Harmonische Schwingungen

Funktionsgraphen f(x) = Sünde ( x) und g(x) = cos( x) in der kartesischen Ebene.

harmonische Schwingung- Schwankungen, bei denen sich eine physikalische (oder andere) Größe im Laufe der Zeit gemäß einem Sinus- oder Kosinusgesetz ändert. Die kinematische Gleichung harmonischer Schwingungen hat die Form

,

wo X- Verschiebung (Abweichung) des Schwingungspunktes von der Gleichgewichtslage zum Zeitpunkt t; SONDERN- Schwingungsamplitude, dies ist der Wert, der die maximale Abweichung des Schwingungspunktes von der Gleichgewichtsposition bestimmt; ω - zyklische Frequenz, ein Wert, der die Anzahl vollständiger Schwingungen angibt, die innerhalb von 2π Sekunden auftreten - komplette Phase Schwingungen, - Anfangsphase von Schwingungen.

Verallgemeinerte harmonische Schwingung in differentielle Form

(Jede nicht triviale Lösung dafür Differentialgleichung- es gibt eine harmonische Schwingung mit zyklische Frequenz )

Arten von Vibrationen

Zeitliche Entwicklung von Verschiebung, Geschwindigkeit und Beschleunigung in harmonischer Bewegung

• Freie Schwingungen werden unter Einwirkung der inneren Kräfte des Systems hergestellt, nachdem das System aus dem Gleichgewicht gebracht wurde. Zu freie Schwingungen harmonisch waren, ist es notwendig, dass das schwingungsfähige System linear ist (beschrieben lineare Gleichungen Bewegung), und es gab keine Energiedissipation (letzteres würde eine Dämpfung verursachen).
• Erzwungene Schwingungen unter dem Einfluss einer äußeren periodischen Kraft durchgeführt. Damit sie harmonisch sind, genügt es, dass das schwingungsfähige System linear ist (beschrieben durch lineare Bewegungsgleichungen), und die äußere Kraft selbst sich mit der Zeit als harmonische Schwingung ändert (das heißt, dass die Zeitabhängigkeit dieser Kraft sinusförmig ist). .

Anwendung

Harmonische Schwingungen heben sich aus folgenden Gründen von allen anderen Schwingungsarten ab:

siehe auch

Anmerkungen

Literatur

• Physik. Grundschullehrbuch Physik / Ed. G. S. Lansberg. - 3. Aufl. - M., 1962. - T. 3.
• Khaykin S.E. Physikalische Grundlagen Mechanik. -M., 1963.
• A. M. Afonin. Physikalische Grundlagen der Mechanik. - Hrsg. MSTU im. Bauman, 2006.
• Gorelik G.S. Schwingungen und Wellen. Einführung in die Akustik, Radiophysik und Optik. - M.: Fizmatlit, 1959. - 572 S.

Wikimedia-Stiftung. 2010 .

Sehen Sie in anderen Wörterbüchern, was "harmonische Schwingungen" sind:

Moderne Enzyklopädie

Harmonische Schwingungen- HARMONISCHE SCHWINGUNGEN, periodische Änderungen einer physikalischen Größe, die nach dem Sinusgesetz auftreten. Grafisch werden harmonische Schwingungen durch eine Sinuskurve dargestellt. Harmonische Schwingungen Einfachste Form periodische Bewegungen, gekennzeichnet durch ... Illustriertes enzyklopädisches Wörterbuch

Schwankungen, bei denen sich eine physikalische Größe nach dem Sinus- oder Kosinusgesetz über die Zeit ändert. Grafisch werden G bis durch eine Sinus- oder Kosinuskurve dargestellt (siehe Abb.); sie können in der Form geschrieben werden: x = Asin (ωt + φ) oder x ... Große sowjetische Enzyklopädie

HARMONISCHE SCHWINGUNGEN, periodische Bewegung, wie die Bewegung des PENDELS, atomare Schwingungen oder Schwingungen in elektrische Schaltung. Ein Körper führt ungedämpfte harmonische Schwingungen aus, wenn er entlang einer Linie schwingt und sich an derselben bewegt ... ... Wissenschaftliches und technisches Lexikon

Schwingungen, bei k ryh physikalisch. (oder jeder andere) Wert ändert sich im Laufe der Zeit gemäß einem Sinusgesetz: x = Asin (wt + j), wobei x der Wert des oszillierenden Werts in der gegebenen ist. Zeitpunkt t (für mechanische G. bis. z. B. Weg oder Geschwindigkeit, für ... ... Physikalische Enzyklopädie

harmonische Schwingungen- Mechanische Schwingungen, bei denen sich die verallgemeinerte Koordinate und (oder) die verallgemeinerte Geschwindigkeit proportional zum Sinus mit linear zeitabhängigem Argument ändern. [Sammlung empfohlener Begriffe. Ausgabe 106. Mechanische Schwingungen. Akademie der Wissenschaften ... Handbuch für technische Übersetzer

Schwingungen, bei k ryh physikalisch. (oder jede andere) Größe ändert sich zeitlich nach einem Sinusgesetz, wobei x der Wert der oszillierenden Größe zur Zeit t ist (für mechanische G. bis. z. B. Weg und Geschwindigkeit, für elektrische Spannung und Strom) .. . Physikalische Enzyklopädie

HARMONISCHE SCHWINGUNGEN- (siehe), in dem physikalisch. der Wert ändert sich mit der Zeit nach dem Gesetz von Sinus oder Kosinus (z. B. Änderungen (siehe) und Geschwindigkeit während der Schwingung (siehe) oder Änderungen (siehe) und Stromstärke mit elektrischem G. bis.) ... Große polytechnische Enzyklopädie

Sie sind gekennzeichnet durch eine Änderung des Schwingungswertes x (z. B. die Abweichung des Pendels von der Gleichgewichtslage, die Spannung im Wechselstromkreis usw.) in der Zeit t nach dem Gesetz: x = Asin (?t + ?), wobei A die Amplitude harmonischer Schwingungen ist, ? Ecke… … Großes enzyklopädisches Wörterbuch

Harmonische Schwingungen- 19. Harmonische Schwingungen Schwingungen, bei denen sich die Werte der schwingenden Größe zeitlich nach dem Gesetz ändern Quelle ... Wörterbuch-Nachschlagewerk von Begriffen der normativen und technischen Dokumentation

Periodisch Schwankungen, mit krykh zeitlicher Veränderung physikalisch. Die Größe erfolgt nach dem Sinus- bzw. Kosinusgesetz (siehe Abb.): s = Asin (wt + f0), wobei s die Abweichung des schwankenden Wertes von seinem vgl. (Gleichgewichts-)Wert, A=const Amplitude, w= const kreisförmig ... Großes enzyklopädisches polytechnisches Wörterbuch

1.18. HARMONISCHE SCHWINGUNGEN UND IHRE EIGENSCHAFTEN

Definition von harmonischen Schwingungen. Eigenschaften harmonischer Schwingungen: Verschiebung aus der Gleichgewichtslage, Amplitude der Schwingung, Phase der Schwingung, Frequenz und Periode der Schwingung. Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Schwingungspunktes. Energie des harmonischen Oszillators. Beispiele für harmonische Oszillatoren: mathematische, Feder-, Torsions- und physikalische Pendel.

Akustik, Funktechnik, Optik und andere Wissenschafts- und Technikzweige basieren auf der Lehre von Schwingungen und Wellen. Große Rolle spielt die Theorie der Schwingungen in der Mechanik, insbesondere in Berechnungen zur Festigkeit von Flugzeugen, Brücken, bestimmte Typen Maschinen und Knoten.

Schwankungen sind Prozesse, die sich in regelmäßigen Abständen wiederholen (aber nicht alle sich wiederholenden Prozesse sind Schwankungen!). Abhängig von körperliche Natur eines sich wiederholenden Prozesses werden mechanische, elektromagnetische, elektromechanische usw. Schwingungen unterschieden. Bei mechanischen Schwingungen ändern sich die Positionen und Koordinaten von Körpern periodisch.

Wiederherstellungskräfte - die Kraft, unter deren Wirkung der Schwingungsvorgang auftritt. Diese Kraft neigt dazu, den Körper- oder Materialpunkt, der von der Ruheposition abweicht, in seine ursprüngliche Position zurückzubringen.

Je nach Art des Aufpralls auf einen schwingenden Körper können freie (oder natürliche) Schwingungen u erzwungene Schwingungen.

Je nach Art der Einwirkung auf ein schwingendes System werden freie Schwingungen, erzwungene Schwingungen, Eigenschwingungen und parametrische Schwingungen unterschieden.

Frei (besitzen) Als Schwingungen werden solche Schwingungen bezeichnet, die in einem sich selbst überlassenen System auftreten, nachdem es angestoßen oder aus einer Gleichgewichtslage gebracht wurde, d.h. wenn nur die Rückstellkraft auf den schwingenden Körper wirkt, zum Beispiel die Schwingungen einer an einem Faden aufgehängten Kugel. Um Vibrationen zu verursachen, müssen Sie die Kugel entweder drücken oder beiseite schieben und loslassen. Für den Fall, dass keine Energiedissipation auftritt, sind freie Schwingungen ungedämpft. Echte Schwingungsvorgänge werden jedoch gedämpft, weil Auf einen schwingenden Körper wirken Widerstandskräfte (hauptsächlich Reibungskräfte).

· gezwungen werden solche Schwingungen genannt, bei denen das schwingende System einer äußeren periodisch wechselnden Kraft ausgesetzt ist (z. B. Schwingungen einer Brücke, die entstehen, wenn Menschen im Gleichschritt darüber gehen). In vielen Fällen führen Systeme Schwingungen aus, die als harmonisch angesehen werden können.

· Eigenschwingungen , sowie erzwungene Schwingungen gehen mit einem Stoß auf das schwingende System einher äußere Kräfte jedoch werden die Zeitpunkte, zu denen diese Aktionen ausgeführt werden, durch das schwingende System selbst bestimmt. Das heißt, das System selbst steuert den äußeren Einfluss. Ein Beispiel für ein selbstoszillierendes System ist eine Uhr, bei der das Pendel aufgrund der Energie eines angehobenen Gewichts oder einer verdrehten Feder Stöße erhält, und diese Stöße treten in den Momenten auf, in denen das Pendel die mittlere Position durchläuft.

· Parametrisch Schwingungen werden mit einer periodischen Änderung der Parameter des schwingenden Systems ausgeführt (eine Person, die auf einer Schaukel schwingt, hebt und senkt periodisch ihren Schwerpunkt, wodurch sich die Parameter des Systems ändern). Unter bestimmten Bedingungen wird das System instabil - eine zufällige Abweichung von der Gleichgewichtslage führt zum Entstehen und Anwachsen von Schwingungen. Dieses Phänomen wird als parametrische Anregung von Schwingungen bezeichnet (d. h. Schwingungen werden angeregt, indem die Parameter des Systems geändert werden), und die Schwingungen selbst werden als parametrisch bezeichnet.

Trotz der unterschiedlichen physikalischen Natur sind die Schwingungen durch die gleichen Regelmäßigkeiten gekennzeichnet, die mit allgemeinen Methoden untersucht werden. Eine wichtige kinematische Eigenschaft ist die Schwingungsform. Sie wird durch die Form der Zeitfunktion bestimmt, die die Veränderung der einen oder anderen physikalischen Größe bei Schwingungen beschreibt. Am wichtigsten sind solche Schwankungen, bei denen sich der schwankende Wert mit der Zeit ändert nach dem Gesetz von Sinus oder Cosinus . Sie werden gerufen harmonisch .

Harmonische Schwingungen werden Schwingungen genannt, bei denen sich die schwingende physikalische Größe nach dem Sinus- (oder Cosinus-) Gesetz ändert.

Diese Art von Oszillation ist aus den folgenden Gründen besonders wichtig. Erstens haben Schwingungen in Natur und Technik oft einen sehr harmonischen Charakter. Zweitens lassen sich periodische Vorgänge anderer Form (mit anderer Zeitabhängigkeit) als Überlagerung bzw. Überlagerung harmonischer Schwingungen darstellen.

Harmonische Oszillatorgleichung

Die harmonische Schwingung wird durch das Periodengesetz beschrieben:

Reis. 18.1. harmonische Schwingung

W

hier
- charakterisiert Veränderung jede physikalische Größe bei Schwingungen (Verschiebung der Position des Pendels aus der Gleichgewichtslage; Spannung am Kondensator in Schwingkreis usw.), EIN - Schwingungsamplitude ,
- Oszillationsphase , - Anfangsphase ,
- zyklische Frequenz ; Wert
auch genannt besitzen Oszillationsfrequenz. Dieser Name betont, dass diese Frequenz durch die Parameter des schwingungsfähigen Systems bestimmt wird. Ein System, dessen Bewegungsgesetz die Form (18.1) hat, heißt eindimensionaler harmonischer Oszillator . Zusätzlich zu den oben genannten Größen werden die folgenden Konzepte zur Charakterisierung von Schwingungen eingeführt: Zeitraum , d.h. Zeit einer Schwingung.

(Eine Schwingungsperiode T bezeichnet die kleinste Zeitspanne, nach der sich die Zustände des schwingenden Systems wiederholen (eine vollständige Schwingung wird durchgeführt) und die Phase der Schwingung ein Inkrement 2p erhält).

und Frequenzen
, die die Anzahl der Schwingungen pro Zeiteinheit bestimmt. Die Einheit der Frequenz ist die Frequenz einer solchen Schwingung, deren Periode 1 s beträgt. Diese Einheit heißt Hertz (Hertz ).

Oszillationsfrequenzn wird Kehrwert der Schwingungsdauer genannt - die Anzahl vollständiger Schwingungen pro Zeiteinheit.

Amplitude- der maximale Wert des Offsets oder der Änderung Variable in Schwing- oder Wellenbewegung.

Oszillationsphase- Argument einer periodischen Funktion oder Beschreibung eines harmonischen Schwingungsvorgangs (ω - Kreisfrequenz, t- Zeit, - die Anfangsphase der Schwingungen, dh die Phase der Schwingungen zum Anfangszeitpunkt t = 0).

Auch die erste und zweite zeitliche Ableitung einer harmonisch schwingenden Größe führen harmonische Schwingungen gleicher Frequenz aus:

BEIM dieser Fall zugrunde gelegt wird die nach dem Kosinussatz geschriebene harmonische Schwingungsgleichung. Dabei beschreibt die erste der Gleichungen (18.2) das Gesetz, nach dem die Geschwindigkeit der Schwingung materieller Punkt(Körper), die zweite Gleichung beschreibt das Gesetz, nach dem sich die Beschleunigung eines schwingenden Punktes (Körper) ändert.

Amplituden
und
jeweils gleich
und
. Zögern
vor
in Phase zu ; und Zögern
vor
auf der . Werte EIN und kann aus gegebenen Anfangsbedingungen bestimmt werden
und
:

,
. (18.3)

Schwingungsenergie des Oszillators

P

Reis. 18.2. Federpendel

Mal sehen, was mit passiert Schwingungsenergie . Betrachten Sie als Beispiel für harmonische Schwingungen eindimensionale Schwingungen, die von einem Massenkörper ausgeführt werden m Unter dem Einfluss elastisch Stärke
(z. B. ein Federpendel, siehe Abb. 18.2). Kräfte anderer Natur als elastisch, bei denen aber die Bedingung F = -kx erfüllt ist, werden genannt quasi elastisch. Unter dem Einfluss dieser Kräfte führen auch Körper harmonische Schwingungen aus. Lassen:

Voreingenommenheit:
Geschwindigkeit:
Beschleunigung:

Jene. die Gleichung für solche Schwingungen hat die Form (18.1) mit Eigenfrequenz
. Die quasielastische Kraft ist konservativ . Daher muss die Gesamtenergie solcher harmonischer Schwingungen konstant bleiben. Bei Schwingungen findet die Umwandlung von kinetischer Energie statt E zu in ein Potential E P und umgekehrt, außerdem ist in den Momenten der größten Abweichung von der Gleichgewichtslage die Gesamtenergie gleich dem Maximalwert der potentiellen Energie, und wenn das System die Gleichgewichtslage durchläuft, ist die Gesamtenergie gleich dem Maximum Wert der kinetischen Energie. Lassen Sie uns herausfinden, wie sich die kinetische und potentielle Energie mit der Zeit ändert:

Kinetische Energie:

Potenzielle Energie:

(18.5)

Bedenkt man, dass d.h. , der letzte Ausdruck kann geschrieben werden als:

Somit erweist sich die Gesamtenergie der harmonischen Schwingung als konstant. Aus den Beziehungen (18.4) und (18.5) folgt auch, dass die Mittelwerte der kinetischen und potentiellen Energie einander gleich sind und die Hälfte der Gesamtenergie, da die Mittelwerte
und
für den Zeitraum sind 0,5. Unter Verwendung trigonometrischer Formeln kann erhalten werden, dass die kinetischen und potenzielle Energieändern sich mit der Frequenz
, d.h. mit einer Frequenz, die doppelt so hoch ist wie die harmonische Frequenz.

Beispiele für einen harmonischen Oszillator sind Federpendel, physikalische Pendel, mathematische Pendel und Torsionspendel.

1. Federpendel- Dies ist eine Last der Masse m, die an einer absolut elastischen Feder aufgehängt ist und unter der Wirkung einer elastischen Kraft F = -kx harmonische Schwingungen ausführt, wobei k die Steifigkeit der Feder ist. Die Bewegungsgleichung des Pendels hat die Form oder (18.8) Aus Formel (18.8) folgt, dass das Federpendel harmonische Schwingungen nach dem Gesetz x \u003d Acos (ω 0 t + φ) mit einer zyklischen Frequenz ausführt

(18.9) und Punkt

(18.10) Formel (18.10) gilt für elastische Schwingungen innerhalb der Grenzen, in denen das Hookesche Gesetz erfüllt ist, dh wenn die Masse der Feder klein gegenüber der Masse des Körpers ist. Die potentielle Energie eines Federpendels ist unter Verwendung von (18.9) und der potentiellen Energieformel des vorherigen Abschnitts (siehe 18.5)

2. physikalisches Pendel- Das fest, die unter der Wirkung der Schwerkraft um eine feste horizontale Achse schwingt, die durch den Punkt O geht, der nicht mit dem Schwerpunkt C des Körpers zusammenfällt (Abb. 1).

Abb.18.3 Physikalisches Pendel

Wird das Pendel um einen bestimmten Winkel α aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt, so ergibt sich mit Hilfe der Dynamikgleichung der Drehbewegung eines starren Körpers das Moment M der Rückstellkraft (18.11), wobei J das Trägheitsmoment der Pendel um die Achse, die durch den Aufhängepunkt O geht, l ist der Abstand zwischen der Achse und dem Schwerpunkt des Pendels, F τ ≈ –mgsinα ≈ –mgα ist die Rückstellkraft (das Minuszeichen zeigt an, dass die Richtungen F τ und α sind immer entgegengesetzt, sinα ≈ α, da die Schwingungen des Pendels als klein angesehen werden, d.h. das Pendel weicht um kleine Winkel von der Gleichgewichtslage ab). Wir schreiben Gleichung (18.11) als

Oder Mit (18.12) erhalten wir die Gleichung

Identisch mit (18.8), dessen Lösung wir finden und schreiben als:

(18.13) Aus Formel (18.13) folgt, dass das physikalische Pendel bei kleinen Schwingungen harmonische Schwingungen mit einer Schwingfrequenz ω 0 und einer Periode ausführt

(18.14) wobei der Wert L=J/(m l) - . Der Punkt O" auf der Fortsetzung der Geraden OS, der vom Punkt O der Aufhängung des Pendels im Abstand der reduzierten Länge L getrennt ist, wird bezeichnet Schwungzentrum physikalisches Pendel(Abb. 18.3). Wenden wir den Satz von Steiner auf das Trägheitsmoment der Achse an, finden wir

Das heißt, OO" ist immer größer als OS. Der Aufhängepunkt O des Pendels und der Schwingungsmittelpunkt O" haben Austauschbarkeitseigenschaft: Wenn der Aufhängepunkt zum Schwungzentrum verschoben wird, wird der alte Aufhängepunkt O zum neuen Schwungzentrum, und die Schwingungsdauer des physikalischen Pendels ändert sich nicht.

3. Mathematisches Pendel ist ein idealisiertes System, bestehend aus einem materiellen Massenpunkt m, der an einem undehnbaren, schwerelosen Faden aufgehängt ist und unter der Wirkung der Schwerkraft schwingt. Eine gute Annäherung an ein mathematisches Pendel ist eine kleine, schwere Kugel, die an einem langen, dünnen Faden aufgehängt ist. Trägheitsmoment eines mathematischen Pendels

(8) wo l ist die Länge des Pendels.

Da ein mathematisches Pendel ein Spezialfall eines physikalischen Pendels ist, finden wir einen Ausdruck für die Periode, wenn wir annehmen, dass seine gesamte Masse an einem Punkt konzentriert ist – dem Massenmittelpunkt, und dann (8) in (7) einsetzen kleiner Schwingungen eines mathematischen Pendels (18.15) Wenn wir die Formeln (18.13 ) und (18.15) vergleichen, sehen wir, dass wenn die reduzierte Länge L des physikalischen Pendels gleich der Länge ist l ein mathematisches Pendel, dann sind die Schwingungsdauern dieser Pendel gleich. Meint, reduzierte Länge eines physikalischen Pendels ist die Länge eines solchen mathematischen Pendels, bei der die Schwingungsdauer mit der Schwingungsdauer eines gegebenen physikalischen Pendels zusammenfällt. Für ein mathematisches Pendel (materieller Punkt mit Masse m aufgehängt an einem schwerelosen, nicht dehnbaren langen Faden l im Feld der Schwerkraft mit Freifallbeschleunigung gleich g) bei kleinen Ablenkwinkeln (nicht mehr als 5-10 Winkelgrade) aus der Gleichgewichtslage Eigenschwingungsfrequenz:
.

4. Ein Körper, der an einem elastischen Faden oder einem anderen elastischen Element aufgehängt ist und einschwingt horizontale Ebene, repräsentiert Torsionspendel.

Dies ist ein mechanisches Schwingungssystem, das die Kräfte elastischer Verformungen nutzt. Auf Abb. 18.4 zeigt das Winkelanalog eines linearen harmonischen Oszillators, der Torsionsschwingungen ausführt. Eine horizontal liegende Scheibe hängt an einem elastischen Faden, der in ihrem Massenschwerpunkt befestigt ist. Wenn sich die Scheibe um einen Winkel θ dreht, entsteht ein Kraftmoment M elastische Torsionsdehnung:

wo ich = ichC- das Trägheitsmoment der Scheibe um die Achse beim Durchgang Schwerpunkt, ε – Winkelbeschleunigung.

In Analogie zur Belastung der Feder können Sie erhalten.

Dies ist eine periodische Schwingung, bei der sich die die Bewegung charakterisierende Koordinate, Geschwindigkeit, Beschleunigung nach dem Sinus- oder Kosinusgesetz ändert. Die harmonische Schwingungsgleichung legt die Abhängigkeit der Körperkoordinate von der Zeit fest

Das Kosinusdiagramm hat im Anfangsmoment einen Maximalwert und das Sinusdiagramm hat im Anfangsmoment einen Nullwert. Wenn wir beginnen, die Schwingung von der Gleichgewichtslage aus zu untersuchen, dann wird die Schwingung die Sinuskurve wiederholen. Wenn wir beginnen, die Schwingung von der Position der maximalen Abweichung aus zu betrachten, dann beschreibt die Schwingung den Kosinus. Oder eine solche Schwingung kann durch die Sinusformel mit einer Anfangsphase beschrieben werden.

Mathematisches Pendel

Schwingungen eines mathematischen Pendels.
Mathematisches Pendel ist ein materieller Punkt, der an einem schwerelosen, nicht dehnbaren Faden aufgehängt ist (physikalisches Modell).
Wir betrachten die Bewegung des Pendels unter der Bedingung, dass der Auslenkungswinkel klein ist, dann gilt, wenn wir den Winkel im Bogenmaß messen, die Aussage: .
Auf den Körper wirken die Schwerkraft und die Spannung des Fadens. Die Resultierende dieser Kräfte hat zwei Komponenten: eine tangentiale, die die Beschleunigung betragsmäßig ändert, und eine normale, die die Beschleunigung in Richtung ändert ( Zentripetalbeschleunigung, der Körper bewegt sich in einem Bogen).
weil der Winkel klein ist, dann ist die Tangentialkomponente gleich der Projektion der Schwerkraft auf die Tangente an die Flugbahn: . Winkel im Bogenmaß ist gleich dem Verhältnis Bogenlänge zum Radius (Gewindelänge), und die Bogenlänge ist ungefähr gleich dem Versatz ( x ≈ s): .
Vergleichen Sie die resultierende Gleichung mit der Gleichung oszillierende Bewegung. Es ist ersichtlich, dass oder eine zyklische Frequenz während der Schwingungen eines mathematischen Pendels ist.
Oszillationsperiode oder (Formel von Galileo).	Galileo-Formel
Die wichtigste Schlussfolgerung: Die Schwingungsdauer eines mathematischen Pendels hängt nicht von der Masse des Körpers ab!
Ähnliche Berechnungen können mit dem Energieerhaltungssatz durchgeführt werden. Berücksichtigen wir, dass die potentielle Energie des Körpers im Gravitationsfeld ist, und die Summe mechanische Energie gleich dem maximalen Potential oder Kinetik:
Wir schreiben den Energieerhaltungssatz auf und bilden die Ableitung von links und richtige Teile Gleichungen: . weil die Ableitung eines konstanten Werts gleich Null ist, dann . Die Ableitung der Summe ist gleich der Summe der Ableitungen: und.
Daher: , was bedeutet.

Ideale Gaszustandsgleichung (Mendeleev-Clapeyron-Gleichung).
Eine Zustandsgleichung ist eine Gleichung, die die Parameter eines physikalischen Systems in Beziehung setzt und seinen Zustand eindeutig bestimmt. 1834 Französischer Physiker B. Clapeyron, der lange in St. Petersburg arbeitete, leitete die Zustandsgleichung für ein ideales Gas für eine konstante Gasmasse her. 1874 D. I. Mendelejew leitete eine Gleichung für eine beliebige Anzahl von Molekülen her.
In MKT und idealer Gasthermodynamik sind makroskopische Parameter: p, V, T, m. Wir wissen das . Somit,. Angesichts dessen , wir bekommen:.
Das Produkt konstanter Werte ist ein konstanter Wert, daher: - universelle Gaskonstante (universal, weil sie für alle Gase gleich ist).
Somit haben wir: Zustandsgleichung (Mendelejew-Clapeyron-Gleichung).
Andere Formen, die Zustandsgleichung eines idealen Gases zu schreiben.
1. Gleichung für 1 Mol einer Substanz. Wenn n \u003d 1 Mol ist, dann erhalten wir, wenn wir das Volumen von einem Mol V m bezeichnen,:. Für normale Bedingungen wir bekommen:
2. Schreiben Sie die Dichtegleichung auf: - Dichte hängt von Temperatur und Druck ab!
3. Clapeyron-Gleichung. Oft ist es notwendig, die Situation zu untersuchen, wenn sich der Zustand des Gases mit seinem konstanten Betrag (m = const) und in Abwesenheit von ändert chemische Reaktionen(M=konst.). Das bedeutet, dass die Stoffmenge n=const. Dann:
Dieser Eintrag bedeutet das für eine gegebene Masse eines gegebenen Gases Gleichheit gilt:
Für konstante Masse ideales Gas das Verhältnis des Produkts aus Druck und Volumen zu Absolute Temperatur in gegebener Zustand ist ein konstanter Wert: .
Gasgesetze.
1. Avogadros Gesetz. BEIM gleiche Volumina verschiedene Gase gleichzeitig äußeren Bedingungen gelegen die gleiche Nummer Moleküle (Atome). Bedingung: V 1 = V 2 =…=V n ; p 1 \u003d p 2 \u003d ... \u003d p n; T 1 \u003d T 2 \u003d ... \u003d T n
Nachweisen: Daher bei gleichen Bedingungen(Druck, Volumen, Temperatur) Die Anzahl der Moleküle hängt nicht von der Art des Gases ab und ist gleich.
2. Daltons Gesetz. Der Druck eines Gasgemisches ist gleich der Summe der Partialdrücke (Eigendrücke) jedes Gases. Beweisen Sie: p=p 1 +p 2 +…+p n Nachweisen:
3. Pascalsches Gesetz. Der auf eine Flüssigkeit oder ein Gas erzeugte Druck wird unverändert in alle Richtungen übertragen.

Die Zustandsgleichung für ein ideales Gas. Gasgesetze.

Anzahl der Freiheitsgrade: Dies ist die Anzahl der unabhängigen Variablen (Koordinaten), die die Position des Systems im Raum vollständig bestimmen. Bei einigen Problemen wird ein einatomiges Gasmolekül (Abb. 1, a) als materieller Punkt betrachtet, dem drei Freiheitsgrade der Translationsbewegung gegeben sind. Dabei wird die Energie der Rotationsbewegung nicht berücksichtigt. In der Mechanik wird ein zweiatomiges Gasmolekül in erster Näherung als ein Satz von zwei materiellen Punkten betrachtet, die durch eine unverformbare Bindung starr verbunden sind (Abb. 1, b). Dieses System bis auf drei Freiheitsgrade Vorwärtsbewegung hat zwei weitere Freiheitsgrade der Rotationsbewegung. Eine Drehung um die dritte Achse, die durch beide Atome geht, ist bedeutungslos. Dies bedeutet, dass ein zweiatomiges Gas fünf Freiheitsgrade hat ( ich= 5). Ein dreiatomiges (Abb. 1, c) und mehratomiges nichtlineares Molekül hat sechs Freiheitsgrade: drei Translations- und drei Rotationsfreiheitsgrade. Es ist natürlich anzunehmen, dass es keine starre Bindung zwischen Atomen gibt. Daher müssen für reale Moleküle auch die Freiheitsgrade der Schwingungsbewegung berücksichtigt werden.

Für eine beliebige Anzahl von Freiheitsgraden eines gegebenen Moleküls sind die drei Freiheitsgrade immer translatorisch. Keiner der Translationsfreiheitsgrade hat einen Vorteil gegenüber den anderen, was bedeutet, dass jeder von ihnen im Durchschnitt die gleiche Energie von 1/3 des Wertes hat<ε 0 >(Energie der Translationsbewegung von Molekülen): In der statistischen Physik Boltzmannsches Gesetz über die gleichmäßige Verteilung der Energie über die Freiheitsgrade von Molekülen: Für ein statistisches System, das sich im thermodynamischen Gleichgewicht befindet, gibt es für jeden Translations- und Rotationsfreiheitsgrad einen Mittelwert kinetische Energie, gleich kT/2, und für jeden Schwingungsfreiheitsgrad – im Durchschnitt eine Energie gleich kT. Der Schwingungsgrad hat doppelt so viel Energie, weil es berücksichtigt sowohl kinetische Energie (wie im Fall von Translations- und Rotationsbewegungen) als auch potentielle Energie, und die Durchschnittswerte von potentieller und kinetischer Energie sind gleich. Also die durchschnittliche Energie des Moleküls wo ich- die Summe der Translationszahl, der Rotationszahl in der doppelten Zahl der Schwingungsfreiheitsgrade des Moleküls: ich=ich Beitrag + ich Drehung +2 ich Schwingungen In der klassischen Theorie werden Moleküle mit einer starren Bindung zwischen Atomen betrachtet; für Sie ich mit der Anzahl der Freiheitsgrade des Moleküls übereinstimmt. Seit in ideales Gas Da die gegenseitige potentielle Energie der Wechselwirkung von Molekülen Null ist (Moleküle interagieren nicht miteinander), ist die innere Energie für ein Mol Gas gleich der Summe der kinetischen Energien N A der Moleküle: (1) Innere Energie für eine beliebige Masse m Gas. wo M - Molmasse, ν - Menge der Substanz.

Pendelbewegung in Stunden, Erdbeben, Wechselstrom in einem Stromkreis sind die Vorgänge der Funkübertragung und des Funkempfangs völlig verschieden, nicht gebundener Freund mit anderen Prozessen. Jeder von ihnen hat seine eigene besondere Gründe, aber sie sind durch ein Zeichen vereint - ein Zeichen für die Gemeinsamkeit der Art der Änderung physikalische Quantitäten im Laufe der Zeit. Diese und viele andere Prozesse unterschiedlicher physikalischer Natur erweist es sich in vielen Fällen als angemessen, sie als einen zu betrachten spezieller Typ physikalische Phänomene - Schwankungen.

Ein gemeinsames Merkmal physikalischer Phänomene, Schwingungen genannt, ist ihre zeitliche Wiederholung. Bei einer anderen physikalischen Natur treten viele Schwingungen nach denselben Gesetzen auf, was eine Anwendung ermöglicht gängige Methoden für ihre Beschreibung und Analyse.

Harmonische Schwingungen. Aus eine große Anzahl verschiedenen Schwingungen in Natur und Technik, besonders häufig sind harmonische Schwingungen. Harmonische Schwingungen sind solche, die nach dem Kosinus- oder Sinusgesetz auftreten:

wo ist ein Wert, der Schwankungen unterliegt; - Zeit; - Konstante, deren Bedeutung später erklärt wird.

Der Maximalwert einer sich nach einem harmonischen Gesetz ändernden Größe wird als Schwingungsamplitude bezeichnet. Das Argument des Cosinus oder Sinus für harmonische Schwingungen wird als Phase der Schwingung bezeichnet

Die Phase der Schwingung zum Anfangszeitpunkt wird als Anfangsphase bezeichnet. Anfangsphase bestimmt den Wert der Menge zum Anfangszeitpunkt

Die Werte der Sinus- oder Cosinus-Funktion werden wiederholt, wenn sich das Funktionsargument zu ändert, daher werden bei harmonischen Schwingungen die Betragswerte wiederholt, wenn sich die Schwingungsphase zu ändert. Andererseits muss der Wert während einer harmonischen Schwingung in einem Zeitintervall, das als Schwingungsperiode T bezeichnet wird, dieselben Werte annehmen. Daher tritt die Phasenänderung auf

durch die Schwingungsperiode T. Für den Fall, dass wir erhalten:

Aus Ausdruck (1.2) folgt, dass die Konstante in der Gleichung der harmonischen Schwingungen die Anzahl der auftretenden Schwingungen in Sekunden ist. Der Wert wird als zyklische Schwingungsfrequenz bezeichnet. Unter Verwendung des Ausdrucks (1.2) kann Gleichung (1.1) als Frequenz oder Periode T von Schwingungen ausgedrückt werden:

Ebenso gut wie auf analytische Weise Beschreibungen harmonischer Schwingungen sind weit verbreitet grafische Wege ihre Präsentationen.

Die erste Möglichkeit besteht darin, einen Zeitplan für Schwankungen festzulegen Kartesisches System Koordinaten. Auf der Abszisse ist die Zeit I und auf der Ordinate der Wert der Wertänderung aufgetragen.Für harmonische Schwingungen ist dieser Graph eine Sinus- oder Kosinuswelle (Abb. 1).

Die zweite Möglichkeit, den Schwingungsvorgang darzustellen, ist die spektrale. Die Amplitude wird entlang der Ordinatenachse gemessen, und die Frequenz harmonischer Schwingungen wird entlang der Abszissenachse gemessen. Der harmonische Schwingungsvorgang mit Frequenz und Amplitude wird in diesem Fall durch ein vertikales Segment mit gerader Länge dargestellt, das von einem Punkt mit einer Koordinate auf der Abszissenachse gezogen wird (Abb. 2).

Die dritte Art, harmonische Schwingungen zu beschreiben, ist die Methode Vektordiagramme. Bei dieser Methode wird folgende, rein formale Technik verwendet, um jederzeit den Wert einer sich nach einem harmonischen Gesetz ändernden Größe zu finden:

Wir wählen im Flugzeug einen willkürlich gerichteten Koordinatenachse auf dem wir den für uns interessanten Wert zählen Vom Ursprung entlang der Achse zeichnen wir einen Vektormodul, dessen Betrag gleich der Amplitude der harmonischen Schwingung xm ist. Wenn wir uns nun vorstellen, dass sich der Vektor in einer Ebene mit konstanter Winkelgeschwindigkeit c gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung dreht, dann ist der Winkel a zwischen dem rotierenden Vektor und der Achse zu jedem Zeitpunkt durch den Ausdruck bestimmt.

Mechanische harmonische Schwingung- es ist gerade ungleichmäßige Bewegung, bei der sich die Koordinaten eines schwingenden Körpers (materieller Punkt) nach dem Kosinus- oder Sinusgesetz in Abhängigkeit von der Zeit ändern.

Nach dieser Definition hat das Gesetz der Koordinatenänderung in Abhängigkeit von der Zeit die Form:

Wobei wt der Wert unter dem Kosinus- oder Sinuszeichen ist; w- Koeffizient, physikalische Bedeutung die wir weiter unten enthüllen werden; A ist die Amplitude mechanischer harmonischer Schwingungen.

Gleichungen (4.1) sind grundlegend kinematische Gleichungen mechanische harmonische Schwingungen.

Prüfen nächstes Beispiel. Nehmen wir die Ochsenachse (Abb. 64). Von Punkt 0 aus zeichnen wir einen Kreis mit Radius R = A. Lassen Sie Punkt M von Position 1 beginnen, sich mit konstanter Geschwindigkeit um den Kreis zu bewegen v(oder mit konstanter Winkelgeschwindigkeit w, v = wA). Nach einiger Zeit t dreht sich der Radius um einen Winkel f: f=gew.

Bei einer solchen Bewegung entlang des Umfangs des Punktes M bewegt sich seine Projektion auf die x-Achse M x entlang der x-Achse, deren Koordinate x gleich x \u003d A cos ist f = = A cos Gew. Wenn sich also ein materieller Punkt entlang eines Kreises mit dem Radius A bewegt, dessen Mittelpunkt mit dem Ursprung zusammenfällt, dann wird die Projektion dieses Punktes auf die x-Achse (und auf die y-Achse) harmonisch mechanische Schwingungen.

Sind der unter dem Kosinuszeichen stehende Wert wt und die Amplitude A bekannt, so kann x auch in Gleichung (4.1) bestimmt werden.

Der Wert wt, der unter dem Kosinus- (oder Sinus-) Zeichen steht, das eindeutig die Koordinate des Schwingungspunkts bei einer bestimmten Amplitude bestimmt, wird aufgerufen Oszillationsphase. Für einen Punkt M, der sich entlang eines Kreises bewegt, bedeutet der Wert w seine Winkelgeschwindigkeit. Welche physikalische Bedeutung hat der Wert w für den Punkt M x, der mechanische harmonische Schwingungen ausführt? Die Koordinaten des Schwingungspunktes M x sind zu irgendeinem Zeitpunkt t gleich (T +1) (aus der Definition der Periode T), also A cos wt= A cos w (t + T), was bedeutet, dass w(t + T) - wt = 2 PI(aus der Periodizitätseigenschaft der Kosinusfunktion). Daraus folgt das

Daher kann für einen materiellen Punkt, der harmonische mechanische Schwingungen ausführt, der Wert von w als Anzahl der Schwingungen für eine bestimmte interpretiert werden Kreislauf Zeit gleich 2l. Daher der Wert w namens zyklisch(oder kreisförmige) Frequenz.

Beginnt Punkt M seine Bewegung nicht von Punkt 1, sondern von Punkt 2, dann nimmt Gleichung (4.1) die Form an:

der Wert f 0 namens Anfangsphase.

Wir finden die Geschwindigkeit des Punktes M x als Ableitung der Koordinate nach der Zeit:

Wir definieren die Beschleunigung eines nach dem harmonischen Gesetz schwingenden Punktes als Ableitung der Geschwindigkeit:

Aus Formel (4.4) ist ersichtlich, dass sich auch die Geschwindigkeit eines harmonisch schwingenden Punktes nach dem Kosinusgesetz ändert. Aber die Geschwindigkeit in Phase ist der Koordinate um voraus PI/2. Die Beschleunigung während der harmonischen Schwingung ändert sich nach dem Kosinusgesetz, ist aber der Koordinate in Phase um voraus P. Gleichung (4.5) kann in Bezug auf die x-Koordinate geschrieben werden:

Die Beschleunigung bei harmonischen Schwingungen ist proportional zur Verschiebung c entgegengesetztem Vorzeichen. Multiplizieren wir den rechten und linken Teil von Gleichung (4.5) mit der Masse des schwingenden materiellen Punktes m, erhalten wir folgende Beziehungen:

Gemäß dem zweiten Newtonschen Gesetz ist die physikalische Bedeutung der rechten Seite des Ausdrucks (4.6) die Projektion der Kraft F x , die eine Harmonische liefert mechanische Bewegung:

Der Wert von F x ist proportional zur Verschiebung x und dieser entgegengesetzt gerichtet. Ein Beispiel für eine solche Kraft ist die elastische Kraft, deren Betrag proportional zur Verformung und ihr entgegen gerichtet ist (Hooke'sches Gesetz).

Die Gesetzmäßigkeit der Abhängigkeit der Beschleunigung vom Weg, die sich aus Gleichung (4.6) ergibt, die wir für mechanische harmonische Schwingungen betrachtet haben, kann verallgemeinert und angewendet werden, wenn Schwingungen anderer physikalischer Art betrachtet werden (z. B. eine Stromänderung in einem schwingenden Stromkreis, Ladungsänderung, Spannung, Induktion Magnetfeld usw.). Daher wird Gleichung (4.8) als Hauptgleichung bezeichnet Dynamik harmonischer Schwingungen.

Betrachten Sie die Bewegung von Federn und mathematischen Pendeln.

An einer horizontal angeordneten und im Punkt 0 fixierten Feder (Abb. 63) sei an einem Ende ein Körper der Masse m befestigt, der sich reibungsfrei entlang der x-Achse bewegen kann. Die Federkonstante sei gleich k. Wir leiten den Körper m ab äußere Kraft aus der Gleichgewichtsposition und loslassen. Dann wirkt entlang der x-Achse nur die elastische Kraft auf den Körper, die nach dem Hookeschen Gesetz gleich ist: F ypr = -kx.

Die Bewegungsgleichung dieses Körpers sieht folgendermaßen aus:

Aus dem Vergleich der Gleichungen (4.6) und (4.9) ziehen wir zwei Schlussfolgerungen:

Aus den Formeln (4.2) und (4.10) leiten wir die Formel für die Schwingungsdauer der Belastung der Feder ab:

Mathematisches Pendel ist ein Körper der Masse m, der an einem langen, nicht dehnbaren Faden von vernachlässigbarer Masse aufgehängt ist. In der Gleichgewichtslage wirken auf diesen Körper die Schwerkraft und die Federkraft des Fadens. Diese Kräfte werden sich gegenseitig ausgleichen.

Wenn der Faden schräg abgelenkt wird a Aus der Gleichgewichtsposition wirken dann dieselben Kräfte auf den Körper, aber sie gleichen sich nicht mehr aus, und der Körper beginnt sich entlang des Bogens unter der Wirkung der Schwerkraftkomponente zu bewegen, die entlang der Tangente zum Bogen gerichtet ist und gleich mg sin ist a.

Die Bewegungsgleichung des Pendels hat die Form:

Das Minuszeichen auf der rechten Seite bedeutet, dass die Kraft F x = mg sin a gegen die Verschiebung gerichtet ist. Eine harmonische Schwingung tritt bei kleinen Abweichungswinkeln auf, d. h. unter der Bedingung eine 2* Sünde a.

Sünde ersetzen und in Gleichung (4.12) erhalten wir die folgende Gleichung.