Bodka - abstraktný objekt v priestore, ktorý nemá žiadne merateľné charakteristiky (objekt nulovej dimenzie). Bodka je jedna z základné pojmy v matematike.
Bod v euklidovskej geometrii
Euklides definoval bod ako „objekt bez častí“. V modernej axiomatike euklidovskej geometrie je bod primárnym pojmom, daným iba zoznamom jeho vlastností – axióm.
Vo vybranom súradnicovom systéme môže byť ľubovoľný bod dvojrozmerného euklidovského priestoru reprezentovaný ako usporiadaný pár ( X; r) reálne čísla. Rovnako tak bod n-rozmerný euklidovský priestor (rovnako ako vektorový alebo afinný priestor) môže byť reprezentovaný ako n-tica ( a 1 , a 2 , … , a n) od nčísla.
Odkazy
- bod(v angličtine) na webovej stránke PlanetMath.
- Weisstein, Eric W. Ukážte na webovej stránke Wolfram MathWorld.
bod je:
bodka bodka podstatné meno, dobre., použitie často Morfológia: (nie) čo? bodky, čo? bodka, (vidieť, čo? bodka, ako? bodka, o čom? o pointe; pl. čo? bodky, (nie čo? bodov, čo? bodov, (vidieť, čo? bodky, ako? bodky, o čom? o bodoch 1. Bodka- je to malá okrúhla škvrna, stopa po dotyku s niečím ostrým alebo písaním.Bodkový vzor. | Bod vpichu. | Mesto na mape je označené malou bodkou a dostupnosťou obchádzková cesta dá sa len hádať.
2. Bodka- je to niečo veľmi malé, zle viditeľné kvôli odľahlosti alebo z iných dôvodov.
Bod na obzore. | Keď sa guľa priblížila k horizontu v západnej časti oblohy, začala sa pomaly zmenšovať, až sa zmenila na bodku.
3. Bodka- interpunkčné znamienko, ktoré sa umiestňuje na koniec vety alebo pri skracovaní slov.
Dajte bod. | Nezabudnite dať bodku na koniec vety
4. V matematike, geometrii a fyzike bodka je jednotka, ktorá má polohu v priestore, hranicu úsečky.
5. bodka volal určité miesto v priestore, na zemi alebo na povrchu niečoho.
bod umiestnenia. | Bod bolesti.
6. bodka pomenujte miesto, kde sa niečo nachádza alebo vykonáva, určitý uzol v systéme alebo sieť akýchkoľvek bodov.
Každá zásuvka musí mať svoje označenie.
7. bodka nazývajú hranicou vývoja niečoho, určitou úrovňou alebo momentom vo vývoji.
Nai najvyšší bod. | bod vo vývoji. | Stav vecí dosiahol kritický bod. | Toto je najvyšší bod prejavu duchovnej sily človeka.
8. bodka nazývaná teplotná hranica, pri ktorej dochádza k premene látky z jednej stav agregácie do iného.
Bod varu. | Bod mrazu. | Bod topenia. | Ako viac výškyčím nižší je bod varu vody.
9. bodkočiarka (;) nazývané interpunkčné znamienko používané na oddelenie bežných, viac nezávislé časti Zložená veta.
AT anglický jazyk používajú sa prakticky rovnaké interpunkčné znamienka ako v ruštine: bodka, čiarka, bodkočiarka, pomlčka, apostrof, zátvorky, elipsa, opytovacia a výkričníky, spojovník.
10. Keď hovoria o uhol pohľadu, znamenať niečí názor na určitý problém, pohľad na vec.
Menej populárny je teraz iný pohľad, predtým takmer všeobecne uznávaný. | Tento názor dnes nikto nezdieľa.
11. Ak sa o ľuďoch hovorí, že majú styčné body takže majú spoločné záujmy.
Možno sa nám podarí nájsť spoločnú reč.
12. Ak sa niečo povie bodka k bodke, čo znamená absolútne presnú zhodu.
Bodka k bodke na mieste, kde to bolo naznačené, bolo auto kávovej farby.
13. Ak sa o človeku hovorí, že je dosiahol bod, čo znamená, že dosiahol krajnú hranicu v prejave niektorých negatívnych vlastností.
Dosiahli sme bod! Takto sa už žiť nedá! | Nemôžete mu povedať, že tajné služby pod jeho múdrym vedením dosiahli bod.
14. Ak niekto dáva koniec v nejakom biznise to znamená, že to zastaví.
Potom sa z emigrácie vrátil do vlasti, do Ruska, do Sovietsky zväz, a tým sa skončili všetky jeho pátrania a myšlienky.
15. Ak niekto bodka "a"(alebo nad i), čo znamená, že vec dovedie do logického záveru, nenechá nič nedopovedané.
Poďme bodkovať ja. Nevedel som nič o vašej iniciatíve.
16. Ak niekto dosiahne jeden bod, čo znamená, že všetky sily sústredil na dosiahnutie jedného cieľa.
Preto sú jeho obrazy také výrazné; vždy trafí jeden bod, nikdy sa nenechá strhnúť drobnými detailmi. | Veľmi dobre chápe, čo je úlohou jeho podnikania, a cieľavedome naráža na jeden bod.
17. Ak niekto zasiahnuť miesto, čo znamená, že povedal alebo urobil presne to, čo bolo potrebné, uhádol.
Hneď prvé písmeno, ktoré prišlo do ďalšieho kola súťaže, redakciu milo prekvapilo – v jednej z uvedených možností náš čitateľ okamžite trafil!
bod adj.Akupresúra.
Vysvetľujúci slovník ruského jazyka Dmitriev. D.V. Dmitriev. 2003.
Bodka
Bodka Môže znamenať:
Wikislovník má článok "bodka"- Bod je abstraktný objekt v priestore, ktorý nemá žiadne iné merateľné charakteristiky ako súradnice.
- bodka - diakritika, ktoré možno umiestniť nad, pod alebo do stredu písmena.
- Bod - jednotka merania vzdialenosti v ruštine a anglické systémy Opatrenia.
- Bodka je jedným zo znázornení oddeľovača desatinných miest.
- Bodka (sieťové technológie) - označenie koreňovej domény v hierarchii globálnych sieťových domén.
- Tochka - sieť obchodov s elektronikou a zábavou
- Tochka - album skupiny "Leningrad"
- Point - ruský film z roku 2006 podľa rovnomenného príbehu Grigorija Rjažského
- Dot je druhý štúdiový album rappera Stena.
- Tochka je divízny raketový systém.
- Tochka - Krasnojarský časopis mládeže a subkultúry.
- Tochka je klub a koncertné miesto v Moskve.
- Bodka je jedným zo znakov v Morseovej abecede.
- Ide o miesto bojovej povinnosti.
- Bod (spracovanie) - proces obrábania, sústruženia, ostrenia.
- POINT - Informačno-analytický program na NTV.
- Tochka je rocková skupina z mesta Norilsk, založená v roku 2012.
toponym
Kazachstan
- Bodka- do roku 1992 názov obce Bayash Utepov v okrese Ulan v regióne Východný Kazachstan.
Rusko
- Tochka je obec v okrese Sheksninsky v regióne Vologda.
- Tochka je obec v okrese Volotovsky v Novgorodskej oblasti.
- Tochka je obec v okrese Lopatinsky v regióne Penza.
Môžete uviesť definíciu pojmov ako bod a čiara?
Naše školy a univerzity tieto definície nemali, hoci sú podľa mňa kľúčové (neviem, ako je to v iných krajinách). Tieto pojmy môžeme definovať ako „úspešné a neúspešné“ a zvážiť, či je to užitočné pre rozvoj myslenia.
Zápasník
Zvláštne, ale dostali sme definíciu bodu. Ide o abstraktný objekt (konvenciu) nachádzajúci sa v priestore, ktorý nemá žiadne rozmery. Toto je prvé, čo nám v škole vtĺkli do hlavy – bod nemá rozmery, je to „nulový“ objekt. Podmienený koncept, ako všetko ostatné v geometrii.
Rovné čiary sú ešte ťažšie. V prvom rade je to čiara. Po druhé, je to súbor bodov umiestnených v priestore určitým spôsobom. Vo veľmi jednoduchá definícia je to priamka definovaná dvomi bodmi, ktorými prechádza.
Medivh
Bod je nejaký druh abstraktného objektu. Bod má súradnice, ale nemá hmotnosť ani rozmery. V geometrii všetko začína presne od bodu, to je začiatok všetkých ostatných útvarov (mimochodom aj v písaní, bez bodu nebude začiatok slova). Priamka je vzdialenosť medzi dvoma bodmi.
Leonid Kutny
Môžete definovať čokoľvek a čokoľvek. Je tu však otázka: bude táto definícia „fungovať“ v konkrétnej vede? Na základe toho, čo máme, nemá zmysel definovať bod, priamku a rovinu. Veľmi sa mi páčili Arthurove poznámky. Chcel by som dodať, že bod má veľa vlastností: nemá žiadnu dĺžku, šírku, výšku, žiadnu hmotnosť a hmotnosť atď. Ale hlavnou vlastnosťou bodu je, že jasne označuje polohu bodu. objekt, objekt na rovine, v priestore. Preto potrebujeme pointu! Ale šikovný čitateľ povie, že potom sa dá ako pointa brať kniha, stolička, hodinky a iné. Úplnú pravdu! Preto nemá zmysel definovať bod. S pozdravom L.A. Kutniy
Priamka je jedným zo základných pojmov geometrie.
Bodka je interpunkčné znamienko v písaní v mnohých jazykoch.
Bodka je tiež jedným zo symbolov Morseovej abecedy
Toľko definícií :D
Definície bodu, priamky, roviny som uviedol koncom 80. a začiatkom 90. rokov 20. storočia. dávam link:
https://yadi.sk/d/bn5Cr4iirZwDP
V 328-stranovom zväzku je kognitívna podstata týchto pojmov opísaná v úplne novom aspekte, ktorý je vysvetlený na základe skutočného fyzického svetonázoru a pocitu, že ja existujem, čo znamená, že „ja“ existujem, rovnako ako vesmír. sama, ku ktorej patrím, existuje.
Všetko napísané táto práca je potvrdená znalosťami ľudstva o prírode a jej vlastnostiach, ktoré boli dávno objavené a stále sa na nich študuje tento momentčas. Matematika sa stala takou zložitou na pochopenie a pochopenie, aby sa jej abstraktné obrazy mohli aplikovať v praxi technologických objavov. Po odhalení Základov, čo sú základné princípy, je možné vysvetliť aj študentovi Základná škola dôvody existencie vesmíru. Čítajte a priblížte sa k Pravde. Odvážte sa, svet, v ktorom existujeme, sa pred vami otvára v novom svetle.
Existuje definícia pojmu "bod" v matematike, geometrii.
Michail Levin
"nedefinovateľný pojem" je definícia?
V skutočnosti je to neistota pojmov, ktorá umožňuje aplikovať matematiku na rôzne objekty.
Matematik môže dokonca povedať „bodom budem znamenať euklidovskú rovinu, rovinou budem znamenať euklidovský bod“ – skontrolujte všetky axiómy a získajte nová geometria alebo nové vety.
Ide o to, že na definovanie pojmu A musíte použiť pojem B. Na definovanie B potrebujete pojem C. A tak ďalej do nekonečna. A aby sme sa zachránili z tohto nekonečna, musíme prijať niektoré pojmy bez definícií a postaviť na nich definície iných. ©
Grigorij Piven
V matematike je bod Piven Grigory A časť priestoru, ktorá sa abstraktne (zrkadlene) berie ako segment minimálnej dĺžky rovnajúci sa 1, ktorý sa používa na meranie iných častí priestoru. Preto si človek zvolí mierku bodu pre pohodlie, pre produktívny proces merania: 1 mm, 1 cm, 1 m, 1 km, 1a. e., 1. sv. rok. atď.
Pozri tiež: http://akotlin.com/index.php?sec=1&lnk=2_07
Abstrakcia sa v matematike používa už dva a pol tisícročia. bezrozmerný bod, čo odporuje nielen zdravý rozum, ale aj poznatky o okolitom svete, získané takými vedami ako fyzika, chémia, kvantová mechanika a informatika.
Na rozdiel od iných abstrakcií, abstrakcia bezrozmerného matematického bodu realitu neidealizuje, zjednodušuje jej poznanie, ale zámerne ju skresľuje, dáva jej opačný význam, čo najmä zásadne znemožňuje pochopenie a štúdium priestorov vyšších dimenzií!
Využitie abstrakcie bezrozmerného bodu v matematike možno porovnať s využitím zákl peňažná jednotka s nulovými nákladmi. Našťastie na to ekonomika nemyslela.
Dokážme nezmyselnosť abstrakcie bezrozmerného bodu.
Veta. Matematický bod je objemný.
Dôkaz.
Keďže v matematike
Point_size = 0,
Pre segment konečnej (nenulovej) dĺžky máme
Segment_size = 0 + 0 + ... + 0 = 0.
Získaná nulová veľkosť úsečky, ako postupnosť jej základných bodov, je v rozpore s podmienkou konečnej dĺžky úsečky. Navyše veľkosť nulového bodu je absurdná v tom, že súčet núl nezávisí od počtu členov, to znamená, že počet „nulových“ bodov v segmente neovplyvňuje veľkosť segmentu.
Preto je pôvodný predpoklad o nulovej veľkosti matematického bodu NESPRÁVNY.
Dá sa teda tvrdiť, že matematický bod má nenulovú (konečnú) veľkosť. Keďže bod patrí nielen do úsečky, ale aj do priestoru, v ktorom sa úsečka nachádza, má rozmer priestoru, čiže matematický bod je objemový. Q.E.D.
Dôsledok.
Vyššie uvedený dôkaz vykonaný pomocou matematického aparátu juniorská skupina MATERSKÁ ŠKOLA vštepuje hrdosť na bezhraničnú múdrosť kňazov a adeptov „kráľovnej všetkých vied“, ktorým sa podarilo preniesť cez tisícročia a zachovať pre potomkov v pôvodnej podobe prastarý klam ľudstva.
Recenzie
Milý Alexander! Nie som silný v matematike, ale možno VY mi viete povedať, kde a kým sa uvádza, že bod sa rovná nule? Ďalšia vec, má nekonečno malé množstvo, až po dohovor, ale vôbec nie nulový. Akýkoľvek segment teda možno považovať za nulový, pretože existuje ďalší segment, ktorý obsahuje nekonečná množina počiatočné segmenty, zhruba povedané. Možno by sme si nemali mýliť matematiku a fyziku. Matematika je veda o bytí, fyzika je o bytí. S pozdravom
Spomenul som Achilla dvakrát podrobne a veľakrát mimochodom:
"Prečo Achilles nedohoní korytnačku?"
"Achilles a korytnačka - paradox v kocke"
Možno jedným z riešení Zenónovho paradoxu je, že priestor je diskrétny a čas spojitý. Usúdil, ako je to pre vás možné, že obe sú diskrétne. Telo môže nejaký čas zostať v určitom bode priestoru. Ale nemôže byť na rôznych miestach v rovnakom čase v rovnakom čase. To všetko je, samozrejme, amatérstvo, ako celý náš dialóg. S pozdravom
Mimochodom, ak je bod 3D, aké sú jeho rozmery?
Diskrétnosť času vyplýva napríklad z apórie „Šípka“. „Súčasne zostať na rôznych miestach“ môže byť elektrón iba pre fyzikov, ktorí v princípe nerozumejú a neakceptujú ani štruktúru éteru, ani štruktúru 4-rozmerného priestoru. Nepoznám žiadne ďalšie príklady tohto javu. V našom rozhovore nevidím žiadny „amatérstvo“. Naopak, všetko je mimoriadne jednoduché: bod je buď bezrozmerný, alebo má veľkosť; kontinuita a nekonečno buď existujú, alebo neexistujú. Tretie nie je dané – buď PRAVDA, alebo NEPRAVDA! Základy matematici sú, žiaľ, postavení na falošných dogmách, prijatých z nevedomosti pred 2500 rokmi.
Veľkosť bodu závisí od stavu riešeného problému a od požadovanej presnosti. Napríklad, ak je výstroj určený pre náramkové hodinky, potom môže byť presnosť obmedzená veľkosťou atómu, teda na osem desatinných miest. Atóm samotný tu bude fyzickým analógom matematického bodu. Niekde možno budete potrebovať 16-znakovú presnosť; potom úlohu bodu bude hrať častica éteru. Všimnite si, že reči o údajne „nekonečnej“ presnosti sa v praxi menia na divoký nezmysel, alebo mierne povedané na absurditu.
Stále nerozumiem: existuje pointa? Ak existuje objektívne, má teda určitú fyzikálnu hodnotu, ak existuje subjektívne, vo forme abstrakcie našej mysle, potom má hodnotu matematickú. Nula NIČ nemá, neexistuje, to je abstraktná definícia Neexistencie v matematike alebo prázdnoty vo fyzike. Pointa neexistuje sama osebe mimo vzťahu. Hneď ako sa objaví druhý bod, objaví sa segment - Niečo atď. Táto téma sa dá rozvíjať do nekonečna. S uv.
Zdalo sa mi, že som priniesol dobrý príklad, ale pravdepodobne nie dostatočne podrobné. Objektívne existuje Svet, ktorý veda pozná a v súčasnosti poznáva hlavne matematické metódy. Matematika poznáva svet konštruovaním matematické modely. Na zostavenie týchto modelov je základ matematické abstrakcie, najmä ako: bod, čiara, spojitosť, nekonečno. Tieto abstrakcie sú základné, pretože ich už nie je možné ďalej členiť a zjednodušovať. Každá zo základných abstrakcií môže byť buď adekvátna objektívna realita(pravda) alebo nie (nepravda). Všetky vyššie uvedené abstrakcie sú spočiatku nepravdivé, pretože odporujú najnovším poznatkom o skutočnom svete. Takže tieto abstrakcie zabraňujú správne pochopenie reálny svet. Dalo by sa to nejako zmieriť, keď veda študovala trojrozmerný svet. Avšak abstrakcie bezrozmerného bodu a kontinuity robia všetky svety vyššej dimenzie v princípe nepoznateľné!
Tehla vesmíru - bod - nemôže byť prázdnotou. Každý vie, že nič nepochádza z prázdnoty. Fyzici, ktorí vyhlásili, že éter neexistuje, naplnili svet prázdnotou. Verím, že k tejto hlúposti ich dotlačila matematika svojou prázdnou pointou. Nehovorím o atómoch-bodoch svetov vyššej dimenzie ako 4D. Takže pre každú dimenziu zohráva úlohu nedeliteľného (podmienečne) matematického bodu (podmienečne) nedeliteľný atóm tohto sveta (priestoru, hmoty). Pre 3D - fyzický atóm, pre 4D - éterová častica, pre 5D - astrálny atóm, pre 6D - mentálny atóm atď. s pozdravom
Má teda tehla vesmíru nejakú absolútnu hodnotu? A čo podľa vás predstavuje v éterickom či mentálnom svete. Bojím sa opýtať na samotné svety. So záujmom...
Éterové častice (nie sú to atómy!) sú elektrón-pozitrónové páry, v ktorých samotné častice voči sebe rotujú rýchlosťou svetla. To plne vysvetľuje štruktúru všetkých nukleónov, šírenie elektromagnetické oscilácie a všetky účinky tzv fyzikálne vákuum. Štruktúra atómu myslenia nie je nikomu známa. Existuje len dôkaz, že VŠETCI najviac vyšších svetov materiál, to znamená, že majú svoje vlastné atómy. Až do hmoty Absolútna. Ty však ironizuješ. naozaj červích dier a veľké tresky Zdá sa vám to dôveryhodnejšie?
Aká je tu irónia, len trochu zaskočená po takej lavíne informácií. Ja, na rozdiel od vás, nie som profesionál a je pre mňa ťažké povedať niečo o päť- alebo šesťrozmernosti priestorov. Ide mi o náš dlhotrvajúci bod... Pokiaľ som pochopil, ste proti materiálnej kontinuite a ide o to, že máte skutočne existujúci „demokratický“ atóm. "Tehla vesmíru". Možno som bol nepozorný, ale aj tak neváhajte zopakovať, aká je jeho štruktúra, fyzikálne parametre, rozmery atď.
A tiež odpovedzte, existuje jednotka sama o sebe, ako taká, mimo akýchkoľvek vzťahov? Ďakujem.
Keď sme sa zaoberali tým, čo sú jednotky merania a rozmeru, môžeme teraz prejsť k skutočným meraniam. AT školská matematika dva merací prístroj- (1) pravítko na meranie vzdialeností a (2) uhlomer na meranie uhlov.
Bodka
Vzdialenosť sa vždy meria medzi ľubovoľnými dvoma bodmi. Z praktického hľadiska je bodka malá škvrna, ktorá zostane na papieri, keď doň pichnete ceruzkou alebo perom. Ďalším, preferovanejším spôsobom určenia bodu je nakreslenie kríža s dvoma tenkými čiarami, ktoré zapadnú bodka ich križovatky. Na kresbách v knihách je bodka často znázornená ako malý čierny kruh. Ale to všetko sú len približné hodnoty. vizuálne obrazy ale v prísnom matematickom zmysle, bodka - je to imaginárny objekt, ktorého veľkosť vo všetkých smeroch je nulová. Pre matematikov sa celý svet skladá z bodiek. Bodky sú všade. Keď vypichneme pero na papier alebo nakreslíme kríž, netvoríme nový bod, ale značku umiestnite iba na existujúcu, aby ste na ňu upozornili. Pokiaľ nie je uvedené inak, má sa za to, že body sú pevné a nemenia sa relatívnu polohu. No nie je ťažké si predstaviť pohybujúci sa bod, ktorý sa pohybuje z miesta na miesto, akoby s jedným splýval pevný bod, potom na druhej strane.
Rovno
Priložením pravítka k dvom bodom môžeme cez ne nakresliť priamku a navyše, jediná cesta. imaginárny matematický rovno, nakreslený pozdĺž pomyselného ideálneho pravítka, má nulovú hrúbku a rozprestiera sa v oboch smeroch do nekonečna. V skutočnej kresbe má tento imaginárny dizajn podobu:
V skutočnosti je na tomto obrázku všetko nesprávne. Hrúbka čiary je tu jednoznačne väčšia ako nula a nedá sa povedať, že čiara siaha do nekonečna. Napriek tomu sú takéto nesprávne kresby veľmi užitočné ako podpora fantázie a budeme ich neustále používať. Aby bolo lepšie rozlíšiť jeden bod od druhého, sú zvyčajne označené veľké písmená latinská abeceda. Na tomto obrázku sú napríklad body označené písmenami A a B. Čiara prechádzajúca bodmi A a B, automaticky dostane názov „priamy AB". Pre stručnosť, zápis ( AB), kde sa vynecháva slovo „priamy“ a okrúhle zátvorky. Čiary môžu byť tiež označené malými písmenami. Na obrázku vyššie priamka AB označené písmenom n.
Za bodkami A a B na priamke n existuje obrovské množstvo ďalších bodov, z ktorých každý môže byť reprezentovaný ako priesečník s nejakou inou čiarou. Cez ten istý bod možno nakresliť veľa čiar.
Ak vieme, že na priamke sú nezhodné body A, B, C a D, potom ho možno právom označiť nielen ako ( AB), ale aj ako ( AC), (BD), (CD) atď.
Segment čiary. Dĺžka rezu. Vzdialenosť medzi bodmi
Časť úsečky ohraničená dvoma bodmi sa nazýva segment. Tieto hraničné body tiež patria do segmentu a nazývajú sa. končí. Segment, ktorého koncové body sú v bodoch A a B, označený ako „segment AB“ alebo o niečo kratšie, [ AB].
Každý segment je charakterizovaný dĺžka- počet (možno zlomkových) „krokov“, ktoré je potrebné urobiť pozdĺž segmentu, aby ste sa dostali z jedného konca na druhý. V tomto prípade je dĺžka samotného "kroku" prísne fixnou hodnotou, ktorá sa berie ako merná jednotka. Dĺžky úsečiek nakreslených na hárku papiera sa najpohodlnejšie merajú v centimetre. Ak koncové body segmentu pripadajú na body A a B, potom sa jeho dĺžka označí ako | AB|.
Pod vzdialenosť medzi dvoma bodmi je dĺžka segmentu, ktorý ich spája. V skutočnosti však nie je potrebné kresliť segment na meranie vzdialenosti - stačí pripojiť pravítko k obom bodom (na ktorých sú vopred vyznačené stopy „krokov“). Keďže bod je v matematike fiktívny objekt, nič nám nebráni použiť v predstavách ideálne pravítko, ktoré meria vzdialenosť s absolútnou presnosťou. Netreba však zabúdať, že skutočné pravítko aplikované na škvrny alebo stredy krížikov na papieri umožňuje nastaviť vzdialenosť len približne - s presnosťou na jeden milimeter. Vzdialenosť je vždy nezáporná.
Poloha bodu na priamke
Daj nám nejakú priamku. Označíme na ňom ľubovoľný bod a označíme ho písmenom O. Vedľa toho dáme číslo 0. Jedno z dvoch možné smery pozdĺž priamky budeme nazývať "pozitívne" a naopak - "negatívne". Zvyčajne sa kladný smer odoberá zľava doprava alebo zdola nahor, ale nie je to potrebné. Označte kladný smer šípkou, ako je znázornené na obrázku:
Teraz ho môžeme určiť pre akýkoľvek bod nachádzajúci sa na priamke pozíciu. Poloha bodu A je daný hodnotou, ktorá môže byť záporná, nula alebo pozitívne. jej absolútna hodnota rovná vzdialenosti medzi bodmi O a A(t. j. dĺžka segmentu OA), a znamenie je určené smerom od bodu O musíte sa pohnúť, aby ste sa dostali k veci A. Ak sa potrebujete pohnúť pozitívnym smerom, znamenie je pozitívne. Ak je záporné, znamienko je záporné. Namiesto slova „pozícia“ sa použije slovo „ koordinovať».
Iracionálne a reálne (reálne) čísla
Keď máme čo do činenia s reálnou kresbou a pomocou školského pravítka určíme polohu reálneho bodu na skutočnej diere, dostaneme hodnotu zaokrúhlenú na milimeter. Inými slovami, výsledkom je hodnota prevzatá z nasledujúceho radu:
0 mm, 1 mm, −1 mm, 2 mm, −2 mm, 3 mm, −3 mm atď.
Výsledok sa nemôže rovnať napríklad 1/3 cm, pretože, ako vieme, jedna tretina centimetra môže byť reprezentovaná ako nekonečný periodický zlomok
0,333333333... cm,
ktorá by sa po zaokrúhlení mala rovnať 0,3 cm.
Iná vec je, keď vo svojej predstavivosti manipulujeme s ideálnymi matematickými objektmi.
Po prvé, v tomto prípade je možné jednoducho zahodiť merné jednotky a pracovať výlučne s bezrozmernými veličinami. Potom sa dostávame ku geometrickej konštrukcii, s ktorou sme sa stretli, keď sme prechádzali racionálne čísla, a ktoré sme pomenovali číselný rad:
Keďže slovo "čiara" v geometrii je už silne "zaťažené", často sa nazýva rovnaká konštrukcia číselná os alebo jednoducho os.
Po druhé, vieme si dobre predstaviť, že súradnica bodu je daná nejakým periodikom desiatkový, Páči sa mi to
Navyše si vieme predstaviť nekonečno neperiodické zlomok, ako napr
1 ,01 001 0001 00001 000001 0000001 ...
1 ,23 45 67 89 1011 1213 1415 1617 1819 2021 ...
Takéto imaginárne čísla, reprezentované ako nekonečné neopakujúce sa desatinné zlomky, sa nazývajú iracionálny. Iracionálne čísla tvoria spolu s nám už známymi racionálnymi číslami tzv platnéčísla. Namiesto slova „platný“ používame aj slovo „ reálny". Akákoľvek mysliteľná poloha bodu na priamke môže byť vyjadrená ako reálne číslo. A naopak, ak dostaneme nejaké reálne číslo X, bod si vieme vždy predstaviť X, ktorej poloha je daná číslom X.
Zaujatosť
Nechať byť a- súradnica bodu A, a b- súradnica bodu B. Potom hodnota
v = b − a
je posunutie, ktorý prekladá bod A presne tak B. Toto je obzvlášť zrejmé, ak sa predchádzajúca rovnosť prepíše ako
b = a + v.
Niekedy namiesto slova „vytesnenie“ používajú slovo „ vektor". Je ľahké vidieť, že pozícia Xľubovoľný bod X nie je nič iné ako posun, ktorý preloží bodku O(so súradnicou rovnou nule) do bodu X:
X= 0 + X.
Posuny je možné navzájom sčítať, ako aj od seba odčítať. Takže, ak offset ( b − a) prekladá bod A presne tak B a posun ( c − b) bod B presne tak C, potom posun
(b − a) + (c − b) = c − a
prekladá pointu A presne tak C.
Poznámka. Podľa logiky veci by sa tu malo ujasniť, ako sčítať a ubrať iracionálne čísla, pretože zaujatosť môže byť iracionálna. Samozrejme, matematici sa postarali o vypracovanie vhodných formálnych postupov, ale v praxi sa tým zaoberať nebudeme, keďže pre riešenie praktické úlohy vždy postačujú približné výpočty so zaokrúhlenými hodnotami. Zatiaľ to jednoducho vezmeme na vedomie, že pojmy „sčítanie“ a „odčítanie“ – ako aj „násobenie“ a „delenie“ – sú správne definované pre ľubovoľné dve reálne čísla (s upozornením, že ich nemožno deliť nula).
Tu by možno bolo vhodné poznamenať jemný rozdiel medzi pojmami „vytesnenie“ a „vzdialenosť“. Vzdialenosť je vždy nezáporná. Je to v skutočnosti ofset prevzatý z absolútna hodnota. Ak teda ofset
v = b − a
prekladá pointu A presne tak B, potom vzdialenosť s medzi bodmi A a B rovná sa
s = |v| = |b − a|.
Táto rovnosť zostáva pravdivá bez ohľadu na to, ktoré z týchto dvoch čísel je väčšie - a alebo b.
Lietadlo
V praktickom zmysle je rovina list papiera, na ktorý kreslíme naše geometrické kresby. imaginárny matematická rovina sa líši od listu papiera tým, že má nulovú hrúbku a neohraničený povrch, ktorý zasahuje do rôzne strany do nekonečna. Navyše, na rozdiel od hárku papiera je matematická rovina absolútne tuhá: nikdy sa neohýba ani nezvrásňuje – aj keď je odtrhnutá od stola a akýmkoľvek spôsobom umiestnená v priestore.
Umiestnenie roviny v priestore je jednoznačne dané tromi bodmi (pokiaľ neležia na jednej priamke). Aby sme si to lepšie predstavili, nakreslíme tri ľubovoľné body, O, A a B a nakreslite cez ne dve rovné čiary OA a OB, ako je znázornené na obrázku:
Už je o niečo jednoduchšie „natiahnuť“ rovinu v predstave na dve pretínajúce sa čiary, ako ju „oprieť“ o tri body. Ale pre ešte väčšiu prehľadnosť urobíme ešte nejaké doplnkové stavby. Zoberme si pár náhodných bodov: jeden kdekoľvek na čiare OA, a druhý - kdekoľvek na riadku OB. Cez túto dvojicu bodov nakreslite novú čiaru. Ďalej podobným spôsobom vyberieme ďalšiu dvojicu bodov a nakreslíme cez ne ďalšiu čiaru. Mnohonásobným opakovaním tohto postupu dostaneme niečo ako web:
Nasadenie roviny na takúto konštrukciu je už celkom jednoduché - najmä preto, že táto imaginárna pavučina môže byť taká hrubá, že pokryje celú rovinu bez medzier.
Všimnite si, že ak vezmeme pár nezhodných bodov v rovine a nakreslíme cez ne priamku, potom táto priamka bude nevyhnutne ležať v tej istej rovine.
Abstraktné
Bodka (A, B, atď.): imaginárny objekt, ktorého veľkosť vo všetkých smeroch je nulová.
Rovno (n, m alebo ( AB)): nekonečne tenká čiara; prešiel cez dva body ( A a B) pozdĺž pravítka jednoznačným spôsobom; sa rozprestiera v oboch smeroch do nekonečna.
Segment čiary ([AB]): časť čiary ohraničená dvoma bodmi ( A a B) - konce segmentu, ktoré sa tiež považujú za patriace do segmentu.
Dĺžka rezu(|AB|): (zlomkový) počet centimetrov (alebo inej mernej jednotky), ktoré sa zmestia medzi konce ( A a B).
Vzdialenosť medzi dvoma bodmi: dĺžka úsečky končiacej v týchto bodoch.
Poloha bodu na priamke (koordinovať): vzdialenosť od bodu k nejakému vopred zvolenému stredu (tiež ležiacemu na priamke) s priradeným znamienkom plus alebo mínus, podľa toho, na ktorej strane stredu sa bod nachádza.
Je daná poloha bodu na priamke platné(reálny)číslo, menovite desatinný zlomok, ktorý môže byť buď (1) konečný alebo nekonečne periodický ( racionálne čísla), alebo (2) nekonečné neperiodické ( iracionálne čísla).
Zaujatosť, ktorý prekladá bod A(so súradnicou a) presne B(so súradnicou b): v = b − a.
Vzdialenosť sa rovná posunutiu v absolútnej hodnote: | AB| = |b − a|.
Lietadlo: nekonečne tenký list papiera, ktorý sa rozprestiera v rôznych smeroch do nekonečna; je jednoznačne definovaná tromi bodmi, ktoré neležia na rovnakej priamke.
Pojem kritického bodu možno zovšeobecniť na prípad diferencovateľných zobrazení a na prípad diferencovateľných zobrazení ľubovoľných variet. f: N n → M m (\displaystyle f:N^(n)\to M^(m)). V tomto prípade je definícia kritického bodu hodnosť Jacobiánskej matice zobrazenia f (\displaystyle f) má menej ako maximum možná hodnota, rovná .
Kritické body prehrajú funkcie a mapovania dôležitá úloha v oblastiach matematiky, ako sú diferenciálne rovnice, variačný počet, teória stability a v mechanike a fyzike. Štúdium kritických bodov hladkého mapovania je jednou z hlavných otázok v teórii katastrof. Pojem kritického bodu je tiež zovšeobecnený na prípad funkcionálov definovaných na nekonečne-rozmerných funkčných priestoroch. Hľadanie kritických bodov takýchto funkcionalít je dôležitá časť variačný počet. Kritické body funkcionalít (ktoré sú zase funkciami) sa nazývajú extrémy.
Formálna definícia
kritický(alebo špeciálne alebo stacionárne) bod spojito diferencovateľného zobrazenia f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m)) sa nazýva bod, v ktorom je diferenciál tohto zobrazenia f ∗ = ∂ f ∂ x (\displaystyle f_(*)=(\frac (\čiastočné f)(\čiastočné x))) je degenerovať lineárna transformácia zodpovedajúce dotyčnicové priestory T x 0 R n (\displaystyle T_(x_(0))\mathbb (R) ^(n)) a T f (x 0) R m (\displaystyle T_(f(x_(0)))\mathbb (R) ^(m)), teda rozmer transformačného obrazu f ∗ (x 0) (\displaystyle f_(*)(x_(0))) menšie min ( n, m ) (\displaystyle \min\(n,m\)). V súradnicovom zápise pre n = m (\displaystyle n=m) to znamená, že jacobian je determinantom matrice jacobi zobrazenia f (\displaystyle f), zložený zo všetkých parciálnych derivátov ∂ f j ∂ x i (\displaystyle (\frac (\partial f_(j))(\partial x_(i))))- v určitom bode zmizne. Priestory a R m (\displaystyle \mathbb (R) ^(m)) v tejto definícii možno nahradiť odrodami N n (\displaystyle N^(n)) a M m (\displaystyle M^(m)) rovnaké rozmery.
Sardova veta
Zobrazená hodnota v kritickom bode sa nazýva jeho kritický. Podľa Sardovej vety je to množina kritických hodnôt akéhokoľvek dostatočne hladkého mapovania f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m)) má nulovú Lebesgueovu mieru (hoci môže existovať ľubovoľný počet kritických bodov, napríklad pre identické mapovanie je kritický každý bod).
Neustále mapovanie hodností
Ak je v blízkosti bodu x 0 ∈ R n (\displaystyle x_(0)\in \mathbb (R) ^(n)) kontinuálne diferencovateľného mapovania f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m)) sa rovná rovnakému číslu r (\displaystyle r), potom v blízkosti tohto bodu x 0 (\displaystyle x_(0)) sú miestne súradnice so stredom x 0 (\displaystyle x_(0)), a v susedstve jeho obrazu - bodov y 0 = f (x 0) (\displaystyle y_(0)=f(x_(0)))- existujú miestne súradnice (y 1 , … , y m) (\displaystyle (y_(1),\ldots ,y_(m))) sústredený na f (\displaystyle f) je dané vzťahmi:
Y 1 = x 1 , … , y r = x r , y r + 1 = 0 , … , y m = 0. (\displaystyle y_(1)=x_(1),\ \ldots ,\ y_(r)=x_(r ),\ y_(r+1)=0,\ \ldots ,\ y_(m)=0.)
Najmä ak r = n = m (\displaystyle r=n=m), potom sú tu miestne súradnice (x 1 , … , x n) (\displaystyle (x_(1),\ldots ,x_(n))) sústredený na x 0 (\displaystyle x_(0)) a miestne súradnice (y 1 , … , y n) (\displaystyle (y_(1),\ldots ,y_(n))) sústredený na y 0 (\displaystyle y_(0)), takže sa zobrazia f (\displaystyle f) je identický.
Deje sa m = 1
Kedy túto definíciu znamená, že gradient ∇ f = (f x 1 ′, … , f x n ′) (\displaystyle \nabla f=(f"_(x_(1)),\ldots ,f"_(x_(n)))) v tomto bode zaniká.
Predpokladajme, že funkcia f: R n → R (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ) má triedu hladkosti najmenej C 3 (\displaystyle C^(3)). Kritický bod funkcie f volal nedegenerované, ak obsahuje hesenčinu | ∂ 2 f ∂ x 2 | (\displaystyle (\Bigl |)(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))(\Bigr |)) odlišný od nuly. V okolí nedegenerovaného kritického bodu sú súradnice, v ktorých je funkcia f má kvadratickú normálnu formu (Morseova lemma).
Prirodzeným zovšeobecnením Morseovej lemy pre degenerované kritické body je Toujronova veta: v susedstve degenerovaného kritického bodu funkcie f, diferencovateľné nekonečné číslo times() konečná násobnosť µ (\displaystyle \mu ) existuje súradnicový systém, v ktorom hladká funkcia má tvar polynómu stupňa μ + 1 (\displaystyle \mu +1)(ako P μ + 1 (x) (\displaystyle P_(\mu +1)(x)) možno použiť Taylorov polynóm funkcie f (x) (\displaystyle f(x)) v bode pôvodných súradníc).
o m = 1 (\displaystyle m=1) má zmysel pýtať sa na maximum a minimum funkcie. Podľa známeho výroku matematická analýza, plynule diferencovateľná funkcia f (\displaystyle f), vymedzený v celom priestore R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) alebo vo svojej otvorenej podskupine, môže dosiahnuť miestne maximum(minimálne) iba v kritických bodoch, a ak je bod nedegenerovaný, potom matice (∂ 2 f ∂ x 2) = (∂ 2 f ∂ x i ∂ x j) , (\displaystyle (\Bigl ()(\frac (\čiastočné ^(2)f)(\čiastočné x^(2)))( \Bigr))=(\Bigl ()(\frac (\čiastočné ^(2)f)(\čiastočné x_(i)\čiastočné x_(j)))(\Bigr)),) i , j = 1 , … , n , (\displaystyle i,j=1,\ldots ,n,) musí byť v ňom negatívne (pozitívne) určitý. To druhé je tiež dostatočný stav lokálne maximum (resp. minimum).
Deje sa n = m = 2
Kedy n=m=2 máme mapovanie f rovina na rovinu (alebo dvojrozmerná varieta na inú dvojrozmernú varietu). Predpokladajme, že displej f diferencovateľné nekonečne veľakrát ( C ∞ (\displaystyle C^(\infty ))). V tomto prípade ide o typické kritické body mapovania f sú tie, v ktorých sa determinant Jacobiho matice rovná nule, ale jej poradie sa rovná 1, a teda diferenciál mapovania f má v takýchto bodoch jednorozmerné jadro. Druhou podmienkou typickosti je, že v susedstve uvažovaného bodu v rovine inverzného obrazu tvorí množina kritických bodov pravidelnú krivku. S a takmer vo všetkých bodoch krivky S jadro ker f ∗ (\displaystyle \ker \,f_(*)) sa netýka S, pričom body, kde to tak nie je, sú izolované a tangencia v nich je prvého rádu. Kritické body prvého typu sa nazývajú záhybové body a druhý typ montážne body. Záhyby a záhyby sú jedinými typmi singularít zobrazení z roviny do roviny, ktoré sú stabilné vzhľadom na malé odchýlky: pre malé odchýlky sa body záhybov a záhybov pohybujú len mierne spolu s deformáciou krivky. S, ale nezmiznú, nedegenerujú a nerozpadnú sa do iných singularít.
