Najjednoduchším typom vibrácií sú harmonické vibrácie- kolísanie, pri ktorom sa posunutie kmitajúceho bodu z rovnovážnej polohy v čase mení podľa sínusového alebo kosínusového zákona.

Takže pri rovnomernom otáčaní gule po obvode jej premietanie (tieň v rovnobežných lúčoch svetla) vykonáva harmonický kmitavý pohyb na zvislej obrazovke (obr. 1).

Posun z rovnovážnej polohy pri harmonických vibráciách popisuje rovnica (nazýva sa to kinematický zákon harmonický pohyb) formulára:

kde x - posunutie - hodnota, ktorá charakterizuje polohu kmitajúceho bodu v čase t vzhľadom k rovnovážnej polohe a meria sa vzdialenosťou od rovnovážnej polohy k polohe bodu v r. tento momentčas; A - amplitúda kmitania - maximálny posun telesa z rovnovážnej polohy; T - perióda kmitania - čas jedného úplného kmitu; tie. najmenšia doba, po ktorej sa hodnoty fyzikálnych veličín charakterizujúcich osciláciu opakujú; - počiatočná fáza;

Fáza kmitania v čase t. Argumentom je fáza oscilácie periodická funkcia, ktorý pri danej amplitúde kmitania určuje stav kmitavého systému (posun, rýchlosť, zrýchlenie) telesa v ľubovoľnom čase.

Ak v počiatočný momentčas sa kmitajúci bod maximálne posunie z rovnovážnej polohy, potom sa posunie bodu z rovnovážnej polohy podľa zákona.

Ak je kmitajúci bod v polohe stabilnej rovnováhy, potom sa posunutie bodu z rovnovážnej polohy mení podľa zákona

Hodnota V, prevrátená za obdobie a rovná sa čísluúplné kmity uskutočnené za 1 s sa nazývajú frekvencia kmitov:

Ak v čase t telo urobí N úplných kmitov, potom

hodnota , ktorý ukazuje, koľko kmitov telo urobí za s, sa nazýva cyklická (kruhová) frekvencia.

Kinematický zákon harmonického pohybu možno zapísať takto:

Graficky je závislosť posunu kmitajúceho bodu od času znázornená kosínusom (alebo sínusoidou).

Obrázok 2, a ukazuje časovú závislosť posunutia oscilujúceho bodu z rovnovážnej polohy pre prípad.

Poďme zistiť, ako sa mení rýchlosť oscilujúceho bodu s časom. Aby sme to dosiahli, nájdeme časovú deriváciu tohto výrazu:

kde je amplitúda projekcie rýchlosti na osi x.

Tento vzorec ukazuje, že počas harmonických kmitov sa mení aj priemet rýchlosti telesa na os x podľa harmonického zákona s rovnakou frekvenciou, s inou amplitúdou a je pred fázou miešania o (obr. 2, b) .

Na zistenie závislosti zrýchlenia nájdeme časovú deriváciu projekcie rýchlosti:

kde je amplitúda projekcie zrýchlenia na osi x.

Pre harmonické kmity vedie projekcia zrýchlenia fázový posun o k (obr. 2, c).

Podobne môžete vytvárať grafy závislostí

Vzhľadom na to je možné napísať vzorec pre zrýchlenie

tie. pre harmonické kmity je projekcia zrýchlenia priamo úmerná výchylke a opačného znamienka, t.j. zrýchlenie je nasmerované v smere opačnom k ​​posunutiu.

Takže projekcia zrýchlenia je druhá derivácia posunutia, potom výsledný pomer možno zapísať ako:

Posledná rovnosť je tzv rovnica harmonických kmitov.

Fyzikálny systém, v ktorom môžu existovať harmonické oscilácie, sa nazýva harmonický oscilátor a rovnica harmonických kmitov - rovnica harmonického oscilátora.

Rovnica harmonických vĺn

Rovnica harmonickej oscilácie určuje závislosť súradníc tela od času

Kosínusový graf má v počiatočnom okamihu maximálnu hodnotu a sínusový graf má v počiatočnom okamihu nulovú hodnotu. Ak začneme skúmať kmitanie z rovnovážnej polohy, potom kmitanie zopakuje sínusoidu. Ak začneme uvažovať osciláciu z polohy maximálnej výchylky, tak oscilácia bude opisovať kosínus. Alebo môže byť takáto oscilácia opísaná sínusovým vzorcom s počiatočnou fázou.

Zmena rýchlosti a zrýchlenia počas harmonického kmitania

Nielen súradnice telesa sa menia s časom podľa zákona sínusu alebo kosínusu. Ale podobne sa menia aj veličiny ako sila, rýchlosť a zrýchlenie. Sila a zrýchlenie sú maximálne, keď je oscilujúce teleso vnútri krajné polohy, kde je posunutie maximálne, a sú rovné nule, keď teleso prechádza cez rovnovážnu polohu. Rýchlosť je naopak v krajných polohách rovná nule a keď teleso prejde rovnovážnou polohou, dosiahne svoju maximálnu hodnotu.

Ak je oscilácia popísaná podľa kosínusového zákona

Ak je oscilácia popísaná podľa sínusového zákona

Maximálna rýchlosť a hodnoty zrýchlenia

Po analýze rovníc závislosti v(t) a a(t) možno uhádnuť, že maximálne hodnoty rýchlosti a zrýchlenia nadobudnú, keď trigonometrický faktor je 1 alebo -1. Určené vzorcom

Zmeny v čase podľa sínusového zákona:

kde X- hodnota kolísajúcej veličiny v čase t, ALE- amplitúda, ω - kruhová frekvencia, φ je počiatočná fáza oscilácií, ( φt + φ ) je celková fáza kmitov . Zároveň aj hodnoty ALE, ω a φ - trvalý.

Pre mechanické vibrácie s oscilačnou hodnotou X sú najmä posun a rýchlosť, pre elektrické oscilácie- napätie a prúd.

Zaberajú harmonické vibrácie špeciálne miesto medzi všetkými typmi kmitov, keďže ide o jediný typ kmitov, ktorých tvar sa pri prechode žiadnym nedeformuje. homogénne prostredie, teda vlny šíriace sa zo zdroja harmonických kmitov budú tiež harmonické. Akákoľvek neharmonická vibrácia môže byť reprezentovaná ako súčet (integrál) rôznych harmonických vibrácií (vo forme spektra harmonických vibrácií).

Premeny energie pri harmonických vibráciách.

V procese oscilácií dochádza k prechodu potenciálnej energie Wp do kinetiky W k a naopak. V polohe maximálnej odchýlky od rovnovážnej polohy je potenciálna energia maximálna, kinetická nulová. Keď sa vraciate do rovnovážnej polohy, rýchlosť kmitajúceho telesa sa zvyšuje a s ňou aj Kinetická energia, dosiahnutie maxima v rovnovážnej polohe. Potenciálna energia potom klesne na nulu. Ďalší pohyb krku nastáva s poklesom rýchlosti, ktorá klesne na nulu, keď výchylka dosiahne svoje druhé maximum. Potenciálna energia sa tu zvyšuje na svoju počiatočnú (maximálnu) hodnotu (pri absencii trenia). Kmity kinetickej a potenciálnej energie sa teda vyskytujú s dvojnásobnou (v porovnaní s kmitmi samotného kyvadla) frekvenciou a sú v protifáze (t.j. medzi nimi je fázový posun rovný π ). Celková energia vibrácií W zostáva nezmenený. Pre teleso kmitajúce pôsobením elastickej sily sa rovná:

kde v m- maximálna rýchlosť telesa (v rovnovážnej polohe), x m = ALE- amplitúda.

Kvôli prítomnosti trenia a odporu média voľné vibrácie rozpad: ich energia a amplitúda sa časom znižujú. Preto sa v praxi častejšie používajú nie voľné, ale nútené kmity.

Spolu s progresívnymi a rotačné pohyby telies v mechanike, oscilačné pohyby sú tiež veľmi zaujímavé. Mechanické vibrácie nazývané pohyby telies, ktoré sa presne (alebo približne) opakujú v pravidelných intervaloch. Zákon pohybu kmitajúceho telesa je daný nejakou periodickou funkciou času X = f (t). Grafický obrázok Táto funkcia poskytuje vizuálne znázornenie priebehu oscilačného procesu v čase.

Príkladom jednoduchých oscilačných sústav je zaťaženie pružiny resp matematické kyvadlo(obr. 2.1.1).

Mechanické vibrácie, napr oscilačné procesy môže byť akákoľvek iná fyzická povaha zadarmo a nútený. Voľné vibrácie sú vyrobené pod vplyvom vnútorné sily systému po tom, čo sa systém dostal z rovnováhy. Kmity závažia na pružine alebo kmity kyvadla sú voľné kmity. vibrácie pod pôsobením externé nazývajú sa periodicky sa meniace sily nútený .

Najjednoduchší typ oscilačného procesu je jednoduchý harmonické vibrácie , ktoré sú opísané rovnicou

X = X m cos (ω t + φ 0).

Tu X- posunutie tela z rovnovážnej polohy, X m - amplitúda kmitania, t.j. maximálne posunutie z rovnovážnej polohy, ω - cyklická alebo kruhová frekvencia váhanie, t- čas. Hodnota pod kosínusovým znamienkom φ = ω t+ φ 0 sa volá fáza harmonický proces. o t= 0 φ = φ 0, preto sa nazýva φ 0 počiatočná fáza. Minimálny časový interval, po ktorom sa pohyb telesa opakuje, sa nazýva perióda oscilácie T. Fyzikálne množstvo, prevrátená doba oscilácie, sa nazýva frekvencia oscilácií:

Oscilačná frekvencia f ukazuje, koľko vibrácií sa vytvorí za 1 s. Jednotka frekvencie - hertz(Hz). Oscilačná frekvencia f súvisí s cyklickou frekvenciou ω a periódou oscilácií T pomery:

Na obr. 2.1.2 ukazuje polohy tela v pravidelných intervaloch s harmonickými vibráciami. Takýto obraz možno získať experimentálne osvetlením oscilujúceho telesa krátkymi periodickými zábleskami svetla ( stroboskopické osvetlenie). Šípky predstavujú vektory rýchlosti tela v rôznych časových bodoch.

Ryža. 2.1.3 znázorňuje zmeny, ktoré nastanú na grafe harmonického procesu, ak sa zmení buď amplitúda oscilácií X m alebo bodka T(alebo frekvencia f), alebo počiatočná fáza φ 0 .

o oscilačný pohyb telesá pozdĺž priamky (os VÔL) vektor rýchlosti je vždy nasmerovaný pozdĺž tejto priamky. Rýchlosť υ = υ X pohyb tela je určený výrazom

V matematike postup pri hľadaní limity pomeru pri Δ t→ 0 sa nazýva výpočet derivácie funkcie X (t) časom t a označované ako alebo ako X"(t) alebo nakoniec ako . Pre harmonický pohybový zákon Výpočet derivácie vedie k tomuto výsledku:

Výskyt termínu + π / 2 v kosínusovom argumente znamená zmenu v počiatočnej fáze. Maximálne modulové hodnoty rýchlosti υ = ω X m sa dosahujú v tých časových okamihoch, keď teleso prechádza rovnovážnymi polohami ( X= 0). Zrýchlenie je definované podobným spôsobom a = aX telesá s harmonickými vibráciami:

preto to zrýchlenie a sa rovná derivácii funkcie υ ( t) časom t alebo druhá derivácia funkcie X (t). Výpočty dávajú:

Znamienko mínus v tomto výraze znamená zrýchlenie a (t) má vždy znamenie, opačné znamenie zaujatosť X (t), a preto podľa druhého Newtonovho zákona sila, ktorá spôsobuje, že teleso vykonáva harmonické kmity, smeruje vždy do rovnovážnej polohy ( X = 0).

výkyvy nazývané pohyby alebo procesy, ktoré sa vyznačujú určitým opakovaním v čase. Oscilačné procesy sú v prírode a technike rozšírené, napríklad výkyv hodinového kyvadla, variabilný elektriny atď. Keď kyvadlo kmitá, mení sa súradnica jeho ťažiska, napr striedavý prúd napätie a prúd v obvode kolíšu. fyzickej povahy oscilácie môžu byť rôzne, preto sa rozlišujú oscilácie mechanické, elektromagnetické atď.. Rôzne oscilačné procesy sú však opísané rovnakými charakteristikami a rovnaké rovnice. Z toho vyplýva realizovateľnosť jednotný prístup k štúdiu vibrácií odlišná fyzická povaha.

Výkyvy sú tzv zadarmo, ak sa vykonávajú len pod vplyvom vnútorných síl pôsobiacich medzi prvkami sústavy, po vyvedení sústavy z rovnovážnej polohy vonkajšie sily a ponechaný sám pre seba. Vždy voľné vibrácie tlmené oscilácie , pretože v reálne systémy energetické straty sú nevyhnutné. V idealizovanom prípade systému bez straty energie sa nazývajú voľné oscilácie (pokračujúce tak dlho, ako je to žiaduce). vlastné.

Najjednoduchším typom voľných netlmených kmitov sú harmonické kmity - kolísanie, pri ktorom sa kolísajúca hodnota mení s časom podľa sínusového (kosínusového) zákona. Oscilácie vyskytujúce sa v prírode a technike majú často charakter blízky harmonickému.

Harmonické vibrácie sú opísané rovnicou nazývanou rovnica harmonických vibrácií:

kde ALE- amplitúda kolísania, maximálna hodnota kolísavej hodnoty X; - kruhová (cyklická) frekvencia vlastných kmitov; - počiatočná fáza kmitania v časovom okamihu t= 0; - fáza kmitania v čase t. Fáza kmitania určuje hodnotu kmitajúcej veličiny v danom čase. Pretože sa kosínus mení od +1 do -1 X môže nadobúdať hodnoty od + A predtým - ALE.

čas T, pre ktorý systém dokončí jeden úplný kmit, sa nazýva perióda oscilácie. Počas T fáza oscilácie sa zvýši o 2 π , t.j.

Kde . (14.2)

Prevrátená hodnota periódy oscilácie

t.j. počet úplných kmitov za jednotku času sa nazýva frekvencia kmitov. Porovnaním (14.2) a (14.3) dostaneme

Jednotkou frekvencie je hertz (Hz): 1 Hz je frekvencia, pri ktorej prebehne jedna úplná oscilácia za 1 s.

Systémy, v ktorých sa môžu vyskytnúť voľné vibrácie, sa nazývajú oscilátory . Aké vlastnosti musí mať sústava, aby v nej dochádzalo k voľným osciláciám? mechanický systém musieť mať poloha stabilnej rovnováhy, po opustení sa objaví obnovenie sily smerom k rovnováhe. Táto poloha zodpovedá, ako je známe, minimu potenciálna energia systémov. Uvažujme niekoľko oscilačných systémov, ktoré spĺňajú uvedené vlastnosti.