete musieť postupovať podľa nasledujúceho algoritmu:

• vynásobte menovateľa celou časťou;
• k výsledku pridajte hodnotu čitateľa;
• odpoveď napíšte nad riadok;
• menovateľ ponechajte rovnaký.

Tu sú príklady, ako písať nesprávne zlomky zo zmiešaných čísel:

• 17 ¼ \u003d (17 x 4 + 1): 4 \u003d 69/4;
• 39 ½ \u003d (39 x 2 + 1): 2 \u003d 79/2.

Ako napísať nevlastný zlomok ako zmiešané číslo?

Ďalší spôsob je opakom vyššie uvedeného. To znamená, keď sú všetky zmiešané čísla nahradené nesprávnymi zlomkami. Algoritmus akcií bude nasledujúci:

• vydeľte čitateľa menovateľom a získajte zvyšok;
• napíšte podiel na miesto celočíselnej časti zmiešaného;
• zvyšok by mal byť umiestnený nad čiarou;
• deliteľ bude menovateľ.

Príklady takejto transformácie:

76/14; 76:14 = 5 so zvyškom 6; odpoveď je 5 celých čísel a 6/14; zlomkovú časť v tomto príklade je potrebné znížiť o 2, dostanete 3/7; konečná odpoveď je 5 celých 3/7.

108/54; po delení sa získa podiel 2 bezo zvyšku; to znamená, že nie všetky nesprávne zlomky môžu byť vyjadrené ako zmiešané číslo; odpoveď je celé číslo - 2.

Ako zmeníte celé číslo na nesprávny zlomok?

Sú situácie, keď je takýto krok nevyhnutný. Ak chcete získať nesprávne zlomky s vopred určeným menovateľom, budete musieť vykonať nasledujúci algoritmus:

• vynásobte celé číslo požadovaným menovateľom;
• napíšte túto hodnotu nad riadok;
• umiestnite pod ňu menovateľa.

Najjednoduchšia možnosť je, keď sa menovateľ rovná jednej. Potom nie je potrebné množiť. Stačí napísať celé číslo, ktoré je uvedené v príklade a pod čiaru umiestniť jednotku.

Príklad: Urobte z 5 nesprávny zlomok s menovateľom 3. Po vynásobení 5 číslom 3 dostanete 15. Toto číslo bude menovateľom. Odpoveď na úlohu je zlomok: 15/3.

Dva prístupy k riešeniu úloh s rôznymi číslami

V príklade je potrebné vypočítať súčet a rozdiel, ako aj súčin a podiel dvoch čísel: 2 celé čísla 3/5 a 14/11.

V prvom prístupe zmiešané číslo bude reprezentované ako nesprávny zlomok.

Po vykonaní krokov popísaných vyššie získate nasledujúcu hodnotu: 13/5.

Aby ste zistili súčet, musíte zlomky zmenšiť na rovnakého menovateľa. 13/5 vynásobené 11 sa stane 143/55. A 14/11 po vynásobení 5 bude mať tvar: 70/55. Na výpočet súčtu stačí sčítať čitateľa: 143 a 70 a potom zapísať odpoveď s jedným menovateľom. 213/55 - tento nesprávny zlomok je odpoveďou na problém.

Pri hľadaní rozdielu sa odčítajú rovnaké čísla: 143 - 70 = 73. Odpoveď je zlomok: 73/55.

Pri vynásobení 13/5 a 14/11 nemusíte redukovať na spoločného menovateľa. Stačí vynásobiť čitateľov a menovateľov vo dvojiciach. Odpoveď bude: 182/55.

Rovnako aj s delením. Pre správne riešenie je potrebné nahradiť delenie násobením a prevrátiť deliteľa: 13/5: 14/11 \u003d 13/5 x 11/14 \u003d 143/70.

V druhom prístupe Z nesprávneho zlomku sa stane zmiešané číslo.

Po vykonaní akcií algoritmu sa 14/11 zmení na zmiešané číslo s celou časťou 1 a zlomkovou časťou 3/11.

Pri výpočte súčtu musíte oddelene pridať celé číslo a zlomkové časti. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Konečná odpoveď je 3 celé 48/55. V prvom prístupe bol zlomok 213/55. Správnosť môžete skontrolovať prevedením na zmiešané číslo. Po vydelení 213 číslom 55 je podiel 3 a zvyšok 48. Je ľahké vidieť, že odpoveď je správna.

Pri odčítaní sa znamienko „+“ nahrádza „-“. 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Ak chcete skontrolovať odpoveď z predchádzajúceho prístupu, musíte ju previesť na zmiešané číslo: 73 je delené 55 a dostanete kvocient 1 a zvyšok 18.

Na nájdenie súčinu a kvocientu je nepohodlné používať zmiešané čísla. Tu sa vždy odporúča prejsť na nesprávne zlomky.