Grundlagen der Grundlagen

Ohne die es unmöglich ist, Probleme mit der Bewegung zu lösen

Für erfolgreiche Lösung Bewegungsaufgaben Sie müssen immer eine einfache Formel im Hinterkopf behalten:

Um sich diese Formel leichter zu merken, überlegen Sie, wie Sie die folgende Frage beantworten würden:

„Wie viele Kilometer kann ich in einer Stunde mit dem Fahrrad fahren und mich mit einer Geschwindigkeit von km / h bewegen?“

Sie werden ohne zu zögern antworten - km. Bitte schön. Herzliche Glückwünsche! Sie kannten diese Formel immer gut, Sie konnten sie nur nicht formulieren.

Aus unserer Formel ist es einfach, alle ihre Komponenten auszudrücken:

Formel für Geschwindigkeit:

Formel für Zeit:

Die folgende Pyramide hilft vielen Menschen, sich an die Formel zu erinnern:

Ich habs? Schauen wir uns nun das Detail an Problemlösungsalgorithmusunterwegs. Es besteht aus großen Stufen.

Lassen Sie uns einige der Merkmale und Feinheiten, die beim Lösen auftreten, genauer analysieren Bewegungsaufgaben.

Ein wenig über Aufmerksamkeit bei Leseaufgaben

Lies dir die Aufgabe mehrmals durch. Werde dir dessen bewusst, damit du absolut alles verstehen kannst.

So gibt es zum Beispiel oft Schwierigkeiten mit dem Begriff „ eigene Geschwindigkeit Boote/Boote usw. Denken Sie, was das bedeuten könnte? Das ist richtig, die Geschwindigkeit des Bootes in stehendes Wasser B. in einem Teich, wenn er nicht von der Strömungsgeschwindigkeit beeinflusst wird. Übrigens, in Aufgaben schreiben sie manchmal „Finde die Geschwindigkeit eines Bootes in stillem Wasser“. Jetzt wissen Sie, dass die eigene Geschwindigkeit des Bootes und die Geschwindigkeit des Bootes in stillem Wasser gleich sind, also verirren Sie sich nicht, wenn Sie auf diese beiden Definitionen stoßen.

Besonderheiten des Malens in Bewegung Aufgaben - wer geht wohin, wer kam zu wem und wo trafen sie sich alle)

Machen Sie eine Zeichnung und schreiben Sie alles entlang des Weges darauf. bekannte Mengen(na ja, oder darunter, wenn Sie nicht wissen, wie man sie schematisch darstellt). Die Zeichnung sollte die ganze Bedeutung der Aufgabe klar widerspiegeln. Die Zeichnung sollte so erstellt werden, dass die Bewegungsdynamik darauf sichtbar ist - Bewegungsrichtungen, Begegnungen, Drehungen, Drehungen. Eine hochwertige Zeichnung ermöglicht es Ihnen, das Problem zu verstehen, ohne auf den Text zu schauen. Er ist Ihr wichtigster Anhaltspunkt für die weitere Formulierung der Gleichung.

Prüfen mögliche Typen Bewegungen zweier Körper:

Bewegung aufeinander zu.

• Bewegen sich Körper aufeinander zu, so ist ihre Annäherungsgeschwindigkeit gleich der Summe ihrer Geschwindigkeiten:

Glaubst du nicht? Mal sehen in der Praxis.

Nehmen wir an, zwei Autos haben einen Punkt und einen Punkt aufeinander zu gelassen. Die Geschwindigkeit eines Autos ist km/h und die Geschwindigkeit eines Autos ist km/h. Sie trafen sich innerhalb von Stunden. Wie groß ist der Abstand zwischen den Punkten und?

1 Lösung:

1. (km) - die vom ersten Auto zurückgelegte Strecke
2. (km) - die vom zweiten Auto zurückgelegte Strecke
3. (km) - die Entfernung, die beide Autos zurückgelegt haben, dh die Entfernung zwischen Punkten und.

Lösung 2:

1. (km) - die Entfernung, die Autos zurückgelegt haben, dh die Entfernung zwischen Punkten und.

Beide Lösungen sind richtig. Es ist nur so, dass die zweite rationaler ist, also erinnere dich an die Formel (sie ist absolut logisch, oder?), Und um sie zu assimilieren, löse das folgende Problem:

Misha und Vasya fuhren mit dem Fahrrad aufeinander zu. Mishas Geschwindigkeit beträgt km/h, Vasyas Geschwindigkeit beträgt km/h. Die Jungs trafen sich in einer Stunde. Welchen Weg sind sie gemeinsam gegangen?

Ich habe mich entschieden? Es stellte sich heraus, dass die Annäherungsgeschwindigkeit km/h und der Weg km beträgt. Lassen Sie uns nun herausfinden, wie die Zeit in einem solchen Fall berechnet wird.

• Wenn der anfängliche Abstand zwischen den Körpern gleich ist, wird die Zeit, nach der sie sich treffen, nach folgender Formel berechnet:

Basierend auf der vorherigen Formel ist dies ziemlich logisch, aber versuchen wir es in der Praxis zu überprüfen. Die Aufgabe lautet also - Von Punkt zu Punkt bewegen sich Autos mit Geschwindigkeiten von km / h und km / h aufeinander zu. Entfernung zwischen den Punkten - km. Wie lange dauert es, bis sich die Autos treffen?

1 Lösung:

Sei die Zeit, die die Autos fahren, dann ist der Weg des ersten Autos , und der Weg des zweiten Autos ist . Ihre Summe und ist gleich dem Abstand zwischen den Punkten und - .

Lösen wir die Gleichung:

(h) - die Zeit, nach der sich die Autos trafen.

Lösung 2:

1. (km/h) - Annäherungsgeschwindigkeit des Fahrzeugs
2. (h) - die Zeit, in der die Autos auf der Straße waren.

Bewegung hinein gegenüberliegende Seiten.

• Wenn sich Körper voneinander entfernen, dann ist ihre Entfernungsgeschwindigkeit gleich der Summe ihrer Geschwindigkeiten:

Versuchen Sie, das Problem selbst zu lösen und beweisen Sie die Richtigkeit dieser Formel wie im vorherigen Fall. Und hier ist das Problem: Autos verließen Moskau in entgegengesetzte Richtungen. Die Geschwindigkeit des einen Autos beträgt km/h, die Geschwindigkeit des anderen km/h. Wie weit sind die Autos nach einer Stunde voneinander entfernt?

Ich habe mich entschieden? Bei der ersten Lösung stellte sich heraus, dass der Weg des ersten Autos km und der zweite km beträgt. Dementsprechend beträgt der Abstand zwischen den Autos km. Bei der zweiten Lösung stellt sich heraus, dass die Entfernungsgeschwindigkeit gleich km / h und der Weg gleich km / h h \u003d km ist.

Sehen wir uns nun an, wie die Zeit in einem solchen Fall berechnet wird.

• Die Zeit, die die Körper auf dem Weg verbringen, wenn sie sich voneinander entfernen, ist gleich der zurückgelegten Entfernung (dh wenn anfangs eine bestimmte Entfernung zwischen den Körpern bestand, sollte sie von der Gesamtentfernung abgezogen werden). Entfernung dividiert durch die Summe der Geschwindigkeiten der Körper:

Wie Sie sehen können, eine ähnliche Formel wie die, für die wir hergeleitet haben Bewegung der Körper hin gegenseitig. Glaubst du, das kann nicht sein? Probieren Sie es in der Praxis aus!

Angenommen, zwei Autos fahren ein gegensätzliche Richtungen mit Geschwindigkeiten und km/h. An einer Haltestelle betrug der Abstand zwischen ihnen km. Wie lange haben die Autos gebraucht?

Versuchen Sie, dieses Problem auf die zwei Arten zu lösen, die in beschrieben wurden zu einem Treffen gehen. Ich habe mich entschieden? Ist die Formel richtig? Vergleichen wir die Antworten: die Gleichung, die durch Lösung von Option 1 erhalten wird -; beim Lösen von Option 2 - Entfernungsgeschwindigkeit - km / h, Fahrzeit - Stunden.

Was aber, wenn die Körper zunächst einen gewissen Abstand voneinander haben? Es sieht in etwa so aus:

Wie löst man solche Probleme dann? Sehr einfach. Wenn wir eine Entscheidung treffen, müssen wir berücksichtigen.

• Wenn es einen Anfangsabstand zwischen den Körpern gibt, lautet die Pfadformel wie folgt:

Ist es logisch? Drücken Sie mit dieser Formel den Zeitpunkt des Treffens zweier Körper aus und vergleichen Sie dann, was wir erhalten haben.

Hast du es geschafft? Dann lösen wir das Problem für diese Formel.

Aus verschiedene Punkte Stadt N in die entgegengesetzten Richtungen, zwei Motorradfahrer links. Die anfängliche Entfernung zwischen ihnen betrug km. Die Geschwindigkeit des ersten Motorradfahrers betrug km/h; die Geschwindigkeit des zweiten ist km/h. Nach welcher Zeit wird die Entfernung zwischen ihnen gleich km sein?

Welche Antwort hast du bekommen? Ich habe eine Stunde. Lassen Sie uns alles im Detail überprüfen. Der Weg, den die Motorradfahrer tatsächlich zurückgelegt haben, ist km km km. Die Geschwindigkeit ihrer Entfernung voneinander beträgt km/h. Teilen Sie km durch km/h und erhalten Sie Stunden – die Zeit, die Motorradfahrer auf der Straße verbracht haben.

Bewegung in eine Richtung.

Nehmen wir also an, unsere Körper bewegen sich in die gleiche Richtung. Wie viele Fälle, glauben Sie, könnte es für eine solche Erkrankung geben? Richtig, zwei.

Wieso ist es so? Ich bin sicher, dass Sie nach all den Beispielen leicht herausfinden werden, wie Sie diese Formeln herleiten.

Ich habs? Gut erledigt! Es ist Zeit, das Problem zu lösen. Kolya fährt mit dem Auto mit einer Geschwindigkeit von km/h zur Arbeit. Kollegin Kolya Vova fährt mit einer Geschwindigkeit von km/h. Kolya lebt in einer Entfernung von km von Vova. Wie lange wird Vova brauchen, um Kolya zu überholen, wenn sie gleichzeitig das Haus verlassen?

Hast du gezählt? Vergleichen wir die Antworten - es stellte sich heraus, dass Vova Kolya in Stunden oder Minuten einholen wird.

Vergleichen wir unsere Lösungen.

Die Zeichnung sieht so aus:

Ähnlich wie bei dir? Gut erledigt!

Da das Problem fragt, wie lange sich die Jungs getroffen und zur gleichen Zeit verlassen haben, ist die Zeit, in der sie gereist sind, ebenso wie der Treffpunkt (in der Abbildung durch einen Punkt gekennzeichnet). Gleichungen aufstellen, nehmen Sie sich die Zeit dafür.

Also machte sich Vova auf den Weg zum Treffpunkt. Kolya machte sich auf den Weg zum Treffpunkt. Das ist klar. Jetzt beschäftigen wir uns mit der Bewegungsachse.

Beginnen wir mit dem Weg, den Kolya gegangen ist. Sein Pfad () ist in der Abbildung als Segment dargestellt. Und woraus besteht Vovas Pfad ()? Das ist richtig, aus der Summe der Segmente und, wo ist der anfängliche Abstand zwischen den Jungs, und gleich Weg gemacht von Kolya.

Basierend auf diesen Schlussfolgerungen erhalten wir die Gleichung:

Ich habs? Wenn nicht, lesen Sie diese Gleichung einfach noch einmal und sehen Sie sich die Punkte an, die auf der Achse markiert sind. Malen hilft, oder?

Stunden oder Minuten Minuten.

Ich hoffe, dieses Beispiel hat Ihnen verständlich gemacht, wie wichtige Rolle eine gut komponierte Zeichnung spielt, und wir gehen reibungslos weiter, oder besser gesagt, sind bereits weitergegangen nächsten Absatz unseres Algorithmus - alle Größen auf die gleiche Dimension bringen.

Der Dreisatz "P" - Dimension, Angemessenheit, Berechnung.

Abmessungen.

Die Aufgaben geben nicht immer die gleiche Dimension für jeden Teilnehmer an der Bewegung an (wie es bei unseren einfachen Aufgaben der Fall war), Sie können beispielsweise Aufgaben finden, bei denen es heißt, dass sich die Körper für eine bestimmte Anzahl von Minuten bewegen, und die Geschwindigkeit ihrer Bewegung wird in km / h angegeben. Wir können nicht einfach die Werte in der Formel nehmen und ersetzen - die Antwort wird falsch sein. Auch bei den Maßeinheiten „besteht“ unsere Antwort den Plausibilitätstest nicht. Vergleichen:

Sehen? Bei richtiger Multiplikation reduzieren wir auch die Maßeinheiten und erhalten dementsprechend ein vernünftiges und korrektes Ergebnis. Und was passiert, wenn wir nicht in ein Maßsystem übersetzen? Die Antwort hat eine seltsame Dimension und % ist ein falsches Ergebnis.

Also, nur für den Fall, ich werde Sie an die Bedeutung erinnern Grundeinheiten Messungen von Länge und Zeit.

• Längeneinheiten:

Zentimeter = Millimeter

Dezimeter = Zentimeter = Millimeter

Meter = Dezimeter = Zentimeter = Millimeter

Kilometer = Meter

• Zeiteinheiten:

Minute = Sekunden

Stunde = Minuten = Sekunden

Tage = Stunden = Minuten = Sekunden

Beratung: Wenn Sie zeitbezogene Maßeinheiten umrechnen (Minuten in Stunden, Stunden in Sekunden usw.), stellen Sie sich ein Zifferblatt in Ihrem Kopf vor. Mit bloßem Auge ist zu erkennen, dass die Minuten ein Viertel des Zifferblatts ausmachen, d. h. Stunden, Minuten sind ein Drittel des Zifferblatts, d.h. Stunden, und eine Minute ist eine Stunde.

Und jetzt eine ganz einfache Aufgabe:

Mascha fuhr minutenlang mit dem Fahrrad von zu Hause ins Dorf mit einer Geschwindigkeit von km/h. Wie weit ist das Autohaus vom Dorf entfernt?

Hast du gezählt? Die richtige Antwort ist km.

Minuten sind eine Stunde und eine weitere Minute von einer Stunde (stellte sich das Ziffernblatt vor und sagte, dass Minuten eine Viertelstunde sind) bzw. - min h.

Intelligenz.

Ist Ihnen klar, dass die Geschwindigkeit eines Autos nicht km/h sein kann, es sei denn, wir sprechen natürlich von einem Sportwagen? Und noch mehr, es kann nicht negativ sein, oder? Also, Angemessenheit, das war's)

Berechnung.

Sehen Sie, ob Ihre Lösung die Dimension und Angemessenheit "besteht", und überprüfen Sie erst dann die Berechnungen. Es ist logisch - wenn es eine Inkonsistenz mit Dimension und Angemessenheit gibt, ist es einfacher, alles zu streichen und nach logischen und mathematischen Fehlern zu suchen.

„Liebe zu Tischen“ oder „wenn Zeichnen nicht genug ist“

Längst nicht immer sind die Bewegungsaufgaben so einfach, wie wir sie zuvor gelöst haben. Um das Problem richtig zu lösen, müssen Sie sehr oft nicht nur eine kompetente Zeichnung zeichnen, sondern auch eine Tabelle mit allen uns gegebenen Bedingungen erstellen.

Von Punkt zu Punkt, der Abstand beträgt km, fuhren ein Radfahrer und ein Motorradfahrer gleichzeitig. Es ist bekannt, dass ein Motorradfahrer mehr Kilometer pro Stunde zurücklegt als ein Fahrradfahrer. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Radfahrers, wenn bekannt ist, dass er eine Minute später als der Motorradfahrer an der Stelle angekommen ist.

Hier ist eine solche Aufgabe. Reißen Sie sich zusammen und lesen Sie es mehrmals. Lesen? Beginnen Sie mit dem Zeichnen - eine gerade Linie, ein Punkt, ein Punkt, zwei Pfeile ... Zeichnen Sie im Allgemeinen, und vergleichen Sie jetzt, was Sie haben.

Irgendwie leer, oder? Wir zeichnen eine Tabelle. Wie Sie sich erinnern, bestehen alle Bewegungsaufgaben aus Komponenten: Geschwindigkeit, Zeit und Weg. Aus diesen Diagrammen wird jede Tabelle in solchen Problemen bestehen. Wir werden zwar eine weitere Spalte hinzufügen - den Namen, über den wir Informationen schreiben - einen Motorradfahrer und einen Radfahrer. Geben Sie auch in der Kopfzeile die Dimension an, in der Sie dort die Werte eingeben. Sie erinnern sich, wie wichtig das ist, richtig?

Hast du so einen Tisch?

Lassen Sie uns nun alles analysieren, was wir haben, und die Daten parallel in eine Tabelle und in eine Abbildung eingeben.

Das erste, was wir haben, ist der Weg, den der Radfahrer und der Motorradfahrer zurückgelegt haben. Es ist das gleiche und gleich km. Wir bringen ein!

Wir argumentieren weiter. Wir wissen, dass ein Motorradfahrer mehr km/h fährt als ein Radfahrer, und in der Aufgabe müssen wir die Geschwindigkeit des Radfahrers finden … Nehmen wir die Geschwindigkeit des Radfahrers für, dann ist die Geschwindigkeit des Motorradfahrers … Wenn mit so variable Lösung Aufgabe wird nicht funktionieren - es ist in Ordnung, nehmen wir eine andere, bis wir die siegreiche erreichen. Das passiert, Hauptsache nicht nervös werden!

Der Tisch hat sich geändert. Wir haben nur eine Spalte nicht gefüllt gelassen - Zeit. Wie finde ich die Zeit, wenn es einen Weg und eine Geschwindigkeit gibt? Das ist richtig, teilen Sie den Weg durch die Geschwindigkeit. Tragen Sie es in die Tabelle ein.

Unsere Tabelle ist also gefüllt, jetzt können Sie Daten in die Abbildung eingeben. Was können wir darüber reflektieren? Gut erledigt. Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Motorradfahrers und eines Radfahrers.

Lassen Sie uns das Problem noch einmal lesen, schauen Sie sich die Abbildung und die fertige Tabelle an. Welche Daten sind in der Tabelle oder in der Abbildung nicht dargestellt? Recht. Die Zeit, um die der Motorradfahrer früher ankam als der Radfahrer. Wir wissen, dass der Zeitunterschied Minuten beträgt. Was sollen wir machen nächster Schritt? Richtig, übersetze die uns gegebene Zeit von Minuten in Stunden, denn die Geschwindigkeit wird uns in km/h angegeben.

Formelzauber: Gleichungen schreiben und lösen - Manipulationen, die zur einzig richtigen Antwort führen

Wie Sie vielleicht erraten haben, schreiben wir jetzt eine Gleichung. Schauen Sie sich Ihre Tabelle an, die letzte Bedingung, die nicht darin enthalten war, und denken Sie über die Beziehung zwischen was und was nach, die wir in die Gleichung einsetzen können? Korrekt. Wir können eine Gleichung basierend auf der Zeitdifferenz aufstellen!

Ist es logisch? Der Radfahrer ist mehr gefahren, wenn wir die Zeit des Motorradfahrers von seiner Zeit abziehen, bekommen wir gerade die Differenz geschenkt.

Diese Gleichung ist rational. Wenn Sie nicht wissen, was es ist, lesen Sie das Thema "".

Wir bringen die Begriffe auf einen gemeinsamen Nenner:

Lassen Sie uns die Klammern öffnen und ähnliche Begriffe angeben:

Aus dieser Gleichung erhalten wir Folgendes:

Lassen Sie uns die Klammern öffnen und alles auf die linke Seite der Gleichung verschieben:

Voila! Wir haben eine einfache quadratische Gleichung. Wir entscheiden!

Wir haben zwei Antworten erhalten. Schau, was wir haben? Richtig, die Geschwindigkeit des Radfahrers. Wir erinnern an die Regel „3P“, genauer gesagt „Angemessenheit“. Verstehst du was ich meine? Genau! Die Geschwindigkeit kann nicht negativ sein, also lautet unsere Antwort km/h.

Puh! Ich habs? Versuchen Sie sich an der nächsten Aufgabe.

Zwei Radfahrer starten gleichzeitig einen 1-Kilometer-Lauf. Der Erste fuhr 1 km/h schneller als der Zweite und erreichte die Ziellinie Stunden früher als der Zweite. Finden Sie die Geschwindigkeit des Radfahrers heraus, der als Zweiter ins Ziel gekommen ist. Geben Sie Ihre Antwort in km/h an.

Ich erinnere Sie daran: Lesen Sie das Problem ein paar Mal - lernen Sie alle Details kennen. Ich habs? Beginnen Sie mit dem Zeichnen der Zeichnung - in welche Richtung bewegen sie sich? wie weit sind sie gereist? Hast du gezeichnet? Überprüfen Sie, ob alle Größen, die Sie haben, die gleiche Dimension haben, und beginnen Sie, den Zustand des Problems kurz aufzuschreiben und eine Tabelle zu erstellen (erinnern Sie sich, welche Spalten dort sind?). Denken Sie beim Schreiben all dies darüber nach, wofür Sie es nehmen sollen? Ausgewählt? In die Tabelle eintragen! Nun, jetzt ist es einfach: Wir stellen eine Gleichung auf und lösen sie. Ja, und schließlich - denken Sie an das "3P"!

Ich habe alles getan? Gut erledigt! Es stellte sich heraus, dass die Geschwindigkeit des Radfahrers km / h beträgt.

-"Welche Farbe hat dein Auto?" - "Sie ist schön!" Richtige Antworten auf die Fragen

Lassen Sie uns unser Gespräch fortsetzen. Wie schnell ist also der erste Radfahrer? km/h? Ich hoffe wirklich, dass Sie jetzt nicht zustimmend nicken! Lesen Sie die Frage sorgfältig durch: "Wie hoch ist die Geschwindigkeit von Erste Radfahrer? Verstanden, was ich meine? Genau! Erhalten ist nicht immer die Antwort auf die Frage! Lesen Sie die Fragen sorgfältig durch. Nachdem Sie sie gefunden haben, müssen Sie möglicherweise weitere Manipulationen vornehmen, z. B. km / h hinzufügen, wie in unserer Aufgabe.

Ein weiterer Punkt: Bei Aufgaben wird häufig alles in Stunden angegeben, und die Antwort wird in Minuten angegeben, oder alle Daten werden in km angegeben, und die Antwort wird in Metern angegeben. Betrachten Sie die Dimension nicht nur während der Lösung selbst, sondern auch beim Aufschreiben der Antworten.

Aufgaben zum Bewegen im Kreis

Die Körper in den Aufgaben müssen sich nicht unbedingt auf einer geraden Linie bewegen, sondern auch im Kreis, beispielsweise können Radfahrer auf einer Kreisbahn fahren. Werfen wir einen Blick auf dieses Problem.

Aus Absatz Kreisbahn der Radfahrer ist weg. Wenige Minuten später war er noch nicht zum Checkpoint zurückgekehrt, und ein Motorradfahrer folgte ihm vom Checkpoint. Minuten nach der Abfahrt holte er den Radfahrer zum ersten Mal ein, Minuten später zum zweiten Mal. Finden Sie die Geschwindigkeit des Radfahrers, wenn die Strecke km lang ist. Geben Sie Ihre Antwort in km/h an.

Versuchen Sie, ein Bild für dieses Problem zu zeichnen und füllen Sie die Tabelle dazu aus. Folgendes ist mir passiert:

Lassen Sie die Geschwindigkeit des Radfahrers sein und die Geschwindigkeit des Motorradfahrers -. Bis zum ersten Treffen war der Radfahrer in wenigen Minuten unterwegs und der Motorradfahrer -. Dabei legten sie gleiche Entfernungen zurück:

Zwischen den Treffen reiste der Radfahrer die Strecke und der Motorradfahrer -. Gleichzeitig ist der Motorradfahrer aber genau eine Runde weiter gefahren, dies ist der Abbildung zu entnehmen:

Ich hoffe, Sie verstehen, dass sie sich nicht wirklich in einer Spirale bewegten – die Spirale zeigt nur schematisch, dass sie sich im Kreis bewegen und mehrmals an denselben Punkten der Strecke vorbeifahren.

Wir lösen die resultierenden Gleichungen im System:

Ich habs? Versuche es zu lösen selbständig folgende Aufgaben:

1. Zwei mo-to-tsik-li-Hunderte beginnen-to-tu-yut ein-aber-mal-Männer-aber in einem-rechts-le-ni von zwei dia-met-ral-aber pro-ty-in-po - falsche Punkte einer kreisförmigen Route, die Länge eines Schwarms ist gleich km. Nach wie vielen Minuten sind mo-the-cycle-lists erstmals gleich, wenn die Geschwindigkeit der einen um km/h höher ist als die der anderen?
2. Von einem Punkt des heulenden Kreises der Autobahn aus ist die Länge eines Schwarms gleich km, gleichzeitig gibt es in einem Rechts-le-ni zwei Motorradfahrer. Die Geschwindigkeit des ersten Motorrads beträgt km/h, und Minuten nach dem Start war er dem zweiten Motorrad um eine Runde voraus. Finde die Geschwindigkeit des zweiten Motorrads. Geben Sie Ihre Antwort in km/h an.

Antworten:

1. Sei km / h die Geschwindigkeit des ersten Mo-to-Cycle-Li-Hundert, dann ist die Geschwindigkeit des zweiten Mo-to-Cycle-Li-Hundert km / h. Lassen Sie das erste Mal mo-the-Cycle-Listen in Stunden gleich sein. Damit mo-the-cycle-li-stas gleich sind, muss man sie von Anfang an schneller überwinden, gleich in lo-vi-nicht der Länge der Route.

   Wir erhalten, dass die Zeit gleich Stunden = Minuten ist.

2. Die Geschwindigkeit des zweiten Motorrads sei km/h. In einer Stunde hat das erste Motorrad einen Kilometer mehr zurückgelegt als der zweite Schwarm, wir erhalten die Gleichung:

   Die Geschwindigkeit des zweiten Motorradfahrers beträgt km/h.

Aufgaben für den Kurs

Jetzt, da Sie gut darin sind, Probleme „an Land“ zu lösen, gehen wir weiter zum Wasser und schauen uns die unheimlichen Probleme an, die mit der Strömung verbunden sind.

Stellen Sie sich vor, Sie haben ein Floß und lassen es in einen See hinab. Was passiert mit ihm? Korrekt. Es steht, weil ein See, ein Teich, eine Pfütze schließlich stehendes Wasser ist. Die Strömungsgeschwindigkeit im See ist. Das Floß bewegt sich nur, wenn Sie selbst anfangen zu rudern. Die Geschwindigkeit, die er gewinnt, wird sein eigene Geschwindigkeit des Floßes. Egal wo Sie schwimmen - links, rechts, das Floß bewegt sich mit der gleichen Geschwindigkeit, mit der Sie rudern. Das ist klar? Es ist logisch.

Stellen Sie sich nun vor, dass Sie das Floß auf den Fluss ablassen, sich abwenden, um das Seil zu nehmen ... drehen Sie sich um, und er ... schwamm davon ... Dies geschieht, weil der Fluss eine Strömungsgeschwindigkeit hat, die Ihr Floß in Richtung der Strömung trägt. Gleichzeitig ist seine Geschwindigkeit gleich Null (Sie stehen unter Schock am Ufer und rudern nicht) - er bewegt sich mit der Geschwindigkeit der Strömung.

Ich habs? Beantworten Sie dann diese Frage: "Wie schnell schwimmt das Floß auf dem Fluss, wenn Sie sitzen und rudern?" Denken?

Hier gibt es zwei mögliche Fälle:

1 Fall- du schwimmst mit dem Strom, und dann gehst du mit deiner eigenen Geschwindigkeit + der Geschwindigkeit der Strömung. Die Strömung scheint dir dabei zu helfen, voranzukommen.

2 Fall Du schwimmst gegen den Strom. Schwer? Das ist richtig, denn die Strömung versucht dich zurück zu "werfen". Sie bemühen sich immer mehr, mindestens Meter zu schwimmen, bzw. die Geschwindigkeit, mit der Sie sich bewegen, gleich Ihrer eigenen Geschwindigkeit - der Geschwindigkeit der Strömung - zu sein.

Nehmen wir an, Sie müssen eine Meile schwimmen. Wann legen Sie diese Strecke schneller zurück? Wann bewegst du dich mit oder gegen den Strom?

Lassen Sie uns das Problem lösen und überprüfen. Fügen wir zu unserem Weg Daten über die Geschwindigkeit der Strömung - km/h und über die eigene Geschwindigkeit des Floßes - km/h hinzu. Wie viel Zeit verbringen Sie damit, sich mit und gegen den Strom zu bewegen?

Natürlich haben Sie diese Aufgabe problemlos gemeistert! Stromabwärts - eine Stunde und gegen den Strom sogar eine Stunde! Dies ist die ganze Essenz der Aufgaben auf mit dem Strom fließen.

Machen wir die Aufgabe etwas komplizierter. Ein Boot mit Motor segelte in einer Stunde von Punkt zu Punkt und in einer Stunde zurück. Finden Sie die Strömungsgeschwindigkeit, wenn die Geschwindigkeit des Bootes in ruhigem Wasser km/h beträgt

Lassen Sie uns den Abstand zwischen den Punkten mit und die Geschwindigkeit der Strömung mit bezeichnen.

Wir tragen alle Daten aus der Bedingung in die Tabelle ein:

	Weg S	Geschwindigkeit V, km/h	Zeit t, Std.
A -> B (stromaufwärts)			4
B -> A (stromabwärts)			2

Wir sehen, dass das Boot jeweils denselben Weg macht:

Was haben wir berechnet? Strömungsgeschwindigkeit. Dann wird dies die Antwort sein :) Die aktuelle Geschwindigkeit beträgt km / h.

Das Kajak ging von Punkt zu Punkt, Kilometer entfernt. Nachdem es eine Stunde am Punkt verweilt hatte, machte sich das Kajak auf den Weg und kehrte zu Punkt c zurück. Bestimmen Sie (in km/h) die eigene Geschwindigkeit des Kajaks, wenn bekannt ist, dass die Geschwindigkeit des Flusses km/h beträgt.

Also lasst uns anfangen. Lies die Aufgabe mehrmals und zeichne ein Bild. Ich denke, das kannst du ganz einfach selbst lösen. Werden alle Größen in der gleichen Form ausgedrückt? Nein. Die Ruhezeit wird sowohl in Stunden als auch in Minuten angegeben. Rechnen wir das in Stunden um.

Stunde Minuten = h.

Jetzt werden alle Größen in einem Formular ausgedrückt. Beginnen wir damit, die Tabelle auszufüllen und herauszufinden, was wir nehmen.

Sei die Eigengeschwindigkeit des Kajaks. Dann ist die Geschwindigkeit des Kajaks flussabwärts gleich und gegen die Strömung gleich.

Schreiben wir diese Daten sowie den Weg (wie Sie verstehen, ist es derselbe) und die Zeit, ausgedrückt in Weg und Geschwindigkeit, in eine Tabelle:

	Weg S	Geschwindigkeit V, km/h	Zeit t, Std.
Gegen den Strom	30
Mit der Strömung	30

Lassen Sie uns berechnen, wie viel Zeit das Kajak auf seiner Reise verbracht hat:

Hat sie die ganze Zeit geschwommen? Aufgabe erneut lesen. Überhaupt nicht. Sie hatte eine Ruhezeit von einer Stunde bzw. Minuten, von den Stunden subtrahieren wir die Ruhezeit, die wir bereits in Stunden übersetzt haben:

H - das Kajak schwamm wirklich.

Bei Bewegungsproblemen werden drei zusammenhängende Größen betrachtet:

S - Distanz (zurückgelegter Weg),

t - Reisezeit und

V - Geschwindigkeit - die pro Zeiteinheit zurückgelegte Strecke.

• Die Entfernung ist das Produkt aus Geschwindigkeit und Reisezeit;

S = Vt

• Geschwindigkeit ist die Strecke, die ein Körper pro Zeiteinheit zurücklegt;
• Geschwindigkeit ist der Quotient aus Entfernung dividiert durch Fahrzeit;

V=S/t

• Die Zeit ist der Quotient aus Entfernung dividiert durch Geschwindigkeit.

t=S/V

Was sind die möglichen Situationen?

Situation eins

Zwei Objekte bewegen sich gleichzeitig aufeinander zu.

Gegenverkehr.

Situation zwei

Zwei Objekte bewegen sich gleichzeitig in entgegengesetzte Richtungen.

Bewegung in entgegengesetzte Richtungen vom selben Punkt aus

Situation drei

Zwei Objekte bewegen sich gleichzeitig in dieselbe Richtung.

Bei der Lösung dieser Probleme müssen die Konzepte „Annäherungsgeschwindigkeit“ und „Entfernungsgeschwindigkeit“ verwendet werden.

AUFGABE 1

BEIM dieser Moment Die Entfernung zwischen zwei Taxifahrern beträgt 345 km. Wie weit sind die Taxifahrer in zwei Stunden entfernt, wenn der eine 72 km/h und der andere 68 km/h schnell ist und sie gleichzeitig aufeinander zufahren?

Erster Lösungsweg
1) 72 + 68 \u003d 140 (km / h) - Annäherungsgeschwindigkeit Taxifahrer.
2) 140 * 2 \u003d 280 (km) - dies ist die Entfernung, die sich Taxifahrer in 2 Stunden nähern.
3) 345 - 280 = 145 (km) - Taxifahrer werden diese Entfernung in 2 Stunden erreichen.
Antwort: 145 km.

Der zweite Lösungsweg

1) 72 * 2 \u003d 144 (km) - diese Entfernung wird von einem Taxifahrer in 2 Stunden zurückgelegt.

2) 68 * 2 \u003d 136 (km) - diese Entfernung wird von einem anderen Taxifahrer in 2 Stunden zurückgelegt.

3) 144+ 136 \u003d 280 (km) - dies ist die Entfernung, die sich Taxifahrer in 2 Stunden nähern.

4) 345 - 280 = 145 (km) - Taxifahrer werden diese Entfernung in 2 Stunden erreichen.

Antwort: 145 km.

AUFGABE 2

Die Entfernung zwischen den Städten A und B beträgt 720 km. Ein Schnellzug fährt mit 80 km/h von A nach B. Nach 2 Stunden ging ich ihm von B nach A entgegen

ein Personenzug mit einer Geschwindigkeit von 60 km/h. In wie vielen Stunden nach Abfahrt des Personenzuges treffen sich diese Züge?

Entscheidung

1) 80 * 2 = 160 (km) - ein Schnellzug ist in 2 Stunden gefahren.

2) 720-160=560(km) - Züge müssen passieren.

3) 80 + 60 = 140 (km / h) - die Annäherungsgeschwindigkeit von 2 Zügen.

4) 560:140=4(h) - ein Personenzug war unterwegs.

Antwort: 4 Stunden.

AUFGABE 3

Zwei Busse fuhren gleichzeitig von zwei Punkten aufeinander zu. Die Geschwindigkeit eines Busses beträgt 45 km/h und die Geschwindigkeit des anderen Busses 72 km/h. Der erste Bus vor dem Treffen fuhr 135 km.
Finde den Abstand zwischen Punkten.

Entscheidung

Erster Lösungsweg
2) 72 * 3 = 216 (km) - der zweite Bus fuhr vor dem Treffen vorbei.
3) 135 + 216 = 351 (km) – Entfernung zwischen den Punkten.
Antwort: 351 km.

Der zweite Lösungsweg

1) 135:45 = 3 (Stunden) - die Busse fuhren zum Treffen.

2) 45 +72 = 117 (km/h). - Annäherungsgeschwindigkeit Busse.

3) 117 * 3 = 351 (km) – Entfernung zwischen Punkten.

Antwort: 351 km.

Was ist Konvergenzgeschwindigkeit?

AUFGABE 4

Ein Auto und ein Bus verließen zwei 740 km entfernte Städte mit Geschwindigkeiten von 70 km/h und 50 km/h. Wie weit sind die Autos nach 5 Stunden voneinander entfernt?

Entscheidung

Erster Lösungsweg

1) 50 * 5 = 250 (km) - ein Auto wird vor dem Treffen vorbeifahren.

2) 70 * 5 = 350 (km) - der Bus fährt vor dem Treffen vorbei.

3) 250 + 350 = 600 (km) - bei dieser Entfernung nähern sie sich einander an.

4) 740 -600 = 140 (km) - diese Entfernung wird in 5 Stunden zwischen ihnen liegen.

Antwort: 140 km.

Der zweite Lösungsweg

1) 50 + 70 = 120 (km/h) – Annäherungsgeschwindigkeit Busse und Autos.

2) 120 * 5 = 600 (km) - das ist die Distanz, die sie sich nähern werden.

3) 740 - 600 = 140 (km) - diese Entfernung wird in 5 Stunden zwischen ihnen liegen.

Antwort: 140 km.

AUFGABE 5

Zwei Rennwagen fuhren aufeinander zu. Die Entfernung zwischen ihnen betrug 660 km. Einer war mit einer Geschwindigkeit von 100 km/h unterwegs, der andere mit 120 km/h. Wie bald werden sie sich treffen?

Entscheidung

1) 100+120=220(km/h)- Annäherungsgeschwindigkeit Maschinen.

2) 660:220=3(h) - nach einer solchen Zeit treffen die Rennwagen aufeinander.

Antwort: nach 3 Stunden.

AUFGABE 6

Zwei Tiger rannten gleichzeitig in entgegengesetzte Richtungen aus derselben Höhle. Die Geschwindigkeit eines Tigers beträgt 48 km / h und der andere 54 km / h. Wie groß ist der Abstand zwischen den Tigern nach 3 Stunden?

Entscheidung

Erster Lösungsweg

1) 48 * 2 = 96 (km) - ein Tiger läuft in 2 Stunden.

2) 54 * 2 = 108 (km) - ein weiterer Tiger läuft in 2 Stunden.

3) 96 + 108 = 204 (km) - wird in 2 Stunden zwischen den Tigern sein.

Antwort: 204 km.

Der zweite Lösungsweg

1) 48 + 54 \u003d 102 (km / h) - die Entfernungsgeschwindigkeit von Tigern.

2) 102 * 2 = 204 (km) - wird in 2 Stunden zwischen den Tigern sein.

Antwort: 204 km.

AUFGABE 7

Maxim und Sasha verließen die Schule mit einer Geschwindigkeit von 50 m/min. Roma folgte ihnen nach 6 Minuten mit einer Geschwindigkeit von 80 m/min. In wie vielen Minuten wird Roma Maxim und Sasha einholen?

Entscheidung

1) 80 - 50 = 30 (km/h) – Annäherungsgeschwindigkeit Jungen.

2) 50 * 6 = 300 (km) – das war die Entfernung zwischen den Jungen, bevor sie die Roma-Schule verließen.

3) 300 : 30 = 10 (Min.) - Nach so einer Zeit holt Roma seine Freunde ein.

Antwort: nach 10 Minuten.

ERGEBNISSE

1) Beim Lösen von Problemen über die Bewegung zweier Objekte, die Konzepte « Annäherungsgeschwindigkeit" und " Entfernungsrate ».

2) Beim Lösen von Problemen auf Gegenverkehr und sich in entgegengesetzte Richtungen bewegen Annäherungsgeschwindigkeit und Entfernungsrate sind Zusatz Geschwindigkeiten bewegter Objekte.

3) Beim Lösen von Problemen für die Bewegung in eine Richtung Annäherungsgeschwindigkeit und Entfernungsrate werden gefunden, indem die Geschwindigkeiten sich bewegender Objekte subtrahiert werden.

Unterrichtsart: Lektion zur Einführung neuen Wissens

Ziele:

• lernen, Informationen zu lesen und zu schreiben, die in Form verschiedener mathematischer Modelle präsentiert werden;
• festigen die Fähigkeit, Bewegungsprobleme auf der Grundlage von Formeln zu lösen;
• Fähigkeiten zu verbessern mündliche Darstellung Gehör entwickeln und visuelle Aufmerksamkeit, Erinnerung, logisches Denken, mathematische Sprache;
  Kenntnisse über den Zusammenhang zwischen den untersuchten Maßeinheiten festigen;
• sich mit dem neuen Konzept der „Annäherungsgeschwindigkeit“ vertraut machen;
• lernen, die Ergebnisse ihrer Arbeit richtig zu überprüfen und zu bewerten.

Ausrüstung: Präsentation, Karten.

WÄHREND DER KLASSEN

1. Psychologische Haltung Studenten

2. Aktualisierung des Wissens der Schüler

3. Arbeiten mit Karten

Alle Schüler haben Karten.

- Beginnen wir mit einem Warm-up:

GESCHWINDIGKEIT		DISTANZ

• Ein Radfahrer bewegte sich mit einer Geschwindigkeit von 100 m/min fort, wie weit legte er in 3 Minuten zurück?
• In 20 Minuten auf einem Skateboard überwand der Junge 800 Meter. Wie schnell bewegte er sich?
• Touristen auf einer Wanderung bewegen sich mit einer Geschwindigkeit von 5 km / h, wie lange brauchen sie, um 25 km zu überwinden?
• Schreibe ein Problem für einen Klassenkameraden.

Selbsterstellung der Bedingungen des Problems, ein Mitschüler meldet die Antwort. Untersuchung

- Leute, was denkst du, ist das Thema unserer heutigen Lektion? (Probleme lösen)

Mit welchen Mengen werden wir in der heutigen Lektion arbeiten? (Geschwindigkeit, Zeit, Entfernung)
Was ist unser Ziel in dieser Phase des Unterrichts? (Um die Fähigkeiten zur Problemlösung zu festigen, erinnern Sie sich an das Verhältnis von Mengen)

- Schauen wir uns unsere Erfolgsleiter an, und jeder wird für sich selbst bestimmen, auf welchem ​​​​Schritt Sie sich befinden, um dieses Thema zu meistern. ( Anhang 1 ) Zeichne deinen kleinen Mann auf die entsprechende Stufe.

4. Gruppenarbeit

Jede Gruppe erhält ein A3-Blatt und eine Aufgabe (musikalisches Intro)(Anhang 1 )

a) - Teilen Sie uns diese Werte laut Plan mit

1. Definition
2. Formel
3. Maßeinheiten

(Ein Vertreter kommt in den Vorstand)

b) Erfinde ein Problem gemäß dem Bild

– Hören Sie sich den Zustand des Problems an: Zwei Schiffe machen sich gleichzeitig auf den Weg, um sich zu treffen. Die Geschwindigkeit des einen beträgt 70 km/h, die Geschwindigkeit des anderen 80 km/h. Nach 10 Stunden trafen sie sich. Wie groß ist die Entfernung zwischen den Häfen?
Was bedeutet „gleichzeitig“?
Lassen Sie uns das Problem simulieren. (An der Tafel ist eine visuelle Anzeige)
- Wie viele km pro Stunde hat sich das erste Schiff dem Treffpunkt genähert? Zweite?

Kinder lösen das Problem, der Schüler an der Tafel. Wir prüfen die Lösung.

70*10 = 700 km zurückgelegte Strecke von 1 Schiff;
80 * 10 = 800 km zurückgelegte Strecke von 1 Schiff;
700 + 800 = 1500 km Entfernung zwischen zwei Häfen.

- Wenn sich jemand für den zweiten Weg entschieden hat, laden wir Sie ins Board ein, erklären Sie es bitte.

Was hast du im ersten Akt gelernt?

Wenn sich niemand entscheidet:

Kommen wir zurück zu unserer Modellierung. Um wie viele Stundenkilometer verringerte sich der Abstand zwischen den Schiffen? (Die Schiffe legten gleichzeitig ab, was bedeutet, dass der Abstand zwischen ihnen jede Stunde um die Summe von zwei Geschwindigkeiten abnimmt.)

Diese Summe der Geschwindigkeiten wird aufgerufen Annäherungsgeschwindigkeit

70 + 80 = 150 (km/h)

– Was können wir finden, wenn wir die Geschwindigkeit und die Zeit kennen? (Distanz)

Was sind unsere Ziele für die nächste Stufe des Unterrichts? (Um sich mit einem neuen Begriff vertraut zu machen, leiten Sie mit einem neuen Begriff eine Formel ab. Verstehen Sie, dass sich bei der gemeinsamen, gleichzeitigen Bewegung zweier Objekte aufeinander zu für jede Zeiteinheit die Entfernung um die Summe der Geschwindigkeiten von verringert sich bewegende Objekte)

- Versuchen wir, die Formeln für die Konvergenzrate abzuleiten. Erinnern wir uns, welche Buchstaben die Geschwindigkeit angeben, wie die Annäherung erfolgt.

in) Aufgabe auf mehreren Ebenen

- Probleme nach den Schemata erfinden, auswählen und lösen.

Kinder lösen Probleme.

- Wer hat 1 Aufgabe gewählt? Warum Wie haben Sie 1 Problem gelöst, haben Sie neues Wissen genutzt?
- Wer hat die 2. Aufgabe gewählt?

Lösung prüfen (Gruppen kombinieren)

6. Zusammenfassung

- Nehmen Sie eine Karte, erledigen Sie die Aufgaben.

Kinder arbeiten an Karten.

- Legen Sie alle Karten, an denen Sie heute gearbeitet haben, in ein Notizbuch, geben Sie Notizbücher in einer Pause ab.

– Zurück zu unserer Erfolgsleiter, sind Sie auf den Stufen des Wissens vorangekommen?
- Wie hast du den zweiten Mann gezeichnet? Wieso den?
- Was hast du im Unterricht gelernt?
– Wer muss das Lösen von Problemen einer neuen Art üben?

7. Hausaufgaben: seite 91 №5 lesen sie die aufgaben, wählen sie als hausaufgabe die für sie interessantere aus.

Unterrichtsnoten.

AUFGABEN FÜR DEN GEGENVERKEHR

Die meisten einfache Aufgaben auf Gegenverkehr beginnen bereits in der 4. Klasse zu entscheiden. Die Lösung solcher Probleme erfolgt in der Regel in 2 - 3 Schritten. Bei allen Aufgaben für den Gegenverkehr kommt ein solches Konzept zum Einsatz Annäherungsgeschwindigkeit, d.h. die Gesamtgeschwindigkeit zweier Körper, mit der sie sich aufeinander zu bewegen. Die Annäherungsgeschwindigkeit ist eine Schlüsselgröße zur Problemlösung für den Gegenverkehr.

Die Hauptformel zur Lösung von Problemen für den Gegenverkehr ist dieselbe Formel, bei der die Entfernung in Geschwindigkeit und Zeit ausgedrückt wird:

S = v t

Ein Merkmal der Anwendung dieser Formel ist, dass als Geschwindigkeit die Annäherungsgeschwindigkeit zweier Körper genommen wird, d.h. die Summe ihrer Geschwindigkeiten. Dies ist die Geschwindigkeit des Gegenverkehrs, über die wir gesprochen haben. Somit kann die Formel zur Lösung von Problemen für den Gegenverkehr wie folgt geschrieben werden:

S = v (Annäherung) t

v (Annäherung) = v 1 + v 2

wobei v 1 die Geschwindigkeit des 1. Körpers ist, v 2 die Geschwindigkeit des 2. Körpers ist.

Beispiele für Aufgaben für den Gegenverkehr:

1) Von zwei Piers, die 90 km voneinander entfernt sind, fahren zwei Motorschiffe gleichzeitig aufeinander zu. Das erste Schiff bewegte sich mit einer Geschwindigkeit von 20 km/h, das zweite mit einer Geschwindigkeit von 25 km/h. Wie viele Stunden später trafen sie sich?

2) Zwei Schwalben fliegen mit einer Geschwindigkeit von 23 m/s. In wie vielen Sekunden werden sie sich treffen, wenn der Abstand zwischen ihnen 920 m beträgt?

3) Zwei Züge verließen gleichzeitig zwei Städte und fuhren aufeinander zu. Ein Zug war mit einer Geschwindigkeit von 63 km/h unterwegs. Wie schnell war der zweite Zug, wenn die Entfernung zwischen den Städten 564 km beträgt? Die Züge trafen sich nach 4 Stunden.

4) Von zwei Liegeplätzen, die 90 km voneinander entfernt sind, fahren zwei Boote gleichzeitig aufeinander zu. Der erste fuhr mit einer Geschwindigkeit von 8 km/h, der zweite mit einer Geschwindigkeit von 10 km/h. Wie viele Stunden später trafen sich die Boote?

5) Ein Radfahrer und ein Motorradfahrer verließen gleichzeitig das Dorf und die Stadt aufeinander zu. Der Radfahrer war mit einer Geschwindigkeit von 16 km/h und der Motorradfahrer mit einer Geschwindigkeit von 54 km/h unterwegs. Der Radfahrer reiste 48 km vor dem Treffen. Wie weit ist der Motorradfahrer vor dem Treffen gefahren?

6) Zwei Jungen rannten gleichzeitig auf einer Sportbahn mit einer Länge von 200 m aufeinander zu und trafen sich nach 20 s. Der erste lief mit einer Geschwindigkeit von 5 m/s. Wie schnell lief der zweite Junge?

7) Zwei Stationen gleichzeitig verlassen Güterzüge und traf 5 Stunden später. Ein Zug legte 29 km pro Stunde zurück, der andere 35 km. Wie groß ist die Entfernung zwischen diesen Stationen?

8) 2 Busse verließen gleichzeitig zwei Städte und fuhren aufeinander zu. Die Geschwindigkeit des ersten Busses beträgt 25 km/h, die Geschwindigkeit des zweiten 50 km/h. Der erste Bus fuhr 100 km vor dem Treffen vorbei. Wie viele Kilometer hat der zweite Bus vor dem Treffen zurückgelegt?

9) Die Entfernung zwischen den beiden Städten beträgt 81 km. Zwei Radfahrer fuhren gleichzeitig aufeinander zu. Ein Radfahrer legt pro Stunde 3 km mehr zurück als ein anderer. In welcher Entfernung von den Städten trafen sie sich, wenn das Treffen 3 Stunden nach der Abfahrt stattfand?

10) Zwei Fahrer fuhren gleichzeitig von zwei Punkten aus aufeinander zu, der Abstand zwischen ihnen beträgt 100 km. Die Fahrer trafen sich nach 4 Stunden. Finde die Geschwindigkeit des ersten Fahrers, wenn die Geschwindigkeit des zweiten 13 km/h beträgt.

11) Ein Boot und ein Boot fuhren gleichzeitig von zwei Piers aufeinander zu. Vor dem Treffen legte das Boot 48 km und das Boot 24 km zurück. Bootsgeschwindigkeit - 8 km / h. Finden Sie die Geschwindigkeit des Bootes.

12) Zwei Boote fuhren gleichzeitig von zwei Piers aufeinander zu, die sich nach 3 Stunden trafen Die Geschwindigkeit eines Bootes beträgt 15 km / h, die Geschwindigkeit des zweiten Bootes 18 km / h. Finden Sie den Abstand zwischen den Pfeilern.

13) Zwei Motorradfahrer verließen gleichzeitig zwei Städte aufeinander zu. Ein Motorradfahrer war mit einer Geschwindigkeit von 80 km/h unterwegs. Er reiste 320 km vor dem Treffen. Wie weit ist der zweite Motorradfahrer vor dem Treffen gefahren, wenn er mit einer Geschwindigkeit von 65 km/h unterwegs war?

14) Ein Boot und ein Boot fuhren gleichzeitig von zwei Piers aufeinander zu und trafen sich nach 3 Stunden.Die Geschwindigkeit des Bootes beträgt 15 km / h, die Geschwindigkeit des Bootes ist 4-mal höher. Finden Sie den Abstand zwischen den Pfeilern.

15) Zwei Flugzeuge starteten gleichzeitig von zwei Flugplätzen aufeinander zu und trafen sich nach 3 Stunden Die Geschwindigkeit eines Flugzeugs beträgt 600 km / h und die des zweiten Flugzeugs 900 km / h. Finden Sie die Entfernung zwischen Flugplätzen.

16) Von zwei Städten, die 840 km voneinander entfernt sind, fuhren gleichzeitig 2 Züge aufeinander zu. Die Geschwindigkeit des ersten Zuges beträgt 100 km/h, die zweite - 10 km/h mehr. In wie vielen Stunden treffen sich die Züge?

17) Ein Boot und ein Boot fuhren gleichzeitig von zwei Piers aufeinander zu. Sie trafen sich nach 5 Stunden. Die Geschwindigkeit des Bootes beträgt 12 km/h und die Geschwindigkeit des Bootes ist 5-mal höher. Finden Sie den Abstand zwischen den Pfeilern.

18) Ein Dampfschiff fuhr von einem Pier um 11 Uhr morgens mit 15 km / h und von einem anderen Pier darauf um 3 Uhr am nächsten Morgen ein anderes Dampfschiff ab, das mit 17 km / h vorbeifuhr. In wie vielen Stunden nach der Abfahrt des zweiten Dampfers treffen sie sich, wenn zwischen den Piers 380 km liegen?

19) Zwei Touristen, deren Abstand 140 km beträgt, fuhren nach 3 Stunden nacheinander los. Wie viele Stunden nach der Abfahrt des ersten treffen sie sich, wenn der erste 10 km/h und der zweite 12 km/h gefahren ist?

20) Ein Motorschiff und ein Boot verließen gleichzeitig die beiden Piers aufeinander zu. Das Schiff bewegte sich mit einer Geschwindigkeit von 33 km / h und das Boot mit 25 km / h. Nach 3 Stunden trafen sie sich. Wie groß ist der Abstand zwischen den Pfeilern?

21) Aus zwei Dörfern kam gleichzeitig ein Mädchen aufeinander zu, das sich mit einer Geschwindigkeit von 3 km / h bewegte, und ein Junge, der sich 2-mal schneller bewegte als das Mädchen. Das Treffen fand 4 Stunden später statt. Wie groß ist die Entfernung zwischen den Dörfern?

22) Zwei Züge fahren von zwei Bahnhöfen aus aufeinander zu, die Entfernung zwischen ihnen beträgt 385 km. Der erste ist 2 Stunden früher losgefahren und bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 53 km/h. 3 Stunden nachdem der zweite Zug abgefahren war, trafen sie sich. Wie schnell ist der zweite Zug?

23) Von zwei Städten, die 484 km voneinander entfernt sind, fuhren gleichzeitig zwei Züge aufeinander zu. Die Geschwindigkeit eines Zuges beträgt 45 km/h. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des anderen Zuges, wenn sich die Züge nach 4 Stunden treffen.

24) Personen- und Güterzüge fahren gleichzeitig von zwei Städten aufeinander zu. Sie trafen sich 12 Stunden später. Wie groß ist die Entfernung zwischen Städten, wenn bekannt ist, dass die Geschwindigkeit eines Personenzugs 75 km/h und die eines Güterzugs 35 km/h beträgt?

25) Zwei Züge verließen gleichzeitig zwei Städte und fuhren aufeinander zu. Einer ging mit einer Geschwindigkeit von 42 km / h und der andere mit 52 km / h. Nach 6 Stunden trafen sich die Züge. Finden Sie die Entfernung zwischen den Städten.

26) Die Entfernung entlang des Flusses zwischen den beiden Städten beträgt 275 km. Ein Dampfschiff und ein Lastkahn verließen diese Städte zur gleichen Zeit aufeinander zu. Das Schiff bewegte sich mit einer Geschwindigkeit von 28 km/h. Finden Sie die Geschwindigkeit des Lastkahns heraus, wenn bekannt ist, dass er den Dampfer 5 Stunden nach dem Verlassen getroffen hat.

27) Von zwei Städten mit einer Entfernung von 1380 km fuhren zwei Züge gleichzeitig aufeinander zu und trafen sich nach 10 Stunden. Die Geschwindigkeit eines von ihnen beträgt 75 km/h. Finde die Geschwindigkeit des anderen Zuges.

28) Die Entfernung zwischen den Dörfern beträgt 48 km. Nach wie vielen Stunden treffen sich zwei Fußgänger, die gleichzeitig ausgegangen sind, aufeinander zu, wenn der eine 3 km/h und der andere 5 km/h schnell ist?

29) Vom Dorf in die Stadt 340 km. Ein Motorradfahrer fuhr mit einer Geschwindigkeit von 42 km/h von einem Dorf in eine Stadt. Nach 2 Stunden fuhr ihm ein Radfahrer mit einer Geschwindigkeit von 22 km/h entgegen. In wie vielen Stunden werden sie sich treffen?

30) Zwei Motorradfahrer verließen gleichzeitig zwei Städte und trafen sich nach 10 Minuten. Die Geschwindigkeit der einen beträgt 920 m/min, die der anderen 970 m/min. Finden Sie die Entfernung zwischen den Städten.

31) Zwei Züge fuhren gleichzeitig von einer Stadt in die andere und trafen sich nach 9 Stunden. Die Geschwindigkeit eines Zuges beträgt 48 km/h und die Geschwindigkeit des anderen 5 km/h mehr als die des anderen. Finden Sie die Entfernung zwischen den Städten.

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Erinnern wir uns zunächst an die Formeln, die zur Lösung solcher Probleme verwendet werden: S = υ t, υ = S: t, t = S: u
wobei S die Entfernung ist, υ die Bewegungsgeschwindigkeit ist, t die Bewegungszeit ist.

Wenn sich zwei Objekte gleichmäßig mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten bewegen, nimmt der Abstand zwischen ihnen mit jeder Zeiteinheit entweder zu oder ab.

Annäherungsgeschwindigkeit ist die Entfernung, die sich Objekte pro Zeiteinheit nähern.
Entfernungsgeschwindigkeit ist die Entfernung, die Objekte pro Zeiteinheit entfernt werden.

Annäherungsbewegung Gegenverkehr und verfolgen. bewegen, um zu entfernen kann in zwei Arten unterteilt werden: Bewegung in entgegengesetzte Richtungen und Entwicklungsrückstand.

Die Schwierigkeit für einige Schüler besteht darin, "+" oder "-" zwischen den Geschwindigkeiten richtig zu setzen, wenn die Geschwindigkeit der Annäherung von Objekten oder die Geschwindigkeit des Zurückweichens ermittelt wird.

Betrachten Sie einen Tisch.

Daraus ist ersichtlich, dass sich Objekte bewegen in entgegengesetzte Richtungen Sie Geschwindigkeiten summieren sich. Beim Bewegen in eine Richtung - subtrahiert.

Beispiele für Problemlösungen.

Aufgabe Nummer 1. Zwei Autos bewegen sich mit Geschwindigkeiten von 60 km/h und 80 km/h aufeinander zu. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit, mit der sich die Autos nähern.
υ 1 = 60 km/h
υ 2 = 80 km/h
Finden Sie υ sat
Entscheidung.
υ sat \u003d υ 1 + υ 2- Schließgeschwindigkeit in verschiedene Richtungen )
υ sat \u003d 60 + 80 \u003d 140 (km / h)
Antwort: Die Anfluggeschwindigkeit beträgt 140 km/h.

Aufgabe Nummer 2. Zwei Autos verließen denselben Punkt in entgegengesetzte Richtungen mit Geschwindigkeiten von 60 km/h und 80 km/h. Bestimmen Sie die Rate, mit der Maschinen entfernt werden.
υ 1 = 60 km/h
υ 2 = 80 km/h
Finden Sie υ Schläge
Entscheidung.
υ Schläge = υ 1 + υ 2- Entfernungsrate (das „+“-Zeichen, da aus der Bedingung hervorgeht, dass sich die Autos bewegen in verschiedene Richtungen)
υ Schläge = 80 + 60 = 140 (km/h)
Antwort: Die Abtragsgeschwindigkeit beträgt 140 km/h.

Aufgabe Nummer 3. Von einem Punkt in eine Richtung fuhr zuerst ein Auto mit einer Geschwindigkeit von 60 km/h und dann ein Motorrad mit einer Geschwindigkeit von 80 km/h. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit, mit der sich die Autos nähern.
(Wir sehen, dass es sich hier um eine Verfolgungsbewegung handelt, also finden wir die Geschwindigkeit der Annäherung)
υ av = 60 km/h
υ mot = 80 km/h
Finden Sie υ sat
Entscheidung.
υ sat \u003d υ 1 - υ 2- Schließgeschwindigkeit (das „–“-Zeichen, da aus dem Zustand hervorgeht, dass sich die Autos bewegen in eine Richtung)
υ sat \u003d 80 - 60 \u003d 20 (km / h)
Antwort: Die Anfluggeschwindigkeit beträgt 20 km/h.

Das heißt, der Name der Geschwindigkeit - Annäherung oder Entfernung - beeinflusst das Vorzeichen zwischen den Geschwindigkeiten nicht. Nur die Richtung zählt.

Betrachten wir andere Aufgaben.

Aufgabe Nummer 4. Zwei Fußgänger verließen denselben Punkt in entgegengesetzte Richtungen. Die Geschwindigkeit eines von ihnen beträgt 5 km / h, der andere - 4 km / h. Wie weit werden sie nach 3 Stunden voneinander entfernt sein?
υ 1 = 5 km/h
υ 2 = 4 km/h
t = 3 Std
S finden
Entscheidung.
in verschiedene Richtungen)
υ Schläge = 5 + 4 = 9 (km/h)

S = υ Schlag t
S = 9 3 = 27 (km)
Antwort: Nach 3 Stunden beträgt die Entfernung 27 km.

Aufgabe Nummer 5. Zwei Radfahrer starteten gleichzeitig von zwei Punkten aus, die 36 km voneinander entfernt waren. Die Geschwindigkeit des ersten beträgt 10 km/h, die zweite 8 km/h. In wie vielen Stunden werden sie sich treffen?
S = 36 km
υ 1 = 10 km/h
υ 2 = 8 km/h
T finden
Entscheidung.
υ sat \u003d υ 1 + υ 2 - Annäherungsgeschwindigkeit (das „+“-Zeichen, da aus der Bedingung hervorgeht, dass sich die Autos bewegen in verschiedene Richtungen)
υ sat = 10 + 8 = 18 (km/h)
(Besprechungszeit kann anhand der Formel berechnet werden)
t = S: υ Sa
t = 36: 18 = 2 (h)
Antwort: Bis in 2 Stunden.

Aufgabe Nummer 6. Zwei Züge verließen denselben Bahnhof in entgegengesetzte Richtungen. Ihre Geschwindigkeit beträgt 60 km/h und 70 km/h. In wie vielen Stunden beträgt die Entfernung zwischen ihnen 260 km?
υ 1 = 60 km/h
υ 2 = 70 km/h
S = 260 km
T finden
Entscheidung .
1 Weg
υ schlägt \u003d υ 1 + υ 2 - Entfernungsrate (Zeichen „+“, da aus der Bedingung ersichtlich ist, dass sich Fußgänger bewegen in verschiedene Richtungen)
υ Schläge = 60 + 70 = 130 (km/h)
(Die zurückgelegte Strecke ergibt sich aus der Formel)
S = υ Schlag t ⇒ t= S: υ Schläge
t = 260: 130 = 2 (h)
Antwort: Nach 2 Stunden beträgt die Entfernung zwischen ihnen 260 km.
2-Wege
Machen wir eine erklärende Zeichnung:

Das ist aus der Abbildung ersichtlich
1) Nach einer bestimmten Zeit entspricht die Entfernung zwischen den Zügen der Summe der von jedem der Züge zurückgelegten Entfernungen:
S = S1 + S2;
2) jeder der Züge fuhr zur gleichen Zeit (vom Zustand des Problems her), was bedeutet, dass
S 1 \u003d υ 1 t-von 1 Zug zurückgelegte Strecke
S 2 \u003d υ 2 t- zurückgelegte Strecke mit dem Zug 2
Dann,
S= S1 + S2= υ 1 t + υ 2 t = t (υ 1 + υ 2)= t υ Schläge
t = S: (υ 1 + υ 2)- die Zeit, in der beide Züge 260 km zurücklegen
t \u003d 260: (70 + 60) \u003d 2 (h)
Antwort: Die Entfernung zwischen den Zügen beträgt 260 km in 2 Stunden.

1. Zwei Fußgänger kamen gleichzeitig von zwei Punkten mit einer Entfernung von 18 km aufeinander zu. Die Geschwindigkeit eines von ihnen beträgt 5 km / h, der andere - 4 km / h. In wie vielen Stunden werden sie sich treffen? (2 Std.)
2. Zwei Züge verließen denselben Bahnhof in entgegengesetzter Richtung. Ihre Geschwindigkeit beträgt 10 km/h und 20 km/h. In wie vielen Stunden beträgt die Entfernung zwischen ihnen 60 km? (2 Std.)
3. Aus zwei Dörfern, die 28 km voneinander entfernt sind, kamen gleichzeitig zwei Fußgänger aufeinander zu. Die Geschwindigkeit des ersten beträgt 4 km/h, die Geschwindigkeit des zweiten 5 km/h. Wie viele Kilometer pro Stunde nähern sich Fußgänger einander? Wie weit werden sie nach 3 Stunden voneinander entfernt sein? (9 km, 27 km)
4. Die Entfernung zwischen den beiden Städten beträgt 900 km. Zwei Züge verließen diese Städte mit Geschwindigkeiten von 60 km/h und 80 km/h. Wie weit waren die Züge 1 Stunde vor dem Meeting auseinander? Gibt es eine zusätzliche Bedingung in der Aufgabe? (140 km, ja)
5. Ein Radfahrer und ein Motorradfahrer verließen denselben Punkt gleichzeitig in derselben Richtung. Die Geschwindigkeit eines Motorradfahrers beträgt 40 km/h und die eines Fahrradfahrers 12 km/h. Wie schnell werden sie voneinander entfernt? In wie vielen Stunden beträgt die Entfernung zwischen ihnen 56 km? (28 km/h, 2 Std.)
6. Von zwei 30 km entfernten Punkten fuhren zwei Motorradfahrer gleichzeitig in die gleiche Richtung ab. Die Geschwindigkeit des ersten beträgt 40 km/h, die zweite 50 km/h. In wie vielen Stunden wird der Zweite den Ersten überholen?
7. Die Entfernung zwischen den Städten A und B beträgt 720 km. Ein Schnellzug fährt mit 80 km/h von A nach B. Nach 2 Stunden fuhr ein Personenzug von B nach A mit einer Geschwindigkeit von 60 km/h auf ihn zu. In wie vielen Stunden werden sie sich treffen?
8. Ein Fußgänger verließ das Dorf mit einer Geschwindigkeit von 4 km/h. Nach 3 Stunden folgte ihm ein Radfahrer mit einer Geschwindigkeit von 10 km/h. Wie viele Stunden braucht der Radfahrer, um den Fußgänger zu überholen?
9. Die Entfernung von der Stadt zum Dorf beträgt 45 km. Ein Fußgänger verließ das Dorf mit einer Geschwindigkeit von 5 km/h in Richtung Stadt. Eine Stunde später fuhr ihm ein Radfahrer mit 15 km/h von der Stadt ins Dorf entgegen. Wer von ihnen wird zum Zeitpunkt des Treffens näher am Dorf sein?
10. Alte Aufgabe. Ein junger Mann ging von Moskau nach Wologda. Er ging jeden Tag 40 Meilen. Einen Tag später wurde ihm ein anderer junger Mann nachgeschickt, der 45 Werst pro Tag bestand. In wie vielen Tagen wird der Zweite den Ersten überholen?
11. Altes Problem. Der Hund hat einen Hasen in 150 Faden gesehen, der in 2 Minuten 500 Faden läuft, und der Hund in 5 Minuten - 1300 Faden. Die Frage ist, wann überholt der Hund den Hasen?
12. Altes Problem. Zwei Züge verließen gleichzeitig Moskau nach Twer. Die erste verlief zu einer Stunde von 39 Werst und kam zwei Stunden früher in Tver an als die zweite, die zu einer Stunde von 26 Werst verging. Wie viele Kilometer von Moskau nach Twer?