Wenn ein Student zu geht weiterführende Schule, Mathematik ist in 2 Fächer unterteilt: Algebra und Geometrie. Es gibt immer mehr Konzepte, Aufgaben werden schwieriger. Manche Menschen haben Schwierigkeiten, Brüche zu verstehen. Die erste Lektion zu diesem Thema verpasst, und voila. Brüche? Eine Frage, die das ganze Schulleben lang quälen wird.

Das Konzept des algebraischen Bruchs

Beginnen wir mit einer Definition. Unter algebraischer Bruch P/Q-Ausdrücke werden verstanden, wobei P der Zähler und Q der Nenner ist. Unter alphabetische Notation kann eine Zahl, einen numerischen Ausdruck, einen numerisch-alphabetischen Ausdruck verbergen.

Bevor Sie sich fragen, wie Sie es lösen können algebraische Brüche Das muss man erstmal verstehen ähnlicher Ausdruck- Teil des Ganzen.

In der Regel ist das Ganze 1. Die Zahl im Nenner gibt an, in wie viele Teile die Einheit geteilt wurde. Der Zähler wird benötigt, um herauszufinden, wie viele Elemente genommen werden. Der Bruchstrich entspricht dem Divisionszeichen. Aufnahme erlaubt gebrochener Ausdruck als mathematische Operation "Division". In diesem Fall ist der Zähler der Dividende, der Nenner der Divisor.

Die Grundregel für gemeinsame Brüche

Wenn die Schüler bestehen dieses Thema In der Schule werden ihnen Beispiele zur Vertiefung gegeben. Sie richtig zu lösen und zu finden verschiedene Wege aus schwierige Situationen, müssen Sie die grundlegende Eigenschaft von Brüchen anwenden.

Es hört sich so an: Wenn Sie sowohl den Zähler als auch den Nenner mit derselben Zahl oder demselben Ausdruck (außer Null) multiplizieren, dann ist der Wert gemeinsamer Bruchteil Wird sich nicht ändern. Ein Sonderfall aus diese Regel ist die Teilung beider Teile des Ausdrucks in dieselbe Zahl oder dasselbe Polynom. Solche Transformationen heißen identische Gleichheiten.

Im Folgenden werden wir betrachten, wie man die Addition und Subtraktion von algebraischen Brüchen löst, um Multiplikationen, Divisionen und Kürzungen von Brüchen durchzuführen.

Mathematische Operationen mit Brüchen

Überlegen Sie, wie Sie die Haupteigenschaft eines algebraischen Bruchs lösen und wie Sie sie in der Praxis anwenden können. Wenn Sie zwei Brüche multiplizieren, addieren, durcheinander dividieren oder subtrahieren müssen, müssen Sie immer die Regeln befolgen.

Für die Operation der Addition und Subtraktion sollte man also finden zusätzlicher Multiplikator zum Ausdruck bringen gemeinsamer Nenner. Wenn anfangs die Brüche mit angegeben sind dieselben Ausdrücke F, dann müssen Sie diesen Punkt weglassen. Wenn ein gemeinsamer Nenner gefunden ist, wie löst man algebraische Brüche? Zähler addieren oder subtrahieren. Aber! Zu beachten ist, dass bei einem „-“-Zeichen vor dem Bruch alle Vorzeichen im Zähler vertauscht sind. Manchmal sollten Sie keine Substitutionen vornehmen und mathematische Operationen. Es genügt, das Vorzeichen vor dem Bruch zu ändern.

Der Begriff wird oft als verwendet Fraktionsreduktion. Das bedeutet Folgendes: Werden Zähler und Nenner durch einen anderen Ausdruck als Eins dividiert (für beide Teile gleich), so erhält man einen neuen Bruch. Dividende und Divisor sind kleiner als zuvor, bleiben aber aufgrund der Bruchgrundregel gleich dem ursprünglichen Beispiel.

Der Zweck dieser Operation besteht darin, einen neuen irreduziblen Ausdruck zu erhalten. Entscheiden diese Aufgabe möglich, wenn wir Zähler und Nenner auf das Größte reduzieren gemeinsamer Teiler. Der Betriebsalgorithmus besteht aus zwei Punkten:

1. Ermitteln des ggT für beide Teile eines Bruchs.
2. Dividieren des Zählers und Nenners durch den gefundenen Ausdruck und Erhalten eines irreduziblen Bruchs, der dem vorherigen entspricht.

Die folgende Tabelle zeigt die Formeln. Der Einfachheit halber können Sie es ausdrucken und in einem Notizbuch mit sich führen. Damit es aber in Zukunft beim Lösen einer Kontrolle oder Klausur keine Schwierigkeiten bei der Frage gibt, wie man algebraische Brüche löst, besagte Formeln muss auswendig gelernt werden.

Einige Beispiele mit Lösungen

Mit theoretischer Punkt view befasst sich mit der Frage, wie man algebraische Brüche löst. Die im Artikel angegebenen Beispiele helfen Ihnen, das Material besser zu verstehen.

1. Brüche umrechnen und auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

2. Brüche umwandeln und auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

Nach Studium des theoretischen Teils und Überlegung praktische Probleme sollte nicht wieder vorkommen.

Ziele:

1. lehrreich- Festigung der erworbenen Kenntnisse und Fähigkeiten zur Kürzung algebraischer Brüche beim Lösen weiterer komplexe Übungen, wobei die Faktorisierung eines Polynoms auf unterschiedliche Weise angewendet wird, um die Fähigkeit zu erarbeiten, algebraische Brüche zu kürzen. Wiederholen Sie die abgekürzten Multiplikationsformeln: (ein+b)2=a2+2ab+b2,
(a-b) 2 =ein 2-2ab+b2,eine 2 -b2 =(ein+b)(a-b), Gruppierungsmethode, wobei der gemeinsame Teiler aus Klammern genommen wird.

2. Entwicklung - Entwicklung des logischen Denkens zur bewussten Wahrnehmung Unterrichtsmaterial, Aufmerksamkeit, Aktivität der Schüler im Unterricht.

3. Pflege - Erziehung kognitive Aktivität, Formation persönliche Qualitäten: Präzision und Klarheit verbaler Ausdruck Gedanken; Konzentration und Aufmerksamkeit; Ausdauer und Verantwortungsbewusstsein, positive Motivation zum Studium des Faches, Genauigkeit, Gewissenhaftigkeit und Verantwortungsbewusstsein.

Aufgaben:

1. Um das untersuchte Material zu konsolidieren und die Arten der Arbeit zu diesem Thema zu ändern, „Algebraischer Bruch. Kürzung von Brüchen.

2. Entwickeln Sie Fähigkeiten und Fertigkeiten, in der Reduktion von algebraischen Brüchen mit verschiedene Wege Faktorisierung von Zähler und Nenner, entwickeln logisches Denken, korrekt und kompetent mathematische Rede, Entwicklung von Selbständigkeit und Vertrauen in ihr Wissen und Können bei Auftritten verschiedene Typen funktioniert.

3. Wecken Sie das Interesse an Mathematik, indem Sie verschiedene Arten der Vertiefung des Materials einführen: mündliche Arbeit, Arbeit mit einem Lehrbuch, Arbeit an der Tafel, mathematisches Diktat, Test, selbstständiges Arbeiten, Spiel " Mathe-Turnier»; Aktivitäten der Schüler anregen und fördern.

Planen:
ICH. Zeit organisieren.
II . Mündliche Arbeit.
III. Mathematisches Diktat.
IV.
1. Arbeite nach Lehrbuch und an der Tafel.
2. Arbeiten Sie in Gruppen an Karten - das Spiel "Mathematical Tournament".
3. Selbstständige Arbeit nach Ebenen (A, B, C).
v. Ergebnis.
1. Test (gegenseitige Überprüfung).
VI. Hausaufgaben.

Während des Unterrichts:

I. Organisatorischer Moment.

Emotionale Stimmung und Bereitschaft des Lehrers und der Schüler für den Unterricht. Die Schüler setzen sich Ziele und Ziele diese Lektion, bestimmen auf Leitfragen des Lehrers das Thema des Unterrichts.

II. Mündliche Arbeit.

1. Brüche kürzen:

2. Finden Sie den Wert des algebraischen Bruchs:
bei c = 8, c = -13, c = 11.
Antwort: 6; -ein; 3.

3. Beantworten Sie die Fragen:

1) Was ist die nützliche Ordnung beim Faktorisieren von Polynomen?
(Bei der Faktorisierung von Polynomen ist es sinnvoll, folgende Reihenfolge zu beachten: a) Herausnehmen gemeinsamer Faktor für die Klammer, falls vorhanden; b) versuchen Sie, das Polynom mit den abgekürzten Multiplikationsformeln zu faktorisieren; c) versuchen, die Gruppierungsmethode anzuwenden, wenn die vorherigen Methoden nicht zum Ziel geführt haben).

2) Was ist das Quadrat der Summe?
(Das Quadrat der Summe zweier Zahlen ist gleich dem Quadrat erste Zahl plus das Doppelte des Produkts aus der ersten Zahl und die zweite plus das Quadrat der zweiten Zahl).

3) Was ist das Quadrat der Differenz?
(Das Quadrat der Differenz zwischen zwei Zahlen ist gleich dem Quadrat der ersten Zahl minus dem Doppelten des Produkts aus der ersten Zahl und der zweiten Zahl plus dem Quadrat der zweiten Zahl.)

4) Was ist der Unterschied zwischen den Quadratzahlen zweier Zahlen?
(Die Differenz der Quadrate zweier Zahlen ist gleich dem Produkt der Differenz dieser Zahlen und ihrer Summe).

5) Was ist bei der Gruppierungsmethode zu beachten? (Um ein Polynom nach der Gruppierungsmethode zu faktorisieren, müssen Sie: a) die Mitglieder des Polynoms in Gruppen zusammenfassen, die einen gemeinsamen Faktor in Form eines Polynoms haben; b) nehmen Sie diesen gemeinsamen Teiler aus Klammern heraus).
6) Um den gemeinsamen Teiler aus Klammern herauszunehmen, brauchst du ......?
(Finde diesen gemeinsamen Teiler; 2. entferne ihn aus Klammern).

7) Welche Methoden zur Faktorisierung eines Polynoms kennen Sie?
(Einklammerung des gemeinsamen Teilers, Gruppierungsmethode, abgekürzte Multiplikationsformeln).

8) Was wird benötigt, um den Bruch zu reduzieren?
(Um einen Bruch zu kürzen, musst du Zähler und Nenner durch ihren gemeinsamen Faktor dividieren).

III. Mathematisches Diktat.

1. Algebraische Brüche unterstreichen:

Ich wähle:

II-Option:

1. Ist es möglich, den Ausdruck darzustellen

Ich wähle:

II-Option:

als Polynom? Wenn Sie sich vorstellen können?

3. Welche Buchstabenwerte gelten für den Ausdruck:
Ich wähle:

II-Option:
(x-5)(x+7).

4. Schreibe einen algebraischen Bruch mit Zähler auf
Ich wähle:
3x2.
II-Option:
5 Jahre.
und Nenner

Ich wähle:
x(x+3).
II-Option:
y2 (y+7).
und kürze es.

IV. Vertiefung des Themas: „Algebraischer Bruch. Kürzung von Brüchen ":

1. Arbeite nach Lehrbuch und an der Tafel.

Faktorisiere Zähler und Nenner eines Bruchs und kürze ihn.
№441(1;3).

1. ; 3.

№442(1;3;5).

1. 3.

№443(1;3).

1. 3.

№444(1;3).

1. 3.

№445(1;3).

1. 3.

№446(1;3).

2. Arbeiten Sie in Gruppen an Karten - das Spiel "Mathematical Tournament".

(Aufgaben für das Spiel – „Anhang 1“.)
Die Festigung und Erprobung der Fähigkeiten zur Lösung von Beispielen zu diesem Thema erfolgt in Form eines Turniers. Die Klasse wird in Gruppen eingeteilt und ihnen werden Aufgaben auf Karten (Karten verschiedener Niveaus) angeboten.
Durch bestimmte Zeit, soll jeder Schüler die Lösung der Aufgaben seines Teams in ein Heft schreiben und erklären können.
Beratungen innerhalb des Teams sind erlaubt (sie werden vom Kapitän durchgeführt).
Dann beginnt das Turnier: Jedes Team hat das Recht, die anderen herauszufordern, aber nur einmal. ZB ruft der Kapitän der ersten Mannschaft die Schüler der zweiten Mannschaft zur Teilnahme am Turnier auf; der Kapitän der zweiten Mannschaft macht dasselbe, sie gehen ans Brett, tauschen Karten und lösen Aufgaben usw.

3. Selbstständiges Arbeiten nach Level (A, B, C)

„Lehrmaterial“ L.I. Zvavich et al., S. 95, S. 52. (Alle Studenten haben das Buch)
SONDERN . №1: I Option-1) a, b; 2) a, c; 5) a.
II Option-1) c, d; 2) b, d, 5) c.
B . №2: Option I - a.
Option II - b.
BEIM . №3: Option I - a.
Option II - b.

v. Ergebnis.

1. Test (gegenseitige Überprüfung).
(Aufgaben für den Test – „Anhang 2“.)
(auf Karten für jeden Schüler, nach Optionen)

VI. Hausaufgaben.

1) "DM" Seite 95 Nr. 1. (3,4,6);
2) Nr. 447 (gerade);
3) §24, wiederholen Sie §19 - §23.

Die Kürzung von Brüchen ist notwendig, um den Bruch in eine einfachere Form zu bringen, zum Beispiel in der Antwort, die man als Ergebnis des Lösens des Ausdrucks erhält.

Kürzung von Brüchen, Definition und Formel.

Was ist Fraktionsreduktion? Was bedeutet es, einen Bruch zu kürzen?

Definition:
Fraktionsreduktion ist die Teilung von Zähler und Nenner in denselben Bruch positive Zahl nicht Null und Einheit. Als Ergebnis der Kürzung erhält man einen Bruch mit kleinerem Zähler und Nenner, gleich dem vorherigen Bruch gem.

Formel zur Fraktionsreduktion Haupteigentum Rationale Zahlen.

\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)

Betrachten Sie ein Beispiel:
Kürze den Bruch \(\frac(9)(15)\)

Entscheidung:
Wir können einen Bruch in Primfaktoren zerlegen und die gemeinsamen Faktoren reduzieren.

\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(red) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)

Antwort: Nach Kürzung erhalten wir den Bruch \(\frac(3)(5)\). Gemäß der Haupteigenschaft rationaler Zahlen sind Anfangs- und Ergebnisbruch gleich.

\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)

Wie kürzt man Brüche? Reduktion eines Bruchs auf eine irreduzible Form.

Damit wir als Ergebnis einen irreduziblen Bruch erhalten, brauchen wir Finde den größten gemeinsamen Teiler (ggT) für Zähler und Nenner eines Bruches.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, den ggT zu finden, wir verwenden im Beispiel die Zerlegung von Zahlen in Primfaktoren.

Erhalten Sie den irreduziblen Bruch \(\frac(48)(136)\).

Entscheidung:
Finde GCD(48, 136). Schreiben wir die Zahlen 48 und 136 in Primfaktoren.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
ggT(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(48)(136)=\frac(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 2 \times 3)(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 17)=\frac(\color(red) (6) \times 2 \times 3)(\color(red) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ frac(6)(17)\)

Die Regel zum Kürzen eines Bruchs auf eine irreduzible Form.

1. Finde den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner.
2. Sie müssen Zähler und Nenner durch den größten gemeinsamen Teiler als Ergebnis der Division dividieren, um einen irreduziblen Bruch zu erhalten.

Beispiel:
Kürze den Bruch \(\frac(152)(168)\).

Entscheidung:
Finden Sie GCD(152, 168). Schreiben wir die Zahlen 152 und 168 in Primfaktoren.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
ggT(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(152)(168)=\frac(\color(red) (6) \times 19)(\color(red) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)

Antwort: \(\frac(19)(21)\) ist ein irreduzibler Bruch.

Abkürzung für einen unechten Bruch.

Wie man schneidet unechter Bruch?
Die Regeln zum Kürzen von Brüchen für echte und unechte Brüche sind gleich.

Betrachten Sie ein Beispiel:
Kürze den unechten Bruch \(\frac(44)(32)\).

Entscheidung:
Schreiben wir Zähler und Nenner in Primfaktoren. Und dann reduzieren wir die gemeinsamen Faktoren.

\(\frac(44)(32)=\frac(\color(red) (2 \times 2 ) \times 11)(\color(red) (2 \times 2 ) \times 2 \times 2 \times 2 )=\frac(11)(2 \times 2 \times 2)=\frac(11)(8)\)

Kürzung gemischter Fraktionen.

Für gemischte Brüche gelten die gleichen Regeln wie für gewöhnliche Brüche. Der einzige Unterschied ist, dass wir es können berühren Sie nicht den ganzen Teil, sondern reduzieren Sie den Bruchteil oder Wandeln Sie einen gemischten Bruch in einen unechten Bruch um, kürzen Sie ihn und wandeln Sie ihn wieder in einen echten Bruch um.

Betrachten Sie ein Beispiel:
Kürze den gemischten Bruch \(2\frac(30)(45)\).

Entscheidung:
Lösen wir es auf zwei Arten:
Erster Weg:
Wir werden den Bruchteil in Primfaktoren schreiben und den ganzzahligen Teil nicht berühren.

\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3))(3 \times \color(red) (5 \times 3))=2\ frac(2)(3)\)

Zweiter Weg:
Zuerst übersetzen wir in einen unechten Bruch, dann schreiben wir ihn in einfache Faktoren und reduzieren. Wandle den resultierenden unechten Bruch in einen echten Bruch um.

\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3) \times 2 \times 2)(3 \times \color(red) (3 \times 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)

Verwandte Fragen:
Können Brüche beim Addieren oder Subtrahieren gekürzt werden?
Antwort: Nein, Sie müssen Brüche zuerst gemäß den Regeln addieren oder subtrahieren und erst dann kürzen. Betrachten Sie ein Beispiel:

Werten Sie den Ausdruck \(\frac(50+20-10)(20)\) aus.

Entscheidung:
Sie machen oft den Fehler des Schneidens gleichen Nummern im Zähler und Nenner ist in unserem Fall die Zahl 20, aber sie können nicht reduziert werden, bis Sie Addition und Subtraktion durchführen.

\(\frac(50+\color(red) (20)-10)(\color(red) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)

Um welche Zahl kann man einen Bruch kürzen?
Antwort: Sie können einen Bruch durch den größten gemeinsamen Teiler oder den üblichen Teiler von Zähler und Nenner kürzen. Zum Beispiel der Bruch \(\frac(100)(150)\).

Schreiben wir die Zahlen 100 und 150 in Primfaktoren.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Der größte gemeinsame Teiler ist die Zahl ggT(100, 150)= 2⋅5⋅5=50

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)

Wir haben den irreduziblen Bruch \(\frac(2)(3)\).

Aber es ist nicht immer notwendig, durch ggT zu dividieren, ein irreduzibler Bruch wird nicht immer benötigt, Sie können den Bruch durch einen einfachen Divisor aus Zähler und Nenner kürzen. Zum Beispiel haben die Zahlen 100 und 150 einen gemeinsamen Teiler 2. Lassen Sie uns den Bruch \(\frac(100)(150)\) um 2 reduzieren.

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)\)

Wir haben den gekürzten Bruch \(\frac(50)(75)\).

Welche Brüche können gekürzt werden?
Antwort: Du kannst Brüche kürzen, bei denen Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler haben. Zum Beispiel der Bruch \(\frac(4)(8)\). Die Zahlen 4 und 8 haben eine Zahl, durch die sie beide durch diese Zahl 2 teilbar sind. Daher kann ein solcher Bruch durch die Zahl 2 gekürzt werden.

Beispiel:
Vergleiche zwei Brüche \(\frac(2)(3)\) und \(\frac(8)(12)\).

Diese beiden Brüche sind gleich. Betrachten Sie den Bruch \(\frac(8)(12)\) im Detail:

\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3) \times 1=\frac(2)(3)\)

Von hier erhalten wir \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)

Zwei Brüche sind genau dann gleich, wenn einer von ihnen erhalten wird, indem der andere Bruch um einen gemeinsamen Faktor aus Zähler und Nenner gekürzt wird.

Beispiel:
Kürzen Sie wenn möglich folgende Brüche: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d ) \(\frac(100)(250)\)

Entscheidung:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 \times 3 \times 3)(13)=\frac(18)(13)\)
b) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(red) (3 \times 3) \times 3)(\color(red) (3 \times 3) \times 7)=\frac (3)(7)\)
c) \(\frac(17)(100)\) irreduzibler Bruch
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \times 2)(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \ mal 5)=\frac(2)(5)\)

Erste Ebene

Ausdruckskonvertierung. Ausführliche Theorie (2019)

Ausdruckskonvertierung

Oft hören wir das ein unangenehmer Satz: "den Ausdruck vereinfachen." Normalerweise haben wir in diesem Fall eine Art Monster wie dieses:

„Ja, viel einfacher“, sagen wir, aber eine solche Antwort funktioniert meistens nicht.

Jetzt werde ich dich lehren, keine Angst vor solchen Aufgaben zu haben. Außerdem werden Sie am Ende der Lektion dieses Beispiel selbst zu (gerade!) gewöhnliche Nummer(ja, zum Teufel mit diesen Briefen).

Aber bevor Sie mit dieser Lektion beginnen, müssen Sie in der Lage sein, mit Brüchen und Faktorpolynomen umzugehen. Wenn Sie dies noch nicht getan haben, sollten Sie daher zunächst die Themen "" und "" beherrschen.

Lesen? Wenn ja, dann sind Sie bereit.

Grundlegende Vereinfachungsoperationen

Jetzt werden wir die wichtigsten Techniken analysieren, die zur Vereinfachung von Ausdrücken verwendet werden.

Die einfachste von ihnen ist

1. Ähnliches mitbringen

Was ist ähnlich? Sie haben das in der 7. Klasse durchgemacht, als in der Mathematik erstmals Buchstaben statt Zahlen auftauchten. Ähnlich sind Begriffe (Monome) mit gleichem Buchstabenteil. Zum Beispiel insgesamt wie Begriffe- das und.

Fiel ein?

Gleiche Begriffe bringen bedeutet, mehrere ähnliche Begriffe miteinander zu addieren und einen Begriff zu erhalten.

Aber wie können wir Buchstaben zusammensetzen? - du fragst.

Dies ist sehr leicht zu verstehen, wenn Sie sich vorstellen, dass die Buchstaben eine Art Objekte sind. Der Buchstabe ist zum Beispiel ein Stuhl. Was ist dann der Ausdruck? Zwei Stühle plus drei Stühle, wie viel wird es sein? Richtig, Stühle: .

Versuchen Sie nun diesen Ausdruck:

Um nicht verwirrt zu werden, lassen Sie verschiedene Buchstaben verschiedene Dinge darstellen. Zum Beispiel - das ist (wie üblich) ein Stuhl und - das ist ein Tisch. Dann:

Stühle Tische Stuhl Tische Stühle Stühle Tische

Die Zahlen, mit denen die Buchstaben in solchen Begriffen multipliziert werden, werden aufgerufen Koeffizienten. Zum Beispiel ist im Monom der Koeffizient gleich. Und er ist gleich.

Also, die Regel für das Bringen von ähnlichem:

Beispiele:

Ähnliches mitbringen:

Antworten:

2. (und sind ähnlich, da diese Begriffe daher den gleichen Buchstabenteil haben).

2. Faktorisierung

Dies ist normalerweise das meiste Hauptteil beim Vereinfachen von Ausdrücken. Nachdem Sie ähnliche angegeben haben, muss der resultierende Ausdruck meistens faktorisiert, dh als Produkt dargestellt werden. Das ist besonders wichtig bei Brüchen, denn um einen Bruch zu kürzen, müssen Zähler und Nenner als Produkt dargestellt werden.

Sie haben die detaillierten Methoden zum Faktorisieren von Ausdrücken im Thema "" durchgearbeitet, also müssen Sie sich hier nur daran erinnern, was Sie gelernt haben. Lösen Sie dazu ein paar Beispiele(auszurechnen):

Lösungen:

3. Fraktionsreduktion.

Nun, was gibt es Schöneres, als einen Teil des Zählers und Nenners durchzustreichen und aus seinem Leben zu werfen?

Das ist die Schönheit der Abkürzung.

Es ist einfach:

Wenn Zähler und Nenner die gleichen Faktoren enthalten, können sie gekürzt, also aus dem Bruch entfernt werden.

Diese Regel folgt aus der Grundeigenschaft eines Bruchs:

Das heißt, die Essenz der Reduktionsoperation ist dies Wir dividieren Zähler und Nenner eines Bruchs durch dieselbe Zahl (oder durch denselben Ausdruck).

Um einen Bruch zu kürzen, benötigen Sie:

1) Zähler und Nenner faktorisieren

2) wenn Zähler und Nenner enthalten übliche Faktoren, sie können gelöscht werden.

Das Prinzip, denke ich, ist klar?

Auf einen möchte ich aufmerksam machen typischer Fehler beim Reduzieren. Dieses Thema ist zwar einfach, aber viele Menschen machen alles falsch, ohne sich dessen bewusst zu sein Schnitt- das heisst Teilen Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl.

Keine Abkürzungen, wenn Zähler oder Nenner die Summe ist.

Zum Beispiel: Sie müssen vereinfachen.

Einige tun dies: was absolut falsch ist.

Anderes Beispiel: Reduzieren.

"Die Klügsten" werden dies tun:.

Sag mir, was ist hier falsch? Es scheint: - Dies ist ein Multiplikator, also können Sie reduzieren.

Aber nein: - Dies ist ein Faktor von nur einem Term im Zähler, aber der Zähler selbst als Ganzes wird nicht in Faktoren zerlegt.

Hier ist ein weiteres Beispiel: .

Dieser Ausdruck wird in Faktoren zerlegt, was bedeutet, dass Sie Zähler und Nenner reduzieren, also durch und dann durch dividieren können:

Sie können sofort dividieren durch:

Denken Sie daran, solche Fehler zu vermeiden einfacher Weg So bestimmen Sie, ob ein Ausdruck faktorisiert ist:

Die arithmetische Operation, die zuletzt ausgeführt wird, wenn der Wert des Ausdrucks berechnet wird, ist die "Hauptoperation". Das heißt, wenn Sie einige (beliebige) Zahlen anstelle von Buchstaben einsetzen und versuchen, den Wert des Ausdrucks zu berechnen, dann haben wir ein Produkt, wenn die letzte Aktion eine Multiplikation ist (der Ausdruck wird in Faktoren zerlegt). Wenn die letzte Aktion eine Addition oder Subtraktion ist, bedeutet dies, dass der Ausdruck nicht faktorisiert wird (und daher nicht reduziert werden kann).

Um es zu beheben, lösen Sie es selbst ein paar Beispiele:

Antworten:

1. Ich hoffe, Sie haben sich nicht sofort zum Schneiden beeilt und? Es war immer noch nicht genug Einheiten wie diese zu „reduzieren“:

Der erste Schritt sollte sein, zu faktorisieren:

4. Addition und Subtraktion von Brüchen. Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

Addition und Subtraktion gewöhnliche Brüche- Die Operation ist bekannt: Wir suchen einen gemeinsamen Nenner, wir multiplizieren jeden Bruch mit dem fehlenden Faktor und addieren / subtrahieren die Zähler. Lass uns erinnern:

Antworten:

1. Die Nenner und sind teilerfremd, das heißt, sie haben keine gemeinsamen Teiler. Daher ist das LCM dieser Zahlen gleich ihrem Produkt. Dies wird der gemeinsame Nenner sein:

2. Hier ist der gemeinsame Nenner:

3. Als erstes hier gemischte Fraktionen in falsche umwandeln, und dann - nach dem üblichen Schema:

Anders sieht es aus, wenn die Brüche Buchstaben enthalten, zum Beispiel:

Fangen wir einfach an:

a) Nenner enthalten keine Buchstaben

Hier ist alles wie bei gewöhnlichen Zahlenbrüchen: Wir finden einen gemeinsamen Nenner, multiplizieren jeden Bruch mit dem fehlenden Faktor und addieren / subtrahieren die Zähler:

Jetzt können Sie in den Zähler ähnliche bringen, falls vorhanden, und sie faktorisieren:

Versuch es selber:

b) Nenner enthalten Buchstaben

Erinnern wir uns an das Prinzip, einen gemeinsamen Nenner ohne Buchstaben zu finden:

Zunächst ermitteln wir die gemeinsamen Faktoren;

Dann schreiben wir alle Gemeinsamkeiten einmal auf;

und multipliziere sie mit allen anderen Faktoren, nicht den üblichen.

Um die gemeinsamen Faktoren der Nenner zu bestimmen, zerlegen wir diese zunächst in einfache Faktoren:

Wir betonen die gemeinsamen Faktoren:

Jetzt schreiben wir die gemeinsamen Faktoren einmal aus und fügen ihnen alle nicht gemeinsamen (nicht unterstrichenen) Faktoren hinzu:

Das ist der gemeinsame Nenner.

Kommen wir zurück zu den Buchstaben. Die Nenner werden genauso angegeben:

Wir zerlegen die Nenner in Faktoren;

gemeinsame (gleiche) Multiplikatoren ermitteln;

alle Gemeinsamkeiten einmal aufschreiben;

Wir multiplizieren sie mit allen anderen Faktoren, nicht mit gewöhnlichen.

Also der Reihe nach:

1) die Nenner in Faktoren zerlegen:

2) Bestimmen Sie die gemeinsamen (identischen) Faktoren:

3) Schreibe alle gemeinsamen Faktoren einmal auf und multipliziere sie mit allen anderen (nicht unterstrichenen) Faktoren:

Der gemeinsame Nenner ist also da. Der erste Bruch muss multipliziert werden mit, der zweite - mit:

Übrigens gibt es einen Trick:

Zum Beispiel: .

Wir sehen die gleichen Faktoren in den Nennern, nur alles mit verschiedene Indikatoren. Der gemeinsame Nenner wird sein:

soweit

soweit

soweit

im Grad.

Lassen Sie uns die Aufgabe erschweren:

Wie bringt man Brüche dazu, denselben Nenner zu haben?

Erinnern wir uns an die grundlegende Eigenschaft eines Bruchs:

Nirgendwo steht, dass dieselbe Zahl vom Zähler und Nenner eines Bruchs subtrahiert (oder addiert) werden kann. Weil es nicht wahr ist!

Überzeugen Sie sich selbst: Nehmen Sie zum Beispiel einen beliebigen Bruch und addieren Sie zu Zähler und Nenner eine Zahl, zum Beispiel . Was wurde gelernt?

Also, eine weitere unerschütterliche Regel:

Wenn Sie Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, verwenden Sie nur die Multiplikationsoperation!

Aber was müssen Sie multiplizieren, um zu erhalten?

Hier auf und multiplizieren. Und multipliziere mit:

Ausdrücke, die nicht faktorisiert werden können, werden "Elementarfaktoren" genannt. Zum Beispiel ist ein elementarer Faktor. - zu. Aber - nein: es wird in Faktoren zerlegt.

Was ist mit dem Ausdruck? Ist es elementar?

Nein, denn es kann faktorisiert werden:

(Über Faktorisierung haben Sie bereits im Thema "" gelesen).

Die elementaren Faktoren, in die Sie den Ausdruck mit Buchstaben zerlegen, sind also analog Hauptfaktoren in die du die Zahlen zerlegst. Und wir werden dasselbe mit ihnen tun.

Wir sehen, dass beide Nenner einen Faktor haben. Es wird zum gemeinsamen Nenner in der Macht gehen (erinnern Sie sich, warum?).

Der Multiplikator ist elementar und sie haben ihn nicht gemeinsam, was bedeutet, dass der erste Bruch einfach damit multipliziert werden muss:

Ein anderes Beispiel:

Entscheidung:

Bevor Sie diese Nenner in Panik multiplizieren, müssen Sie darüber nachdenken, wie Sie sie faktorisieren können. Beide repräsentieren:

Bußgeld! Dann:

Ein anderes Beispiel:

Entscheidung:

Wie üblich faktorisieren wir die Nenner. Den ersten Nenner setzen wir einfach aus Klammern; im zweiten - die Differenz der Quadrate:

Es scheint, dass es keine gemeinsamen Faktoren gibt. Aber wenn man genau hinschaut, sind sie sich schon so ähnlich ... Und die Wahrheit ist:

Schreiben wir also:

Das heißt, es stellte sich so heraus: Innerhalb der Klammer haben wir die Terme vertauscht, und gleichzeitig änderte sich das Vorzeichen vor dem Bruch ins Gegenteil. Beachten Sie, dass Sie dies oft tun müssen.

Nun bringen wir auf einen gemeinsamen Nenner:

Ich habs? Lassen Sie uns jetzt überprüfen.

Aufgaben zur selbstständigen Lösung:

Antworten:

Hier müssen wir uns noch an eine Sache erinnern - den Unterschied der Würfel:

Bitte beachten Sie, dass der Nenner des zweiten Bruchs nicht die Formel "Quadrat der Summe" enthält! Das Quadrat der Summe würde so aussehen:

A ist das sogenannte unvollständige Quadrat der Summe: Der zweite Term darin ist das Produkt des ersten und des letzten und nicht ihr verdoppeltes Produkt. Das unvollständige Quadrat der Summe ist einer der Faktoren bei der Erweiterung der Differenz von Kubikzahlen:

Was ist, wenn es bereits drei Brüche gibt?

Ja das Gleiche! Machen wir es erstmal so Höchstbetrag Faktoren in den Nennern waren die gleichen:

Achtung: Wenn Sie die Vorzeichen innerhalb einer Klammer ändern, ändert sich das Vorzeichen vor dem Bruch ins Gegenteil. Wenn wir die Vorzeichen in der zweiten Klammer ändern, wird das Vorzeichen vor dem Bruch wieder umgekehrt. Infolgedessen hat er (das Zeichen vor dem Bruch) sich nicht geändert.

Wir schreiben den ersten Nenner vollständig in den gemeinsamen Nenner und fügen dann alle Faktoren hinzu, die noch nicht geschrieben wurden, vom zweiten und dann vom dritten (und so weiter, wenn es mehr Brüche gibt). Das heißt, es geht so:

Hmm ... Mit Brüchen ist klar, was zu tun ist. Aber was ist mit den beiden?

Es ist ganz einfach: Sie wissen, wie man Brüche addiert, oder? Sie müssen also sicherstellen, dass die Zwei ein Bruch wird! Denken Sie daran: Ein Bruch ist eine Divisionsoperation (der Zähler wird durch den Nenner dividiert, falls Sie es plötzlich vergessen haben). Und es gibt nichts Einfacheres, als eine Zahl durch zu dividieren. In diesem Fall ändert sich die Zahl selbst nicht, sondern wird zu einem Bruch:

Genau das, was gebraucht wird!

5. Multiplikation und Division von Brüchen.

Nun, der schwierigste Teil ist jetzt vorbei. Und vor uns liegt das Einfachste, aber gleichzeitig das Wichtigste:

Verfahren

Wie ist das Verfahren zum Zählen numerischer Ausdruck? Denken Sie in Anbetracht des Wertes eines solchen Ausdrucks daran:

Hast du gezählt?

Es sollte funktionieren.

Also, ich erinnere dich.

Der erste Schritt ist die Berechnung des Abschlusses.

Die zweite ist Multiplikation und Division. Wenn es mehrere Multiplikationen und Divisionen gleichzeitig gibt, kannst du sie in beliebiger Reihenfolge durchführen.

Und schließlich führen wir Addition und Subtraktion durch. Wieder in beliebiger Reihenfolge.

Aber: der eingeklammerte Ausdruck wird falsch ausgewertet!

Wenn mehrere Klammern miteinander multipliziert oder dividiert werden, werten wir zuerst den Ausdruck in jeder der Klammern aus und multiplizieren oder dividieren sie dann.

Was ist, wenn es andere Klammern in den Klammern gibt? Nun, stellen wir uns vor: In die Klammern steht irgendein Ausdruck. Was ist das erste, was zu tun ist, wenn ein Ausdruck ausgewertet wird? Richtig, Klammern berechnen. Nun, wir haben es herausgefunden: Zuerst berechnen wir die inneren Klammern, dann alles andere.

Die Reihenfolge der Aktionen für den obigen Ausdruck ist also wie folgt (die aktuelle Aktion ist rot hervorgehoben, d. h. die Aktion, die ich gerade ausführe):

Okay, es ist alles einfach.

Aber das ist nicht dasselbe wie ein Ausdruck mit Buchstaben, oder?

Nein, es ist dasselbe! Nur stattdessen Rechenoperationen Sie müssen algebraische Aktionen ausführen, dh die im vorherigen Abschnitt beschriebenen Aktionen: Ähnliches bringen, Brüche addieren, Brüche kürzen usw. Der einzige Unterschied besteht in der Faktorisierung von Polynomen (wir verwenden dies häufig bei der Arbeit mit Brüchen). Meistens müssen Sie für die Faktorisierung i verwenden oder einfach den gemeinsamen Faktor aus Klammern nehmen.

Normalerweise ist es unser Ziel, einen Ausdruck als Produkt oder Quotient darzustellen.

Zum Beispiel:

Vereinfachen wir den Ausdruck.

1) Zuerst vereinfachen wir den Ausdruck in Klammern. Da haben wir die Differenz von Brüchen, und unser Ziel ist es, sie als Produkt oder Quotient darzustellen. Also bringen wir die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner und addieren:

Es ist unmöglich, diesen Ausdruck weiter zu vereinfachen, alle Faktoren hier sind elementar (erinnern Sie sich noch, was das bedeutet?).

2) Wir erhalten:

Multiplikation von Brüchen: was einfacher sein könnte.

3) Jetzt können Sie kürzen:

Das ist es. Nichts kompliziertes, oder?

Ein anderes Beispiel:

Den Ausdruck vereinfachen.

Versuchen Sie zuerst, es selbst zu lösen, und schauen Sie sich erst dann die Lösung an.

Lassen Sie uns zunächst das Verfahren definieren. Fügen wir zuerst die Brüche in Klammern hinzu, statt zwei Brüche wird einer herauskommen. Dann machen wir die Division von Brüchen. Nun, wir addieren das Ergebnis mit dem letzten Bruch. Ich werde die Schritte schematisch nummerieren:

Jetzt zeige ich den gesamten Prozess und färbe die aktuelle Aktion rot:

Abschließend möchte ich Ihnen zwei nützliche Tipps geben:

1. Wenn es ähnliche gibt, müssen sie sofort gebracht werden. In jedem Moment, in dem wir ähnliche haben, ist es ratsam, sie sofort mitzubringen.

2. Gleiches gilt für die Kürzung von Brüchen: Sobald sich eine Möglichkeit zur Kürzung ergibt, muss diese genutzt werden. Die Ausnahme sind Brüche, die Sie addieren oder subtrahieren: wenn sie haben gleiche Nenner, dann sollte die Kürzung für später aufgehoben werden.

Hier sind einige Aufgaben, die Sie selbst lösen können:

Und gleich zu Beginn versprochen:

Lösungen (kurz):

Wenn Sie zumindest die ersten drei Beispiele bewältigt haben, dann haben Sie, bedenken Sie, das Thema gemeistert.

Jetzt geht es ans Lernen!

AUSDRUCKKONVERTIERUNG. ZUSAMMENFASSUNG UND GRUNDFORMEL

Grundlegende Vereinfachungsoperationen:

• Ähnliches mitbringen: Um ähnliche Terme hinzuzufügen (zu reduzieren), müssen Sie ihre Koeffizienten addieren und den Buchstabenteil zuweisen.
• Faktorisierung: Herausnehmen des gemeinsamen Faktors aus Klammern, Anwenden usw.
• Fraktionsreduktion: Zähler und Nenner eines Bruchs können mit derselben Zahl ungleich Null multipliziert oder dividiert werden, ab der sich der Wert des Bruchs nicht ändert.
  1) Zähler und Nenner faktorisieren
  2) Wenn Zähler und Nenner gemeinsame Teiler haben, können sie durchgestrichen werden.

  WICHTIG: Es können nur Multiplikatoren reduziert werden!

• Addition und Subtraktion von Brüchen:
  ;
• Multiplikation und Division von Brüchen:
  ;

In diesem Artikel konzentrieren wir uns auf Reduktion algebraischer Brüche. Lassen Sie uns zuerst herausfinden, was mit dem Begriff "Reduktion eines algebraischen Bruchs" gemeint ist, und herausfinden, ob ein algebraischer Bruch immer reduzierbar ist. Als nächstes geben wir eine Regel an, die es uns erlaubt, diese Transformation durchzuführen. Denken Sie abschließend über Lösungen nach charakteristische Beispiele Dadurch können Sie alle Feinheiten des Prozesses verstehen.

Seitennavigation.

Was bedeutet es, einen algebraischen Bruch zu kürzen?

Während des Studiums sprachen wir über ihre Reduzierung. wir nannten die Division ihres Zählers und Nenners durch den gemeinsamen Teiler. Zum Beispiel kann der gemeinsame Bruch 30/54 um 6 gekürzt werden (d. h. durch 6 seinen Zähler und Nenner dividieren), was uns zum Bruch 5/9 führt.

Als eine ähnliche Aktion wird die Kürzung eines algebraischen Bruchs verstanden. Reduzieren Sie den algebraischen Bruch ist, Zähler und Nenner durch einen gemeinsamen Teiler zu dividieren. Wenn aber der gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner eines gewöhnlichen Bruchs nur eine Zahl sein kann, dann kann der gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner eines algebraischen Bruchs ein Polynom, insbesondere ein Monom oder eine Zahl sein.

Beispielsweise kann ein algebraischer Bruch um die Zahl 3 gekürzt werden, was den Bruch ergibt . Es ist auch möglich, die Variable x zu reduzieren, was zu dem Ausdruck führt . Der ursprüngliche algebraische Bruch kann durch das Monom 3 x sowie durch jedes der Polynome x+2 y, 3 x+6 y, x 2 +2 x y oder 3 x 2 +6 x y reduziert werden.

Das ultimative Ziel beim Kürzen eines algebraischen Bruchs ist es, einen Bruchteil mehr zu erhalten einfache Form, in I'm besten fall- ein irreduzibler Bruch.

Kann jeder algebraische Bruch gekürzt werden?

Wir wissen, dass gewöhnliche Brüche unterteilt werden in . Nicht reduzierbare Brüche haben keine anderen gemeinsamen Faktoren als Eins im Zähler und Nenner, daher unterliegen sie keiner Reduktion.

Algebraische Brüche können gemeinsame Zähler- und Nennerfaktoren haben oder nicht. Bei Vorhandensein gemeinsamer Faktoren ist es möglich, den algebraischen Bruch zu reduzieren. Wenn es keine gemeinsamen Faktoren gibt, ist die Vereinfachung des algebraischen Bruchs durch seine Reduktion unmöglich.

BEIM Allgemeiner Fall An Aussehen algebraischer Bruch, ist es ziemlich schwierig zu bestimmen, ob es möglich ist, seine Reduktion durchzuführen. Zweifellos sind in manchen Fällen die Gemeinsamkeiten von Zähler und Nenner offensichtlich. Zum Beispiel ist deutlich zu sehen, dass Zähler und Nenner eines algebraischen Bruchs einen gemeinsamen Faktor von 3 haben. Es ist auch leicht zu sehen, dass ein algebraischer Bruch um x, um y oder direkt um x·y gekürzt werden kann. Aber viel häufiger ist der gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner eines algebraischen Bruchs nicht sofort sichtbar, und noch häufiger existiert er einfach nicht. Beispielsweise kann ein Bruch um x−1 gekürzt werden, aber dieser gemeinsame Teiler ist in der Notation offensichtlich nicht vorhanden. Und ein algebraischer Bruch kann nicht gekürzt werden, da Zähler und Nenner keine gemeinsamen Teiler haben.

Im Allgemeinen ist die Frage der Kontraktionsfähigkeit eines algebraischen Bruchs sehr schwierig. Und manchmal ist es einfacher, ein Problem zu lösen, indem man mit einem algebraischen Bruch in seiner ursprünglichen Form arbeitet, als herauszufinden, ob dieser Bruch vorläufig gekürzt werden kann. Dennoch gibt es Transformationen, die es in einigen Fällen mit relativ geringem Aufwand ermöglichen, die gemeinsamen Faktoren von Zähler und Nenner zu finden, falls vorhanden, oder zu schließen, dass der ursprüngliche algebraische Bruch irreduzibel ist. Diese Informationen werden im nächsten Absatz offengelegt.

Algebraische Bruchreduktionsregel

Die Informationen der vorangegangenen Absätze ermöglichen es Ihnen, das Folgende auf natürliche Weise wahrzunehmen algebraische Bruchreduktionsregel, die aus zwei Schritten besteht:

• zuerst werden die gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner des ursprünglichen Bruchs gefunden;
• falls vorhanden, wird um diese Faktoren reduziert.

Diese Schritte der angekündigten Regel bedürfen der Klärung.

Die meisten bequeme Weise Gemeinsam zu finden ist, die Polynome in Zähler und Nenner des ursprünglichen algebraischen Bruchs zu zerlegen. In diesem Fall werden die gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner sofort sichtbar, oder es wird deutlich, dass es keine gemeinsamen Teiler gibt.

Wenn es keine gemeinsamen Faktoren gibt, können wir schlussfolgern, dass der algebraische Bruch irreduzibel ist. Sind die gemeinsamen Faktoren gefunden, werden sie im zweiten Schritt reduziert. Das Ergebnis ist ein neuer Bruchteil einer einfacheren Form.

Die Regel der Reduktion algebraischer Brüche basiert auf der Haupteigenschaft eines algebraischen Bruchs, die durch die Gleichheit ausgedrückt wird, wobei a , b und c einige Polynome sind und b und c nicht Null sind. Im ersten Schritt wird der ursprüngliche algebraische Bruch auf die Form reduziert, woraus der gemeinsame Faktor c sichtbar wird, und im zweiten Schritt wird die Reduktion durchgeführt - der Übergang zum Bruch .

Fahren wir mit dem Lösen von Beispielen mit dieser Regel fort. Auf ihnen werden wir alle möglichen Nuancen analysieren, die sich ergeben, wenn Zähler und Nenner eines algebraischen Bruchs in Faktoren zerlegt und anschließend reduziert werden.

Typische Beispiele

Zuerst müssen Sie über die Reduktion von algebraischen Brüchen sprechen, deren Zähler und Nenner gleich sind. Solche Brüche sind identisch gleich eins auf der gesamten ODZ der darin enthaltenen Variablen, zum Beispiel,
usw.

Jetzt schadet es nicht, sich daran zu erinnern, wie die Kürzung gewöhnlicher Brüche durchgeführt wird - schließlich handelt es sich um einen Sonderfall algebraischer Brüche. Natürliche Zahlen im Zähler und Nenner eines gewöhnlichen Bruchs, danach werden die gemeinsamen Teiler (falls vorhanden) reduziert. Zum Beispiel, . Das Produkt identischer Primfaktoren kann als Potenzen geschrieben werden, und wenn es reduziert wird, verwenden Sie . In diesem Fall sähe die Lösung so aus: , hier haben wir Zähler und Nenner durch einen gemeinsamen Faktor 2 2 3 geteilt. Oder, zur besseren Übersichtlichkeit, basierend auf den Eigenschaften von Multiplikation und Division, wird die Lösung in der Form dargestellt.

Nach absolut ähnlichen Prinzipien erfolgt die Reduktion algebraischer Brüche, in deren Zähler und Nenner sich Monome mit ganzzahligen Koeffizienten befinden.

Beispiel.

Reduzieren Sie den algebraischen Bruch .

Entscheidung.

Sie können Zähler und Nenner des ursprünglichen algebraischen Bruchs als Produkt einfacher Faktoren und Variablen darstellen und dann die Reduktion durchführen:

Aber es ist rationaler, die Lösung als Ausdruck mit Potenzen zu schreiben:

Antworten:

.

Was die Reduktion von algebraischen Brüchen betrifft, die gebrochene numerische Koeffizienten im Zähler und Nenner haben, können Sie zwei Dinge tun: entweder diese gebrochenen Koeffizienten separat dividieren oder zuerst die gebrochenen Koeffizienten loswerden, indem Sie den Zähler und den Nenner mit einigen multiplizieren natürliche Zahl. Wir haben in dem Artikel über die letzte Transformation gesprochen, die einen algebraischen Bruch auf einen neuen Nenner bringt. Sie kann aufgrund der Haupteigenschaft eines algebraischen Bruchs durchgeführt werden. Lassen Sie uns dies an einem Beispiel behandeln.

Beispiel.

Fraktionsreduktion durchführen.

Entscheidung.

Du kannst den Bruch wie folgt kürzen: .

Und es war möglich, gebrochene Koeffizienten zuerst loszuwerden, indem Zähler und Nenner mit den Nennern dieser Koeffizienten multipliziert wurden, also mit LCM(5, 10)=10 . In diesem Fall haben wir .

Antworten:

.

Sie können zu algebraischen Brüchen übergehen Gesamtansicht, deren Zähler und Nenner sowohl Zahlen als auch Monome und Polynome haben können.

Beim Kürzen solcher Brüche besteht das Hauptproblem darin, dass der gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner nicht immer sichtbar ist. Außerdem ist es nicht immer vorhanden. Um einen gemeinsamen Teiler zu finden oder sicherzustellen, dass er nicht existiert, musst du Zähler und Nenner eines algebraischen Bruchs faktorisieren.

Beispiel.

Reduzieren rationaler Bruch .

Entscheidung.

Dazu faktorisieren wir die Polynome in Zähler und Nenner. Beginnen wir mit Klammern: . Offensichtlich können Klammerausdrücke mit konvertiert werden