Ein Prozent ist ein Hundertstel einer Zahl. Dieses Konzept wird verwendet, wenn es notwendig ist, das Verhältnis eines Anteils zu einem Ganzen anzugeben. Darüber hinaus können mehrere Werte als Prozentwerte verglichen werden, wobei zwangsläufig angegeben wird, auf welche ganze Zahl bezogen die Prozentsätze berechnet werden. Beispielsweise sind die Ausgaben um 10 % höher als die Einnahmen oder der Preis für Bahntickets ist um 15 % im Vergleich zu den Fahrpreisen des Vorjahres gestiegen. Ein Prozentsatz über 100 bedeutet, dass der Anteil größer ist als das Ganze, wie es häufig bei statistischen Berechnungen der Fall ist.

Zinsen als Finanzkonzept - Zahlung, die der Kreditnehmer an den Kreditgeber für die Bereitstellung von Geld zur vorübergehenden Verwendung stellt. In der Wirtschaft gibt es einen Ausdruck "für Interesse arbeiten". BEI dieser Fall es versteht sich, dass die Höhe der Vergütung gewinn- bzw. umsatzabhängig ist (Provision). Es ist unmöglich, auf die Berechnung von Zinsen in Buchhaltung, Geschäft, Banken. Um die Berechnungen zu vereinfachen, wurde ein Online-Prozentrechner entwickelt.

Mit dem Rechner können Sie Folgendes berechnen:

• Prozentsatz des eingestellten Werts.
• Prozentsatz des Betrags (Steuer auf das tatsächliche Gehalt).
• Prozentsatz der Differenz (MwSt. von ).
• Und vieles mehr...

Beim Lösen von Aufgaben auf einem Prozentrechner müssen Sie mit drei Werten operieren, von denen einer unbekannt ist (gem gegebenen Parameter Variable berechnet). Das Berechnungsszenario sollte anhand der vorgegebenen Bedingungen ausgewählt werden.

Berechnungsbeispiele

1. Berechnen Sie den Prozentsatz einer Zahl

Um eine Zahl zu finden, die 25 % von 1.000 Rubel beträgt, benötigen Sie:

• 1.000 × 25 / 100 = 250 Rubel
• Oder 1.000 × 0,25 = 250 Rubel.

Um mit einem normalen Taschenrechner zu rechnen, müssen Sie 1.000 mit 25 multiplizieren und die %-Taste drücken.

2. Definition einer Ganzzahl (100%)

Wir wissen, dass 250 Rubel. ist 25% einer bestimmten Zahl. Wie berechnet man es?

Machen wir eine einfache Proportion:

• 250 Rubel. - 25%
• Y reiben. - 100 %
• Y \u003d 250 × 100 / 25 \u003d 1.000 Rubel.

3. Prozent zwischen zwei Zahlen

Angenommen, es wurde ein Gewinn von 800 Rubel angenommen, aber sie erhielten 1.040 Rubel. Wie hoch ist der Überschussprozentsatz?

Der Anteil wird sein:

• 800 reiben. - 100 %
• RUB 1.040 – Y%
• Y = 1040 × 100 / 800 = 130 %

Übererfüllung des Gewinnplans - 30%, dh Umsetzung - 130%.

4. Berechnung nicht aus 100%

Ein Geschäft mit drei Abteilungen wird beispielsweise von 100 % der Kunden besucht. In der Lebensmittelabteilung - 800 Personen (67%), in der Abteilung für Haushaltschemikalien - 55. Wie viel Prozent der Käufer kommen in die Abteilung für Haushaltschemikalien?

Anteil:

• 800 Besucher - 67 %
• 55 Besucher - Y %
• Y = 55 × 67 / 800 = 4,6 %

5. Wie viel Prozent ist eine Zahl kleiner als eine andere

Der Preis der Ware fiel von 2.000 auf 1.200 Rubel. Um wie viel Prozent ist die Ware billiger geworden oder um wie viel Prozent sind 1.200 weniger als 2.000?

• 2 000 - 100 %
• 1 200 – Y%
• Y = 1200 × 100 / 2000 = 60 % (60 % bis 1200 von 2000)
• 100 % − 60 % = 40 % (Zahl 1200 ist 40 % kleiner als 2000)

6. Um wie viel Prozent ist eine Zahl größer als eine andere

Das Gehalt stieg von 5.000 auf 7.500 Rubel. Um wie viel Prozent hat sich das Gehalt erhöht? Wie viel Prozent sind 7.500 mehr als 5.000?

• 5 000 Rubel. - 100 %
• 7 500 reiben. - Y %
• Y = 7.500 × 100 / 5.000 = 150 % (in der Abbildung sind 7.500 150 % von 5.000)
• 150 % - 100 % = 50 % (die Zahl 7.500 ist 50 % größer als 5.000)

7. Erhöhen Sie die Zahl um einen bestimmten Prozentsatz

Der Preis der Ware S ist höher als 1.000 Rubel. um 27 %. Was ist der Preis des Artikels?

• 1 000 Rubel. - 100 %
• S - 100 % + 27 %
• S \u003d 1.000 × (100 + 27) / 100 \u003d 1.270 Rubel.

Der Online-Rechner macht Berechnungen viel einfacher: Sie müssen die Art der Berechnung auswählen, die Zahl und den Prozentsatz eingeben (im Fall der Berechnung Prozentsatz- die zweite Zahl), geben Sie die Genauigkeit der Berechnung an und geben Sie einen Befehl zum Starten von Aktionen.

Heute setzen wir eine Reihe von Video-Tutorials zu Prozentaufgaben aus der Einheitlichen Staatsprüfung in Mathematik fort. Insbesondere werden wir zwei vollständig analysieren echte Aufgaben aus dem Einheitlichen Staatsexamen und wir werden noch einmal sehen, wie wichtig es ist, die Problemstellung genau zu lesen und richtig zu interpretieren.

Die erste Aufgabe lautet also:

Eine Aufgabe. Nur 95 % und 37.500 Absolventen der Stadt haben Aufgabe B1 richtig gelöst. Wie viele Personen haben Aufgabe B1 richtig gelöst?

Auf den ersten Blick scheint dies eine Art Aufgabe für die Kappen zu sein. Wie:

Eine Aufgabe. Es waren 7 Vögel auf dem Baum. 3 von ihnen flogen weg. Wie viele Vögel sind geflogen?

Lassen Sie uns jedoch rechnen. Wir werden nach der Methode der Proportionen lösen. Wir haben also 37.500 Studenten – das sind 100 %. Außerdem gibt es eine bestimmte Anzahl x Schüler, das sind 95 % der sehr Glücklichen, die Aufgabe B1 richtig gelöst haben. Wir schreiben es auf:

37 500 — 100%
X - 95 %

Sie müssen eine Proportion machen und x finden. Wir bekommen:

Vor uns klassische Proportion, aber bevor ich die Haupteigenschaft verwende und sie kreuzweise multipliziere, schlage ich vor, beide Teile der Gleichung durch 100 zu teilen. Mit anderen Worten, wir streichen zwei Nullen im Zähler jedes Bruchs. Schreiben wir die resultierende Gleichung um:

Nach der Grundeigenschaft der Proportionalität ist das Produkt der Extremglieder gleich dem Produkt der Mittelglieder. Mit anderen Worten:

x = 375 95

Es ist hübsch große Zahlen, also müssen Sie sie mit einer Spalte multiplizieren. Ich erinnere Sie daran, dass es strengstens verboten ist, einen Taschenrechner in der Prüfung in Mathematik zu verwenden. Wir bekommen:

x = 35625

Gesamtantwort: 35 625. So viele der ursprünglich 37 500 Personen haben Problem B1 richtig gelöst. Wie Sie sehen können, liegen diese Zahlen ziemlich nahe beieinander, was sinnvoll ist, da 95 % auch sehr nahe an 100 % liegen. In der Regel ist die erste Aufgabe gelöst. Kommen wir zum zweiten.

Zinsproblem Nr. 2

Eine Aufgabe. Nur 80 % der 45.000 Absolventen der Stadt haben die Aufgabe B9 richtig gelöst. Wie viele Leute haben Aufgabe B9 falsch gelöst?

Wir lösen auf die gleiche Weise. Am Anfang waren es 45.000 Absolventen – das sind 100 %. Aus dieser Zahl müssen dann x Absolventen ausgewählt werden, die 80 % der ursprünglichen Zahl betragen sollten. Wir machen eine Proportion und lösen:

45 000 — 100%
x - 80 %

Lassen Sie uns eine Null im Zähler und Nenner des 2. Bruchs reduzieren. Lassen Sie uns die resultierende Konstruktion noch einmal umschreiben:

Die Haupteigenschaft der Proportionen: Das Produkt der äußersten Terme ist gleich dem Produkt der mittleren. Wir bekommen:

45.000 8 = x 10

Es ist das einfachste lineare Gleichung. Lassen Sie uns die Variable x daraus ausdrücken:

x = 45.000 8:10

Wir reduzieren eine Null bei 45.000 und bei 10 bleibt der Nenner eins, also brauchen wir nur den Wert des Ausdrucks zu finden:

x = 4500 8

Sie können natürlich dasselbe tun wie letztes Mal, und multiplizieren Sie diese Zahlen mit einer Spalte. Aber machen wir uns das Leben nicht schwer und statt mit einer Spalte zu multiplizieren, zerlegen wir die Acht in Faktoren:

x = 4500 2 2 2 = 9000 2 2 = 36.000

Und jetzt - das Wichtigste, worüber ich ganz am Anfang der Lektion gesprochen habe. Sie müssen den Zustand des Problems sorgfältig lesen!

Was müssen wir wissen? Wie viele Menschen haben Problem B9 gelöst nicht richtig. Und wir haben gerade die Leute gefunden, die richtig entschieden haben. Diese stellten sich als 80% heraus ursprüngliche Nummer, d.h. 36.000. Das heißt, um die endgültige Antwort zu erhalten, müssen unsere 80 % von der ursprünglichen Schülerzahl abgezogen werden. Wir bekommen:

45 000 − 36 000 = 9000

Die resultierende Zahl 9000 ist die Antwort auf das Problem. Insgesamt haben in dieser Stadt von 45.000 Absolventen 9.000 Menschen Problem B9 falsch gelöst. Alles, die Aufgabe ist gelöst.

Aus mathematischer Sicht ist eine Proportion die Gleichheit zweier Verhältnisse. Die gegenseitige Abhängigkeit ist charakteristisch für alle Teile des Anteils sowie für ihr unveränderliches Ergebnis. Sie können verstehen, wie man eine Proportion macht, indem Sie sich mit den Eigenschaften und der Formel der Proportion vertraut machen. Um das Prinzip der Lösung von Proportionen zu verstehen, reicht es aus, ein Beispiel zu betrachten. Nur durch direktes Lösen von Proportionen können Sie diese Fähigkeiten einfach und schnell erlernen. Und dieser Artikel wird dem Leser dabei helfen.

Proportionseigenschaften und Formel

1. Umkehrung der Proportionen. Für den Fall, dass die gegebene Gleichheit wie 1a: 2b = 3c: 4d aussieht, schreibe 2b: 1a = 4d: 3c. (Außerdem sind 1a, 2b, 3c und 4d Primzahlen, außer 0).
2. Multiplikation gegebenen Mitglieder Querproportionen. BEI wörtlicher Ausdruck es sieht so aus: 1a: 2b = 3c: 4d, und das Schreiben von 1a4d = 2b3c entspricht dem. Somit ist das Produkt der Extremteile immer beliebig proportional (Zahlen an den Kanten gleich). dem Produkt gleich Mittelteile (Zahlen in der Mitte der Gleichheit).
3. Bei der Zusammenstellung eines Anteils kann auch eine solche Eigenschaft wie eine Permutation der extremen und mittleren Terme nützlich sein. Die Gleichheitsformel 1a: 2b = 3c: 4d kann auf folgende Weise dargestellt werden:
   • 1a: 3c = 2b: 4d (wenn die mittleren Elemente des Anteils neu angeordnet werden).
   • 4d: 2b = 3c: 1a (wenn die äußersten Mitglieder des Anteils neu angeordnet werden).
4. Hilft perfekt bei der Lösung des Anteils seiner Eigenschaft der Zunahme und Abnahme. Mit 1a: 2b = 3c: 4d schreibe:
   • (1a + 2b) : 2b = (3c + 4d) : 4d (Gleichheit durch zunehmenden Anteil).
   • (1a - 2b) : 2b = (3c - 4d) : 4d (Gleichheit durch abnehmenden Anteil).
5. Sie können Proportionen durch Addieren und Subtrahieren erstellen. Wenn das Verhältnis als 1a:2b = 3c:4d geschrieben wird, dann:
   • (1a + 3c) : (2b + 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (der Anteil wird addiert).
   • (1a - 3c) : (2b - 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (der Anteil wird subtrahiert).
6. Wenn Sie einen Anteil lösen, der Bruchzahlen oder große Zahlen enthält, können Sie auch beide Mitglieder durch dividieren oder multiplizieren die gleiche Nummer. Die Komponenten des Verhältnisses 70:40=320:60 können beispielsweise so geschrieben werden: 10*(7:4=32:6).
7. Die Variante, den Anteil mit Prozenten zu lösen, sieht so aus. Schreiben Sie zum Beispiel auf: 30 = 100 %, 12 = x. Jetzt sollten Sie die mittleren Terme (12 * 100) multiplizieren und durch das bekannte Extrem (30) dividieren. Die Antwort lautet also: x=40%. Auf eine ähnliche Art und Weise Es ist möglich, falls erforderlich, die bekannten Extremwerte zu multiplizieren und sie durch eine bestimmte Durchschnittszahl zu dividieren, um das gewünschte Ergebnis zu erhalten.

Wenn Sie an einer bestimmten Proportionsformel interessiert sind, dann ist die Proportion in der einfachsten und gebräuchlichsten Version eine solche Gleichheit (Formel): a / b \u003d c / d, wobei a, b, c und d vier nicht sind -Null Zahlen.

§ 125. Der Begriff der Proportion.

Proportion ist die Gleichheit zweier Verhältnisse. Hier sind Beispiele für Gleichheiten, die als Proportionen bezeichnet werden:

Notiz. Die Namen der Mengen in den Anteilen sind nicht angegeben.

Proportionen werden normalerweise wie folgt gelesen: 2 steht in Beziehung zu 1 (eins), während 10 zu 5 (der erste Anteil) in Beziehung steht. Sie können es auch anders lesen, zum Beispiel: 2 ist so oft größer als 1, wie oft ist 10 größer als 5. Der dritte Anteil kann wie folgt gelesen werden: - 0,5 ist so oft kleiner als 2, wie oft 0,75 ist kleiner als 3.

Die Zahlen in einem Verhältnis werden aufgerufen Mitglieder des Anteils. Daher besteht der Anteil aus vier Termen. Die ersten und letzten Stäbe, also die an den Rändern stehenden Stäbe, werden gerufen extrem, und die Terme des Anteils, die sich in der Mitte befinden, werden aufgerufen Durchschnitt Mitglieder. Das bedeutet, dass im ersten Anteil die Zahlen 2 und 5 die äußersten Mitglieder und die Zahlen 1 und 10 die mittleren Mitglieder des Anteils sind.

§ 126. Die Haupteigenschaft der Proportion.

Betrachten Sie den Anteil:

Wir multiplizieren seine extremen und mittleren Terme separat. Das Produkt des Extrems 6 4 \u003d 24, das Produkt des Durchschnitts 3 8 \u003d 24.

Betrachten Sie ein anderes Verhältnis: 10: 5 \u003d 12: 6. Wir multiplizieren hier auch getrennt die extremen und mittleren Terme.

Das Produkt des Extrems 10 6 \u003d 60, das Produkt des Durchschnitts 5 12 \u003d 60.

Die Haupteigenschaft der Proportion: das Produkt der äußersten Terme des Anteils ist gleich dem Produkt seiner mittleren Terme.

BEI Gesamtansicht Die Haupteigenschaft des Anteils wird wie folgt geschrieben: ad = bc .

Lassen Sie uns es auf mehrere Proportionen überprüfen:

1) 12: 4 = 30: 10.

Dieses Verhältnis ist wahr, da die Verhältnisse, aus denen es zusammengesetzt ist, gleich sind. Wenn wir gleichzeitig das Produkt der äußersten Terme des Anteils (12 10) und das Produkt seiner mittleren Terme (4 30) nehmen, werden wir sehen, dass sie einander gleich sind, d.h.

12 10 = 4 30.

2) 1 / 2: 1 / 48 = 20: 5 / 6

Die Proportion stimmt, was leicht zu überprüfen ist, indem man die erste und zweite Relation vereinfacht. Die Haupteigenschaft des Anteils hat die Form:

1 / 2 5 / 6 = 1 / 48 20

Es ist leicht einzusehen, dass, wenn wir eine solche Gleichheit schreiben, bei der das Produkt zweier beliebiger Zahlen auf der linken Seite und das Produkt zweier anderer Zahlen auf der rechten Seite steht, dann aus diesen vier Zahlen Sie können einen Anteil machen.

Lassen Sie uns eine Gleichheit haben, die vier Zahlen enthält, die paarweise multipliziert werden:

diese vier Zahlen können Mitglieder einer Proportion sein, was nicht schwer zu schreiben ist, wenn wir das erste Produkt als das Produkt der äußersten Glieder und das zweite als das Produkt der mittleren nehmen. Die publizierte Gleichheit kann beispielsweise wie folgt erfolgen:

Im Allgemeinen aus Gleichberechtigung ad = bc Sie können die folgenden Proportionen erhalten:

Führen Sie die folgende Übung alleine durch. Geben Sie für das Produkt zweier Zahlenpaare den Anteil an, der jeder Gleichheit entspricht:

a) 1 6 = 2 3;

b) 2 15 = b 5.

§ 127. Berechnung unbekannter Mitglieder des Anteils.

Die Haupteigenschaft des Anteils ermöglicht es Ihnen, alle Terme des Anteils zu berechnen, wenn sie unbekannt sind. Nehmen wir den Anteil:

X : 4 = 15: 3.

Bei diesem Anteil ist ein Extremwert unbekannt. Wir wissen, dass das Produkt der äußersten Glieder in jedem Verhältnis gleich dem Produkt der mittleren Glieder ist. Auf dieser Grundlage können wir schreiben:

x 3 = 4 15.

Nachdem wir 4 mit 15 multipliziert haben, können wir diese Gleichung wie folgt umschreiben:

X 3 = 60.

Schauen wir uns diese Gleichheit an. Darin ist der erste Faktor unbekannt, der zweite Faktor bekannt und das Produkt bekannt. Wir wissen, dass es ausreicht, das Produkt durch einen anderen (bekannten) Faktor zu dividieren, um einen unbekannten Faktor zu finden. Dann stellt sich heraus:

X = 60:3, bzw X = 20.

Lassen Sie uns das gefundene Ergebnis überprüfen, indem wir die Zahl 20 anstelle von ersetzen X in diesem Verhältnis:

Das Verhältnis stimmt.

Lassen Sie uns darüber nachdenken, welche Aktionen wir ausführen mussten, um den unbekannten Extremwert des Anteils zu berechnen. Von den vier Mitgliedern der Proportion war uns nur ein Extrem unbekannt; zwei mittlere und zweite extreme waren bekannt. Um den extremen Term des Anteils zu finden, multiplizierten wir zuerst die mittleren Terme (4 und 15) und dividierten dann das gefundene Produkt durch den bekannten extremen Term. Nun zeigen wir, dass sich die Wirkungen nicht ändern würden, wenn der gewünschte Extremwert der Proportion nicht an erster Stelle, sondern an letzter Stelle stünde. Nehmen wir den Anteil:

70: 10 = 21: X .

Schreiben wir die Haupteigenschaft des Anteils auf: 70 X = 10 21.

Durch Multiplizieren der Zahlen 10 und 21 schreiben wir die Gleichheit in diese Form um:

70 X = 210.

Ein Faktor ist hier unbekannt, um ihn zu berechnen, reicht es, das Produkt (210) durch einen anderen Faktor (70) zu teilen,

X = 210: 70; X = 3.

Somit können wir das sagen jedes extreme Mitglied des Anteils ist gleich dem Produkt der Durchschnittswerte dividiert durch das andere Extrem.

Fahren wir nun mit der Berechnung des unbekannten Mittelwerts fort. Nehmen wir den Anteil:

30: X = 27: 9.

Schreiben wir die Haupteigenschaft des Anteils:

30 9 = X 27.

Wir berechnen das Produkt von 30 mal 9 und ordnen die Teile der letzten Gleichheit neu an:

X 27 = 270.

Lassen Sie uns den unbekannten Faktor finden:

X = 270: 27, oder X = 10.

Lassen Sie uns mit einer Substitution überprüfen:

30:10 = 27:9 Das Verhältnis stimmt.

Nehmen wir eine andere Proportion:

12:b= X : 8. Schreiben wir die Haupteigenschaft des Anteils:

12 . 8 = 6 X . Wenn wir 12 und 8 multiplizieren und die Teile der Gleichung neu anordnen, erhalten wir:

6 X = 96. Finden Sie den unbekannten Faktor:

X = 96:6, bzw X = 16.

Auf diese Weise, jeder mittleres Glied Anteil ist gleich dem Produkt der Extreme, dividiert durch einen anderen Durchschnitt.

Finden Sie die unbekannten Terme mit den folgenden Proportionen:

1) a : 3= 10:5; 3) 2: 1 / 2 = x : 5;

2) 8: b = 16: 4; 4) 4: 1 / 3 = 24: X .

Zwei neuesten Regeln allgemein kann man es so schreiben:

1) Wenn das Verhältnis so aussieht:

x: a = b: c , dann

2) Wenn das Verhältnis so aussieht:

a:x = b:c , dann

§ 128. Vereinfachung der Proportion und Neuordnung seiner Mitglieder.

In diesem Abschnitt werden wir Regeln ableiten, die es uns ermöglichen, die Proportionen zu vereinfachen, wenn sie große Zahlen oder Bruchzahlen enthalten. Transformationen, die den Anteil nicht verletzen, umfassen Folgendes:

1. Gleichzeitiges Erhöhen oder Verringern beider Mitglieder eines beliebigen Verhältnisses um die gleiche Anzahl von Malen.

BEISPIEL 40:10 = 60:15.

Indem wir beide Terme der ersten Relation mit 3 multiplizieren, erhalten wir:

120:30 = 60: 15.

Der Anteil hat sich nicht geändert.

Wenn wir beide Terme der zweiten Beziehung um das Fünffache verringern, erhalten wir:

Wir haben wieder das richtige Verhältnis.

2. Gleichzeitige Erhöhung oder Verringerung beider vorangehender oder beider nachfolgender Terme in gleicher Anzahl.

Beispiel. 16:8 = 40:20.

Lassen Sie uns die vorherigen Mitglieder beider Beziehungen verdoppeln:

Habe das richtige Verhältnis.

Lassen Sie uns die nächsten Terme beider Relationen um das 4-fache reduzieren:

Der Anteil hat sich nicht geändert.

Die beiden erhaltenen Schlussfolgerungen können wie folgt zusammengefasst werden: Die Proportion wird nicht verletzt, wenn wir gleichzeitig irgendein extremes Mitglied der Proportion und irgendein mittleres um die gleiche Anzahl von Malen erhöhen oder verringern.

Wenn wir beispielsweise das 1. Extrem und das 2. Mittelelement des Verhältnisses 16:8 = 40:20 um das Vierfache reduzieren, erhalten wir:

3. Gleichzeitige Erhöhung oder Verringerung aller Mitglieder des Anteils um die gleiche Anzahl von Malen. Beispiel. 36:12 = 60:20. Erhöhen wir alle vier Zahlen um das Zweifache:

Der Anteil hat sich nicht geändert. Lassen Sie uns alle vier Zahlen um das Vierfache reduzieren:

Das Verhältnis stimmt.

Die aufgeführten Transformationen ermöglichen es, die Proportionen erstens zu vereinfachen und zweitens von Bruchgliedern zu befreien. Lassen Sie uns Beispiele geben.

1) Es gebe einen Anteil:

200: 25 = 56: x .

Darin sind die Terme der ersten Relation relativ große Zahlen, und wenn wir den Wert finden wollten X , dann müssten wir Berechnungen mit diesen Zahlen durchführen; aber wir wissen, dass die Proportion nicht verletzt wird, wenn beide Terme des Verhältnisses durch dieselbe Zahl geteilt werden. Teilen Sie jeden von ihnen durch 25. Der Anteil nimmt die Form an:

8:1 = 56: x .

Wir haben somit ein bequemeres Verhältnis erhalten, von dem X findet man im Kopf:

2) Nehmen Sie den Anteil:

2: 1 / 2 = 20: 5.

In diesem Verhältnis gibt es einen Bruchteil (1 / 2), von dem Sie loswerden können. Dazu müssen wir diesen Term beispielsweise mit 2 multiplizieren. Aber wir haben nicht das Recht, den mittleren Term des Anteils zu erhöhen; es ist notwendig, zusammen damit einen der extremen Terme zu erhöhen; dann wird die Proportion nicht verletzt (basierend auf den ersten beiden Punkten). Erhöhen wir den ersten der extremen Terme

(2 2) : (2 1 / 2) = 20:5 oder 4:1 = 20:5.

Erhöhen wir den zweiten extremen Term:

2: (2 1 / 2) = 20: (2 5) oder 2: 1 = 20: 10.

Betrachten wir drei weitere Beispiele für die Befreiung des Anteils von Teilelementen.

Beispiel 1. 1/4: 3/8 = 20:30.

Bringe die Brüche zu gemeinsamer Nenner:

2 / 8: 3 / 8 = 20: 30.

Multiplizieren wir beide Terme der ersten Relation mit 8, erhalten wir:

Beispiel 2. 12: 15 / 14 \u003d 16: 10 / 7. Bringen wir die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner:

12: 15 / 14 = 16: 20 / 14

Wir multiplizieren beide nachfolgenden Terme mit 14, wir erhalten: 12:15 \u003d 16:20.

Beispiel 3. 1/2: 1/48 = 20: 5/6.

Lassen Sie uns alle Terme des Anteils mit 48 multiplizieren:

24: 1 = 960: 40.

Beim Lösen von Problemen, bei denen einige Proportionen vorkommen, ist es oft notwendig, die Begriffe der Proportionen für andere Zwecke neu zu ordnen. Überlegen Sie, welche Permutationen zulässig sind, d. h. die Proportionen nicht verletzen. Nehmen wir den Anteil:

3: 5 = 12: 20. (1)

Wenn wir die extremen Terme darin neu anordnen, erhalten wir:

20: 5 = 12:3. (2)

Wir ordnen nun die mittleren Terme neu:

3:12 = 5: 20. (3)

Wir ordnen sowohl die extremen als auch die mittleren Terme gleichzeitig neu:

20: 12 = 5: 3. (4)

Alle diese Proportionen sind korrekt. Setzen wir nun die erste Relation an die Stelle der zweiten und die zweite an die Stelle der ersten. Holen Sie sich den Anteil:

12: 20 = 3: 5. (5)

In diesem Verhältnis werden wir die gleichen Permutationen wie zuvor vornehmen, d.h. wir werden zuerst die extremen Terme neu anordnen, dann die mittleren und schließlich sowohl die extremen als auch die mittleren gleichzeitig. Es ergeben sich drei weitere Proportionen, die ebenfalls fair sein werden:

5: 20 = 3: 12. (6)

12: 3 = 20: 5. (7)

5: 3 = 20: 12. (8)

Aus einer gegebenen Proportion erhält man also durch Umstellen 7 weitere Proportionen, die zusammen mit dieser 8 Proportionen ergeben.

Die Gültigkeit all dieser Proportionen zeigt sich besonders leicht, wenn Briefeingabe. Die oben erhaltenen 8 Proportionen haben die Form:

a:b = c:d; c:d = a:b;

d:b = c:a; b:d = a:c;

a:c = b:d; c:a = d:b;

d:c=b:a; b:a = d:c.

Es ist leicht zu sehen, dass die Haupteigenschaft in jedem dieser Verhältnisse die Form annimmt:

ad = b.c.

Somit verletzen diese Permutationen nicht die Fairness des Anteils und können bei Bedarf verwendet werden.

Im letzten Video-Tutorial haben wir darüber nachgedacht, Prozentaufgaben mit Proportionen zu lösen. Dann mussten wir je nach Zustand des Problems den Wert der einen oder anderen Größe finden.

Diesmal sind uns bereits die Anfangs- und Endwerte vorgegeben. Daher müssen in Aufgaben Prozentsätze gefunden werden. Genauer gesagt, um wie viel Prozent hat sich dieser oder jener Wert geändert. Lass es uns versuchen.

Eine Aufgabe. Turnschuhe kosten 3200 Rubel. Nach der Preiserhöhung kosteten sie 4000 Rubel. Um wie viel Prozent wurde der Preis der Turnschuhe erhöht?

Also lösen wir durch Proportionen. Der erste Schritt - der ursprüngliche Preis betrug 3200 Rubel. Daher sind 3200 Rubel 100%.

Außerdem erhielten wir den Endpreis - 4000 Rubel. Dies ist ein unbekannter Prozentsatz, also bezeichnen wir ihn als x . Wir erhalten folgende Konstruktion:

3200 — 100%
4000 - x%

Nun, der Zustand des Problems wird aufgeschrieben. Wir machen einen Anteil:

Der Bruch auf der linken Seite wird perfekt um 100 gekürzt: 3200: 100 = 32; 4000: 100 = 40. Zusätzlich kann man um 4: 32: 4 = 8 reduzieren; 40: 4 = 10. Wir erhalten das folgende Verhältnis:

Verwenden wir die Grundeigenschaft der Proportionen: Das Produkt der äußersten Terme ist gleich dem Produkt der mittleren. Wir bekommen:

8 x = 100 10;
8x = 1000.

Dies ist die übliche lineare Gleichung. Von hier aus finden wir x :

x=1000:8=125

Wir haben also den endgültigen Prozentsatz x = 125. Aber ist die Zahl 125 die Lösung des Problems? Auf keinen Fall! Denn die Aufgabe erfordert, dass Sie herausfinden, um wie viel Prozent der Preis für Turnschuhe erhöht wurde.

Um wie viel Prozent - das bedeutet, dass wir die Änderung finden müssen:

∆ = 125 − 100 = 25

Wir haben 25% bekommen - um so viel wurde der ursprüngliche Preis erhöht. Das ist die Antwort: 25.

Problem B2 für Interesse Nr. 2

Kommen wir zur zweiten Aufgabe.

Eine Aufgabe. Das Hemd kostete 1800 Rubel. Nach der Preissenkung begann es 1530 Rubel zu kosten. Um wie viel Prozent wurde der Preis des Hemdes reduziert?

Wir übersetzen die Bedingung in mathematische Sprache. Der Anfangspreis von 1800 Rubel beträgt 100%. Und der Endpreis beträgt 1530 Rubel - wir wissen es, aber es ist nicht bekannt, wie viel Prozent es vom ursprünglichen Wert ist. Deshalb bezeichnen wir es mit x. Wir erhalten folgende Konstruktion:

1800 — 100%
1530 - x%

Basierend auf dem resultierenden Datensatz bilden wir den Anteil:

Lassen Sie uns beide Teile trennen, um weitere Berechnungen zu vereinfachen. gegebene Gleichung durch 100. Mit anderen Worten, der Zähler des linken und rechten Bruchteil Wir streichen zwei Nullen durch. Wir bekommen:

Wenden wir uns nun wieder der Grundeigenschaft der Proportionen zu: Das Produkt der extremen Terme ist gleich dem Produkt der durchschnittlichen.

18 x = 1530 1;
18x = 1530.

Es bleibt x zu finden:

x = 1530: 18 = (765 2) : (9 2) = 765: 9 = (720 + 45) : 9 = 720: 9 + 45: 9 = 80 + 5 = 85

Wir haben x = 85. Aber wie bei der vorherigen Aufgabe ist diese Zahl an sich nicht die Antwort. Kommen wir zurück zu unserem Zustand. Wir wissen jetzt, dass der neue Preis nach der Kürzung 85 % des alten Preises beträgt. Und um die Änderungen zu finden, brauchen Sie vom alten Preis, d.h. 100 %, abziehen neuer Preis, d.h. 85%. Wir bekommen:

∆ = 100 − 85 = 15

Diese Zahl wird die Antwort sein: Achtung: genau 15, auf keinen Fall 85. Das ist alles! Problem gelöst.

Aufmerksame Schüler werden sicherlich fragen: Warum haben wir bei der ersten Aufgabe beim Finden der Differenz die Anfangszahl von der Endzahl abgezogen und bei der zweiten Aufgabe genau das Gegenteil: Von den anfänglichen 100 % haben wir die letzten 85 % abgezogen?

Lassen Sie uns das klären. Formal ist in der Mathematik die Mengenänderung immer die Differenz zwischen endgültiger Wert und initial. Mit anderen Worten, im zweiten Problem hätten wir nicht 15, sondern -15 bekommen sollen.

Dieses Minus sollte jedoch auf keinen Fall in die Antwort aufgenommen werden, da es bereits in der Bedingung des ursprünglichen Problems berücksichtigt wurde. Dort steht der Preisnachlass drin. Eine Preissenkung von 15 % entspricht einer Preiserhöhung von -15 %. Deshalb reicht es in der Lösung und Beantwortung des Problems aus, nur 15 zu schreiben - ohne Minuspunkte.

Alle, so hoffe ich, haben wir in diesem Moment verstanden. Damit endet unsere Lektion für heute. Bis bald!