В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S угол между боковым ребром и
плоскостью основания равен 60° , сторона основания равна 1 , SH - высота пирамиды.
Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку Н
параллельно ребрам SA и BC .

Основание высоты правильной пирамиды - это центр треугольника АВС . Сначала проведём
через точку Н отрезок РТ , параллельный ребру ВС. Точки Р и Т принадлежат сечению .

В плоскости грани ACS через точку Т проведём отрезок ТК параллельно ребру AS .

В плоскости грани AВS через точку Р проведём отрезок PL параллельно ребру AS .

Соединив точки К и L , получим искомое сечение. Докажем, что это прямоугольник.

Отрезки ТК и PL не только параллельны (каждый параллелен AS ), но и равны.

Значит, четырёхугольник KLPT - параллелограмм по признаку параллелограмма.
Кроме того, ТК ⊥ ТР , так как AS ⊥ CB , а стороны ТК и ТР параллельны AS и CB .
Докажем, что AS ⊥ CB . Можно воспользоваться теоремой о трёх перпендикулярах.
AS - наклонная, AD проекция этой наклонной на АВС , AD ⊥ CB , значит, AS ⊥ CB .

Чтобы найти площадь прямоугольника, надо найти и перемножить его стороны.
Заметим, что сторона ТР составляет две трети от стороны основания ВС = 1 .
Вторая сторона прямоугольника ТК составляет одну треть от бокового ребра AS .
Боковое ребро мы сможем найти из треугольника SAH , в котором ∠SAH = 60°
(угол между боковым ребром и основанием) и ∠ASH = 30°, а значит, АS = 2·AН .

Найти длину отрезка АН , зная сторону основания, можно разными способами.
Лучше обойтись без формул и рассмотреть прямоугольный треугольник АНF .

Вернёмся к треугольнику SAH и найдём боковое ребро пирамиды:

Осталось перемножить найденные стороны и получить площадь сечения.

Верны ли выражения?
А) У любого параллелепипеда точка пересечения диагоналей является его осью симметрии
В) Каждая точка прямой а симметрична самой себе
Подберите правильный ответ
(*ответ*) А – да; В - да
А – да; В - нет
А – нет; В - да
А – нет; В - нет
Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см, а ее высота равна 3 см. Расстояние от центра основания до плоскости боковой грани равно _ см
(*ответ*) 3
В правильной пирамиде MABCD точки К, L и N лежат на ребрах ВС, МС и AD, KN||BA, КL||ВМ. Определите вид сечения пирамиды плоскостью KLN
(*ответ*) Трапеция
Квадрат
Параллелограмм
Треугольник
В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 9 см, высота равна 3 см. Угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды равен _ о
(*ответ*) 30
В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 5 см, а плоский угол при вершине равен 60 о. Боковое ребро пирамиды равно _ см
(*ответ*) 5
В правильной шестиугольной призме сторона основания а = 23 см и высота h = 5 дм. Площадь боковой поверхности призмы равна _ дм2
(*ответ*) 69
В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12 см и 5 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45°. Боковое ребро параллелепипеда равно _ см
(*ответ*) 13
В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 7 см и 24 см, а высота параллелепипеда равна 8 см. Площадь диагонального сечения равна _ см2
(*ответ*) 200
В тетраэдре ABCD точки М, N, Р и К являются серединами ребер АВ, ВС, CD и AD. Периметр четырехугольника, полученного при пересечении тетраэдра плоскостью MNPК, равен 20 см. BD = 10 см. АС = _ см
(*ответ*) 10
Основание прямой призмы - треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом, равным 120°, между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см2. Площадь боковой поверхности призмы равна _ см2
(*ответ*) 75
Основанием пирамиды DABC является треугольник ABC, у которого АВ = АС = 13 см,
ВС = 10см; ребро AD перпендикулярно к плоскости основания и равно 9 см. Площадь боковой поверхности пирамиды равна _ см2
(*ответ*) 192
Основанием прямого параллелепипеда является ромб с диагоналями 10 см и 24 см, а высота параллелепипеда равна 10 см. Большая диагональ параллелепипеда равна _ см
(*ответ*) 26
Основанием прямой призмы АВСА1В1С1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом В. Через ребро ВВ1 проведено сечение BB1D1D, перпендикулярное к плоскости грани АА1С1С. АА1 = 10 см, AD = 27 см, DС = 12 см. Площадь сечения равна _ см2
(*ответ*) 180
Периметр правильного икосаэдра со стороной, равной 5 см, равен _ см
(*ответ*) 150
Плоский угол правильного додекаэдра равен _ о
(*ответ*) 108
Площадь диагонального сечения в правильной четырехугольной пирамиды равна 15 см2, а стороны основания равны см и 2 см. Высота пирамиды равна _ см
(*ответ*) 5
Ребро CD тетраэдра ABCD перпендикулярно к плоскости ABC, АВ = ВС = АС = 6,
BD = . Двугранный угол BDCA, равен _ о
(*ответ*) 60

Тип задания: 14
Тема: Площадь сечения

Условие

В правильном тетраэдре DABC с ребром 5 на рёбрах AD , BD и AC выбраны точки K , L и M соответственно так, что KD=MC=2, LD=4.

а) Постройте сечение тетраэдра плоскостью KLM .

б)

Показать решение

Решение

а) Так как AK=AM=5-2=3, то \triangle AKM равнобедренный.

Так как в этом равнобедренном треугольнике \angle KAM=60^{\circ}, то он равносторонний, то есть

KM=3. Тогда KM \parallel DC, так как равны соответственные углы при прямых KM , DC и секущей AD .

Построим LN \parallel DC. Так как в этом случае LN \parallel KM, то точки K , L , N и M лежат в одной плоскости, то есть трапеция KLNM есть искомое сечение.

б) 1. \triangle BLN \sim \triangle BDC, так как LN \parallel DC. Следовательно, \triangle BLN является равносторонним и LN=BN=BL =BD-LD=5-4=1.

2. \triangle DKL=\triangle CMN, так как DK=CM =2, DL=CN=4 и \angle KDL=\angle MCN=60^{\circ}. Значит, KL=MN и KMNL — равнобедренная трапеция.

Опустим в ней высоту LH . Отсюда, KH =\frac{KM-LN}2=\frac{3-1}2=1.

3. По теореме косинусов для \triangle KDL получим:

KL^2= KD^2+DL^2-2\cdot KD\cdot DL\cdot \cos 60^{\circ}= 2^2+4^2-2\cdot 2\cdot 4\cdot \frac12= 12.

4. По теореме Пифагора LH= \sqrt {KL^2-KH^2}= \sqrt {12-1}= \sqrt {11}.

5. S_{KMNL}= \frac12(KM+LN)\cdot LH= \frac12(3+1)\cdot \sqrt {11}= 2\sqrt {11}.

Ответ

2\sqrt {11}.

Тип задания: 14
Тема: Площадь сечения

Условие

В правильной четырёхугольной призме ABCDA_1B_1C_1D_1 сторона основания равна 9 , боковое ребро равно 14 . Точка K принадлежит ребру A_1B_1 и делит его в отношении 2:7, считая от вершины A_1.

а) Докажите, что сечение призмы плоскостью, проходящей через точки A , C и K , является равнобедренной трапецией.

б) Найдите площадь этого сечения.

Показать решение

Решение

а) Плоскость сечения пересекает плоскость верхнего основания по прямой, проходя-щей через точку K и параллельной AC (по свойству параллельности плоскостей). Тогда плоскость AKC пересекает ребро B_1C_1 в точке L так, что KL \parallel AC. Следовательно, искомым сечением будет трапеция AKLC .

KB_1\parallel AB, B_1L\parallel BC, KL\parallel AC. Значит, треугольники KB_1L и ABC подобны и являются равнобедренными прямоугольными треугольниками. Тогда KB_1=B_1L и A_1K=C_1L. Треугольники AA_1K и CC_1L равны, следовательно, AK=CL и трапеция AKLC — равнобедренная.

б) Найдём площадь трапеции AKLC .

A_1K=\frac29A_1B_1 =\frac29\cdot 9=2.

Из \triangle AA_1K,\, AK = \sqrt {AA_1^2+A_1K^2}= \sqrt {14^2+2^2}= 10\sqrt 2.

AC=AB\sqrt 2=9\sqrt 2; KL =\frac79AC=\frac79\cdot 9\sqrt 2=7\sqrt 2.

Так как трапеция AKLC — равнобедренная, имеем

AH =\frac{AC-KL}2=\sqrt 2.

Из \triangle AKH,\, KH= \sqrt {AK^2-AH^2}= \sqrt {200-2}= \sqrt {198}.

S_{AKLC}=\frac{AC+KL}2\cdot KH\,= 8\sqrt 2\cdot \sqrt {198}=48\sqrt {11}.

Ответ

48\sqrt {11}.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 14
Тема: Площадь сечения

Условие

В правильной четырёхугольной призме ABCDA_1 B_1C_1 D_1 сторона основания равна 7 , а боковое ребро — 12 . На рёбрах A_1D_1, C_1D_1 и CB взяты точки F, К, L соответственно так, что A_1F=C_1K=CL=3.

а) Пусть P — точка пересечения плоскости FKL с ребром AB . Докажите, что FKLP — прямоугольник.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью FKL.

Показать решение

Решение

а) Найдём положение точки P . Эта точка пересечения плоскости FKL и ребра AB, лежащего в плоскости ABCD.

Плоскость ABCD параллельна плоскости A_1B_1C_1D_1, в которой лежит отрезок KF. Плоскость FKL пересекает параллельные плоскости ABCD и A_1B_1C_1D_1 по параллельным прямым, отсюда KF \parallel LP. Прямоугольные треугольники KD_1F и LBP равны по катету и острому углу D_1F=LB=4 и \angle D_1FK=\angle BLP как острые с соответственно параллельными сторонами).

Чтобы доказать, что четырёхугольник FKLP — прямоугольник, найдём длины его сторон и диагонали.

KF= PL= \sqrt {KD_1^2+D_1F^2}= \sqrt {16+16}= 4\sqrt 2.

PF= LK = \sqrt {LC^2+CC_1^2+C_1K^2}= \sqrt {9+144+9}= \sqrt {162}= 9\sqrt 2. Противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, значит, это параллелограмм. Проведём A_1A_2 \parallel LF, тогда LF= A_1A_2 = \sqrt {(LB-FA_1)^2+AB^2+AA_1^2} = \sqrt {(BP-C_1K)^2+CB^2+CC_1^2}= PK. Диагонали параллелограмма равны, следовательно, FKLP — прямоугольник.

б) Пусть Q и R — точки пересечения прямой KF и прямых B_1C_1 и A_1B_1. Проведём прямые RL и QP , они пересекут рёбра CC_1 и AA_1 в точках M и N соответственно. Тогда RC_1=KC_1=CL, поэтому можно доказать, что равны треугольники RC_1M и MCL. Прямая RL , а значит, и плоскость FKL пересекают ребро CC_1 в его середине — точке M . Аналогично плоскость FKL пересекает ребро AA_1 в его середине —точке N .

В диагональном сечении CC_1A_1A, которое является прямоугольником, отрезок MN — средняя линия. В прямоугольнике MCAN противоположные стороны равны: MN=CA=7\sqrt 2.

Сечение FKMLPN состоит из двух равных трапеций MKFN и MLPN , причём

мы доказали, что LK \perp KF и LK \perp LP. Высота каждой из этих трапеций равна \frac{LK}2=\frac{9\sqrt 2}2.

S_{\text{сечения}}= 2S_{MKFN}= 2\cdot \frac{KF+MN}2\cdot \frac{LK}2= (4\sqrt 2+7\sqrt 2)\cdot \frac{9\sqrt 2}2= 99.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 14
Тема: Площадь сечения

Условие

В основании пирамиды DABC лежит правильный треугольник ABC со стороной 5 . Ребро CD перпендикулярно плоскости основания. Точки K , L и M лежат на рёбрах AD , BD и AC соответственно. Известно, что AD=10, DK=4, CM=2 и KL \parallel AB.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью KLM .

б) Найдите площадь этого сечения.

Показать решение

Решение

а) Построим MN \parallel AB.

Так как KL \parallel AB по условию, то KL \parallel MN. Это означает, что точки K , L , N и M лежат в одной плоскости, то есть KLNM — искомое сечение.

б) 1. \bigtriangleup MNC \sim \bigtriangleup ABC, так как MN \parallel AB, то есть соответственные углы равны: \angle CAB=\angle CMN и \angle CBA=\angle CNM. Значит \bigtriangleup MNC равносторонний, то есть CN=MN=CM=2.

2. Аналогично можно доказать, что \bigtriangleup DKL \sim \bigtriangleup DAB, так как KL \parallel AB. Значит, \frac{KL}{AB}=\frac{DK}{DA}=\frac{2}{5}, KL=\frac{2}{5}AB=\frac{2}{5} \cdot 5=2.

3. Так как KL \parallel MN и KL=MN, то KLNM — параллелограмм.

4. \bigtriangleup AMK \sim \bigtriangleup ACD, так как угол при вершине A общий и \frac{AK}{AD}=\frac{AM}{AC}=\frac{3}{5}. Следовательно, MK \parallel CD, так как соответственные углы равны (например, \angle AKM=\angle ADC ). Отсюда, MK \perp ABC, так как CD \perp ABC. Значит, MK \perp MN, то есть параллелограмм KLNM является прямоугольником.

5. По теореме Пифагора CD= \sqrt{AD^2-AC^2}= \sqrt{10^2-5^2}= 5\sqrt{3}. Так как \frac{MK}{CD}=\frac{AM}{AC}=\frac{3}{5}, то MK=\frac{3}{5}CD=3\sqrt{3}.

6. S_{KLNM}= MK \cdot MN= 3\sqrt{3} \cdot 2= 6\sqrt{3}.

Ответ

6\sqrt{3}.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 14
Тема: Площадь сечения

Условие

Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD , все рёбра которой равны.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ BD основания перпендикулярно грани SCD .

б) Найдите площадь этого сечения, если каждое ребро данной пирамиды равно 5 .

Показать решение

Решение

а) Пусть K — середина ребра SC . Так как треугольники SDC и SBC равносторонние, то SC \perp DK и SC \perp BK (медиана равностороннего треугольника является его высотой). Значит, прямая SC перпендикулярна плоскости DKB . Так как SC \perp DKB и SC \subset CSD, то плоскость DBK перпендикулярна плоскости CSD . Треугольник DKB — искомое сечение.

б) Найдём площадь сечения. Высоты DK и BK в равносторонних треугольниках равны \frac{5\sqrt{3}}{2}. Диагональ BD квадрата ABCD равна 5\sqrt{2}. В равнобедренном треугольнике DKB высота OK=\sqrt{\left (\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)^2-\left (\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\frac{5}{2}. Площадь треугольника DKB равна \frac{1}{2}DB \cdot OK=\frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot \frac{5}{2}=\frac{25\sqrt{2}}{4}.

Ответ

\frac{25\sqrt{2}}{4}.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 14
Тема: Площадь сечения

Условие

Дана правильная четырёхугольная пирамида SMNPQ с вершиной в точке S , сторона основания равна 5\sqrt{3}, а плоский угол при вершине пирамиды равен 60^\circ.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ NQ основания параллельно боковому ребру PS .

б) Найдите площадь сечения.

Показать решение

Решение

а) Обозначим через O точку пересечения диагоналей квадрата MNPQ.

В плоскости MSP проведем через точку O прямую OK \parallel PS. Точку K соединим с точкой N и точкой Q , получим сечение NKQ , которое является искомым, так как содержит OK \parallel PS и диагональ основания NQ , по признаку параллельности прямой и плоскости: плоскость NKQ параллельна ребру PS . Данное сечение представляет собой треугольник NKQ .

б) Треугольник NKQ — равнобедренный, NK=KQ. Это следует из равенства треугольников NKM и KMQ (по двум сторонам: MK — общая, NM=MQ и углу: \angle KMQ=\angle KMN ). Точка O — середина NQ , NO=OQ. KO — медиана и, следовательно, высота. S_{NKQ}=\frac{1}{2}NQ \cdot KO.

Рассмотрим \bigtriangleup SMQ, \angle MSQ=60^\circ, значит \angle SMQ=\angle SQM=60^\circ, SM=SQ=MQ=5\sqrt{3}. \angle SOM=90^\circ, точка K — середина SM (так как OK — средняя линия \bigtriangleup PSM ). Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. OK=\frac{1}{2}SM=\frac{5\sqrt{3}}{2}. NQ — диагональ квадрата со стороной 5\sqrt{3}. NQ=5\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}=5\sqrt{6}.

S_{NKQ}= \frac{1}{2}OK \cdot NQ= \frac{5\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{6}}{4}= \frac{75\sqrt{2}}{4}.

Ответ

\frac{75\sqrt{2}}{4}

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Решение

а) Построим сечение параллелепипеда плоскостью AKF.

E — точка пересечения ребра DC и отрезка AF .

В плоскости ABB_1 проведем лучи AK и BB_1. AK пересекает BB_1 в точке Q . В плоскости BCC_1 проведем отрезок FQ . FQ пересекает B_1C_1 в точке P , а CC_1 в точке R . Пятиугольник AKPRE — искомое сечение.

KB_1 \parallel AB, KB_1=\frac{1}{2}A_1 B_1, значит KB_1 — средняя линия \bigtriangleup ABQ, отсюда BB_1=QB_1, а так как BF \parallel B_1 P, то B_1 P — средняя линия \bigtriangleup FBQ, BF=8, B_1 P=\frac{1}{2}BF=4. C_1 P=B_1C_1-B_1 P=5-4=1, следовательно, B_1 P:PC_1=4:1.

б) Прямоугольние треугольники ABQ , FBQ и ABF равны по двум катетам AB=BF=BQ=8, отсюда AQ=AF=QF=8\sqrt{2}.

S_{AQF}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} как площадь равностороннего треугольника со стороной a .

S_{AQF}=\frac{(8\sqrt{2})^{2} \cdot \sqrt{3}}{4}=32\sqrt{3},

S_{KQP}= \frac{1}{4}S_{AQF}= \frac{32\sqrt{3}}{4}= 8\sqrt{3}.

S_{AKPF}= S_{AQF}-S_{KQP}= 32\sqrt{3}-8\sqrt{3}= 24\sqrt{3}.

\bigtriangleup RCF \sim \bigtriangleup RC_1 P по первому признаку подобия (\angle C=\angle C_1=90^{\circ}, \angle1=\angle2 как вертикальные). Из подобия следует \frac{CF}{PC_{1}}=\frac{FR}{PR}. По доказанному в а) PC_1=1, BF=AB=8, тогда CF=8-5=3 и \frac{FR}{PR}=\frac{3}{1}. Так как KP — средняя линия \bigtriangleup AQF, то PF=\frac{1}{2}QF=4\sqrt{2}, FR=\frac{3PF}{4}=\frac{4\sqrt{2} \cdot 3}{4}=3\sqrt{2}.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике FCE FC=EC=3, тогда EF=3\sqrt{2}. В \bigtriangleup REF FR=EF=3\sqrt{2}, \angle RFE=60^{\circ}, отсюда \bigtriangleup REF — равносторонний.S_{REF}=\frac{(3\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4}=\frac{9\sqrt{3}}{2}.

S_{AKPRE}= S_{AKPF}-S_{REF}= 24\sqrt{3}-\frac{9\sqrt{3}}{2}= \frac{39\sqrt{3}}{2}.

Транскрипт

1 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ СЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ Методические указания к выполнению эпюра 3 по дисциплине «Начертательная геометрия» Иркутск 2010

2 УДК 744 ББК С 28 Составители: М.В. Малова, к.т.н., доцент кафедры начертательной геометрии и графики ИрГУПС; Т.А. Дарманская, к.т.н., ст. преподаватель кафедры начертательной геометрии и графики ИрГУПС; В.В. Алексеев, учитель черчения НОУ «Школа-интернат 25 ОАО РЖД» Рецензенты: Н.К.Чепурных, к.т.н., доцент ВСИ МВД России Б.И. Китов, д.т.н., профессор, зав. каф. ТиПМ ИрГУПС С 28 Сечение поверхности плоскостью: метод. указ. к выполнению эпюра 3 / сост. М.В. Малова, Т.А. Дарманская, В.В. Алексеев. Иркутск: ИрГУПС, с. В методических указаниях подробно изложен теоретический материал, необходимый для выполнения эпюра 3. Детально рассмотрено решение основных типовых задач по определению линии сечения поверхности плоскостью. Методические указания предназначены для студентов всех специальностей дневной и заочной форм обучения, изучающих курс начертательной геометрии. Ил. 17. Табл. 5. Библиогр.: 4 назв. Иркутский государственный университет путей сообщения,

3 1. Общие положения Сечением называется плоская замкнутая фигура, которая получается при пересечении поверхности плоскостью. Контур сечения определяется множеством точек, которые одновременно принадлежат поверхности и секущей плоскости. В зависимости от формы заданной поверхности и расположения секущей плоскости фигура сечения может быть или ломаной линией (при пересечении многогранников плоскостью), или плавной замкнутой кривой (при пересечении криволинейных поверхностей плоскостью). Для построения опорных промежуточных точек (границы видимости, высшие и низшие точки и др.) используются вспомогательные секущие плоскости-посредники и иногда применяется способ преобразования ортогональных проекций (например, способ перемены плоскостей проекций). Для построения фигуры сечения необходимо: 1. Определить каркас поверхности. 2. Найти точки пересечения каждой каркасной линии с заданной плоскостью. 3. Найденные точки последовательно соединить между собой, выделяя видимую и невидимую части фигуры сечения. В случае многогранников найденные точки соединяют прямыми линиями, в случае кривых поверхностей плавной кривой. Различные формы линий сечения показаны на рисунке 1. Для многогранников за линии каркаса принимают ребра. Для кривых поверхностей один из видов образующих. Так, для конуса и цилиндра это могут быть прямолинейные образующие, криволинейные (окружности), параллели, для шара и тора только окружности. Возможные формы линий каркаса для различных поверхностей показаны на рисунке 2. 3

4 Рис. 1. 4

5 Рис. 2 Для тех геометрических тел, которые имеют основания, в каркас включаются и линии основания. При построении сечения поверхностей геометрических тел могут встретиться две группы задач: секущая плоскость занимает частное положение; секущая плоскость занимает общее положение. 2. Первая группа задач. Секущая плоскость занимает частное положение Задача 1. Построить сечение треугольной пирамиды фронтальнопроецирующей плоскостью Г (Г 2) и определить натуральную величину фигуры сечения (рис. 3). 5

6 Рис. 3 Секущая плоскость занимает частное положение (фронтальнопроецирующая), поэтому фронтальная проекция сечения совпадает с фронтальной проекцией Г 2 секущей плоскости. Плоскость Г проходит так, что не пересекает ребро SА, но пересекает основание пирамиды треугольник ABC. Решение: за линии каркаса принимаем ребра SС, SВ и основание пирамиды. Находим точки пересечения каркасных линий с проекцией заданной плоскости. Фронтальная проекция сечения прямая Горизонтальные проекции точек 1 и 2 находим по линиям проекционной связи на горизонтальных проекциях ребер SС и SВ, а точек 3 и 4 на сторонах основания АВ и АС. Горизонтальные проекции точек соединяем прямыми, выделяя видимые и невидимые участки линии. 6

7 Натуральную величину фигуры сечения определяем методом замены плоскостей проекций: П 2 П 2 П1 // Г, Х // Г 2 П 1 П 1 Задача 2. плоскостью Σ (Σ 2) (рис. 4). Построить сечение сферы фронтально-проецирующей Рис. 4 Фронтальная проекция сечения проецируется в прямую, совпадающую с фронтальной проекцией плоскости Σ. Решение: намечаем каркас на поверхности сферы из окружностей (параллелей). На плоскость П 2 параллели проецируются в прямые, на П 1 в окружности. Находим точки пересечения каркасных линий с заданной плоскостью. Фронтальные проекции точек сечения определяются в пересечении каркасных линий с фронтальной проекцией плоскости Σ, а 7

8 горизонтальные проекции определяются по линиям проекционной связи каждая на своей параллели. Точки 1 и 10 на главном меридиане и точки 6 и 7 на экваторе определяют границу видимости сечения на горизонтальной плоскости проекций. Полученные на горизонтальной плоскости проекций точки соединяем плавной кривой с учетом видимости. Задача 3. Построить сечение цилиндра фронтально-проецирующей плоскостью. Эпюр выполнить в 3-х проекциях (рис. 5). Рис. 5 Решение: на поверхности цилиндра намечаем каркас из образующих. Определяем точки пересечения каркасных линий с заданной плоскостью. Образующие цилиндра горизонтально-проецирующие прямые, поэтому горизонтальная проекция сечения совпадает с основанием. Высшая и 8

9 низшая точки сечения 1 и 8 находятся на очерковых образующих цилиндра, точки 2, 3, 4, 5, 6 и 7 на промежуточных образующих. На профильную плоскость проекций сечение проецируется в эллипс. Строим профильные проекции образующих и на них определяем точки сечения. Профильные проекции полученных точек соединяем плавной кривой, выделяя видимые и невидимые участки эллипса. Задача 4. Построить сечение поверхности прямого кругового конуса фронтально-проецирующей плоскостью Г (Г 2) и определить натуральную величину фигуры сечения (рис. 6). Рис. 6 Секущая плоскость Г пересекает все образующие конуса, и в сечении образуется эллипс. Фронтальная проекция эллипса совпадает с фронтальной проекцией секущей плоскости Г 2. 9

10 Решение: на поверхности конуса намечаем каркас из прямых образующих или окружностей (параллелей). Горизонтальные проекции точек сечения будут расположены на горизонтальных проекциях соответствующих линий каркаса. Так, горизонтальные проекции точек 1 и 8 находятся на горизонтальных проекциях очерковых образующих SA и SB, горизонтальные проекции точек 2 и 3 на горизонтальных проекциях образующих SС и SD и т.д. Горизонтальные проекции точек 4 и 5 найдем при помощи параллели, которая проецируется на П 2 в прямую, перпендикулярную оси конуса, а на П 1 в окружность. Полученные горизонтальные проекции точек сечения соединяем плавной кривой. Прямая 1 8 определяет большую ось эллипса, ее натуральная величина. Малая ось эллипса проходит через середину большой (точка О) и перпендикулярна к ней. На плоскость П 1 малая ось эллипса проецируется в натуральную величину. Натуральная величина фигуры сечения определяется методом замены плоскостей проекций. Заменяем плоскость П 1 на 2, П 2 2 П1 // Г, Х // Г 2 П 1 П П 1 Задача 5. Построить сечение поверхности прямого кругового конуса фронтально-проецирующей плоскостью Г (Г 2) и определить натуральную величину фигуры сечения (рис. 7). 10

11 Рис. 7 Секущая плоскость параллельна одной образующей конуса и в сечении дает параболу. Фронтальная проекция сечения совпадает с фронтальной проекцией секущей плоскости Г 2. Решение: на поверхности конуса получаем каркас из образующих или окружностей (параллелей). Горизонтальные проекции точек сечения находятся на горизонтальных проекциях соответствующих каркасных линий. Так, вершина гиперболы (точка 1) находится на очерковой образующей SA (1 2 на S 2 A 2, 1 1 на S 1 A 1). Точки 8 и 9 находятся на основании конуса. Горизонтальные проекции точек сечения соединяем плавной кривой. Натуральная величина фигуры сечения определяется методом замены плоскостей проекций: П 2 П 2 П1 // Г, Х // Г 2 П 1 П 1 11

12 3. Вторая группа задач. Секущая плоскость занимает общее положение Задача 1. Построить сечение конуса плоскостью Σ (h f) (рис. 8). Рис. 8 Решение: За линии каркаса принимаем образующие и параллели. Определяем последовательно точки пересечения соответствующих образующих или параллелей конуса с секущей плоскостью Σ (h f). 12

13 Порядок действий следующий: 1. Определяем наиболее и наименее удаленные от горизонтальной плоскости проекций высшую и низшую точки. Эти точки определяются методом замены плоскостей проекций. Заменяем плоскость П 1 на 2, П 2 П 1. Новая ось проводится перпендикулярно горизонтальной П 1 П 2 проекции горизонтали. Высшая точка 1 и низшая точка 2 построены как точки пересечения образующих конуса, лежащих в новой плоскости 2, и секущей плоскости Σ (). 2. Строим промежуточные точки (расположенные между найденными точками 1 и 2) с помощью вспомогательных секущих плоскостей частного положения горизонтальных плоскостей уровня, проходящих через соответствующие параллели конуса. 3. Полученные точки соединяем плавной кривой линией. 4. Точки, которые на фронтальной проекции будут находиться на очерковых образующих конуса и определять границы видимости линии сечения, должны быть спроецированы с горизонтальной плоскости проекций (точки пересечения построенной линии и горизонтальной осевой линии). Определяем истинную величину фигуры сечения методом замены плоскостей проекций. Для этого проводим новую ось плоскостей проекций параллельно проекции плоскости. Задача 2. Построить сечение пирамиды SABC плоскостью Σ (DEF). 13

14 Решение задачи представлено на рисунке 9. Рис Сечение плоскостью частного положения поверхности, имеющей сквозное отверстие 14

15 Задача 1. Построить сечение усеченного цилиндра фронтальнопроецирующей плоскостью. Рис. 10 При решении задач по построению линии сечения плоскостью частного положения поверхности, имеющей сквозное отверстие, на первом этапе выполняется построение сквозного отверстия, а затем непосредственно сечение поверхности плоскостью. На линии контура сквозного отверстия выбираем точки от 1 до 9. Все они являются парными. Поскольку цилиндр является проецирующей поверхностью (его боковая поверхность перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций), проекции всех точек на горизонтальной плоскости проекций будут находиться на окружности (проекции основания цилиндра). Для нахождения проекций точек на профильной плоскости проекций необходимо пользоваться вспомогательными плоскостями уровня (Г 1 Г 4). 15

16 Проекции плоскостей уровня будут определять положение точек по высоте, а положение точек по ширине на каждом уровне будет определяться расстояниями проекций точек от горизонтальной оси (А 1 В 1) вверх и вниз, отложенными на профильной плоскости проекций от вертикальной оси симметрии влево и вправо соответственно. Найденные точки соединяем плавной кривой () или прямыми () линиями. Рис.11 На втором этапе работы (рис. 11) выполняется линия сечения поверхности плоскостью. На проекции секущей плоскости выбирается ряд точек (C 2, D 2, E 2, F 2, M 2, N 2) и определяется их положение на горизонтальной и профильной плоскостях проекций (аналогично действиям на первом этапе). Найденные точки соединяются плавными 16

17 кривыми или прямыми линиями. Площадь сечения штрихуется. Предполагается, что мы мысленно удаляем часть поверхности, отсеченную плоскостью. На эпюре усеченную часть показываем сплошной тонкой линией. Задача 2. Построить сечение усеченной пирамиды фронтальнопроецирующей плоскостью. Рис. 12 Аналогично решению задачи 1 (рис. 10, 11) на первом этапе необходимо выполнить линию сквозного отверстия на поверхности детали. На рисунке 12 это симметричные ломаные линии Далее (рис. 13) выполняется сечение пирамиды с отверстием фронтально-проецирующей плоскостью. 17

18 Рис. 13 Подобным образом решаются и задачи 3 и 4. Примеры решения приведены на рисунках 14, 15 и 16, 17. Задача 3. Построить сечение усеченной призмы фронтальнопроецирующей плоскостью. 18

19 Рис. 14 Рис. 15 Задача 4. Построить сечение усеченного конуса фронтальнопроецирующей плоскостью. 19

20 Рис. 16 Рис. 17 Задания для выполнения эпюра 3 20

21 Сечение геометрической фигуры секущей плоскостью частного положения (Таблица 1). Сечение гранных поверхностей секущей плоскостью частного положения (Таблица 2). Сечение поверхностей вращения секущей плоскостью частного положения (Таблица 3). Сечение полых геометрических фигур секущей плоскостью частного положения (Таблица 4). Сечение геометрических фигур плоскостью общего положения (Таблица 5). 21

22 22

23 23

24 24

25 25

26 26

27 27

28 28

29 29

30 30

31 31

32 32

33 33

34 34

35 35

36 36

37 37

38 38

39 39

40 40

41 41

42 42

43 43

44 44

45 45

46 46

47 47

48 48

49 49

50 50

51 51

52 52

53 53

54 54

55 55

56 56

57 57

58 58

59 59

60 60

61 61

62 Библиографический список 1. Бубенников А.В. Начертательная геометрия. М. : Высшая школа, с. 2. Нартова Л.Г., Якушин В.И. Начертательная геометрия. М. : Дрофа, с. 3. Балягин С.Н. Черчение. М. : АСТ Астрель, с. 4. Засов В.Д., Иконникова Г.С., Крылов Н.Н. Задачник по начертательной геометрии. М. : Высшая школа, с

63 Учебное издание СЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ Методические указания Редактор Ф.А. Ильина Компьютерная верстка Т.А. Дарманской Подписано в печать Формат / 16. Печать офсетная. Усл. печ. л. 4,0. Уч.-изд. л. 4,2. План 2010 г. Тираж 100. Заказ Типография ИрГУПС г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15 Д Л Я З А М Е Т О К 63

64 64

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ухтинский государственный технический университет» (УГТУ) ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА ПРОЕКЦИИ

Федеральное агентство по образованию Ухтинский государственный технический университет КОМПЛЕКТ ЗАДАНИЙ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ Методические указания Ухта 2006 УДК 514.18:55(057) Д 82 Думицкая, Н.

Б. М. Маврин, Е. И. Балаев ИЗОБРАЖЕНИЕ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ Практикум Самара 2005 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ.. Пересечение плоскости с поверхностью частного и общего положения.. Плоскости касательные к поверхности.. Пересечение плоскости с поверхностью частного и общего положения

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

ЛЕКЦИЯ 4. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ 4.. Способ вспомогательных секущих плоскостей Линия пересечения двух поверхностей есть линия, принадлежащая обеим поверхностям. Следовательно, для построения

3 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ Хабаровск 2005 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования 4 «Тихоокеанский государственный

Камчатский государственный технический университет КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ Е.А. Степанова, Н.И. Надольская ПРОЕКЦИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ Методическое пособие для студентов (курсантов) первого курса

ЛЕКЦИЯ 9 9. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ Линия пересечения двух поверхностей в общем виде представляет собой пространственную кривую, которая может распадаться на несколько частей. Надо иметь в виду,

Министерство путей сообщения РФ Департамент кадров и учебных заведений Самарская государственная академия путей сообщения Кафедра «Инженерная графика» СПОСОБЫ ОБРАЗОВАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ИХ ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «Брестский государственный технический университет» Кафедра начертательной геометрии и инженерной графики ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный химико-технологический университет»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Курганский государственный университет» Кафедра «Автоматизация

Министерство путей сообщения Российской Федерации Департамент кадров и учебных заведений САМАРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ Кафедра Инженерной графики Построение линии пересечения двух

3 ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ Хабаровск 4 2004 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Хабаровский государственный

Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина Т. И. Кириллова Л. Ю. Стриганова ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА Расчетно-графическая

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ Преподаватель Студент Группа 1 ПРЕДМЕТ И МЕТОД НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ Начертательная геометрия это один из разделов геометрии, изучающий методы изображения

2868 Поверхности вращения Позиционные и метрические задачи Методические указания для студентов всех специальностей Иваново 2009 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение

Пересечение поверхности плоскостью При пересечении любой поверхности плоскостью получается некоторая плоская фигура, которая называется сечением. Плоскости, с помощью которых получается сечение, называются

МИНИСТЕРСТВО ПУТЕЙ СООБЩЕНИИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЙ Кафедра графики Л.В. Туркина Начертательная геометрия Примеры решения задач Часть 2 Екатеринбург

Б. М. Маврин, Е. И. Балаев ИЗОБРАЖЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ Практикум Самара 2005 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ

1. МЕТОДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ 1. Назовите основные методы проецирования геометрических форм. Приведите схему аппарата проецирования. 2. Какие виды параллельных проекций Вы знаете? Приведите схему аппарата проецирования.

ЛЕКЦИЯ 8 8. КРИВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 8.1. ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ Поверхности вращения образуются вращением линии l вокруг прямой i оси вращения. Они могут быть линейчатыми и нелинейчатыми (криволинейными). Определитель

2811 Построение линий пересечения поверхностей вращения Методические указания для студентов всех специальностей Иваново 2008 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК

Федеральное агенство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Хабаровский государственный технический университет» П О С Т Р О Е Н И Е Л И Н И И

Методические указания по выполнению контрольно-графического задания Студенты в первом семестре, кроме решения задач в рабочей тетради, должны выполнить контрольно-графическое задание, состоящее из семи

ЛЕКЦИЯ 7 7. МНОГОГРАННИКИ. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ С ПЛОСКОСТЬЮ И ПРЯМОЙ. Гранные поверхности это поверхности, образованные перемещением прямолинейной образующей по ломаной линии. Часть этих поверхностей

1 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Брянский государственный технический университет Утверждаю Ректор университета А. В. Лагерев 2007 г. НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА ПОВЕРХНОСТИ. ТОЧКА

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УХТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СЕЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ ПЛОСКОСТЯМИ И РАЗВЁРТКИ ИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ Методические указания по начертательной

Инженерная графика Кривальцевич Татьяна Владимировна Лекция 5 «Пересечение геометрических тел плоскостями. Построение разверток» Омск-2010 Пересечение поверхностей плоскостью Инженерная графика Кривальцевич

Лекция 8 ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ (СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ) Две поверхности пересекаются по линии, которая одновременно принадлежит каждой из них. В зависимости от вида и взаимного

Министерство Российской Федерации по делам гражданской обороны, чрезвычайным ситуациям и ликвидации последствий стихийных бедствий Ивановский институт Государственной противопожарной службы Кафедра процессов

Б. М. Маврин, Е. И. Балаев ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ Практикум Самара 2005 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Начертательная геометрия Методические указания к практическим

Взаимное пересечение поверхностей Все задачи по построению линии пересечения поверхностей подразделяются на три типа: пересечение многогранников; пересечение многогранника с поверхностью вращения; пересечение

Лекция 16. ПРОЕКЦИИ КОНУСА Конус тело вращения. Прямой круговой конус относится к одному из видов тел вращения. Коническая поверхность образуется прямой линией, проходящей через некоторую неподвижную точку

УДК 621.882.(083.131) Составители: Ж.С. Калинина, С.И. Иванова, Ю.В. Скрипкина Рецензент Кандидат технических наук, доцент В.В. Кривошеев ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ: методические указания

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ

Лекция 7 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ С ПЛОСКОСТЬЮ И С ПРЯМОЙ ЛИНИЕЙ В предыдущих лекциях рассматривались чертежи простейших геометрических фигур (точек, прямых, плоскостей) и произвольных кривых линий и поверхностей,

Инженерная графика Кривальцевич Татьяна Владимировна Задания К лекции «Пересечение геометрических тел плоскостями. Построение разверток» Омск-2010 Требования к выполнению заданий: 1. Задание выполнить

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Владивостокский государственный университет экономики и сервиса РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ (Руководство) Владивосток

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Тестовые задания 10 вариант Хабаровск 2014 0 Тема 1. Точка 1. Указать правильный ответ Точка А(70, 20, 15) удалена дальше от 1 плоскости плоскостей П 1 2 плоскости плоскостей П

0 Л.Д. Письменко РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКЕ Ульяновск 2007 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ 1 Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования УЛЬЯНОВСКИЙ

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования Ижевский государственный технический университет имени М.Т. Калашникова Кафедра

Развертки поверхностей Разверткой поверхности называется плоская фигура, полученная в результате совмещения всех точек поверхности с одной плоскостью. Между поверхностью и ее разверткой устанавливается

Б. М. Маврин, Е. И. Балаев СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА Практикум Самара 2005 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ

Б 33. Комплексный чертеж цилиндра вращения. Его определитель Поверхность, образованная прямолинейной образующей l, движущейся параллельно заданному направлению s и пересекающей направляющую m, называется

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Брянский государственный технический университет Утверждаю Ректор университета А. В. Лагерев 2007 г. НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ

ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ... 4 ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ И СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАНИЯ... 5 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ... 5 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ СПОСОБОМ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ... 7 ОПРЕДЕЛЕНИЕ

2484 НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания и контрольные задания на I семестр для студентов-заочников специальности 150406 (170700) Машины и аппараты текстильной и легкой промышленности Иваново

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ - УЧЕБНО- НАУЧНО-ПРОИЗВОДСТВЕННЫЙ КОМПЛЕКС" ФАКУЛЬТЕТ НОВЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КУРГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра начертательной геометрии и графики НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания и контрольные задания

В.И. Коростелев, В.И. Кочетов, С.И. Лазарев ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ В АКСОНОМЕТРИИ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ) З. И. Полякова, Н. А. Сторчак, Н. А. Мишустин, В. Е. Костин,

11. ПОВЕРХНОСТИ. ОБРАЗОВАНИЕ И ЗАДАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ 11.1. Поверхности. Способ образования 11.2. Поверхности вращения 11.3. Точки и прямые линии, принадлежащие поверхности 11.1. Поверхности. Способ образования

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Проектирование и эксплуатация автомобилей» Ж. А. Пьянкова РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛОГОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра начертательной геометрии и графики Начертательная геометрия Плоскости Методические указания и задания для

Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Омский государственный технический университет» ГРАФИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра начертательной геометрии,

Федеральное агентство по образованию Восточно-Сибирский государственный технологический университет Кафедра «Инженерная и компьютерная графика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ по начертательной

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Инженерная графика» ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА Методические рекомендации к практическим занятиям для

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ижевский государственный технический университет имени М.Т Калашникова (ФГБОУ ВПО