Wahrscheinlichkeitsraum (W, S, P). Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie und Konsequenzen daraus

ZWECK DER VORLESUNG: mit elementaren Informationen aus der Mengenlehre vertraut zu machen; die Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie, ihre Konsequenzen und die Regel zur Addition von Wahrscheinlichkeiten formulieren.

Elementare Informationen aus der Mengenlehre

viele jede Sammlung von Objekten beliebiger Natur wird aufgerufen, von denen jedes aufgerufen wird Set-Element.

Beispiele für Sets: viele Studenten in einer Vorlesung; die Menge der Punkte auf einer Ebene, die innerhalb eines Radiuskreises liegen r; viele Punkte auf numerische Achse, die Entfernung von dem zu dem Punkt b mit Abszisse a weniger als d; ein Haufen natürliche Zahlen.

Mengen werden auf unterschiedliche Weise bezeichnet. Ein Haufen M Natürliche Zahlen von 1 bis 100 können geschrieben werden als

Die Menge der Punkte auf der Zahlenachse, die Entfernung von der zum Punkt b mit Abszisse a weniger als d, kann geschrieben werden als

wo x- die Abszisse des Punktes.

Die Menge der ebenen Punkte, die innerhalb oder auf der Grenze eines Radiuskreises liegen r am Ursprung zentriert,

wo x, j – Kartesischen Koordinaten Punkte.

Ein weiterer Eintrag dieses Sets

wo ist eine der Polarkoordinaten des Punktes.

Je nach Anzahl der Elemente werden die Mengen unterteilt Finale und endlos. Die Menge ist endlich und besteht aus 100 Elementen. Eine Menge kann aber auch aus einem Element bestehen und sogar gar keine Elemente enthalten.

Die Menge aller natürlichen Zahlen ist unendlich, genauso wie die Menge der geraden Zahlen unendlich ist.

Unendlicher Satz heißt abzählbar, wenn alle seine Elemente in einer bestimmten Reihenfolge angeordnet und nummeriert werden können (beide Mengen, und , sind abzählbar).

Sätze S und C sind unendlich und nicht zählbar (ihre Elemente können nicht nummeriert werden).

Zwei Sets EIN und B Spiel, wenn sie aus denselben Elementen bestehen: und . Die Koinzidenz von Mengen wird durch ein Gleichheitszeichen gekennzeichnet: A=B. Die Notation bedeutet, dass das Objekt a ist ein Element der Menge SONDERN oder " a gehört SONDERN". Ein anderer Eintrag bedeutet, dass " a nicht gehören SONDERN".

Eine Menge, die kein Element enthält, wird aufgerufen leer und ist mit dem Symbol gekennzeichnet.

Ein Haufen BEIM heißt Teilmenge (Teil) der Menge SONDERN wenn alle Elemente BEIM sind auch darin enthalten SONDERN, und wird als oder bezeichnet. Zum Beispiel, .

Eine Teilmenge kann gleich der Menge selbst sein. Grafisch können Sie die Beziehung zwischen einer Menge und einer Teilmenge darstellen, wie in Abb. 2.1, wo jeder Punkt der Figur BEIM gehört zur Figur SONDERN, d. h.

Vereinigung (Summe) von Mengen SONDERN und BEIM heißt die Menge, die aus allen Elementen besteht SONDERN und alle Elemente BEIM. Eine Vereinigung ist also eine Sammlung von Elementen, die zu mindestens einer der kombinierten Mengen gehören.

Zum Beispiel: .

Geometrische Deutung Vereinigung zweier Mengen SONDERN und BEIM in Abb. gezeigt. 2.2.

Die Vereinigung (Summe) mehrerer Mengen wird ähnlich definiert

wobei die resultierende Menge die Menge aller Elemente ist, die in mindestens einer der Mengen enthalten sind: .

Schnittmenge (Produkt) von Mengen SONDERN und BEIM heißt Menge D, bestehend aus gleichzeitig und in enthaltenen Elementen SONDERN, und in :

Die geometrische Interpretation des Schnittpunkts ist in Abb. 1 dargestellt. 2.3.

Der Schnittpunkt mehrerer Mengen wird ähnlich definiert

als ein Satz, der aus Elementen besteht, die gleichzeitig in allen Sätzen enthalten sind.

Die Operationen Vereinigung (Addition) und Schnittmenge (Multiplikation) von Mengen haben eine Reihe von Eigenschaften, die den Eigenschaften der Addition und Multiplikation von Zahlen ähneln:

1. Verschiebungseigenschaft:

2. Assoziatives Eigentum:

3. Verteilungseigenschaft:

Das Addieren der leeren Menge und das Multiplizieren mit der leeren Menge ähneln den entsprechenden Operationen mit Zahlen, wenn Sie Null als leere Menge betrachten:

Einige Operationen auf Mengen haben insbesondere keine Analoga zu gewöhnlichen Operationen auf Zahlen

Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie und ihre Konsequenzen.

Wahrscheinlichkeitsadditionsregeln

Mit elementaren Informationen zur Mengenlehre kann man ein mengentheoretisches Schema zur Konstruktion der Wahrscheinlichkeitstheorie und ihrer Axiomatik geben.

Bei einem Experiment mit zufälligem Ergebnis gibt es eine Menge aller möglichen Ergebnisse des Experiments. Jedes Element dieser Menge wird aufgerufen elementares Ereignis, das Set selbst ist elementarer Veranstaltungsraum. Jedes Ereignis SONDERN in der mengentheoretischen Interpretation gibt es eine Teilmenge der Menge : . Ist wiederum das Set SONDERN in mehrere sich nicht überschneidende Teilmengen ( at ) aufspaltet, dann werden die Ereignisse "Varianten" des Ereignisses genannt SONDERN. Auf Abb. 2.4 Ereignis SONDERN teilt sich in drei Optionen auf: .

Zum Beispiel beim Werfen Würfel Raum elementarer Ereignisse. Wenn Ereignis , dann Ereignisoptionen SONDERN: ,

Es kann auch eine Teilmenge der Menge selbst betrachtet werden - in diesem Fall wird sie es sein zuverlässig Veranstaltung. Dem gesamten Raum der elementaren Ereignisse wird eine leere Menge hinzugefügt; Dieses Set wird auch als Ereignis betrachtet, aber unmöglich.

Die mengentheoretische Interpretation der zuvor betrachteten Eigenschaften von Ereignissen lautet wie folgt:

1. Formular für mehrere Ereignisse volle Gruppe , wenn , d.h. ihre Summe (Kombination) ein zuverlässiges Ereignis ist.

2. Zwei Ereignisse SONDERN und BEIM namens unvereinbar, wenn sich die ihnen entsprechenden Mengen nicht schneiden, also . Mehrere Veranstaltungen werden aufgerufen paarweise inkompatibel, wenn das Erscheinen eines von ihnen das Erscheinen jedes anderen ausschließt: bei .

3. Die Summe zweier Ereignisse SONDERN und BEIM eine Veranstaltung genannt Mit, bestehend aus der Durchführung der Veranstaltung SONDERN oder Veranstaltungen BEIM, oder beide Ereignisse zusammen. Die Summe mehrerer Ereignisse ist ein Ereignis, das in der Ausführung mindestens eines von ihnen besteht.

4. Das Produkt zweier Ereignisse SONDERN und BEIM eine Veranstaltung genannt D, die in der gemeinsamen Durchführung der Veranstaltung besteht SONDERN und Veranstaltungen BEIM. Ein Produkt mehrerer Veranstaltungen ist eine Veranstaltung, die in der gemeinsamen Durchführung aller dieser Veranstaltungen besteht.

5. Gegenteil in Bezug auf die Veranstaltung SONDERN heißt ein Ereignis, das im Nichterscheinen besteht SONDERN und entsprechende Begleitveranstaltung SONDERN zu (siehe Abb. 2.5).

Basierend auf der obigen Interpretation von Ereignissen als Mengen werden die Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie formuliert.

Jede Veranstaltung SONDERN eine bestimmte Zahl wird zugeordnet, die als Wahrscheinlichkeit des Ereignisses bezeichnet wird. Da jedes Ereignis eine Menge ist, ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses Funktion einstellen.

Diese Ereigniswahrscheinlichkeiten müssen die folgenden Axiome erfüllen:

1. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses liegt zwischen null und eins:

2. Wenn SONDERN und BEIM sind inkompatible Ereignisse, d.h. dann

Dieses Axiom lässt sich leicht mit verallgemeinern assoziative Eigenschaft Ergänzung für beliebig viele Veranstaltungen. Wenn, dann

d.h. die Wahrscheinlichkeit der Summe unvereinbare Ereignisse gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse ist.

Dieses Axiom heißt Zusatz "Theorem"(für das Schema der Fälle kann es bewiesen werden), oder Regel der Addition von Wahrscheinlichkeiten.

3. Falls verfügbar zählbarer Satz inkompatible Ereignisse ( at ), dann

Dieses Axiom leitet sich nicht vom vorherigen Axiom ab und wird daher separat formuliert.

Für ein Fallschema (Urnenschema), also für Ereignisse mit den Eigenschaften Vollständigkeit, Inkompatibilität und Äquipotentialität, kann man aus der Additionsregel (2.1) die klassische Formel (1.1) zur direkten Berechnung von Wahrscheinlichkeiten ableiten.

Lassen Sie sich die Ergebnisse des Experiments im Formular präsentieren n inkompatible Fälle. Der Zufall begünstigt das Ereignis SONDERN wenn es eine Teilmenge darstellt SONDERN(), oder mit anderen Worten, dies ist eine Variante des Ereignisses SONDERN. Da sie also eine komplette Gruppe bilden

Nach der Additionsregel

wo wir hinkommen

Nach Einsetzen der erhaltenen Ausdrücke in (2.3) haben wir

Q.E.D.

Formel (2.3) kann auch für mehr als zwei gemeinsame Ereignisse hergeleitet werden.

Für mehrere Jahrhunderte nach Beginn ihrer systematischen Erforschung waren die Grundkonzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie noch nicht klar definiert. Die Unschärfe der grundlegenden Definitionen führte Forscher oft zu widersprüchlichen Schlussfolgerungen, und praktische probabilistische Anwendungen waren schlecht begründet. Weitere Entwicklung Naturwissenschaft erforderte ein systematisches Studium der Grundkonzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie und die Bestimmung der Bedingungen, unter denen es möglich ist, ihre Ergebnisse zu verwenden. Von besonderer Bedeutung war die formallogische Begründung der Wahrscheinlichkeitstheorie, die insbesondere um 1900 von D. Hilbert eingeordnet wurde kritische Fragen Mathematik.

Das formal-logische Konstruktionsprinzip verlangte, dass die Grundlage der Wahrscheinlichkeitstheorie einige axiomatische Prämissen seien, die eine Verallgemeinerung des Jahrhundertealten sind menschliche Erfahrung. Die Weiterentwicklung probabilistischer Konzepte musste mittels Deduktion aus axiomatischen Positionen aufgebaut werden, ohne auf unscharfe und intuitive Ideen zurückzugreifen. Diese Sichtweise wurde erstmals 1917 entwickelt. Sowjetischer Mathematiker S.N. Berstein. Gleichzeitig hat S.N. Bershtein kam qualitativer Vergleich zufällige Ereignisse entsprechend ihrer größeren oder geringeren Wahrscheinlichkeit. Eine mathematisch strenge Konstruktion der axiomatischen Wahrscheinlichkeitstheorie wurde von A.N. Kolmogorov im Jahr 1933, der die Wahrscheinlichkeitstheorie eng mit der Mengentheorie und der Maßtheorie verknüpfte. Die axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit als Sonderfälle umfasst sowohl klassische als auch statistische Definitionen und überwindet die Unzulänglichkeit eines jeden von ihnen.

Ausgangspunkt von A.N. Kolmogorov ist die Menge der Elementarereignisse ω, in spezielle Literatur Phasenraum genannt und traditionell mit Ω bezeichnet. Jedes beobachtbare Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit bestimmt werden muss, kann als eine Teilmenge des Phasenraums dargestellt werden. Daher wird neben der Menge Ω die Menge Θ von Teilmengen von Elementarereignissen betrachtet, deren symbolische Bezeichnung beliebig sein kann. Ein bestimmtes Ereignis ist durch den gesamten Phasenraum darstellbar. Eine Menge Θ heißt Mengenalgebra, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
1) Ω ∈ Θ, ∅ ∈ Θ;
2) die Tatsache, dass A ∈ Ω impliziert, dass auch $\bar A \in \Theta $;
3) die Tatsache, dass A ∈ Θ und B ∈ Θ impliziert, dass A ∪ B ∈ Θ und A ∩ B∈ Θ.

Wenn zusätzlich zu dem oben Genannten die folgende Anforderung erfüllt ist:
4) die Tatsache, dass A n ∈ Θ (für n = 1,2...) impliziert, dass $\mathop \cup \limits_n (A_n) \in \Theta $ und $\mathop \cap \limits_n (A_n ) \in \Theta $, dann heißt die Menge Θ σ-Algebra. Die Elemente von Θ heißen Zufällige Ereignisse.

Operationen auf Zufallsereignisse werden in der axiomatischen Wahrscheinlichkeitstheorie als Operationen auf den entsprechenden Mengen verstanden. Als Ergebnis ist es möglich, eine gegenseitige Entsprechung zwischen den Begriffen der Sprache der Mengenlehre und der Sprache der Wahrscheinlichkeitstheorie herzustellen.

Als Axiome, die die Wahrscheinlichkeit definieren, A.N. Kolmogorov akzeptierte die folgenden Behauptungen:

Axiom 1. Zu jedem Zufälliges Ereignis Und ausgerichtet nicht negative Zahl P (A) , genannt seine Wahrscheinlichkeit.
Axiom 2. P(Ω)= 1.
Axiom 3 (Additionsaxiom). Wenn die Ereignisse A 1 , A 2 , ..., A n paarweise inkompatibel sind, dann

P(A 1 + A 2 + ... + A n) = P (A 1) + P (A 2) + ... + P (A n).

Die folgenden Aussagen sind Konsequenzen aus den formulierten Axiomen.

1. Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist Null: P(∅) = 0.
2. Für jedes Ereignis A $P(\bar A) = 1 - P(A)$.
3. Was auch immer das zufällige Ereignis A ist, 0 ≤ P(A) ≤ 1.
4. Wenn Ereignis A Ereignis B nach sich zieht, dann gilt P(A) ≤ P(B).

Ein Wahrscheinlichkeitsraum wird normalerweise als Tripel von Symbolen (Ω, Θ, P) bezeichnet, wobei Ω die Menge der elementaren Ereignisse ω, Θ – σ die Algebra der Teilmengen von Ω ist, die als zufällige Ereignisse bezeichnet werden, und P(A) die Wahrscheinlichkeit definiert auf σ, die Algebra Θ.

Nach der Axiomatik von A.N. Kolmogorov wird jedem beobachteten Ereignis eine bestimmte nicht negative Zahl, die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses genannt, zugeordnet, so dass die Wahrscheinlichkeit des gesamten Phasenraums gleich 1 ist, und die Eigenschaft Sigma-Additivität. Die letzte Eigenschaft bedeutet, dass bei paarweise sich gegenseitig ausschließenden Ereignissen die Eintrittswahrscheinlichkeit gem wenigstens eines (und wegen paarweiser Inkompatibilität genau eines) beobachteten Ereignisses mit der Summe der Wahrscheinlichkeiten von beobachteten Ereignissen aus einer gegebenen endlichen oder zählbaren Menge von beobachteten Ereignissen zusammenfällt.

Im Falle einer Wahrscheinlichkeitsdefinition auf einer σ - Algebra, die aus einigen Teilmengen von Ω besteht, kann die erste nicht so auf andere Teilmengen von Ω erweitert werden, dass die Sigma-Additivitätseigenschaft erhalten bleibt, es sei denn, Ω besteht aus einem Endlichen oder abzählbare Anzahl von Elementen. Die Einführung der Sigma-Additivität hat auch zu einer Reihe von Paradoxien geführt. Daher zusammen mit der Sigma-Additivität die Eigenschaft Additivität, was als Äquivalenz des Maßes der Vereinigung zweier unvereinbarer Ereignisse mit der Summe der Maße dieser Ereignisse verstanden wird. Fast sofort zeigte sich jedoch, dass das Ersetzen von Sigma-Additivität durch Additivität nicht nur nicht alle Probleme löst, sondern auch zu anderen paradoxen Ergebnissen führt.

Das System der Kolmogorov-Axiome ist relativ konsistent und unvollständig, ermöglicht es Ihnen, die Wahrscheinlichkeitstheorie als Teil der Maßtheorie aufzubauen und die Wahrscheinlichkeit als nicht negative normalisierte additive Mengenfunktion zu betrachten. Obwohl in der Wahrscheinlichkeitstheorie A.N. Die Kolmogorov-Wahrscheinlichkeit ist immer nicht negativ, einige Sätze der Wahrscheinlichkeitstheorie können auf den Fall verallgemeinert werden negative Zahlen fungieren als Wahrscheinlichkeiten und erhalten auch andere Verallgemeinerungen der Wahrscheinlichkeit.

Einige grundlegende mathematische Theorien erben die grundlegenden Konzepte, Konstruktionen und Terminologie der Wahrscheinlichkeitstheorie. Das ist insbesondere die Möglichkeitstheorie, die auch Möglichkeitsräume und Elementarereignisse berücksichtigt, σ - Algebra.

Axiomatik der Wahrscheinlichkeitstheorie

Oben vorgeschlagen klassische Definition Wahrscheinlichkeiten zusammen mit offensichtliche Vorzüge, in erster Linie Einfachheit und intuitive Klarheit, hat eine Reihe von erheblichen Nachteilen: Es liefert nur eine endliche oder abzählbare Menge von Elementarereignissen und die Kenntnis ihrer Wahrscheinlichkeiten ist zwingend erforderlich. All dies ist keineswegs immer der Fall, weshalb die eingeführte Definition nicht allgemein genug ist. Gegenwärtig hat sich die axiomatische Konstruktion der Wahrscheinlichkeitstheorie durchgesetzt.

Axiome sind in der Mathematik Aussagen, die als wahr akzeptiert und nicht im Rahmen einer gegebenen Theorie bewiesen werden. Alle anderen Bestimmungen dieser Theorie müssen rein abgeleitet werden logischer Weg aus den akzeptierten Axiomen. Die Formulierung der Axiome ist es nicht Erstphase Entwicklung mathematische Wissenschaft, sondern ist das Ergebnis einer langen Ansammlung von Fakten und logische Analyse erzielte Ergebnisse, um die wirklich grundlegenden Primärfakten aufzudecken. So wurden die Axiome der Geometrie gebildet. Einen ähnlichen Weg hat die Wahrscheinlichkeitstheorie beschritten, bei der die axiomatische Konstruktion ihrer Grundlagen eine Sache der relativ jungen Vergangenheit war. Das Problem der axiomatischen Konstruktion der Wahrscheinlichkeitstheorie wurde erstmals 1917 vom sowjetischen Mathematiker S.N. Bernstein.

Gegenwärtig ist die Axiomatik des Akademikers A.N. Kolmogorov (1933), der die Wahrscheinlichkeitstheorie mit der Mengentheorie und der metrischen Funktionstheorie verbindet.

In der Axiomatik von A.N. Kolmogorov, der Raum (die Menge) der elementaren Ergebnisse Ω ist primär. Wofür sind die Elemente dieses Sets? logische Entwicklung Wahrscheinlichkeitstheorie ist irrelevant. Als nächstes betrachten wir ein System F von Teilmengen der Menge Ω; Elemente des Systems F werden Zufallsereignisse genannt. Hinsichtlich der Struktur des Systems F werden die folgenden drei Anforderungen als erfüllt angenommen:

1. Die Teilmenge F enthält als Element ein bestimmtes Ereignis Ω.

2. Wenn A und B zwei auf Ω definierte Ereignisse sind, als Elemente in der Teilmenge F enthalten sind, dann enthält die Teilmenge F auch A + B, A ∙ B als Elemente,

3. Wenn die auf Ω definierten Ereignisse À 1 , À 2 , … Elemente der Teilmenge F sind, dann ihre Summe und Arbeit sind auch Elemente der Teilmenge F.

Der Satz F wird auf die oben beschriebene Weise gebildet genannt "σ-Algebra der Ereignisse".

Wir wenden uns nun der Formulierung der Axiome zu, die die Wahrscheinlichkeit definieren.

Axiom 1.(Axiom der Existenz der Wahrscheinlichkeit). Jedem zufälligen Ereignis A aus der σ-Algebra der Ereignisse F ist eine nicht negative Zahl p(A) zugeordnet, die als Wahrscheinlichkeit bezeichnet wird.

Axiom 2.(Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses). Die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses ist gleich 1: Р(Ω)=1. (1.15)

Axiom 3.(Additionsaxiom). Wenn die Ereignisse A und B nicht kompatibel sind, dann

P(A+B) = P(A)+P(B). (1.16)

Axiom 4.(erweitertes Axiom der Addition). Wenn das Ereignis A dem Auftreten mindestens eines der paarweise inkompatiblen Ereignisse A 1 , A 2 , … entspricht, also , dann ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A gleich

Elementare Informationen aus der Mengenlehre

viele jede Sammlung von Objekten beliebiger Natur wird aufgerufen, von denen jedes aufgerufen wird Set-Element.

Beispiele für Sets: viele Studenten in einer Vorlesung; die Menge der Punkte auf einer Ebene, die innerhalb eines Radiuskreises liegen r; Menge von Punkten auf der reellen Achse, die Entfernung von der zum Punkt b mit Abszisse a weniger als d; Menge natürlicher Zahlen.

Mengen werden auf unterschiedliche Weise bezeichnet. Ein Haufen M Natürliche Zahlen von 1 bis 100 können geschrieben werden als

Die Menge der Punkte auf der Zahlenachse, die Entfernung von der zum Punkt b mit Abszisse a weniger als d, kann geschrieben werden als

wo x- die Abszisse des Punktes.

Die Menge der ebenen Punkte, die innerhalb oder auf der Grenze eines Radiuskreises liegen r am Ursprung zentriert,

wo x, j sind die kartesischen Koordinaten des Punktes.

Ein weiterer Eintrag dieses Sets

wo ist eine der Polarkoordinaten des Punktes.

Die Menge aller natürlichen Zahlen ist unendlich, genauso wie die Menge der geraden Zahlen unendlich ist.

Eine unendliche Menge heißt abzählbar, wenn alle ihre Elemente in einer bestimmten Reihenfolge angeordnet und nummeriert werden können (beide Mengen, und , sind abzählbar).

Sätze S und C sind unendlich und nicht zählbar (ihre Elemente können nicht nummeriert werden).

Eine Menge, die kein Element enthält, wird aufgerufen leer und ist mit dem Symbol gekennzeichnet.

Ein Haufen BEIM heißt Teilmenge (Teil) der Menge SONDERN wenn alle Elemente BEIM sind auch darin enthalten SONDERN, und wird als oder bezeichnet. Zum Beispiel, .

Zum Beispiel: .

Geometrische Interpretation der Vereinigung zweier Mengen SONDERN und BEIM in Abb. gezeigt. 2.2.

Die Vereinigung (Summe) mehrerer Mengen wird ähnlich definiert

wobei die resultierende Menge die Menge aller Elemente ist, die in mindestens einer der Mengen enthalten sind: .

Schnittmenge (Produkt) von Mengen SONDERN und BEIM heißt Menge D, bestehend aus gleichzeitig und in enthaltenen Elementen SONDERN, und in :

Die geometrische Interpretation des Schnittpunkts ist in Abb. 1 dargestellt. 2.3.

Der Schnittpunkt mehrerer Mengen wird ähnlich definiert

als ein Satz, der aus Elementen besteht, die gleichzeitig in allen Sätzen enthalten sind.

Die Operationen Vereinigung (Addition) und Schnittmenge (Multiplikation) von Mengen haben eine Reihe von Eigenschaften, die den Eigenschaften der Addition und Multiplikation von Zahlen ähneln:

1. Verschiebungseigenschaft:

2. Assoziatives Eigentum:

3. Verteilungseigenschaft:

Das Addieren der leeren Menge und das Multiplizieren mit der leeren Menge ähneln den entsprechenden Operationen mit Zahlen, wenn Sie Null als leere Menge betrachten:

Einige Operationen auf Mengen haben insbesondere keine Analoga zu gewöhnlichen Operationen auf Zahlen

Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie und ihre Konsequenzen.

Wahrscheinlichkeitsadditionsregeln

Mit elementaren Informationen zur Mengenlehre kann man ein mengentheoretisches Schema zur Konstruktion der Wahrscheinlichkeitstheorie und ihrer Axiomatik geben.

Zum Beispiel beim Würfeln der Raum elementarer Ereignisse. Wenn Ereignis , dann Ereignisoptionen SONDERN: ,

Die mengentheoretische Interpretation der zuvor betrachteten Eigenschaften von Ereignissen lautet wie folgt:

1. Formular für mehrere Ereignisse volle Gruppe, wenn , d.h. ihre Summe (Kombination) ein zuverlässiges Ereignis ist.

5. Gegenteil in Bezug auf die Veranstaltung SONDERN heißt ein Ereignis, das im Nichterscheinen besteht SONDERN und entsprechende Begleitveranstaltung SONDERN zu (siehe Abb. 2.5).

Basierend auf der obigen Interpretation von Ereignissen als Mengen werden die Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie formuliert.

Diese Ereigniswahrscheinlichkeiten müssen die folgenden Axiome erfüllen:

1. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses liegt zwischen null und eins:

2. Wenn SONDERN und BEIM sind inkompatible Ereignisse, d.h. dann

Dieses Axiom kann leicht verallgemeinert werden, indem man die assoziative Eigenschaft der Addition auf eine beliebige Anzahl von Ereignissen verwendet. Wenn, dann

d.h. die Wahrscheinlichkeit der Summe inkompatibler Ereignisse ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse.

Dieses Axiom heißt Zusatz "Theorem"(für das Schema der Fälle kann es bewiesen werden), oder Regel der Addition von Wahrscheinlichkeiten.

3. Falls verfügbar zählbarer Satz inkompatible Ereignisse ( at ), dann

Dieses Axiom leitet sich nicht vom vorherigen Axiom ab und wird daher separat formuliert.

Aber alle Fälle sind unvereinbar, und für sie gilt die Regel der Wahrscheinlichkeitsaddition

Außerdem sind da ja dann alle Veranstaltungen gleichermaßen möglich

Fälle, die für ein Ereignis günstig sind, bilden seine Varianten, und da die Wahrscheinlichkeit von jedem von ihnen ist, erhalten wir durch die Additionsregel

Aber das ist die klassische Formel (1.1).

Folgen der Wahrscheinlichkeitsadditionsregel

1. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten einer vollständigen Gruppe unvereinbarer Ereignisse ist gleich eins, d.h. wenn

Nachweisen. Da die Ereignisse inkompatibel sind, gilt für sie die Additionsregel

2. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten entgegengesetzter Ereignisse ist gleich eins:

wie die Ereignisse SONDERN und bilden eine komplette Gruppe.

Die Regel wird häufig bei Problemen verwendet, bei denen es einfacher ist, die Wahrscheinlichkeit des gegenteiligen Ereignisses zu berechnen.

3. Wenn Ereignisse SONDERN und BEIM kompatibel sind, d.h. dann

Nachweisen. Darstellen als Summe inkompatibler (nicht überlappender) Optionen (siehe Abb. 2.6)

Nach der Additionsregel

wo wir hinkommen

Nach Einsetzen der erhaltenen Ausdrücke in (2.3) haben wir

Q.E.D.

Formel (2.3) kann auch für mehr als zwei gemeinsame Ereignisse hergeleitet werden.

Sei der Raum der elementaren Ereignisse, sei die Algebra der Ereignisse (die Algebra der Teilmengen der Menge). Die folgenden fünf Axiome liegen der Wahrscheinlichkeitstheorie zugrunde.

1. Die Algebra der Ereignisse ist - die Algebra der Ereignisse.

Das Ereignissystem heißt - Algebra, wenn zu einer beliebigen Folge von Ereignissen auch ihre Vereinigung, Schnittmenge und Addition gehören, d.h. , sind ebenfalls Veranstaltungen. Somit ist - Algebra ein System von Ereignissen, das unter den Operationen Komplement, zählbare Vereinigung und zählbare Schnittmenge abgeschlossen ist.

2. Auf der - Algebra der Ereignisse wird für jede eine Funktion definiert, die als Wahrscheinlichkeit und Einnahme bezeichnet wird Zahlenwerte aus Intervall : .

Dieses Axiom ist das Axiom der Existenz von Wahrscheinlichkeiten – als Funktion von on mit Werten aus dem Intervall. Die nächsten drei Axiome definieren die Eigenschaften einer Funktion.

3. Für zwei beliebige Ereignisse wie das

Axiom der Addition von Wahrscheinlichkeiten.

Daraus folgt das für eine endliche Anzahl inkompatibler Ereignisse

4. Let, - paarweise inkompatible Ereignisse: und let. Dann

Die Beziehung (15.3) heißt das Axiom der abzählbaren Additivität der Wahrscheinlichkeit oder das Axiom der Kontinuität der Wahrscheinlichkeit. Die zweite bezieht sich auf die folgende Interpretation der Gleichheit (15.3). Das Ereignis ist als Grenze der Sequenz zu verstehen

Dabei kann die Gleichheit (15.3) als Eigenschaft der Stetigkeit der Funktion verstanden werden: oder

Dadurch kann die Grenzoperation aus der Funktion herausgenommen werden. Dies liegt daran, dass aus Bedingung (15.5) (15.3) folgt:

Das fünfte Axiom weist darauf hin, dass der Raum elementarer Ereignisse ein bestimmtes Ereignis ist. Somit enthält es alle Ereignisse, die in diesem Problem berücksichtigt werden können.

Der Raum der Elementarereignisse, - die Algebra der Ereignisse und die Wahrscheinlichkeit an, die die Axiome 1-5 erfüllen, bilden den sogenannten Wahrscheinlichkeitsraum, der üblicherweise bezeichnet wird.

Beachten Sie, dass das System der Axiome 1-5 nicht widersprüchlich ist, da es existiert, die diese Axiome erfüllen, und nicht vollständig ist, da die Wahrscheinlichkeit im Rahmen der Axiome 2-5 auf viele Arten definiert werden kann. Das Konzept eines Wahrscheinlichkeitsraums (oder eines Systems der Axiome 1-5) enthält nur das Meiste Allgemeine Anforderungen vorgelegt mathematisches Modell Zufallsphänomen und bestimmt nicht eindeutig die Wahrscheinlichkeit. Letzteres ist nur möglich, wenn zusätzliche Bedingungen in der Formulierung des betrachteten Problems gegeben.

Diskreter Wahrscheinlichkeitsraum

Ein Wahrscheinlichkeitsraum heißt diskret, wenn er endlich oder abzählbar ist, - - die Algebra aller Teilmengen (einschließlich), die Wahrscheinlichkeit ist für jede Ein-Punkt-Teilmenge des Raums der Elementarereignisse definiert:

Für jedes Ereignis wird seine Wahrscheinlichkeit durch die Gleichheit bestimmt

Beispiele - Algebren

17.1. Sei ein beliebiger Raum elementarer Ereignisse, auf dem keine Ereignisse spezifiziert sind. Um eine Algebra zu konstruieren, müssen gemäß der Definition (Punkt 15) alle Additionen, Vereinigungen und Schnittmengen berücksichtigt werden Ereignisse festlegen und fügen Sie sie in - Algebra ein. Weil in dieser Fall gibt es ein einzelnes Ereignis, ist es möglich, nur sein Komplement zu konstruieren. Jetzt gibt es ein System aus zwei Ereignissen ( ). Die weitere Anwendung der Additions-, Vereinigungs- und Schnittoperationen ergibt keine neuen Ereignisse. Also hinein dieses Beispiel- Algebra.

17.2. Sei der Raum elementarer Ereignisse und ein Ereignis, das nicht zusammenfällt, d.h. . Es gibt also ein System aus zwei Ereignissen. Dieses System kann erweitert werden, um neue Ereignisse einzubeziehen, die als Ergebnis von Additions-, Vereinigungs- und Schnittoperationen an Ereignissen erhalten werden. Es ist sinnvoll, den Vorgang des Erweiterns des Ereignissystems so lange fortzusetzen, bis das Erscheinen neuer Ereignisse aufhört. Das einschränkende Ereignissystem wird die vom Ereignissystem erzeugte Algebra genannt.

Betrachten Sie die Additionsoperation bei Systemereignissen. Das Ergebnis sind neue Ereignisse, die nicht in enthalten sind ursprüngliches System, deren Einbeziehung ergibt neues System Veranstaltungen

Offensichtlich ergeben nachfolgende Additions-, Vereinigungs- und Schnittoperationen keine neuen Ereignisse, die nicht in (17.1) enthalten sind. Das Ereignissystem (17.1) ist also eine vom System erzeugte Algebra.

17.3. Machen wir das Beispiel komplizierter. Sei der Raum von Elementarereignissen, seien zwei unvereinbare Ereignisse, so dass. Somit gibt es ein System von drei Ereignissen. Die Vereinigungsoperation an den Ereignissen dieses Systems führt zum Erscheinen eines neuen Ereignisses. Das resultierende System von vier Ereignissen wird durch Einbeziehen ihrer Hinzufügungen auf acht erweitert. Es ist leicht zu erkennen, dass die Anwendung der Additions-, Vereinigungs- und Schnittoperationen auf diese acht Ereignisse keine neuen Ereignisse erzeugt. Also das System der acht Ereignisse

ist eine Algebra, die von einem System von Ereignissen erzeugt wird.

17.4. Betrachten Sie - den Raum von Elementarereignissen und zwei willkürlichen Ereignissen, Abb. 17.1. Um eine von einem bestimmten Ereignissystem erzeugte Algebra zu konstruieren, ist es in vielen Fällen bequem, die folgende Methode anzuwenden.

Wir heben alle inkompatiblen Ereignisse hervor, Abb. 17.1. Gleichzeitig usw. - Die Algebra wird alle Ereignisse, alle Vereinigungen von Ereignissen und auch enthalten unmögliches Ereignis. In der Tat erzeugt die Schnittoperation beliebiger Ereignisse aus der Menge ein einzelnes Ereignis. Die Additionsoperation für Ereignisse aus der Menge erzeugt ein Ereignis, das durch die Vereinigung von Ereignissen ausgedrückt wird. Folglich reicht es aus, nur die Operation der Vereinigung über Ereignisse zu betrachten, anstatt drei Operationen - Addition, Schnittmenge, Vereinigung - für das ursprüngliche System von Ereignissen.

Nun, um Algebra zu bauen, betrachten Sie die Ereignisse, all ihre Kombinationen und drücken Sie die resultierenden Ereignisse durch die ursprünglichen aus. Offensichtlich: , . Paarweise Vereinigungen geben die folgenden Ereignisse aus: , ; , ; . Dreifachverbände: , .

Also, - die Algebra enthält die Ereignisse: , ; , ; , sowie und - insgesamt 16 Veranstaltungen.

Beachten Sie, dass bei der Definition von Algebra das erzeugende Ereignissystem in der Regel aus im Experiment beobachteten Ereignissen besteht.

Wir stellen fest, dass die Ereignisse mit den Ereignissen (8.1) übereinstimmen, die bei der Ableitung der Additionsformel für Häufigkeiten berücksichtigt wurden. Tatsächlich und schließlich durch die Formel (6.1) .

17.5. Betrachten Sie eine Verallgemeinerung von Beispiel 4. Lassen Sie das ursprüngliche System von Ereignissen - willkürliche Ereignisse enthalten. Um eine Algebra wie in Beispiel 4 zu konstruieren, führen wir Ereignisse der Form ein

wo jedes oder, und und. Da jeder zwei Werte 0 oder 1 annehmen kann, ist die Anzahl aller Ereignisse des Formulars gleich. Diese Ereignisse bilden eine vollständige Gruppe von inkompatiblen Ereignissen. Somit spielen Ereignisse in der Algebra die Rolle einer orthogonalen Basis, die es ermöglicht, sie darzustellen willkürliches Ereignis durch inkompatible (orthogonale im Sinne der Schnittoperation) Ereignisse. In der Mengenlehre werden Mengen einer Art Konstituenten genannt. Der konstituierende Apparat ermöglicht es uns zu zeigen, dass in diesem Beispiel die Anzahl aller Ereignisse - Algebra (einschließlich und) nicht überschreitet und die Anzahl der Ereignisse erreicht höchster Wert wenn alle unterschiedlich sind (wie in Beispiel 4). Dieses Ergebnis ermöglicht es, die hohe Wachstumsrate der Anzahl von Ereignissen in - Algebra abhängig von - der Anzahl von Ereignissen im ursprünglichen System zu beurteilen. Zum Beispiel 4, die Zahl, daher ist die Anzahl der Ereignisse in - Algebra gleich.

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