«Игрек в русском обозначает неизвестную,

которую надо вычислить»

Е. С. Вентцель

В жизни каждого человека отражается его время. А если это долгая жизнь незаурядной творческой личности, то отражение это становится более ярким и общезначимым.

Жизнь Елены Сергеевны длиною в 95 лет охватила все существование советской власти и закончилась в начале ХХI века.

Она родилась в Ревене (ныне Таллин) в учительской семье.

Отец, Сергей Федорович Долгинцев, преподавал математику, мать — словесность. В семье росли два сына – Илья и Николай – и дочь Елена. Сергей Федорович считал, что высшая математика проще элементарной и занимался ею с дочерью, когда ей было 7-8 лет. Как сама вспоминает писательница: «в математики я пошла из-за своего отца. Математик по образованию, он мечтал хоть кого-то из своих детей видеть продолжателем своего дела. Из нас, троих детей, я была, пожалуй, наиболее к этому приспособлена...» В результате математика приобрела Елену Сергеевну. В 1923 году, шестнадцати лет от роду, она поступила в Ленинградский (тогда еще Петроградский) университет. Математический курс, надо заметить, был совершено мужским: из 280 человек девушек было всего пять.

Окончив физико-математический факультет, в 1935 г. переехала в Москву. Работала в Военно-воздушной академии им. Н. Е. Жуковского (1935—68), в Московском институте инженеров транспорта (1968—86); занималась прикладной математикой. В математике ею был выбран раздел наиболее поэтический – теория вероятностей.Круг ее исследований, научной и педагогической деятельности был огромен: повышение точности воздушной стрельбы и бомбометания, совершенствование способов пристрелки авиационного вооружения, оценка эффективности различных видов вооружения, стрельба по летящим объектам, тактика воздушного боя, способы организации средств ПВО. А ее книга «Теория вероятностей» остается по сей день важнейшим учебником для инженеров и студентов.

Список научных трудов Е. С. Вентцель насчитывает около семидесяти открытых и шестидесяти закрытых работ. Военный инженер, моряк, изобретатель Н. В. Лапцевич написал о ней:«Eе учебники по теории вероятностей и исследованию операций... принадлежат к тем …очень редким шедеврам, прорабатывая которые испытываешь… радость узнавания и чувство благодарности автору…».

О том, как в Академии им. Жуковского профессор и доктор технических наук Е. С. Вентцель читает лекции, ходили слухи во всех московских математических вузах. Учебник по теории вероятностей, написанный ею, с удовольствием брали не только в научных, но и в публичных библиотеках: те, кто желал выиграть в « Спортлото » , вычислить существование жизни на других планетах, встретить свою судьбу.

Инженер Виктор Гастелло, ныне корреспондент газеты « Щит и меч » , сын легендарного летчика вспоминал:

«У нее была своеобразная манера преподносить учебный материал. Мы называли это пикированием. Она постоянно держала аудиторию в напряжении. Например, объясняя один из разделов теории вероятностей, говорила так: «Представьте, что в аудитории сидит сотня обезьян (а нас, слушателей, была примерно сотня), все они хаотично стучат по клавиатуре. Насколько вероятно, что они напишут Большую Советскую Энциклопедию?» (http://www.aif.ru/archive/1636620).

Если Елена Сергеевна стала кумиром слушателей среди математиков, то среди литераторов внимание молодежи было обращено на некую И. Грекову, автора романа «Кафедра», повестей «Вдовий пароход», «Дамский мастер»... Мало кто знал, что Е. С. Вентцель и И. Грекова одно лицо.

В чудесных воспоминаниях филолога Александрой Александровной Раскиной, жены сына Елены Сергеевны, всемирно известного математика Александра Дмитриевича Вентцеля, записана история возникновения псевдонима, над которым ломали головы множество читателей: « Когда «За проходной» всё же собрался Твардовский печатать, встал вопрос о псевдониме. Е.С. с самого начала решила жёстко разграничить эти две свои ипостаси – писателя и учёного (причём преподавателя военной академии). Сидели дома, в столовой и всей семьёй ломали голову над этой проблемой. Шли от имени Елена. Еленина? Еленская? Таня Вентцель вспомнила троянскую Елену и говорит: Елена Грекова? И тут-то Е.С. вдруг воскликнула: «Игрекова!» И сразу стало ясно, что так тому и быть» (А.А. Раскина «Моя свекровь» )

Сама Елена Сергеевна вспоминает об этом так: «В нашей семье традиционным был интерес к литературе, все мы что-то писали. Писать я начала очень рано, печататься – поздно. ...внешне я была прирожденным математиком. А внутренне я больше тянулась к литературе. Так и сложилась моя дальнейшая жизнь – между математикой и литературой».

Выход же «в свет» произведений в какой-то мере связано с именем Фриды Абрамовны Вигдоровой (матерью А.А.Раскиной), познакомившись и сдружившись с которой, Елена Сергеевна принесла ей почитать свой рассказ «Хозяева жизни». А.А.Раскина: « Рассказ на нас всех произвёл очень большое впечатление, и совсем не только темой, хотя вспомним: это был конец шестидесятого – ещё два года до «Одного дня Ивана Денисовича»! Но он написан был здорово: я, например, именно с тех пор помню, что там в поезде подают «холодное синеватое какао». И пошло. Следующий рассказ был «Жёлтый цветок». В книге рассказов 66 года он называется «Под фонарём» – как и вся книга. И тоже очень он всем нам понравился. Но почему-то – может, по инерции, первый-то рассказ был на сто процентов непечатный! – не было разговоров о том, что надо бы напечатать его. У «Жёлтого цветка» была интересная судьба. Е.С. мало кому давала читать свои рассказы. А моя мама, если что ей нравилось, давала читать всем своим друзьям – а их было множество. И вот подходит 66 год (мамы уже не было тогда...), собирает Е.С. книжку рассказов и не может найти «Жёлтого цветка». Черновики Е.С. вообще никогда не хранила, а тут и машинописного экземпляра не нашлось. И что же оказалось? Среди тех, кому мама давала почитать рассказ, была писательница Раиса Орлова. Её дочери Маше, тогда ещё школьнице, так понравился этот рассказ, что она взяла, да и переписала его весь от руки в тетрадку. Вот в какую бескомпьютерную, да что там – догутенберговскую, эпоху мы жили! Тетрадку Маша сохранила, рассказ вошёл в книжку – в общем, рукописи не горят!»

Дебютировала рассказом «За проходной» (1969), который, кстати, написала для своей подруги Ф.А.Вигдоровой . А.А.Раскина: «А вот какая история у рассказа «За проходной».Его Е.С. написала специально для мамы, что называется, для внутреннего пользования, чтобы мама познакомилась с её, Елены Сергеевны, средой, с её любимыми научными работниками, «технарями». … Е.С. написала его на волне спора о «физиках и лириках» между писателем Эренбургом и инженером Полетаевым, захватившего чуть не всю страну. Е.С., хотя уже и выходила в «лирики», душой была с «физиками» и хотела показать их с лучшей стороны: такими, какими она их от всего сердца любила. И вот она, когда рассказ был напечатан, послала его Эренбургу с надписью по-латыни: “Audiatur et altera pars” – Пусть будет выслушана и другая сторона».

Критика называла ее «властительницей дум» образованной части населения в 1960–1970 гг. Каждое новое произведение писательницы ждали с нетерпением, за журналами в библиотеках выстраивались очереди. Мало кто из читателей мог знать, что судьба и самой писательницы, и ее произведений была очень непроста, но весьма типична для времен оттепели и застоя. Писать она начала рано, а публиковаться поздно. К моменту публикации рассказа «За проходной» (написан в 1960) «в столе» писательницы уже лежали рассказы «Хозяева жизни» (рассказ коренного ленинградца, попавшего в «кировский набор», прошедшего лагерь, потерявшего семью), «Желтый цветок» (известный под названием «Под фонарем»), «Первый налет», роман «Свежо предание» (первое название – «Кривая Пеано») о судьбах евреев в сталинское время. «Хозяева жизни» стали известны читателю спустя 28 лет (в 1988 г.), а роман «Свежо предание» пролежал в столе «былинный» срок «тридцать лет и три года (издан в 1995 г. в США). Более поздний рассказ «Без улыбок» смог увидеть свет лишь спустя 16 лет (в 1986 г.). Более 10 лет понадобилось писательнице, чтобы опубликовать повесть «Вдовий пароход» (написана вначале 1970 гг., опубликована в 1981 г).

По-прежнему самыми любимыми произведениями остаются для читателя «Кафедра», «Вдовий пароход», «Хозяйка гостиницы».

Секрет обаяния книг И. Грековой в том, что они всегда про людей и обстоятельства их жизни. Они могут быть удачны или не очень, но они страдают, борются, верят или сомневаются. И всегда главной линией проходит нравственный или поис,к или выбор героев.

Вот какую оценку И. Грековой дал С. Ицкович: « поэт в математике и математик в поэзии, вернее — в прозе, да ведь и проза-то её поэтична. Ей, по словам Пушкина, кажется, удалось поверить алгеброй гармонию: каждое слово в её рассказах, повестях, романах — выверено и поставлено к месту с математической точностью, как икс и игрек в формулу, отчего и звучит её проза, как идеально настроенный музыкальный инструмент».

Относясь к языку и сюжету с математической точностью, она преподносила сжатые тексты и лаконичные образы, которые бесконечно были близки и понятны читателям. И даже математические термины как метафоры раскрывали или дополняли представленный образ. Например,

«Несколько человек хлопотали у багажа. Высокая женщина в брюках, циркулем расставила длинные ноги, осторожно передвигала ящики с приборами». И. Грекова показывает нам, что незачем использовать большое количество метафор, если можно обойтись всего одним точным словом.

«...здесь поражало не различие, а тождество <…> и точно она была здесь: неизменная, тождественная самой себе, тревожная красота тех двоих – дамы и мальчика». Иными словами, тождественный означает равный, похожий. Так и здесь, когда военный показывает рассказчице фотографию, она мгновенно узнает его и женщину рядом с ним – это его мама, с которой он схож внешне.

И. Грекова и сама была воплощением идеального писателя: прекрасное владение материалом она сочетала с великолепной филологической эрудицией. Ею восхищались многие профессиональные литераторы. С глубокой печалью воспринял известие о смерти И. Грековой прозаик, заведующий отделом прозы журнала «Новый мир» Руслан Киреев. Когда-то он, начинающий автор, предложил журналу свою повесть о парикмахере, не зная, что к публикации уже принят «Дамский мастер» И. Грековой. Когда спустя 15 лет текст Киреева все же вышел в свет, уже знаменитейшая И. Грекова сама позвонила ему. По признанию Руслана Киреева его всегда поражала эрудиция писательницы, в подлиннике читавшей Пруста и Шекспира, наизусть цитировавшей целые страницы из Гоголя: «Это был человек культуры XIX века».

Она скончалась 15 апреля 2002 года. Сегодня ее книги, переведенные на разные языки мира, столь же быстро исчезают с полок, как и прежде. Ведь они правдивы и жизненны. Когда в очередном советском журнале ее рукопись просили подкорректировать, она просто «брала под мышку свое детище и уходила, даже с чувством облегчения – слава Б-гу, не придется резать, кромсать по живому. Конечно, если бы я жила на литературные гонорары, я была бы сговорчивее», как вспоминала Елена Сергеевна. И на склоне лет она благодарила судьбу, уберегшую ее от погружения только лишь в литературу. Ведь, по ее словам, «там, как и в любой гуманитарной науке того времени, необходимо было "лгать” в той или в другой форме. А нам, математикам, “жить не по лжи” давалось просто».

«Гармоническое сочетание литературы и точных наук, безупречный профессионализм и такое же безупречное чутье на фальшь в слове и решении задач – вот фирменная марка этого человека» – слова признательности от «Независимой газеты», 2002, 19 апреля.

А вот, что сегодня говорит и советует вам, читатели, Д.Быков: «Понимаете, ведь Грекова, как и [Вера] Панова — это такое чудо стиля, очень экономного, очень нейтрального, выдержанного, спокойного, но при этом ёмкого, и в нём есть уже какой-то ум. Знаете, почитать Грекову — это как в жару под холодным душем постоять. «Дамский мастер» — это прекрасная проза, такая ёмкая, точная. И она о самом главном — о повседневном бытовом унижении. Там очень много…»

16 марта был день рождения Фриды Абрамовны Вигдоровой (1915 – 1965), талантливой писательницы, отважной журналистки и доброго, отзывчивого человека. Корней Иванович Чуковский говорил о ней: «Самая лучшая женщина». Надписывая дочери Вигдоровой, Саше, свою книгу «Бег времени», изданную в 1966 году, Анна Ахматова назвала Фриду Вигдорову «высочайшим примером доброты, благородства, человечности для всех нас». Читайте о ней в нашем блоге « Дорога в жизнь Фриды Вигдоровой .

Транскрипт

1 Е. С. Вентцель ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших технических учебных заведений Одиннадцатое издание, стереотипное 2010

2 УДК ББК В29 Рецензенты: Г. Г. Ольховский, генеральный директор Всероссийского теплотехнического института, чл.-корр. РАН, д-р техн. наук, проф., А. М. Петрова, директор Московского политехнического колледжа, канд. экон. наук, Т. Ю. Симонова, зам. директора Московского политехнического колледжа Вентцель Е.С. В29 Теория вероятностей: учебник / Е. С. Вентцель. 11-е изд., стер. М. : КНОРУС, с. ISBN Книга представляет собой один из наиболее известных учебников по теории вероятностей и предназначена для лиц, знакомых с высшей математикой и интересующихся техническими приложениями теории вероятностей. Она представляет также интерес для тех, кто применяет теорию вероятностей в своей практической деятельности. В книге уделено большое внимание различным приложениям теории вероятностей (теории вероятностных процессов, теории информации, теории массового обслуживания и др.). Для студентов высших учебных заведений. Вентцель Елена Сергеевна ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Санитарно-эпидемиологическое заключение Д от г. Изд Подписано в печать Формат 60 90/16. Гарнитура «NewtonC». Печать офсетная. Усл. печ. л. 41,5. Уч. изд. л. 21,6. Тираж 3000 экз. Заказ. ООО «Издательство КноРус» , Москва, ул. Большая Переяславская, 46, стр. 7. Тел.: (495) , E mail: Отпечатано в ОАО «ИПК «Ульяновский Дом печати» , г. Ульяновск, ул. Гончарова, 14. УДК ББК Вентцель Е. С. (наследники), 2010 ЗАО «МЦФЭР», 2010 ISBN ООО «Издательство КноРус», 2010

3 Оглавление Предисловие Глава 1. Введение 1.1. Предмет теории вероятностей Краткие исторические сведения Глава 2. Основные понятия теории вероятностей 2.1. Событие. Вероятность события Непосредственный подсчет вероятностей Частота, или Статистическая вероятность события Случайная величина Практически невозможные и практически достоверные события. Принцип практической уверенности Глава 3. Основные теоремы теории вероятностей 3.1. Назначение основных теорем. Сумма и произведение событий Теорема сложения вероятностей Теорема умножения вероятностей Формула полной вероятности Теорема гипотез (формула Бейеса) Глава 4. Повторение опытов 4.1. Частная теорема о повторении опытов Общая теорема о повторении опытов Глава 5. Случайные величины и их законы распределения 5.1. Ряд распределения. Многоугольник распределения Функция распределения Вероятность попадания случайной величины на заданный участок Плотность распределения Числовые характеристики случайных величин. Их роль и назначение

4 4 Оглавление 5.6. Характеристики положения (математическое ожидание, мода, медиана) Моменты. Дисперсия. Среднее квадратичное отклонение Закон равномерной плотности Закон Пуассона Глава 6. Нормальный закон распределения 6.1. Нормальный закон и его параметры Моменты нормального распределения Вероятность попадания случайной величины, подчиненной нормальному закону, на заданный участок. Нормальная функция распределения Вероятное (срединное) отклонение Глава 7. Определение законов распределения случайных величин на основе опытных данных 7.1. Основные задачи математической статистики Простая статистическая совокупность. Статистическая функция распределения Статистический ряд. Гистограмма Числовые характеристики статистического распределения Выравнивание статистических рядов Критерии согласия Глава 8. Системы случайных величин 8.1. Понятие о системе случайных величин Функция распределения системы двух случайных величин Плотность распределения системы двух случайных величин Законы распределения отдельных величин, входящих в систему. Условные законы распределения Зависимые и независимые случайные величины Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции Система произвольного числа случайных величин Числовые характеристики системы нескольких случайных величин

5 Глава 9. Нормальный закон распределения для системы случайных величин Оглавление Нормальный закон на плоскости Эллипсы рассеивания. Приведение нормального закона к каноническому виду Вероятность попадания в прямоугольник со сторонами, параллельными главным осям рассеивания Вероятность попадания в эллипс рассеивания Вероятность попадания в область произвольной формы Нормальный закон в пространстве трех измерений. Общая запись нормального закона для системы произвольного числа случайных величин Глава 10. Числовые характеристики функций случайных величин Математическое ожидание функции. Дисперсия функции Теоремы о числовых характеристиках Применения теорем о числовых характеристиках Глава 11. Линеаризация функций Метод линеаризации функций случайных аргументов Линеаризация функции одного случайного аргумента Линеаризация функции нескольких случайных аргументов Уточнение результатов, полученных методом линеаризации Глава 12. Законы распределения функций случайных аргументов Закон распределения монотонной функции одного случайного аргумента Закон распределения линейной функции от аргумента, подчиненного нормальному закону Закон распределения немонотонной функции одного случайного аргумента Закон распределения функции двух случайных величин Закон распределения суммы двух случайных величин. Композиция законов распределения Композиция нормальных законов Линейные функции от нормально распределенных аргументов Композиция нормальных законов на плоскости

6 6 Оглавление Глава 13. Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и центральная предельная теорема Неравенство Чебышева Закон больших чисел (теорема Чебышева) Обобщенная теорема Чебышева. Теорема Маркова Следствия закона больших чисел: теоремы Бернулли и Пуассона Массовые случайные явления и центральная предельная теорема Характеристические функции Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых Формулы, выражающие центральную предельную теорему и встречающиеся при ее практическом применении Глава 14. Обработка опытов Особенности обработки ограниченного числа опытов. Оценки для неизвестных параметров закона распределения Оценки для математического ожидания и дисперсии Доверительный интервал. Доверительная вероятность Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины, распределенной по нормальному закону Оценка вероятности по частоте Оценки для числовых характеристик системы случайных величин Обработка стрельб Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов Глава 15. Основные понятия теории случайных функций Понятие о случайной функции Понятие о случайной функции как расширение понятия о системе случайных величин. Закон распределения случайной функции Характеристики случайных функций Определение характеристик случайной функции из опыта

7 Оглавление Методы определения характеристик преобразованных случайных функций по характеристикам исходных случайных функций Линейные и нелинейные операторы. Оператор динамической системы Линейные преобразования случайных функций Сложение случайных функций Комплексные случайные функции Глава 16. Канонические разложения случайных функций Идея метода канонических разложений. Представление случайной функции в виде суммы элементарных случайных функций Каноническое разложение случайной функции Линейные преобразования случайных функций, заданных каноническими разложениями Глава 17. Стационарные случайные функции Понятие о стационарном случайном процессе Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий Спектральное разложение стационарной случайной функции на бесконечном участке времени. Спектральная плотность стационарной случайной функции Спектральное разложение случайной функции в комплексной форме Преобразование стационарной случайной функции стационарной линейной системой Применения теории стационарных случайных процессов к решению задач, связанных с анализом и синтезом динамических систем Эргодическое свойство стационарных случайных функций Определение характеристик эргодической стационарной случайной функции по одной реализации Глава 18. Основные понятия теории информации Предмет и задачи теории информации Энтропия как мера степени неопределенности состояния физической системы

8 8 Оглавление Энтропия сложной системы. Теорема сложения энтропий Условная энтропия. Объединение зависимых систем Энтропия и информация Частная информация о системе, содержащаяся в сообщении о событии. Частная информация о событии, содержащаяся в сообщении о другом событии Энтропия и информация для систем с непрерывным множеством состояний Задачи кодирования сообщений. Код Шеннона Фэно Передача информации с искажениями. Пропускная способность канала с помехами Глава 19. Элементы теории массового обслуживания Предмет теории массового обслуживания Случайный процесс со счетным множеством состояний Поток событий. Простейший поток и его свойства Нестационарный пуассоновский поток Поток с ограниченным последействием (поток Пальма) Время обслуживания Марковский случайный процесс Система массового обслуживания с отказами. Уравнения Эрланга Установившийся режим обслуживания. Формулы Эрланга Система массового обслуживания с ожиданием Система смешанного типа с ограничением по длине очереди Приложение Предметный указатель

9 Предисловие Настоящая книга написана на базе лекций по теории вероятностей, читанных автором в течение ряда лет слушателям Военно-воздушной инженерной академии им. Н. Е. Жуковского, а также учебника автора по тому же предмету. Учебник рассчитан, в основном, на инженера, имеющего математическую подготовку в объеме обычного курса высших технических учебных заведений. При составлении книги автор ставил задачу изложить предмет наиболее просто и наглядно, не связывая себя рамками полной математической строгости. В связи с этим отдельные положения приводятся без доказательства (раздел о доверительных границах и доверительных вероятностях; теорема А. Н. Колмогорова, относящаяся к критерию согласия, и некоторые другие); некоторые положения доказываются не вполне строго (теорема умножения законов распределения; правила преобразования математического ожидания и корреляционной функции при интегрировании и дифференцировании случайной функции и др.). Применяемый математический аппарат, в основном, не выходит за рамки курса высшей математики, излагаемого в высших технических учебных заведениях; там, где автору приходится использовать менее общеизвестные понятия (например, понятие линейного оператора, матрицы, квадратичной формы и т.д.), эти понятия поясняются. Книга снабжена большим количеством примеров, в ряде случаев расчетного характера, в которых применение излагаемых методов иллюстрируется на конкретном практическом материале и доводится до численного результата. Несмотря на несколько специфический подбор примеров, иллюстративный материал, помещенный в книге, понятен и инженерам, работающим в разных областях техники, и всем, кто использует методы теории вероятностей в своей работе. Автор выражает глубокую благодарность профессору Е. Б. Дынкину и профессору В. С. Пугачеву за ряд ценных указаний. Е. Вентцель

E.С. Вентцель Л.А. Овчаров ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ЕЕ ИНЖЕНЕРНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших технических

Оглавление Предисловие Введение Теория вероятностей Глава 1. Основные понятия теории вероятностей 1.1. Опыт и событие Операция умножения событий Операция сложения событий Операция вычитания событий Операция

Ивановский Р. И. Теория вероятностей и математическая статистика. Основы, прикладные аспекты с примерами и задачами в среде Mathcad. СПб.: БХВ- Петербург, 2008. 528 с.: ил. + CD-ROM (Учебное пособие) В

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение...... 14 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Глава первая. Основные понятия теории вероятностей... 17 1. Испытания и события... 17 2. Виды случайных событий... 17 3. Классическое определение

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 1. Основные понятия и определения теории вероятностей. Виды случайных событий. Классическое и статистическое определение вероятности

Учебник рассчитан на читателей, знакомых с курсом высшей математики в объеме дифференциального и интегрального исчисления функций одной переменной. Представленный материал охватывает элементарные вопросы

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Глава первая. Определение вероятности.. 8 1. Классическое и статистическое определения вероятности.. 8 2. Геометрические вероятности... 12 Глава вторая. Основные

А. М. Карлов Теория вероятностей и математическая статистика для экономистов Рекомендовано УМО по образованию в области финансов, учета и мировой экономики в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Вектор среднего дисперсий границ математических ожиданий границ функции среднеквадратических отклонений границ величина гиперслучайная векторная непрерывная 1.2 скалярная 1.2 интервальная

В.Е.Гмурман РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ М.: Высш. школа, 1979, 400 стр. В пособии приведены необходимые теоретические сведения и формулы, даны решения

РПД ЕН.Ф.03.08-2005 Пензенский государственный университет Факультет вычислительной техники Кафедра "Дискретная математика" Теория вероятностей и математическая статистика Рабочая программа учебной дисциплины

«КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ Кафедра математики и экономической информатики Методическая разработка по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)»

ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ 3 ВВЕДЕНИЕ 5 ЧАСТЬ 1. Случайные события и их вероятности Глава 1. Понятие вероятности 1.1. Виды случайных событий. Дискретное множество элементарных событий. Множество исходов опыта

Н. Ю. АФАНАСЬЕВА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ НАУЧНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА Рекомендовано ГОУ ВПО «Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана» в качестве учебного пособия

Методические указания к практическим (семинарским) занятиям Практические занятия (семинары) 3-й семестр п/п С1 С2 С3 С4 С5 С6 раздела дисциплины Наименование практических занятий (семинаров) Комбинаторика:

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ

Б А К А Л А В Р И А Т В.Я. Дерр ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ Лекции и упражнения Допущено УМО по классическому университетскому образованию в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по специальности

Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Институт управления» Экономический факультет Кафедра информационных технологий и прикладной математики ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

РПД ЕН.Ф.03-2005 Пензенский государственный университет Факультет вычислительной техники Кафедра «Дискретная математика» Теория вероятностей и математическая статистика Рабочая программа учебной дисциплины

СОДЕРЖАНИЕ 1 ПАСПОРТ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ 3 УСЛОВИЯ РЕАЛИЗАЦИИ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ КОНТРОЛЬ И ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ 3

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный технологический институт (Технический университет)

1. Цели и задачи дисциплины: получение базовых знаний и формирование основных навыков по теории вероятностей и математической статистике, необходимых для решения задач, возникающих в практической экономической

О.С. Литвинская Н.И. Чернышёв Основы теории передачи информации Допущено УМО по университетскому политехническому образованию в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по специальности 230101

Учебно-методический комплекс по курсу «ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ» Пояснительная записка Курс Основы теории вероятностей и математической статистики относится к циклу естественнонаучных

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ (Пензенский филиал) Кафедра «Менеджмент, информатика и

Н. И. ГУСЕВА, Н. C. ДЕНИСОВА, O. Ю. ТЕСЛЯ Сборник задач по геометрии в 2-х частях Часть I Рекомендовано УМО по специальностям педагогического образования в качестве учебного пособия для студентов высших

ЧАСТЬ 7 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Глава 22 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 22.1. Событие, классификация событий, вероятность

СРЕДНЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ В.П. ГАЛАГАНОВ Рекомендовано Федеральным государственным учреждением «Федеральный институт развития образования» в качестве учебника для студентов образовательных учреждений

3 1.ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА В связи с возросшей ролью математической статистики в современной науке и технике, будущие специалисты в области энергоэффективных технологий нуждаются в серьезных знаниях теории

1. Цели и задачи дисциплины Целью дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» является обучение студентов основным методам теории вероятностей и математической статистики и использованию

Формулы по теории вероятностей I. Случайные события. Основные формулы комбинаторики а) перестановки P =! = 3...(). б) размещения A m = ()...(m +). A! в) сочетания C = =. P ()!!. Классическое определение

2 АННОТАЦИЯ Дисциплины Б2.Б3 Теория вероятностей и математическая статистика 1. Цель и задачи изучения дисциплины (учебного курса) Цель приобретение теоретических знаний по основным разделам курса, формирование

2 1. Цели и задачи дисциплины Цель изучения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» формирование у студентов современных теоретических знаний о вероятностных и статистических закономерностях,

1. Цели и задачи дисциплины 1.1 Цель - формирование личности, развитие интеллекта и способностей к логическому мышлению, развитие умения оперировать абстрактными объектами; усвоение математических методов,

АННОТАЦИЯ к рабочей программе дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» Направление подготовки (специальность) 38.03.04 Государственное и муниципальное управление 1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирская Государственная Геодезическая Академия»

Лекция 8 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить функции плотности и числовые характеристики случайных величин имеющих равномерное показательное нормальное и гамма-распределение

Федеральное агентство по образованию Владивостокский государственный университет экономики и сервиса ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ Учебная программа дисциплины по

Учреждение образования «Белорусский государственный педагогический университет имени Максима Танка» Институт повышения квалификации и переподготовки Факультет переподготовки специалистов образования Кафедра

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие...3 А. ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ ВЕКТОРОВ И МАТРИЦ...5 1. Решение систем линейных уравнений...5 1.1. Линейные уравнения...5 1.2. Системы линейных уравнений...7 1.3. Разрешенные системы линейных

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1. Кафедра. Направление подготовки. Дисциплина (модуль) Математики, физики и информационных

А.И.Кибзун, Е.Р.Горяинова, А.В.Наумов, А.Н.Сиротин ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 224 с. Книга предназначена для начального

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКАЯ ГУМАНИТАРНАЯ АКАДЕМИЯ» Филиал в г. Тольятти ЛИСТ СОГЛАСОВАНИЯ УТВЕРЖДАЮ: Зам. Директора по УР Р.В. Закомолдин

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

ОДОБРЕНА решением федерального учебно-методического объединения по общему образованию (протокол от 28 июня 2016 г. 2/16-з) ПРИМЕРНАЯ ОСНОВНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА СРЕДНЕГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ (ФРАГМЕНТ)

Факультет геологии, геофизики и геохимии РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН Дисциплина «Элементы теории вероятностей и мат. статистики» УЧЕБНЫЙ ПЛАН Всего

2 Тесты промежуточной аттестации по дисциплине: Перечень вопросов к зачету по дисциплине «Математика» I семестр I Элементы линейной алгебры 1. Понятие определителей 2-го и 3-го порядка, их вычисление и

Razat- Fə üzrə İmtaha Sualları Rus Bölməs. Исследовать сходимость ряда по признаку Даламбера: = 3 + 7. Исследовать сходимость ряда по интегральному признаку Коши: = 3 3. Найти радиус сходимости ряда: 3

Министерство образования и науки РФ Алтайский государственный университет С.В. Дронов ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: элементарные методы, случайные величины, предельные теоремы Учебное пособие для студентов математических

В.Д. СЕКЕРин ОСНОВЫ МАРКЕТИНГА Допущено Учебно-методическим объединением по образованию в области коммерции и маркетинга в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся

Кисловодский гуманитарно-технический институт РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» для бакалавров направления 27.03.04 «Управление в технических системах» Кисловодск,2016

Оглавление 1. Цель и задачи дисциплины... 4 2. Место дисциплины в структуре ОПОП... 4 3. Требования к результатам освоения учебной дисциплины (компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения

Белорусский государственный университет УТВЕРЖДАЮ Декан экономического факультета М.М.Ковалев (подпись) «25» июня 2009 г. (дата утверждения) Регистрационный УД-80 /р. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов 1 Варианты контрольной работы

I. Организационно-методический раздел 1.1. Цель дисциплины: является фундаментальная подготовка обучающихся к усвоению основных математических методов и подготовка к проектно-конструкторской и научно-исследовательской

Дисциплина: «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» Специальность: Факультет: «МЕДИКО-БИОЛОГИЧЕСКИЙ» Учебный год: 016-017 Вопросы к экзамену по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ Основные понятия математической статистики Совокупность - это множество объектов (элементов совокупности), обладающих общим свойством. Объем совокупности - это число

В.А. КОЛЕМАЕВ, В.Н. КАЛИНИНА ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Рекомендовано Учебно-методическим объединением по специальности «Менеджмент организации» в качестве учебника для студентов высших

2 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Учебная программа «Теория вероятности и математическая статистика» разработана для специальности 1-21 06 01-01 «Современные иностранные языки» высших учебных заведений. Целью изучения

Издательско-торговая корпорация Дашков и К К. В. Балдин, В. Н. Башлыков, А. В. Рукосуев ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебник 2-е издание Рекомендовано ГОУ ВПО «Государственный университет

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е. АЛЕКСЕЕВА» ИНСТИТУТ ТРАНСПОРТНЫХ СИСТЕМ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Хуснутдинов, Р. Ш. Курс теории вероятностей. Казань: Издво КГТУ, 2000. 200 с. 2. Хуснутдинов, Р. Ш. Курс математической статистики. Казань: Изд-во КГТУ, 2001. 344 с. 3. Хуснутдинов,

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). 1. Кафедра Общие сведения 2. Направление подготовки 3. Дисциплина (модуль) 4. Количество этапов формирования

Задачи и упражнения по теории вероятностей. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А.

5-е изд., испр. - М.: Академия, 2003.- 448 с..

Настоящее пособие представляет собой систематизированную подборку задач и упражнений по теории вероятностей. Все задачи снабжены ответами, а большинство - и решениями. В начале каждой главы приведена сводка основных теоретических положений и формул, необходимых для решения задач.

Для студентов высших технических учебных заведений. Может быть использовано преподавателями, инженерами и научными работниками, заинтересованными в освоении вероятностных методов для решения практических задач.

Формат: pdf

Размер: 7 Мб

yandex.disk

Формат: djvu / zip

Размер: 4 ,03 Мб

/ Download файл

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава 1. Основные понятия. Непосредственный подсчет вероятностей 4
Глава 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей 19
Глава 3. Формула полной вероятности и формула Бейеса 49
Глава 4. Повторение опытов 70
Глава 5. Случайные величины. Законы распределения. Числовые характеристики случайных величин 85
Глава 6. Системы случайных величин (случайные векторы) 124
Глава 7. Числовые характеристики функций случайных величин 152
Глава 8. Законы распределения функций случайных величин. Предельные теоремы теории вероятностей 207
Глава 9. Случайные функции 261
Глава 10. Потоки событий. Марковские случайные процессы 317
Глава 11. Теория массового обслуживания 363
Приложения 428
Список литературы 440

Название: Теория вероятностей. 1969.

Книга представляет собой учебник, предназначенный для лиц, знакомых с математикой в объеме обычного ВТУЗовского курса и интересующихся техническими приложениями теории вероятностей, в частности теорией стрельбы. Книга представляет также интерес для инженеров других специальностей, которым приходится применять теорию вероятностей в их практической деятельности.
От других учебников, предназначенных для той же категории читателей, книга отличается большим вниманием к важным для приложений новым ветвям теории вероятностей (например, теории вероятностных процессов, теории информации, теории массового обслуживания и др.

Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.
Условимся, что мы будем понимать под «случайным явлением».
При научном исследовании различных физических в технических задач часто приходится встречаться с особого типа явлениями, которые принято называть случайными. Случайное явление - это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию
Предисловие к первому изданию 9
Глава 1. Введение 11
1.1. Предмет теории вероятностей 11
1.2. Краткие исторические сведения 17
Глава 2. Основные понятия теории вероятностей 23
2.1. Событие. Вероятность события 23
2.2. Непосредственный подсчет вероятностей 24
2.3. Частота, или статистическая вероятность, события 28
2.4. Случайная величина 32
2.5. Практически невозможные и практически достоверные события. Принцип практической уверенности 34
Глава 3. Основные теоремы теории вероятностей 37
3.1. Назначение основных теорем. Сумма и произведение событий 37
3.2. Теорема сложения вероятностей 40
3.3. Теорема умножения вероятностей 45
3.4. Формула полной вероятности 54
3.5. Теорема гипотез (формула Бейеса) 56
Глава 4. Повторение опытов 59
4.1. Частная теорема о повторении опытов 59
4.2. Общая теорема о повторении опытов 61
Глава 5. Случайные величины н их законы распределения 67
5.1. Ряд распределения. Многоугольник распределения 67
5.2. Функция распределения 72
5.3. Вероятность попадания случайной величины на заданный участок 78
5.4. Плотность распределения 80
5.5. Числовые характеристики случайных величин. Их роль и назначение 84
5.6. Характеристики положения (математическое ожидание, мода, медиана) 85
5.7. Моменты. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение 92
5.8. Закон равномерной плотности 103
5.9. Закон Пуассона. 106
Глава 6. Нормальный закон распределения 115
6.1. Нормальный закон и его параметры 116
6.2. Моменты нормального распределения 120
6.3. Вероятность попадания случайной величины, подчиненной нормальному закону, на заданный участок. Нормальная функция распределения 122
6.4. Вероятное (срединное) отклонение 127
Глава 7. Определение законов распределения случайных величин на основе опытных данных 131
7.1. Основные задачи математической статистики 131
7.2. Простая статистическая совокупность. Статистическая функция распределения 133
7.3. Статистический ряд. Гистограмма 133
7.4. Числовые характеристики статистического распределения 139
7.5. Выравнивание статистических рядов 143
7.6. Критерии согласия 149
Глава 8. Системы случайных величин 159
8.1. Понятие о системе случайных величин 159
8.2. Функция распределения системы двух случайных величин 163
8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин 163
8.4. Законы распределения отдельных величин, входящих в систему. Условные законы распределения 163
8.5. Зависимые и независимые случайные величины 171
8.6. Числовые характеристики системы двух случайных величии. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции 175
8.7. Система произвольного числа случайных величин 182
8.8. Числовые характеристики системы нескольких случайных величин 184
Глава 9. Нормальный закон распределения для системы случайных величин 188
9.1. Нормальный закон на плоскости 188
9.2. Эллипсы рассеивания. Приведение нормального закона к каноническому виду 193
9.3. Вероятность попадания в прямоугольник со сторонами, параллельными главным осям рассеивания 196
9.4. Вероятность попадания в эллипс рассеивания 198
9.5. Вероятность попадания в область произвольной формы 202
9.6. Нормальный закон в пространстве трех измерений. Общая запись нормального закона для системы произвольного числа случайных величин 205
Глава 10. Числовые характеристики функций случайных величин 210
10.1. Математическое ожидание функции. Дисперсия функции 210
10.2. Теоремы о числовых характеристиках 219
10.3. Применения теорем о числовых характеристиках 230
Глава 11. Линеаризация функций 252
11.1. Метод линеаризации функций случайных аргументов 252
11.2. Линеаризация функции одного случайного аргумента 253
11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов 255
11.4. Уточнение результатов, полученных методом линеаризации 259
Глава 12. Законы распределения функций случайных аргументов 263
12.1. Закон распределения монотонной функции одного случайного аргумента 643
12.2. Закон распределения линейной функции от аргумента, подчиненного нормальному закону 266
12.3. Закон распределения немонотонной функции одного случайного аргумента 267
12.4. Закон распределения функции двух случайных величин 269
12.5. Закон распределения суммы двух случайных величин. Композиция законов распределения 271
12.6. Композиция нормальных законов 275
12.7. Линейные функции от нормально распределенных аргументов 279
12.8. Композиция нормальных законов на плоскости 280
Глава 13. Предельные теоремы теории вероятностей 286
13.1. Закон больших чисел и центральная предельная теорема 286
13.2. Неравенство Чебышева 28713.3. Закон больших чисел (теорема Чебышева) 290
13.4. Обобщенная теорема Чебышева. Теорема Маркова 292
13.5. Следствия закона больших чисел: теоремы Бернулли и Пуассона 295
13.6. Массовые случайные явления и центральная предельная теорема 297
13.7. Характеристические функции 299
13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых 302
13.9. Формулы, выражающие центральную предельную теорему и встречающиеся при ее практическом применении 306
Глава 14. Обработка опытов 312
14.1. Особенности обработки ограниченного числа опытов. Оценки для неизвестных параметров закона распределения 312
14.2. Оценки для математического ожидания и дисперсии 314
14.3. Доверительный интервал. Доверительная вероятность 317
14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины, распределенной по нормальному закону 324
14.5. Оценка вероятности по частоте 330
14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин 339
14.7. Обработка стрельб 347
14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов 351
Глава 15. Основные понятия теории случайных функций 370
15.1. Понятие о случайной функции 370
15.2. Понятие о случайной функции как расширение понятия о системе случайных величин. Закон распределения случайной функции 374
15.3. Характеристики случайных функций 377
15.4. Определение характеристик случайной функции из опыта 383
15.5. Методы определения характеристик преобразованных случайных функций по характеристикам исходных случайных функций 385
15.6. Линейные и нелинейные операторы. Оператор динамической системы 388
15.7. Линейные преобразования случайных функций 393
15.8. Сложение случайных функций 39Э
15.9. Комплексные случайные функции 402
Глава 16. Канонические разложения случайных функций 405
16.1. Идея метода канонических разложений. Представление случайной функции в виде суммы элементарных случайных функций 406
16.2. Каноническое разложение случайной функции 410
16.3. Линейные преобразования случайных функций, заданных каноническими разложениями 411
Глава 17. Стационарные случайные функции 419
17.1. Понятие о стационарном случайном процессе 419
17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий 427
17.3. Спектральное разложение стационарной случайной функции на бесконечном участке времени. Спектральная плотность стационарной случайной функции 431
17.4. Спектральное разложение случайной функции в комплексной форме 438
17.5. Преобразование стационарной случайной функции стационарной линейной системой 447
17.6. Применения теории стационарных случайных процессов к решению задач, связанных с анализом и синтезом динамических систем 454
17.7. Эргодическое свойство стационарных случайных функций 457
17.8. Определение характеристик эртодическои стационарной случайной функции по одной реализации 462
Глава 18. Основные понятия теории информации 468
18.1. Предмет и задачи, теории информации 468
18.2. Энтропия как мера степени неопределенности состояния физической системы 469
18.3. Энтропия сложной системы. Теорема сложения энтропии 475
15.1. Условная энтропия. Объединение зависимых систем 477
18.1. Энтропия н информация 481
18.2. Частная информация о системе, содержащаяся в сообщении о событии. Частная информация о событии, содержащаяся в сообщении о другом событии 489
18.7. Энтропия и информация для систем с непрерывным множеством состояний 493
18.8. Задачи кодирования сообщений. Код Шеннона - Фэно 502
18.9. Передача информации с искажениями. Пропускная способность канала с помехами 509
Глава 19. Элементы теории массового обслуживания 515
19.1. Предмет теории массового обслуживания 515
19.2. Случайный процесс со счетным множеством состояний 517
19.3. Поток событий. Простейший поток и его свойства 520
19.4. Нестационарный пуассоновский поток 527
19. 5. Поток с ограниченным последействием (поток Пальма) 529
16. 6. Время обслуживания 534
19. 7. Марковский случайный процесс 537
19. 8. Система массового обслуживания с отказами. Уравнения Эрланга 540
19. 9. Установившийся режим обслуживания. Формулы Эрланга 544
19.10. Система массового обслуживания с ожиданием 548
19.11. Система смешанного типа с ограничением по длине очереди 557
Приложение. Таблицы 561
Литература 573
Предметный указатель 574