Eksoottisista nimistä huolimatta yleiset jakaumat liittyvät toisiinsa melko intuitiivisesti ja mielenkiintoisia tapoja joiden avulla on helppo muistaa ne ja puhua niistä luottavaisesti. Jotkut seuraavat luonnollisesti esimerkiksi Bernoullin jakaumasta. Aika näyttää kartta näistä yhteyksistä.

Jokaista jakaumaa havainnollistetaan esimerkillä sen jakautumistiheysfunktiosta (DDF). Tämä artikkeli käsittelee vain niitä jakaumia, joiden tulokset ovat − yksittäisiä numeroita. Siksi, vaaka-akseli jokainen kaavio on joukko mahdollisia lukuja ja tuloksia. Pysty - kunkin tuloksen todennäköisyys. Jotkut jakaumat ovat diskreettejä – niiden tulosten on oltava kokonaislukuja, kuten 0 tai 5. Nämä on osoitettu harvoilla viivoilla, yksi kullekin tulokselle, jonka korkeus vastaa tämän tuloksen todennäköisyyttä. Jotkut ovat jatkuvia, niiden tulokset voivat kestää mitä tahansa numeerinen arvo, kuten -1,32 tai 0,005. Nämä esitetään tiheinä käyrinä, joiden todennäköisyydet kuvaavien käyrän osuuksien alla on alueita. Viivojen korkeuksien ja käyrien alla olevien pintojen summa on aina 1.

Tulosta se, leikkaa katkoviivaa pitkin ja kanna sitä mukaasi lompakossasi. Tämä on oppaasi jakelumaahan ja niiden sukulaisiin.

Bernoulli ja univormu

Olet jo tavannut yllä olevan Bernoulli-jakauman kahdella tuloksella - päät tai hännät. Kuvittele se nyt jakaumana 0:n ja 1:n välillä, 0 on päitä ja 1 on häntää. Kuten on jo selvää, molemmat tulokset ovat yhtä todennäköisiä, ja tämä näkyy kaaviossa. Bernoulli PDF sisältää kaksi riviä sama korkeus edustavat kahta yhtä todennäköistä lopputulosta: 0 ja 1, vastaavasti.

Bernoullin jakauma voi myös edustaa epätasa-arvoisia tuloksia, kuten väärän kolikon heittämistä. Tällöin päiden todennäköisyys ei ole 0,5, vaan jokin muu arvo p, ja pyrstöjen todennäköisyys on 1-p. Kuten monet muut jakaumat, se on itse asiassa koko perhe jakaumia tietyillä parametreilla, kuten p yllä. Kun ajattelet "Bernoulli" - ajattele "(mahdollisesti väärän) kolikon heittämistä."

Siksi erittäin pieni askel ennen jakauman esittämistä useiden yhtäläisten todennäköisten tulosten kesken: tasainen jakauma, jolle on ominaista tasainen PDF. Edustaa oikeaa noppaa. Hänen tuloksensa 1-6 ovat yhtä todennäköisiä. Se voidaan asettaa mille tahansa määrälle tuloksia n ja jopa jatkuvana jakaumana.

ajatella virka-asujen jakelu"oikeana nopana".

Binomiaalinen ja hypergeometrinen

Binomijakaumaa voidaan ajatella niiden asioiden tulosten summana, jotka seuraavat Bernoullin jakaumaa.

Heitä rehellistä kolikkoa kahdesti – kuinka monta kertaa se on päätä? Tämä on luku, joka noudattaa binomijakaumaa. Sen parametrit ovat n, kokeiden lukumäärä ja p on "onnistumisen" todennäköisyys (tapauksessamme päät tai 1). Jokainen heitto on Bernoullin jaettu tulos tai testi. Käyttää binomiaalinen jakauma kun lasketaan onnistumisten lukumäärä asioissa, kuten kolikon heittäminen, jossa jokainen heitto on riippumaton muista ja sillä on sama onnistumisen todennäköisyys.

Tai kuvittele uurna, jossa on sama määrä valkoisia ja mustia palloja. Sulje silmäsi, vedä pallo ulos, kirjoita sen väri muistiin ja palauta se takaisin. Toistaa. Kuinka monta kertaa musta pallo on vedetty? Tämä luku noudattaa myös binomijakaumaa.

Tämä outo tilanne Olemme ottaneet käyttöön hypergeometrisen jakauman merkityksen ymmärtämisen helpottamiseksi. Tämä on saman luvun jakauma, mutta tilanteessa, jossa me ei palauta pallot. Se varmasti serkku binomiaalinen jakauma, mutta ei sama, koska onnistumisen todennäköisyys muuttuu jokaisen vedetyn pallon myötä. Jos pallojen määrä on riittävän suuri vetojen määrään verrattuna, nämä jakaumat ovat lähes samat, koska onnistumisen mahdollisuus muuttuu hyvin vähän jokaisen arvonnan yhteydessä.

Kun joku puhuu pallojen vetämisestä ulos uurneista ilman palautusta, on melkein aina turvallista sanoa "kyllä, hypergeometrinen jakauma", koska en ole elämässäni vielä tavannut ketään, joka todella täyttäisi uurnat palloilla ja sitten ottaisi ne pois ja palaa takaisin. niitä tai päinvastoin. Minulla ei ole edes ystäviä, joilla on uurnat. Vielä useammin tämän jakauman pitäisi tulla esiin, kun valitaan otokseksi merkittävä osajoukko jostain yleisestä populaatiosta.

Merkintä. käännös

Tämä ei ehkä ole kovin selkeää, mutta koska opetusohjelma ja pikakurssi aloittelijoille, se olisi tarpeen selittää. Väestö on asia, jota haluamme arvioida tilastollisesti. Arvioimiseksi valitsemme tietyn osan (osajoukon) ja teemme siitä vaaditun arvion (silloin tätä osajoukkoa kutsutaan otokseksi) olettaen, että estimaatti on samanlainen koko populaatiolle. Mutta jotta tämä olisi totta, otoksen osajoukon määrittelyyn tarvitaan usein lisärajoituksia (tai päinvastoin, tunnetusta otoksesta meidän on arvioitava, kuvaako se populaatiota riittävän tarkasti).

Käytännön esimerkki - meidän on valittava edustajat 100 hengen yrityksestä matkustamaan E3: lle. Tiedetään, että 10 ihmistä on matkustanut siinä jo viime vuonna (mutta ketään ei tunnisteta). Kuinka paljon vähimmäismäärää tulisi ottaa, jotta ainakin yksi kokenut toveri on todennäköisesti ryhmässä? AT Tämä tapaus väestö- 100, valinta - 10, valintavaatimukset - vähintään yksi jo E3:lle matkustanut.

Wikipediassa on vähemmän hauska, mutta käytännöllisempi esimerkki viallisista osista erässä.

poisson

Entä soittavien asiakkaiden määrä vihjelinja tekniseen tukeen joka minuutti? Tämä on tulos, jonka jakauma on ensi silmäyksellä binomiaalinen, jos tarkastellaan jokaista sekuntia Bernoulli-kokeena, jonka aikana asiakas joko ei soita (0) tai soittaa (1). Mutta sähkönjakeluorganisaatiot tietävät erittäin hyvin: kun sähköt katkaistaan, kaksi ihmistä voi soittaa sekunnissa. tai jopa yli sata ihmisistä. Sen esittäminen 60 000 millisekunnin kokeiluina ei myöskään auta - kokeiluja on enemmän, puhelun todennäköisyys millisekunnissa on pienempi, vaikka et laskeisi kahta tai useampaa yhtä aikaa, mutta teknisesti tämä ei silti ole Bernoullin testi. Looginen päättely toimii kuitenkin äärettömyyteen siirtymisen kanssa. Mennään n äärettömyyteen ja p arvoon 0, jolloin np on vakio. Se on kuin jakaminen pienempiin ja pienempiin ajan osiin, jolloin puhelun mahdollisuus vähenee. Rajassa saamme Poisson-jakauman.

Aivan kuten binomijakauma, Poisson-jakauma on määräjakauma: kuinka monta kertaa jotain tapahtuu. Sitä ei parametrisoida todennäköisyydellä p ja kokeiden lukumäärällä n, vaan keskimääräisellä intensiteetillä λ, joka analogisesti binomin kanssa on yksinkertaisesti vakioarvo n.p. Poisson-jakauma on mitä tarpeellista muista, kun on kyse tapahtumien laskemisesta tietty aika annetulla vakiointensiteetillä.

Kun esimerkiksi paketteja saapuu reitittimeen tai asiakkaita ilmestyy kauppaan tai jotain odottaa jonossa, ajattele Poissonia.

Geometrinen ja negatiivinen binomi

From yksinkertaisia ​​testejä Bernoulli näyttää toiselta jakelulta. Kuinka monta kertaa kolikko nousee pyrstöön ennen kuin se nousee ylös? Hänntien lukumäärä noudattaa geometrista jakaumaa. Kuten Bernoullin jakauma, se parametroidaan onnistuneen lopputuloksen todennäköisyydellä, s. Sitä ei parametroi luku n, kokeiden lukumäärä, koska epäonnistuneiden kokeiden määrä on juuri tulos.

Jos binomijakauma on "kuinka monta menestystä", niin geometrinen jakauma on "Kuinka monta epäonnistumista ennen menestystä?".

Negatiivinen binomijakauma on yksinkertainen yleistys edellisestä. Tämä on epäonnistumisten lukumäärä ennen kuin onnistumisia on r, ei 1. Siksi se on lisäksi parametroitu tällä r:llä. Sitä kuvataan joskus onnistumisten lukumääränä ennen r epäonnistumista. Mutta kuten elämänvalmentajani sanoo: "Sinä päätät mikä on menestys ja mikä epäonnistuminen", joten tämä on sama, jos et unohda, että todennäköisyyden p on myös oltava oikea todennäköisyys onnistuminen tai epäonnistuminen, vastaavasti.

Jos tarvitset vitsiä jännityksen lievittämiseksi, voit mainita, että binomi- ja hypergeometriset jakaumat ovat ilmeinen pari, mutta geometrinen ja negatiivinen binomijakauma ovat myös melko samanlaisia, ja sitten todeta ”No, kuka niitä kaikkia niin kutsuu, vai? ”

Eksponentiaalinen ja Weibull

Vielä puheluista tekniseen tukeen: kuinka kauan kestää ennen seuraavaa puhelua? Tämän odotusajan jakauma näyttää olevan geometrinen, koska jokainen sekunti, kunnes kukaan ei soita, on kuin epäonnistuminen, kunnes toinen, kunnes puhelu lopulta tulee. Vikojen määrä on kuin sekuntien määrä, kunnes kukaan ei soittanut, ja tämä on käytännössä aika seuraavaan puheluun, mutta "käytännössä" ei riitä meille. Lopputulos on, että tämä aika on kokonaisten sekuntien summa, joten ei ole mahdollista laskea odotusaikaa tämän sekunnin sisällä itse puheluun asti.

No, kuten ennenkin, mennään geometrinen jakautuminen rajaan, aikaosuuksien osalta - ja voila. Saamme eksponentiaalisen jakauman, joka kuvaa tarkasti kutsua edeltävän ajan. se jatkuva jakelu, meillä on ensimmäinen, koska tulos ei välttämättä ole kokonaisissa sekunneissa. Kuten Poisson-jakauma, se on parametroitu intensiteetillä λ.

Toistaen binomiaalin ja geometrian välistä yhteyttä, Poissonin "kuinka monta tapahtumaa kerralla?" liittyy eksponentiaaliseen "kuinka kauan ennen tapahtumaa?". Jos on tapahtumia, joiden lukumäärä aikayksikköä kohti noudattaa Poisson-jakaumaa, niin niiden välinen aika noudattaa eksponentiaalista jakaumaa samalla parametrilla λ. Tämä vastaavuus näiden kahden jakauman välillä on otettava huomioon, kun jompaakumpaa keskustellaan.

Eksponentiaalisen jakauman tulisi tulla mieleen, kun ajatellaan "aikaa tapahtumaan", ehkä "aikaa epäonnistumiseen". Itse asiassa tämä on niin tärkeä tilanne, että MTBF:n kuvaamiseen on olemassa yleisempiä jakaumia, kuten Weibull-jakauma. Vaikka eksponentiaalinen jakauma on sopiva, kun kulumis- tai vikatiheys on esimerkiksi vakio, Weibull-jakauma voi mallintaa kasvavan (tai pienenevän) vikasuhteen ajan myötä. Eksponentiaalinen, yleensä erikoistapaus.

Ajattele Weibullia, kun kyse on MTBF:stä.

Normaali, lognormaali, Studentin ja chi-neliö

Normaali tai Gaussin jakauma on luultavasti yksi tärkeimmistä. Sen kellomainen muoto on heti tunnistettavissa. Kuten , tämä on erityisen utelias kokonaisuus, joka ilmenee kaikkialla, jopa ulkoisesti yksinkertaiset lähteet. Ota joukko arvoja, jotka noudattavat samaa jakaumaa - mikä tahansa! - ja taita ne ylös. Niiden summan jakautuminen riippuu (suunnilleen) normaalijakauma. Mitä enemmän asioita summataan, sitä lähempänä niiden summa vastaa normaalijakaumaa (temppu: termien jakauman tulee olla ennustettava, riippumaton, se pyrkii vain normaaliin). On hämmästyttävää, että näin on alkuperäisestä jakelusta huolimatta.

Merkintä. käännös

Yllätyin siitä, että kirjoittaja ei kirjoita vertailukelpoisen summattavien jakaumien tarpeesta: jos toinen hallitsee merkittävästi muita, se konvergoi äärimmäisen huonosti. Ja yleensä absoluuttinen keskinäinen riippumattomuus ei ole välttämätöntä, heikko riippuvuus riittää.

No, se on todennäköisesti juhlia varten, kuten hän kirjoitti.

Tätä kutsutaan "keskirajalauseeksi", ja sinun on tiedettävä, mikä se on, miksi sitä kutsutaan ja mitä se tarkoittaa, muuten he nauravat sille välittömästi.

Kontekstissaan normaali liittyy kaikkiin jakaumiin. Vaikka periaatteessa se liittyy kaikkien määrien jakamiseen. Bernoulli-kokeiden summa seuraa binomijakaumaa ja kokeiden määrän kasvaessa tämä binomijakauma tulee lähemmäksi normaalijakaumaa. Samoin sen serkku on hypergeometrinen jakauma. Myös Poisson-jakauma - binomiaalin rajoittava muoto - lähestyy normaalia intensiteettiparametrin kasvaessa.

Tulokset, jotka seuraavat lognormaalijakaumaa, antavat arvoja, joiden logaritmi jakautuu normaalisti. Tai toisella tavalla: normaalijakauman arvon eksponentti on lognormaalijakautunut. Jos summat ovat normaalijakaumia, muista myös, että tulot ovat lognormaalijakaumia.

Studentin t-jakauma on t-testin perusta, jota monet ei-tilastolaiset tutkivat muilla aloilla. Sitä käytetään olettamaan normaalijakauman keskiarvosta, ja se pyrkii myös normaalijakaumaan parametrin kasvaessa. Erottuva ominaisuus T-jakauma on sen pyrstö, joka on paksumpi kuin normaalijakauman.

Jos rasva-anekdootti ei ole ravistellut naapuriasi tarpeeksi, siirry melko hauskaan oluttarinaan. Yli 100 vuotta sitten Guinness käytti tilastoja parantaakseen stouttaan. Sitten William Seely Gosset keksi täysin uuden tilastollinen teoria ohran viljelyn parantamiseksi. Gosset vakuutti pomon, että muut panimot eivät ymmärtäisi hänen ideoidensa käyttöä ja sai luvan julkaista se, mutta salanimellä "Student". Suurin osa kuuluisa saavutus Gosset on juuri tämä t-jakauma, joka, voisi sanoa, on nimetty hänen mukaansa.

Lopuksi khin neliöjakauma on normaalijakautuneiden suureiden neliösumman jakauma. Tälle jakaumille rakennetaan khin neliötesti, joka perustuu normaalijakauman neliöerojen summaan.

Gamma ja beta

Tässä vaiheessa, jos puhut jo jostain chi-neliosta, keskustelu alkaa tosissaan. Olet luultavasti jo puhumassa oikeiden tilastotieteilijöiden kanssa, ja se on luultavasti jo kumartumisen arvoista, sillä esimerkiksi gamma-jakauma saattaa tulla esille. Tämä on yleistys ja eksponentiaalinen ja chi-neliöjakauma. Kuten eksponentiaalinen jakauma, sitä käytetään monimutkaisiin latenssimalleihin. Esimerkiksi gamma-jakauma tulee näkyviin, kun simuloidaan aikaa seuraavaan n tapahtumaan. Se näkyy sisään koneoppimista"konjugaattina ennen" pariin muuhun jakaumaan.

Älä mene keskusteluun näistä konjugaattijakaumista, mutta jos teet niin, älä unohda mainita beeta-jakaumaa, koska se on konjugaattipriori useimmille tässä mainituille jakaumille. Tietojen tutkijat ovat varmoja, että tämä on juuri sitä varten, mitä varten se on tehty. Mainitse tämä vahingossa ja mene ovelle.

Viisauden alku

Todennäköisyysjakaumat ovat asioita, joista et voi tietää liikaa. Aidosti kiinnostuneet voivat tutustua tähän erittäin yksityiskohtaiseen karttaan kaikista todennäköisyysjakaumista Lisää tunnisteita

Eksoottisista nimistään huolimatta yleiset jakelut liittyvät toisiinsa tavoilla, jotka ovat riittävän intuitiivisia ja mielenkiintoisia, jotta ne on helppo muistaa ja niistä on helppo puhua. Jotkut seuraavat luonnollisesti esimerkiksi Bernoullin jakaumasta. Aika näyttää kartta näistä yhteyksistä.

Jokaista jakaumaa havainnollistetaan esimerkillä sen jakautumistiheysfunktiosta (DDF). Tämä artikkeli koskee vain niitä jakaumia, joiden tulokset ovat yksittäisiä lukuja. Siksi kunkin kaavion vaaka-akseli on joukko mahdollisia lukuja-tuloksia. Pysty - kunkin tuloksen todennäköisyys. Jotkut jakaumat ovat diskreettejä – niiden tulosten on oltava kokonaislukuja, kuten 0 tai 5. Nämä on osoitettu harvoilla viivoilla, yksi kullekin tulokselle, jonka korkeus vastaa tämän tuloksen todennäköisyyttä. Jotkut ovat jatkuvia, niiden tulokset voivat saada minkä tahansa numeerisen arvon, kuten -1,32 tai 0,005. Nämä esitetään tiheinä käyrinä, joiden todennäköisyydet kuvaavien käyrän osuuksien alla on alueita. Viivojen korkeuksien ja käyrien alla olevien pintojen summa on aina 1.

Tulosta se, leikkaa katkoviivaa pitkin ja kanna sitä mukaasi lompakossasi. Tämä on oppaasi jakelumaahan ja niiden sukulaisiin.

Bernoulli ja univormu

Olet jo tavannut yllä olevan Bernoulli-jakauman kahdella tuloksella - päät tai hännät. Kuvittele se nyt jakaumana 0:n ja 1:n välillä, 0 on päitä ja 1 on häntää. Kuten on jo selvää, molemmat tulokset ovat yhtä todennäköisiä, ja tämä näkyy kaaviossa. Bernoulli FPR sisältää kaksi samankorkuista viivaa, jotka edustavat kahta yhtä todennäköistä tulosta: 0 ja 1, vastaavasti.

Bernoullin jakauma voi myös edustaa epätasa-arvoisia tuloksia, kuten väärän kolikon heittämistä. Tällöin päiden todennäköisyys ei ole 0,5, vaan jokin muu arvo p, ja pyrstöjen todennäköisyys on 1-p. Kuten monet muut jakaumat, se on itse asiassa koko perhe jakaumia tietyillä parametreilla, kuten p yllä. Kun ajattelet "Bernoulli" - ajattele "(mahdollisesti väärän) kolikon heittämistä."

Tästä eteenpäin on hyvin pieni askel useiden yhtäläisten todennäköisten tulosten jakautumisen esittämiseen: tasainen jakauma, jolle on ominaista tasainen PDF. Kuvittele oikea noppa. Hänen tuloksensa 1-6 ovat yhtä todennäköisiä. Se voidaan asettaa mille tahansa määrälle tuloksia n ja jopa jatkuvana jakaumana.

Ajattele tasaista jakautumista "oikeana noppaa".

Binomiaalinen ja hypergeometrinen

Binomijakaumaa voidaan ajatella niiden asioiden tulosten summana, jotka seuraavat Bernoullin jakaumaa.

Heitä rehellistä kolikkoa kahdesti – kuinka monta kertaa se on päätä? Tämä on luku, joka noudattaa binomijakaumaa. Sen parametrit ovat n, kokeiden lukumäärä ja p on "onnistumisen" todennäköisyys (tapauksessamme päät tai 1). Jokainen heitto on Bernoullin jaettu tulos tai testi. Käytä binomijakaumaa laskettaessa onnistumisia esimerkiksi kolikon heittämisessä, jossa jokainen heitto on riippumaton muista ja niillä on sama onnistumisen todennäköisyys.

Tai kuvittele uurna, jossa on sama määrä valkoisia ja mustia palloja. Sulje silmäsi, vedä pallo ulos, kirjoita sen väri muistiin ja palauta se takaisin. Toistaa. Kuinka monta kertaa musta pallo on vedetty? Tämä luku noudattaa myös binomijakaumaa.

Esitimme tämän oudon tilanteen helpottaaksemme hypergeometrisen jakauman merkityksen ymmärtämistä. Tämä on saman luvun jakauma, mutta tilanteessa, jossa me ei palauta pallot. Se on varmasti binomiaalisen jakauman serkku, mutta ei sama, sillä onnistumisen todennäköisyys muuttuu jokaisen vedetyn pallon myötä. Jos pallojen määrä on riittävän suuri vetojen määrään verrattuna, nämä jakaumat ovat lähes samat, koska onnistumisen mahdollisuus muuttuu hyvin vähän jokaisen arvonnan yhteydessä.

Kun joku puhuu pallojen vetämisestä ulos uurneista ilman palautusta, on melkein aina turvallista sanoa "kyllä, hypergeometrinen jakauma", koska en ole elämässäni vielä tavannut ketään, joka todella täyttäisi uurnat palloilla ja sitten ottaisi ne pois ja palaa takaisin. niitä tai päinvastoin. Minulla ei ole edes ystäviä, joilla on uurnat. Vielä useammin tämän jakauman pitäisi tulla esiin, kun valitaan otokseksi merkittävä osajoukko jostain yleisestä populaatiosta.

Merkintä. käännös

Tämä ei ehkä ole kovin selkeää, mutta koska opetusohjelma ja pikakurssi aloittelijoille, se olisi tarpeen selittää. Väestö on asia, jota haluamme arvioida tilastollisesti. Arvioimiseksi valitsemme tietyn osan (osajoukon) ja teemme siitä vaaditun arvion (silloin tätä osajoukkoa kutsutaan otokseksi) olettaen, että estimaatti on samanlainen koko populaatiolle. Mutta jotta tämä olisi totta, otoksen osajoukon määrittelyyn tarvitaan usein lisärajoituksia (tai päinvastoin, tunnetusta otoksesta meidän on arvioitava, kuvaako se populaatiota riittävän tarkasti).

Käytännön esimerkki - meidän on valittava edustajat 100 hengen yrityksestä matkustamaan E3: lle. Tiedetään, että 10 ihmistä on matkustanut siinä jo viime vuonna (mutta ketään ei tunnisteta). Kuinka paljon vähimmäismäärää tulisi ottaa, jotta ainakin yksi kokenut toveri on todennäköisesti ryhmässä? Tässä tapauksessa populaatio on 100, otos on 10 ja otosvaatimukset ovat vähintään yksi, joka on jo ajanut E3:lla.

Wikipediassa on vähemmän hauska, mutta käytännöllisempi esimerkki viallisista osista erässä.

poisson

Entä niiden asiakkaiden määrä, jotka soittavat teknisen tuen vihjelinjaan joka minuutti? Tämä on tulos, jonka jakauma on ensi silmäyksellä binomiaalinen, jos tarkastellaan jokaista sekuntia Bernoulli-kokeena, jonka aikana asiakas joko ei soita (0) tai soittaa (1). Mutta sähkönjakeluorganisaatiot tietävät erittäin hyvin: kun sähköt katkaistaan, kaksi ihmistä voi soittaa sekunnissa. tai jopa yli sata ihmisistä. Sen esittäminen 60 000 millisekunnin kokeiluina ei myöskään auta - kokeiluja on enemmän, puhelun todennäköisyys millisekunnissa on pienempi, vaikka et laskeisi kahta tai useampaa yhtä aikaa, mutta teknisesti tämä ei silti ole Bernoullin testi. Looginen päättely toimii kuitenkin äärettömyyteen siirtymisen kanssa. Mennään n äärettömyyteen ja p arvoon 0, jolloin np on vakio. Se on kuin jakaminen pienempiin ja pienempiin ajan osiin, jolloin puhelun mahdollisuus vähenee. Rajassa saamme Poisson-jakauman.

Aivan kuten binomijakauma, Poisson-jakauma on määräjakauma: kuinka monta kertaa jotain tapahtuu. Sitä ei parametrisoida todennäköisyydellä p ja kokeiden lukumäärällä n, vaan keskimääräisellä intensiteetillä λ, joka analogisesti binomin kanssa on yksinkertaisesti np:n vakioarvo. Poisson-jakauma on mitä tarpeellista muista, kun on kyse tapahtumien laskemisesta tietyn ajan tasaisella intensiteetillä.

Kun esimerkiksi paketteja saapuu reitittimeen tai asiakkaita ilmestyy kauppaan tai jotain odottaa jonossa, ajattele Poissonia.

Geometrinen ja negatiivinen binomi

Yksinkertaisista Bernoullin kokeista syntyy toinen jakauma. Kuinka monta kertaa kolikko nousee pyrstöön ennen kuin se nousee ylös? Hänntien lukumäärä noudattaa geometrista jakaumaa. Kuten Bernoullin jakauma, se parametroidaan onnistuneen lopputuloksen todennäköisyydellä, s. Sitä ei parametroi luku n, kokeiden lukumäärä, koska epäonnistuneiden kokeiden määrä on juuri tulos.

Jos binomijakauma on "kuinka monta menestystä", niin geometrinen jakauma on "Kuinka monta epäonnistumista ennen menestystä?".

Negatiivinen binomijakauma on yksinkertainen yleistys edellisestä. Tämä on epäonnistumisten lukumäärä ennen kuin onnistumisia on r, ei 1. Siksi se on lisäksi parametroitu tällä r:llä. Sitä kuvataan joskus onnistumisten lukumääränä ennen r epäonnistumista. Mutta kuten elämänvalmentajani sanoo: ”Sinä päätät mikä on menestystä ja mikä epäonnistumista”, niin tämä on sama, jos et unohda, että todennäköisyyden p on oltava myös oikea onnistumisen tai epäonnistumisen todennäköisyys.

Jos tarvitset vitsiä jännityksen lievittämiseksi, voit mainita, että binomi- ja hypergeometriset jakaumat ovat ilmeinen pari, mutta geometrinen ja negatiivinen binomijakauma ovat myös melko samanlaisia, ja sitten todeta ”No, kuka niitä kaikkia niin kutsuu, vai? ”

Eksponentiaalinen ja Weibull

Vielä puheluista tekniseen tukeen: kuinka kauan kestää ennen seuraavaa puhelua? Tämän odotusajan jakauma näyttää olevan geometrinen, koska jokainen sekunti, kunnes kukaan ei soita, on kuin epäonnistuminen, kunnes toinen, kunnes puhelu lopulta tulee. Vikojen määrä on kuin sekuntien määrä, kunnes kukaan ei soittanut, ja tämä on käytännössä aika seuraavaan puheluun, mutta "käytännössä" ei riitä meille. Lopputulos on, että tämä aika on kokonaisten sekuntien summa, joten ei ole mahdollista laskea odotusaikaa tämän sekunnin sisällä itse puheluun asti.

No, kuten ennenkin, siirrymme geometrisessa jakaumassa aikamurto-osien rajaan asti - ja voila. Saamme eksponentiaalisen jakauman, joka kuvaa tarkasti kutsua edeltävän ajan. Tämä on jatkuva jakauma, ensimmäinen meillä, koska tulos ei välttämättä ole kokonaisissa sekunneissa. Kuten Poisson-jakauma, se on parametroitu intensiteetillä λ.

Toistaen binomiaalin ja geometrian välistä yhteyttä, Poissonin "kuinka monta tapahtumaa kerralla?" liittyy eksponentiaaliseen "kuinka kauan ennen tapahtumaa?". Jos on tapahtumia, joiden lukumäärä aikayksikköä kohti noudattaa Poisson-jakaumaa, niin niiden välinen aika noudattaa eksponentiaalista jakaumaa samalla parametrilla λ. Tämä vastaavuus näiden kahden jakauman välillä on otettava huomioon, kun jompaakumpaa keskustellaan.

Eksponentiaalisen jakauman tulisi tulla mieleen, kun ajatellaan "aikaa tapahtumaan", ehkä "aikaa epäonnistumiseen". Itse asiassa tämä on niin tärkeä tilanne, että MTBF:n kuvaamiseen on olemassa yleisempiä jakaumia, kuten Weibull-jakauma. Vaikka eksponentiaalinen jakauma on sopiva, kun kulumis- tai vikatiheys on esimerkiksi vakio, Weibull-jakauma voi mallintaa kasvavan (tai pienenevän) vikasuhteen ajan myötä. Eksponentiaalinen, yleensä erikoistapaus.

Ajattele Weibullia, kun kyse on MTBF:stä.

Normaali, lognormaali, Studentin ja chi-neliö

Normaali tai Gaussin jakauma on luultavasti yksi tärkeimmistä. Sen kellomainen muoto on heti tunnistettavissa. Kuten , tämä on erityisen utelias kokonaisuus, joka ilmenee kaikkialla, jopa näennäisesti yksinkertaisista lähteistä. Ota joukko arvoja, jotka noudattavat samaa jakaumaa - mikä tahansa! - ja taita ne ylös. Niiden summan jakautuminen noudattaa (suunnilleen) normaalijakaumaa. Mitä enemmän asioita summataan, sitä lähempänä niiden summa vastaa normaalijakaumaa (temppu: termien jakauman tulee olla ennustettava, riippumaton, se pyrkii vain normaaliin). On hämmästyttävää, että näin on alkuperäisestä jakelusta huolimatta.

Merkintä. käännös

Yllätyin siitä, että kirjoittaja ei kirjoita vertailukelpoisen summattavien jakaumien tarpeesta: jos toinen hallitsee merkittävästi muita, se konvergoi äärimmäisen huonosti. Ja yleensä absoluuttinen keskinäinen riippumattomuus ei ole välttämätöntä, heikko riippuvuus riittää.

No, se on todennäköisesti juhlia varten, kuten hän kirjoitti.

Tätä kutsutaan "keskirajalauseeksi", ja sinun on tiedettävä, mikä se on, miksi sitä kutsutaan ja mitä se tarkoittaa, muuten he nauravat sille välittömästi.

Kontekstissaan normaali liittyy kaikkiin jakaumiin. Vaikka periaatteessa se liittyy kaikkien määrien jakamiseen. Bernoulli-kokeiden summa seuraa binomijakaumaa ja kokeiden määrän kasvaessa tämä binomijakauma tulee lähemmäksi normaalijakaumaa. Samoin sen serkku on hypergeometrinen jakauma. Myös Poisson-jakauma - binomiaalin rajoittava muoto - lähestyy normaalia intensiteettiparametrin kasvaessa.

Tulokset, jotka seuraavat lognormaalijakaumaa, antavat arvoja, joiden logaritmi jakautuu normaalisti. Tai toisella tavalla: normaalijakauman arvon eksponentti on lognormaalijakautunut. Jos summat ovat normaalijakaumia, muista myös, että tulot ovat lognormaalijakaumia.

Studentin t-jakauma on t-testin perusta, jota monet ei-tilastolaiset tutkivat muilla aloilla. Sitä käytetään olettamaan normaalijakauman keskiarvosta, ja se pyrkii myös normaalijakaumaan parametrin kasvaessa. T-jakauman erottuva piirre on sen pyrstö, joka on paksumpi kuin normaalijakauman.

Jos rasva-anekdootti ei ole ravistellut naapuriasi tarpeeksi, siirry melko hauskaan oluttarinaan. Yli 100 vuotta sitten Guinness käytti tilastoja parantaakseen stouttaan. Silloin William Seeley Gosset keksi täysin uuden tilastollisen teorian ohran viljelyn parantamiseksi. Gosset vakuutti pomon, että muut panimot eivät ymmärtäisi hänen ideoidensa käyttöä ja sai luvan julkaista se, mutta salanimellä "Student". Gossetin kuuluisin saavutus on juuri tämä t-jakelu, joka, voisi sanoa, on nimetty hänen mukaansa.

Lopuksi khin neliöjakauma on normaalijakautuneiden suureiden neliösumman jakauma. Tälle jakaumille rakennetaan khin neliötesti, joka perustuu normaalijakauman neliöerojen summaan.

Gamma ja beta

Tässä vaiheessa, jos puhut jo jostain chi-neliosta, keskustelu alkaa tosissaan. Olet luultavasti jo puhumassa oikeiden tilastotieteilijöiden kanssa, ja se on luultavasti jo kumartumisen arvoista, sillä esimerkiksi gamma-jakauma saattaa tulla esille. Tämä on yleistys ja eksponentiaalinen ja chi-neliöjakauma. Kuten eksponentiaalinen jakauma, sitä käytetään monimutkaisiin latenssimalleihin. Esimerkiksi gamma-jakauma tulee näkyviin, kun simuloidaan aikaa seuraavaan n tapahtumaan. Se näkyy koneoppimisessa "adjoint-priorina" parille muulle jakelulle.

Älä mene keskusteluun näistä konjugaattijakaumista, mutta jos teet niin, älä unohda mainita beeta-jakaumaa, koska se on konjugaattipriori useimmille tässä mainituille jakaumille. Tietojen tutkijat ovat varmoja, että tämä on juuri sitä varten, mitä varten se on tehty. Mainitse tämä vahingossa ja mene ovelle.

Viisauden alku

Todennäköisyysjakaumat ovat asioita, joista et voi tietää liikaa. Aidosti kiinnostuneet voivat tutustua tähän erittäin yksityiskohtaiseen karttaan kaikista todennäköisyysjakaumista Lisää tunnisteita

satunnainen tapahtuma on mikä tahansa tosiasia, joka testin tuloksena saattaa tapahtua tai ei. satunnainen tapahtuma on testin tulos. Oikeudenkäynti- tämä on koe, tietyn ehtojoukon täyttyminen, jossa yksi tai toinen ilmiö havaitaan, yksi tai toinen tulos kirjataan.

Tapahtumat on merkitty latinalaisten aakkosten A, B, C isoilla kirjaimilla.

Kutsutaan numeerista mittaa tapahtuman mahdollisuuden objektiivisuuden asteeseen satunnaisen tapahtuman todennäköisyys.

Klassinen määritelmä tapahtuman A todennäköisyydet:

Tapahtuman A todennäköisyys on yhtä suuri kuin tapahtumalle A(m) suotuisten tapausten lukumäärän suhde kokonaismäärä tapaukset (n).

Tilastollinen määritelmä todennäköisyydet

Suhteellinen tapahtumataajuus on niiden tosiasiallisesti suoritettujen testien osuus, joissa tapahtuma A esiintyi W=P*(A)= m/n. Tämä on kokeellinen kokeellinen ominaisuus, jossa m on niiden kokeiden lukumäärä, joissa tapahtuma A esiintyi; n on kaikkien suoritettujen kokeiden lukumäärä.

Tapahtuman todennäköisyys kutsutaan numeroa, jonka ympärille taajuusarvot ryhmitellään Tämä tapahtuma eri sarjoissa suuri numero testit P(A)=.

Tapahtumat ovat ns yhteensopimaton jos yhden esiintyminen sulkee pois toisen esiintymisen. Muuten tapahtumat liitos.

Summa kaksi tapahtumaa on tapahtuma, jossa vähintään yksi näistä tapahtumista (A tai B) esiintyy.

Jos A ja B liitos tapahtumia, silloin niiden summa A + B tarkoittaa tapahtuman A tai tapahtuman B tai molempien tapahtumien esiintymistä yhdessä.

Jos A ja B yhteensopimaton tapahtuma, niin summa A + B tarkoittaa joko tapahtuman A tai tapahtuman B esiintymistä.

2. Riippuvien ja riippumattomien tapahtumien käsite. Ehdollinen todennäköisyys, todennäköisyyksien kertolaskulaki (lause). Bayesin kaava.

Tapahtuma B on nimeltään riippumaton tapahtumasta A, jos tapahtuman A esiintyminen ei muuta tapahtuman B toteutumisen todennäköisyyttä. Useiden tapahtumien todennäköisyys riippumaton tapahtumat on yhtä suuri kuin näiden todennäköisyyksien tulo:

P(AB) = P(A)*P(B)

varten riippuvainen Tapahtumat:

P(AB) = P(A)*P(B/A).

Kahden tapahtuman tulon todennäköisyys on yhtä suuri kuin yhden niistä todennäköisyyden tulo ehdollinen todennäköisyys toinen, joka löydettiin olettaen, että ensimmäinen tapahtuma tapahtui.

Ehdollinen todennäköisyys tapahtuma B on tapahtuman B todennäköisyys, joka havaitaan sillä ehdolla, että tapahtuma A tapahtui. Nimetty P(B/A)

Työ kaksi tapahtumaa on tapahtuma, joka koostuu näiden tapahtumien (A ja B) yhteisestä esiintymisestä

Bayesin kaavaa käytetään satunnaisten tapahtumien uudelleenarviointiin

P(H/A) = (P(H)*P(A/H))/P(A)

P(H) - tapahtuman H a priori todennäköisyys

P(H/A) on hypoteesin H posteriori todennäköisyys, mikäli tapahtuma A on jo tapahtunut

P(A/H) – asiantuntija-arvio

P(A) - tapahtuman A täysi todennäköisyys

3. Diskreettien ja jatkuvien satunnaismuuttujien jakauma ja niiden ominaisuudet: matemaattinen odotus, varianssi, keskihajonta. Jatkuvien satunnaismuuttujien normaalijakauman laki.

Satunnainen arvo- tämä on arvo, joka testin tuloksena ottaa tapauksesta riippuen yhden mahdollisista arvoistaan.

Diskreetti satunnainen arvo – se on satunnaismuuttuja, kun se saa erillisen, eristetyn, laskettavissa olevan arvojoukon.

Jatkuva satunnaismuuttuja on satunnaismuuttuja, joka ottaa minkä tahansa arvon tietystä intervallista. Jatkuvan satunnaismuuttujan käsite syntyy mittausten aikana.

Diskreetille satunnaismuuttuja, jakautumislaki voidaan antaa muodossa taulukoita, analyyttisesti (kaavana) ja graafisesti.

Pöytä– tämä on yksinkertaisin tapa asettaa jakelulaki

Vaatimukset:

diskreeteille satunnaismuuttujille

Analyyttinen:

1)F(x)=P(X

Jakaumafunktio = kumulatiivinen jakaumafunktio. Diskreeteille ja jatkuville satunnaismuuttujille.

2)f(x) = F'(x)

Todennäköisyystiheys = differentiaalijakaumafunktio vain jatkuvalle satunnaismuuttujalle.

Graafinen:

S-va: 1) 0≤F(x)≤1

2) ei-laskeva diskreeteille satunnaismuuttujille

S-va: 1) f(x)≥0 P(x)=

2) alue S=1

jatkuville satunnaismuuttujille

Ominaisuudet:

1. matemaattinen odotus - keskimääräinen todennäköisin tapahtuma

Diskreeteille satunnaismuuttujille.

Jatkuville satunnaismuuttujille.

2) Dispersio - sironta matemaattisen odotuksen ympärille

Diskreeteille satunnaismuuttujille:

D(x)=xi-M(x)) 2*p i

Jatkuville satunnaismuuttujille:

D(x)=x-M(x)) 2 *f(x)dx

3) Normaalipoikkeama:

σ(x)=√(D(x))

σ - keskihajonta tai standardi

x on varianssinsa neliöjuuren aritmeettinen arvo

Normaalijakauman laki (NZR) - Gaussin laki

IRR on jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyyden vaimeneminen, jota kuvataan differentiaalifunktiolla

Luku 6. Satunnaismuuttujien tyypilliset jakautumislait ja numeeriset ominaisuudet

Funktioiden F(x), p(x) muotoa tai laskentaa p(x i) kutsutaan satunnaismuuttujan jakautumislakiksi. Vaikka satunnaismuuttujia voidaan kuvitella äärettömästi, jakautumislakeja on paljon vähemmän. Ensinnäkin eri satunnaismuuttujilla voi olla täsmälleen samat jakautumislait. Esimerkki: Olkoon y vain 2 arvoa 1 ja -1 todennäköisyyksillä 0,5; arvolla z = -y on täsmälleen sama jakautumislaki.
Toiseksi, hyvin usein satunnaismuuttujilla on samanlaiset jakautumislait, eli esimerkiksi p(x) niille ilmaistaan ​​samanmuotoisilla kaavoilla, jotka eroavat vain yhden tai useamman vakion osalta. Näitä vakioita kutsutaan jakaumaparametreiksi.

Vaikka periaatteessa laaja valikoima jakautumislakeja on mahdollista, tässä tarkastellaan muutamia tyypillisimpiä lakeja. On tärkeää kiinnittää huomiota olosuhteisiin, joissa ne syntyvät, näiden jakaumien parametreihin ja ominaisuuksiin.

yksi . Virka-asujen jakelu
Tämä on satunnaismuuttujan jakauman nimi, joka voi saada minkä tahansa arvot välillä (a,b), ja todennäköisyys putoaa mihin tahansa segmenttiin (a,b) sisällä on verrannollinen segmentin pituuteen ja ei riipu sen sijainnista, ja arvojen (a,b ) ulkopuolella olevien arvojen todennäköisyys on yhtä suuri kuin 0.

Kuva 6.1 Tasaisen jakautumisen funktio ja tiheys

Jakaumaparametrit: a , b

2. Normaalijakauma
Jakauma tiheydellä kuvattu kaavalla

(6.1)

kutsutaan normaaliksi.
Jakaumaparametrit: a , σ

Kuva 6.2 Tyypillinen näkymä tiheys- ja normaalijakaumafunktiosta

3. Bernoullin jakelu
Jos tehdään sarja riippumattomia kokeita, joissa jokaisessa tapahtumassa A voi esiintyä samalla todennäköisyydellä p, niin tapahtuman esiintymismäärä on Bernoullin lain tai binomiaalilain mukaan jakautunut satunnaismuuttuja. (toinen jakelunimi).

Tässä n on sarjan kokeiden lukumäärä, m on satunnaismuuttuja (tapahtuman A esiintymisten lukumäärä), P n (m) on todennäköisyys, että A tapahtuu täsmälleen m kertaa, q \u003d 1 - p ( todennäköisyys, että A ei näy testissä ).

Esimerkki 1: Noppia heitetään 5 kertaa, mikä on todennäköisyys, että noppaa heitetään kahdesti?
n = 5, m = 2, p = 1/6, q = 5/6

Jakaumaparametrit: n, p

neljä . Poisson-jakauma
Poisson-jakauma saadaan Bernoullin jakauman rajatapauksena, jos p pyrkii nollaan ja n pyrkii äärettömyyteen, mutta siten, että niiden tulo pysyy vakiona: nр = a. Muodollisesti tällainen rajan ylittäminen johtaa kaavaan

Jakeluparametri: a

Poisson-jakauma on monien satunnaismuuttujien alainen tieteessä ja käytännön elämässä.

Esimerkki 2: Ambulanssiasemalle vastaanotettujen puheluiden määrä tunnissa.
Jaetaan aikaväli T (1 tunti) pieniin aikaväleihin dt siten, että kahden tai useamman kutsun vastaanottamisen todennäköisyys dt:n aikana on mitätön ja yhden kutsun todennäköisyys p on verrannollinen dt:hen: p = μdt ;
katsomme havainnon hetkien dt aikana itsenäisinä kokeina, tällaisten kokeiden lukumäärä aikana T: n = T / dt;
jos oletetaan, että puhelujen vastaanottamisen todennäköisyydet eivät muutu tunnin aikana, niin puheluiden kokonaismäärä noudattaa Bernoullin lakia parametrein: n = T / dt, p = μdt. Kun dt pyrkii olemaan nolla, saadaan, että n pyrkii äärettömyyteen, ja tulo n × p pysyy vakiona: a = n × p = μT.

Esimerkki 3: Ideaalikaasumolekyylien määrä jossain kiinteässä tilavuudessa V.
Jaetaan tilavuus V pieniin tilavuuksiin dV siten, että todennäköisyys löytää kaksi tai useampi molekyyli dV:ssä on mitätön ja yhden molekyylin löytämisen todennäköisyys on verrannollinen dV:hen: р = μdV; katsomme kunkin tilavuuden dV havainnon itsenäiseksi testiksi, tällaisten testien lukumäärä on n=V/dV; jos oletetaan, että todennäköisyydet löytää molekyyli missä tahansa V:n sisällä ovat samat, molekyylien kokonaismäärä tilavuudessa V noudattaa Bernoullin lakia parametrein: n = V / dV, p = μdV. Antamalla dV:n taipua nollaan, saadaan, että n pyrkii äärettömyyteen, ja tulo n × p pysyy vakiona: a = n × p = μV.

Satunnaismuuttujien numeeriset ominaisuudet

yksi . Matemaattinen odotus (keskiarvo)

Määritelmä:
Matemaattinen odotus on
  (6.4)

Summaan otetaan kaikki satunnaismuuttujan saamat arvot. Sarjan on oltava ehdottoman konvergentti (muuten satunnaismuuttujalla ei sanota olevan matemaattista odotusta)

;   (6.5)

Integraalin on oltava ehdottoman konvergentti (muuten satunnaismuuttujalla ei sanota olevan odotusarvoa)

Matemaattisen odotuksen ominaisuudet:

a. Jos C on vakioarvo, niin MC = C
b. Mx = Smx
c. Satunnaismuuttujien summan matemaattinen odotus on aina yhtä suuri kuin niiden matemaattisten odotusten summa: М(х+y) = Мх + Мy d . Esitetään ehdollisen matemaattisen odotuksen käsite. Jos satunnaismuuttuja saa arvonsa x i eri todennäköisyyksillä p(x i /H j) eri olosuhteissa H j , niin ehdollinen odotusarvo määritetään

Miten tai ;   (6.6)

Jos tapahtumien H j todennäköisyydet tunnetaan, täydellinen

odotettu arvo: ;   (6.7)

Esimerkki 4: Kuinka monta kertaa keskimäärin sinun täytyy heittää kolikkoa ennen kuin ensimmäinen vaakuna ilmestyy? Tämä ongelma voidaan ratkaista "otsassa"

x i	1 2 3 ... k...
p(x i) :		,

mutta tämä summa on vielä laskettava. Voit tehdä sen helpommin käyttämällä ehdollisen ja täyden matemaattisen odotuksen käsitteitä. Harkitse hypoteeseja H 1 - vaakuna putosi ensimmäistä kertaa, H 2 - se ei pudonnut ensimmäisellä kerralla. Ilmeisesti p (H 1) \u003d p (H 2) \u003d ½; Mx / H1 \u003d 1;
Mx / H 2 on 1 enemmän kuin haluttu täysi odotus, koska Ensimmäisen kolikonheiton jälkeen tilanne ei ole muuttunut, mutta kun se on jo heitetty. Täyden matemaattisen odotuksen kaavaa käyttämällä meillä on Mx \u003d Mx / H 1 × p (H 1) + Mx / H 2 × p (H 2) \u003d 1 × 0,5 + (Mx + 1) × 0,5, ratkaiseva Mx:n yhtälöstä saamme välittömästi Mx = 2.

e. Jos f(x) on satunnaismuuttujan x funktio, niin satunnaismuuttujan funktion matemaattisen odotuksen käsite määritellään:

Diskreetille satunnaismuuttujalle: ;   (6.8)

Summaan otetaan kaikki satunnaismuuttujan saamat arvot. Sarjan on oltava täysin konvergentti.

Jatkuvalle satunnaismuuttujalle: ;   (6.9)

Integraalin on oltava ehdottoman konvergentti.

2. Satunnaismuuttujan varianssi
Määritelmä:
Satunnaismuuttujan x dispersio on suuren arvon neliöidyn poikkeaman matemaattinen odotus sen matemaattisesta odotuksesta: Dx = M(x-Mx) 2

Diskreetille satunnaismuuttujalle: ;   (6.10)

Summaan otetaan kaikki satunnaismuuttujan saamat arvot. Sarjan on oltava konvergentti (muuten satunnaismuuttujalla ei sanota olevan varianssia)

Jatkuvalle satunnaismuuttujalle: ;   (6.11)

Integraalin tulee konvergoida (muuten satunnaismuuttujalla ei sanota olevan varianssia)

Dispersioominaisuudet:
a. Jos C on vakioarvo, niin DC = 0
b. DСх = С 2 Dх
c. Satunnaismuuttujien summan varianssi on aina yhtä suuri kuin niiden varianssien summa vain, jos nämä muuttujat ovat riippumattomia (riippumattomien muuttujien määritelmä)
d. Varianssin laskemiseen on kätevää käyttää kaavaa:

Dx = Mx 2 - (Mx) 2 (6,12)

Numeeristen ominaisuuksien suhde
ja tyypillisten jakaumien parametrit

jakelu	vaihtoehtoja	kaava	Mx	Dx
yhtenäinen	a, b		(b+a) / 2	(b-a) 2/12
normaali	a, σ		a	σ2
Bernoulli	n, s		np	npq
Poisson	a		a	a